V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen)

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1 V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen) Orts- und zeitabhängige physikalische Größen werden durch "Felder" beschrieben. Beispiel: Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik: Vektor-Analysis: nützlichen Identitäten Ziel der folgenden Abschnitte ist, elementare Rechenoperationen für Felder einzuführen. Beispiel 1: Temperatur im Zimmer Menge aller Punkte im Zimmer = Temperatur am Punkt Beispiel 2: Zeitabhängige Temperatur im Zimmer Zeitinterval = Temperatur am Punkt zur Zeit Beispiel 3: Luftfluss durch Tunnel = Luftgeschwindigkeit am Punt zur Beispiel 4: Ferromagnet Menge aller Vektoren mit Betrag = 1 = 'Magnetisierung' am Punkt zur Zeit

2 Allgemeine mathematische Struktur eines 'Feldes': 'Basismannigfaltigkeit' 'Zielmannigfaltigkeit' 'Skalarfeld' Beispiele: Temperatur, Druck, Dichte 'Vektorfeld' Beispiele: Luftfluss, Magnetfeld, Elektrisches Feld, Gravitationskraftfeld Skalarfeld: (z.b. Höhe eines Gebirges) Vektorfeld: (z.b. Stromfluss im Wassertank) Vektorfeld: (z.b. Stromfluss an Wasseroberfläche) Wie ändern sich Felder als Funktion v.? Wie bildet man Ableitungen von Feldern? C3: Partielle Ableitungen

3 C3 Partielle Ableitungen Betrachte (Skalarfeld) C3.1 Partielle Ableitung: wie ändert sich als Funktion v. nur einer der Variablen,,, wenn die anderen Variablen festgehalten werden? Wie ändert sich als Funktion v. nur einer der Variablen,? Definition: Partielle Ableitung: nur ändert sich, um In Vektornotation: Alternative Notationen: meine Lieblingsnotation eher unüblich Beispiele:

4 C3.2 Mehrfache partielle Ableitungen (rekursive Definition) Gemischte partielle Ableitungen: Beispiel v. Seite C3a: gleich! (falls f stetige Ableitungen bis mindestens zur 2.ten Ordnung besitzt) Satz v. Schwarz: Für hinreichend glatte Funktionen sind part. Ableitungen vertauschbar: V3 Skalare Felder Beispiel: Höhenfeld Kontour-Linien: Dort, wo Konturlinien dicht liegen, ist es "steil". Funktion ändert sich am schnellsten in Richtung senkrecht zu Konturlinien. Gradient: (wird im Folgenden eingeführt)

5 V3.1 Totales Differential Wie ändert sich eine Funktion an einem gegebenen Punkt in eine vorgegebene Richtung? 'totales Differential' liefert die Antwort: Das totale Differential ist eine Maschine, definiert bei, die einen Vektor frisst und als Antwort eine Zahl ausspuckt, nämlich die differenzielle Zunahme v. f in -Richtung. Falls Allgemein gilt: (Begründung: nächste Seite) Beispiel: Höhenfeld Anmerkung: trotz des "d" in der Notation, ist das totale Differential im Allgemeinen nicht infinitessimal klein! Es ist nur dann klein, wenn der Vektor im Argument klein ist: z.b.: falls Noch ein Beispiel: Volumen als Funktion v. Temperatur und Druck: Physikersprech: sei die 'infinitessimale Zunahme' des Volumens wenn der Druck zunimmt um : Gemeint ist: dv ist das totale Differential angewendet auf den infinitessimalen Vektor

6 Begründung für (V3b.3): explizit für : subtrahiere und addiere dieselbe Größe (5) eingesetzt in (2) vernachlässigbar! Analog folgt (V3b.3) V3.2 Gradient Kompaktnotation: (C3a.3) Das totale Differential 'wirkt linear auf seinen Argument-Vektor': (1) und (2) lassen sich kompakt schreiben, wenn wir der Funktion f einen neuen Vektor zuordnen: Def: 'Gradient v. am Punkt : Beispiel: Höhenfeld: Kompaktnotation für (1): für (2): (siehe Fig, Seite V3a!)

7 Geometrische Interpretation des Gradienten-Vektors Skizze in d = 2 Dimensionen, zur Veranschaulichung: (sei ein Einheitsvektor, Richtung beliebig) Steigung in -Richtung zeigt in Richtung maximaler Steigung v. Höhen-, Konturlinien: = konst. maximal falls zeigt in Richtung maximaler Steigung v. 0 falls steht auf den Höhenlinien v. Beispiel: Radiusfunktion Sei mit = radial nach aussen gerichteter Einheitsvektor "logisch": die Funktion wächst in der radial auswärts gerichteten Richtung am schnellsten.

8 3.3 Nabla-Operator Gradient von Definition: 'Nabla-Operator': (Vektor-Differentialoperator, wirkt auf alle Funktionen, die rechts von ihm stehen) Mathematische Struktur: Menge aller hinreichend glatten Funktionen: f hinreichend glatt Beispiel: Regeln für Gradienten- Bildung: (Produktregel)

9 V4 Vektorfelder Vektorfelder haben oft Struktur: quellfrei, wirbelfrei Quellfeld Wirbelfeld Ziel (langfristig): wie lassen sich diese Eigenschaften charakterisieren? V4.1 Gradientenfeld Gegeben sei ein Vektorfeld: Frage: Existiert ein skalares Feld, so dass Wenn ja, heißt ein 'Gradientenfeld'. Beispiel: Sei Gradientenfeld, mit Wichtige Anwendung: Konservative Kraftfelder sind Gradientenfelder! Deswegen ist es wichtig, Kriterien zu finden, klären, wann ein Gradientenfeld ist! Falls (2) gilt: i-komponente v. (2): Somit folgt aus (2): Satz v. Schwarz Aber (4) allein ist noch kein ausreichendes Kriterium...

10 Kann gezeigt werden (viel später in Vorlesung): Ein Vektorfeld ist ein Gradientenfeld falls und falls der Definitionsbereich, U, 'einfach zusammenhängend' ist. 'Zusammenhängendes Gebiet': jede zwei Punkte können verbunden werden durch einen Weg 'Einfach zusammenhängendes Gebiet': jeder geschlossene Weg kann zu einem Punkt zusammengezogen werden. nicht zusammenhängend zusammenhängend einfach zusammenhängend Wir werden zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind: ist ein Gradientenfeld ist wegunabhängig Physikalische Bedeutung: Betrachte Arbeit verrichtet gegen Kraft entlang geschlossenem geschlossener Für Gradientenfeld gilt laut (1): Arbeit entlang geschlossenem Weg = 0 Fazit: ein Gradientenfeld beschreib ein 'konservatives Kraftfeld' (Die Energie, die bei den entgegen die Kraft gerichteten Wegstrecken verloren geht, wird kompensiert durch die Energie, die bei den entlang der Kraft gerichteten Wegstrecken gewonnen wird.)