a) Die Abbildung µ h ist injektiv, da für alle g 1, g 2 G gilt: Daher ist µ h bijektiv. Zudem folgt aus µ h (g) = g auch
|
|
- Tomas Müller
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Aufgabe. (8 Punkte) Es sei (G, ) eine Gruppe und e G ihr neutrales Element. Für h G sei µ h : G G die Abbildung, die durch g G : µ h (g) := h g gegeben ist. a) Zeigen Sie, dass für jedes h G die Abbildung µ h bijektiv ist und dass µ h (g) = g für ein g G genau dann gilt, wenn h = e G. b) Seien nun G kommutativ, n N und g,..., g n G. Zeigen Sie, dass dann für jedes h G gilt: µ h n(g g 2... g n ) = µ h (g ) µ h (g 2 )... µ h (g n ). c) Nun sei G kommutativ und bestehe aus genau n N Elementen g,..., g n. Folgern Sie aus den ersten beiden Teilaufgaben, dass jedes h G die Eigenschaft h n = e G hat. a) Die Abbildung µ h ist injektiv, da für alle g, g 2 G gilt: µ h (g ) = µ h (g 2 ) h g = h g 2 h (h g ) = h (h g 2 ) (h h) g = (h h) g 2 e G g = e G g 2 g = g 2. Die Abbildung µ h ist surjektiv, da für alle g G gilt: Daher ist µ h bijektiv. Zudem folgt aus µ h (g) = g auch µ h (h g) = h h g = g. h g = g h g g = g g h e G = e G h = e G b) Es gilt nach Definition von µ h : µ h (g ) µ h (g 2 )... µ h (g n ) = h g h g 2 h g n. Da G kommutativ ist, kann man hier auf der rechten Seite die Faktoren vertauschen und den n-fach auftretenden Faktor h voranstellen: h g h g 2 h g n = h n g g 2... g n = µ h n(g g 2... g n ). Die letzte Gleichheit ist die Definition von µ h n. c) Da µ h nach (a) bijektiv ist, ist G = {µ h (g ),..., µ h (g n )}. Da G zudem kommutativ ist, kommt es auf die Reihenfolge der Faktoren nicht an, und es folgt mit (b) g g n = µ h (g ) µ h (g 2 )... µ h (g n ) = µ h n(g g n ). Aus der letzten Behauptung in (a) folgt dann h n = e G.
2 Aufgabe.2 (8 Punkte) Es sei V der R -Vektorraum der reellwertigen Folgen. Weiter sei U := {(a i ) i N V i N : a i+2 = a i + a i+ } V. a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist. b) Bestimmen Sie die Dimension von U. c) Für F = (a i ) i N U sei Φ(F ) die Folge (a i+ ) i N. Begründen Sie, wieso die so definierte Abbildung Φ ein Endomorphismus von U ist. a) Die Menge U ist nicht leer, da die Nullfolge darin liegt. Wenn weiter a = (a i ) i N und b = (b i ) i N Elemente von U sind und x, y R, dann liegt auch die Folge c := xa + yb mit den Folgengliedern c i = xa i + yb i in U, denn für jedes i N gilt: c i+2 = xa i+2 +yb i+2 = x(a i +a i+ )+y(b i +b i+ ) = xa i +yb i +xa i+ +yb i+ = c i +c i+. Nach dem Untervektorraumkriterium ist demnach U ein Untervektorraum von V. b) Es sei f die Folge in U, die mit den Folgengliedern f = und f 2 = beginnt. Dann berechnen sich rekursiv die weiteren Folgenglieder durch f i+2 = f i + f i+, also f 3 =, f 4 = 2, f 5 = 3, f 6 = 5, f 7 = 8,.... Analog sei g die Folge in U, die mit den Folgengliedern g =, g 2 = beginnt. Dann gilt g 3 =, g 4 =, g 5 = 2, g 6 = 3, g 7 = 5,... f und g sind linear unabhängig, da xf + yg als erste Folgenglieder gerade y und x hat, also nur dann wird, wenn x und y selbst sind. Für eine beliebige Folge a = (a i ) i N aus U ist dann a a g a 2 f eine Folge aus U, deren erste zwei Folgenglieder sind, und wegen der Rekursionsbedingung an die Folgen in U sind dann auch alle weiteren Folgenglieder. Also ist a = a g + a 2 f, und f und G erzeugen U. Damit hat U die Basis {f, g}, ist also zweidimensional. c) Für a U ist b = Φ(a) ebenfalls in U, denn für das i -te Folgenglied gilt b i = a i+, und damit ist b i+2 = a i+3 = a i+ + a i+2 = b i + b i+. Weiter gilt für zwei Folgen a, b U und x, y R, dass die Folge c = xa + yb mit Folgengliedern c i = xa i + yb i als Bild die Folge Φ(c) mit den Folgengliedern c i+ = xa i+ + yb i+ hat, also Φ(c) = xφ(a) + yφ(b) gilt. Damit ist Φ : U U linear, also ein Endomorphismus von U.
3 Aufgabe.3 (8 Punkte) Sei A = R Bestimmen Sie a) die (normierte!) Treppenform T R 3 4 von A sowie eine Matrix C GL 3 (R), sodass T = C A gilt. b) die Menge L T aller Matrizen M R 3 3 mit M T =. c) die Menge L A aller Matrizen N R 3 3 mit N A =. d) die Menge L A,T aller Matrizen D R 3 3 mit D A = T. a) Wir führen den Gauß-Algorithmus durch und merken uns dabei jeweils, welche Matrizen für die Zeilenumformungen benötigt werden, indem wir die erweiterte Matrix (A I 3 ) transformieren. Die letzten drei Spalten bilden dann eine passende Matrix C. ( ) + ( 3 2 ) ( ) ( 3 2 ) Damit ist 3 2 T = 2 3 und zum Beispiel C = 2. b) Aufgrund der Bestimmung von T ist x L T = y x, y, z R z offensichtlich. c) Wegen NA = NC T ist x x x L A = {MC M L T } = y y y x, y, z R. z z z d) Wegen DA = T = CA (D C)A = gilt L A,T = {C + N N L A }. +
4 Aufgabe.4 (8 Punkte) Es sei V R[X] ein reeller Untervektorraum des Polynomringes über R. a) Zeigen Sie, dass für jedes a R die Auswertungsabbildung E a : V R, f E a (f) := f(a) eine Linearform ist. b) Für V = {f R[X] Grad(f) 2} ist B := { X 2 +, 2 (X2 X), 2 (X2 + X)} eine Basis von V. Bestimmen Sie a, b, c R, sodass die Linearformen E a, E b, E c die zu B duale Basis des Dualraumes V bilden. c) Nun sei V R[X] endlich-dimensional, dim(v ) 3, und B V eine Basis, die das Polynom X 2 enthält. Begründen Sie, wieso die zu B duale Basis nicht nur aus Linearformen der Gestalt E a wie in Teil a) bestehen kann. a) Für f = c + c X + c 2 X c n X n und g = d + d X + + d n X n (wobei n das Maximum der Grade von f und g sei) sowie λ R gilt E a (f +g) = E a ( und (c i +d i )X i ) = i= E a (λf) = Damit ist E a eine Linearform. (c i +d i )a i = i= λc i a i = λ i= c i a i + i= d i a i = E a (f)+e a (g) i= c i a i = λe a (f). b) Wir nennen die drei Funktionen der Basis in der Reihenfolge ihres Auftretens f, g, h. Nun müssen wir a, b, c R finden, sodass E a, E b und E c dazu dual sind, das heißt konkret: f(a) =, g(a) = h(a) =, f(b) = h(b) =, g(b) =, f(c) = g(c) =, h(c) =. Die einzige gemeinsame Nullstelle von g und h ist, und f() =. Die einzige gemeinsame Nullstelle von f und h ist, und g( ) =. Die einzige gemeinsame Nullstelle von f und g ist, und h() =. Also sind a =, b =, c = eine gute Wahl. c) Sei d = dim V. Zu der dualen Basis von B gehören d Linearformen, die bei X 2 den Wert annehmen. Wenn diese alle von der Gestalt E a wären, dann müsste X 2 mindestens d Nullstellen in R besitzen, was den Widerspruch d 2 nach sich zieht. i=
5 Aufgabe.5 (8 Punkte) In Abhängigkeit von a R sei A R 4 4 die Matrix A = a 3a 2a a Weiter sei Φ = Φ A : R 4 R 4 der Endomorphismus von R 4, der durch v Φ(v) := A v gegeben ist. a) Bestimmen Sie die Dimension des Eigenraumes Eig(Φ, ) und weisen Sie nach, dass ein Eigenwert von Φ ist. b) Wählen Sie eine Basis des Eigenraumes Eig(Φ, ) und ergänzen Sie diese zu einer Basis B von R 4. Bestimmen Sie dann die Abbildungsmatrix D BB (Φ). c) Entscheiden Sie, für welche Werte von a der Endomorphismus Φ diagonalisierbar ist. a) Der Eigenraum Eig(Φ, ) ist der Kern der Matrix A ( ) I 4 = A + I 4, also Kern a 3a 2a a Diese Matrix hat Rang, ihr Kern ist also nach der Dimensionsformel dreidimensional. Jedes von verschiedene Element im Eigenraum ist ein Eigenvektor von Φ zum Eigenwert, es gibt also solche Eigenvektoren, und damit ist ein Eigenwert von Φ. b) Eine Basis des Eigenraums sieht man der Matrix aus Teil (a) an, zum Beispiel,, 4 3 Wir nennen diese drei Vektoren in der Reihenfolge b, b 2, b 3 und ergänzen sie durch b 4 := e 4 (vierter Vektor der Standardbasis) zu einer Basis B von R 4. Φ(b 4 ) = = b + b 2 + b 3 + (8 + a)b 4 a Da die anderen drei Basisvektoren Eigenvektoren sind, ist die Abbildungsmatrix D BB (Φ) =. 8 + a
6 c) Die Eigenwerte von Φ sind und 8 + a, wie man der Abbildungsmatrix aus (b) ansieht (Dreiecksmatrix!). Der Eigenraum zu hat für jedes a die Dimension 3. Damit ist Φ genau dann diagonalisierbar, wenn nicht der einzige Eigenwert ist, wenn also a 9.
7 Aufgabe.6 (8 Punkte) Für reelle Parameter a, b und n N sei die n n-matrix A n = (a i,j ) i,j n durch a, falls i = j, a i,j = b, falls i j =,, sonst. definiert Berechnen Sie det(a ), det(a 2 ) sowie det(a 3 ) und leiten Sie eine rekursive Formel zur Berechnung von det(a n ) her. Die Matrix sieht wie folgt aus: a b.... b a b... A n = b a b... b a Es gilt det(a ) = det((a)) = a, det(a 2 ) = det (( a b b a)) = a 2 b 2, a b det(a 3 ) = det b a b = a 3 2b 2 a. b a Dabei haben wir in der dritten Zeile die Regel von Sarrus angewandt. Nun sei n 3. Wir entwickeln det(a n ) nach der letzten Zeile: wobei B die (n ) (n ) -Matrix det(a n ) = a det(a n ) b det(b), B = A n, b b deren letzte Spalte b e n ist. Entwickeln nach der letzten Spalte zeigt det(b) = b det(a n ) und damit det(a n ) = a det(a n ) b 2 det(a n ).
a) Zeigen Sie, dass ϕ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn die Verknüpfung
Aufgabe (8 Punkte) Es sei (G, ) eine Gruppe und ϕ: G G die Abbildung, die für jedes g G durch ϕ(g) = g g =: g gegeben ist. a) Zeigen Sie, dass ϕ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn die Verknüpfung
MehrLineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum
MehrR 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte
Aufgabe ( Es seien e =, e = Untervektorraum (, e = ( R und U := [e, e ] der von e, e erzeugte Weiter sei G := {A GL(, R A e = e und A U U} (a Zeigen Sie, dass G eine Untergruppe von GL(, R ist (b Geben
MehrAufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009
I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
MehrT := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass
I. a) Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e G. Zeigen Sie, dass U := {g G g 3 = e G } eine Untergruppe von G ist. b) In der symmetrischen Gruppe S 4 definieren wir analog zu a) die
Mehra) Ein Gruppenhomomorphismus von G nach H ist eine Abbildung Φ : G H, sodass für alle g 1, g 2 G die Gleichung Φ(g 1 g 2 ) = Φ(g 1 ) Φ(g 2 )
I. (4 Punkte) Es seien (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e G und (H, ) eine weitere Gruppe. a) Geben Sie die Definition eines Gruppenhomomorphismus Φ : G H an und beweisen Sie, dass für solch einen
MehrZeigen Sie, dass der einzige Gruppenhomomorphismus von (G, ) nach (Z 5, +) die Abbildung Φ : G Z 5
Aufgabe I (4 Punkte) Es sei G : {e, g, g, g } eine 4-elementige Gruppe mit neutralem Element e Die Verknüpfung auf G werde mit bezeichnet Außerdem seien in G folgende Gleichungen erfüllt: g g g und g g
Mehr{ id, falls sgn(σ) = 1, τ, falls sgn(σ) = 1,
Aufgabe I1 (4 Punkte) Es seien (G, ) und (H, ) Gruppen a) Wann heißt eine Abbildung Φ : G H ein Gruppenhomomorphismus? b) Es seien Φ, Ψ : G H zwei Gruppenhomomorphismen Zeigen Sie, dass eine Untergruppe
MehrScheinklausur, 2. Teil, Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß. Ja oder
Gruppe A Scheinklausur 2. Teil 15.2.2002 Lineare Algebra I WS 2001 Prof. Dr. G. Hiß Name: Matrikelnummer: Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder Ja oder Nein oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben:
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrLineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
Mehra b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
MehrLineare Algebra I Lösungsvorschlag
Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und
MehrLösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I
Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume für einen Körper K. a) Wann heißt eine Abbildung f : V W linear? b) Wann heißt eine Abbildung f : V W injektiv?
MehrLösungsvorschläge zur Klausur. Lineare Algebra, Herbst 2010
Lösungsvorschläge zur Klausur Lineare Algebra, Herbst 200 I. Es seien n eine natürliche Zahl, M = {,..., n} N und S n die Gruppe der Permutationen der Menge M. Zeigen Sie: a) Für jedes a M ist H a := {σ
MehrKlausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra
Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Sommersemester 25 Aufgabe 2 2 Sei A 3 3 8 2 4 3 R4 5. 5 2 a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b) Ist Ax b mit b lösbar? (Begründen
Mehr1 Darstellungsmatrizen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Darstellungsmatrizen Vereinbarungen für dieses Kapitel: K Körper V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume B = {v
MehrLösungsvorschlag zur LA-Klausur vom
I. (4 Punkte) Lösungsvorschlag zur LA-Klausur vom 7.03.008 Es sei M eine Menge mit zwei Verknüpfungen und. Weiter gebe es ein Element e M, das sowohl für als auch für neutrales Element ist. Schließlich
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrHinweis: Die Klausur Lineare Algebra 2 für die Fachrichtung Informatik besteht aus den Aufgaben 2.1 bis 2.4.
Hinweis: Die Klausur Lineare Algebra 2 für die Fachrichtung Informatik besteht aus den Aufgaben 2.1 bis 2.4. Aufgabe 2.1 (8 Punkte) Es sei K ein Körper, n N, V ein 2n-dimensionaler K -Vektorraum und U
MehrLineare Algebra I Lösung der Probeklausur
David Blottière Patrick Schützdeller WS 6/7 Universität Paderborn Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur Aufgabe : M i) M ist linear unabhängig. Seien a,b,c R mit Daraus folgt : Also gilt a = b = c
MehrHauptklausur. Lineare Algebra. (BaM-LA1, L3M-AG) Prof. Dr. Martin Möller // Jonathan Zachhuber. WiSe 2016/17 // 20. Februar 2017
Hauptklausur Lineare Algebra (BaM-LA1, L3M-AG) Prof. Dr. Martin Möller // Jonathan Zachhuber WiSe 2016/17 // 20. Februar 2017 Kontrollieren Sie, ob Sie alle 6 Aufgabenblätter erhalten haben, und geben
Mehr1. Hausübung ( )
Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (8.4.) Aufgabe Es seien σ (3, 6, 5,, 4, 8,, 7) und τ (3,,, 4, 6, 5, 8, 7). Berechnen Sie σ τ, τ σ, σ, τ, die Anzahl der Inversionen von σ und τ
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
MehrLineare Algebra I - Prüfung Winter 2019
Lineare Algebra I - Prüfung Winter 209. (20 Punkte) Kreuzen Sie auf dem Abgabeblatt ihre Antwort an. Pro Teilaufgabe ist genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig. Für jede richtig beantwortete
MehrAufgabe I.1 (4 Punkte) Gegeben seien die Matrix H := und die Menge L := {A R 4 4 A HA = H} Zeigen Sie:
Aufgabe I (4 Punkte Gegeben seien die Matrix und die Menge Zeigen Sie: H := L := {A R 4 4 A HA = H} a L ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe b Die Matrizen der Form ( E O, O B wobei E R
MehrLösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015
sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)
Mehr2.11 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit
2.11. EIGENWERTE UND DIAGONALISIERBARKEIT 127 Die Determinante eines Endomorphismus Wir geben uns jetzt einen endlichen erzeugten K-Vektorraum V und einen Endomorphismus ϕ : V V vor. Wir wollen die Determinante
MehrLineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben
Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Blatt 2, Aufgabe 3 a) Wir zeigen, daß das Ideal (2, X) kein Hauptideal in Z[X] ist. (Dieses Ideal besteht aus allen Elementen in Z[X], die von der Form
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07032016-11032016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Abbildungen 2 11 Homomorphismus 2 12 Kern
MehrVordiplomsklausur zur Linearen Algebra I
25.3.2002 Vordiplomsklausur zur Linearen Algebra I Prof. Dr. G. Hiß Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/201 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.201, 11 Uhr Lösungen der
Mehr43911: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 2015 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner 439: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 5 Lösungsvorschlag I.. Für n N mit n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem in den n Unbekannten x,..., x n mit den n Gleichungen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 14: Vektorräume und lineare Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 6. Oktober 2009) Vektorräume
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14.5.218 (Teil 2) 9. Mai 218 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 3 c 218
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Lineare Algebra 1 WS 2006/07 Lösungen Blatt 13/ Probeklausur. Lösungen zur. Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 13/2 29.1.27 en zur Probeklausur Aufgabe 1 (ca. 6 Punkte) Sei
MehrLineare Algebra Weihnachtszettel
Lineare Algebra Weihnachtszettel 0..08 Die Aufgaben auf diesem Zettel sind zum Üben während der Weihnachtspause gedacht, sie dienen der freiwilligen Selbstkontrolle. Die Aufgaben müssen nicht bearbeitet
MehrKlausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen.
Klausur Lineare Algebra I am 03.02.10 Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren
MehrKlausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016
Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg. Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 206 Bearbeiten Sie bitte
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrLerndingsbums für LA
Lerndingsbums für LA Geheim 23. Juli 2010 1. Es seien A, B und C beliebige Mengen. Kreuzen Sie jeweils Ja an, wenn die Aussage stimmt oder Nein, wenn sie nicht stimmt! Hier ist M \ N die Differenzmenge
MehrMusterlösung Donnerstag - Determinanten und Eigenwerte
Musterlösung Donnerstag - Determinanten und Eigenwerte 6. März Aufgabe : Zum Aufwärmen () Zeige, dass eine nilpotente Endomorphismus nur die Null als Eigenwert hat. Hinweis: Ein Endomorphismus heißt nilpotent,
Mehr4.2 Die adjungierte Abbildung
4.2. DIE ADJUNGIERTE ABBILDUNG 177 4.2 Die adjungierte Abbildung Die Vektorräume dieses Paragraphen seien sämtlich euklidisch, die Norm kommt jetzt also vom inneren Produkt her, v = v v. Zu f Hom R (V,
MehrLösungshinweise zur Klausur. Mathematik für Informatiker III. (Dr. Frank Hoffmann) 18. Februar 2008
Lösungshinweise zur Klausur Mathematik für Informatiker III (Dr. Frank Hoffmann) 8. Februar 8 Aufgabe Algebraisches I /6++ (a) Rechnen Sie zunächst nach, dass die Menge B = {,, von Vektoren eine Basis
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante
MehrLineare Algebra für Ingenieure
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen
Mehr3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.7. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 123 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir wollen jetzt lineare Endomorphismen durch Matrizen besonders übersichtlicher Gestalt (u.a. mit möglichst vielen Nullen) beschreiben,
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
MehrKlausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 07
7.7.7 (. Termin Klausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 7 B.Sc-Modulprüfung / Diplom-Vorprüfung / Scheinklausur in Lineare Algebra I Dr. Timo Hanke, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen Name:
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrLösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II. Definitionen
Technische Universität Berlin Sommersemester 2008 Institut für Mathematik 18 Juli 2008 Prof Dr Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II Aufgabe 1 (1+1+1 Punkte)
MehrPrüfung Lineare Algebra , B := ( ), C := 1 1 0
1. Es seien 1 0 2 0 0 1 3 0 A :=, B := ( 1 2 3 4 ), C := 1 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. A und C haben Stufenform, B nicht. B. A und B haben Stufenform,
MehrKlausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4 Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016
Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4 Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016 Bearbeiten Sie bitte zwei
MehrEinführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 12.12.2016 9. Vorlesung Eigenschaften linearer Abbildungen Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen... Eigenschaften
MehrKlausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 07
17.07.007 (1. Termin Klausur zu Lineare Algebra I für Informatiker, SS 07 B.Sc-Modulprüfung / Diplom-Vorprüfung / Scheinklausur in Lineare Algebra I Dr. Timo Hanke, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen
MehrRichie Gottschalk Lineare Algebra I Seite 1. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? Es gibt genau einen Unterraum W von V mit dim(w ) = n.
Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite Aufgabe Im Folgenden sind K immer ein Körper und V ein K-Vektorraum. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? K[x] K[x] ist per se ein kommutativer Polynomring.
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
MehrÜbungsklausur Lineare Algebra
Übungsklausur Lineare Algebra Sommersemester 2010 Johannes Gutenberg-Universität Mainz Diese Übungsklausur ist sehr lang (gut zum Üben). In der richtigen Klausur finden Sie eine Multiple Choice aufgabe
Mehr3 a) Berechnen Sie die normierte Zeilenstufenform der Matrix A = normierte Zeilenstufenform:
1. Aufgabe (9 Punkte) In dieser Aufgabe müssen Sie Ihre Antwort nicht begründen. Es zählt nur das Ergebnis. Tragen Sie nur das Ergebnis auf diesem Blatt im jeweiligen Feld ein. 0 1 3 a) Berechnen Sie die
MehrLineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter
MehrLineare Algebra 2. Lösung zu Aufgabe 7.2:
Technische Universität Dortmund Sommersemester 2017 Fakultät für Mathematik Übungsblatt 7 Prof. Dr. Detlev Hoffmann 15. Juni 2017 Marco Sobiech/ Nico Lorenz Lineare Algebra 2 Lösung zu Aufgabe 7.1: (a)
Mehr8 Eigenwerttheorie I 8. EIGENWERTTHEORIE I 139. Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet:
8. EIGENWERTTHEORIE I 139 8 Eigenwerttheorie I Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet: K[x] = Abb[N, K] = {P ; P = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 ; a
MehrLineare Algebra II Lösungen der Klausur
Prof Dr K Doerk 673 Jens Mandavid Christian Sevenheck Lineare Algebra II Lösungen der Klausur (a Diese Aussage ist richtig, sie stimmt nämlich für k = Sei nämlich n N beliebig und bezeichne N die Menge
MehrÜbungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1
Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1 Hermann Schichl Andreas Čap Sommersemester 218 Wiederholung grundlegender Begriffe (1) Bestimmen Sie Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 3, die gegeben
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
MehrBasisprüfung. 18. August 2015
Lineare Algebra I/II D-MATH, HS 4/FS 5 Prof Richard Pink Basisprüfung 8 August 25 [6 Punkte] Betrachte den reellen Vektorraum R 3 zusammen mit dem Standardskalarprodukt, und die Vektoren 9 3 v := 6, v
MehrAlle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie-
1 Vorbemerkungen Alle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie- benen Vektoren. Wird die Matrix A = ( a 1,..., a n ) mit dem Vektor c = c 1. c n multipliziert,
Mehri) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.
Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2 2
Mehrm 1 Die Bewegung der drei Kugeln wird beschrieben durch das folgende Differentialgleichungssystem x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) k 12 k 12 k 12 k k 23
Kapitel 5 Eigenwerte 5. Definition und Beispiele Wir sehen uns ein System dreier schwingender Kugeln der Massen m, m und m 3 an, die durch Federn aneinander gekoppelt sein sollen. m k m k 3 m 3 x ( t x
MehrFerienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte
Technische Universität München, Fakultät für Physik Ferienkurs - ineare Algebra Hanna Schäfer 03. März 04 0. inearität. f : M N, x : y = f(x) Merkinhalte. f(x + λy) = f(x) + λf(y), x, y V, λ K 3. ineare
Mehr6. Normale Abbildungen
SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra I
Heinrich Heine Universität Düsseldorf 31.07.2010 Mathematisches Institut Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Oleg Bogopolski Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra I Bearbeitungszeit: 120
Mehr5. Übung zur Linearen Algebra II -
5. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 2. Aufgabe 7 5 A := 2. 3 2 (i) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (ii) Ist A diagonalisierbar?
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 26/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 4. (Frühjahr 27, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterräume des R 3 übereinstimmen:
MehrBeispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger
Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 7 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (.64). Haupttest (FR, 9..8) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.
MehrUntersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. x y
Aufgabe 1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. (( )) 3x x (a) Sei f : R 2 R 3 mit f = 2y + x y x y ( ) 4 (b) Sei f : R R 2 mit f(x) = x + 1 (( )) ( ) x x y (c) Sei
MehrAufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I
Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrGrundlagen der Mathematik 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. , a R. det(a) = 0 a = 1.
b Musterlösung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice) Gegeben sei die folgende Matrix Winter 3 Prof. H.-R. Künsch A = a a) deta) = genau dann wenn gilt x a =. a =. ), a R. x
MehrHeinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester Lineare Algebra 1. Vierzehnte & Fünfzehnte Woche,
Fakultät für Mathematik PD Dr Markus Perling Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2014 Lineare Algebra 1 Vierzehnte & Fünfzehnte Woche, 1672014 10 Determinanten (Schluß) Das folgende Resultat
MehrSteilkurs Lineare Algebra 1 einige wichtige Stationen
Steilkurs Lineare Algebra 1 einige wichtige Stationen Für einen Körper K ist ein K-Vektorraum V eine Menge mit einer kommutativen und assoziativen Verknüpfung + : V V V, für die es ein neutrales Element
MehrDefinitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.
Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren
MehrKlausurähnliche Aufgaben
Sommersemester 2007/08 Lineare Algebra Klausurähnliche Aufgaben Aufgabe 1 Seien v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 die Vektoren in R 5 mit v 1 = (1, 2, 3, 1, 2), v 2 = (2, 4, 6, 2, 4), v 3 = ( 1, 1, 3, 0, 3),
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 0. April 2006. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./25.4.2006 in den Übungsgruppen ( ) 2 5 a) Zeigen Sie, dass A = und B = 2 ( 7 6 invertierbare Matrix T an mit T AT = B. b) Zeigen
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
MehrProbeklausur Lineare Algebra 1 Achten Sie auf vollständige, saubere und schlüssige Argumentation! 100 Punkte sind 100%. Inhaltsverzeichnis
Prof. Dr. Wolfgang Arendt Manuel Bernhard Wintersemester 5/6 Probeklausur Lineare Algebra Achten Sie auf vollständige, saubere und schlüssige Argumentation! Punkte sind %. Inhaltsverzeichnis Aufgabe Aufgabe
Mehr