Mathematik im Berufskolleg

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1 Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Merkur M Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen urt Bohner Lehrauftrag Mathematik an der SW Wangen Studium der Mathematik und Phsik an der Universität onstanz Ronald Deusch Lehrauftrag Mathematik am BSZ Bietigheim-Bissingen Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Umschlag: Adrian Schulz Foto: Mall of Berlin Bild reis links: Christian Schwier fotolia.com Bild reis rechts: irill edrinski fotolia.com * * * * * * * * * *. Auflage b MERUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. G, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de; lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 Polnomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) 5.. Die Steigung einer Geraden Die Straße steigt auf 00 m horizontaler Strecke 0 m an. 00 m 0 m 0% Man sagt, die Straße hat eine Steigung von m = 0 00 m ist das Längenverhältnis von vertikaler Strecke zu horizontaler Strecke. Die Abbildung stellt den Verlauf einer Straße im oordinatensstem dar. a) Welche Steigung hat die Straße? Was würde auf dem Verkehrsschild stehen? b) Bestimmen Sie die Geradengleichung.? a) Aus dem Schaubild lässt sich ablesen: Steigungsdreieck Das Verhältnis von -oordinate zur -oordinate eines Geradenpunktes ist konstant. Dieses Verhältnis heißt Steigung der Geraden m. m = = = konstant b) Aus = folgt =, die Gerade hat die Gleichung =. Das Schaubild der linearen Funktion f mit f () = ;, verläuft durch den Ursprung O. ist eine Ursprungsgerade. Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion f mit f () = 0, mithilfe der Steigung. Steigung m = 0, = 5 bedeutet: Man geht vom Ursprung 5 Einheiten nach rechts und anschließend Einheiten nach unten. 5 6

4 6 I Funktionen Ursprungsgerade und Steigung. Winkelhalbierende: =. Winkelhalbierende: = Ursprungsgerade: = m = 0,5 = 0,5 = 0 = = = = Für m > 0 ist eine Gerade steigend, für m < 0 ist eine Gerade fallend. Für m = 0 liegt die Gerade auf der -Achse. ist das Schaubild der linearen Funktion f. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden G. G Durch Ablesen: f () = 0,5 Die Ursprungsgerade wird um nach unten verschoben. Die Steigung bleibt erhalten. Die Geradengleichung lautet also = 0,5. Hinweis: G schneidet die -Achse in S (0 ). b = heißt -Achsenabschnitt. S Steigungsdreieck G Beachten Sie: Die allgemeine Geradengleichung in Hauptform lautet: = m + b Steigung -Achsenabschnitt b Steigungsdreieck

5 Polnomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) 7 Aufgaben Zeichnen Sie eine Gerade durch den Punkt A mit der Steigung m. a) A (0 0), m = b) A (0 ), m =,5 c) A ( ), m = d) A ( 0), m = 0,5 Zeichnen Sie die Geraden g und h in ein geeignetes oordinatensstem ein. a) g: = ; h: = + b) g: = 5 ; h: = Zeichnen Sie die Geraden g: = 95 und h: = für 0 0. Wählen Sie auf der -Achse die Einteilung LE 00. ist das Schaubild der linearen Funktion f mit f () = 5 ;. a) Zeichnen Sie. Verschieben Sie um nach oben. Geben Sie den Funktionsterm an. b) Spiegeln Sie an der -Achse. Geben Sie die Geradengleichung an. 5 Abbildung zeigt drei Geraden. Bestimmen Sie jeweils die zugehörige Geradengleichung. g 8 6 Abb. h Steigungswinkel einer Geraden k f ist das Schaubild der linearen Funktion f mit f () = Unter welchem Winkel schneidet f die -Achse? ;. Aus m = = tan ( ) folgt für den Steigungswinkel tan ( ) = = 6,57 Hinweis: = 5 entspricht der Steigung m =. Beachten Sie: f Unter dem Steigungswinkel einer Geraden g versteht man den Winkel zwischen 0 und 80, den sie mit der -Achse bildet. = (-Achse; g) Aufgaben Gegeben ist die Gerade g durch ihre Gleichung. Geben Sie den Steigungswinkel der Geraden g an. a) g: = + b) g: = 5 c) g: = +

6 8 I Funktionen Steigung aus zwei gegebenen Punkten Eine Gerade g verläuft durch die Punkte S (0 ) und A ( ). Zeichnen Sie die Gerade g. Bestimmen Sie die Steigung von g aus den oordinaten der zwei Geradenpunkte. Wir lesen die Steigung m aus dem Steigungsdreieck ab: m = 0 = Verallgemeinerung Berechnung der Steigung m: Differenz der -Werte: = Differenz der -Werte: 0 = Steigung m: m = = 0 = Steigung der Geraden: m = S (0 ) S ( ) S (0 ) A ( ) 0 A ( ) A ( ) = 0 = Beachten Sie: Für die Steigung m einer Geraden gilt: Differenz der -Werte m = Differenz der -Werte = =. Dabei sind und bzw. und die oordinaten von Geradenpunkten, die frei gewählt werden dürfen. P ( ) P ( ) = = Aufgaben Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B. Berechnen Sie die Steigung von g. a) A ( ), B (5 6) b) A ( ), B ( 7) c) A (0 5), B ( 8 7 ) Für eine lineare Funktion f gilt: f () = und f ( ) = 5. Bestimmen Sie die Steigung der zugehörigen Geraden.

7 9 Funktionen Seite 57 durch Ausklammern und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt e ) = 0 Ausklammern von : = ( ) = 0 Satz vom Nullprodukt: = 0 = 0 en: = 0; = ) = 0 Ausklammern von : ( 9 + 0) = 0 Satz vom Nullprodukt: = = 0 von = 0 ergibt: = 5; = en: = 0; = 5; = Hinweis: = 0 ist doppelte ; = 5 und = sind zwei einfache en. ) 9 ( + ) = 0 Satz vom Nullprodukt anwenden: 9 = 0 ( + ) = 0 en: = 0; = ) = 0 Ausklammern von : ( ) = 0 Satz vom Nullprodukt: = 0 = 0. Wurzel ziehen: = 0 = Eakte en: = 0; = Beachten Sie: Gleichungen der Form a + b + c = 0; a 0 a + b + c = 0; a 0 löst man durch Ausklammern der höchsten gemeinsamen Potenz von und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Aufgaben Lösen Sie die Gleichung. a) 6 = 0 b) 7 = 0 c) 0 = 0 Lösen Sie. a) 0,5 + = 0 b) = 0 c) = d) + = 0 e) 5 = 0 f),5 + = 0 g) ( 8) = 0 h) ( ) = 0 i) ( 5) ( ) = 0 Eva behauptet: Die der Gleichung + 5 = 0 führt auf ( )( ) = 0. Hat Eva Recht? Bestimmen Sie ggf. die en.

8 Polnomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) 95 durch Substitution e ) = 0 Substitution = z ( = z ) z 9 z + 0 = 0 der quadratischen Gleichung in z: z = ; z = 5 Rücksubstitution: z = = = ± z = = 5 = ± 5 en: = ± ; = ± 5 ) = 0 Substitution = z ( = z ) z z = 0 der quadratischen Gleichung in z: z = ; z = Rücksubstitution: z = = = ± z = = Diese Gleichung = hat keine wegen 0. en: = ± Beachten Sie: Gleichungen der Form a + b + c = 0; a, b, c 0 löst man durch Substitution. Die Substitution = z ergibt eine quadratische Gleichung in z. Die Rücksubstitution liefert die gesuchten en in. Aufgaben Lösen Sie die Gleichung. a) = 0 b) + = 0 c) = 0 Lösen Sie. a) = b) + = c) d) 8 = 7 e) 9 ( ) ( + ) = 0 f) g) = 0 h) = 8 i) = 0 9 ( ) ( + ) = 9 ( ) = 0 Geben Sie eine Gleichung mit den drei en = ± und = an. Zeigen Sie: Die Gleichung + = hat keine. 5 Für welchen Wert von a 0 hat die Gleichung 6 ( 6 + a) = 0 die =? Berechnen Sie für diesen Fall die weiteren en. 6 Bestimmen Sie die Anzahl der en von + t = 0 in Abhängigkeit von t.

9 96 Funktionen von Polnomgleichungen Gleichungstp sverfahren mit en lineare Gleichung (a 0) a + b = 0 = 0 = 8 quadratische Gleichung (a 0) a + c = 0 = = 8 = ± 8 a + b = 0 Nullprodukt 8 = 0 ( 8) = 0 = 0; = 8 a + b + c = 0 = b ± b a c a 8 + = 0 = 8 ± 56 Gleichung. Grades (a 0) a + d = 0 = 0 8 = 0 = 8 = 8 a + b + c = 0 von ausklammern 8 = 0 ( ) = 0 = 0 = 0 = 0; = Gleichung. Grades (a 0) a + d = 0 = 0 = = 8 = ± 8 a + b + c = 0 same Potenz von ausklammern Nullprodukt 8 + = 0 ( 8 + ) = 0 = = 0 = 0; = 8 ± 56 a + c + e = 0 = z ( = z ) = 0 z 8 z + 7 = 0 z = 7; z = = ± 7 ; = ±

10 Polnomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) 97 Aufgaben Lösen Sie. a) = 0 b) 9 = 0 c) = 0 Bestimmen Sie alle en. a) + = 0 b) = c) 6 ( )( + ) = 0 Lösen Sie die Gleichungen. a) + 5 = b) 5 ( 0 ) = 9 5 c) 8 ( 0 ) = 0 d) = e) ( ) ( + ) = 0 f) 9 8 ( ) = 0 g) 0,5 = 0 h) + = 0 i) j) = 0 k) 0, = 0,8 l) ( 8 ) = 0 = Für welchen Wert von a hat die Gleichung a = 0 die =? 5 Geben Sie eine mögliche Gleichung an. a) = 0, = und = sind die en einer Gleichung dritten Grades. b) = 0 und = sind die einzigen en einer Gleichung dritten Grades. 6 Geben Sie für die Gleichung ( + 6) = 0 drei verschiedene äquivalente Gleichungen an. 7 Schreiben Sie die Gleichung = in der Form ( )( )( ) = 0 mit geeigneten Zahlen,,. 8 Eine Gleichung. Grades hat die en 0 und ±. Bestimmen Sie zwei mögliche Gleichungen. 9 Ma und Anja führen folgende Umformungen durch. Finden Sie die Fehler und lösen Sie die Gleichung. Ma Anja

11 urvenuntersuchung 9. Etrempunkte Die Funktion f mit f () = beschreibt näherungsweise die wöch entlichen Verkaufszahlen von Rasenmähern. Dabei ist die Zeit in Wochen nach Wiedereröffnung der Geschäftsräume. Untersuchen Sie die Entwicklung der Verkaufszahlen. Das Schaubild von f wird gezeichnet. Die Verkaufszahlen nehmen zu bis zur Woche mit Stück, danach nehmen sie ab bis zur Woche 0 mit verkauften Rasenmähern, um danach wieder zuzunehmen. Erläuterungen Man liest ab: f ist monoton für Im Übergang von wachsend zu fallend liegt ein Hochpunkt, von fallend zu wachsend liegt ein Tiefpunkt H wachsend fallend wachsend < < < 0 > 0 f () > 0 f () < 0 f () > 0 f () = 0 H T f (0) = 0 T Beachten Sie: Ein urvenpunkt P ( f ( ) ) heißt 5 Hochpunkt Tiefpunkt 6, wenn f ( ) der 5 größte kleinste6 Funktionswert für alle aus einer Umgebung von ist. Dieser 5 größte kleinste6 Funktionswert f ( ) heißt relatives (lokales) 5 Maimum Minimum 6. Notwendige Bedingung für (lokale) Etremstellen: f ( ) = 0. Dabei liegt im Innern des Definitionsbereichs. Hochpunkte bzw. Tiefpunkte nennt man Etrempunkte des Schaubildes von f. Der -Wert des Etrempunktes heißt Etremstelle. Nachweis für Etrempunkte (. Möglichkeit): Nachweis mit Vorzeichenwechsel ( VZW von f ()): VZW von f () an der Stelle Hinweis: f () = f () =,75 > 0; f () = 0; f (5) =,5 < 0 = = 0 von von + nach nach + führt auf einen Hochpunkt Tiefpunkt mit f () = und f (0) = H ( ) T (0 )

12 50 III Differenzialrechnung Nachweis mithilfe der zweiten Ableitung von f (. Möglichkeit): 5 H Graph von f 0 Schaubild von f 5 0 T 5 Schaubild von f Graph von f f () ist die Steigung des Schaubildes von f an der Stelle Die Steigung des Graphen von f an der Stelle = = 0 ist negativ ist positiv. Das bedeutet: f () < 0 f (0) > 0 Das Schaubild von f hat dort einen Hochpunkt Tiefpunkt Hinweis: = ist Maimalstelle, = 0 ist Minimalstelle. Berechnung von f () und f (0) Zweite Ableitung von f: f () = 7 Einsetzen der -Werte in f (): f () = < 0 f (0) = > 0 Bestimmung von Etrempunkten Notwendige Bedingung: f () = 0 liefert die Stellen,,... mit waagrechter Tangente. Nachweis für Hochpunkt bzw. Tiefpunkt. Möglichkeit durch Vorzeichen-Untersuchung von f () Hat f () an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von + nach 5, so hat der Graph von f einen von nach +6 5 Hochpunkt H ( f ( )) Tiefpunkt T ( f ( )) 6.. Möglichkeit durch Einsetzen von in f () Ist 5 f ( ) < 0 f ( ) > 06, so hat der Graph von f einen 5 Hochpunkt H ( f ( )) Tiefpunkt T ( f ( )) 6.

13 urvenuntersuchung 5 Gegeben ist die Funktion f mit f () = + ; mit Graph. Berechnen Sie die oordinaten der Hoch- und Tiefpunkte. Ableitungen: f () = + ; f () = + Notwendige Bedingung für Etremstellen: f () = 0 + = 0 Stellen mit waagrechter Tangente: = ; = Nachweis durch Einsetzen der -Werte in f () f () = > 0: f hat in = ein (relatives) Minimum, hat einen Tiefpunkt an der Stelle =. f () = < 0: f hat in = ein (relatives) Maimum, hat einen Hochpunkt an der Stelle =. Mit f () = und f () = 0 erhält man: Tiefpunkt T ( ); Hochpunkt H ( 0) Schaubild : H 5 T Berechnen Sie die Etremstellen von f mit f () = 0,5 + cos () für ]0; [. Welche ist die Minimalstelle? Ableitungen: f () = 0,5 sin (); f () = cos () Notwendige Bedingung für Etremstellen: f () = 0 0,5 sin () = 0 sin () = 0,5 z. B. mithilfe der Tabelle: = 6 ; = 5 6 Nachweis durch Einsetzen der -Werte in f () f ( 6 ) = 0,866 < 0 f hat in = 6 ein (relatives) Maimum. f ( 5 Schaubild von f 6 ) = 0,866 > 0 f hat in = 5 6 ein (relatives) Minimum. = 5 6 ist die Minimalstelle. Maimum Minimum Hinweis: f ( ) ist der absolut kleinste -Wert, f ( ) ist das absolute Minimum auf ]0; [. Das relative Maimum ist auch das absolute Maimum auf ]0; [.

14 Flächeninhaltsberechnung mithilfe der Integralrechnung 9 ist der Graph von f mit f () = e, G ist der Graph von g mit g () = e + ;. und G schließen für eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. Schnittstellen von und G: f () = g () für = 0 Schnittstelle mit VZW: = 0,5 0,5 0,5 ( f () g ()) d = ( f () g ()) d = 0,5 0,5 ( ) d = [ ] 0,5 =,5 ( ) d = 0,5 Inhalt der Fläche: A =,5 + 0,5 =,5 G 5 Der Graph von f mit f () = sin ( );, begrenzt mit der Parallelen zur -Achse durch S (0 ) auf [0; ] eine Fläche mit Inhalt A. Wie groß ist diese Fläche? Die Gerade mit = verläuft durch die Hochpunkte von, sie berührt auf dem Intervall [0; nur in =. Integration von 0 bis : 0 ( sin ( )) d = [ + cos ( ) ] 0 = A = = ist der Graph von f mit f () = sin ( ) ;. Die Abbildung zeigt zwei Flächenstücke. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines der beiden Flächenstücke g Schnittstellen durch Ablesen: = ; = ; = Wegen der Smmetrie von und g zu W ( ) sind die Flächen gleich groß. Fläche zwischen und -Achse: ( sin ( ) ) d = [ 6 cos ( ) ] = 6 < 0 Flächeninhalt: A = 6 Trapezinhalt: A T = + = 5 oder A + A = + = 5 Gesuchte Fläche: A = 5 ( 6 ) = 6 Alternative mit ( f () g ()) d Geradengleichung von g aufstellen ( = + ) A = ( f () g ()) d = 6 A T g

15 0 IV Integralrechnung Beachten Sie : Inhalt der Fläche, die von den urven von f und G von g auf dem Intervall [a; b] umschlossen wird. a) Berechnung der Schnittstellen Bed.: f () = g () f () g () = 0 liefert die Schnittstellen,, b) Integration der Differenzfunktion mit f () g () a ( f () g ()) d b ( f () g ()) d c) Addition der Beträge der Integral werte ergibt den Inhalt der Gesamtfläche. A ges = A + A A A G Hinweis: Nicht über eine Schnittstelle mit Vorzeichenwechsel hinweg integrieren. = a = b Vergleichen Sie die Vorgehensweise: Fläche zwischen der urve von f und der -Achse auf dem Intervall [a; b] a) Berechnung der Nullstellen: Bed.: f () = 0 liefert die Nullstellen,, b) Integration über f ()d A f () d a b f () d c) Addition der Beträge der Integralwerte ergibt den Inhalt der Gesamtfläche. A ges = A + A Hinweis: Nicht über eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hinweg integrieren. = a A = b Aufgaben Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. 5 = = = cos() +

16 Flächeninhaltsberechnung mithilfe der Integralrechnung ist der Graph der Funktion f mit f () = + ;. a) Geben Sie eine Stammfunktion von f an und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von und der -Achse im. Feld eingeschlossen wird. b) schließt mit der Parabel P von g mit g () = ;, zwei Flächenstücke ein. Wie groß ist die Fläche, die den Punkt D ( 0) enthält? Die Funktionen f und g sind durch f () = sin () und g() = cos () gegeben. Jan behauptet: f ( ) ) = g ( ). Stimmt das? Wie groß ist die markierte Fläche? Graph von f Graph von g und G sind die Schaubilder der Funktionen f mit f () = e + und g mit g () =. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. G 5 ist das Schaubild der Funktion f mit f () = ( ) ( ) ;. a) Skizzieren Sie. b) Die Tangente an im Ursprung begrenzt mit eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt. Markieren Sie die Fläche in Ihrer Skizze. 6 Für sind zwei Funktionen f und g gegeben mit f () = ( + ) und g () =. Die zugehörigen Graphen begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt A dieser Fläche. 7 und G sind die Graphen der Funktionen f und g mit f () = + + ; und g () = ;. a) Zeigen Sie: G berührt in = und schneidet in =. b) und G begrenzen im. Quadranten eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 0

17 IV Integralrechnung 8 ist das Schaubild der Funktion f mit f () = ( );. Die Gerade g schneidet die urve in = und =., g und die -Achse schließen im. Feld eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. 9 Gegeben ist f mit f () = e + 0,5 + ; mit Graph. Wie lässt sich der Inhalt A der markierten Fläche bestimmen? Geben Sie A an. Welche Bedeutung hat die Gerade g? Gegen welchen Wert strebt der Flächeninhalt, wenn die rechte Grenze gegen strebt? 8 6 A g 0 ist das Schaubild von f mit f () = sin ( ),. begrenzt mit der -Achse eine Fläche auf dem Intervall [ 0; ] mit Inhalt A. Die Funktion f soll nun auf [ 0; ] durch eine ganzrationale Funktion p zweiten Grades angenähert werden. und die Parabel G von p berühren sich in den gemeinsamen Punkten von mit der -Achse. G begrenzt mit der -Achse eine Fläche mit Inhalt B. Gegeben ist die Funktion f durch f () = + ; und der Graph von g in der Abbildung. Die Graphen von f und g begrenzen für einen See. Der Graph von f bildet modellhaft die nördliche und die zu g gehörende Parabel die südliche Uferbegrenzungslinie. Die -Achse verläuft in West-Ost-Richtung ( LE km). Berechnen Sie die Größe der Seefläche. 0 0 Graph von g Gegeben sind die Schaubilder g und f zweier Funktionen g und f (siehe Abbildung) g g und f begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A. A ist der Flächenanteil von A, der im ersten Quadranten liegt. Geben Sie ein geeignetes Vorgehen zur Bestimmung des Flächeninhaltes von A an. f A