Anhang 1: Einige mathematische Grundlagen

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1 Prof. Dr. H.-H. Kohler, WS 4/5 PC Anhang Anhang- Anhang : Einige mathematische Grundlagen. Funktion, Ableitung, Differential, Integral,. Näherung Wir schreiben eine Funktion f ( ) vereinfacht in der Form: (a) ( ) Die Ableitung oder Steigung ( ) ist gleich dem Differentialquotienten (= Steigung der Tangente): (b) d d d / d ist der Grenzwert der Sekantensteigung / für : (c) d ( ) ( ) lim lim d Das ist in der Skizze für einen Punkt gezeigt. o Tangente in o Sekante durch o, o ( ) o o Die Differentiale d und d sind sehr kleine, (im Allgemeinen) von Null verschiedene Differenzen. Gemäß Gl.(b) sind sie verknüpft durch: d (c) d d d d Indem man die differentiell kleinen Beiträge d zwischen und zum Integral aufsummiert (integriert), kommt man wieder zurück zu ( ) (Integration als Umkehrung der Differentiation): (d) ( ) d ( )d wobei ( ) die Rolle einer Integrationskonstanten spielt. Wir werden die Tilde meist weglassen, so dass sich Gl.(d) formal vereinfacht zu: (d) ( ) ( )d Der Verzicht auf die Tilde ist bequem, aber im Grunde nicht korrekt, da die formale Unterscheidung zwischen dem laufenden Wert der Integrationsvariablen und dem Wert an der oberen Grenze verloren geht. Das kann bei komplizierteren Rechnungen zu Schwierigkeiten führen. Es empfiehlt sich dann, die Tilde (oder ein ähnliches Unterscheidungsmerkmal) beizubehalten bzw. wieder einzuführen.

2 Prof. Dr. H.-H. Kohler, WS 4/5 PC Anhang Anhang-. Erste Näherung Die erste (oder lineare) Näherung von ( ) im Punkt (genauer: in der Nachbarschaft des Punktes) o (Bezugspunkt) ist geometrisch die Tangente in diesem Kurvenpunkt. Nach der Punkt-Steigungs-Formel lautet die Tangentengleichung ( (a) oder o, T o, o ( o) ): ( ) (b) T o ( o )( o) T Der Inde T steht für Tangente. Die Tangente ist die lineare (d.h. geradlinige) Fortsetzung des lokalen Kurvenelementes an der Stelle o. Daher führt Gl.(a) für ein differentiell kleines Intervall d wieder zurück auf Gl.(c). Aus der Skizze der vorigen Seite ersieht man, dass das -Intervall, in dem die Tangente in der Nachbarschaft von o eine gute Näherung der Ausgangsfunktion ( ) darstellt, umso größer ist, je weniger diese gekrümmt ist. Beispiel:. Näherung von Wegen o in der Nachbarschaft von o : und () gilt: ( ) T T. Logarithmusfunktion Als Ausgangspunkt dient die Eponentialfunktion zur Basis a, a konstant, > : () a kann nur positive Werte annehmen. Die Umkehrfunktion, die sich durch Vertauschen von und (oder durch Spiegelung von a an der Winkelhalbierenden ergibt), liefert die Logarithmusfunktion. Ihre Eigenschaften sind durch die Eponentialfunktion vollständig festgelegt: (4a) (4b) a log a Hier kann nur positive Werte haben. Der Graph der Logarithmusfunktion ist auf der folgenden Seite gezeigt. Aus Gln.(4a,b) ergibt sich für den Logarithmus die grundlegende Beziehung: a ( a log )

3 Prof. Dr. H.-H. Kohler, WS 4/5 PC Anhang Anhang- a a log - - Sonderfälle Dekadischer Logarithmus: a statt Gl.(4b): log lg statt Gl. lg Natürlicher Logarithmus: a e,788...,78 statt Gl.(4b): elog ln statt Gl. ln e Allgemeine Beziehungen Im Weiteren wird a log der Einfachheit halber als log, d.h. ohne den Inde a, geschrieben. Aus Gl. und den Regeln der Potenzrechnung (PR) ergibt sich: für das Produkt und nach PR log( ) log log log log a a a a Vergleich der Eponenten (5a) log( ) log log für die Potenz n nach PR n n log log n n log a a a Vergleich der Eponenten n (5b) log n log Dazu als Beispiel: (5c) log log log

4 Prof. Dr. H.-H. Kohler, WS 4/5 PC Anhang Anhang-4 Umrechnung zwischen natürlichem und dekadischem Logarithmus Daraus nach Gl.(5c): ln ln e lg lg(e ) (6a) lg ln lge,4 ln Entsprechend Daraus nach Gl.(5c): lg lg ln ln( ) (6b) ln lg ln, ln Die Logarithmen zu unterschiedlicher Basis unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor! - - ln lg Gln.(6a) und (6b) ergeben für bzw. e : lge,44 ln, Ableitung Wenn man ln e auf beiden Seiten nach ableitet und auf der rechten Seite die Kettenregel anwendet, findet man e (ln ) (ln ). Folglich: (6c) (ln ) dln d oder (6d) dln d Das Differential d ln ist also gleich der differentiellen relativen Änderung von. Letztere ist für positive und negative angebbar und es gilt offensichtlich: d d Daher kann man (6d) unabhängig vom Vorzeichen von verallgemeinern zu d d dln ln

5 Prof. Dr. H.-H. Kohler, WS 4/5 PC Anhang Anhang-5 Beachte: In log ist definitionsgemäß dimensionslos. Es gibt daher z.b. für die Stoffmengenkonzentration c keine Größe der Form logc! Die weit verbreitete ph- Formel ph lgc H ( c H = Wasserstoffionenkonzentration) ist falsch. Viele Fehler in eigentlich sehr einfachen Rechnungen beruhen auf fehlerhaften Ausdrücken dieser Art. Richtigerweise muss die Konzentration im Argument des Logarithmus durch eine Bezugs- oder Normierungskonzentration c o geteilt werden, so dass ein Ausdruck von der Form log( c/ c o) entsteht. Der ph-wert ist (bei Vernachlässigung von Aktivitätskoeffizienten) in korrekter Schreibweise gegeben durch: ch p H lg mol l Abweichend von der strengen Regel ist ein dimensionsbehaftetes Argument des Logarithmus vertretbar, wenn es sich um die Differenz zweier Logarithmen gleichartiger Größen handelt. Denn die Differenz kann jederzeit in den Logarithmus des Quotienten der beiden Argumente umgeschrieben werden, und dieser ist natürlich dimensionslos. Wir lassen also zu im Sinne von logc logc logc log c c Da das Differential eine Differenz ist, lassen wir entsprechend zu: d d d lnc ln( c d c) lnc ln c c c c c Erste Näherungen in der Nachbarschaft von = (s. Punkt ) bei konstantem : (7a) Aus e für kleines : (7b) Aus ln( ) für kleines : 4 T e T ln( ) Die graphische Darstellung zeigt, dass die erste Näherung nur vertretbar ist, wenn deutlich kleiner ist als. Korrekt wäre mit der Normierungskonzentration c o zu schreiben: log c c c c log log log c c c c. Man sieht, dass c o wieder herausfällt. o o o

6 Prof. Dr. H.-H. Kohler, WS 4/5 PC Anhang Anhang-6 Näherungswerte für den dekadischen Logarithmus: Es gilt : 4. Nach Gl.(5b) daher: lg lg4,. Somit lg, (Korrekt:,...) 4 Mit obiger Näherung für lg findet man weiter: lg4 lg lg,6 lg8 lg lg,9 Weiter 4 4lg lg lg8 lg8 lg (8 ) lg8 lg,9,,9 Also lg,9,475 (Korrekt:,477...) 4 lg5 lg lg lg,,,7 Berechnen Sie auf diese Weise Näherungswerte für den dekadischen Logarithmus der noch fehlenden Zahlen zwischen und und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den eakten Werten (Taschenrechner)! 4 ist die Zahl, die man in der Informatik mit "kilo" (Smbol "k") bezeichnet. 4 Sie können den hier gefundenen Näherungswert für lg mit Hilfe der Umrechnungsformel von Gl.(6a) und der. Näherung für den natürlichen Logarithmus aus Gl.(7b) noch erheblich verbessern. (Gerade wer im Umgang mit Logarithmus und. Näherung unsicher ist, sollte die Rechnung im Detail durchführen.) lg( ) lg lg4 lg(,4) lg,4,44 ln,4,44,4,4 Das ergibt lg,4. Der Vergleich mit dem eakten Wert zeigt, dass die Näherung jetzt schon auf 4 Dezimalen hinter dem Komma genau ist! Die hohe Genauigkeit ergibt sich aus der Tatsache, dass,4 sehr nahe bei, liegt, womit die Näherung ln,4,4 recht genau ist.