Mathematische Methoden der VWL

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1 Mathematische Methoden der VWL Kapitel 2: Maximierung mit Nebenbedingungen Till Stowasser Klaus Schmidt, 2001 / Till Stowasser, 2014 LMU, Wintersemester 2014/ / 58

2 Syllabus Syllabus 2.1 Das Lagrange-Verfahren 2.2 Quasi-Konkavität 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern 2.4 Der Lagrange-Parameter 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren 2 / 58

3 2.1 Das Lagrange-Verfahren 2.1 Das Lagrange-Verfahren Mit den mathematischen Methoden aus Kapitel 1 ist es lediglich möglich Optimierungsprobleme zu lösen, bei denen die Zielfunktion ein Maximum (oder Minimum) besitzt. Um auch Zielfunktionen behandeln zu können, die über den gesamten Definitionsbereich steigen (oder fallen), müssen wir unser Instrumentarium um Nebenbedingungen (NB) erweitern. In diesem Zusammenhang lernen wir das sogenannte Kuhn-Tucker-Theorem kennen. Vorher beschäftigen wir uns jedoch mit dem weitaus gebräuchlicheren Spezialfall des Kuhn-Tucker-Ansatzes: dem Lagrange-Theorem. 3 / 58

4 2.1 Das Lagrange-Verfahren Der Lagrange-Ansatz kann nur dann angewendet werden, wenn nur eine Nebenbedingung existiert, wenn klar ist, dass diese Nebenbedingung im Optimum binden wird und wenn klar ist, dass alle Entscheidungsvariablen x i im Optimum größer Null sein werden (man sagt auch: die Nicht-Negativitäts-Beschränkunen dürfen nicht binden, siehe Kapitel 2.5). 4 / 58

5 2.1 Das Lagrange-Verfahren Optimierungsproblem in Standardform Wir betrachten folgendes Maximierungsproblem der Form unter der Nebenbedingung max x 1,...,x n z(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) b, wobei g( ) eine Funktion ist und b ein reeller Parameter. Zudem wissen wir vorab, dass die Nebenbedingung im Optimum binden wird: g(x 1,..., x n ) = b, 5 / 58

6 2.1 Das Lagrange-Verfahren Die Lagrange-Funktion (im Standardform-Fall) Die Lagrange-Funktion wird wiefolgt gebildet: L(x 1,..., x n, λ) = z(x 1,..., x n ) λ [g(x 1,..., x n ) b] Die Lagrange-Funktion ist also einfach die ursprüngliche Zielfunktion abzüglich eines Produkts. Dieses Produkt setzt sich zusammen aus dem sogenannten Lagrange-Parameter λ und der Nebenbedingung, die so aufgelöst wurde, dass alle Terme auf der linken Seite stehen und zusammen gleich 0 sind. Um das Maximierungsproblem zu lösen, wird nun die Lagrange-Funktion maximiert: max L(x 1,..., x n, λ) = z(x 1,..., x n ) λ [g(x 1,..., x n ) b] x 1,...,x n 6 / 58

7 2.1 Das Lagrange-Verfahren Nicht standardförmige Optimierungsprobleme Bei Optimierungsproblemen, die sich nicht in der Standardform befinden, muss man die Lagrange-Funktion etwas anpassen: Situation 1: Minimierungsproblem statt Maximierungsproblem Die zu maximierende Lagrange-Funktion wird zu: max x 1,...,x n L(x 1,..., x n, λ) = z(x 1,..., x n ) λ [g(x 1,..., x n ) b] Situation 2: Nebenbedingung der Form g(x 1,..., x n ) b Die zu maximierende Lagrange-Funktion wird zu: max L(x 1,..., x n, λ) = z(x 1,..., x n ) + λ [g(x 1,..., x n ) b] x 1,...,x n Situation 3: Situation 1 + Situation 2 Die zu maximierende Lagrange-Funktion wird zu: max L(x 1,..., x n, λ) = z(x 1,..., x n ) + λ [g(x 1,..., x n ) b] x 1,...,x n 7 / 58

8 2.1 Das Lagrange-Verfahren Das Lagrange-Theorem Zur Vereinfachung der Notation sei x = (x 1,..., x n ). Außerdem bezeichnen wir mit f i die partielle Ableitung einer beliebigen Funktion f (x) nach x i. Theorem (2.1 Lagrange-Theorem) Wenn der Vektor x die Funktion z(x) unter der Nebenbedingung g(x) = b maximiert, und wenn g i (x ) 0 für wenigstens ein i {1,..., n}, dann existiert eine reelle Zahl λ, so dass L i (x, λ ) = 0 i {1,..., n} und L λ (x, λ ) = 0. 8 / 58

9 2.1 Das Lagrange-Verfahren Notwendige Bedingungen für ein Maximum Das Theorem von Lagrange besagt nur, dass die Bedingungen an die ersten Ableitungen der Lagrange-Funktion notwendige Bedingungen für eine Lösung des Maximierungsproblems sind, d.h., jede Lösung muss diese Bedingungen erfüllen. Die Lagrange-Bedingungen werden auch Bedingungen erster Ordnung genannt. Es gibt (n+1) solcher Bedingungen mit (n+1) Unbekannten, nämlich den Werten x 1,..., x n und λ. Wenn dieses Gleichungssystem eine Lösung hat, dann erhält man einen (eventuell auch mehrere) Kandidaten für die Lösung des Maximierungsproblems. Bei diesem Kandidaten kann es sich jedoch auch um ein Minimum oder um ein lokales (statt einem globalen) Maximum handeln. Darum ist das folgende Theorem sehr nützlich. 9 / 58

10 2.1 Das Lagrange-Verfahren Hinreichende Bedingungen für ein Maximum Theorem (2.2 Hinreichende Bedingungen für ein Maximum) Die Lagrange-Bedingungen sind nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für ein eindeutiges Maximum, wenn die Menge, über die maximiert wird, konvex ist und die Zielfunktion z(x) global streng quasikonkav ist. Bei vielen einfachen Optimierungsproblemen ist die Menge, über die maximiert wird, eine Gerade. Eine Gerade ist immer eine konvexe Menge. In diesem Fall gibt es also kein Problem. Bei komplizierteren Optimierungsproblemen muss man überprüfen, ob die NB eine konvexe Menge einschließen. Es bleibt zu klären, wann eine Funktion streng quasikonkav ist. 10 / 58

11 2.2 Quasikonkave Funktionen 2.2 Quasikonkave Funktionen Wir wissen bereits aus Kapitel 1, dass die Bedingungen erster Ordnung die optimale Lösung eindeutig charakterisieren, wenn die Zielfunktion streng konkav ist. Die Forderung nach strenger Konkavität ist jedoch in diesem Fall etwas zu stark. Es genügt, dass die Funktion streng quasikonkav ist. Um sich den subtilen Unterschied zwischen Konkavität und Quasikonkavität klar zu machen, vergleichen wir die jeweiligen Definitionen miteinander. 11 / 58

12 2.2 Quasikonkave Funktionen Definition (1.1 Konkavität) Eine Funktion z(x) : R N R ist (streng) konkav, genau dann wenn für alle k (0, 1) und alle x, x R N gilt: z(kx + (1 k)x ) (>) kz(x ) + (1 k)z(x ) Definition (2.1 Quasikonkavität) Eine Funktion z(x) : R N R ist (streng) quasikonkav genau dann, wenn für alle k (0, 1) und alle x, x R N gilt: z(x ) z(x ) z(kx + (1 k)x ) (>) z(x ) 12 / 58

13 2.2 Quasikonkave Funktionen Eine streng konkave Funktion z(x) 0 x 13 / 58

14 2.2 Quasikonkave Funktionen Eine streng quasikonkave Funktion z(x) 0 x 14 / 58

15 2.2 Quasikonkave Funktionen Es gibt drei Gründe, weswegen Theorem 2.2 vom im Vergleich zur Konkavität schwächeren Konzept der Quasikonkavität ausgeht: 1 Quasikonkavität ist das allgemeinere Konzept von beiden. Das strengere Konkavitäts-Konzept würde viele Funktionen nicht erfassen, für die das Lagrange-Theorem jedoch eine hinreichende Bedingung darstellen würde. Jede konkave Funktion ist auch quasikonkav. Aber nicht jede quasikonkave Funktion ist auch konkav. Beispiel: Glockenkurve ist quasikonkav aber nicht konkav. 2 Die Eigenschaft der Quasikonkavität bleibt bei einer monotonen Transformation der Funktion erhalten (Nutzenfunktionen!). Das gilt nicht für die Eigenschaft der Konkavität. 3 Die oberen Konturmengen (auch Höhenlinien genannt, z.b. Indifferenzkurven, Isogewinnlinien) einer quasikonkaven Funktion sind stets konvex. 15 / 58

16 2.2 Quasikonkave Funktionen Interpretation Hinter der Tatsache, dass jede quasikonkave Funktion konvexe Konturmengen hat, verbirgt sich die Intuition von Theorem 2.2. Wenn sowohl die Menge, über die maximiert wird, als auch die Konturmengen der Zielfunktion konvex sind, wird es nur einen Punkt geben, (nämlich das Optimum), an dem sich die beiden Mengen berühren werden. Aus diesem Grund handelt es sich bei den Lagrange-BEO um hinreichende Bedingungen, wenn die Zielfunktion quasikonkav ist und über eine konvexe Menge maximiert wird. 16 / 58

17 2.2 Quasikonkave Funktionen Exkurs: Konvexe und nichtkonvexe Mengen x 2 0 x 1 17 / 58

18 2.2 Quasikonkave Funktionen Beispiel für nicht-konvexe Nebenbedingungsmenge x 2 0 x 1 18 / 58

19 2.2 Quasikonkave Funktionen Beispiel für nicht-quasikonkave Zielfunktion x 2 0 x 1 19 / 58

20 2.2 Quasikonkave Funktionen Beispiel für konvexe NB-Menge und quasikonkave Zielfunktion x 2 0 x 1 20 / 58

21 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern Modell-Setup Ein Landwirt hat 12 Hektar Land, auf dem er Getreide oder Gemüse anbauen kann. Sei: x 1 Hektar Land für Getreideproduktion x 2 Hektar Land für Gemüseproduktion G 1 (x 1 ) G 2 (x 2 ) Gewinn aus Getreideproduktion, G 1 (x 1 ) = 8x 1 Gewinn aus Gemüseproduktion, G 2 (x 2 ) = 32 x 2 21 / 58

22 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern Optimierungsproblem Sein Gewinnmaximierungsproblem lautet folglich: unter der Nebenbedingung max x 1,x 2 8x x 2 x 1 + x Da der Grenzgewinn aus dem Gemüse- und dem Getreideanbau immer positiv ist, kann es nicht optimal sein, Land brach liegen zu lassen. Also muss im Optimum die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein. 22 / 58

23 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern Das Lagrange-Verfahren 1 Aufstellen der Lagrange-Funktion: L(x 1, x 2, λ) = 8x x 2 λ(x 1 + x 2 12) 2 Partielle Ableitungen bilden und gleich 0 setzen: L x 1 = 8 λ = 0 L x 2 = 16 1 λ = 0 x2 L λ = x 1 x = 0 23 / 58

24 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern 3 Auflösen dieses Gleichungssystems nach den drei Unbekannten x 1, x 2 und λ: λ = 8 Interpretation x 2 = 4 x 1 = 8 Der Landwirt wird den Gemüseanbau solange ausdehnen, bis der Grenzertrag einer Einheit Land beim Gemüseanbau genau so groß ist wie der Grenzertrag einer Einheit Land beim Getreideanbau. Zeigen Sie rechnerisch, dass diese Aussage stimmt. 24 / 58

25 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern 25 / 58

26 2.3 Beispiel: Das Bodenallokationsproblem des Bauern Man kann das auch sofort an den beiden ersten Lagrange-Bedingungen erkennen, wenn man dort jeweils λ auf die rechte Seite bringt und dann beide Gleichungen durcheinander dividiert: 8 16 = G 1 (x 1) x2 G 2 (x 2) = λ λ = 1 Übrigens: Der Lagrange-Parameter λ ist genau so groß wie der Grenzgewinn aus einem zusätzlichen Hektar Land (egal ob in der Getreide- oder Gemüseverwendung). Da dies kein Zufall ist, widmen wir dem Lagrange-Parameter das nächste Unterkapitel. 26 / 58

27 2.4 Der Lagrange-Parameter 2.4 Der Lagrange-Parameter Lagrange-Parameter sind nicht nur ein sehr nützliches mathematisches Hilfsmittel, sie haben auch eine wichtige ökonomische Interpretation: Der Lagrange-Parameter gibt an, um welchen Betrag sich der Wert der Zielfunktion im Optimum ändert, wenn die Nebenbedingung um eine marginale Einheit gelockert wird. Somit gibt der Lagrange-Parameter auch die maximale Zahlungsbereitschaft für eine marginale Ausweitung der Nebenbedingung an. Der letztgenannten Interpretation verdankt der Lagrange-Parameter im Übrigen seinen Namen: Schattenpreis (einer Lockerung der Nebenbedingung). 27 / 58

28 2.4 Der Lagrange-Parameter Beispiele 1 Landwirt maximiert seinen Gewinn unter einer Bodenbeschränkung. λ gibt an, um wieviel der Gewinn des Landwirtes steigen würde, wenn er eine zusätzliche Einheit Boden zur Verfügung hätte. 2 Konsument maximiert seinen Nutzen unter einer Budgetbeschränkung. λ gibt an, um wieviel der Nutzen des Konsumenten steigt, wenn er eine zusätzliche Geldeinheit Budget zur Verfügung hat. 3 Unternehmen minimiert seine Kosten unter der Nebenbedingung, dass es eine bestimmte Menge Output produzieren muss. λ gibt an, um wieviel die Kosten sinken, wenn eine Outputeinheit weniger produziert werden muss. 28 / 58

29 2.4 Der Lagrange-Parameter Beweis Um diese Interpretation des Lagrange-Parameters zu sehen, betrachten Sie das folgende Maximierungsproblem: unter der Nebenbedingung max z(x 1, x 2 ) x 1,x 2 g(x 1, x 2 ) = b Die Lösung dieses Problems hängt von dem Parameter b ab, wobei b die Härte /den Grad der Restriktion der Nebenbedingung anzeigt: x 1 = x 1 (b), x 2 = x 2 (b) Der Wert der Zielfunktion im Optimum sei definiert als: v (b) = z(x 1 (b), x 2 (b)) Da x 1 und x 2 von b abhängen, gilt das offensichtlich auch für v. 29 / 58

30 2.4 Der Lagrange-Parameter Zu zeigen ist nun, dass der Lagrange-Parameter die Veränderung von v (b) misst, wenn sich b marginal verändert. (Das entspricht exakt der oben genannten Definition des Lagrange-Parameters.) Hierfür leiten wir v (b) nach b ab (Kettenregel beachten): v b = z x1 x 1 b + z x2 x 2 b Um zu sehen, dass dieser Ausdruck λ entspricht, müssen wir ihn ein wenig algebraisch massieren. 30 / 58

31 2.4 Der Lagrange-Parameter Die Lagrange-Bedingungen 1. Ordnung verlangen: L 1 (x, λ ) = z x 1 λ g x 1 = 0 z x 1 = λ g x 1 L 2 (x, λ ) = z x 2 λ g x 2 = 0 z x 2 = λ g x 2 Also muss gelten: v b = λ ( g x1 x 1 b + g x ) 2 x 2 b 31 / 58

32 2.4 Der Lagrange-Parameter Zudem muss auch im neuen Optimum die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein: g(x 1 (b), x 2 (b)) = b Wenn wir diese Gleichung nach b differenzieren (Kettenregel beachten), erhalten wir g b = g x1 x 1 b + g x2 x 2 b = 1 Einsetzen in die obige Gleichung ergibt: q.e.d. v b = λ 1 = λ 32 / 58

33 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Zur Erinnerung: Lagrange-Theorem ist nur anwendbar, falls es nur eine Nebenbedingung gibt, die im Optimum bindet die Nicht-Negativitäts-Beschränkungen im Optimum nicht binden Nun lockern wir diese Restriktionen Kuhn-Tucker-Theorem Dieses Kapitel: Nicht-Negativitäts-Beschränkungen dürfen binden Kapitel 2.7: Mehrere Nebenbedingungen, die nicht binden müssen 33 / 58

34 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Was sind eigentlich Nicht-Negativitäts-Beschränkungen (NNB)? NNB besagen, dass die optimalen Lösungen x i keine negativen Werte annehmen dürfen ( Realitätsbezug!). Das bedeutet, dass x i entweder positive Werte (innere Lösung) oder den Wert Null (Randlösung) annehmen muss: x i 0 Man sagt, dass die NNB bindet, falls x i = 0 Man sagt, dass die NNB nicht bindet, falls x i > 0 Man sagt, dass die NNB verletzt ist, falls x i < 0 34 / 58

35 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Achtung: Häufiger Denkfehler! Wir lockern in diesem Kapitel nicht die NNB, so dass die x i nun auch negative Werte annehmen dürfen. Stattdessen erlauben wir nun, dass die x i auch den Wert Null annehmen dürfen. Das Lagrange-Theorem geht implizit davon aus (und ist auch nur in diesem Fall anwendbar), dass alle x i im Optimum positive Werte annehmen. Ist ein (oder mehrere) x i jedoch optimalerweise Null, führt Lagrange nicht zum korrekten Ergebnis. In solchen Situationen muss man das Lagrange-Theorem um NNB erweitern. (Überlegen Sie: in welchen Situationen, könnte es in der Tat optimal sein, wenn (einige) x i = 0 sind?) 35 / 58

36 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Modifiziertes Maximierungsproblem Um Maximierungsprobleme, bei denen NNB zu binden drohen, lösen zu können, muss das Maximierungsproblem wie folgt ergänzt werden: unter den NB und NNB: max x 1,...,x n z(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) b Im Optimum ======= g(x 1,..., x n ) = b x i 0 i {1,..., n} Die zu maximierende Lagrange-Funktion bleibt übrigens unverändert: max L(x 1,..., x n, λ) = z(x 1,..., x n ) λ [g(x 1,..., x n ) b] x 1,...,x n 36 / 58

37 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Modifiziertes Lagrange-Theorem mit NNB Um dieses Maximierungsproblem lösen zu können, kommt folgendes Theorem zur Anwendung: Theorem (2.3 Lagrange-Theorem mit NNB) Wenn der Vektor x die Funktion z(x) unter der Nebenbedingung g(x) = b und x i 0 maximiert, und wenn g i (x ) 0 für wenigstens ein i {1,..., n}, dann existiert eine reelle Zahl λ, so dass für alle i {1,..., n} L i (x, λ ) 0, x i 0, x i L i (x, λ ) = 0, und L λ (x, λ ) = 0 37 / 58

38 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Intuition dieser Modifikationen Identifizieren Sie zunächst die Unterschiede zum gewöhnlichen Lagrange-Theorem 2.1. Was könnte hinter der aufgeweichten Bedingung stehen, dass L i (x, λ ) nun auch kleiner Null sein darf? Der Schlüssel zur Intuition dieses Theorems steckt hinter der Bedingung xi L i (x, λ ) = 0, die auch Complementary Slackness (komplementärer Schlupf) genannt wird Entweder die NNB bindet nicht (xi > 0). In diesem Fall muss die Ableitung der Lagrange-Funktion nach x i gleich 0 sein (Standard-Lagrange-Fall). Oder die NNB bindet (xi = 0). Dann muss die Ableitung der Lagrange-Funktion nicht-positiv (negativ oder null) sein: Der Wert der Zielfunktion verringert sich, wenn man x i von 0 weg erhöht. 38 / 58

39 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Intuition dieser Modifikationen: Grafik L 0 x i 39 / 58

40 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Anwendung des Theorems: Vorgehensweise Man muss wieder Kandidaten für eine Lösung finden, d.h. Vektoren (x 1,..., x n, λ), die die Lagrange-Bedingungen erfüllen. Das ist jetzt allerdings deutlich aufwendiger, weil mehrere Fälle unterschieden werden müssen. Ein bisschen Nachdenken über das zugrunde liegende ökonomische Problem ermöglicht es oft zu ahnen, welche NNB binden werden und welche nicht. 40 / 58

41 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Beispiel: 2 NNB ergeben 4 Lösungskandidaten x 2 0 x 1 41 / 58

42 2.5 Lagrange mit Nicht-Negativitäts-Beschränkungen Bemerkungen 1 Anwendung in der Praxis : Im Grunde genommen müsste man das Lagrange-Theorem immer mit NNB anwenden, wenn man nicht sicher ist, ob diese im Optimum binden werden oder nicht. Da das Theorem mit NNB aber deutlich aufwendiger ist, ignoriert man die NNB in der Regel zunächst und versucht eine Lösung mit dem Standard-Lagrange-Ansatz zu finden. Sollten die NNB im tatsächlichen Optimum nicht binden, hat man Glück gehabt, und der Standard-Lagrange-Ansatz führt zum richtigen Ergebnis. Sollte allerdings mindestens eine der NNB im tatsächlichen Optimum binden, wird Lagrange zu unsinnigen/widersprüchlichen Ergebnissen führen, was signalisiert, dass man eventuell ein NNB-Problem übersehen hat. 2 Theorem 2.2 über hinreichende Bedingungen für eine eindeutige, global optimale Lösung gilt weiterhin. 42 / 58

43 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Modell-Setup Ein Unternehmen habe die Produktionsfunktion f (l, k) = l + 2k, wobei l für Arbeit und k für Kapital steht. Der Preis für eine Arbeitsstunde ist p l = 4, der Preis für Kapital p k = 10. Das Unternehmen möchte einen gegebenen Output von mindestens 20 Einheiten mit minimalen Kosten produzieren. 43 / 58

44 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Optimierungsproblem Das Minimierungsproblem lautet folglich: unter der Nebenbedingung min 4l + 10k l,k l + 2k 20 Im Optimum ======= l + 2k = 20 und den Nicht-Negativitäts-Bedingungen l 0, k 0 44 / 58

45 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Abweichung von Standardform Zur Erinnerung: Das Optimierungsproblem liegt nicht in Standardform vor, weswegen wir die Lagrange-Funktion abwandeln müssen. Hier liegt Situation 3 vor (Minimierungsproblem statt Maximierungsproblem und Restriktion in -Form) Man muss die gesamte Lagrange-Funktion mit -1 multiplizieren und diese dann maximieren. Somit wird aus min{z(x) λ[g(x) b]}... x...folgende Funktion: max{ z(x) λ[b g(x)]} x Oftmals sieht man auch folgende äquivalente Schreibweise: max x { z(x) + λ[g(x) b]} 45 / 58

46 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Naiver Versuch: Standard-Lagrange-Ansatz (NNB ignorieren) Maximiere Langrange-Funktion: max{ 4l 10k + λ[2k + l 20]} l,k Bedingungen erster Ordnung: L l L k L λ = 4 + λ = 0 = λ = 0 = 20 + l + 2k = 0 Auflösen der beiden ersten Gleichungen ergibt: 4 10 = 1 2 Das ist Unsinn! Signal, dass NNB ein Problem darstellen. 46 / 58

47 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Finden des richtigen Lösungs-Kandidaten Wenn wir die NNB mit ins Boot nehmen, gibt es vier Lösungskandidaten, von denen jedoch nur einer alle Lagrange-BEO erfüllt: 1 l > 0 und k > 0 (Standard-Lagrange) 2 l = 0 und k > 0 3 l > 0 und k = 0 4 l = 0 und k = 0 Wir haben bereits gesehen, dass Kandidat 1 keine Lösung ist. Kann Kandidat 4 die korrekte Lösung sein? Nein. Wenn l = k = 0 wäre der Output ebenfalls Null. Das würde die NB verletzen (Output=20) 47 / 58

48 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Kann Kandidat 2 die korrekte Lösung sein? Unter Ausnutzung der Complementary-Slackness-Bedingung ergibt sich folgendes BEO-Gleichungssystem: L l L k L λ = 4 + λ 0 = λ = 0 = 20 + l + 2k = 0 Aus der zweiten Gleichung folgt λ = 5. Einsetzen in die erste Bedingung führt dazu, dass diese dann verletzt ist. Also kann auch Kandidat 2 keine Lösung sein. 48 / 58

49 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion So bleibt nur noch Kandidat 3 über. Unter Ausnutzung der Complementary-Slackness-Bedingung ergibt sich folgendes BEO-Gleichungssystem: L l L k L λ = 4 + λ = 0 = λ 0 = 20 + l + 2k = 0 Aus der ersten Gleichung folgt λ = 4. Das ist kompatibel mit der zweiten Bedingung: 2 0. Einsetzen von k = 0 in die dritte Bedingung ergibt l = 20. Also erfüllt der Vektor (l, k, λ ) = (20, 0, 4) die Bedingungen aus Theorem 2.3. Gleichzeitig sind die Bedingungen aus Theorem 2.2 erfüllt. Also liegt hier ein globales Optimum vor. 49 / 58

50 2.6 Beispiel: Kostenminimierung bei substitutionaler Produktionsfunktion Nachtrag: Ökonomische Intuition führt schneller zum Ziel Mit ein bisschen ökonomischer Intuition hätten wir dieses Ergebnis schneller finden können. Das (konstante) Grenzprodukt des Faktors Kapital ist doppelt so groß wie das (konstante) Grenzprodukt des Faktors Arbeit. Andererseits ist Kapital (konstant) 2,5 mal so teuer wie Arbeit. Also sollte die Produktion nur mit Arbeit erfolgen. 50 / 58

51 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Lagrange Lagrange mit NNB Kuhn-Tucker Nun lockern wir auch noch die zweite Restriktion des Standard-Lagrange-Theorems Mit dem sogenannten Kuhn-Tucker-Theorem können wir auch Optimierungsprobleme mit mehreren NB lösen......und auch herausfinden, welche dieser NB im Optimum binden und welche nicht. Achtung: Die NNB sind ebenfalls Bestandteil des Kuhn-Tucker-Ansatzes! 51 / 58

52 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Beispiele für mehrere Nebenbedingungen x 2 0 x 1 52 / 58

53 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Modifiziertes Maximierungsproblem Wir sind nun in der Lage, komplexe Maximierungsprobleme der folgenden Form zu lösen: unter den NB und NNB: max x 1,...,x n z(x 1,..., x n ) g j (x 1,..., x n ) b j j {1,..., m} x i 0 i {1,..., n} Hierbei bezeichnet j {1,..., m} die Anzahl der NB. Die zu maximierende Lagrange-Funktion erweitert sich um die zusätzlichen NB: max L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = z(x) x 1,...,x n m [λ j [g j (x) b j ]] j=1 53 / 58

54 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Kuhn-Tucker-Theorem Um dieses Maximierungsproblem lösen zu können, kommt folgendes Theorem zur Anwendung: Theorem (2.4 Kuhn-Tucker-Theorem) Wenn x die Funktion z(x) unter den Nebenbedingungen g j (x) b j und x i 0 maximiert, und wenn g i (x ) 0 für wenigstens ein i {1,..., n}, dann existiert ein Vektor aus reellen Zahlen λ = (λ 1,..., λ m ), so dass für alle i {1,..., n} und j {1,..., m} L i (x, λ ) 0, x i 0, x i L i (x, λ ) = 0 und L j (x, λ ) 0, λ j 0, λ j L j (x, λ ) = 0 54 / 58

55 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Intuition dieses Theorems Identifizieren Sie zunächst die Unterschiede zum Theorem 2.3 (Lagrange mit NNB). Was könnte hinter der aufgeweichten Bedingung stehen, dass λ j nun größer oder gleich Null sein darf? Was glauben Sie, welche Restriktion implizit für das Lagrange-Theorem gegolten hat? Der Schlüssel zur Intuition dieses Theorems steckt erneut hinter der Complementary-Slackness-Bedingung für L j und ist analog zu der von L i : λ j L j (x, λ ) = 0. Entweder der Lagrangeparameter λ j ist positiv. In diesem Fall muss L j (x, λ ) = 0 sein, was mathematisch nichts anderes bedeutet, als dass die NB bindet (Standard-Lagrange-Fall): L j (x, λ ) = g j (x ) + b j = 0. Dies ergibt Sinn, da λ j die Zahlungsbereitschaft (ZB) misst, die NB zu lockern. Da die NB bindet, sollte die ZB positiv sein. Oder die NB bindet nicht (L j (x, λ ) > 0). In diesem Fall muss λ j = 0 sein. Auch das ergibt Sinn: Bindet die NB nicht, ist sie ökonomisch irrelevant und es gibt keine positive ZB, sie zu lockern. Die NB kann also (ex-post) ignoriert werden. 55 / 58

56 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Anwendung des Theorems: Vorgehensweise Auch das Vorgehen ist analog zu Lagrange. Aber: Es gibt jetzt noch mehr Fallunterscheidungen. Insbesondere wenn es mehrere Nebenbedingungen in Ungleichheitsform gibt, wird es sehr aufwendig, alle Kandidaten für eine optimale Lösung zu bestimmen. In diesen Fällen ist eine gute ökonomische Intuition sehr wichtig, um zu ahnen, welche NB und NNB binden und welche nicht. In der Praxis wird man diejenigen Nebenbedingungen, von denen man vermutet, dass sie nicht binden, einfach ignorieren. Wenn die gefundene Lösung die weggelassenen Nebenbedingungen erfüllt, ist alles in Ordnung. Wenn nicht, muss man einen neuen Versuch starten. 56 / 58

57 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Beispiel: 2 NNB und 2 NB ergeben 16 Lösungskandidaten Kandidat 1: x 1 > 0, x 2 > 0, λ 1 > 0, λ 2 > 0 (Lagrange) Kandidat 2: x 1 > 0, x 2 > 0, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Kandidat 3: x 1 > 0, x 2 > 0, λ 1 = 0, λ 2 > 0 Kandidat 4: x 1 > 0, x 2 = 0, λ 1 > 0, λ 2 > 0 Kandidat 5: x 1 = 0, x 2 > 0, λ 1 > 0, λ 2 > 0 Kandidat 6: x 1 > 0, x 2 > 0, λ 1 = 0, λ 2 = 0 Kandidat 7: x 1 > 0, x 2 = 0, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Kandidat 8: x 1 = 0, x 2 > 0, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Kandidat 9: x 1 > 0, x 2 = 0, λ 1 = 0, λ 2 > 0 Kandidat 10: x 1 = 0, x 2 > 0, λ 1 = 0, λ 2 > 0 Kandidat 11: x 1 = 0, x 2 = 0, λ 1 > 0, λ 2 > 0 Kandidat 12: x 1 > 0, x 2 = 0, λ 1 = 0, λ 2 = 0 Kandidat 13: x 1 = 0, x 2 > 0, λ 1 = 0, λ 2 = 0 Kandidat 14: x 1 = 0, x 2 = 0, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Kandidat 15: x 1 = 0, x 2 = 0, λ 1 = 0, λ 2 > 0 Kandidat 16: x 1 = 0, x 2 = 0, λ 1 = 0, λ 2 = 0 57 / 58

58 2.7 Das Kuhn-Tucker-Verfahren Hausaufgabe: Verortung der 16 Kandidaten in Grafik x 2 0 x 1 58 / 58