Übungen zur Linearen Algebra 1
|
|
- Clara Hermann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/201 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, , 11 Uhr Lösungen der Zusatzaufgaben von Blatt 10. Bei Fragen zu diesen Lösungen wenden Sie sich bitte an Ihre Tutoren. Die Aufgaben A10.11 und A10.12 werden in der Plenarübung am besprochen. Aufgabe 10. (Spuroperator I) Sei K ein Körper, n N. Dann ist der Spuroperator wiefolgt definiert: spur : K n n K, A i=1 a ii Mit der üblichen Notation für Matrizen A = (a ij ) 1 i n. Zeigen Sie: a) Die spur ist eine lineare Abbildung. 1 j n b) Für alle m, n N und A K m n, B K n m gilt: spur(ab) = spur(ba). c) Sind A K n n und B K n n ähnlich, so gilt spur(a) = spur(b). d) Aus char(k) = 0 folgt für alle n N und A, B K n n, dass AB BA E n. Wobei E n die (n n)-einheitsmatrix ist. e) Finden Sie ein Gegenbeispiel für diese Aussage, wenn char(k) > 0. f) Sei A R n n mit n verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ n R. Zeigen Sie: spur(a) = λ i. i=1 Bemerkung: In einem Ring oder Körper ist die Charakteristik die kleinste natürliche Zahl n > 0, sodass 1 } {{ } = 0. n Ist dies für kein n N erfüllt, dann wird die Charakteristik auf 0 gesetzt. Beispiele: char(f p ) = p und char(r) = 0. 1
2 Lösung Sei im folgenden A, B zu den jeweiligen Aufgabenteilen passend gewählt. a) Sei α K. Dann gilt: b) spur(αa + B) = spur(ab) = (αa ii + b ii ) = α i=1 a ii + i=1 = α spur(a) + spur(b). = m (AB) ii = i=1 k=1 i=1 = spur(ba) m m b ki a ik = i=1 k=1 a ik b ki (BA) kk c) Wenn A und B ähnlich sind, dann gibt es eine reguläre Matrix P K n n mit B = P 1 AP. Mit Aufgabenteil b) folgt dann direkt: k=1 spur(b) = spur(p 1 AP ) = spur(p 1 (AP )) i=1 = spur((ap )P 1 ) = spur(ap P 1 ) = spur(a). d) Es gilt spur(e n ) = n, sofern die Charakteristik von K nicht endlich ist. Weiter ist: spur(ab BA) = spur(ab) spur(ba) = spur(ab) spur(ab) = 0 Angenommen es gäbe A, B mit AB BA = E n, dann wäre aber spur(ab BA) = spur(e n ) = n 0. e) Betrachte F 2 und die Matrizen: ( 0 1 A = 0 0 ) ( 0 1, B = 1 0 Dann gilt mit der Addition und Multiplikation in F 2 (!): ( ) ( ) AB BA = = E f) Wir wollen zeigen, dass die Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten im R n diagonalisierbar ist. (Siehe dazu A10.1.) Wenn dies so ist, dann gibt es eine Basiswechselmatrix S R n n, sodass A = S 1 diag(λ i )S, denn dim(r n ) = n. Also ist nach Teilaufgabe c) spur(a) = spur(diag(λ i )) = n i=1 λ i. ). b ii 2
3 Es genügt zu zeigen, dass die zu λ i gehörigen Eigenvektoren linear unabhängig sind. IV: n = 1 Nach Definition (A10.1) ist v 1 0, also linear unabhängig. IS: Die Behauptung gilt für n 1. Sei µ 1,..., µ n R mit µ 1 v µ n v n = 0. Ohne Einschränkung sei λ n 0 (durch geeignete Wahl der Indizes). Es gilt: Ebenso gilt: Es ergibt sich durch (10.1) (10.2): 0 = A 0 = A (µ 1 v µ n v n ) = µ 1 Av µ n Av n = λ 1 µ 1 v λ n µ n v n (10.1) 0 = λ n (µ 1 v µ n v n ). (10.2) 0 = µ 1 (λ 1 λ n )v µ n 1 (λ n 1 λ n )v n 1 + µ n (λ n λ n )v n = µ 1 (λ 1 λ n )v µ n 1 (λ n 1 λ n )v n 1 Nach Induktionsvoraussetzung sind v 1,..., v n 1 linear unabhängig, also folgt: und da λ i λ j für i j: µ 1 (λ 1 λ n ) =... = µ n 1 (λ n 1 λ n ) = 0, µ 1 =... = µ n 1 = 0. Aus Gleichung (10.2) folgt dann auch µ n = 0 (siehe o.e.). Somit gilt nun µ 1 =... = µ n = 0 und somit sind v 1,..., v n linear unabhängig. Bemerkung: Dieser Beweis geht ganz analog für die allgemeinere Aussage: Sei V ein K-Vektorraum und f End(V ). Seien v j ein Eigenvektor zum Eigenwert λ j für j = 1,..., n und es gelte λ i λ j für i j. Dann sind v 1,..., v n linear unabhängig. Es folgt: Ist zudem dim(v ) = n, so besitzt f höchstens n verschiedene Eigenwerte, und falls f genau n verschiedene Eigenwerte besitzt, so ist f diagonalisierbar. 3
4 Aufgabe 10.6 (Basiswechsel) Betrachte R 3 als R -Vektorraum mit den Basen: A = {(1, 1, 2), (2, 3, 7), (2, 3, 6) }, B = {(1, 2, 2), ( 1, 3, 3), ( 2, 7, 6) }. a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix A id,a,b. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors Lösung bezüglich der Basis B. v = 2 (1, 1, 2) + 9 (2, 3, 7) 8 (2, 3, 6) a) Der Basiswechsel A id,a,b bildet den Koeffizientenvektor (λ 1, λ 2, λ 3 ) eines beliebigen v R 3 mit v = λ i v A,i auf den Koeffizientenvektor (µ 1, µ 2, µ 3 ) mit v = µ i v B,i ab. Dafür müssen die Basisvektoren von Ain der Basis Bdargestellt werden. Die dabei auftretenden Koeffizienten werden spaltenweise in die Transformationsmatrix geschrieben. Es gilt: (1, 1, 2) = 1 (1, 2, 2) +6 ( 1, 3, 3) 3 ( 2, 7, 6) ( 1, 3, 3) = 2.6 (1, 2, 2) +8.6 ( 1, 3, 3) 4 ( 2, 7, 6) ( 2, 7, 6) = 2.4 (1, 2, 2) +6.4 ( 1, 3, 3) 3 ( 2, 7, 6) Damit ist die Transformationsmatrix gegeben durch: A id,a,b = b) Wir wenden einfach den in a) bestimmten Basiswechsel an: µ µ 2 = A id,a,b 9 = 38.2 µ
5 Aufgabe 10.7 (Lineare Abbildungen) Im folgenden seien die Räume R n ausgestattet mit der Standardbasis E = (e i ) i=1,...,n. Bestimmen Sie die Matrizen A f,e,e für folgende Endomorphismen: a) f : R 2 R 2 : Rotation um 90 Grad in mathematisch negativer Richtung. b) f : R 2 R 2 : Spiegelung an der Achse x = 0. c) f : R 3 R 3 : Rotation um 180 Grad um die Achse, die von (0, 0, 1) erzeugt wird. Lösung a) Es gilt also f(e 1 ) = e 2 und f(e 2 ) = e 1. Also ist f(x) = Ax mit = ( ). b) Es gilt also f(e 1 ) = e 1 und f(e 2 ) = e 2. Somit ist A = ( c) Rotation um x 3 -Achse: Es gilt also f(e 1 ) = e 1, f(e 2 ) = e 2 und f(e 3 ) = e 3. Die zugehörige Matrix A ist eine 3 3-Matrix. Die zugehörige Matrix ist also A = ).
6 Aufgabe 10.8 (Vektorraum der Folgen) Betrachte den reellen Vektorraum reeller Folgen und die Menge: F = {(a n ) n N : a n+2 = a n+1 + a n }. a) Zeigen Sie, dass F ein Untervektorraum des Folgenraumes ist. Bestimmen Sie eine Basis. b) Finden Sie eine weitere Basis mit Elementen der Form (r n ) n N. c) Erklären Sie, wie man mit b) direkt das n-te Folgenglied bestimmen kann? Geben Sie diese Formel für die Folge (a n ) n N mit a 1 = 1, a 2 = 1 explizit an. Bemerkung: Der Folgenraum ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum. F ist ein endlich dimensionaler Unterraum. Lösung In dieser Lösung ist die Notation für eine Folge ( ) n und das k-te Folgenglied von (a n ) n ist a k. a) Es ist (0) n F. Sei (a n ) n, (b n ) n F und λ R, dann gilt: denn die Vorschrift von F lautet: λ(a n ) n + (b n ) n = (λa n + b n ) n F, λa n+2 + b n+2 = λ(a n+1 + a n ) + b n+1 + b n = (λa n+1 + b n+1 ) + (λa n + b n ). Somit haben wir gezeigt, dass F ein Untervektorraum des Folgenraumes ist. Nun müssen wir noch eine Basis finden. Dazu definieren wir die beiden Folgen (b n ) n und (c n ) n über: b 1 = 1, b 2 = 0, b n+2 = b n+1 + b n, c 1 = 0, c 2 = 1, c n+2 = c n+1 + c n. Nach Definition gilt (b n ) n, (c n ) n F. Behauptung: ((b n ) n, (c n ) n ) ist eine Basis von F. Seien λ, µ R mit λ(b n ) n + µ(c n ) n = 0 gegeben. Dann gilt: λb 1 + µc 1 = 0 λb 2 + µc 2 = 0 λ + 0 = µ = 0 λ = µ = 0. Somit ist ((b n ) n, (c n ) n ) linear unabhängig. 6
7 Sei (a n ) n F beliebig, dann gilt direkt: a 1 = a 1 b 1 + a 2 c 1 a 2 = a 1 b 2 + a 2 c 2 Induktionsbehauptung: a k = a 1 b k + a 2 c k Für beliebiges n N gilt dann: a n+2 = a n+1 + a n = a 1 b n+1 + a 2 c n+1 + a 1 b n + a 2 c n = a 1 (b n+1 + c n+1 ) + a 2 (b n + c n ) = a 1 b n+2 + a 2 b n+2. Und damit ist ((b n ) n, (c n ) n ) ein Erzeugendensystem. Man beachte, dass die Induktion von n auf n+2 schließt. Daher benötigt man zwei Induktionsanfänge k = 1 und k = 2. b) Behauptung: (r n ) n F (r = 0 oder r 2 = r + 1). : Sei (r n ) n F und r R \ 0, dann ist nach der rekursiven Eigenschaft von Folgen in F : r 3 = r 2 + r. Da r 0 folgt: r 2 = r + 1. : Für r = 0 ist (r n ) n = (0) n F. Im Fall r 2 = r + 1 sei n N beliebig. Dann gilt: r n+2 = r 2 r n = (r + 1)r n = r n+1 + r n, also ist (r n ) n F. Im Fall r = 0 erhält man die Nullfolge die kein Basiselement sein kann. Daher suchen wir Elemente r R, die die Gleichung r 2 = r + 1 erfüllen. Also Nullstellen von r 2 r 1. Die Nullstellen sind gegeben durch: t = 1+ 2 und 1 t. Behauptung: T = ((t) n, (1 t) n ) ist eine Basis von F. Da F nach a) 2-dimensional ist genügt es die lineare Unabhängigkeit von T zu zeigen. Seien λ, µ R mit λ(t) n + µ(1 t) n = (0) n. Dann gilt für n = 1 und n = 2: Dann ist: λt + µ(1 t) = 0 (10.3) λt 2 + µ(1 t) 2 = 0 (10.4) (10.4) t (10.3) : 0 =µ(1 t) 2 µ(1 t)t =µ(1 3t + 2t 2 ) =µ(1 3t + 2(1 + t)) =µ(3 t). Dabei wurde ausgenutzt, dass t 2 = t + 1 ist. Da 3 t 0 gilt µ = 0 und damit λ = 0. 7
8 c) Nach b) ist T eine Basis, dass heißt für beliebiges (a n ) n F gibt es λ, µ R mit (a n ) n = λ(t n ) n + µ((1 t) n ) n. Für das n-te Folgenglied gilt daher a n = λt n + µ(1 t) n. Im Beispiel der Aufgabe ist nun a 1 = a 2 = 1, und somit erhält man die Gleichungen: 1 = λt + µ(1 t) 1 = λt 2 + µ(1 t) 2 War substrahieren wie oben das t-fache der 1. Gleichung von der 2. und erhalten: 1 t = µ(1 t) 2 µ(1 t)t =... = µ(3 t). Setzt man t ein und investiert viel Arbeit ergibt sich: µ =, λ =. Und damit: a n = (tn (1 t) n ) = ( 1 + ) 2 ( 2 1 ) 2. 8
9 Aufgabe 10.9 (Interpolation) Finden Sie ein Polynom p(x) vom Grad 4 (also p P 4 ), dass die folgenden Werte annimmt: x = p(x) = Lösung Das Polynom hat diese Gestalt p(x) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a x 4. Zum Bestimmen der Koeffizienten a i muss ein Gleichungssystem gelöst werden. Gauß-Elimination liefert folgende Lösung a 1 a 2 a 3 a 4 a b a = ( ) T. 9
10 Aufgabe (Dimensionsformel) Sei V ein K-Vektorraum und U, W V Untervektorräume. Die Dimensionsformel für Untervektorräume lautet: Sei K = R,V = R 4 und dim(u + W ) = dim(u) + dim(w ) dim(u W ). (10.) U = (1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1), W = (1, 1, 4, 0), (2, 3, 1, 1), (3, 1, 0, 0). Bestimmen Sie Basen von U + W und U W und verifizieren Sie anhand dieser die Dimensionsformel. Hinweis: Verwenden Sie zur Bestimmung der Basen den Zassenhaus-Algorithmus (siehe nächste Seite). Die Rechnung verläuft mit ganzen Zahlen. 10
11 Zassenhaus-Algorithmus zur Bestimmung einer Basis von U + W und U W. Seien U, W Untervektorräume von V und dim(v ) = n. Sei (u 1,..., u k ) eine Basis von U und (w 1,..., w l ) eine Basis von V. 1. Schreibe die Basisvektoren als Zeilenvektoren in die Matrix Z K (k+l) 2n. u 1,1 u 1,n u 1,1 u 1,n.... Z = u k,1 u k,n u k,1 u k,n w 1,1 w 1,n w l,1 w l,n Bringe die Matrix Z auf Zeilenstufenform: ( ) Z A = 0 B 3. Die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis von U + W. Die Zeilenvektoren von B bilden eine Basis von U W. Lösung Es gilt: dim(u + W ) = 4 = = dim(u) + dim(v ) dim(u V ). 1 0 dim(u) = rg = 2, da lin unabh dim(w ) = rg = rg =
12 Gaußalgorithmus Es ist also { (1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 13) } eine Basis von U +W und { ( 2, 3, 1, 1) } eine Basis von U W. Beweis Zassenhaus-Algorithmus Der Beweis geht am schnellsten mit einem allgemeineren Satz, der A8.2 ähnelt. Siehe auch Wikipedia zu Zassenhaus-Algorithmus. Das war nicht in der Aufgabe gefordert. Satz 0.1 Sei V ein K-Vektorraum. Seien U, W Untervektorräume. Definiere: U = u 1,..., u k, W = w 1,..., w l, X = (u 1, u 1 ),..., (u k, u k ), (w 1, 0),..., (w l, 0) V V, π : X V, (x, y) x
13 Dann gilt: i) π ist eine lineare Abbildung. ii) im(π) = U + W. iii) ker(π) = {0} (U W ). iv) X = U W. Beweis. i) klar. ii) Klar nach Definition von π. iii) : Sei (0, z) ker(π), dann gibt es u U und w W mit (0, z) = (u, u) + (w, 0). Also ist z = u und somit z U. Da auch u = w ist folgt mit der Abgeschlossenheit von Vektorräumen auch z W, also z U W. : Sei z (U W ). Dann gilt: iv) Definiere folgende Abbildungen: (0, z) = (z, z) + ( z, 0) X. (wohldef) (0, z) ker(π). ϕ : U W X, ψ : X U W, (u, w) (u + w, u), (x, y) (x, x y). Dann gilt: ϕ ψ = id X und ψ ϕ = id U W. Nach A2.4a) sind beide Abbildungen bijektiv. Die Matrix Z lässt sich in der Form wie im Satz schreiben: Nach der Umformung erhält man: ((u 1, u 1 ),..., (u k, u k ), (w 1, 0),..., (w l, 0)). ((a 1, ),..., (a µ, ), (0, b 1 ),..., (0, b ν ), (0, 0),..., (0, 0)), mit a i, b i 0. In den ersten ν Zeilen wurde eine Basis von U + V berechnet. Nach Bosch Satz (keine Ahnung ob der in der Vorlesung dran kam) und mit obigem Satz gilt: dim(u W ) = dim(x) = dim(im(π)) + dim(ker(π)) = dim(u + W ) + dim(u W ). Die Dimension von U W entspricht gerade der Zeilen in Z die ungleich 0 sind. Also: dim(u W ) = µ + ν. Damit gilt dim(u W ) = (µ + ν) µ = ν. Da aber die Vektoren (0, b i ) nach obigem Satz in U W liegen und es genau ν linear unabhängige Vektoren sind, bilden sie eine Basis von U W. 13
Übungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 014/015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 7 Abgabetermin: Freitag, 05.1.014, 11 Uhr Aufgabe 7.1 (Vektorräume
MehrKlausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra
Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Sommersemester 25 Aufgabe 2 2 Sei A 3 3 8 2 4 3 R4 5. 5 2 a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b) Ist Ax b mit b lösbar? (Begründen
MehrProbeklausur Lineare Algebra 1 Achten Sie auf vollständige, saubere und schlüssige Argumentation! 100 Punkte sind 100%. Inhaltsverzeichnis
Prof. Dr. Wolfgang Arendt Manuel Bernhard Wintersemester 5/6 Probeklausur Lineare Algebra Achten Sie auf vollständige, saubere und schlüssige Argumentation! Punkte sind %. Inhaltsverzeichnis Aufgabe Aufgabe
Mehra) Die Abbildung µ h ist injektiv, da für alle g 1, g 2 G gilt: Daher ist µ h bijektiv. Zudem folgt aus µ h (g) = g auch
Aufgabe. (8 Punkte) Es sei (G, ) eine Gruppe und e G ihr neutrales Element. Für h G sei µ h : G G die Abbildung, die durch g G : µ h (g) := h g gegeben ist. a) Zeigen Sie, dass für jedes h G die Abbildung
Mehr3 a) Berechnen Sie die normierte Zeilenstufenform der Matrix A = normierte Zeilenstufenform:
1. Aufgabe (9 Punkte) In dieser Aufgabe müssen Sie Ihre Antwort nicht begründen. Es zählt nur das Ergebnis. Tragen Sie nur das Ergebnis auf diesem Blatt im jeweiligen Feld ein. 0 1 3 a) Berechnen Sie die
MehrBeispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger
Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrAufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009
I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
MehrFür die Matrikelnummer M = Dann sind durch A =
Musterlösung zum. Blatt 9. Aufgabe: Gegeben seien m 3 + 2 m m 3 m 2 m 4 + m 7 m 3 A := m m 2 m 2 + 2 m 2 m 4 + m 5 und b := m 6 m 4 + a) Finden Sie eine Lösung x R 7 für die Gleichung Ax =. b) Finden Sie
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG Aufgabe 1 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und seien v 1,..., v n V (n N). (a) Definieren Sie, wann die endliche Familie v 1,...,
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrLineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,
MehrLineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben
Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Blatt 2, Aufgabe 3 a) Wir zeigen, daß das Ideal (2, X) kein Hauptideal in Z[X] ist. (Dieses Ideal besteht aus allen Elementen in Z[X], die von der Form
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Lineare Algebra 1 WS 2006/07 Lösungen Blatt 13/ Probeklausur. Lösungen zur. Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 13/2 29.1.27 en zur Probeklausur Aufgabe 1 (ca. 6 Punkte) Sei
MehrLineare Algebra I Lösungsvorschlag
Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und
MehrLineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 6. Aufgabe 6.1. Dr. V. Gradinaru K. Imeri. Herbstsemester 2018.
Dr. V. Gradinaru K. Imeri Herbstsemester 8 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6. Multiple Choice: Online abzugeben. 6.a) (i) Welche der folgenden
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
MehrLösungsskizze zur Wiederholungsserie
Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lösungsskizze zur Wiederholungsserie. [Aufgabe] Schreibe die lineare Abbildung f : Q Q 5, x +x +x x x +x +6x f x := x +x +8x x x +x +x. x +x +5x als Linksmultiplikation
MehrHinweis: Die Klausur Lineare Algebra 2 für die Fachrichtung Informatik besteht aus den Aufgaben 2.1 bis 2.4.
Hinweis: Die Klausur Lineare Algebra 2 für die Fachrichtung Informatik besteht aus den Aufgaben 2.1 bis 2.4. Aufgabe 2.1 (8 Punkte) Es sei K ein Körper, n N, V ein 2n-dimensionaler K -Vektorraum und U
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
MehrD-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 14: Ferienserie
D-MAVT Lineare Algebra I HS 7 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 4: Ferienserie . Finden Sie ein Erzeugendensystem des Lösungsraums L R 5 des Systems x + x x 3 + 3x 4 x 5 = 3x x + 4x 3 x 4 + 5x 5
MehrScheinklausur, 2. Teil, Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß. Ja oder
Gruppe A Scheinklausur 2. Teil 15.2.2002 Lineare Algebra I WS 2001 Prof. Dr. G. Hiß Name: Matrikelnummer: Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder Ja oder Nein oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben:
Mehr2.3 Basis und Dimension
23 Basis und Dimension Erinnerung Gegeben ein K-Vektorraum V, ein Vektorensystem x,, x n in V Eine Linearkombination in den x i ist ein Vektor der Form λ x + + λ n x n mit λ i K Die λ i heißen Koeffizienten
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 26/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 4. (Frühjahr 27, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterräume des R 3 übereinstimmen:
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 14: Vektorräume und lineare Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 6. Oktober 2009) Vektorräume
MehrMusterlösung Serie 8
D-MATH Lineare Algebra I HS 018 Prof. Richard Pink Musterlösung Serie 8 Dimension, Direkte Summe & Komplemente 1. Zeige: Für jedes Erzeugendensystem E eines Vektorraums V und jede linear unabhängige Teilmenge
MehrRichie Gottschalk Lineare Algebra I Seite 1. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? Es gibt genau einen Unterraum W von V mit dim(w ) = n.
Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite Aufgabe Im Folgenden sind K immer ein Körper und V ein K-Vektorraum. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? K[x] K[x] ist per se ein kommutativer Polynomring.
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 2
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 2 Aufgabe. Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit. Setze K := R R\{0}/ mit der Äquivalenzrelation definiert durch (a, b) (a, b ) genau dann, wenn
MehrLineare Algebra Weihnachtszettel
Lineare Algebra Weihnachtszettel 4..008 Die Aufgaben auf diesem Zettel sind zum Üben während der Weihnachtspause gedacht, sie dienen der freiwilligen Selbstkontrolle. Die Aufgaben müssen nicht bearbeitet
Mehr5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 15. April 2018 1/46 Die Dimension eines Vektorraums Satz 2.27 (Basisergänzungssatz) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter seien v 1,...,
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren.
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 8 1. [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren. a 1 A 1 a 2 A 2 a 3
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit
MehrWiederholungsklausur zur Linearen Algebra I
Wiederholungsklausur zur Linearen Algebra I Prof. Dr. C. Löh/D. Fauser/J. Witzig 20. April 2017 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Semestrale Lineare Algebra 1 Prof. Dr. F. Roesler
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrLösung 13: Unitäre Vektorräume und normale Abbildungen
D-MATH Lineare Algebra II FS 2017 Dr. Meike Akveld Lösung 13: Unitäre Vektorräume und normale Abbildungen 1. a) Im Folgenden sei γ : V V C die Abbildung γ(v, w) v + w 2 v w 2 i v + iw 2 + i v iw 2. : Wir
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:
Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren
MehrLineare Algebra I - Prüfung Winter 2019
Lineare Algebra I - Prüfung Winter 209. (20 Punkte) Kreuzen Sie auf dem Abgabeblatt ihre Antwort an. Pro Teilaufgabe ist genau eine der vier Antwortmöglichkeiten richtig. Für jede richtig beantwortete
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 0. April 2006. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./25.4.2006 in den Übungsgruppen ( ) 2 5 a) Zeigen Sie, dass A = und B = 2 ( 7 6 invertierbare Matrix T an mit T AT = B. b) Zeigen
MehrDarstellungsmatrizen, Rang, lineare Gleichungssysteme
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 26/7 en Blatt 2 22..27 Darstellungsmatrizen, Rang, lineare Gleichungssysteme
MehrKapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel Eigenwerte und Eigenvektoren. Problem der Diagonalisierbarkeit Es sei wieder K gleich R oder. Eine n n)-matrix A mit Koeffizienten aus K wird als diagonalisierbar bezeichnet, wenn es eine invertierbare
MehrSerie 17: Satz von Cayley-Hamilton & spezielle Endomorphismen
D-MATH Lineare Algebra I/II HS 2017/FS 2018 Dr. Meike Akveld Serie 17: Satz von Cayley-Hamilton & spezielle Endomorphismen 1. Sei V ein K-Vektorraum. a) Sei T End(V ). Zeigen Sie, dass die folgenden alles
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 4. (Frühjahr 27, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterräume des R 3 übereinstimmen:
MehrKlausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen.
Klausur Lineare Algebra I am 03.02.10 Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren
MehrDefinitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.
Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren
MehrLösungen der Aufgaben zu Abschnitt 5.4
A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 54 B ist linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung ( ) ( ) ( ) ( ) 456 λ + λ + λ = bzw das LGS λ +4λ +λ
MehrI) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
Mehr18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive
MehrHauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
Mehra ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1, 2,3,..., m I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x3 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung
Mehr1 Lineare Abbildungen
1 Lineare Abbildungen Definition 1 Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Eine Abbildung f : V W heisst linear oder Homomoprhismus, wenn gilt: fv 1 + v 2 = fv 1 + fv 2 v 1, v 2 V fλv = λfv λ K, v V
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6 6. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Der Vektorraum R 4 sei mit dem Standard Skalarprodukt versehen. Der Unterraum
MehrLösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I
Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume für einen Körper K. a) Wann heißt eine Abbildung f : V W linear? b) Wann heißt eine Abbildung f : V W injektiv?
Mehr3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
MehrT := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass
I. a) Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e G. Zeigen Sie, dass U := {g G g 3 = e G } eine Untergruppe von G ist. b) In der symmetrischen Gruppe S 4 definieren wir analog zu a) die
MehrLineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum
Mehra b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
MehrLineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November, 7 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen + : E E E, x, y x + y Addition : E E E,
MehrZeigen Sie, dass der einzige Gruppenhomomorphismus von (G, ) nach (Z 5, +) die Abbildung Φ : G Z 5
Aufgabe I (4 Punkte) Es sei G : {e, g, g, g } eine 4-elementige Gruppe mit neutralem Element e Die Verknüpfung auf G werde mit bezeichnet Außerdem seien in G folgende Gleichungen erfüllt: g g g und g g
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
Mehr11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION
11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
MehrSommer 2017 Musterlösung
Sommer 7 Musterlösung. (5 Punkte) a) Sei V ein Vektorraum über K und sei T End(V ). Geben Sie die Definition eines Eigenwertes von T und zeigen Sie für endlichdimensionales V, dass λ K genau dann ein Eigenwert
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. , a R. det(a) = 0 a = 1.
b Musterlösung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice) Gegeben sei die folgende Matrix Winter 3 Prof. H.-R. Künsch A = a a) deta) = genau dann wenn gilt x a =. a =. ), a R. x
MehrLösung zu Serie 24. a ij b i b j. v = j=1. v = v j b j.
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 24 1. Zeige: Ist 1 n := min{dim K (V 1 ), dim K (V 2 )} < für Vektorräume V 1 und V 2, so ist jeder Tensor in V 1 K V 2 eine Summe von
MehrLösung Lineare Algebra I Sommer 2018 Version A
Lösung Lineare Algebra I Sommer 208 Version A. (25 Punkte) Kreuzen Sie direkt auf dem Abgabeblatt an, ob die Behauptungen oder sind. Sie müssen Ihre Antworten nicht begründen! Bewertung: Punkt für jede
MehrLineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt
Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 01 Prof. Dr. Matthias Schneider./. Juli 01 Dr. Silke Horn Dipl.-Math. Dominik Kremer Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) (a) Welche
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2016/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 206/207 20.03.207 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrAbschnitt: Diagonalisierung von Endomorphismen
Abschnitt: Diagonalisierung von Endomorphismen Wiederholung: Endomorphismus von V ist eine lineare Abbildung von V nach V. Frage: f sei ein Endomorphismus. In welcher Basis ist die darstellende Matrix
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
MehrÜbungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Blatt 1
Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 216, Blatt 1 Mündliche Aufgaben Die Aufgaben aus diesem Blatt bestehen zu einem großen Teil aus den Aufgaben von Blatt 13 der LA1. Sie dienen vor allem der
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra I
Heinrich Heine Universität Düsseldorf 31.07.2010 Mathematisches Institut Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Oleg Bogopolski Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra I Bearbeitungszeit: 120
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09 4 Einführung Vektoren und Translationen
MehrGegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
MehrLeitfaden 20. t = dim V dimu.
Leitfaden 2 Einschub (Nachtrag zur LA I): Komplementärbasen Sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum Eine Folge (v,, v t ) von Vektoren aus V heißt linear unabhängig modulo U, falls folgendes gilt: sind p
MehrÜbungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Blatt 3 - Lösung
Technische Universität München Physik Department Pablo Cova Fariña, Claudia Nagel Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 207/8 Blatt 3 - Aufgabe : Darstellungsmatrizen Sei
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 9 Basiswechsel Wir wissen bereits, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr