Institut für Theoretische Physik. Manuskript zu den Vorlesungen. Mathematische Methoden der Physik I und II

Transkript

1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Fakultät für Physik und Astronomie der Ruhr-Universität Bochum Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Institut für Theoretische Physik Manuskript zu den Vorlesungen Mathematische Methoden der Physik I und II basierend auf den Vorlesungen in 26/27 gehalten von H. Fichtner Bochum 27

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3 Mathematische Methoden der Physik I & II 3. Juli 27 Dieses Skript basiert auf den Vorlesungen Mathematische Methoden der Physik I und II aus dem Wintersemester 26/27 und dem Sommersemester 27 an der Ruhr- Universität Bochum, gehalten von PD Dr. Horst Fichtner. Teile der vorliegenden LaTeX- Version wurden erstellt von Florian Bendl, Edin Husidic und Patrick Sturm. Herr Dipl.- Math. Martin Walzer hat eine frühere Version des Manuskripts durchgesehen. Vorbemerkung: Das vorliegende Skript kann (und soll ) kein Lehrbuch ersetzen. Insbesondere ist es (immer noch) nicht so gründlich Korrektur gelesen wie manches Buch. Daher sind wir (weiterhin) dankbar für jeden Hinweis auf Fehler!

4 2 Inhaltsverzeichnis Motivation 4 Vektoren. Motivation von Vektoren Vektoren im R n Rechnen mit Vektoren Abstraktion auf Vektorraum Das Skalarprodukt ( ˆ= inneres Produkt) von Vektoren Das Vektorprodukt ( ˆ= äußeres Produkt) von Vektoren Spatprodukt Komponentendarstellung Differentiation und Integration von Vektoren und Vektorfunktionen Differentiation von Vektorfunktionen Partielle und totale Ableitung Krummlinige Koordinaten I dimensionale orthogonale Koordinatensysteme Datenanalyse und Fehlerrechnung 39 3 Vektoranalysis I 4 3. Der Gradient eines skalaren Feldes Quellenfelder, der Divergenz-Operator Wirbelfelder, der Rotations-Operator Grundprobleme der Mechanik: Anwendungen aus der Newtonschen Mechanik 5 4. Gradientenfelder und Energieerhaltung Der schräge Wurf Das Federpendel Das mathematische Pendel Bewegungsgleichung in Polarkoordinaten Impulssatz und Drehimpulssatz Das Zweiteilchensystem Zentralkraftfelder und Drehimpulserhaltung Matrizen und Tensoren Rechenregeln für Matrizen Quadratische Matrizen und Determinanten Taylor-Entwicklung Eigenwerte und Eigenvektoren Der Trägheitstensor Anwendung von Matrizen: Drehungen, Spiegelungen, etc Transformation von Vektoren Transformation von Matrizen

5 3 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung Systeme linearer Differentialgleichungen. Ordnung Lineare Schwingungen Der harmonische Oszillator Freie Schwingung: f(t) = Erzwungene Schwingungen: f(t) Nichtlineare Dynamik und Chaos 7 9 Vektoranalysis II 8 9. Integrale über Vektorfelder Kurvenintegrale Weg(un)abhängigkeit von Kurvenintegralen Mehrfachintegrale Fluss durch eine Fläche Die Integraldarstellung des Nabla-Operators Die Integralsätze Der Gaußsche Satz Der Stokessche Satz Die Delta-Funktion 3. Elementare Definition der Delta-Funktion Eigenschaften der Delta-Funktion Die dreidimensionale Delta-Funktion

6 4 Motivation (a) Warum Mathematische Methoden der Physik? Traditionelles Problem: (Theoretische) Physik benötigt noch nicht gelernte Mathematik Diese Lücke soll durch die Vorlesung geschlossen werden. Bemerkung: (Theoretische) Physik versucht Grundgleichungen aufzustellen und zu lösen. Zur Lösung gibt es drei prinzipielle Alternativen: exakte Lösung möglich Analytik exakte Lösung möglich, aber zu aufwändig Computeralgebra oder Numerik exakte Lösung nicht möglich Numerik Diese Vorlesung: Analytische Methoden. Für Computeralgebra siehe Physik auf dem Computer. Für Numerik siehe Computational Physics.

7 5 (b) Ein kurzer Überblick über den Vorlesungsinhalt Der Vorlesungsinhalt betrifft die nachfolgenden Punkte (ii) und (iii) der Einteilung: (i) Was Sie bereits wissen sollten. (ii) Was Sie schon wissen könnten, aber (noch) nicht wissen müssen. (iii) Was Sie (wahrscheinlich) noch nicht wissen, aber in der Veranstaltung lernen können. Für Formelbeispiele siehe das Quiz zum Selbsttest auf der Webseite, hier sind nachfolgend lediglich die Themen genannt: (i) Was Sie bereits wissen sollten () Reelle Zahlen (2) Einfache (z.b. quadratische) Gleichungen, Trigonometrie (3) Differentialrechnung (4) Integralrechnung (ii) Was Sie schon wissen könnten, aber (noch) nicht wissen müssen (5) Komplexe Zahlen (6) Vektoren (7) Matrizen (iii) Was Sie (wahrscheinlich) noch nicht wissen, aber in der Veranstaltung lernen können (8) Partielle Ableitungen, totales Differential (9) (Gewöhnliche) Differentialgleichungen () Vektoranalysis

8 6 Ein Quiz zu Beginn Mit diesem Quiz wollen wir Ihnen zu Beginn der Veranstaltung die Möglichkeit geben, eine Bestandsaufnahme zu machen, d.h. heraus zu finden, was Sie bereits wissen und was Sie noch nicht wissen. Gleichzeitig werden Sie erkennen, (A) (B) (C) was wir an Kenntnis voraussetzen, Sie also aus der Schule oder dem Vorkurs schon wissen sollten (Aufgabenblock A), was Sie vielleicht schon wissen, wir allerdings auch behandeln werden (Aufgabenblock B) und was Sie (wahrscheinlich) noch nicht wissen und im Verlaufe der Vorlesung und Übungen lernen können (Aufgabenblock C). Seien Sie beim Bearbeiten des Quiz unbesorgt: es ist kein Test und keine Klausur und dient nur Ihnen selbst wir verfolgen nur die oben genannten Absichten. Falls Sie Fragen haben, wenden Sie sich ruhig an Ihre Lerngruppenleitung. PS: Sie können zwar einen Taschenrechner verwenden sollten den aber eigentlich nicht benötigen. (A) Was Sie bereits wissen sollten: Aufgabe : Zahlen Ja Nein. Ist 3/4 eine rationale Zahl?.2 Ist 2.2 eine rationale Zahl?.3 Ist 2 eine irrationale Zahl?.4 Ist 2.56 eine irrationale Zahl?.5 Was ergibt ?.6 Was ergibt 3.6 dezimal? 5

9 7 Aufgabe 2: Gleichungen, Trigonometrie Ja Nein 2. Was sind die Lösungen von x 2 = 6? 2.2 Was sind die Lösungen von x 2 + 6x = 6? 2.3 Was ist die Lösung von x = 2? 2.4 Was sind die Lösungen von sin x =? 2.5 Ist sin 2 x + cos 2 x = für alle x erfüllt? 2.6 Ist tan π 4 = richtig? Aufgabe 3: Differentialrechnung 3. Wie lautet die. Ableitung von f(x) = 2x 2? 3.2 Wie lautet die. Ableitung von f(x) = 2 x? Wie lautet die. Ableitung von f(x) =? + x Welche Funktion erfüllt f (x) = f(x)? 3.5 Wie lautet die Ableitung von f(x) = cos(x)? 3.6 Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(x)? Aufgabe 4: Integralrechnung Ja Nein 2 4. Was ist die Lösung von x 2 dx? 4.4 Was ist die Lösung von x 2/3 dx? 4.3 Was ist die Lösung des Integrals exp(x) dx? 4.4 Was ist die Lösung des Integrals cos(x) dx? 4.5 Ist tan(x) dx = ln(cos(x)) richtig? 2π 4.6 Ist die Aussage sin(x) dx = π/2 richtig?

10 8 (B) Was Sie schon wissen könnten, aber (noch) nicht müssen ( ): Aufgabe 5: Komplexe Zahlen Ja Nein 5. Ist i =? 5.2 Welchen Betrag hat die komplexe Zahl a = 2 + 3i? 5.3 Ist /a ebenfalls eine komplexe Zahl? 5.4 Es sei b = 2 3i. Wie lautet die konjugiert komplexe Zahl b? 5.5 Was ist das Ergebnis von a b? 5.6 Ist das Ergebnis von exp(2πi) eine komplexe Zahl? Aufgabe 6: Vektoren 6. Was ist das Ergebnis von (, 2, 3) + (2, 4, )? 6.2 Welchen Betrag hat der Vektor v = ( 2, 2)? 6.6 Was ist das Ergebnis von 3 v? 6.4 Was ergibt sich für das Skalarprodukt (, 2, 3) (,, 4)? 6.5 Was ergibt sich für das Vektorprodukt (, 2, 3) (,, 4)? 6.6 Was bedeutet es, wenn a b =? Aufgabe 7: Matrizen Gegeben seien drei Matrizen A, B, C und ein Vektor x A = ; B = ; C = 3 4 und x = 2 7. Was ergibt sich für das Produkt AB? 7.2 Was ergibt sich für das Produkt BA? 7.3 Was ergibt sich für das Produkt A x? 7.4 Was ergibt sich für die Determinante von C?

11 9 (C) Was Sie (wahrscheinlich) noch nicht wissen, aber in der Veranstaltung lernen können ( ): Aufgabe 8: Partielle Ableitung Gegeben seien die beiden Funktionen f(x, y) = x 2 + 2y 3 und g(x (t), x 2 (t)) = 2x (t) x 2 (t) 8. Wie lautet die partielle Ableitung f x? 8.2 Wie lautet hingegen die partielle Ableitung f y? 8.3 Wie lautet die Ableitung dg dt? Aufgabe 9: Gewöhnliche Differentialgleichungen Ja Nein 9. Handelt es sich bei x 2 f (x) + f(x) = um eine Differentialgleichung 2. Ordnung? 9.2 Wie lautet die allgemeine Lösung x(t) der Differentialgleichung ẍ + kx = mit k = const.? 9.3 Wie lautet die Lösung y(x) der Differentialgleichung y = y mit y(4) = 8? x Aufgabe : Vektoranalysis Gegeben seien die Funktion f(x, y) = x 2 + 2y 3 und das dreidimensionale Vektorfeld A(x, y, z) = (x, 2y, 3z).. Wie lautet der Gradient f in kartesischen Koordinaten?.2 Wie lautet die Rotation A in kartesischen Koordinaten?.3 Was ergibt A dov = diva dv? O V V

12 Die meisten von Ihnen werden die Aufgaben in (C) noch nicht beantworten können das ist keine Überraschung! Dieser Aufgabenblock dient nicht dazu, Ihr Wissen zu ergründen, sondern vielmehr dazu, Ihnen zu zeigen, womit wir uns in der Vorlesung und den Übungen zu beschäftigen haben werden. Alles, was Sie in diesem Quiz finden, sollten Sie im Laufe der Zeit beherrschen, denn es wird ausnahmslos für ein erfolgreiches Physikstudium notwendig sein, und zwar spätestens ab dem 2. bzw. 3. Fachsemester. D. h. auch wenn Sie es jetzt noch nicht richtig glauben sollten ( ) die mathematischen Methoden sind für ein erfolgreiches Studium unverzichtbar. Daher schon ein früher Appell: Bemühen Sie sich, sich die mathematischen Methoden frühzeitig anzueignen Sie werden sich dafür später dankbar sein!

13 Vektoren. Motivation von Vektoren Verschiedene physikalische Gegebenheiten erfordern Größen, die nicht allein duch die Angabe eines Wertes bestimmt sind, sondern zusätzlich eine Richtungsangabe erforden. Beispiele : Geschwindigkeit v Kraft F Drehimpuls L Magnetische Flussdichte B Runge-Lenz-Vektor A Isospin I D.h. es existiert die sinnvolle Unterscheidung: Skalare 2 ˆ= Größen, die duch die Angabe eines einzigen Wertes gekennzeichnet sind. (z.b. Masse, Temperatur, Ladung) Vektoren ˆ= Größen, die durch die Angabe mehrerer Werte gekennzeichnet sind (oft: Betrag und Richtung). (z.b. Geschwindigkeit, Kraft, elektrischer Feldvektor) Bemerkung: Wortursprünge: scalae ˆ= lat.: Leiter, Stiege, Treppe vector ˆ= lat.: Träger (vehere ˆ= tragen) Bemerkung: Eine wesentliche Eigenschaft von Skalaren und Vektoren ist ihre Invarianz gegenüber Koordinatentransformationen (s.u.). Die allgemeinere Frage nach Größen, die das leisten, führt auf das Konzept von Tensoren: Skalare sind Tensoren. Stufe und Vektoren sind Tensoren. Stufe. Die mathematische Beschreibung eines Vektors erfolgt oft durch seine Komponenten (aus denen ggf. Betrag und Richtung berechnet werden können). Diese Komponenten beziehen sich auf ein Koordinatensystem (s.u.). Einige der genannten Vektoren sind genauer als Pseudovektoren zu bezeichnen, zu denen wir später kommen 2 Diese müssen von sogenannten Pseudoskalaren unterschieden werden

14 2 Beispiele: (i) Vektoren im R 2 : In einem kartesischen Koordinatensystem im R 2 werden Vektoren als Zahlenpaare dargestellt. (ii) Vektoren im R 2 : In einem kartesischen Koordinatensystem im R 3 werden Vektoren als Zahlentripel dargestellt. Bemerkung: Die in den Beispielen verwendete Schreibweise r = (a, b) bzw. s = (a, b, c) motiviert den Begriff Zeilenvektoren. Oft werden Vektoren auch als Spaltenvektoren geschrieben, d.h.: r = ( ) a b Diese Beispiele motivieren die Definition von: a ; s = b c

15 3.2 Vektoren im R n Definition: Der R n ist die Menge aller (geordneten) n-tupel (x, x 2,..., x n ) mit x i R, i =, 2,..., n, also: R n = {(x,..., x n ) x,..., x n R} mit n N Ein n-tupel (x,..., x n ) im R n heißt Vektor, im Falle von n = spricht man von Skalaren. Die Komponenten eines solchen Vektors sind also Skalare..2. Rechnen mit Vektoren Addition: v + w = (v,..., v n ) + (w,..., w n ) = (v + w,..., v n + w n ) Multiplikation λ: λ v = λ (v,..., v n ) = (λv,..., λv n ) mit Skalar.2.2 Abstraktion auf Vektorraum siehe Mathematikvorlesung. Es ist zweckmäßig verschiedene Vektorprodukte zu definieren. Obwohl die entsprechenden Definitionen weitreichender sind, hilft die Anschauung zum direkten Verständnis..2.3 Das Skalarprodukt ( ˆ= inneres Produkt) von Vektoren Physikalische Motivation: Arbeit W Es greife die Kraft F an einem nur in x -Richtung beweglichen Körper an und bewege denselben um die Strecke s : Es soll gelten: (i) W = Skalar (ii) W =, wenn F s (iii) W = max., wenn F s Damit ist motiviert: W = F s = F s cos α

16 4 Allgemein definiert man: Definition: Das Skalarprodukt (innere Produkt) zweier Vektoren v und w ist die Zahl v w = v w cos α, wobei α = ( v, w) den von v und w eingeschlossenen Winkel bezeichnet. Folgerung: Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors v ist gegeben durch v = v v, denn v v = v v cos o = v 2. Folgerung: Zwei Vektoren v und w stehen senkrecht (man sagt auch orthogonal) zueinander, wenn v w =, denn v w α = 9 cos α =. Folgerung: Der Winkel zwischen zwei Vektoren v und w kann aus cos ( v, w) = cos α = v w v w berechnet werden. Folgerung: Eigenschaften des Skalarproduktes: kommutativ: distributiv: homogen: v w = w v u ( v + w) = u v + u w λ( v w) = (λ v) w = v (λ w) Bemerkung: Für die Arbeit gilt allgemeiner der Ausdruck W = F d s. Auf die Auswertung eines solchen Linienintegrals wird später eingegangen.

17 5.2.4 Das Vektorprodukt ( ˆ= äußeres Produkt) von Vektoren Physikalische Motivation: Drehmoment M Es greife die Kraft F im Punkt P eines Körpers an, der um einen Punkt O drehbar gelagert ist: Es soll gelten: (i) M = Vektor (ii) M =, wenn F r P (iii) M = max., wenn F r P Damit ist motiviert: M = r P F = r P F sin α Allgemein definiert man: Definition: Das Vektorprodukt (äußere Produkt) zweier Vektoren v und w des R 3 ist ein zu v und w orthogonaler Vektor mit dem Betrag v w = v w sin α, wobei α = ( v, w) den von v und w eingeschlossenen Winkel bezeichnet..2.6 Spatprodukt Man kann drei Vektoren u, v, w aus R 3 das folgende Mischprodukt zuordnen: u ( v w) = v ( w u) = w ( u v) Das Resultat ist ein (Pseudo-)Skalar, welcher dem Volumen V des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds oder Spats (= schiefer Quader ) entspricht:

18 6.2.5 Komponentendarstellung Es ist nützlich und oft bequem Vektoren der Länge einzuführen, d.h. so genannte Einheitsvektoren: Es gilt: v = v e + v 2 e 2, denn v = v (, ) + v 2 (, ) = (v, ) + (, v 2 ) = (v, v 2 ) Allgemein gilt (wegen e = e e = ) für paarweise senkrechte Einheitsvektoren in einem kartesischen Koordinatensystem: { } ; i = j e i e j = =: δ, i j ij δ ij heißt Kronecker-Symbol und ist definiert durch: δ ij = Weiterhin gilt im R 3 : {, i = j, i j e i e j = e k i j k zyklische Vertauschung von,2,3 e k i j k nicht zykl. Vertauschung von,2,3 i = j oder j = k oder k = i =: k ε ijk e k ε ijk heißt Levi-Civita-Symbol und ist definiert durch:, i j k zyklische Vertauschung von,2,3 ε ijk =, i j k nicht zykl. Vertauschung von,2,3 i = j oder j = k oder k = i Bemerkung: Es gilt: ε ijk = e i ( e j e k ) (Spatprodukt!) Diese Einheitsvektoren helfen bei der Formulierung der:

19 7 Komponentendarstellung von Skalar- und Vektorprodukt Seien e, e 2, e 3 Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems im R 3 : v = (v, v 2, v 3 ) = v e + v 2 e 2 + v 3 e 3 w = (w, w 2, w 3 ) = w e + w 2 e 2 + w 3 e 3 Dann folgt (mit e i e j = δ ij ) : v w = (v e + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) (w e + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = v w ( e e ) + v w 2 ( e e 2 ) + v w 3 ( e e 3 ) + v 2 w ( e 2 e ) + v 2 w 2 ( e 2 e 2 ) + v 2 w 3 ( e 2 e 3 ) + v 3 w ( e 3 e ) + v 3 w 2 ( e 3 e 2 ) + v 3 w 3 ( e 3 e 3 ) = v w + v 2 w 2 + v 3 w 3 Das motiviert allgemein die Definition: Für das Skalarprodukt von Vektoren im R n gilt: v w = v w v n w n = n v i w i = i= n n δ ij v i w j i= j= Dementsprechend folgt nun für das Vektorprodukt im R 3 v w = (v e + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) (w e + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = v w ( e e ) + v w 2 ( e e 2 ) + v w 3 ( e e 3 ) + v 2 w ( e 2 e ) + v 2 w 2 ( e 2 e 2 ) + v 2 w 3 ( e 2 e 3 ) + v 3 w ( e 3 e ) + v 3 w 2 ( e 3 e 2 ) + v 3 w 3 ( e 3 e 3 ) = (v 2 w 3 v 3 w 2 ) e + (v 3 w v w 3 ) e 2 + (v w 2 v 2 w ) e 3 Also: Definition: Für das Vektorprodukt von Vektoren im R 3 gilt: v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w v w 3, v w 2 v 2 w ) = ɛ ijk v i w j e k = ɛ ijk v i w j e k i j k i,j,k Bemerkung: v w entspricht dem Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms.

20 8.3 Differentiation und Integration von Vektoren und Vektorfunktionen Vorbemerkung bzw. Erinnerung (?!): Ableitung einer Funktion Idee: Berechnung der Steigung einer Funktion an der Stelle x als Grenzwert ( x ) von Sekantensteigungen. Formal gilt: f (x) := df dx = lim x x x = x + x f x = lim f(x + x) f(x ) f(x) f(x ) = lim x x x x x x Bemerkung: Gelegentlich wird auch die Notation f (x) = lim h f(x + h) f(x) h verwendet, wobei h eine Nullfolge ist. Bemerkung: Wenn x hinreichend klein ist, gilt: f (x ) f(x + x) f(x ) x in der Nähe von x. Also ist die Gerade g(x) = f(x ) + f (x )(x x ) durch den Punkt (x, f(x )) in diesem Bereich eine gute Näherung.

21 9.3. Differentiation von Vektorfunktionen Sei r = r(t) = (x (t), x 2 (t), x 3 (t)) z.b. die Bahnkurve eines Körpers: Dann gilt für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t am Ort (x (t), x 2 (t), x 3 (t)): v(t) = r(t) = d r dt = lim r(t) r(t + t) r(t) = lim t t t t = lim t t [x (t + t) x (t), x 2 (t + t) x 2 (t), x 3 (t + t) x 3 (t)] ( dx = dt, dx 2 dt, dx ) 3 = (v (t), v 2 (t), v 3 (t)) dt Entsprechend gilt für die Beschleunigung: a(t) = v(t) = r(t) = d ( ) ( ) d r = d2 r d 2 dt dt dt = x 2 dt, d2 x 2 2 dt, d2 x 3 = (a 2 dt 2 (t), a 2 (t), a 3 (t)) Beispiel: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω r(t) = R cos(ωt) e + R sin(ωt) e 2 = R (cos(ωt), sin(ωt)) ; R, ω = const. Dann gilt: (a) v = r = Rω ( sin(ωt), cos(ωt)) v = Rω = const. ( ) (b) a = v = r = Rω 2 (cos(ωt), sin(ωt)) a = Rω 2 = const. Also: Die Beschleunigung ist nicht Null, obwohl der Geschwindigkeitsbetrag konstant ist.

22 2 Die Ableitung von Vektoren und Vektorfunktionen erfolgt also komponentenweise. Es gelten einige Rechenregeln, wie z.b.: d d v ( v + w) = dt dt + d w dt d d v d w ( v w) = w + v dt dt dt d d v d w ( v w) = w + v dt dt dt (Beweis z.b. durch Rechnung in Komponenten.) Selbstverständlich erfolgt auch die Integration von Vektorfunktionen komponentenweise: ( ) r(t) = v(t) r(t) = v(t)dt = v (t)dt, v 2 (t)dt, v 3 (t)dt Beispiel: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω (s.o.) v(t) = Rω ( sin(ωt), cos(ωt)) ( ) r(t) = v(t)dt = Rω sin(ωt)dt, cos(ωt)dt ( = Rω ω cos(ωt), ) ω sin(ωt) = R (cos(ωt), sin(ωt)) ( )

23 2 Exkurs: Kurvenintegrale (= Linien- oder Wegintegrale, vgl. 9..) Bei der Diskussion des Skalarproduktes (vgl..2.3) haben wir bereits die allgemeine Formel für die Arbeit kennen gelernt: W = F d s Für einfache Fälle können wir diese vektorielle Integration über das Vektorfeld F nun bereits ausführen. Dafür gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten (die wir für den Fall zweidimensionaler kartesischer Koordinaten diskutieren): (i) Einzelne Integrationen bzgl. der jeweiligen Koordinaten: F d s = (F, F 2 ) (dx, dx 2 ) = F dx + F 2 dx 2 (ii) Eine Integration bzgl. eines Parameters, mit dem der Weg parametrisiert ist: s = s(t) ( F d s = F ( s(t)) d s ) ( ds dt = F dt dt + F 2 ) ds 2 dt dt Bemerkung: Die Verallgemeinerung auf drei kartesische Dimensionen ist in beiden Fällen offensichtlich. Die Verallgemeinerung auf krummlinige Koordinaten erfolgt später. Bemerkung: Die Alternative (i) kann auch kurz als Koordinatenmethode bezeichnet werden und (ii) als Methode des parametrisierten Pfades.

24 22 Die Berechnung eines Kurvenintegrals sei mit zwei Beispielen illustriert: Sei F = (F, F 2 ) = (2x, x 2 2) = F e + F 2 e 2 = 2x e + x 2 2 e 2 Beispiel : Integration entlang des Weges s und s 2 Es gilt:. Wegstück: (, ) (a, ) : s = (x, ) d s = (dx, ) 2. Wegstück: (a, ) (a, b) : s 2 = (a, x 2 ) d s 2 = (, dx 2 ) Also: P F d s = (a,) F d s + (a,b) F d s 2 = (a,) (2x, x 2 2) (dx, ) + (a,b) (2x, x 2 2) (, dx 2 ) (,) (a,) (,) (a,) = a b 2x dx + x 2 2dx 2 = a b3 Alternativ gilt mit Integration bzgl. eines Parameters t [, ]: s = (at, ) d s dt s 2 = (, bt) d s 2 dt = (a, ) = (, b) Damit folgt: P F d s = = = { F d s } { dt + F d s } 2 dt dt dt (2x, x 2 2) (a, )dt + [(2at)a + ]dt + (2x, x 2 2) (, b)dt [ + (bt) 2 b]dt = a 2 [ t 2] + b3 [ t 3 /3 ] = a2 + 3 b3

25 23 Beispiel 2: Integration entlang des Weges s 3 Hier gilt: (, ) (a, b) : s 3 = (x, x 2 ) d s 3 = (dx, dx 2 ) Also: P F d s = (a,b) a b (2x, x 2 2) (dx, dx 2 ) = 2x dx + x 2 2dx 2 = a b3 Alternativ: Demnach: P F d s = (,) s(t) = s 3 (t) = (}{{} at, }{{} bt ) ; t [, ] d s 3 = (a, b) dt x (t) x 2 (t) { F d s } 3 dt = dt (2at, b 2 t 2 ) (a, b)dt = (2a 2 t + b 3 t 2 )dt = a b3 Welche Methode besser geeignet ist, hängt vom betrachteten Vektorfeld ab. Z.B. ist für das folgende Kraftfeld (bei gleichem Weg s 3 wie oben) die Koordinatenmethode umständlicher: d s 3 = (dx, dx 2 ) F = (x 2, x ) ; s 3 = (x, x 2 ) = (at, bt) }{{} d s 3 = (a, b) ( ) dt Dann hat man: P F d s = { F d s } 3 dt = dt (bt, at) (a, b)dt = (abt + abt) dt = ab Bei der Integration bzgl. der Koordinaten ergibt sich hingegen ein Problem: P F d s = (a,b) (,) (x 2, x ) (dx, dx 2 ) = a x 2 dx + b x dx 2 Offensichtlich werden die Abhängigkeiten x 2 (x ) und x (x 2 ) entlang des Weges s 3 benötigt. Man erhält sie aus ( ): Damt folgt schließlich: a x 2 dx + x = at ; x 2 = bt x = a b x 2 ; x 2 = b a x b x dx 2 = a b a x dx + b a b x 2 dx 2 = ab 2 + ab 2 = ab

26 24 Bemerkung: Selbstverständlich sind alternative Parametrisierungen möglich. Sei z.b. das Kraftfeld und der Weg entlang s und s 2 wie oben, aber anders parametrisiert: s(t) = { (2at, ) ; t [, /2] (a, 2b[t /2]) ; t [/2, ] Damit findet man: { d s dt = (2a, ) ; t [, /2] (, 2b) ; t [/2, ] P F d s = = /2 { F d s } dt = dt 2(2at)2a dt + /2 { F d s } { dt + F d s } dt dt dt /2 4b 2 [t /2] 2 2b dt = 8a 2 [ 2 t2 ] /2 /2 + 8b 3 [ 3 ( t ) ] 3 = a b3 /2

27 Partielle und totale Ableitung Ziel: Verallgemeinerung der Differential- und Integralrechnung auf mehrere Dimensionen Eine Verallgemeinerung von einfachen (eindimensionalen, D) skalaren Funktion f(x) einer unabhängigen Veränderlichen x ist in zweifacher Weise möglich, nämlich hinsichtlich des Argumentes und des Funktionswertes: D-Funktionswert f 3D-Funktionswert f = (f, f 2, f 3 ) gewöhnliche Fkt. f(x) Vektorfkt. f(x) = (f (x), f 2 (x), f 3 (x)) D-Argument x (z.b. Wasserdruck als (Kurven im Raum, z.b. die Position ( Funktionen ) Fkt. der Tiefe; Strom in eines geworfenen Steins zu jedem Abh. von der Spannung) Zeitpunkt: r(t)) skalare Felder Vektorfelder f( x) = f(x, x 2, x 3 ) f( x) = (f (x, x 2.x 3,..., f 3 (x, x 2, x 3 )) 2D/3D- (z.b. Temperatur in (z.b. Kraft in jedem Punkt im Raum; Argument x jedem Punkt im Raum Strömungsgeschwindigkeit im Ozean ( Felder ) (3D); Höhenangaben (3D); Windgeschwindigkeit auf auf der Landkarte (2D)) Wetterkarte (2D)) Bemerkung: Obwohl eine allgemeinere Betrachtung höherdimenionaler (>3) Räume möglich und nötig ist (siehe Mathematikvorlesung), beschränken wir uns im Folgenden wieder auf den Fall des R 3, der in der physikalischen Praxis ja von herausragender Bedeutung ist. Bemerkung: Hier werden stets kartesische Koordinaten verwendet. Die Verallgemeinerung auf krummlinige Koordinaten erfolgt später. Bemerkung: Man kann selbstverständlich auch Tensoren höherer Stufe als Funktionswerte zulassen und spricht dann allgemeiner von Tensorfeldern. Wie bei gewöhnlichen Funktionen f(x) erfolgt die Untersuchung der Eigenschaften von Vektorfunktionen und Feldern mit Hilfe der Differentialrechnung. Somit stellt sich die Frage: Wie bildet man die Ableitung(en) im höherdimensionalen Fall?

28 26 Es erweist sich als sinnvoll, zwischen der Änderung einer Funktion in Richtung einer der (lokalen) Koordinatenachsen und der gesamten (lokalen) Änderung zu unterscheiden. Dazu definiert man die partiellen Ableitungen einer skalaren Funktion Φ( r) = Φ(x, x 2, x 3 ) als: Φ Φ(x + x, x 2, x 3 ) Φ(x, x 2, x 3 ) = lim x x x Φ Φ(x, x 2 + x 2, x 3 ) Φ(x, x 2, x 3 ) = lim x 2 x 2 x 2 Φ Φ(x, x 2, x 3 + x 3 ) Φ(x, x 2, x 3 ) = lim x 3 x 3 x 3 Das heißt die partiellen Ableitungen werden gebildet in Analogie zum Fall einer Funktion von nur einer unabhängigen Variablen (D-Fall). Beispiel: (a) f(x, x 2, x 3 ) = x 2 + x x 3 f x = 2x ; f x 2 = 3x 2 2 ; f x 3 = (b) g(x, x 2, x 3 ) = x x 2 2x 3 + 2x x 2 sin(x 2 x 3 ) g x = x 2 2x 3 + 2x 2 ; g x 2 = 2x x 2 x 3 + 2x x 3 cos(x 2 x 3 ) ; g x 3 = x x 2 2 x 2 cos(x 2 x 3 ) (c) Φ(x, x 2, x 3 ) = x 2 + x x 2 3 Φ x i = x i x 2 + x x 2 3 Bemerkung: Die partielle Ableitung nach einer unabhängigen Variablen x i einer Funktion f(x, x 2, x 3 ) erfolgt also wie gewohnt, wenn man die anderen unabhängigen Variablen x j, j i als Konstanten behandelt. Bemerkung: Von den partiellen Ableitungen in Richtung der (lokalen) Koordinatenachsen ist die später zu definierende Richtungsableitung zu unterscheiden, die die Änderung in eine beliebig vorgegebene Richtung zu bestimmen erlaubt.

29 27 Im Unterschied zum bekannten D-Fall gibt es nun mehrere 2. partielle Ableitungen, ( Φ ) ( Φ ) ( Φ ) denn man kann ja z. B. oder oder bilden. x x x 2 x x x 2 Beispiel: (a) f(x, x 2, x 3 ) = x 2 + x x 3 ( f ) x x ( f ) x 2 x = 2 f = x 2 = 2 2 f x 2 x = = (b) g(x, x 2, x 3 ) = x x 2 2x 3 + 2x x 2 sin(x 2 x 3 ) 2 f x x 2 = ( f ) x x 2 2 g x 3 x 2 = 2x x 2 cos(x 2 x 3 ) + x 2 x 3 sin(x 2 x 3 ) (c) Φ(x, x 2, x 3 ) = x 2 + x x Φ x 2 i = x 2 j j i x 2 + x x 2 33 Bemerkung: Die Gleichheit der Ableitungen 2 f x i x j = 2 f x j x i ist garantiert, wenn die Funktion f stetige partielle Ableitungen bis zur zweiten Ordnung hat (Satz von Schwarz). Neben der partiellen Ableitung ist auch die totale Ableitung einer Funktion von Interesse. Um die totale Änderung dφ/dt einer Funktion Φ(x, x 2, x 3 ) in Abhängigkeit einer Variablen t zu bestimmen, benötigt man die Kettenregel, die analog zum D-Fall: im 3D-Fall wie folgt ausgeführt wird: f = f(x(t)) df dt = df dx dx dt Φ = Φ(x (t), x 2 (t), x 3 (t)) dφ dt = Φ dx x dt + Φ dx 2 x 2 dt + Φ dx 3 x 3 dt

30 28 Das ergibt sich mit x i (t + t) x i (t) = x i aus: dφ dt { Φ(x (t + t), x 2 (t + t), x 3 (t + t)) Φ(x (t), x 2 (t), x 3 (t)) } = lim t t Addition einer geschickten Null { = lim Φ(x + x, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) Φ(x (t), x 2 (t), x 3 (t)) t t Φ(x, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) + Φ(x, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) } Φ(x, x 2, x 3 + x 3 ) + Φ(x, x 2, x 3 + x 3 ) = lim t { Φ(x + x, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) Φ(x, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) x + Φ(x, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) Φ(x, x 2, x 3 + x 3 ) ( x2 ) x 2 t + Φ(x, x 2, x 3 + x 3 ) Φ(x, x 2, x 3 ) ( x3 )} x 3 t ( x ) t = Φ x dx dt + Φ x 2 dx 2 dt + Φ x 3 dx 3 dt = 3 i= Φ dx i x i dt Beispiel: Φ(x (t), x 2 (t), x 3 (t)) = x 2 + x x 2 3 mit x = t; x 2 = sin(t); x 3 = exp(t) dφ dt = + + = t x 2 + x x 2 }{{} 3 dx }{{} dt Φ x sin(t) x 2 + x x 2 3 } {{ } Φ x 2 cos(t) }{{} dx 2 dt exp(t) exp(t) x 2 + x x 2 }{{} 3 }{{} dx 3 dt Φ x 3 t + sin(t) cos(t) + exp(2t) t2 + sin 2 (t) + exp(2t)

31 29 Das Ergebnis für die verallgemeinerte Kettenregel legt die Definition der totalen Ableitung einer Funktion an einem Ort r = (x, x 2, x 3 ) nahe: dφ = Φ x dx + Φ x 2 dx 2 + Φ x 3 dx 3 Die Größe dφ heißt totales Differential der Funktion Φ am Ort r = (x, x 2, x 3 ). Die totale Ableitung von Φ nach einer Variablen t lautet also: dφ dt = Φ dx x dt + Φ dx 2 x 2 dt + Φ dx 3 x 3 dt Beispiel: Φ( r) = Φ(x, x 2, x 3 ) = 3 dφ = i= x i x 2 + x x 2 3 dx i = x 2 + x x 2 3 = r r 3 i= x i r dx i Bemerkung: Zur sinnvollen Bildung der totalen Ableitung bzw. des totalen Differentials muss vorausgesetzt werden, dass die Funktion und ihre partiellen Ableitungen stetig sind. Die bisherigen Betrachtungen können direkt auf Vektorfelder übertragen werden, in dem man die partiellen Ableitungen komponentenweise bildet: A = d A A(x + x, x 2, x 3 ) = lim ( A(x, x 2, x 3 ) A =, A 2, A ) 3 x dx x x x x x x2,x 3 =const. Die Ableitungen nach anderen Koordinaten erfolgen analog. Beispiel: A( r) = B r ; B = const. ; r = (x, x 2, x 3 ) = (B 2 x 3 B 3 x 2, B 3 x B x 3, B x 2 B 2 x ) A x = (, B 3, B 2 ) ; A x 2 = ( B 3,, B ) ; A x 3 = (B 2, B, ) ( A ) = ( B 3,, B ) = (,, ) x x 2 x

32 3.4 Krummlinige Koordinaten I (A) Motivation zur Definition verschiedener Koordinatensysteme Oft ist es sinnvoll und zweckmäßig Koordinatensysteme zu verwenden, die sich an die Geometrie und/oder Symmetrie eines physikalischen Problems anpassen (z.b. Polarkoordinaten für die Kreisbewegung). Dadurch lassen sich oft die mathematischen Schwierigkeiten eines Problems reduzieren und physikalische Sachverhalte klarer erkennen. In der Praxis sind von besonderer Bedeutung orthogonale Koordinatensysteme, d.h. solche, bei denen die so genannten Basisvektoren (also die Koordinateneinheitsvektoren) paarweise senkrecht zueinander sind. Im Folgenden einige Beispiele. Bemerkung: Für die formale Definition von Koordinatensystemen im Zusammenhang mit linearen Abbildungen und dem Begriff des Vektorraums siehe die Mathematikvorlesung(en). Bemerkung: Wir behandeln zunächst 2D Koordinatensysteme. Die Verallgemeinerung auf 3D Koordinatensysteme ist problemlos, weil in völliger Analogie zum 2D-Fall.

33 dimensionale orthogonale Koordinatensysteme (a) Kartesische Koordinaten (x, x 2 ): Es gilt: () r = x e + x 2 e 2 = (x, x 2 ) (2) Die Koordinatenlinien sind orthogonale Geraden. (b) Ebene Polarkoordinaten (r, ϕ): Es gilt: () r = r e r = r e r (2) Die Koordinatenlinien sind konzentrische Kreise und radiale Geraden. Bemerkung: Zusammenhang der ebenen Polarkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten: x = r cos ϕ x 2 = r sin ϕ r = r cos ϕ e + r sin ϕ e 2 = r(cos ϕ e + sin ϕ e 2 )! = r e r e r = cos ϕ e + sin ϕ e 2 e ϕ = sin ϕ e + cos ϕ e 2,, so dass e r e ϕ =

34 32 (B) Bewegungen in nicht-raumfesten Koordinatensystemen Im Unterschied zum kartesischen Koordinatensystem ist die Richtung der (Basis-)Einheitsvektoren krummliniger Koordinatensysteme im Allgemeinen ortsabhängig. Bei der Beschreibung von Bewegungen führt das dazu, dass nicht nur die Koordinaten eines Körpers, sondern auch die Einheitsvektoren von der Zeit abhängig sind. Beispiel: Kreisbewegung mit Periode T ( ω = 2π/T ) e, e 2 sind raumfest und zeitunabhängig e r, e ϕ sind nicht raumfest und zeitabhängig x (t) und x 2 (t) ϕ(t) und r = R = const. (a) Im kartesischen Koordinatensystem gilt: r(t) = x (t) e + x 2 (t) e 2 = R cos(ωt) e + R sin(ωt) e 2 v(t) = d dt r(t) = r(t) = ẋ (t) e + ẋ 2 (t) e 2 ; v = ẋ 2 + ẋ 2 2 = Rω Es werden zwei zeitabhängige Funktionen x (t), x 2 (t) benötigt. (b) Im ebenen Polarkoordinatensystem gilt: R = const r(t) = R e r = R e r (t) e r = cos(ωt) e + sin(ωt) e 2.4. v(t) = r(t) = R e r = Rω[ sin(ωt) e + cos(ωt) e 2 = Rω e ϕ Man erkennt somit unmittelbar Betrag und Konstanz der Geschwindigkeit sowie ihre Richtung.

35 33 (C) Berechnung der Basisvektoren eines Koordinatensystems ( ˆ=.4.4) Wie zuvor bemerkt (siehe.4.), gelingt die Konstruktion der Basis(einheits)vektoren oft anschaulich, wie am Beispiel von ebenen Polarkoordinaten demonstriert sei: e r := r r = r r = r (r cos ϕ e + r sin ϕ e 2 ) = cos ϕ e + sin ϕ e 2 e r e ϕ = e ϕ = sin ϕ e + cos ϕ e 2 (Vorzeichen wegen Orientierung) Diese Berechnung kann systematischer erfolgen: In kartesischen Koordinaten (im R 3 ) gilt: u = totales Differential, siehe.3.2 e i -Richtung 3 3 u 3 u i e i d u = du i = u u Änderung in i= i u i= i e i du i = }{{} = i= 3 e i du i i= e i = u u i in kartesischen Koordinaten. Bemerkung: Wenn u = (u, u 2, u 3 ) gilt, z.b. Andere Ableitungen analog. u u = (,, ) = e. In krummlinigen Koordinaten gilt: u = ( ) u 3 u i e ui d u = i= 3 i= u u i du i = 3 u u i e i du i }{{} i.a. i= e i = u i u u i Basiseinheitsvektoren eines Koordinatensystems Bemerkung: Zu bilden sind also die partiellen Ableitungen eines Vektors nach seinen Komponenten im gewünschten Koordinatensystem.

36 34 Nun können wir obige Formel am Beispiel ebener r = x e + x 2 e 2 = r cos ϕ e + r sin ϕ e 2 Polarkoordinaten illustrieren: r r = cos ϕ e + sin ϕ e 2 r ϕ = r sin ϕ e + r cos ϕ e 2 r = r r = r ϕ Die Basisvektoren ergeben sich dann als: ( r ) e r = r r r ( r ) ϕ e ϕ = r ϕ = cos ϕ e + sin ϕ e 2 = sin ϕ e + cos ϕ e 2 Man erhält also systematisch die bereits oben angegebenen Ergebnisse.

37 35 (D) Geschwindigkeit und Beschleunigung in speziellen Koordinatensystemen Wichtige Anwendungen der Differentiation von Vektoren (insbesondere auch in krummlinigen Koordinatensystemen) sind die Berechnung von Geschwindigkeit v = r und Beschleunigung a = v = r aus der Bahn r(t) eines Körpers. Das sei hier wieder am Basiseinheitsvektoren: Beispiel ebener Polarkoordinaten illustriert: Differenzieren liefert dann: e r = cos ϕ e + sin ϕ e 2 e ϕ = sin ϕ e + cos ϕ e 2 e r = ϕ( sin ϕ e + cos ϕ e 2 ) = ϕ e ϕ e ϕ = ϕ( cos ϕ e sin ϕ e 2 ) = ϕ e r Damit folgt mit für die Geschwindigkeit: r = r e r und für die Beschleunigung: Basiseinheitsvektor zeitabhängig: Produktregel v = r = ṙ e r + r e r = ṙ e r + r ϕ e ϕ a = v Produktregel = r e r + ṙ e r + ṙ ϕ e ϕ + r ϕ e ϕ + r ϕ e ϕ = r e r + ṙ ϕ e ϕ + ṙ ϕ e ϕ + r ϕ e ϕ r ϕ 2 e r = ( r r ϕ 2 ) e r + (2ṙ ϕ + r ϕ) e ϕ

38 36 Völlig analog zum 2D-Fall definiert man } dimensionale orthogonale Koordinatensysteme (a) Kartesische Koordinaten (x, x 2, x 3 ): Es gilt: () r = x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 = (x, x 2, x 3 ) (2) Die Koordinatenflächen sind orthogonale Ebenen. Bemerkung: Im Unterschied zu krummlinigen Koordinatensystemen sind hier alle drei Basisvektoren unabhängig vom Ort (wie im 2D-Fall), was die Verwendung 3D kartesischer Koordinaten besonders einfach macht. (b) Sphärische Polarkoordinaten ˆ= Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ): Es gilt: () r = r e r (2) Die Koordinatenflächen sind Ebenen und konzentrische Kugeloberflächen. Bemerkung: Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten: x = r sin ϑ cos ϕ x 2 = r sin ϑ sin ϕ und x 3 = r cos ϑ ϑ = arccos (x 3 /r) ϕ = arctan (x 2 /x ) r = x 2 + x x 2 3

39 37 (c) Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z): Es gilt: () r = ρ e ρ + z e z (2) Die Koordinatenflächen sind Ebenen und koachsiale Zylindermäntel. Bemerkung: Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten: x = ρ cos ϕ x 2 = ρ sin ϕ und x 3 = z ρ = x 2 + x 2 2 ϕ = arctan (x 2 /x ) z = x 3

40 38 (E) Anwendungsbeispiel für krummlinige Koordinaten: Fadenpendel Für die Beschreibung des auch als mathematisches Pendel bezeichneten Fadenpendels sind ebene Polarkoordinaten sehr hilfreich: Es wirke auf die (Punkt-)Masse m an einem (masselosen) Faden der Länge l die Gravitationskraft F G und die Fadenkraft F F : F G = F G,r e r + F G,ϕ e ϕ = mg cos ϕ e r mg sin ϕ e ϕ F F = F F,r e r Mit der Newtonschen Bewegungsgleichung (Physik I!?) folgt: (D) m r = F gesamt = F G + F F m [ ( r r ϕ 2 ) e r + (2ṙ ϕ + r ϕ) e ϕ ] = mg cos ϕ er mg sin ϕ e ϕ F F,r e r Da die Pendellänge r = l = const ṙ = und r = : ml ϕ 2 e r + ml ϕ e ϕ = mg cos ϕ e r mg sin ϕ e ϕ F F,r e r { (I) ( ml ϕ 2 mg cos ϕ + F F,r ) e r = ; (II) (ml ϕ + mg sin ϕ) e ϕ = ; (I) F F,r = mg cos ϕ + ml ϕ 2 Radialkomp. der Grav.-Kraft + Zentrifugalkraft (II) ml ϕ + mg sin ϕ = Differentialgleichung mit schwieriger Lösung Aber: (i.a. Elliptische Integrale) Bei kleinen Auslenkungen ϕ sin ϕ ϕ gilt: (II) ml ϕ + mgϕ > ϕ + g ϕ = = Schwingungsgleichung l Lösung: ϕ(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) ; ω = g l ; A, B = const wobei hier die Konstanten A und B durch die Anfangsbedingungen festzulegen sind (siehe unten).

41 39 2 Datenanalyse und Fehlerrechnung siehe Grundpraktikum siehe Physik I-Vorlesung siehe Tutorium

42 4 3 Vektoranalysis I Motivation: Die Untersuchung von (skalaren und vektoriellen) Feldern (die wir in Kapitel definiert haben) erfolgt hier zunächst in kartesischen Koordinaten. Die systematische Erweiterung auf allgemeinere krummlinige Koordinaten erfolgt in Kapitel Der Gradient eines skalaren Feldes (A) Die Richtungsableitung Um eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen sinnvoll untersuchen zu können, benötigen wir über die partielle(n) und totale Ableitung(en) hinaus noch die Änderung einer Funktion in eine beliebige Richtung, also eine so genannte Richtungsableitung: Sei eine Richtung mit einem Einheitsvektor n vorgegeben und eine Änderung r = r n ( n i = x i / r ) betrachtet. Dann gilt: ( Φ ) lim r r ( Φ( r + r) Φ( r) ) = lim r r { Φ x = lim r x r + Φ x 2 x 2 r + Φ x } 3 x 3 r = 3 i= Skalarprodukt = ( Φ x i ) n i ( Φ x, Φ x 2, Φ ) n x 3 Die Änderung der Funktion Φ( r) in eine beliebige Richtung n ist also gleich dem Skalarprodukt des aus den partiellen Ableitungen gebildeten Vektors und dem Einheitsvektor in die betrachtete Richtung. Der Vektor ( Φ x, heißt Gradient des skalaren Feldes. Φ x 2, Φ ) grad Φ x 3 Bemerkung: Der Vektor grad Φ( r) gibt die Richtung der größten Änderung von Φ( r) am Ort r = (x, x 2, x 3 ) an. Der Betrag des Gradienten ist ein Maß für die Änderung. Bemerkung: Jedem Punkt r = (x, x 2, x 3 ) wird ein Vektor grad Φ( r) zugeordnet, das heißt die Menge aller dieser Vektoren bildet ein Vektorfeld, nämlich das so genannte Gradientenfeld.

43 4 (B) Der Nabla-Operator Zur Vereinfachung (auch wenn s zunächst nicht so erscheinen mag!) der Notation wird der Nabla-Operator eingeführt: kart. Koord. ( : =, x x 2, ) = e + e 2 + e 3 x 3 x x 2 x 3 Der Nabla-Operator ist ein vektorieller Differentialoperator, der eine kompakte und übersichtliche Schreibweise erlaubt. Für den Gradienten eines skalaren Feldes Φ gilt z.b.: ( ) Φ Φ Φ grad Φ =,, = Φ x x 2 x 3 Bemerkung: Die obige Darstellung des Nabla-Operators gilt nur in kartesischen Koordinaten. Mit Hilfe des Nabla-Operators lässt sich ein weiterer Differentialoperator definieren, nämlich der (skalare) Laplace-Operator: kart. Koord. = 3 = i= x i = x i x 2 x 2 2 x 2 3 = 3 2 x 2 i= i Beispiel: Φ( r) = r = r = x 2 + x x 2 3 Φ( r) = r r 3 Φ( r) = ( Φ( r)) = 3 i= 2 Φ x 2 i = 3 r 2 3 r 2 r 5 = Bemerkung: Beide Differentialoperatoren sind z.b. für eine kompakte Formulierung der Elektrodynamik unverzichtbar. Bemerkung: Mit den Transformationsformeln zwischen kartesischen Koordinaten und z.b. sphärischen Polarkoordinaten aus Kapitel ist es (nach länglicher Rechnung) möglich, die Form des Nabla-Operators in letzteren herzuleiten: ( ) ( ) ( ) = e r + e ϑ + e ϕ r r ϑ r sin ϑ ϕ

44 Quellenfelder, der Divergenz-Operator Wie oben bemerkt, werden Strömungen oft über ihre Geschwindigkeitsfelder beschrieben. Es ist mit vektoranalytischen Methoden leicht möglich, auch so genannte Quellen und Senken ( ˆ= negative Quellen) zu beschreiben. Dazu folgende Überlegung: Betrachtet sei eine Materieströmung (Luft, Wasser) mit Teilchenzahldichte n( r) und Strömungsgeschwindigkeit u( r) = (u ( r), u 2 ( r), u 3 ( r)). Dann ist A( r) = n( r) u( r) die Flussbzw. Stromdichte. Für ein kleines Volumen V gilt: Nehmen wir weiter für die x - Richtung an: N + Teilchen fließen pro t in V hinein. N Teilchen fließen pro t aus V heraus. Dann gilt: f(x) f(x ) + f (x )(x x ), siehe.3 ( N + = A x x ) { F t A (x ) A x 2 x 2 ( N = A x + x ) { F t A (x ) + A x 2 x 2 } F t } F t ( N = N + N A ) x lim V, t ( ( N/ V ) ) = t ( n t ( A ) x F t = x ) A = A x V t Analog erhält man für die anderen zwei Dimensionen: ( n ) = A 2 ; t A 2 x 2 ( n ) = A 3 t A 3 x 3

45 43 Insgesamt also: ( n ) = n { t A t = A + A 2 + A } 3 = x x 2 x A =: div A 3 Die vektoranalytische Operation kart. Koord. A = div A = A + A 2 + A 3 x x 2 x 3 heißt Divergenz des Vektorfeldes A. Falls div A( r) =, sagt man, das Feld A( r) ist in r quellenfrei. Bei div A( r) > (< ) hat das Feld in r eine Quelle (Senke). Bemerkung: Die oben hergeleitete Gleichung Beispiel: n t + div A = n t + A = heißt Kontinuitätsgleichung und ist eine der Grundgleichungen der Hydrodynamik. Sie wird in analoger Form auch in der Elektrodynamik für die Ladungsdichte und in der Quantenmechanik für die Wahrscheinlichkeitsdichte verwendet. (a) A( r) = r = (x, x 2, x 3 ) A( r) = A x + A 2 x 2 + A 3 x 3 = 3 (b) A( r) = ar = (a r, a 2 r, a 3 r) ; r = A( r) x = a r + a x 2 2 r + a x 3 3 r x 2 + x x 2 3 = a r r Bemerkung: Die obige Darstellung des Divergenz-Operators gilt nur in kartesischen Koordinaten. Bemerkung: Im Unterschied zum Gradienten, der einem skalaren Feld ein Vektorfeld zuordnet, ordnet die Divergenz einem Vektorfeld ein skalares Feld zu.

46 Wirbelfelder, der Rotations-Operator Nachdem wir gesehen haben, dass der Nabla-Operator in nützlicher Weise skalar auf ein Vektorfeld angewendet werden kann, liegt die Vermutung nahe, dass Ähnliches auch für seine vektorielle Anwendung gilt, d.h. also für das Vektorprodukt A - und es zeigt sich, dass dem auch so ist. Die vektoranalytische Operation kart. Koord. A = rot A ( A3 = A 2, x 2 x 3 A x 3 A 3 x, A 2 A ) x x 2 heißt Rotation des Vektorfeldes A. Offenbar erhält man auf diese Weise ein weiteres Vektorfeld, welches nachfolgend als B bezeichnet ist. Um die Bedeutung der Rotation zu veranschaulichen, betrachten wir die explizite Darstellung dieses Vektorfeldes in kartesischen Koordinaten und verwenden dazu die Notation mit dem Levi-Civita-Symbol (siehe.2.5): Also explizit: B i = A = 3 j,k= ɛ ijk A k x j B = A 3 x 2 A 2 x 3 ; B 2 = A x 3 A 3 x ; B 3 = A 2 x A x 2 bzw.: ( A3 B = A ) ( 2 A e + A ) ( 3 A2 e 2 + A ) e 3 x 2 x 3 x 3 x x x 2 Die Nützlichkeit der Rotation wird deutlich, wenn man nun die Divergenz von B berechnet: B = B + B 2 + B 3 x x 2 x 3 = ( A3 A ) 2 + ( A A ) 3 + ( A2 A ) = x x 2 x 3 x 2 x 3 x x 3 x x 2 Offenkundig ist also jedes Vektorfeld der Form A quellenfrei. Ein solches Feld, dessen Divergenz für alle r verschwindet, heißt Wirbelfeld. Bemerkung: Wegen grad Φ = Φ ( Φ =, Φ, Φ ) sind Gradientenfelder stets x x 2 x 3 wirbelfrei, da Φ = (nachrechnen!).

47 45 Beispiel: (a) A( r) = r = (x, x 2, x 3 ) A( r) = (,, ), da x i x j = δ ij (b) A( r) = ar = (a r, a 2 r, a 3 r) A( r) ( a3 x 2 = r r a = r a 2x 3 r, a x 3 a 3x r r, a 2x r a ) x 2 r Bemerkung: Die obige Darstellung des Rotations-Operators gilt nur in kartesischen Koordinaten. Bemerkung: Die Rotation ordnet einem Vektorfeld ein Vektorfeld zu. Insgesamt gilt demnach für die eingeführten Differentialoperatoren schematisch:

48 46 Exkurs: Taylorentwicklung Es ist oft hilfreich ein Feld lokal zu nähern, um dann mit vereinfachten Termen oder Ausdrücken arbeiten zu können. Für eine solche Näherung bietet sich eine Taylorentwicklung an. Wir motivieren zunächst noch einmal den Normalfall einer Funktion einer unabhängigen Veränderlichen (für eine exakte Herleitung siehe die Mathematik-Vorlesung): Aus der Definition der Ableitung (Differentialquotient) folgt: f (x ) = df dx Es gilt also x = lim x Verbesserung der Näherung: f(x + x) f(x ) x x = x + x lim x x f(x) f(x ) x x f(x) f(x ) + f (x )(x x ) f(x) f(x ) + f (x )(x x ) + 2 f (x )(x x ) 2 Allgemeiner gilt die Taylor-Entwicklung: wobei n= x x f(x) f(x ) x x f(x) = f(x ) + f (x ) (x x ) + f (x ) (x x ) ! 2! f (n) (x ) m = (x x ) n f (n) (x ) = (x x ) n + R m (x) n! n! R m (x) = f (m+) (x + η(x x )) (x x ) m+, η und lim (m + )! R m(x) = m Bemerkung: Eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion f(x) lässt sich also für alle x aus ihren Ableitungen an einer Stelle x berechnen. Bemerkung: Zumeist reicht für praktische Anwendungen eine Entwicklung bis zur ersten oder zweiten Ordnung (Ableitung) aus. n=

49 47 Beispiel: (a) f(x) = exp(x) f (n) (x) = exp(x) f (n) (x = ) = x n exp(x) = ( Entwicklung um x = ) n! n= (b) f(x) = + x f (x) = f (x) = ( + x) 3/2 4 x = + x + 2 x 8 x2 2 + x = ( + x) /2 2 (c) f(x) = x 2 + 3x 4 f (x) = 2x + 3 f (x) = 2 f (n 3) (x) = Sei wieder x = : f() = 4 ; f () = 3 ; f () = 2 f(x) = 4 + 3x + 2 2! x2 = x 2 + 3x 4 Also: Polynome werden vollständig reproduziert Um diese Taylor-Entwicklung auf den Fall von Feldern zu übertragen, bedient man sich eines Tricks : Sei r = r + r und ein Koordinatensystem mit Einheitsvektoren ( e, e 2, e 3) so gewählt, dass eine seiner Achsen in Richtung von r zeigt, also r = x e gelte, dann gilt für ein skalares Feld Φ( r): Φ( r) = Φ( r ) + dφ ( x! r ) + d 2 Φ ( x 2! r ) dx Überlegung: Transformation auf diejenigen Koordinaten, in denen das Feld Φ(x, x 2, x 3 ) gegeben ist: x i = x i(x, x 2, x 3 ) x j = x j (x, x 2, x 3) Damit gilt: dφ = Φ dx + Φ dx 2 + Φ dx 3 3 Φ dx j = dx x dx x 2 dx x 3 dx x j dx Damit folgt: Φ( r) = Φ( r ) +! + 2! dx 2 j= 3 ( Φ ) ( dxj ) ( x x j dx ) r } {{} x j 3 ( 2 Φ ) ( dxk dx ) j ( x x k x j dx dx ) r } {{} x k x j j= k,j=

50 48 Da weiterhin gilt: x j = 3 i= x 2 = x 3 = x j x x i i = dx j ( x dx ) folgt: Φ( r) = Φ( r ) +! 3 ( ) Φ j= x j r x j + 2! 3 k,j= ( 2 Φ x k x j ) r x k x j +... Damit ist die gesuchte Taylorentwicklung eines skalaren Feldes gefunden. Eine geschlossene Form, die eine sehr kompakte Darstellung ermöglicht, ergibt sich wie folgt. Obiges Ergebnis lässt sich zunächst schreiben als: [{ 3 Φ( r) = Φ( r ) + ( ) } { 3 } ( x j Φ] ) 2 x j Φ +...! x j 2! x j r j= r + Unter Ausnutzung einer anderen Schreibweise mit exp{x} = Φ( r) = = = j= n= [ ] { 3 ( )} nφ x j n! x n= j= j [ ] { r n! } nφ n= r [ { exp r } ] Φ r r n! xn ergibt sich: also eine sehr elegante und kurze Form der obigen Taylorentwicklung.

51 49 Beispiel: Φ( r) = a r Φ( ) = a = a analog: Φ = x j ( Φ x j ) k,j= ; r = r = r ( 3 ) /2 (a i x i ) 2 a j x j = x j ( a r) 2 3 i= = a j a 3 3 ( Φ ) x j = x j j= 3 ( 2 Φ ) x k x j = r2 3( a r)2 + x k x j a3 a 5 3 j= a j x j a 3 = a r a 3 Φ( r) = a { a r + a 2 2 r 2 a + 3 ( a r) 2 } a 4 was dann für a r eine gute Näherung darstellt. Alternativ mit Nabla-Notation : ( r ) { = r a r a r a r } 2 { = r a r...} 2 { ( a = r a r 2 a r )} = r a a 3 r = r = a r a 3

52 5 4 Grundprobleme der Mechanik: Anwendungen aus der Newtonschen Mechanik Die Newtonsche Mechanik beruht auf den so genannten Newton-Axiomen (siehe z.b. Physik I-Vorlesung). Alle bisher vorgestellten mathematischen Methoden werden zu deren Formulierung und Anwendung benötigt. Im Folgenden sind einige Anwendungen aufgeführt und zwei davon vertieft. 4. Gradientenfelder und Energieerhaltung Es sei ein Kraftfeld F ( r) als Gradient eines skalaren Feldes V ( r) gegeben: F ( r) = V ( r). Die Funktion V ( r) heißt Potential und kann als potentielle Energie interpretiert werden. Betrachtet man die Summe aus letzterer und der kinetischen Energie mv 2 /2 = m v 2 /2 = m r 2 /2, so findet man (für den Fall zeitunabhängiger Masse m): E = E kin + E pot = 2 m r 2 + V ( r) de dt m = const. = Ė = m r r + dv dt Kettenregel = m r r + V ( r) d r dt F = V = m r r F r 2. Newton-Axiom: F = m r = (m r F ) r = Es folgt also, dass die Gesamtenergie (in Inertialsystemen) erhalten ist: E = 2 m r 2 + V ( r) = const. Bemerkung: Mit Hilfe der Energierhaltung gelingt in einigen Fällen die Lösung mechanischer Problemstellungen, ohne dass eine Differentialgleichung ( ˆ= Newtonsche Bewegungsgleichung) gelöst werden muss. 4.. Der schräge Wurf siehe Kapitel zu Differentialgleichungen 4..2 Das Federpendel siehe Kapitel zu Differentialgleichungen

53 Das mathematische Pendel siehe Abschnitt.4(E) ˆ= Fadenpendel Hier: Neues Konzept: Phasenraum, siehe Kapitelende 4..4 Bewegungsgleichung in Polarkoordinaten siehe Abschnitt.4(E) 4.2 Impulssatz und Drehimpulssatz Beide kennen Sie wahrscheinlich bereits aus der Physik I-Vorlesung: Impulssatz : Drehimpulssatz : F = m r = m v L = r p }{{} Drehimpuls L = r p }{{} =, da p=m r m m(t) = p also: d p dt = F + r p = r F = M }{{} Drehmoment also: d L dt = M Diese Thematik wird ebenso in den Vorlesungen zur Theoretischen Mechanik behandelt wie Das Zweiteilchensystem siehe Mechanik-Vorlesungen 4.4 Zentralkraftfelder und Drehimpulserhaltung siehe Mechanik-Vorlesungen

54 52 Exkurs: Der Phasenraum... ist ein nützliches Konzept zur Beschreibung der dynamischen Möglichkeiten eines physikalischen Systems: Definition: Beispiel: Der von den (ggf. verallgemeinerten) Orts- und Geschwindigkeitsvektoren aufgespannte Raum heißt Phasenraum. Eine Kurve ( r(t), r(t)) in diesem Raum heißt Phasenbahn. Das Fadenpendel Die Phasenbahnen ergeben sich aus der Betrachtung der Energieerhaltung: r = l e r r = l e r = l ϕ e ϕ r 2 = l 2 ϕ E kin = 2 m v 2 = 2 2 m r 2 = 2 ml2 ϕ 2 ; l = const. E pot = mgh = mg(l l cos ϕ) = mgl( cos ϕ) E = E kin + E pot = 2 ml2 ϕ 2 + mgl( cos ϕ) = const. 2 ϕ = ± [E mgl( cos ϕ)] ml2 Also: (ϕ, ϕ) = (, ), (±2π, ),... ˆ= stabile Fixpunkte (Pendel hängt nach unten) (ϕ, ϕ) = (±π, ), (±3π, ),... ˆ= instabile Fixpunkte (Pendel hängt nach oben)

55 53 5 Matrizen und Tensoren (A) Motivation zur Definition von Matrizen Es gibt vielerlei Anwendungen für Matrizen, z.b. (A) Tabellenkalkulation z.b. Lagerhaltungsbuchführung, Sportergebnisse, Börsenkurse (A2) Lineare Gleichungssysteme (I) : 3x 5x 2 = 6 (II) : 2x + 3x 2 = 3 Lösung mit verschiedenen Möglichkeiten, z.b.: Alternative : Additionsverfahren 2(I) = (I ) : 6x x 2 = 2 3(II) = (II ) : 6x + 9x 2 = 9 (I ) + (II ) x x 2 = 3 Daraus folgt sofort x 2 = 3 und x = 3. Alternative 2: Matrizen Man kann das Gleichungssystem formal wie folgt schreiben Matrix V ektor V ektor {( }} ){ ({}} ){{( }} ){ 3 5 x 6 = 2 3 x 2 3 }{{}}{{}}{{} A x c Allgemein kann also geschrieben werden: A x = c (! 3x 5x 2 2x + 3x 2 ) = ( 6 3 ) Wenn eine Matrix A existiert, so dass gilt A A x = x = A c wäre die Lösung des Gleichungssystems gefunden. Die Nutzbarkeit dieser zweiten Alternative erfordert nun die Beantwortung folgender drei Fragen: () Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor? (2) Wie multipliziert man Matrizen miteinander? (3) Wie findet man die Matrix A zu der Matrix A?

56 54 (B) Definition von Matrizen Definition: Ein rechteckiges Schema der Form A A 2 A 3... A n A 2 A A 2n A =..... A m A m A mn von m n Zahlen A ij heißt Matrix oder auch (m n)-matrix. Der erste Index i =,..., m bezeichnet die Zeilen, der zweite Index j =,..., n die Spalten der Matrix (daher spricht man auch vom Zeilen- bzw. Spaltenindex). Die Zahlen A ij heißen Elemente (oder auch Komponenten) der Matrix A. Bemerkung: Die Elemente einer Matrix können (reelle oder komplexe) Zahlen sein, aber auch Funktionen. Im Folgenden werden die Matrixelemente in der Regel Zahlen sein. Definition: Definition: Sind alle Elemente A ij einer Matrix gleich Null, dann spricht man von einer (m n)-nullmatrix. Wenn die Zeilenzahl m und die Spaltenzahl n einer Matrix A gleich sind, so ist A eine quadratische Matrix. In diesem Fall heißen die A ij mit i = j Diagonalelemente. Sind nur die Diagonalelemente verschieden von Null und gleich Eins, spricht man von einer (m n) Einheitsmatrix: E =..... Definition: Die transponierte Matrix A T zu einer (m n)-matrix A ist gegeben durch A... A m A T =... A n... A mn und ist eine (n m)-matrix. Beispiel: ( ) T =

57 55 5. Rechenregeln für Matrizen (A) Addition und Subtraktion von Matrizen Die Summe S und die Differenz D zweier (m n) - Matrizen A und B sind durch S ij = (A + B) ij := A ij + B ij D ij = (A B) ij := A ij B ij definiert, sie werden also elementweise gebildet. Beispiel: ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) 2 ( 4 3 ) Bemerkung: Die Addition und Subtraktion von Matrizen wird also auf die normale (und bekannte!) Addition und Subtraktion von reellen (oder komplexen) Zahlen zurückgeführt. Bemerkung: Falls A und B nicht die gleiche Zeilen- und Spaltenzahl besitzen, sind die Summe und die Differenz nicht definiert, also nicht bildbar. Folgerung: Aus der Definition der Matrixaddition folgt unmittelbar für die Multiplikation mit einer Zahl (einem Skalar) λa... λa n λa =... ; λ R λa m... λa mn (B) Multiplikation von Matrizen Sei A eine (m n)-matrix und B eine (l m)-matrix. Dann gilt für das Produkt BA: m (BA) ij := B ik A kj welches eine (l n)-matrix ist. Im Spezialfall, dass A kj ein Spaltenvektor ist (also j = ), kann man schreiben A k = A k bzw. A = (A,..., A k ) T und es gilt: (BA) m i = B ik A k k= k=

58 56 Beispiel: (a) (b) (c) ( ) = ( ) 2 = ( ) 4 = 2 3 ( 2 ) Bemerkung: Die Matrixmultiplikation erfordert nicht, dass die Matrizen vom selben Typ sind, sondern lediglich, dass die Spaltenzahl der ersten ( linken ) gleich der Zeilenzahl der zweiten ( rechten ) Matrix ist. Bemerkung: Das Beispiel zeigt, dass die Multiplikation nicht kommutativ ( ˆ= vertauschbar) ist. Bemerkung: Eine Division von Matrizen ist nicht definiert.

59 Quadratische Matrizen und Determinanten (A) Definition Es lässt sich jeder quadratischen (n n)-matrix A eine Determinante det(a) = A zuordnen: Definition: Die Determinante A einer quadratischen (n n)-matrix ist der durch A... A n n A =... = ( ) +j A j j A n... A nn j= definierte Skalar. Man bezeichnet mit ij die ([n ] [n ])- Unterdeterminanten von A, die gegeben sind durch: A... A (j ) A (j+)... A n ij = A (i )... A (i )(j ) A (i )(j+)... A (i )n A (i+)... A (i+)(j ) A (i+)(j+)... A (i+)n A n... A (j ) A (j+)... A nn d.h. in A sind die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen. Bemerkung: Die Schreibweise... hat nichts mit dem Absolutbetrag zu tun. Insbesondere können Determinanten auch negativ sein.

60 58 (B) Laplacescher Entwicklungssatz Die Berechnung einer Determinante kann durch Entwicklung nach einer beliebigen Zeile oder Spalte erfolgen: A = j ( ) i+j A ij ij (Summe über die Spalten ˆ= Entwicklung nach der i-ten Zeile) A = i ( ) i+j A ij ij (Summe über die Zeilen ˆ= Entwicklung nach der j-ten Spalte) Bemerkung: Der Faktor ( ) i+j ordnet den Elementen der Determinante ein Vorzeichen gemäß folgendem Schachbrettmuster zu: Beispiel: Entwicklung nach der dritten Spalte = = 2+ = 22 Für n =, 2, 3 liegen Sonderfälle vor, für die die Determinante besonders einfach berechnet werden kann: () n = : A = (A ) det(a) = A (2) n = 2 : ( ) A A A = 2 A 2 A 22 det(a) = A A 22 A 2 A 2 A A 2 A 3 (3) n = 3 : A = A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 det(a) = A A 22 A 33 + A 2 A 23 A 3 + A 3 A 2 A 32 A 3 A 22 A 3 A A 23 A 32 A 2 A 2 A 33

61 59 Determinanten werden benötigt u.a. bei der Bestimmung von inversen Matrizen (s.u., (D)) oder auch zur Lösung von Gleichungssystemen. Wir hatten in (A2) z.b.: 3x 5x 2 = 6 2x + 3x 2 = 3 was sich in Matrixform als ( ) ( ) 3 5 x = 2 3 x 2 ( ) 6 3 schreiben lässt. Aus den drei Determinanten... D = = 9 + = D x = = = 3 D x2 = = = folgt: x = D x D = 3 = 3 x 2 = D x 2 D = +3 = +3 Allgemein gilt die Cramersche Regel: A x = c mit det(a) x i = A i A wobei die Matrix A i gegeben ist durch A... c... A n... A n... c n... A nn d.h. die Elemente der i-te Spalte sind durch die des Vektors c ersetzt.

62 6 (C) Eigenschaften von Determinanten () Eine Determinante A ist homogen in Bezug auf die Elemente einer Zeile oder Spalte, d.h. multipliziert man eine Zeile oder Spalte mit einer Zahl λ, so gilt: A... A n... λa i... λa in... A n... A nn = λ A... A n... A i... A in... A n... A nn = λ A Insbesondere gilt: λa = λa... λa n... λa i... λa in... λa n... λa nn = λ n A... A n... A i... A in... A n... A nn = λ n A (Beweis: Folgt aus der Definition in (A) bzw. (B)) (2) Eine Determinante A ist additiv in Bezug auf die Elemente einer Zeile oder Spalte A + B... A n + B n... A n... A nn = A... A n... A n... A nn + B... B n... A n... A nn (Beweis: Spezialfall von () mit B i = A i ; i =,..., n und λ = 2) (3) Eine Determinante A wechselt das Vorzeichen, wenn zwei benachbarte Zeilen (Spalten) vertauscht werden: A... A n A 2... A 2n... A n... A nn = A 2... A 2n A... A n... A n... A nn (Beweis: Folgt aus der Definition in (A), siehe auch (B))

63 6 (4) Sind die Elemente einer Zeile (Spalte) zu denen einer anderen Zeile (Spalte) proportional, so ist die Determinante gleich Null. (Beweis: Proportionalitätsfaktor nach () herausziehen, somit ergeben sich zwei gleiche Zeilen (Spalten). Man sieht, die Vertauschung ändert nichts, jedoch muss nach (3) ein Vorzeichenwechsel auftreten, woraus folgt det(a)! = ) (5) Eine Determinante A ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) addiert: A... A n A + λa i... A n + λa in A i... A in = A i... A in A n... A nn A n... A nn (Beweis: Nach (2) in zwei Determinanten aufspalten, woraus sich bei der zweiten Determinante zwei zueinander proportionale Zeilen ergeben, somit folgt diese nach (4) zu Null) (6) Die Determinante der transponierten Matrix A T stimmt mit der Determinante A der ursprünglichen Matrix A überein, also A T = A, d.h. eine Determinante verändert ihren Wert nicht, wenn man ihre Zeilen und Spalten vertauscht. (Beweis: Siehe (B).) Bemerkung: Eigenschaft (5) ist besonders wichtig, da sie die Berechnung von Determinanten wesentlich vereinfacht.

64 62 (D) Die Inverse einer Matrix Mit Hilfe des bisher Besprochenen lässt sich nun die in (A, Alternative 2) gesuchte Matrix A bestimmen. Es gilt: Definition: Die inverse Matrix A zu einer quadratischen Matrix A erfüllt A A = E und A A = E und ihre Elemente sind gegeben durch (A ) ij = A ( )i+j ji = A ( )i+j T ij wobei ij die Unterdeterminanten (s.o.) der Matrix A sind. Beispiel: Wir hatten in Alternative A2 das lineare Gleichungssystem geschrieben als A x = c mit ( ) ( ) A = und c = Mit obiger Definition und det A = findet man: (A ) = ( ) + = ( ) 2 3 = 3 (A ) 2 = ( ) +2 2 = ( ) 3 ( 5) = 5 (A ) 2 = ( ) 2+ 2 = ( ) 3 2 = 2 (A ) 22 = ( ) = ( ) 4 ( 3) = 3 ( ) 3 5 A = 2 3 Damit lässt sich das Gleichungssystem wie folgt lösen: ( ) ( ) ( ) ( x 3 5 = x ( ) ( ) ( ) x 3 = x 2 3 ( ) ( ) x 3 = 3 x 2 ) ( 6 3 ) Also: x = 3 und x 2 = 3

65 Taylor-Entwicklung Wir hatten gesehen, dass wir ein skalares Feld Φ( r) Taylor-entwickeln können: Φ( r) = Φ( r ) +! 3 ( ) Φ j= x j r x j + 2! 3 k,j= ( 2 Φ x k x j ) r x k x j +... Das lässt sich mit Hilfe von Vektor- und Matrixnotation kompakter schreiben: Φ( r) = Φ( r ) + d ( r r ) + 2 ( r r ) T Q( r r ) wobei definiert wurde: ( r r ) = d = ( Φ) r x x x 2 x 2 x 3 x 3 ( r r ) T = (x x, x 2 x 2, x 3 x 3 ) (Q) jk = 2 Φ x k x j Die (neuen) Größen d und Q sind nicht nur hilfreiche Abkürzungen, sondern erhalten im Rahmen einer so genannten Multipolentwicklung von Feldern eine anschauliche - und damit physikalische - Bedeutung (Dipol- und Quadrupolmoment).

66 Eigenwerte und Eigenvektoren Einer Matrix A können besondere Skalare und Vektoren zugeordnet werden, nämlich so genannte Eigenwerte und Eigenvektoren. Sie sind definiert durch: A x = λ x ; x Ist diese Gleichung erfüllt, ist λ ein Eigenwert von A und x ein Eigenvektor von A. Folgerung: Wenn x ein Eigenvektor von A ist, dann ist auch α x, α, ein Eigenvektor von A. Wie kann man alle Eigenwerte und Eigenvektoren zu einer Matrix A finden? Dazu betrachte: Daraus ergeben sich zwei Möglichkeiten: Einheitsmatrix: x = E x A x = λ x = λe x (A λe) x = (a) A λe eindeutige Lösung: x = x kein Eigenvektor (s.o.) (b) A λe =... A... A n... λ. A n... A nn ( ) n λ n a 2 λ 2 + a λ + a = Mit den n (i.a. komplexen) Nullstellen λ,..., λ n C gilt schließlich: = (λ λ)(λ 2 λ)...(λ n λ) = A λ A 2... A n. A 22 λ.... A n... A nn λ }{{} Polynom n-ten Grades in λ Zu jedem gefundenen λ,..., λ n lassen sich nun die Eigenvektoren berechnen.

67 65 Beispiel: ( ) 4 A = 4 A λe = λ 4 4 λ = ( λ)2 6 =! λ = ±4 λ = 3 ; λ 2 = 5 ˆ= Eigenwerte Die Eigenvektoren folgen aus: ( ) ( ) λ 4 x (i) λ = 3 : = 4 λ x 2 ( ) ( ) 4x + 4x 2 = 4x + 4x 2 ( ) (ii) λ = 5 : x 2 = x ; Wähle x 2 = x = ( ) Normierter Eigenvektor: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) λ2 4 x 4x + 4x = 2 = 4 λ 2 x 2 4x 4x 2 ( ) x 2 = x ; Wähle x 2 = x = ( ) Normierter Eigenvektor: 2 Man kann allgemein zeigen (siehe Korsch): () Die Eigenwerte einer reellen, symmetrischen Matrix sind reell. Bsp.: (2) Die Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. ( ) ( ) Bsp.: = ( + ) = (3) k Eigenvektoren einer Matrix A, deren zugehörige Eigenwerte sämtlich verschieden sind, sind linear unabhängig. Bsp.: (Beweis: Vollständige Induktion)

68 66 (4) Eine (n n) Matrix A, deren Eigenwerte sämtlich verschieden sind, läßt sich durch eine Matrix Q mit Q AQ auf Diagonalform transformieren. Die Matrix Q ist gebildet aus den Eigenvektoren von A (als Spaltenvektoren von Q). ( ) ( ) ( ) 4 ; x 4 = ; x 2 = ( ) Q = Q = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) Q AQ = Q = Q = ( ) ( ) 3 5 = ( ( ) ( ) 3 λ = = =: A 5 λ diag 2 Bsp.: A = Dieses Ergebnis gilt allgemein: (5) Mit den Bezeichnungen aus (4) gilt: ) Oder: Q AQ = A diag = δ jk λ k A = QA diag Q Bemerkung: Es können auch so genannte singuläre Matrizen (d.h. solche mit Determinante Null) diagonalisiert werden. Bemerkung: Es können nicht alle Matrizen diagonalisiert werden (Beispiele siehe Korsch).

69 Der Trägheitstensor Motivation: Lineare Bewegung: p = m v ; m ˆ= Skalar Rotationsbewegung: L = I ω ; I ˆ= Matrix Der so genannte Trägheitstensor I beschreibt den (nicht trivialen!) Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit ω und ist definiert als (r 2 = x 2 + x x 2 3): I ij = ρ = dm dv [δ ij r 2 x i x j ]dm = [δ ij r 2 x i x j ] ρ dv Offenbar ist wegen I ji = I ij der Trägheitstensor symmetrisch, hat daher reelle Eigenwerte I, I 2, I 3 ( ˆ= Hauptträgheitsmomente) und zugehörige orthogonale Eigenvektoren ( ˆ= Hauptträgheitsachsen). Letztere bilden ein ausgezeichnetes Bezugssystem ( ˆ= Hauptachsensystem). Diese Thematik wird in der Physik I-Vorlesung angesprochen und in den Veranstaltungen zur Theoretischen Mechanik (B.Sc.) und zu den Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik (B.A.) vertieft.

70 Anwendung von Matrizen: Drehungen, Spiegelungen, etc. Es lassen sich zunächst zwei Fälle unterscheiden, nämlich die Drehung eines Vektors in einem Koordinatensystem und die Drehung eines Koordinatensystems. (A) Drehung eines Vektors in einem Koordinatensystem v = v = v ; v = v sin α α = α + α 2 ; v 2 = v cos α v = v sin α 2 v 2 = v cos α 2 Mit den Additionstheoremen für sin und cos (vgl. Anhang, Abschnitt (f)): gilt hier mit α = α sowie β = α 2 : Also: sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin α = sin(α + α 2 ) = sin α cos α 2 + cos α sin α 2 = cos α = cos(α + α 2 ) = cos α cos α 2 sin α sin α 2 = ( v )( v ) 2 v v )( v ) 2 + v ( v2 v v v 2 = v 2 sin α + v 2 v (I) v 2 cos α = v 2 v 2 + v v v (II) Durch Einsetzen von (I) in (II) ergibt sich somit: v v 2 cos α = v 2 v 2 sin α + v2v 2 + vv 2 }{{} v 2 v Setzt man nun v in (I) ein: v v 2 = v 2 sin α + v 2 v cos α v 2 2 sin α ( v2 )( v ) v v )( v ) v ( v v v = v cos α v 2 sin α v v 2 = v 2 sin α + v 2 v cos α v 2 = v sin α + v 2 cos α Folglich: ( v v 2 ) }{{} gedrehter Vektor = ( cos α ) sin α } sin α cos α {{ } Drehmatrix zur Drehung eines Vektors ( v v 2 ) }{{} ursprünglichervektor

71 69 (B) Drehung des Koordinatensystems v = ( v v 2 ) K = ( v v 2 ) K ; v = v Hier gilt: v = v cos β ; v = v cos(β α) = v cos β cos α + v sin β sin α v 2 = v sin β ; v 2 = v sin(β α) = v sin β cos α v cos β sin α v = v cos α + v 2 sin α v 2 = v sin α + v 2 cos α Folglich: ( ) v v 2 = K }{{} Vektor v in K ( v ( ) ) cos α sin α sin α cos α v 2 }{{} K }{{} Drehmatrix zur Drehung eines Koord.-Syst. Vektor v in K Bemerkung: Im Unterschied zu (A) bleibt der Vektor v derselbe, nur seine Darstellung in Bezug auf das neue Koordinatensystem ändert sich. Bemerkung: Die beiden Drehmatrizen aus (A) und (B) lassen sich durch Übergang von α zu α ineinander überführen (anschaulich klar!).

72 7 Die Drehmatrix zur Drehung eines Koordinatensystems kann auch mit Hilfe der Einheitsvektoren bestimmt werden: v = v e + v 2 e 2 = v e + v 2 e 2 e = v e e }{{ +v } 2 e 2 e }{{ } Analog = v e e }{{ } cos α +v 2 e 2 e }{{} cos(9 o α) = sin α v = v cos α + v 2 sin α v = v e + v 2 e 2 = v e + v 2 e 2 e 2 = v e e }{{ 2 } +v 2 e 2 e 2 }{{} Also erneut ( v v 2 ) = v e e 2 }{{} cos(9 o + α) K = = sin α +v 2 e 2 e 2 }{{} cos α ( cos α sin α ) ( v ) sin α cos α v 2 v 2 = v sin α + v 2 cos α Verallgemeinert man auf den R 3, so gilt für eine Drehung um den Winkel α um die e 2 = cos α x Achse: D x = cos α sin α sin α sin α cos α e 3 = sin α cos α K x 2 Achse: D x2 = cos α sin α sin α cos α cos α e = sin α sin α e 3 = cos α x 3 Achse: D x3 = cos α sin α sin α cos α cos α e = sin α sin α e 2 = cos α Folgerung: Die Einheitsvektoren des gedrehten Koordinatensystems K sind gleich den Zeilen der Drehmatrix, die K in K überführt.

73 7 Wie lautet nun die Drehmatrix, die K in K überführt? Das ist natürlich die Rückdrehung, also die inverse Matrix. Beispiel: Für die Matrix D einer Drehung um den Winkel α um die Achse x 3 gilt: cos α sin α D(α) = sin α cos α Die Inverse berechnet sich aus (siehe 5.2(D)) Es gilt: (D ) ij = ( )i+j ji D D = cos 2 α + sin 2 α = = cos α ; 2 = sin α ; 3 = 2 = sin α ; 22 = cos α ; 23 = 3 = ; 32 = ; 33 = D (α) = Offenbar gilt also: cos α sin α sin α cos α D = D T = D( α) Solche Matrizen heißen orthogonale Matrizen, die entsprechenden Transformationen heißen orthogonale Transformationen.

74 72 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D T. Folgerung: Folgerung: Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Zeilen der Drehmatrix D, die K in K überführt. Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der Drehmatrix D, die K in K überführt, ( ˆ= die Zeilen der Drehmatrix D, die K in K überführt). Es gilt allgemein für eine Drehung D von K nach K : e e e e 2 e e 3 D = e 2 e e 2 e 2 e 2 e 3 mit e i e j = D ij = cos ( e i, e j ) e 3 e e 3 e 2 e 3 e 3 Insbesondere gilt dann: e i, e i sind Einheitsvektoren 3 Dki 2 k= = (3 Bedingungen: i =, 2, 3) e i bzw. e j orthogonal 3 D ki D kj = (3 Bedingungen: (i, j) = (, 2), (, 3), (2, 3)) k= Kompakt lassen sich diese sechs Bedingungen schreiben als: 3 D ki D kj = δ ij k= bzw. 3 D ik D jk = δ ij k= Wegen dieser Bedingungen sind nur drei Elemente D ij einer beliebigen Drehmatrix im R 3 unabhängig (frei wählbar). Diese entsprechen anschaulich den Drehwinkeln.

75 73 (C) Spiegelung, Inversion, Drehspiegelung Diese Transformationen werden ebenfalls durch orthogonale Matrizen (s.o.) beschrieben, allerdings durch solche mit Determinante -. Beispiel: (a) Spiegelung an der x, x 3 -Ebene: S = S (b) Inversion ( ˆ= Punktspiegelung): I = I DS = (c) Drehspiegelung: Drehung um x 3 -Achse und Spiegelung von x 2 : } {{ } S cos α sin α sin α cos α } {{ } D = cos α sin α sin α cos α Bemerkung: Motivation zur Definition solcher Symmetrieoperatoren ist z.b. die Untersuchung von Molekülstrukturen bzw. deren physikalischen Eigenschaften.

76 Transformation von Vektoren Was bisher über orthogonale Transformationen gesagt wurde, lässt sich verallgemeinern: Sei u ein Vektor in einem 3-dim. Vektorraum V mit der Basis B = { v, v 2, v 3 }, dann gilt: u = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 = u j v j = (u, u 2, u 3 ) B j Bezüglich einer anderen Basis B = { v, v 2, v 3 } gilt die Darstellung: u = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 = i u i v i = (u, u 2, u 3) B Besteht nun zwischen den neuen und alten Basisvektoren der Zusammenhang (mit D ij = D ij ˆ= orthogonale Transformation): v i = j D ij v j so findet man: u = i u i v i = i u i ( ) D ij v j = j j }{{} v i ( ) D ij u i v j i }{{}! =u j Also: u j = i D ij u i u i = j D ij u j Transformation eines Vektors Die letzte Folgerung ergibt sich aus j D kj D ij u i = u k, dann umindizieren k i. D kj u j = i j } {{ } δ ki

77 75 Beispiel: Sei B = { e, e 2, e 3 } = und B = { v, v 2, v 3 } =,, 2,, 2 D = / 2 / 2 / 2 / 2 v v 2 v 3 u e = D e 2 = e 3 u u 2 = D u 2 = u 3 u 3 2 Sei u = 2 e e e 3 =. 3 B Dann folgt: 2 u = 2 2 B = = e 2 e e 3 2 e e 3 u 2 u u 3 2 u u Die Transformationsformel kann zur Definition eines Vektors verwendet werden, das heißt ein Objekt ist genau dann ein Vektor, wenn seine Komponenten sich gemäß der Transformationsformel transformieren.

78 76 Bemerkung: Es gibt Vektoren, die der obigen Formel nicht für alle orthogonalen Transformationen genügen, siehe die Inversion I (s.o.): u u I u = u 2 = u 2 = u polare Vektoren u 3 u 3 Und es gilt: (I u) (I v) = ( u) ( v) = u v achsiale Vektoren das heißt, dass ein über das Vektorprodukt definierter Vektor seine Richtung bei Inversion (Punktspiegelung) nicht ändert. Beispiel: Physikalische Beispiele sind: Drehmoment M mit M = r F Drehimpuls L mit L = r p Winkelgeschwindigkeit ω mit v = ω r Dies sind achsiale Vektoren, die einen Drehsinn definieren. Der Drehsinn bleibt bei einer Inversion erhalten. Man spricht auch von Pseudovektoren. Bemerkung: Analog kann man zwei verschiedene Typen von Skalaren unterscheiden, nämlich solche, die bei einer Inversion unverändert bleiben (echte Skalare) bzw. ihr Vorzeichen ändern (Pseudoskalare). Ein Beispiel zu letzteren ist das Spatprodukt (s.o.) Transformation von Matrizen Analog zur Vektortransformation in ein neues Koordinatensystem ist die Transformation von Matrizen definiert: (A) il = j D jk D lk (A) jk k Transformation einer Matrix d.h. die Matrixelemente (A) jk transformieren sich bzgl. beider Indizes wie ein Vektor. Bemerkung: Die oben angegebene Transformation entspricht A = DAD T.

79 77 Die in 5.3. und angegebenen Transformationen lassen sich auf Größen mit n Indizes verallgemeinern. Damit können dann allgemein Tensoren n-ter Stufe definiert werden (Bsp.: Levi-Civita-Symbol, s.o.). Beispiel: Für die Rotationsenergie eines starren Körpers in einem Koordinatensystem K gilt: E rot = I mn ω m ω n m= n= In einem relativ zu K gedrehten Koordinatensystem K gilt: E rot = 2 3 k= 3 I klω mω n! = E rot l= weil die Rotationsenergie in beiden Koordinatensystemen gleich sein muss. Unter Verwendung der Transformationsformeln aus 5.3. und gilt hier: ω k = 3 D ki ω i ; ω l = i= D lj ω j ; I kl = D km D ln I mn j= m= n= Damit hat man: E rot = 2 = I klω mω n k= 3 l= ( 3 3 k= l= m= ) 3 D lj ω j n= D km D ln I mn) ( 3 i= D ki ω i) ( 3 j= Beachtet man die Eigenschaften der Drehung: 3 D km D ki = δ mi k= und 3 D ln D lj = δ nj l= so folgt: E rot = 2 3 m= n= ( 3 3 i= ) 3 I mn ω i ω j δ mi δ nj = 2 j= 3 m= n= 3 I mn ω m ω n = E rot und damit die geforderte Gleichheit der Rotationsenergie in beiden Koordinatensystemen.

80 78 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen (A) Motivation Eine Gleichung für eine zu bestimmende Funktion und mindesten eine ihrer Ableitungen heißt Differentialgleichung (Dgl). Differentialgleichungen (Dgln) sind fundamental zur Beschreibung von natürlichen, künstlichen oder auch gesellschaftlichen Vorgängen (man denke zum Beispiel an die Newtonsche Bewegungsgleichung, technische Vorrichtungen, Lernprozesse, etc.). Betrachten wir zunächst einige Beispiele: (A) Populationswachstum Eine Population (z.b. Tiere, Menschen, Pflanzen, Bakterien) habe zum Zeitpunkt t die Größe P (t). Annahme: Sei P P (t) t, dann gilt: Im Grenzfall t gilt: P = P (t + t) P (t) = γp (t) t, γ = const. P lim t t = dp dt = P = γp, γ = const. (Dgl I) Das Wachstum P einer Population ist in dieser Beschreibung also zum Zeitpunkt t proportional zur Population P (t). Man sieht sofort, dass P (t) = C exp(γt) ; C, γ = const. die allgemeine Lösung der Dgl. ist. Dieses exponentielle Wachstum kann nur für einen endlichen Zeitraum vorliegen, danach werden beschränkte Ressourcen das Wachstum negativ beeinflussen. Aus diesem Grund macht man die weitere Annahme: Es gibt eine Maximalpopulation P max, so dass ( dp dt = γp P ) = γp τp 2 mit τ = γ/p max ; γ, τ = const. (Dgl II) P max Dies ist die sogenannte logistische Differentialgleichung. Zusätzliche Annahme: γ, τ können explizit zeitabhängig sein, und es existiert eine externe Populationszu- oder -abnahme s(t). Damit gilt dann: dp dt = γ(t)p τ(t)p 2 + s(t) (Dgl III) Bei den bisherigen Beispielen handelt es sich um lineare (Dgl I) bzw. nichtlineare (Dgl II,III) Differentialgleichungen, mit konstanten (Dgl I,II) und nicht-konstanten Koeffizienten (Dgl III). Man unterscheidet auch homogene (Dgl I,II) und inhomogene (Dgl III) Differentialgleichungen. Alle drei Gleichungen sind von. Ordnung.

81 79 (A2) Die Newtonsche Bewegungsgleichung... ist eine Dgl zweiter Ordnung: m d2 r(t) dt 2 = m r = F Bezogen auf die Vektorkomponenten handelt es sich um ein System von drei (i.a. gekoppelten) Dgln. Siehe auch Kapitel 4. (A3) Zerfallsgesetze Annahme: Die Zerfallsrate einer Substanz n sei proportional zur vorhandenen Menge: dn dt = λn, < λ = const. ˆ= inverses Wachstum (vgl. mit Dgl I) (Beispiele: Radioaktiver Zerfall, Wäschetrocknung,...) (B) Terminologie Definition: Eine Dgl für eine Funktion einer einzelnen unabhängigen Veränderlichen heißt gewöhnliche Differentialgleichung. Man spricht von einer partiellen Differentialgleichung, wenn die gesuchte Funktion von mehreren Variablen abhängt und partielle Ableitungen auftreten. Die höchste auftretende Ableitung bestimmt die Ordnung der Differentialgleichung. Eine gewöhnliche Dgl n-ter Ordnung hat die allgemeine implizite Form: ( F x, y, dy dx, d2 y dx,..., dn y ) = F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 2 dx n mit einer Funktion F von (n + 2) unabhängigen Veränderlichen. Ist es möglich, diese implizite Form auf y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n ) ) zu bringen, d.h. ein geeignetes f ( = Funktion von (n + ) unabhängigen Veränderlichen) zu finden, dann liegt eine explizite Differentialgleichung vor.

82 8 (C) Lineare Differentialgleichung erster Ordnung Eine solche hat die allgemeine Form: y = dy dx = γ(x)y + s(x) mit y = y(x). Ist die so genannte Störfunktion s(x) =, liegt eine homogene Dgl erster Ordnung vor, sonst eine inhomogene Dgl. (C) Allgemeine Lösung der homogenen Dgl Es gilt: dy dx = γ(x)y dy dy dx = y dx y = γ(x)dx y y(x ) x dy = γ(x )dx y x ( ) x y ln(y) ln(y(x )) = ln = γ(x )dx y(x ) x x y(x) = y(x ) exp γ(x )dx x ( Separation der Variablen ) Der gegebene Wert y(x ) heißt Anfangswert und das mit y = γ(x)y und y(x ) = y definierte Problem wird als Anfangswertproblem bezeichnet. Ohne speziellen Anfangswert spricht man von der allgemeinen Lösung und schreibt: { y(x) = C exp γ(x )dx } ; C = const. Bemerkung: Mit γ(x ) = const. ergibt sich das exponentielle Wachstum einer beliebig gewählten Population (siehe oben).

83 8 Beispiel: Verkaufsrückgang bei steigenden Preisen: Sei v(p) der (z.b. wöchentliche) Verkauf eines Produktes zum Stückpreis von p Euro. Annahme: Die Verkaufsänderungsrate sei gegeben durch: ( ) dv dp v = λ p ; λ = const. > Mit den Zuordnungen p x, v(p) y(x) und λ p γ(x) ist diese Dgl als lineare, homogene Differentialgleichung erster Ordnung klassifiziert. Folglich ist die Lösung: p λ v(p) = v(p ) exp p dp = v(p ) exp p { ( p λ ln p )} = v(p ) ( ) λ p p Zwar nimmt offenkundig v(p) mit steigendem/fallendem p ab/zu, aber es gilt auch: lim p v(p) = Dies ist natürlich sehr schön für den Verkäufer, jedoch unrealistisch. Daher kann der folgende verbesserte Ansatz gemacht werden: dv dp = λ v µ + p ; λ, µ = const. > mit der Lösung: und damit v(p) = v(p ) womit der Verkauf endlich bleibt. ( ) λ µ + p µ + p ( ) λ µ + lim v(p) = v(p p ) < p µ

84 82 (C2) Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl Sei y p (x) eine so genannte partikuläre Lösung, das heißt irgendeine (irgendwie bestimmte, s.u.) Lösung der inhomogenen Dgl und y(x) eine beliebige andere. Dann gilt: z (x) := [y(x) y p (x)] = y (x) y p(x) = [γ(x)y(x) + s(x)] [γ(x)y p (x) + s(x)] = γ(x)[y(x) y p (x)] = γ(x)z(x) Offenbar ist z(x) := y(x) y p (x) Lösung der homogenen Differentialgleichung. Folglich: { } z(x) = C exp γ(x )dx = y(x) y p (x) { y(x) = y p (x) + C exp γ(x )dx } ; C = const. Ähnlich wie oben lässt sich mit einem Anfangswert y(x ) die Konstante C bestimmen: C = y(x ) y p (x ) Also: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Dgl erster Ordnung ergibt sich aus der Summe einer speziellen (partikulären) Lösung der inhomogenen Dgl und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Dgl.

85 83 Beispiel: Lernprozess: Sei L(t) die Menge eines Lernstoffes, der bis zum Zeitpunkt t von einer Person aufgenommen wurde. Mit L() = und den Erfahrungen Lernprozess anfangs rasch, dann langsamer Annäherung an Maximalwert L max gilt der Ansatz: dl dt = k(l max L) ; k = const > Eine partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Dgl lautet (hier geraten, systematischer siehe unten): L p (t) = L max Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl dl dt durch (siehe C): = kl ist gegeben L H (t) = C exp { kt} ; C = const. Also gilt für die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl: L(t) = L p (t) + L H (t) = L max + C exp { kt} Mit dem Anfangswert L() = findet man weiter: Skizze: L() = = L max + C C = L max L(t) = L max L max exp { kt} L(t) = L max ( exp { kt}), t

86 84 Bemerkung: Die Darstellung der allgemeinen Lösung ist nicht eindeutig. Für das angegebene Beispiel gilt nämlich alternativ: L p2 (t) = L max + exp{ kt} L(t) = L p2 (t) + L H (t) = L max + (C + ) exp{ kt} Da die Konstante C beliebig ist, ist diese Lösung gleichwertig zu der aus obigem Beispiel. Erst durch Vorgabe eines Anfangswertes wird die Lösung eindeutig: L() = L max + C + = C = L max Damit findet man: L(t) = L max + ( L max + ) exp{ kt} = L max ( exp{ kt}) also die selbe Lösung wie im Beispiel. Exkurs: Wie findet man eine partikuläre Lösung? (a) Eine solche partikuläre Lösung ist oft der Störfunktion ähnlich, so dass ein entsprechender Ansatz gemacht werden kann. Beispiel: y = 3y + exp(2x) s(x) = exp(2x) Ansatz: y p = A exp(2x), A = const. y p = 2A exp(2x) Einsetzen in Dgl: 2A exp(2x) = 3A exp(2x) + exp(2x) = A + A = y p = exp(2x) (b) Systematischer gelingt die Bestimmung einer speziellen Lösung mit der so genannten Variation der Konstanten. Dazu bestimmt man zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Dgl und variiert anschließend in ihr die Konstante C. Beispiel: y = 3y + exp(2x) homogene Dgl: y = 3y y H = C exp(3x) Nun Variation der Konstanten, d.h. C = C(x): Ansatz: y p = C(x) exp(3x) y p = C (x) exp(3x) + 3C(x) exp(3x) Einsetzen in Dgl: C (x) exp(3x) + 3C(x) exp(3x) = 3C(x) exp(3x) + exp(2x) C (x) = exp( x) C(x) = exp( x)dx = exp( x) y p = C(x) exp(3x) = exp( x) exp(3x) = exp(2x) Bemerkung: Beide Alternativen können verallgemeinert werden (siehe unten).

87 85 (D) Nichtlineare Dgl erster Ordnung Es gibt unendlich viele verschiedene Dgln diesen Typs. Sie lassen sich weiter klassifizieren; es sei hier aber lediglich auf ein Lösungsverfahren sowie die allgemeine Bedingung für Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eingegangen. Das Lösungsverfahren ist bekannt als: Separation der Variablen Falls die Dgl auf die Form dy = f(x)g(y) gebracht werden kann, dann lässt sie sich durch dx Separation der Variablen lösen: dy g(y) dx = f(x) dy g(y) = f(x)dx + C Dies ist die allgemeine (implizite) Lösung einer Dgl erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen. Bemerkung: Die explizite Lösung erhält man natürlich nur, wenn diese Gleichung entweder nach y oder nach x aufgelöst werden kann. Diese Methode wurde bereits oben in (C) angewendet. Beispiel: Dosis-Wirkungsfunktion eines Medikaments Sei W (x) die Wirkung, die x Einheiten eines bestimmten Medikaments ausüben und S die Sättigung. Annahmen (aus Beobachtung): dw ( W ) 2 dx = k ; k = const. ; lim W (x) = S = const. x x Separation der Variablen liefert: ; < S < dw W 2 = k Wegen: dx x 2 W = k x + c W (x) = x cx k lim x W (x) = S = c c = S W (x) = Sx x + Sk Skizze:

88 86 (E) Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf Für einen Beweis siehe zum Beispiel das Buch Gewöhnliche Differentialgleichungen von H. Heuser, bzw. entsprechende Mathematikvorlesungen. Satz: Das Anfangswertproblem dy dx = f(x, y) ; y(x o) = y o ; x, y R besitzt auf dem Intervall [x o α, x o + α] mit α = min(a, b/m) und M = max f(x, y) genau eine Lösung, wenn f(x, y) stetig ist auf dem Rechteck R = {(x, y) x x o a, y y o b}; a, b > und es eine positive (Lipschitz-) Konstante L gibt mit: f(x, y) f(x, ŷ) L y ŷ für alle (x, y), (x, ŷ) R Man sagt, f(x, y) genügt einer Lipschitz-Bedingung oder f(x, y) ist Lipschitz-stetig auf R. Bemerkung: Der Satz garantiert nicht nur die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung, sondern auch ihre Konstruierbarkeit durch Iteration ( ˆ= numerische Lösung).

89 87 6. Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung Diese Form der Differentialgleichung ist besonders interessant, da viele Differentialgleichungen der Physik als solche klassifiziert werden können. Die allgemeine Form lautet: y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = s(x) Wie üblich spricht man im Falle von s(x) = von einer homogenen, andernfalls von einer inhomogenen Differentialgleichung. (A) Die lineare Dgl zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl (auf einem Intervall [a, b]) für stetige Koeffizientenfunktionen a(x), b(x)) lautet ( Superpositionsprinzip ): y(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) wobei y (x) und y 2 (x) zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung bezeichnen, d.h. die so genannte Wronski-Determinante ist ungleich Null: y (x) y 2 (x) y (x) y 2(x) in [a, b] Die beiden linear unabhängigen Lösungen bilden ein Fundamentalsystem (auch Hauptsystem oder Integralbasis genannt) der homogenen linearen Dgl zweiter Ordnung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl ergibt sich (auch hier) als Summe einer partikulären Lösung der inhomogenen Dgl und der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl (vgl. 6 (C2) oben). Die Lösung eines Anfangswertproblems erfordert bei einer Dgl zweiter Ordnung zwei Anfangswerte, üblicherweise y(x ) = y und y (x ) = y. Bemerkung: Diese Betrachtungen können auf den Fall einer linearen Dgl n-ter Ordnung entsprechend übertragen werden. Während viele physikalische Anwendungen auf die allgemeine Form führen, wollen wir uns im Folgenden auf den Fall mit konstanten Koeffizienten beschränken. (B) Die homogene lineare Dgl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Im Unterschied zum Fall variabler Koeffizienten gibt es hier Standardverfahren zur Bestimmung von linear unabhängigen Lösungen, also eines Fundamentalsystems. Man betrachte die Differentialgleichung: und mache den Eulerschen Ansatz: y (x) + ay (x) + by(x) = ; a, b = const. R y(x) = C exp{λx} ; C, λ = const.

90 88 der sich motiviert aus der Tatsache, dass exp (x) = exp(x) gilt. Es folgt: und Einsetzen in die obige Dgl liefert: y (x) = Cλ exp{λx} ; y (x) = Cλ 2 exp{λx} λ 2 + aλ + b = Je nach der Natur der Lösungen λ, λ 2 dieser charakteristischen Gleichung gilt für die allgemeine Lösung (mit den Konstanten = a 2 4b, C, C 2 = const. R) C exp{λ x} + C 2 exp{λ 2 x} ; λ,2 = 2 ( a ± ) ; > y(x) = [C + C 2 x] exp{ a 2 x} ; = [C cos(βx) + C 2 sin(βx)] exp{αx} ; α = a 2 ; β = ; < 2 Die Konstanten C, C 2 ergeben sich aus den Anfangswerten y(x ) = x und y (x ) = y. Beispiel: Freie gedämpfte Schwingung Newtonsche Bewegungsgleichung: mẍ = µẋ }{{} Reibung kx }{{} Rückstellkraft ; µ, k = const. ( µ ẍ + ẋ + }{{ m) k ( ) 2 x = = a 2 µ 4b = m 4 k m }}{{} m a b Der Spezialfall = führt auf k = µ2 und somit auf die allgemeine 4m Lösung: { x(t) = [C + C 2 t] exp µ } 2m t Wegen x() = C und ẋ() = C 2 µ C 2m gilt: und damit: C = x() und C 2 = ẋ() + µ 2m x() x(t) = [x() + ( ẋ() + µ ) { 2m x() t] exp µ } 2m t Dies ist die Lösung für den aperiodischen Grenzfall, die man z.b. als Anwendung in Schwingtüren oder Messinstrumenten findet.

91 89 (C) Die inhomogene lineare Dgl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Diese lautet allgemein: y (x) + ay (x) + by(x) = s(x) a, b = const. Auch hier gilt: die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl ist gleich der Summe einer partikulären Lösung der inhomogenen Dgl und der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl (siehe oben). Daher stellt sich (wie üblich) das Problem: Wie findet man die benötigte partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl? Ein Weg zur Berechnung einer solchen Lösung führt über folgende Formeln (siehe Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen): [ x x ] exp{λ x} exp{ λ x }s(x )dx exp{λ 2 x} exp{ λ 2 x }s(x )dx λ λ 2 x x y p (x) = ; λ λ 2 [ x x ] exp{λx} x exp{ λx }s(x )dx x exp{ λx }s(x )dx ; λ = λ 2 = λ x wobei x beliebig ist. x In der Praxis oft schneller zum Ziel führen allerdings einige andere Alternativen: Geschicktes Raten ˆ= geeigneter Ansatz Methode der Variation der Konstanten Methode der Laplace-Transformation (für Anfangswertprobleme) (C) Geschicktes Raten ˆ= geeigneter Ansatz Man macht sich oft die spezifische Form der Störfunktion s(x) zu Nutze. Sei letztere gegeben durch: ) { } cos(βx) s(x) = (k + k x + k 2 x k m x m exp{αx} sin(βx) Dann führt der Ansatz (mit p(λ) = ˆ= charakteristische Gleichung. siehe oben) [(A + A x A m x m ) cos(βx)+ +(B + B x B m x m ) sin(βx)] exp{αx} ; p(α + iβ) y p (x) = x ν [(A + A x A m x m ) cos(βx)+ stets zu einer partikulären Lösung. +(B + B x B m x m ) sin(βx)] exp{αx} ; (α + iβ) ν-fache Nullstelle von p(λ)

92 9 Beispiel: Gesucht ist die allgemeine Lösung von: ÿ + 4ẏ = cos(2t) Homogene Dgl: ÿ + 4ẏ = ; Ansatz : y H (t) = C exp{λt} λ 2 + 4λ = p(λ) = λ 2 + 4λ Vergleich der Störfunktion s(t) = cos(2t) mit der obigen allgemeinen Form liefert: k = ; k =... = k m = ; α = ; β = 2 und motiviert wegen p( + 2i) = 4 + 8i den Ansatz: Einsetzen in die Dgl. liefert: y p (t) = A cos(2t) + B sin(2t) ẏ p (t) = 2A sin(2t) + 2B cos(2t) ÿ p (t) = 4A cos(2t) 4B sin(2t) 4A cos(2t) 4B sin(2t) 8A sin(2t) + 8B cos(2t)! = cos(2t) ( 4B 8A ) sin(2t) + ( 4A }{{} + 8B ) cos(2t) = cos(2t) }{{}! = 8A + 4B = 4A + 8B =! = B = 2A 4A 6A = Also ist die gesuchte partikuläre Lösung: Und die allgemeine Lösung: y p (t) = sin(2t) 2 cos(2t) B = A = 2 y(t) = C + C 2 exp( 4t) + sin(2t) 2 cos(2t) Bemerkung: Die obige allgemeine Form der Störfunktion umfasst viele in der Praxis häufig auftretende Spezialfälle.

93 9 (C2) Variation der Konstanten Die Grundidee ist (siehe oben), sich von der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung y H (x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) leiten zu lassen: Ansatz: Betrachte die Konstanten C, C 2 als Funktionen von x: y p (x) = C (x)y (x) + C 2 (x)y 2 (x) y p(x) = C (x)y (x) + C 2 (x)y 2(x) + C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) Da keine bestimmte, sondern eine beliebige partikuläre Lösung gesucht ist, versucht man eine möglichst einfache zu finden. Daher macht man eine. Forderung: C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) = y P (x) = C (x)y (x) + C 2 (x)y 2(x) + C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) die vermeidet, dass zweite Ableitungen der Funktionen C (x), C 2 (x) auftreten. Die 2. Forderung: C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) = s(x) ergibt sich nach dem Einsetzen in die inhomogene Dgl: C (x)y (x) + C 2 (x)y 2(x) + C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) }{{} =s(x) +a{c (x)y (x) + C 2 (x)y 2(x)} + b{c (x)y (x) + C 2 (x)y 2 (x)} = s(x) C (x)[y (x) + ay (x) + by (x)] + C }{{} 2 (x)[y 2(x) + ay 2(x) + by 2 (x)] = }{{} = = Die obigen eckigen Klammern sind Null, da y, y 2 Lösungen der homogenen Dgl sind. Also ist das so konstruierte y p (x) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. Die Funktionen C (x) und C 2 (x) können aus C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) = C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) = s(x) berechnet werden, nämlich durch Lösung des linearen Gleichungssystems für C (x), C 2(x) und anschließende Integration.

94 92 Beispiel: Gesucht sei wieder die allgemeine Lösung von: ÿ + 4ẏ = cos(2t) Lösung der homogenen Dgl ÿ + 4ẏ = mit y H (t) = C exp{λt} λ 2 + 4λ = λ = ; λ 2 = 4, also allgemeine Lösung: y H (t) = C + C 2 exp{ 4t} ; C, C 2 = const. Daraus ergibt sich der Ansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl (Variation der Konstanten!): Mit folgt y p (t) = C (t) + C 2 (t) exp{ 4t} C (t) + C 2(t) exp{ 4t} = 4C 2(t) exp{ 4t} = cos(2t) C 2(t) = exp{+4t} cos(2t) 4 C (t) = 4 cos(2t) Integration (siehe z.b. Bronsteins Taschenbuch der Mathematik) führt auf: C (t) = 4 cos(2t)dt = 8 sin(2t) C 2 (t) = 4 exp{+4t} cos(2t)dt = [4 cos(2t) + 2 sin(2t)] exp{4t} 4 2 Damit also: y p (t) = 8 sin(2t) 2 cos(2t) 4 sin(2t) = sin(2t) 2 cos(2t) Die allgemeine Lösung lautet also: y(t) = C + C 2 exp( 4t) + sin(2t) 2 cos(2t) und ist damit die selbe wie zuvor.

95 93 Bemerkung: Die Methode der Variation der Konstanten ist auch im Falle von Differentialgleichungen n-ter Ordnung anwendbar. Man fordert dann: C y C ny n = C y C ny n = C y C ny n =. C y (n 2) C ny n (n 2) = C y (n ) C ny n (n ) = s(x) Das ist ein lineares Gleichungssystem bestehend aus n Gleichungen für die n Unbekannten C,..., C n. Bemerkung: Im Falle n = vereinfacht sich die Methode auf das Einsetzen des Ansatzes y p (x) = C (x)y (x) in die Differentialgleichung (siehe Exkurs in 6(C2)). Vor der Besprechung der dritten Methode sei die an folgendem Beispiel illustriert: Es gilt nun: () Allgemeine Lösung der homogenen Dgl.: ÿ + 4ẏ = cos(2t) ; y() = ; ẏ() = y H (t) = C + C 2 exp{ 4t} (2) Partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.: y p (t) = sin(2t) 2 cos(2t) (3) Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl.: (4) Anfangswerte: Lösung eines Anfangswertproblems y(t) = y h (t) + y p (t) = C + C 2 exp{ 4t} + sin(2t) 2 cos(2t) y() = C + C 2 2 = C = = 4 ẏ() = 4C = C 2 = 5 Also lautet die Lösung des Anfangswertproblems: y(t) = 4 5 exp{ 4t} + sin(2t) 2 cos(2t)

96 94 Für die Lösung solcher Anfangswertprobleme kann alternativ verwendet werden: (C3) Die Methode der Laplace-Transformation Idee: Transformation von (linearen) Dgln (mit konstanten Koeffizienten) in algebraische Gleichungen. Die Laplace-Transformierte einer Funktion f(t), die für t definiert sei, ist gegeben durch: F (s) = exp{ st}f(t)dt L[f] Bevor die Methode selbst angewendet wird, zunächst zwei Beispielrechnungen: Beispiel: (a) f(t) = F (s) = T exp{ st}dt = lim T exp{ st}dt [ = lim ] T T s exp{ st} [ = lim T s exp{ st } + ] = s s = L() Es muss s > sein, da das Integral sonst divergiert. (b) f(t) = exp{at} F (s) = exp{ st} exp{at}dt = lim T = lim T s>a = T [ exp{(a s)t}dt a s exp{(a s)t} ] T s a = L(exp{at})

97 95 Wesentlich für die Nützlichkeit der Laplace-Transformation ist der folgende... Differentiationssatz: Die Laplace-Transformation der k-ten Ableitung einer Funktion f(t) ist durch [ ] [ ] L f (k) (t) = s k L f(t) s k f() s k 2 f()... sf (k 2) () f (k ) () gegeben. Also gilt insbesondere: ] L[ f(t) [ ] L f(t) [ ] = sl f(t) [ ] = s 2 L f(t) f() sf() f() Damit ist die Bedeutung der Laplace-Transformation für die Lösung von Anfangswertproblemen klar: Die Dgl wird in eine algebraische Gleichung für die Laplace-Transformierte transformiert. Eine solche Gleichung ist oft einfacher lösbar und erfodert nur noch eine Rücktransformation. Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Betrachte noch einmal obiges Anfangswertproblem: ÿ + 4ẏ = cos(2t) ; y() = ; ẏ() = Laplace-Transformation der einzelnen Terme ergibt: L[ÿ] = s 2 L[y] sy() ẏ() = s 2 L[y] L[ẏ] = sl[y] y() = sl[y] L[cos(2t)] = exp{ st} cos(2t)dt Folglich: [ exp{ st} ] T = lim T s { s cos(2t) + 2 sin(2t)} s = s ; s > ÿ + 4ẏ = cos(2t) L[...] s 2 L[y] + 4sL[y] = s s {s 2 + 4s}L[y] = + s s = s2 + s + 4 s L[y] = s 2 + s + 4 (s 2 + 4)(s 2 + 4s)

98 96 Das Problem ist gelöst, wenn man von der Laplace-Transformierten L[y] auf die ursprüngliche Funktion y(t) schließen kann. Das kann - in Analogie zu Integralen - durch Nachschauen in entsprechenden Zusammenstellungen geschehen. Im obigen Fall gilt nach einer Partialbruchzerlegung: L[y] = s 2 + s + 4 (s 2 + 4)(s 2 + 4s) = 2 s + 4 s 2 s s s(s + 4) In Nachschlagewerken findet man: L[exp{ 4t}] = L[cos(2t)] = [ ] L 2 sin(2t) = [ ] L 4 ( exp{ 4t}) = s + 4 s s s s(s + 4) Demnach: y(t) = 2 exp{ 4t} 2 cos(2t) + sin(2t) + ( exp{ 4t}) 4 wie bereits oben gefunden. = 4 5 exp{ 4t} + sin(2t) 2 cos(2t) Die Vorgehensweise ist also sehr einfach, lediglich müssen die für die Laplace-Transformierten und die Rücktransformation auftretenden Integrationen ausführbar sein. Diese Rücktransformation ist die inverse Laplace-Transformation: f(t) = L [F (s)] = 2πi γ+i γ i exp{st}f (s) ds ; f(t) = für t < In der obigen Formel ist γ > s, wobei s der Realteil derjenigen Polstelle mit dem größtem Realteil ist. Weitergehende Informationen zur Methode der Laplace-Transformation findet man z.b. im Buch von Heuser. Bemerkung: Auch dieses Verfahren ist nützlich bei Dgln höherer Ordnung.

99 Systeme linearer Differentialgleichungen. Ordnung Allgemein gilt, dass aus y + a(x)y + b(x)y = s(x) ; y = y(x) mit y = z folgt y = z z = s(x) a(x)z b(x)y also ein System zweier Dgln erster Ordnung. Beispiel: Eine eindimensionale Bewegung sei beschrieben durch (Newtonsche Bewegungsgleichung): ẍ + aẋ + bx = f(t) ẋ = v v = f(t) av bx was als lineare Bewegung im Phasenraum (x, v) aufgefasst werden kann, vgl. den Exkurs in Kapitel 4. Hier bietet sich eine Matrixschreibweise an: ) ( ) ( ) x d dt ( x v = b a v + ( ) f(t) Für die Lösung des so formulierten Problems im homogenen Fall (f(t) = ) siehe das Buch von Korsch.

100 98 7 Lineare Schwingungen Obwohl i.a. nichtlineare Dgln vorliegen führt eine Linearisierung oft auf hinreichend gute Näherungslösungen. Von grundlegender Bedeutung ist Der harmonische Oszillator... der im allgemeinsten Fall ( ˆ= angetriebener und gedämpfter harmonischer Oszillator) folgender (Bewegungs-) Gleichung genügt: ẍ + 2γẋ + ω 2 x = f(t) ; γ, ω = const In dieser Dgl beschreibt der erste Term die Trägheit, der zweite die Reibung, der dritte die Rückstellkraft und die rechte Seite eine äußere Kraft. Man unterscheidet: 7.. Freie Schwingung: f(t) = Hier gilt: ẍ + 2γẋ + ω 2 x = und man macht folgende weitere Unterscheidung: (i) Ungedämpfter harmonischer Oszillator (γ = ): Allgemeine Lösung: ẍ + ω 2 x = ; x = exp{iω t} ; x 2 = exp{ iω t} C, C 2 C a, b R x(t) = C x + C 2 x 2 = a cos(ω t) + b sin(ω t) (ii) Gedämpfter harmonischer Oszillator (γ ): ẍ + 2γẋ + ω 2 x = ; x,2 = exp{λ,2 t} ; λ,2 = γ ± (a) Schwingfall: ω > γ (b) Kriechfall: ω < γ λ,2 komplex λ,2 reell (c) Aperiodischer Grenzfall: ω = γ λ,2 = λ reell (vgl. 6.(B)) γ 2 ω 2

101 99 Bemerkung: Der Begriff des harmonischen Oszillators ist so wichtig, da viele Schwingungsvorgänge näherungsweise als harmonische Oszillatoren beschrieben werden konnen. Das ist begründet in der oft gemachten Näherung, dass die potentielle Energie V eines physikalischen Systems um eine Gleichgewichtslage ((dv /dx) x = ) in eine Taylorreihe entwickelt werden kann: ( dv ) ( d 2 V V (x) = V () + } dx {{} = x= x + 2 ) x= x } dx 2 {{} =const. und man annimmt, dass höhere als quadratische Glieder vernachlässigbar sind. Wegen F (x) = dv ( d 2 dx V ) x = kx, k = const ist dx 2 die Rückstellkraft dann proportional zur Auslenkung x (Hookesches Gesetz), was dem harmonischen Oszillator entspricht. Diese hier im D-Fall gemachte Überlegung kann analog auf den 3D- Fall übertragen werden Erzwungene Schwingungen: f(t) Der oft vorliegende Fall eines harmonischen Antriebs (also einer äußeren Kraft) der Form f(t) = f cos(ωt), f = const führt auf was in komplexer Schreibweise lautet Der Ansatz z(t) = A exp{iωt} führt auf ẍ + 2γẋ + ω 2 x = f cos(ωt) z + 2γż + ω 2 z = f exp{iωt} ; z C x(t) = A cos(ωt + ϕ) ; A = f (ω 2 Ω 2 ) 2 + (2γΩ) 2 also eine gegenüber der erzwingenden Kraft phasenverschobene Schwingung mit gleicher Frequenz Ω und einer Amplitude A, die von letzterer, der Eigenfrequenz ω und der Dämpfung γ abhängt: (i) γ = : Ω = ω A = Resonanzkatastrophe (ii) 2γ 2 ω 2 : Ω = ω 2 2γ 2 ˆ= A max (iii) 2γ 2 > ω 2 : kein A max mehr, keine Resonanz Weiteres zu Schwingungen werden Sie in den Mechanik-Vorlesungen kennen lernen.

102 Exkurs: Schwingungen (Dieser Exkurs ist entnommen aus der Vorlesung Grundlagen der Mechanik, siehe Abschnitt 2.5 im zugehörigen Skript.) Ein (das!?) Standardbeispiel für lineare Dgln zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten in der Physik sind Schwingungen. Die grundlegenden Schwingungsformen (harmonische, gedämpfte bzw. erzwungene Schwingung) ergeben sich aus folgender dynamischer Grundgleichung: m r = F H + F R + F E mit: FH = Rückstellkraft F R = Reibungskraft F E = externe (periodische) Kraft Um die Notation im Folgenden übersichtlich zu halten, sei der -dim. Fall betrachtet, für den x = die Ruhelage sei. Außerdem: F H = k x e x ; k > (Hooke sches Gesetz) F R = µ v x e x = µ ẋ e x ; µ > (Stokes sche Reibung) F E = F cos(ω t) e x ; F > (harmonisch variierende Kraft) Bemerkung: Diese Wahl der Kräfte führt auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, so dass eine weitgehende analytische Behandlung möglich ist (s.o.). Bemerkung: Im Fall der Newtonschen Reibung ergibt sich eine nichtlineare Dgl. Für den -dim. Fall reduziert sich die obige allgemeine Form der dynamischen Grundgleichung mit r = ẍ e x auf: Man unterscheidet für k : m ẍ = k x µ ẋ + F cos(ω t) m ẍ + µ ẋ + k x = F cos(ω t) µ = ; F = = freie, harmonische Schwingung µ ; F = = freie, gedämpfte Schwingung µ ; F = erzwungene, gedämpfte Schwingung die im Folgenden diskutiert werden.

103 (A) Freie, harmonische Schwingung (µ =, F = ) Die dynamische Grundgleichung nimmt folgende Form an: mit der Eigenfrequenz ω = Lösungsansatz (a, b C) : Einsetzen ergibt: Form der allgemeinen Lösung: m ẍ + k x = ẍ + k m x = ẍ + ω2 x = k m. x(t) = a exp{bt} ẋ(t) = ab exp{bt} ẍ(t) = ab 2 exp{bt} b 2 a exp{b t} + k m a exp{b t} = b2 + k m = b,2 = ± k m = ± i k m = ± i ω x(t) = x (t) + x 2 (t) = a exp{i ω t} + a 2 exp{ i ω t} Da die physikalische Lösung reell sein muss, verwende die Eulersche Formel (vgl. Anhang): exp{i α} = cos α + i sin α : [ ] [ ] x(t) = a cos(ω t) + i sin(ω t) + a 2 cos( ω t) + i sin( ω t) = (a + a 2 ) cos(ω t) + i (a a 2 ) sin(ω t) cos( α) = cos α sin( α) = sin α Da a,2 C und a a 2, folgt wegen x(t) = reell: x(t)! = x(t) (a + a 2 ) cos(ω t) + i (a a 2 ) sin(ω t) =! (ā + ā 2 ) cos(ω t) i (ā ā 2 ) sin(ω t) } } a + a 2 = ā + ā 2 : 2 a = 2 ā 2 a a a 2 = (ā ā 2 ) : 2 a 2 = 2 ā = ā 2 ā = a 2 } a + a 2 = a + ā = B x(t) = A sin(ω a a 2 = a ā = ia t) + B cos(ω t) mit A, B R Mit Hilfe von Anfangsbedingungen bei t = folgt wieder (s.o.) A = ω ẋ(), B = x()

104 2 und x(t) = ẋ() ω sin(ω t) + x() cos(ω t) Skizze: x(t) t Abbildung : Freie, harmonische Schwingung (B) Freie, gedämpfte Schwingung (µ, F = ) Hier gilt: m ẍ + µ ẋ + k x = ẍ + ( µ m Lösungsansatz (a, b C): ) ẋ + ω 2 x = x(t) = a exp{b t} ẋ(t) = ab exp{b t} ẍ(t) = ab 2 exp{b t} Einsetzen: b 2 + ( µ b + ω m) 2 = b,2 = µ ( µ ) 2 2m ± ω 2 = µ 2m 2m ± D D := ( µ 2 2 m) ω 2 Form der allgemeinen Lösung: x(t) = a exp{b t} + a 2 exp{b 2 t} Es lassen sich drei Fälle unterscheiden: D { < = schwache = = kritische > = starke } Dämpfung

105 3 () Schwache Dämpfung D < : Aus: Schwingungsfrequenz: ω := ω 2 ( µ 2 m) = D b,2 = µ ( µ ) 2 2 m ± i ω 2 = µ 2 m 2 m ± i ω { x(t) = exp = exp µ 2 m t } [ a exp {i ω t} + a 2 exp { i ω t} { µ 2 m t } [ (a + a 2 ) cos(ω t) + i (a a 2 ) sin(ω t) x() = a + a 2 ; ẋ() = µ 2 m (a + a 2 ) + i ω(a a 2 ) = µ 2 m x() + i ω(a a 2 ) folgt: { x(t) = exp µ } [ ( 2 m t ẋ() + µ ) ] 2 m x() sin(ω t) + x() cos(ω t) ω ] ] x(t) exp K m 2 m t t Abbildung 2: Schwach gedämpfte Schwingung (2) kritische Dämpfung D = : b = b 2 = µ 2 m ; d.h. ω = D = und man findet nur eine spezielle Lösung: x = a exp { µt/(2 m)}. Die zweite Lösung folgt aus einer Grenzwertbetrachtung der Lösung für D < : ω cos(ω t) ; sin(ω t) t ω { x(t) = exp µ } [ ( 2 m t ẋ() + µ ) ] 2 m x() t + x() Bemerkung: - da keine Schwingung: aperiodischer Grenzfall - praktische Anwendung: Zeigermessinstrumente, Türschließung

106 4 x(t) (max. eine Nullstelle) t Abbildung 3: kritische Dämpfung, aperiodischer Grenzfall (3) Starke Dämpfung D > : b,2 = µ 2 m ± x(t) = exp ( µ ) 2 ω < 2 m { µ 2 m t } [ a exp { Dt } { + a 2 exp } ] Dt Damit: Aus: x() = a + a 2 ; ẋ() = µ 2 m (a q + a 2 ) + D(a a 2 ) folgt: a,2 = [ x() ± ( ẋ() + µ ) ] 2 D 2 m x() x(t) = 2 exp { µ 2 m t } [ ( x() + [ ẋ() + µ D ]) 2 m x() ( + x() [ ẋ() + µ D 2 m x() exp { Dt } ]) exp { Dt } ] Bemerkung: Aperiodische Kriechbewegung ähnlich zu (2) aber mit kleinerer Amplitude und länger andauernder Rückkehr zur Ruhelage.

107 5 (C) Erzwungene, gedämpfte Schwingung Man hat: m ẍ + µ ẋ + k x = F cos(ω t) ẍ + µ mẋ + ω2 x = F cos(ω t) m Also: inhomogene Dgl allgemeine Lösung = allgemeine Lösung der homogenen Dgl + spezielle (= partikuläre) Lösung der inhomogenen Dgl homogene Lösung: siehe 7..2 inhomogene Lösung: nach Einschwingzeit schwingt das System mit der Frequenz ω Daher der Ansatz für die partikuläre Lösung (a C, ω R): x(t) = a exp{i ω t} ẋ(t) = i ω a exp{i ω t} ẍ = ω 2 a exp{i ω t} cos(ω t) exp(i ω t) Einsetzen: a ω 2 m + i ω µ a + a k = F a = F k ω 2 m + i ω µ a = aā = F m φ = arctan { Im(a) Re(a) ω 2 = k m = F /m (ω 2 ω 2 ) + i µ m ω = F m (ω 2 ω 2 ) 2 + µ2 ω 2 m 2 (ω 2 ω 2 ) 2 + µ2 ω 2 } = arctan m 2 = F m { µ ω/m ω 2 ω 2 (ω 2 ω 2 ) i µ m ω (ω 2 ω 2 ) 2 + µ2 ω 2 m 2 (ω 2 ω 2 ) 2 + µ2 ω 2 } { m 2 = arctan µ ω m (ω 2 ω 2 )! = a exp{ i φ} x inhomog (t) = F exp { i [ ω t + φ ] } = partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl m (ω 2 ω 2 ) 2 + µ2 ω 2 m 2 Physikalisch relevant ist der Realteil, daher lautet die allgemeine Lösung: ( ) x(t) = Re x inhomog (t) + x homogen (t) } t 2 m µ x(t) F m cos(ω t + φ) (ω 2 ω 2 ) 2 + µ2 ω 2 m 2

108 6 Bemerkung: max. Amplitude für ω R = ω 2 µ2 = Resonanzfrequenz 2m 2 µ = ω R = ω a = = Resonanzkatastrophe µ2 2m 2 > ω2 keine Resonanz mehr Skizze: Abbildung 4: Grenzfälle bei erzwungener, gedämpfter Schwingung

109 7 8 Nichtlineare Dynamik und Chaos siehe ggf. die Vorlesung Theoretische Mechanik

110 8 9 Vektoranalysis II Im Folgenden werden wieder ein skalares Feld Φ( r) und ein Vektorfeld A( r) verwendet. Für deren Definition siehe Abschnitt.3. (A) Darstellung der vektoranalytischen Differentialoperatoren in beliebigen orthogonalen Koordinatensystemen (A) Vorüberlegung zur Koordinatentransformation (Siehe Abschnitt.4(C)) Sei r = (x, x 2, x 3 ) = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 in kartesischen und r = u e u + v e v + w e w in beliebigen orthogonalen Koordinaten. Dann gilt: ( ) ( ) ( ) r r r d r = du + dv + dw u v w ( ) r Da mit v, w = const parallel zu e u ist (andere Komponenten entsprechend), gilt: u { } { } { } r d r = u du r e u + v dv r e v + w dw e w womit folgt: e u = r u ( r u ) ; e v = r v ( r v ) ; e w = r w ( r w )

111 9 Beispiel: (vgl..4(a)) (a) Zylinderkoordinaten: r = (x, x 2, x 3 ) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) e ρ = r ρ / r ρ = (cos ϕ, sin ϕ, ) e ϕ = r ϕ / r ϕ = ( sin ϕ, cos ϕ, ) e z = r z / r z = (,, ) (b) Kugelkoordinaten: r = (x, x 2, x 3 ) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) e r = r r / r r = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) e ϑ = r ϑ / r ϑ = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ) e ϕ = r ϕ / r ϕ = ( sin ϕ, cos ϕ, ) Im Folgenden werden die metrischen Koeffizienten oder auch Metrikkoeffizienten g u = r ; g v = r ; g w = r u v w verwendet, so dass Insbesondere gilt dann für e u = g u r u ; e v = g v r v ; e w = g w r w Kartesische Koordinaten (x, x 2, x 3 ) : g x = ; g x2 = ; g x3 = Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) : g ρ = ; g ϕ = ρ ; g z = Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) : g r = ; g ϑ = r ; g ϕ = r sin ϑ Und für ein (weiter unten in (A3) gebrauchtes) infinitesimales Volumenelement gilt wegen der Ausdruck d r = g u du e u + g v dv e v + g w dw e w dv = g u g v g w dudvdw

112 (A2) Gradient, Nabla-Operator Gemäß 3.(A) hat man: dφ = (grad φ) d r = ( φ) d r = ( φ) { r r r du + dv + u v w dw} = {( φ) u e u + ( φ) v e v + ( φ) } } w e w {g u du e u + g v dv e v + g w dw e w = ( φ) u g u du + ( φ) v g v dv + ( φ) w g w dw Ein Vergleich mit der Formel aus.3.2: ergibt: dφ = ( φ) u = ( φ ) g u u ( φ ) du + u ( φ ) dv + v ; ( φ) v = ( φ ) g v v ( φ ) dw w ; ( φ) w = ( φ ) g w w bzw. grad φ = φ = { φ } e u + g u u { φ } { φ } e v + e w g v v g w w Somit ergibt sich der Nabla-Operator in allgemeinen orthogonalen Koordinaten zu: = e u { g u } { } { } + e v + e w u g v v g w w

113 (A3) Divergenz Analog zu den Betrachtungen in 3.2 gilt: Demnach: ( N ± = A u u u ( ) F t = A u u u ) g v g w v w t 2 2 { A u (u)g v g w u (A u(u)g v g w ) u } v w t 2 Mit V = g u g v g w u v w (siehe (A)) gilt sodann (nun A u := A u (u)): N = N + N = u (A ug v g w ) u v w t = u (A V t ug v g w ) g u g v g w ( N/ V ) lim = V, t t ( n ) = t A u g u g v g w u (A ug v g w ) Insgesamt also: ( n ) = n t A t = { g u g v g w u (A ug v g w ) + v (A vg w g u ) + } w (A wg u g v ) =: A Somit ergibt sich die Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten zu: A = { g u g v g w u (g vg w A u ) + v (g wg u A v ) + } w (g ug v A w ) (A4) Laplace-Operator Da =, folgt mit (A2) und (A3) für den Laplace-Operator in allgemeinen orthogonalen Koordinaten: = { ( gv g w g u g v g w u g u ) + ( gw g u u v g v ) + ( gu g v v w g w )} w

114 2 (A5) Rotation Aus einer (später zu definierenden) Integraldarstellung ergibt sich für die Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten: A = + + { ) (g w A w g v g w v w { ) (g u A u g w g u w u { ) (g v A v g u g v u v (g v A v )} e u (g w A w )} e v (g u A u )} e w Bemerkung: Diese etwas umfangreichere Formel lässt sich auch einfacher merken über: e u e v e w g v g w g w g u g u g v A = u v w g u A u g v A v g w A w (A6) Differential-Operatoren in speziellen Koordinatensystemen (a) Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z): ( ) ( ) ( ) = e ρ + e ϕ + e z ρ ρ ϕ z ( φ ) ( φ ) ( φ ) φ = e ρ + e ϕ + e z ρ ρ ϕ z A = ) (ρa ρ + A ϕ ρ ρ ρ ϕ + A z z φ = ( ρ φ ) + 2 φ ρ ρ ρ ρ 2 ϕ + 2 φ 2 z 2 A { A z = ρ ϕ A } { ϕ Aρ e ρ + z z A z ρ } { e ϕ + ρ ρ ) (ρa ϕ ρ A } ρ e z ϕ

115 3 (b) Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ): ( ) ( ) ( = e r + e ϑ + e ϕ r r ϑ r sin ϑ ) ϕ ( φ ) ( φ ) ( φ ) φ = e r + e ϑ + e ϕ r r ϑ r sin ϑ ϕ A = ) (r 2 A r 2 r + ( ) sin ϑa ϑ + A ϕ r r sin ϑ ϑ r sin ϑ ϕ φ = ( r 2 φ ) ( + sin ϑ φ ) 2 φ + r 2 r r r 2 sin ϑ ϑ ϑ r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 A { ( ) = sin ϑa ϕ A } ϑ e r r sin ϑ ϑ r sin ϑ ϕ { A r + r sin ϑ ϕ )} (ra ϕ e ϑ r r { ) + (ra ϑ A } r e ϕ r r r ϑ

116 4 (A7) Anwendungsbeispiele (A7.) Elektrischer Dipol: Zylinderkoordinaten Sei das Potential φ mit p = p e z gegeben: φ( r) = 4πɛ o p r r 3 = 4πɛ o pz (ρ 2 + z 2 ) 3 2 (a) Berechnung des elektrischen Feldes: ( φ ) ( φ ) φ = e ρ + e ϕ ρ ρ ϕ { = e ρ 3 pz2ρ 4πɛ o 2 (ρ 2 + z 2 ) 5 2 ( φ ) + e z z } + e z { 4πɛ o ( = 3( p r) { } ρ e 4πɛ o r 5 ρ + z e z + p e z 4πɛ o r 3 p (ρ 2 + z 2 ) pz2z )} 2 (ρ 2 + z 2 ) 5 2 E = φ = 4πɛ o { 3( p r) r r 5 p r 3 } (b) Divergenz des elektrischen Feldes: E = = = { 4πɛ o ρ ρ (ρe ρ) + E } z z { ( 6pzρ 5 3pzρ 2 2ρ ) 6pz + 4πɛ o ρ (ρ 2 + z 2 ) (ρ 2 + z 2 ) 7 2 (ρ 2 + z 2 ) 5 2 { 5pz 5pz(ρ2 + z 2 ) } = 4πɛ o (ρ 2 + z 2 ) 5 2 (ρ 2 + z 2 ) pz 2 2z 2 (ρ 2 + z 2 ) p2z } 2 (ρ 2 + z 2 ) 5 2 (c) Rotation des elektrischen Feldes: E = = { Eρ z E } z e ϕ ρ { 3pρ 5 6pz 2 ρ 4πɛ (ρ 2 + z 2 ) (ρ 2 + z 2 ) pz 2 ρ 2 (ρ 2 + z 2 ) 7 2 } 3 p2ρ = 2 (ρ 2 + z 2 ) 5 2

117 5 (A7.2) Homogen geladene Kugel mit Radius R: Kugelkoordinaten Das Potential φ ist gegeben durch: φ( r) = 4πɛ o 3 q 2 R (a) Berechnung des elektrischen Feldes: q r ( φ ) ( φ = e r + e ϑ r r = 4πɛ o ( r2 3R 2 ) ; r > R ; r R φ ) ( + e ϕ }{{} ϑ r sin ϑ = q r 2 e r ; r > R q r R 3 e r ; r R φ ) ϕ }{{} = E = φ = 4πɛ o q r 2 e r ; r > R q r R 3 e r ; r R Veranschaulichung: (b) Divergenz des Feldes: E = ( φ) = φ Hier: φ = ( r 2 φ ) = r 2 r r (anschaulich klar?!) ( q ) = ; r > R r 2 r 4πɛ o ( qr 3 ) = 3q r 2 r 4πɛ o R 3 4πɛ o R = ρ q 3 ɛ o ; r R