Nichtlineare Funktionen einer Variablen

Transkript

1 Kap. 3 Nichtlineare Funktionen einer Variablen Bisher: f :R n R m X 1 X n Y 1 Y m =A X 1 X n Einfache Zuordnung (Matrix mit konstanten Koeffizienten)

2 Jetzt: f :R R X Y =f(x) f darf komplizierte Form haben

3 3.1 Überblick wichtiger Funktionentypen (1) Polynome: Y =a 0 +a 1 x+a 2 x a n x n mita i R (2)Potenzfunktion: Y =ax b mita,b R (3) Exponentialfunktion: Y =ae bx mita,b R e=2, euler Zahl

4 (4) Logarithmusfunktion: Y =alogx (5) Menge der stetigen Funktionen (6) Menge der differenzierbaren Funktionen

5 3.2 Polynome a) Y =a 0 +a 1 x Y a 1 > 0 a 0 X

6 Y a 0 a 1 < 0 X Bem.: Diese Funktionen haben eine Nullstelle und keinen Extremwert (gilt füra 1 0.)

7 b)y =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 Y a 2 >0 X

8 Y a 2 < 0 X

9 Bemerkung: Anzahl der Nullstellen 2 x 1 x 0 x

10 Bemerkung: Anzahl der Extremwerte 1 Maximum 1 Minimum

11 c)y =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 3 > 0 a 3 < 0

12 Nullstellen: Es gibt mindestens 1, höchstens aber 3. 1 x

13 2 x

14 3 x

15 Extremwerte: höchstens 2 Maximum Minimum 0 x

16 d) y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 a 4 > 0 X X X X X X X Bem.: maximal 4 Nullstellen maximal 3 Extrema

17 Allgemein: Mit jeder höheren Potenz tritt eine neue Möglichkeit einer Biegung auf. Polynome mit geradzahlig höchstem Exponenten verschwinden in der Richtung, aus der sie kamen. Polynome mit ungeradzahlig höchstem Exponenten verschwinden in entgegengesetzter Richtung. Der höchste Exponent gibt die maximale Anzahl der Nullstellen an. Der höchste Exponent minus 1 gibt die maximale Anzahl der Extremwerte wieder.

18 Berechnung der Nullstellen a) a 0 +a 1 x=y=0 x= a 0 a 1 b) a 0 +a 1 x+a 2 x 2 =y=0 1. Schritt: Lösung: a 0 + a 1 x+x 2 =0 }{{} a 2 }{{} a 2 :=q :=p x 2 +px+q=0 x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q

19 Fallunterscheidung p 2 4 p 2 4 p 2 4 q>0 2 Lösungen q=0 1 Lösung q<0 keine reelle Lösung Beweis: zur Erinnerung:(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

20 Anwendung auf unser Problem: x 2 +px+q=0 x 2 +2x ( p 2) + ( p 2) 2 ( p 2) 2+q=0 Die ersten drei Terme werden zusammengefasst: ( x+ p 2) 2= ( p 2) 2 q x+ p 2 =± (p 2) 2 q x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q

21 Bem.: Für Polynome 3. und 4. Grades gibt es ebenfalls Lösungsformeln. Ab 5. Grades, so ist bewiesen worden, gibt es keine Lösungsformel. D.h., es kann sie nicht geben.

22 3.3 Potenzfunktionen y=ax b ;a,b R Betrachten wir zuerst nur den Falla>0. Die Wahl der Konstantenberlaubt drei extrem unterschiedliche Formen von Funktionszusammenhängen. a) 0 b 1 y = 1x 1 y = 1x 0,5 = x Bsp.: y = 1x 0,1 y = 1x 0 =1

23 y y = x 1 y = x 0,5 y = 1 1 x

24 b) 1 b y = 1x 1 Bsp.: y = 1x 2 y = 1x 10 y y=x 10 y=x 2 y=x 1 1 x

25 c) 0 b> Bsp.: y=1x 0 =1 y=1x 1 = 1 x y=1x 10 = 1 x 10 y 1 1 Y= 1 x 1 y = 10 x x y=1

26 Bem.: Füra<0 wird nur eine Spiegelung an derx-achse bewirkt. a > 1 dehnt das Bild. a < 1 staucht das Bild.

27 Bem.: Als Definitionsbereich füry=ax b wird zumeist nurx R + (d.h. positive reelle Zahlen) genommen. Begründung: y=ax p q ( ) (p,q ganze Zahlen) p y=a x 1 q y=a( q x) p Nur wennq eine ungerade Zahl ist, existiert auch eine reelle Wurzel, wennx<0.

28 Die Klassey=ax b stellt den Ökonomen ihre Lieblingsfunktionstypen zur Verfügung. 0 < b < 1 : Modellierung von Produktionsfunktionen (abnehmende Grenzerträge) 1 < b < : Modellierung von Kostenfunktionen (steigende Grenzkosten) 0 > b > :Modellierung von Nachfrage- bzw. Preis-Absatzfkt.

29 3.4 Exponentialfunktion allgemein: oder y=ab x y=ae kx Umrechnung: y=ab x =ae ln(bx ) (Diee-Funktion ist die Umkehrung derln-funktion) y=ae [lnb]x =ae kx mit k=lnb =a ( e k) x =ab x mit e k =b

30 Es gibt zwei Fälle: Fall 1 1<b< ; 0<k< y 1 Wachstumsfunktion x

31 Fall 2: 0<b<1 ; <k<0 y 1 1 x Schrumpfungsfunktion

32 3.5 Logarithmusfunktion y=log a x a heißt Basis dieser Logarithmusfunktion Es gibt folgende Abkürzungen: lgx(=logx)=log 10 x lnx=log e x ldx=log 2 x

33 Geometrisch: log-funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion y e x 1 ln x Diagonale 1 x

34 Rechenregeln: log a (a x )=x Wegen der Eigenschaft der Umkehrfunktion gilt: a [log ax] =x log(a b)=loga+logb log ( a b) =loga logb log ( a b) =b loga Weitere Regeln findet man in jeder Formelsammlung.

35 3.6 Stetige Funktionen Diese Funktionenklasse wird nicht durch eine algebraische Form beschrieben, sondern durch eine Eigenschaft charakterisiert. Stetige Funktionen sind Funktionen, deren Graphen sich ohne Absetzen des Stiftes in einem Stück zeichnen lassen. y stetig x

36 y unstetig x 0 x

37 Definition Achtung: Def.: Def.: lim h 0 f(x o +h)=y wird gelesen als: Grenzwert der Funktionswerte, wenn im Definitionsbereich eine Zahlenfolge x o +h mith 0 durchlaufen wird. h 0 meint immer auchh>0. Eine Funktiony=f(x) heißt stetig im Punktx o, wenn gilt: lim h 0 f(x o +h)=lim h 0 f(x o h)=f(x o ) Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

38 Bsp. für eine unstetige Funktion: y ( ] Sprungfunktion x f(x)= { 1 2 fürx (,0] x (0,+ ] Hier: lim h 0 f(0 h)=1 lim h 0 f(0+h)=2

39 -1 )( x f(x)= { 1+x +1 fürx 0 fürx=0 Hier:lim h 0 f(0 h)= 1=lim h 0 f(0+h) f(0)=1

40 Weiteres Beispiel: f(x)= x2 2x+1 x 1 y Loch 1 x f(1)= = 0 0?????

41 Berechnung des linksseitigen Grenzwertes: lim h 0 f(1 h)=lim h 0 (1 h) 2 2(1 h)+1 1 h 1 =lim h 0 h 2 h =lim h 0( h)=0 Berechnung des rechtsseitigen Grenzwertes: lim h 0 f(1+h)=lim h 0 (1+h) 2 2(h+1)+1 1+h 1 =lim h 0 h 2 h =lim h 0h=0

42 Hier ist der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigen (an der Stellex o =1), aber der Funktionswert existiert an dieser Stelle nicht. Die Funktion ist daher unstetig, sie läßt sich allerdings zu einer stetigen Funktion ergänzen. f(x)= { x 2 2x+1 x 1 0 für x 1 x=1