IÖ Übungsaufgaben: Lösungen

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1 IÖ Übungsaufgaben: Lösungen Tone Arnold Universität des Saarlandes 21. Juli 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

2 Aufgabe 1 Betrachten Sie einen Monopolisten, der ein dauerhaftes Gut zu Grenzkosten von null herstellen kann. Wenn r t den Leasingpreis bezeichnet, den die Konsumenten pro Periode zu zahlen haben, dann ist die Nachfrage für die Leistungen des Gutes pro Periode gegeben durch y t = 1000 r t mit t = 1, 2. Dabei bezeichnet y t die gesamte in Periode t angebotene Menge des dauerhaften Gutes. Gehen Sie davon aus, dass sowohl der Monopolist als auch die Konsumenten einen Diskontfaktor von 1 haben. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

3 Aufgabe 1 a) Wie hoch ist der optimale Leasingpreis pro Periode für einen Monopolisten, der nur least, d.h. vermietet? Lösung: In jeder Periode t maximiert der Monopolist Die B.1.O. lautet π t = y t r t = (1000 r t )r t r t = 0 r t = 500. Einsetzen in die Nachfragefunktion gergibt y t = 1000 r t = 500. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

4 Aufgabe 1 a) Der Gewinn ist dann π t = = Der Gesamtgewinn über beide Perioden beträgt somit π 1 + π 2 = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

5 Aufgabe 1 b) Was sind die optimalen Preise für einen Monopolisten, der das Gut verkauft, sich aber an einen Preis in Periode 2 fest binden kann? Lösung: Bei Bindung an p 2 gilt p 1 = p 2. (Sonst würde bei δ = 1 jeder Konsument in der Preiode mit dem niedrigeren Preis kaufen.) In Periode 2 ist dann die Nachfrage gleich null. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

6 Aufgabe 1 a) Die Zahlungsbereitschaft für eine Nutzung des Gutes über zwei Perioden ist p(y) = 2(1000 Y) = Y. Das Maximierungsproblem ist Die B.1.O. lautet max(2000 2Y)Y Y = 0 Y = 500. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

7 Aufgabe 1 a) Preis und Gewinn sind dann p = = 1000, π = = Der Gewinn ist genau so hoch wie beim Vermieten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

8 Aufgabe 1 c) Wie hoch sind die optimalen Preise in den beiden Perioden, wenn der Monopolist das Gut verkauft, sich aber nicht an einen Preis in Periode 2 binden kann? Lösung: Rückwärtige Induktion: Wir beginnen mit Periode 2. Die Restnachfrage in Periode 2 beträgt y 2 = (1000 y 1 ) p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

9 Aufgabe 1 c) Der Gewinn in Periode 2 ist gegeben durch π 2 = p 2 y 2 = p 2 (1000 y 1 p 2 ). Die B.1.O. ist 1000 y 1 2p 2 = 0 p 2 = 500 y 1 /2. Die resultierende Menge ist y 2 = 1000 y y 1 /2 = 500 y 1 /2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

10 Aufgabe 1 c) Einsetzen in die Gleichung für p 2 ergibt p 2 = 1000 y 1 y 2 = 500 y 1 /2 = y 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

11 Aufgabe 1 c) Nun zur ersten Periode. Der marginale Konsument ist indifferent zwischen Kauf in Periode 1 und Kauf in Periode 2, i.e. seine Konsumentenrente (KR) muss in beiden Fällen gleich sein. Da jeder Konsument eine Einheit kauft, ist seine KR beim Kauf in Periode 1 gegeben duch KR 1 = 2(1000 y 1 ) p 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

12 Aufgabe 1 c) Beim Kauf in Periode 2 gilt KR 2 = (1000 y 1 ) p 2 = 1000 y y 1 2 = 500 y 1 /2. Gleichsetzen von KR 1 und KR 2 ergibt y 1 p 1 = 500 y 1 /2 p 1 = y 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

13 Aufgabe 1 c) Dies ist die inverse Nachfrage in Periode 1. Das Maximierungsproblem ist max p 1 y 1 + p 2 y 2 = ( y ) 1 y 1 + (1000 y 1) Die B.1.O. ist y y 1 2 = 0 y 1 = 400. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

14 Aufgabe 1 c) Die Preise sind dann p 1 = y 1 2 = 900, p 2 = 500 y 1 2 = 300. Die Menge in Periode 2 ist y 2 = p 2 = 300. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

15 Aufgabe 1 c) Der Gewinn beträgt dann π = = Dieser Gewinn ist geringer als der aus Aufgabenteilen 1 a) und 1 b). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

16 Aufgabe 2 Betrachten Sie zwei Firmen i = 1, 2, die mit den gleichen Kostenfunktionen C(y i ) = cy i ein homogenes Gut produzieren. Die Preis Absatz Funktion ist gegeben durch P(y) = 1 y 1 y 2. Die Unternehmen befinden sich im Preiswettbewerb und interagieren unendlich oft auf dem Markt miteinander. Zukünftige Erträge werden mit dem Faktor δ diskontiert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

17 Aufgabe 2 a) Welche Bedingung an δ muss erfüllt sein, damit die folgende Triggerstrategie eine Gleichgewichtsstrategie ist: Wähle in jeder Periode den Monopolpreis, wenn jeder in der Vergangenheit immer den Monopolpries gesetzt hat. Anderenfalls setze den Preis gleich den Grenzkosten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

18 Aufgabe 2 a) Lösung: Bezeichne π i den Gewinn einer Firma im Kartell, i.e. den halben Monopolgewinn. Der diskontierte Gewinn im Fall, dass beide Firmen die Trigger Strategie spielen, ist V T i = 1 1 δ π i. Der Gewinn aus dem Abweichen ist der Kartellgewinn 2π i (nach dem Abweichen gilt Preis = GK und die Gewinne sind für immer null). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

19 Aufgabe 2 a) Damit das Abweichen nicht lohnt, muss gelten Dies ist erfüllt für δ δ π i 2π i. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

20 Aufgabe 2 b) Angenommen, Unternehmen 2 kann erst mit einer Verzögerung von einer Periode auf ein Abweichen vom kollusiven Arrangement durch Firma 1 reagieren. Welche Konsequenzen hat das für die Stabilität des Kartells? Was geschieht, wenn diese Zeitverzögerung gegen unendlich geht? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

21 Aufgabe 2 b) Lösung: In diesem Fall erstreckt sich der Gewinn aus dem Abweichen über zwei Perioden und ist daher 2π i (1 + δ). Damit das Abweichen nicht lohnt, muss gelten Auflösen ergibt 1 1 δ π i 2π i (1 + δ). δ > 0.5. Die Bedingung an die Stabilität wird strenger, i.e. ist seltener (d.h. für einen kleineren Bereich von δ) erfüllt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

22 Aufgabe 2 b) Geht die Zeitverzögerung gegen unendlich, so wird Abweichen nie entdeckt und lohnt daher immer. Das einzige Nash GG in diesem Fall besteht darin, dass beide in jeder Periode das Nash GG des One shot Spiels spielen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

23 Aufgabe 3 Zwei Firmen stellen differenzierte Güter her und konkurrieren mittels Preissetzung. Die Nachfragefunktion nach den beiden Gütern ist gegeben durch y 1 (p 1, p 2 ) = a bp 1 + ep 2, y 2 (p 1, p 2 ) = a bp 2 + ep 1. Die Kostenfunktionen der beiden Firmen sind gegeben durch C 1 (y 1 ) = c 1 y 1 und C 2 (y 2 ) = c 2 y 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

24 Aufgabe 3 a) Ermitteln Sie zuerst das Nash Gleichgewicht auf diesem Markt in allgemeiner Form und für die Werte a = 10, b = e = 1 sowie c 1 = c 2 = 3 und stellen Sie Ihr Ergebnis anhand der Reaktionsfunktionen grafisch dar. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

25 Aufgabe 3 a) Lösung: Für die gesamte Aufgabe gilt a = 10, b = e = 1. Firma 1 maximiert π 1 (p 1, p 2 ) = (10 p 1 + p 2 )(p 1 c 1 ). Die B.1.O. ist 10 2p 1 + c 1 + p 2 = 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

26 Aufgabe 3 a) Auflösen nach p 1 ergibt die Reaktionsfunktion der Firma 1: Analog gilt R 1 (p 2 ) = 5 + c p 2 2. R 2 (p 1 ) = 5 + c p 1 2. Die Reaktionsfunktionen haben eine positive Steigung, daher sind die Preise hier strategische Komplemente. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

27 Aufgabe 3 a) Einsetzen der Reaktionsfunktion von Firma 2 in die der Firma 1 ergibt Auflösen nach p 1 ergibt p 1 = 5 + c ( 5 + c p ) 1. 2 p1 = c 1 + c 2. 3 Analog gilt p2 = c 2 + c 1. 3 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

28 Aufgabe 3 a) Die angebotene Menge der Firma 1 ist dann und der Gewinn der Firma ist y1 = 10 p 1 p 2 = 30 c 1 + c 2, 3 π1 = (p 1 c 1 )y 1 = (30 c 1 + c 2 ) 2. 9 Entsprechend ist der Gewinn von Firma 2 π2 = (30 c 2 + c 1 ) 2. 9 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

29 Aufgabe 3 a) Einsetzen von c 1 = c 2 = 3 ergibt p i = 13, y i = 10, π i = 100 für i = 1, 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

30 Aufgabe 3 b) Angenommen, Firma 1 kann die Kosten ihres Konkurrenten auf 6 erhöhen (da sie z.b. über einen wichtigen Input für Firma 2 verfügt). Ermitteln Sie das neue Gleichgewicht und die zugehörigen Gewinne. Lohnt sich eine solche Strategie für Firma 1? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

31 Aufgabe 3 b) Lösung: Für c 1 = 3, c 2 = 6 gilt p1 = = 14, 3 p = = 15, 3 ) 2 = 121 > 100, π 1 = ( Die Strategie lohnt sich für Firma 1. ( ) π2 = = 81 < Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

32 Aufgabe 3 c) Angenommen, die Erhöhung der Kosten des Konkurrenten verursacht Firma 1 selbst Kosten, so dass die neue Kostenstruktur gegeben ist durch c 1 = 4 und c 2 = 6. Vergleichen Sie das resultierende Gleichgewicht mit Ihren Ergebnissen der Teilaufgaben 4.2 und 4.3. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

33 Aufgabe 3 c) Lösung: Für c 1 = 4 und c 2 = 6 gilt p 1 = 44 3, p 2 = 46 3, π 1 = 113, 8; π 2 = 87, 1. Gegenüber 4.1 erwirtschaftet Firma 1 einen höheren und Firma 2 einen niedrigeren Gewinn. Die Kostenerhöhung lohnt sich für Firma 1, aber der zusätzliche Gewinn ist weniger als bei 4.2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

34 Aufgabe 3 d) Wie hoch könnten die Kosten von Firma 1 steigen, bevor die Strategie der Erhöhung der Kosten des Konkurrenten nicht mehr lohnend ist? Lösung: Die Kostenerhöhung lohnt sich, falls Dies ist der Fall für c 1 6. (30 c 1 + 6) 2 9 ( )2. 9 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

35 Aufgabe 4 Zwei identische Firmen 1 und 2 stehen im Cournot Wettbewerb. Die Preis Absatz Funktion in diesem Markt ist gegeben durch p(y) = a Y, wobei Y die insgesamt angebotene Menge bezeichnet. Die Grenzkosten sind konstant gleich c, wobei 0 < c < a. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

36 Aufgabe 4 a) Geben Sie die Gewinne der Firmen 1 und 2 im Cournot Nash Gleichgewicht an. Lösung: Die Gewinne sind π 1 = π 2 = (a c)2. 9 Der Gesamtgewinn beider Firmen ist dann π 1 + π 2 = 2(a c)2. 9 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

37 Aufgabe 4 b) Die beiden Firmen planen eine Fusion. Lohnt sich die Fusion für die beiden Firmen? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: Die fusionierte Firma maximiert (a c Y)Y, wobei Y den Output bezeichnet. die B.1.O. lautet a c 2Y = 0 Y = a c 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

38 Aufgabe 4 b) Der Gewinn der fusionierten Firma ist π F = (a c)2 4 = 2(a c)2 8 und somit höher als die Summe der Gewinne beider Firmen vor der Fusion. Die Fusion ist profitabel. (Dies ist immer der Fall, wenn eine Fusion zum Monopol erfolgt.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

39 Aufgabe 4 c) Angenommen, die beiden Firmen wissen, dass eine dritte Firma den Markteintritt plant, die mit den selben konstanten Grenzkosten c produzieren kann. Lohnt sich eine Fusion der Firmen 1 und 2 in diesem Fall? Würde die dritte Firma von der Fusion der Firmen 1 und 2 profitieren? Begründen Sie Ihre Antwort. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

40 Aufgabe 4 c) Lösung: Ohne Fusion wären die Gewinner der drei Firmen π i = (a c)2, i = 1, 2, 3, 16 und der Gesamtgewinn der Firmen 1 und 2 wäre π 1 + π 2 = (a c)2. 8 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

41 Aufgabe 4 c) Nach einer Fusion der Firmen 1 und 2 (zu Firma F) wären die Gewinne π F = π 3 = (a c)2. 9 Der Gewinn der fusionierten Firma ist also geringer als die Summe der Gewinne vor der Fusion. Die Fusion lohnt in diesem Fall nicht. Firma 3 würde allerdings von der Fusion profitieren. (Dieses Phänomen ist auch unter dem Begriff Merger Paradox bekannt.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

42 Aufgabe 4 d) Jetzt nehmen Sie an, durch eine Fusion könnten die Firmen 1 und 2 Synergieeffekte nutzen und dadurch ihre Grenzkosten auf null senken. Unter welcher Bedingung an die Parameter a und c wäre in diesem Fall eine Fusion der Firmen 1 und 2 im Interesse dieser beiden Firmen? Würde Firma 3 von der Fusion profitieren? Begründen Sie Ihre Antwort. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

43 Aufgabe 4 d) Lösung: Ohne Fusion wären die Gewinne der drei Firmen weiterhin π i = (a c)2, i = 1, 2, 3, 16 und der Gesamtgewinn der Firmen 1 und 2 wäre π 1 + π 2 = (a c)2. 8 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

44 Aufgabe 4 d) Nach der Fusion wären die GK gegeben durch c F = 0 und c 3 > 0. Der Gewinn einer Firma im Duopol berechnet sich nach der Formel Sei c 3 = c. Dann gilt π i = (a 2c i + c j ) 2. 9 π F = (a + c)2 9 und π 3 = (a 2c)2. 9 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

45 Aufgabe 4 d) Die Fusion lohnt sich für die beiden Firmen, falls Dies ist der Fall, wenn gilt (a + c) 2 9 > (a c) ac > a 2 + c 2 bzw. 32ac > (a c) 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

46 Aufgabe 4 d) Firma 3 profitiert von der Fusion, falls (a 2c) 2 9 > (a c)2. 16 Wurzelziehen auf beiden Seiten und Umformung ergibt die Bedingung a > 5c. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

47 Aufgabe 5 Die inverse Nachfragefunktion für ein Produkt sei gegeben durch P(Y) = 250 Y, wobei P den Preis und Y das aggregierte Angebot bezeichnet. Das Produkt wird von zwei Cournot Oligopolisten mit Grenzkosten von 100 angeboten. Beide Firmen können eine Summe K in eine Forschungsabteilung investieren, in der eine neue Technologie mit geringeren Grenzkosten entwickelt werden soll. Die Erfolgswahrscheinlichkeit einer solchen Forschung beträgt ρ [0, 1]. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

48 Aufgabe 5 a) Angenommen, der neue Produktionsprozess verursacht Grenzkosten in Höhe von 70. Geben Sie eine Bedingung an K und ρ an, für die 1. Keine Firma in eine Forschungsabteilung investiert, 2. Nur eine Firma eine Forschungsabteilung einrichtet und 3. Beide Firmen eine Forschungsabteilung aufbauen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

49 Aufgabe 5 a) Lösung: Wir berechnen zuerst die Brutto Gewinne (ohne Abzug der Forschungskosten K ) in drei Szenarien. Der Gewinn einer Firma im Cournot Nash Gleichgewicht mit Preis Absatz Funktion p(y) = a by beträgt (a c) 2. 9b Im Cournot GG ohne Forschung gilt daher π i = ( )2 9 = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

50 Aufgabe 5 a) Bei unterschiedlichen Grenzkosten sind die Mengen im Cournot GG gegeben durch y i = a 2c i + c j. 3 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

51 Aufgabe 5 a) Bezüglich der Forschungsergebnisse unterscheiden wir drei Fälle: (a) Keine Firma forscht mit Erfolg. Dann gilt c 1 = c 2 = 100 und π i = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

52 Aufgabe 5 a) (b) Genau eine Firma forscht mit Erfolg, z.b. Firma 1. Dann gilt c 1 = 70 und c 2 = 100. Die resultierenden Mengen sind Der Preis ist y 1 = y 2 = = 70, = 40. p( ) = p(110) = = 140. Die Gewinne sind π 1 = (140 70)70 = 4900, π 2 = ( )40 = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

53 Aufgabe 5 a) (c) Beide Firmen forschen erfolgreich. Dann gilt c 1 = c 2 = 70 und π i = (250 70) 2 /9 = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

54 Aufgabe 5 a) Nun berechnen wir die erwarteten Gewinne der Firmen bei ev. Forschungsaktivitäten. Forscht nur eine Firma, so ist ihr erwarteter Gewinn ρ (1 ρ) 2500 K. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

55 Aufgabe 5 a) Forschen beide Firmen, so ist der erwartete Gewinn pro Firma ρ[(1 ρ) ρ3600] + (1 ρ)[(1 ρ) ρ1600] K. (Der erste Summand bezeichnet den erw. Gewinn bei Erfolg der Fa. 1, der zweite den bei Misserfolg.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

56 Aufgabe 5 a) Damit keine Firma forscht, muss folgende Bedingung erfüllt sein: Gegeben, dass Fa. i nicht forscht, ist es für Fa. j besser, ebenfalls nicht zu forschen, i.e > ρ (1 ρ) 2500 K. Auflösen nach K ergibt die Bedingung K > 2400 ρ. (1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

57 Aufgabe 5 a) Damit genau eine Firma forscht, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Erstens muss Forschung sich für eine Firma lohnen, i.e. das Gegenteil von Bedingung (1) muss gelten: K < 2400ρ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

58 Aufgabe 5 a) Zweitens muss gelten: Gegeben die Tatsache, dass eine Firma forscht, darf es für die andere Firma nicht lohnen, ebenfalls zu forschen: ρ (1 ρ)2500 > ρ[(1 ρ) ρ3600] + (1 ρ)[(1 ρ) ρ1600] K. Auflösen nach K ergibt K > ρ( ρ). (2) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

59 Aufgabe 5 a) Beide Firmen forschen. Daher muss die Umkehrung von Bedingung (2) gelten: K < ρ( ρ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

60 Aufgabe 5 b) Kann es gemessen an Konsumentenrente und Gewinnen eine zu grosse Investition in Forschung und Entwicklung geben? Lösung:Die Konsumentenrente (KR) berechnet sich nach der Formel KR = (250 p)y 2 Die (Brutto ) Wohlfahrt (W) ist die Summe aus KR und den Gewinnen der beiden Firmen (ohne Abzug der Forschungskosten).. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

61 Aufgabe 5 b) (a) Falls keine Firma erfolgreich forscht, gilt p = 150 und Y = 100. Die KR beträgt in diesem Fall KR = 5000 und es gilt W = = (b) Falls genau eine Firma erfolgreich forscht, gilt p = 140, Y = = 110 und KR = Daraus folgt W = = (c) Falls beide Firmen erfolgreich forschen, gilt p = 130, Y = 120 und KR = Dann folgt W = = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

62 Aufgabe 5 b) Bei der erwarteten (Netto ) Wohlfahrt EW = W K unterscheiden wir wieder drei Fälle: (i) Falls keine Firma forscht, ist EW = W = (ii) Falls genau eine Firma forscht, gilt EW = ρ (1 ρ) K. (3) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

63 Aufgabe 5 b) Es würde zuviel geforscht, falls ρ (1 ρ) K < K > 2550ρ. In diesem Fall würde aber sowieso keine Firma forschen, denn lt. Bedingung (1) wird nicht geforscht, wenn K > 2400ρ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

64 Aufgabe 5 b) (iii) Falls beide Firmen forschen, gilt EW = ρ ρ(1 ρ) (1 ρ) K. (4) Es würde zuviel geforscht, falls (3) grösser wäre als (4), i.e. falls K > 2550ρ 700ρ 2. (5) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

65 Aufgabe 5 b) Die Bedingung dafür, dass im GG genau eine Firma forscht, ist (2) K > 2400ρ 400ρ 2. Die rechte Seite von (5) ist grösser als die rechte Seite von (2) falls ρ < 150/1100 = 0, 136. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

66 Aufgabe 5 b) In diesem Fall impliziert Bedingung (5) die Bedingung (2), d.h. wenn es wohlfahrtsmässig optimal ist, dass nur eine Firma forscht, dann wird auch im GG genau eine Firma forschen. In diesem Fall gibt es nicht zuviel Forschung. Wenn dagegen gilt ρ > 0, 136, dann impliziert Bedingung (2) die Bedingung (5). Es kann also sein, dass (5) erfüllt ist, (2) aber nicht. In diesem Fall würde zuviel geforscht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

67 Aufgabe 5 c) Wie ändert sich Ihre Antwort zu Frage 5 a), wenn die Grenzkosten bei der neuen Technologie nur 40 betragen? Lösung: (a) Falls keine Firma erfolgreich forscht, gilt π i = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

68 Aufgabe 5 c) (b) Wenn genau eine Firma erfolgreich forscht, z.b. Firma 1, sind die angebotenen Mengen y 1 = = 90, y 2 = = Der Preis ist p = = 130 und die Gewinne sind π 1 = = 8100, π 2 = = 900. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

69 Aufgabe 5 c) Wenn nur Firma 1 forscht, ist ihr erwarteter Gewinn ρ (1 ρ)2500 K. (6) Der erwartete Gewinn der anderen Firma ist dann ρ900 + (1 ρ)2500. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

70 Aufgabe 5 c) (c) Wenn beide Firmen erfolgreich forschen, sind die Gewinne π i = Wenn beide Firmen forschen, ist der erwartete Gewinn einer Firma ρ[ρ (1 ρ)8100] + (1 ρ)[ρ900 + (1 ρ)2500. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

71 Aufgabe 5 c) Keine Firma forscht, falls 2500 > ρ (1 ρ) 2500 K. Auflösen nach K ergibt K > 5600 ρ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

72 Aufgabe 5 c) Genau eine Firma forscht, falls K < 5600 ρ und ρ900 + (1 ρ)2500 > ρ[ρ (1 ρ)8100] + (1 ρ)[ρ900 + (1 ρ)2500. Auflösen nach K ergibt K < 5600 ρ 1600 ρ 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

73 Aufgabe 5 c) Beide Firmen forschen, falls K > 5600 ρ 1600 ρ 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

74 Aufgabe 6 In einem Markt mit n identischen Firmen, n > 2, gilt die Preis Absatz Funktion p(y) = 72 y. Die Kostenfunktion ist C(y) = 10y. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

75 Aufgabe 6 a) Angenommen, in dem Markt herrsche vollkommene Konkurrenz. Berechnen Sie die gehandelte Menge, den Marktpreis sowie die Gewinne der Firmen! Lösung: Es gilt Gleichheit von Preis und Grenzkosten: 72 y = 10 y = 62. Der Preis ist dann p = 10 und die Gewinne der Firmen sind gleich null. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

76 Aufgabe 6 Für die folgenden Teilaufgaben nehmen Sie an, der Firma 1 gelingt eine Prozessinnovation, die die Grenzkosten der Firma 1 auf c 1 = 8 senkt. Firma 1 erhält auf diese Innovation ein Patent. Die Kosten aller anderen Firmen bleiben unverändert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

77 Aufgabe 6 b) Handelt es sich um eine drastische oder nicht drastische (kleine) Innovation? Lösung: Wir berechnen den Monopolpreis bei Grenzkosten von c = 8. Der Monopolist löst das Problem max(72 y)y 8y. Die B.1.O. ist 72 2y 8 = 0 y M = 32. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

78 Aufgabe 6 b) Der Monopolpreis wäre p M = 40 > 10 und somit höher als die GK der anderen Firmen. Daher ist die Innovation nicht drastisch. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

79 Aufgabe 6 c) Wieviel wird Firma 1 nach der Innovation verkaufen, und zu welchem Preis? Berechnen Sie den Gewinn der Firma 1 sowie die Konsumentenrente. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

80 Aufgabe 6 c) Lösung: Firma 1 setzt den höchstmöglichen Preis, den keine andere Firma unterbieten kann, i.e. p 1 = 10. Die angebotene Menge ist dann y 1 = 62 und der Gewinn der Firma 1 ist Die Konsumentenrente beträgt π 1 = = 124. KR = (72 10)62 2 = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

81 Aufgabe 6 d) Um wieviel würde die Konsumentenrente nach Ablauf der Patentlaufzeit steigen? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

82 Aufgabe 6 d) Lösung: Nach Ende der Laufzeit übernehmen alle Firmen die neue Technologie und produzieren mit GK von 8. Durch vollkommene Konkurrenz resultiert der Preis p = 8 und die Menge y = 64. Die Gewinne der Unternehmen betragen null und die Konsumentenrente ist (72 8)64 = Die bedeutet eine Erhöhung der KR um 126. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

83 Aufgabe 6 e) Angenommen, es gäbe drei Perioden (danach wird der Markt geschlossen). Der Diskontfaktor sei gleich eins. Berechnen Sie die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt (Gewinn der Firma plus Konsumentenrente) für die Patentlaufzeiten von einem Jahr, zwei Jahren und drei Jahren. Welche Patentlaufzeit ist in diesem Modell optimal? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

84 Aufgabe 6 e) Lösung: Bezeichne W T die Wohlfahrt bei einer Laufzeit von T Jahren, T = 1, 2, 3. Dann gilt W 1 = = 6142, W 2 = 2( ) = 6140, W 3 = 3( ) = Demnach ist die optimale Laufzeit T = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

85 Aufgabe 7 Ein Monopolist produziert ein dauerhaftes Gut. Die Preis Absatz Funktion lautet p(y) = 360 y. Die Kosten der Produktion sind gleich null. Wir betrachten zwei Perioden. Der Diskontfaktor sei gleich eins. Angenommen, der Monopolist möchte das Gut in beiden Perioden verkaufen und intertemporale Preisdiskriminierung betreiben. In der ersten Periode verkauft er die Menge y 1 zum Stückpreis p 1 und in der zweiten Periode verkauft er die Menge y 2 zum Stückpreis von p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

86 Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die in Periode 2 angebotene Menge y 2, den Preis p 2 sowie den Gewinn π 2 in Abhängigkeit von y 1. Lösung: t = 2: B.1.O.: max y 2 (360 y 1 y 2 )y y 1 2y 2 = 0 y 2 = 180 y 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

87 Aufgabe 7 a) Der Preis in t = 2 ist p 2 = 360 y y 1 2 = 180 y 1 2. Der Gewinn in t = 2 ist ( π 2 = 180 y ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

88 Aufgabe 7 b) Bestimmen Sie die relevante Preis Absatz Funktion für die erste Periode. Lösung: Für den marginalen Käufer gilt Auflösen nach p 1 ergibt 2(360 y 1 ) p 1 = 360 y 1 p 2. p 1 = y 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

89 Aufgabe 7 c) Bestimmen Sie den Gesamtgewinn des Monopolisten (über beide Perioden). Lösung: t = 1: max y 1 ( y 1 ) ( y y 1 2 ) 2 = 180y y 1. B.1.O.: 540 3y y 1 2 = 0 y 1 = 144. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

90 Aufgabe 7 c) Einsetzen ergibt p1 = = und π1 = Der Gewinn in t = 2 ist Der Gesamtgewinn ist dann (180 72) 2 = π ges = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

91 Aufgabe 7 d) Jetzt nehmen Sie an, der Monopolist vermiete das Gut in jeder Periode. Zeigen Sie, dass er dadurch gegenüber dem Verkauf einen höheren Gesamtgewinn realisieren kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

92 Aufgabe 7 d) Lösung: B.1.O.: max(360 y)y. y 360 2y = 0 y = 180. Dies ist die Menge, die in jeder Periode angeboten wird. Der Preis ist p = 180 und der Gewinn ist π = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

93 Aufgabe 7 d) Der Gesamtgewinn beträgt = Dies ist höher als der Gewinn beim Verkauf. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

94 Aufgabe 8 Firma 1 ist Monopolist in einem Markt und entscheidet über ihre Kapazität k 1. Firma 2 erwägt einen Markteintritt. Falls Firma 2 eintritt, muss auch sie eine Kapazität k 2 installieren. Die Firmen betreiben dann Cournot Wettbewerb, wobei die angebotenen Mengen den Kapazitäten entsprechen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

95 Aufgabe 8 Die Preis Absatz Funktion ist p(k 1, k 2 ) = 120 k 1 k 2. Die Kosten des Aufbaus von Kapazität sind K 1 (k 1 ) = 10k 1 für Firma 1 und K 2 = 20k 2 für Firma 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

96 Aufgabe 8 a) Angenommen, Firma 1 entscheidet zuerst über ihre Kapazität, d.h. sie agiert als Stackelberg Führer. Berechnen Sie die Reaktionsfunktion der Firma 2. Lösung: Firma 2 löst das Problem max k 2 (120 k 1 k 2 )k 2 20k 2. B.1.O.: 120 k 1 2k 2 20 = 0 k 2 = 50 k 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

97 Aufgabe 8 b) Welche Kapazität ˆk 1 müsste Firma 1 installieren, damit Firma 2 nicht in den Markt eintritt, d.h. damit ihre beste Antwort eine Kapazität von null ist? Lösung: Die Abschreckungsmenge ist k 1 = 100. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

98 Aufgabe 8 c) Berechnen Sie die Kapazitäten im Cournot Nash Gleichgewicht. Würde sich die Abschreckung für Firma 1 lohnen? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

99 Aufgabe 8 c) Lösung: Der Gewinn bei Abschreckung beträgt π A 1 = ( ) = Ohne Abschreckung löst Firma 1 das Problem max k 1 (120 k 1 k 2 )k 1 10k 1 = 110k 1 k 2 1 k 1k 2. B.1.O.: 110 2k 1 k 2 = 0; k 1 = 55 k 2 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

100 Aufgabe 8 c) Wir setzen die Reaktionsfunktion der Firma 2 in die der Firma 1 ein: k 1 = 55 1 ( 50 k ) 1 = k k 1 = 30 k 1 = 40. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

101 Aufgabe 8 c) Einsetzen ergigt Der Preis ist dann k 2 = = 30. p(40, 30) = = 50. Die Gewinne sind π 1 = 1600 und π 2 = 900. Abschreckung lohnt daher nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

102 Aufgabe 8 d) Angenommen, Firma 1 installiert die Abschreckungskapazität ˆk 1, aber Firma 2 tritt trotzdem mit einer Kapazität von k 2 = 30 in den Markt ein. Wird Firma 1 in diesem Fall ihre installierte Kapazität voll auslasten? Begründen Sie Ihre Antwort. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

103 Aufgabe 8 d) Lösung: Um Firma 2 abzuschrecken, müsste Firma 1 eine Kapazität von k 1 = 100 installieren. Ihre beste Antwort auf k 2 = 30 ist = 40 < 100. Firma 1 würde ihre Kapazität also nicht ausnutzen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

104 Aufgabe 9 Betrachten Sie ein Patentrennen mit 3 Unternehmen, von denen jedes in der Lage ist, ein neues Produkt zu entwickeln, wenn es ein Forschungslabor einrichtet. Die Kosten des Forschungslabors betragen I. In diesem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit, das Produkt zu entwickeln α = 1/2. Der Wert des neuen Produktes beträgt V, wenn eine Firma erfolgreich ist, V/2 wenn zwei Unternehmen erfolgreich sind, und V/3 wenn alle Firmen erfolgreich sind. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

105 Aufgabe 9 a) Ermitteln Sie die erwarteten Gewinne eines Unternehmens, wenn 1, 2 bzw. alle 3 Unternehmen in ein Forschungslabor investiert haben. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

106 Aufgabe 9 a) Lösung: Wir betrachten exemplarisch den Gewinn der Firma 1. Sei p i die Wahrscheinlichkeit, dass Firma i Erfolg hat, i = 1, 2, 3. Angenommen, nur Firma 1 forscht. Dann ist ihr erwarteter Gewinn Eπ 1 (1, 0, 0) = V 2 I. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

107 Aufgabe 9 a) Forschen die Firmen 1 und 2, ist der Gewinn Eπ 1 (1, 1, 0) = p 1 (1 p 2 )V + p 1 p 2 V 2 I ( = α 2 V + V ) I = V I. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

108 Aufgabe 9 a) Forschen alle drei Firmen, so gilt π 1 (1, 1, 1) = p 1 (1 p 2 )(1 p 3 )V + p 1 p 2 (1 p 1 ) V 2 + p 1(1 p 2 )p 3 V 2 + p 1p 2 p 3 V 3 I [ = α 3 V + V 2 + V 2 + V ] I 3 = V I = 7 24 V I. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

109 Aufgabe 9 b) Angenommen die Kosten des Forschungslabors betragen I = 1. Ermitteln Sie den minimalen Wert V, den das Produkt haben muss, damit jede Firma ein Forschungslabor einrichtet. Lösung: Damit alle Firmen forschen, muss dieser Gewinn positiv sein, d.h V 1 V 24 = 3, Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

110 Aufgabe 9 c) Angenommen, Unternehmen 3 verlässt den Markt und ein ausländischer Investor erwirbt die verbleibenden Firmen 1 und 2. Wie hoch ist der minimale Wert V, damit dieser Investor beide Forschungslabore beibehält, statt eines zu schließen und nur in einem Labor zu forschen? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111

111 Aufgabe 9 c) Lösung: Der erwartete Gewinn bei 2 Forschungslabors ist p 1 (1 p 2 )V + p 1 p 2 V 2 + (1 p 1)p 2 V = α 2 (V + V 2 + V) = V = 5 8 V. und der erwartete Gewinn bei einem Forschungslabor ist V 2. Daher sollte keines der Forschungslabore geschlossen werden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) IÖ Übungsaufgaben: Lösungen 21. Juli / 111