Kap. 4 Differentialrechnung

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1 Kap. 4 Differentialrechnung Zunächst untersuchen wir nur Funktionen mit einer Variablen. Nicht-lineare Funktionen haben keine konstante Steigung. Trotzdem ist diese interessant. Man spricht nicht mehr von der Steigung, sondern von der Steigung in einem Punkt. Sie hilft bei der Kurvendiskussion : Zielgerichtetes, ökonomisches Verhalten lässt sich beschreiben. Effizientes Verhalten optimiert (Gewinn wird maximiert; Kosten minimiert)

2 y y=f(x) f(x 0 +h) f(x 0 ) α h f(x 0 +h) -f(x 0 ) x 0 x 0 +h x Steigung= f(x 0+h) f(x 0 ) =tanα= Gegenkathete h Ankathete Dieser Quotient hängt von der Größe der Verschiebung h ab; d.h. wir können der Funktiony=f(x) nicht global eine Steigung zuordnen.

3 Es ist allerdings möglich, eine lokale Steigung im Punktx 0 anzugeben. Steigung von f im Punktx 0 =lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h Für diesen Grenzwert gibt es in der Literatur viele Bezeichnungen: y ; dy dx ;f (x 0 ); df dx (x 0);f x (x 0 );D x f(x 0 ) In der Physik gibt es zusätzlich auch noch: dy dx = y

4 Test dieser Definition fürf(x)=x 2 y x 0 x 0 +h x f f(x (x 0 ) =lim 0 +h) f(x 0 ) h 0 h (x =lim 0 +h) 2 x 2 0 h 0 h x =lim 2 0+2x 0 h+h 2 x 2 0 h 0 h =lim h 0 (2x 0 +h)=2x 0

5 Übung:f(x)=x 2 +5x a) Berechnen Sie die Steigung mittels Grenzwert! (beliebigex 0 ) b)wie groß ist die Steigung im Punktx 0 =5? Lösung: a)f (x 0 )=2x 0 +5 b)f (5)=15 Folgende Regeln gelten ganz allgemein:

6 1) f(x) =x n f (x) =nx n 1 2) f(x) =ag(x) f (x) =ag (x) 3) f(x) =g(x)+a f (x) =g (x) 4) f(x) =g(x)+h(x) f (x) =g (x)+h (x) 5) f(x) =g(x)h(x) f (x) =g (x)h(x)+g(x)h (x) 6) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) [h(x)] 2 7) f(x) =g(h(x)) f (x) =g (h(x)) h (x) 8) f(x) =e x f (x) =e x 9) f(x) =lnx f (x) = 1 x

7 Übung: y=a x ;y =? y=e [ln(ax )] =e xlna Kettenregel (7) y =e xlna ln(a) =a x lna

8 Existenz der 1. Ableitung: Es gibt nur dann eine Steigung, wenn die Funktion in einem Punkt existiert, dort auch stetig ist (wo sollte sonst die Steigung gemessen werden) und zweifelsfrei bestimmt werden kann. Def.: Die 1. Ableitung existiert, wenn die linksseitige und rechtsseitige Steigung gleich sind. Weiterhin muss die Funktion an der Stellex 0 auch stetig sein.

9 x f r(x) = lim f l (x) = lim f(x+h) f(x) h 0 h f(x h) f(x) h 0 h = lim h 0 f (x)=f r(x)=f l (x) f(x) f(x h) h

10 Bsp.:f(x)= x y Y= x Steigung = -1 Steigung = +1 Es ist keine eindeutige Steigung in Punktx 0 =0 feststellbar. +1=f r(x=0) f l (x=0)= 1 Beobachtung: An Knickstellen ist die 1. Ableitung nicht definiert. 1) Die Funktiony= x ist stetig, aber sie ist nicht differenzierbar. 2) Differenzierbarkeit ist eine stärkere Glattheitsforderung als Stetigkeit.

11 4.1 Berechnung von Extremwerten y Maximum Maximum y=f(x) Minimum Minimum x Die Differentialrechnung erlaubt die Bestimmung relativer Extremwerte (Maxima/Minima). Alle diese Punkte haben eine gemeinsame Eigenschaft: Die Steigung der Funktion f(x) ist bei den Extremwerten stets Null! Kurz:f (x)=0 ist notwendige Bedingung für ein Extremum.

12 Die 2. Ableitungen erlauben es, Maxima von Minima zu unterscheiden. Krümmung positiv positiv Maximum Minimum Krümmung negativ Zusammenfassung: Maximum: f (x) =0 undf (x)<0 Minimum: f (x) =0 undf (x)>0 ( )

13 Das absolute Minimum (oder Maximum) einer Funktion kann man finden, indem man zunächst alle relativen Extremwerte ausrechnet und dann das absolute durch Vergleich ermittelt. (Achtung: Funktion muss hierzu beschränkt sein.) Bem.: Es gibt aber auch Funktionen, die( ) nicht erfüllen, aber trotzdem ein Min / Max haben. f(x)=x 4 Bsp.: f (x)=4x 3 =0 x=0 f (x)=12x 2 ;f (x=0)=0

14 y f(x) = x 4 x Die zweite Ableitung liefert hier keine Hilfestellung. f (x)=0 stellt eine notwendige Bedingung für einen Extremwert einer Funktion dar, d.h. sie ist nicht verzichtbar. Konkavität (Maximum) bzw. Konvexität (Minimum) sind jedoch nur hinreichende Bedingungen für Optima; d.h. es geht auch ohne sie (siehe Bsp. oben).

15 Standardbeispiel für Extremwertbestimmung y= 1 3 x3 2x 2 +3x+1 notwendige Bedingung: y =x 2 4x+3=0 Lösung mit Wurzelformel: x 1,2 = 4 2 ± ( 4 ) =2± 1

16 mögliche Extremwerte: x 1 =2+1=3 x 2 =2 1=1 Überprüfung der Art des Extremums: y =2x 4 y (3) =2>0 Minimum! y (1) = 2<0 Maximum!

17 4.2 Elastizitäten Wenn ein funktionaler Zusammenhang mity=f(x) gegeben ist, dann beschreibt die Steigung y x f (x) eine Proportionalität der absoluten Änderungen( x; y): y f (x) x Eine Proportionalität der relativen Änderungen( x/x; y/y) y y f (x) x x y x wird als Elastititätεder Funktion f an der Stelle x bezeichnet. ε f,x =f (x) x y =f (x) x f(x)

18 Inhaltliche Bedeutung des Begriffes Elastizität: Wird eine Abhängigkeit durchy=f(x) beschrieben, so drücktε f,x aus, um wieviel Prozent sichy verändert, wennxum 1 Prozent steigt. Die Elastizität gibt die Änderungsgeschwindigkeit einer Funktion an.

19 Aufgabe: Berechnen Sie die Elastizitäten folgender Nachfragefunktion: p Preis x Menge, die verkauft wird x=x(p) Die folgenden Typen sind Standardtypen von Nachfragefunktionen.

20 1) x(p)=a p ε mit ε<0 a>0 x p

21 2) x(p)=a e b p mit b<0 a>0 x a p

22 3) x(p)=a+b p mit b<0 a>0 x a _ a b p

23 zu 1: ε x,p =x (p) P x(p) =aεp ε 1 p ap ε =ε<0 Bei dieser Funktion hat der Exponent die Bedeutung der Elastizität dieser Funktion. Beachte: Die Funktion hat eine preisunabhängige Preiselastizität der Nachfrage. Sie ist isoelastisch.

24 zu 2: ε x,p =abe bp p ae bp =bp<0 Hier ist die Elastizität linear im Preis. D.h., bei höherem Preis wird die Elastizität immer kleiner (dabnegativ).

25 zu 3: ε x,p =b p a+bp <0 Die Elastizität fällt ebenfalls mit zunehmendem Preis. dε x,p dp = b a+bp bp [a+bp] 2 = ab [a+bp] 2 <0 Im Intervall p [ 0; 2b] a gilt: 0 ε x,p 1 Für p= a 2b istε x,p= 1. Im Intervall p [ a 2b b] ; a gilt: 1 ε x,p

26 Bedeutung ε x,p <1 ε x,p =1 ε x,p >1 Nachfrage ist unelastisch Grenzfall Nachfrage ist elastisch Elastisch: die Kunden gehen schnell verloren, wenn die Preise steigen. Hier sollten Unternehmen mit Preiserhöhung vorsichtig umgehen. Unelastisch: Kunden lassen sich nicht durch Preiserhöhung abschrecken. Unternehmen werden diese Kunden gerne schröpfen.

27 4.3 Komparative Statik Fragestellung: Wie reagieren Entscheidungen, die jemand trifft auf Änderungen von Rahmendaten? Rahmendaten sind exogene Tatbestände (Parameter). Zunächst ein Beispiel: Eine Firma verkauft ihr Produkt für 10,00 Euro je Stück Ihre Kostenfunktion lautet: K=ax 2 +x mita>0 Wie ändern sich die optimalen Produktionsmengen, wennasteigt?

28 Welches Ziel möchte eine Unternehmung verfolgen? Gewinnmaximierung ist das am häufigsten unterstellte Verhalten. Gewinn=Erlös Kosten G=10x ax 2 x G = 2ax+9=0 x =4,5/a G = 2a<0 Maximum

29 Im Optimum gilt: Preis = Grenzkosten(p=K =2ax+1) Grenzkosten hoch Wenn a steigt Grenzkosten niedrig 10 = p 1 X* für a hoch X* für a niedrig x Die Produktion wird bei Kostensteigerung reduziert. Steigung vonxim Parametera : dx da = 4,5a 2 <0

30 Allgemein gilt: 1. Schritt: Ein Entscheidungsträger maximiert (oder minimiert) eine Zielfunktion gemäß seinen Vorstellungen. Diese ist sowohl von der Entscheidungsvariablenx als auch vom Parameteraabhängig. Z(x,a) max x Notwendige und hinreichende Bedingung für ein Extremum dz dx =0 d 2 z dx 2 { >0 Minimum <0 Maximum

31 2. Schritt: Wie ändert sich die Entscheidung überxmit einer Variation vona? Zunächst gilt: Das optimalex ist von der Höhe des Parametersa abhängig; d.h.x =x(a). Die notwendige Bedingung bildet selbst wieder eine Funktion von x unda;g(x,a)=0. Setzen wir jetztx =x(a) ein, so erhalten wir: g(x(a),a)=0 Da jede Entscheidung überxerfordert, dassg=0 ist (d.h. unabhängig vona), so gilt: Die Steigung vong( ) im Parameteramuss ebenfalls Null sein: dx da = dg/da dg/dx

32 Zurück zum Beispiel: Z(x,a)=10x ax 2 x dz dx =9 2ax=0 g(x,a)=9 2ax dx da = g a g x = 2x 2a = x a mitx=4,5/a dx da = 4,5a 2