Thema: Der Logarithmus und die Logarithmusfunktion - Sportgymnasium Dresden Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 10/2.

Transkript

1 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Der Logarithmus Zielstellung: Zeigt man natürliche Zahlen mit dem Computerbildschirm (o.ä.) an, ist es manchmal notwendig zu wissen, wie viele Ziffern die Zahl hat. Die folgende Funktion liefert die Anzahl der Ziffern der natürlichen Zahl. z = + int(log) Beispiele: + int(log 55) = + int(log77889) = 5 Da stellt sich die Frage, warum das funktioniert. Das wollen wir jetzt noch nicht beantworten. Beispiele: Der Logarithmus wird in den Naturwissenschaften sehr oft benötigt, insbesondere dann, wenn die Größen sehr kleine und sehr große Werte annehmen. Der Logarithmus wird für die Einteilung der Sterne in Leuchtkraftklassen benutzt. Der ph-wert ist der negative dekadische Logarithmus des Aktivitätskoeffizienten des Wasserstoffions. Umkehrung von Operationen Addition + y = z Multiplikation $y = z Subtraktion = z y y = z Division = z y y = z Potenzieren y = z Potenzieren y = z Radizieren = y z Logarithmieren y =log z Bemerkung: Für das Potenzieren muss es Umkehrungen geben. Das liegt daran, dass man Basis und Eponent nicht vertauschen kann. Sie sind also nicht gleichwertig. Die eine Umkehrung, das Wurzelziehen oder Radizieren, kennen wir bereits. Die andere Umkehrung lernen wir jetzt kennen. (Seite )

2 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Auf der Suche nach dem Eponenten Bestimmen Sie den Eponenten im Kopf! 0 = 00 4 = 0, 5 7 = 7 5 n = 5 = 000 = = 00 n = 44 = 8 = 4 = 8 z = 0 9 = ( ) = 4 5 = 5 ( 0 ) = 00 = ( ) = 4 9 = 0, 04 = 0, Lösung: 0 = 00 4 = 0, 5 7 = 7 5 = 5 5 = 000 = = 00 = 44 4 = 8 = 4 = 8 z = 0 z = n.d. 9 = ( ) = = 5 ( 0 ) = 00 0 = ( ) = 4 9? = 0, 04 = 0, Wenn man einen Eponenten sucht, den man nicht im Kopf lösen kann, dann benötigt man den Logarithmus. Der Logarithmus - eine Umkehrung des Potenzierens Definition (): Der Logarithmus von c zur Basis a ist der Eponent n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um den Wert c zu erhalten. Schreibweise: Logarithmus von c zur Basis a: log a c. c... Numerus a... Basis Defintion (): log a c = n w a n = c. Bemerkung: Man kann für spezielle Logarithmen die Basis weglassen. () natürlicher Logarithmus (logaritmus naturalis) () dekadischer Lograrithmus ln = log e e...eulersche Zahl GTR : ln lg = log = log 0 GTR : log () dualer, dyadischer, binärer Logarithmus (logarithmus dualis) Beispiele: ld() = log GTR : nicht direkt e y = 5wlog e 5 = ln 5 = y 0 y = 000wlog = lg 000 = y n = wlog = ld = n (Seite )

3 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Übungen () Arbeitsblatt () Lehrbuchaufgaben: S.55 Nr. 8/9 mündlich () Lehrbuchaufgaben: S.55 Nr. 0/ schriftlich Lösungen Nr. 0 a) < log < c) < log < e) < log 4 < b) < log 5 < d) 0 < log < f) < log 5 6 < g) < log 6 99 < i) < log 7 50 < h) < log 9, 5 < j) < log 500 < Lösungen Nr. a) log 6 = 4 b) log 5 5 = log 5 8 = 7 5 log 4 6 = log 4 8 = 4 log 0 = log 0, 5 = log 5 7 = 5 log = 4 6 log 0, = log 4 7 = 4 7 log 5 0, = log = log 7 49 = (Seite )

4 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Arbeitsblatt: Logarithmen. Stelle die Gleichung nach der Variablen um! a) = 4 e) e 5 = b) 0 = 00 f) 4 = c) e = 7 d) = 5 g) 0 y = h) +4 = 5. Berechne im Kopf! a) log 4 b) log 8 c) log 6 d) log ( ) e) log ( 64 ) f) log g) ln e h) ln(e ) i) log ( 9 ) j) log ( ) k) log ( 4 ) l) lg m) lg 0, m) log a (a 5 ) o) log 5 5 p) log 69 q) log 69 r) log s) log 49 4 t) log 5 ( 5 ) (Seite 4)

5 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Lösungsblatt: Logarithmen. Stelle die Gleichung nach der Variablen um! a) = 4 = log 4 e) e 5 = = ln 5 b) 0 = 00 = lg 00 f) 4 = = log 4 c) e = 7 = ln 7 d) = 5 = log 5 g) 0 y = = lg h) +4 = 5 = log 5 4. Berechne im Kopf! a) log 4 = b) log 8 = c) log 6 = 4 d) log ( ) = e) log ( 64 ) = 6 f) log = g) ln e = h) ln(e ) = i) log ( 9 ) = j) log ( ) = k) log ( 4 ) = 4 l) lg = 5 m) lg 0, = m) log a (a 5 ) = 5 o) log 5 5 = 4 p) log 69 = q) log 69 = r) log = s) log 49 4 = t) log 5 ( 5 ) = (Seite 5)

6 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Die Logarithmengesetze Zusammenhang zwischen Logarihmus und Potenz Ausgehend von der Definition... a = cw log a c = führt das Einsetzen der einen Gleichung in die andere zu folgenden Gleichungen: a log a c = c log a a = Beispiele: e ln = ln(e ) = log 7 = 7 log ( 7 ) = 7 Bemerkung: Das Potenzieren und das Logarithmieren mit derselben Bass sind entgegensetzte Rechenoperationen und heben sich gegenseitig auf. Logarithmengesetze log a b + log a c = log a (b$c) log a b log a c = log a b c log a b n = n$log a b Beispiele: ln 5 + ln 6 = ln 0 lg40 lg 5 = lg 8 ln 7 4 = 4$ln 7 ld(4 ) = $ld4 = 6 Aufgaben: Vereinfachen Sie soweit wie möglich. a) lg 5 + lg = f) lg 0 + lg 50 = b) lg 500 lg 5 = g) log y + log y = c) ln + ln = h) log (9 ) d) ln + ln = i) $ln 4 e) 5$ln = j) log 6 () + log 6 ( 7 ) Lösungen: a) lg 5 + lg = lg 0 = f) lg 0 + lg 50 = lg 000 = b) lg 500 lg 5 = lg 00 = g) log y + log y =... = log y c) ln + ln = ln = 0 h) log ( 9 ) = $log 9 = $ = 4 d) ln + ln = ln + ln = ln i) $ln 4 = ln 64 e) 5$ln = 0 ln j) log 6 () + log 6 ( 7 ) = log (6) 6 = (Seite 6)

7 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Berechnung mit dem GTR Frage: Die meisten Taschenrechner besitzen nur verschieden Logarithmen. Wie kann man dann beliebige Logaritmen mit dem GTR berechnen? Herleitung: = log a c a = cln( ) ln a = ln c ln a = ln c = ln c ln a Für den Logarithmus von c zur Basis a gilt also: log a c = lnc lna = log c log a Damit kann man also jeden Logarithmus eingeben. Der neue GTR kann jeden Logarithmus berechnen. RUN-Modus: OPTN CALC > log a b Im CATALOG findet man auch den Befehl logab. Aufgaben: () Berechnen Sie auf 4 Nachkommastellen! a) log 4 = b) log 5 7 = c) 7$log = d) log = e) ln( 7 ) = () Löse die Gleichung! a) 7 = 50 b) = 0, 0 c) 5$0 = 0 d) 6 + ( 4 ) = e) + = 00 (Seite 7)

8 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Lösungen: () Berechnen Sie auf 4 Nachkommastellen! a) log 4 =, 69 b) log 5 7 = 0, 7784 c) 7$log = 74, 464 d) log =, 00 e) ln( 7 ) =, 45 () Löse die Gleichung! a) 7 = 50 = log 7 50 =, 004 b) = 0, 0 = log 0, 0 = 6, 649 c) 5$0 = 0 = log6 = 0, 778 d) 6 + ( 4 ) = = log = 0, e) + = 00 = log 00 =, 467 (Seite 8)

9 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Die Logarithmusfunktionen (S.57 f.) Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = f() = log a (ac ; am0; a!) nennt man Logarithmusfunktion zur Basis a. Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = f() = ln nennt man die natürliche Logarithmusfunktion. Zusammenhang: Sie ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion. Die Funktionswerte der Eponentialfunktion werden auf die Argumente der Eponentialfunktion abgebildet. Die Koordinaten (Abszisse und Ordinate) der Punkte sind vertauscht. A()wB() C 4 w D 4 Graphen von Logarithmusfunktionen: E(4)wF(4) f() = ln f() = log (Seite 9)

10 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Eigenschaften der Logarithmusfunktion Eigenschaften unabhängig von der Basis a: Definitionsbereich D f = c ; > 0 Wertebereich W f = yyc Nullstelle 0 = Asymptoten = 0 Besonderer Punkt A(;0) und B(a;) Eigenschaften abhängig von a: Für a > ist der Graph streng monoton wachsend im gesamten Definitionsbereich. Für 0 > a > ist der Graph streng monoton fallend. Aufgaben: () Lehrbuch: S. 59 Nr. 4 () Berechnen Sie jeweils die Umkehrfunktion! a) y = lg d) y = f() = 5$ e b) y = log 0 e) y = f() = ln( + ) c) y = f() = $ f) y = f() = $e () Bestimmen Sie jeweils die Logarithmusfunktion durch den Punkt P. Lösungen: a) P( 64 7 ) b) P(0, 064) c) P(0, 0654) d) P(7 ) () S. 59 Nr. 4 a) log b 8 = b = 8 y = f() = log b) log b = 8 b 8 = y = f() = log 8 c) log b 0, 5 = b = y = f() = log d) log b = b = y = f() = log e) log b = 0 b 0 = bc + f) log b 0, = 6 b 6 = 0 y = f() = log 6 0 () a) b) y = f() = lg = log 0 y0 ( ) 0 = y y = f() = 0 = log 0 y+ = log 0 y 0( ) 0 = y y = f() = 0 = 0 (Seite 0)

11 Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ () ohne Rechenweg c) y = f() = $ c) y = f() = log ( ) d) y = f() = 5$ e d) y = f() = ln(5) e) y = f() = ln( + ) e) y = f() = ( e ) f) y = f() = $e f) y = f() = ln( ) + () Bestimmen Sie jeweils die Logarithmusfunktion durch den Punkt P. a) b) c) P 64 7 P(0, 064) y = f() = log a = log a 64 7 a = 64 7 a = 64 7 = 4 y = f() = log 4 y = f() = log a = log a (0, 064) a = 0, 064 a = 0, 064 = 0, 4 y = f() = log 0,4 P(0, 065 4) y = f() = log a 4 = log a (0, 065) a 4 = 0, 065 a = 4 0, 065 = 0, 5 y = f() = log 0,5 d) P(7 ) y = f() = log a = log a 7 a = 7 a = 7 y = f() = log 7 Hausaufgabe: f() = log g() = log Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktion in ein Koordinatensystem und vergleichen Sie die wesentlichen Funktionseigenschaften. (Seite )