1. 1.Beschreibe und begründe jeweils das globale Verhalten der Funktionsgraphen

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1 Boll, Eichendorffschule Kelkheim, Mathematik./ 008/09 Lösungen der Wochenplanaufgaben zu ganzrationalen Funktionen. Aufgabe Gegeben sind im folgenden die Funktionen mit dem Termen: assume(tpe::real); f := -> ^ ^ -* +; g := -> -^ + *^ ; h := -> ^ + ^ ; R + +..Beschreibe und begründe jeweils das globale Verhalten der Funktionsgraphen Über das globale Verhalten entscheidet die höchste Potenz. a) Der Graf sieht global wie der von aus. b) Der Graf sieht global wie der von - aus. c) Der Graf sieht global wie der von aus..beschreibe und begründe Umgebung von = 0 jeweils das Verhalten der Funktionsgraphen in der In der Umgebung von 0 beschreiben die Terme mit den niedigen Potenzen den Graphen der Funktionen: a) ungefähr wie -+, Gerade durch (0 ) mit Steigung - b) ungefähr wie * -, nach oben offene Parabel durch (0 -) c) a) ungefähr wie -, Gerade durch (0 0) mit Steigung -.Beschreibe und begründe eventuelle Smmetrien der Funktionsgraphen Für Smmetrie zur - Achse gilt: f() = f(-), bei ganzrationalen Funktionen nur gerade Eponenten und für Smmetrie zum Ursprung gilt: f() = - f(-), bei ganzrationalen Funktionen nur ungerade Eponenten a) keine Smmetrie da gerade und ungerade Eponenten bool(f()=f(-)) FALSE

2 FALSE b) Smmetrie zur -Achse da nur gerade Eponenten bool(g()=g(-)) TRUE b) Punktsmmetrie zum Ursprung da nur ungerade Eponenten bool(h() = -h(-)) TRUE.Skizziere auf Basis von.. eine Skizze des Verlaufs der Funktionsgraphen Es ergeben sich folgende Skizzen:.Bestimme mit / ohne MuPad die Nullstellen der Funktionen f, g und h Nullstellen mit MuPAd: solve(f() = 0,) R RootOf X X X +, X numeric::solve(f()=0,) { , , } solve(g() = 0,);

3 solve(g() = 0,); numeric::solve(g() = 0,);,,, + { , , , } solve(h() = 0,); numeric::solve(h() = 0,); 0,, { , , 0.0,.7096 i,.7096 i} ohne MuPad: a) so nicht lösbar b) Substitution von = z liefert: -z +z- = 0 oder z -z + = 0, Anwenden der pq-formel mit p = - und q = + liefert z / = / +- ( 9 / -) 0, z := (/) +sqrt(((9/)-)); z := (/) -sqrt(((9/)-)); + Da = z -> := sqrt(z); := sqrt(z); := sqrt(z); := sqrt(z); + +

4 float(%) Die Lösungen zu c) ergeben sich ähnlich, Allerdings muss zunächst ausgeklammert werden. 6. Zeichne die Funktionsgraphen mit MuPad und überprüfe daran deine Aussagen von a,b,c Die Graphen der Funktionen: plotfuncd(f(),g(),h(),yrange= -..) Aufgabe ^ - ^ - * + - ^ + *^ - ^ + ^ - Gegeben ist nun die ganzrationale Funktion g mit. Beschreibe den Verlauf des Graphen der Funktion und gebe an, wo eventuelle Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte sowie Wendepunkte ungefähr liegen. Da die Funktion in der Unmgebung von 0 sich wie und global wie - verhält, muss eine Nullstelle bei 0 und jeweils mindestens eine weitere Nullstelle im positiv und negativ Bereich sein. Der Graph zeigt weiter die Smmetrie zur - Achse: reset(); g := -> -*^+*^; plotfuncd(g(),yrange = -..); -> - *^ + *^

5 Zwischen je Nullstellen muss mindestens ein Hoch oder Tiefpunkt liegen. Da bei 0 eine Nullstelle. Ordnung liegt auch dort eine Etremstelle, also ein Hoch- oder Tiefpunkt. Zwischen Hoch- und Tiefpunkt liegt weiter ein Wendepunkt.. Welche Bedeutung haben Hoch- und Tiefpunkte sowie Wendepunkte für den Verlauf des Graphen? Der Hochpunkt stellt den größten Funktionswert in einer noch so kleinen Umgebung dar, der Tiiefpunkt entsprechend den kleinsten Funktionswert in einr Umgebung. Im Wendepunkt ändert der Graph seine Krümmungsverhalten, es erfolgt z.b. ein Übergang von einer Lins- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt.. Addiere eine konstante Zahl a so zu g(), dass. g keine Nullstelle hat a := -: plotfuncd(g()+a,yrange = -..) g genau Nullstellen hat a := -: - plotfuncd(g()+a,yrange = -..)

6 plotfuncd(g()+a,yrange = -..) g genau Nullstellen hat - a := -: plotfuncd(g()+a,yrange = -..) g genau Nullstelle hat - geht nicht. g genau Nullstellen hat geht nicht. Eine ganzrationale Funktion. Grades hat mamal Nullstellen.. Aufgabe Gegeben ist die Linearfaktordarstellung einer ganzrationalen Funktion f mit. Wo liegen die Nullstellen dieser Funktion? Jeder Linearfaktor repräsentiert eine Nullstelle. Also liegen Nullstellen bei, -,, -, 0. Wie heisst der Funktionsterm in (ausmultiplizierter) Normaldarstellung. 6

7 Ausmultiplizieren liefert: normal((-)*(+)*(-)*(+)*) Begründe und skizziere ohne MuPad den Graphen der Funktion f. Die höchste Potenz ist und der Koeffizient von ist, also kommt der Graph von - unendlich und geht nach +unendlich. Durch den Ursprung verläuft der Graph wie eine Gerade mit der Steigung und da alle Nullstellen einfach als Linearfaktoren vorkommen schneidet der Graph in diesen Nullstellen die -Achse. Dazu gehört folgende Skize:. Aufgabe Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit. Zeige, dass = eine Nullstelle von f ist und führe eine Polnomdivision von f durch den entsprechenden Linearfaktor (-) durch. reset(); f := -> ^ *^ * + 6; -> ((^ - *^) - *) + 6 Wir berechnen den Funktionswert an der Stelle und stellen fest: f() 0 Polnomdivision: ( = (-)*( 6) -( - ) (- + ) (-6 + 6) 0. Welche Nullstellen hat das Restpolnom 7 Die Polnomdivision geht ohne Rest auf. Die Nullstellen des Restpolnoms ( 6) bekommt man über die pq-formel mit p = - und q= -6 zu

8 6) bekommt man über die pq-formel mit p = - und q= -6 zu := 0. + sqrt(0.^-(-6)); := 0. sqrt(0.^-(-6));.0.0 Mit Mupad erfolgt eine Polnomdivision durch: divide(^ *^ * + 6, -) 6, 0. Welche Linearfaktordarstellung hat somit f? f() = (-)*(-)*(+). Aufgabe Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen. Bestimme jeweils den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion von möglichst niedrigem Grad, der diese Funktionsgraphen erzeugen kann. a) a) einfache Nullstellen -> Grad mindestens von + unendlich kommend -> Koeffizient von negativ, z.b: - Nullstellen bei -, 0, -> Linearfaktordarstellung fa := -> -(+)**(-) ( + ) ( ) b) einfache Nullstelle bei 0, doppelte Nullstellen bei - und -> Grad mindestens von - unendlich kommend -> Koeffizient von positiv, z.b: Linearfaktordarstellung fb := -> (+)*(+)**(-)*(-) ( + ) ( + ) ( ) ( ) 8

9 c) doppelte Nullstellen bei -, dreifache Nullstelle bei + -> Grad mindestens von - unendlich kommend -> Koeffizient von positiv, z.b: Linearfaktordarstellung fc := -> (+)*(+)*(-)*(-)*(-) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) d) einfache Nullstelle bei - und 0, doppelte Nullstelle bei + -> Grad mindestens von + unendlich kommend -> Koeffizient von positiv, z.b: Linearfaktordarstellung fd := -> (+)*()*(-)*(-) ( + ) ( ) ( ) Überprüfung mit MuPad plotfuncd(fa(),fb(),fc(),fd(),yrange=-70..0) *( - )*( + ) *( - )^*( + )^ ( - )^*( + )^ *( - )^*( + ) 6. Aufgabe Nimm zu den folgenden Aussagen durch entsprechende Beispiele oder Gegenbeispiele Stellung:. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat n Nullstellen Falsch. Sie hat maimal n Nullstellen, kann also weniger als n haben. Siehe z.b. Aufgabe oder auch eine Parabel, die 0, oder Nullstellen haben kann. 9

10 . Wenn eine ganzrationale Funktion keine Nullstelle hat dann ist der Grad gerade. Richtig. Eine ganzrationale ungerade Funktion muss ihr Vorzeichen mindestens einmal ändern da für -> unendlich und gegen - unendlich die Funktion in verschiedene Richtungen "geht". Also mindestens einmal eine Nullstelle bei ungeraden Funktionen. Gibt es also keine Nullstelle, dann muss die Funktion gerade sein.. Eine ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle. Richtig. Eine ganzrationale ungerade Funktion muss ihr Vorzeichen mindestens einmal ändern da für -> unendlich und gegen - unendlich die Funktion in verschiedene Richtungen "geht". Also mindestens einmal eine Nullstelle bei ungeraden Funktionen.. Eine zur -Achse smmetrische ganzrationale Funktion hat nur gerade Eponenten. Smmetrie zur -Achse bedeutet: f() = f(-). Bei Potenzfunktionen gilt dies aber nur wenn der Eponent gerade ist. z.b. () = (-) Besitzt ein Funktionsterm also nur gerade Eponenten dann gilt f()= f(-) und damit ist die Funktion achsensmmetrisch zur - Achse. 0