3.4 Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen Lösungen: 8 = Lösungen der Übungsaufgaben

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1 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L. Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen.. Lösungen: a {} 9 : IL b {} IL : 7 T 9 c { },, : 9 9 IL T T d {} IL lineare Gleichung keine T T T e {} IL T

2 f 7 T T IL {} falsche Aussage.. Lösung: I. Festlegung der Gleichungsvariable. Arbeiter: II. Term : dass der zweite Arbeiter mehr erhält als der erste.. Arbeiter: Term : der dritte Arbeiter mehr erhält als der zweite. Arbeiter: Term : der vierte Arbeiter mehr erhält als der dritte.. Arbeiter: III. Aufstellen der Gleichung: eine Prämie von an vier Mitarbeiter verteilt... Mit I. und II. ergibt sich somit: IV. Lösen der Gleichung: Zusammenfassen : V. T e Term :. Arbeiter Term :. Arbeiter Term :. Arbeiter VI. Antwort: Der erste Arbeiter erhält, der zweite erhält, der dritte und der vierte. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

3 .. Lösung: I. Festlegung der Gleichungsvariable Vor der Verlängerung ist die erste Seite cm lang, die Länge der zweiten Seite ist unbekannt, sie ist somit cm lang. : Länge der zweiten Seite vor der Verlängerung II. Fläche vor der Änderung: A cm² Nach der Änderung:.Seite: 9 cm. Seite: cm Fläche : A 9 cm² III. Aufstellen der Gleichung: verdoppelt sich der Flächeninhalt des Rechtecks... Mit I. und II. ergibt sich somit: A A 9 IV. Lösen der Gleichung: 9 Zusammenfassen 9 9 : V. entfällt VI. Antwort: Die zweite Seite des Rechtecks war ursprünglich cm lang. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

4 . Übungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen.. Lösung: a y y y y : In der zweiten Gleichung y isolieren., T T : Die rechte Seite der zweiten Gleichung in der ersten Gleichung für y einsetzen und die dadurch entstandene lineare Gleichung mit einer Variable nämlich dann mittels Äquivalenzumformungen lösen., y und y,,,,,,, Das Ergebnis für y in die zweite umgeformte Gleichung des Gleichungssystems einsetzen. Das Einsetzen beider Lösungen in die erste Gleichung Probe ermöglicht die Kontrolle dieser Ergebnisse IL {, ;,} Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

5 B y y y y Durch Termumformungen die Gleichungen vereinfachen und zusammenfassen. y y y y y y y y Anschließend so umformen, dass in beiden Gleichungen eine der Variablen hier y mit dem gleichen Koeffizienten, aber entgegengesetztem Vorzeichen steht. Dann addiert man die beiden Gleichungen. IL { } Das Addieren der beiden Gleichungen führt hier zu einer falschen Aussage, dies bedeutet, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

6 c y y 9 y y y y y 9 y y y y y y 9 y 9 y y y y Durch Termumformungen die Gleichungen vereinfachen und zusammenfassen. y y y y y y y y y y Anschließend so umformen, dass in beiden Gleichungen eine der Variablen hier mit dem gleichen Koeffizienten, aber entgegengesetztem Vorzeichen steht. y y y : Dann addiert man die beiden Gleichungen. y y und y : Das Ergebnis für y in die zweite umgeformte Gleichung des Gleichungssystems einsetzen Das Einsetzen beider Lösungen in eine der Ausgangsgleichungen Probe ermöglicht die Kontrolle dieser Ergebnisse. IL { ; } Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

7 .. Lösung: I. Festlegung der Gleichungsvariablen: Anzahl der Einzelzimmer: Anzahl der Doppelzimmer: y II. Insgesamt sind Zimmer vorhanden. y Wöchnerinnen in Einzel- und Doppelzimmern y III. IV Aufstellen des Gleichungssystems: y y Lösen des Gleichungssystems mit dem Einsetzungsverfahren y y y y y In der ersten Gleichung isolieren. y y y y 9 T Die rechte Seite der ersten Gleichung in der zweiten Gleichung für einsetzen und die dadurch entstandene lineare Gleichung mit einer Variable nämlich dann y mittels Äquivalenzumformungen lösen. y 9 und 9 y Das Ergebnis für y in die erste umgeformte Gleichung des Gleichungssystems einsetzen. 9 Das Einsetzen beider Lösungen in die zweite Gleichung Probe ermöglicht die Kontrolle dieser Ergebnisse V Antwort: Die Station besitzt Einzelzimmer und 9 Doppelzimmer. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

8 .. Lösung: I. Festlegung der Gleichungsvariablen: Anzahl der Erwachsenen: Anzahl der Kinder: y II. insgesamt Besucher gezählt y Eine Eintrittskarte für Erwachsene kostet, eine für Kinder,. und Die Tageseinnahme eines Zoos betrug., y III. IV Aufstellen des Gleichungssystems: y, y Lösen des Gleichungssystems mit dem Einsetzungsverfahren y y,y y y,y In der ersten Gleichung isolieren. y,y y,y,y y : T, Die rechte Seite der ersten Gleichung in der zweiten Gleichung für einsetzen und die dadurch entstandene lineare Gleichung mit einer Variable nämlich dann y mittels Äquivalenzumformungen lösen. y und y Das Ergebnis für y in die erste umgeformte Gleichung des Gleichungssystems einsetzen. V. Antwort: Es waren Erwachsene und Kinder im Zoo. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

9 .. Lösung: I. Festlegung der Gleichungsvariablen: Zinssatz der Bausparkasse: Zinssatz der Bank: y II. Hinweise: Zinsen Schuldsumme Zinssatz Schulden im zweiten Jahr Schuldsumme Tilgung von einer Bausparkasse und von einer Bank geliehen und..im ersten Jahr werden an Zinsen gezahlt y Im ersten Jahr von jedem der beiden Darlehen werden getilgt. und Im zweiten Jahr sind an Zinsen zu zahlen. 7 y III. IV Aufstellen des Gleichungssystems: y 7 y Lösen des Gleichungssystems mittels Additionsverfahren y : 7 y : y, 7y, 7 9 y, 9 y Die beiden Gleichungen so umformen, dass eine der Variablen hier y die gleichen Koeffizienten, mit entgegengesetztem Vorzeichen erhält. Dann addiert man die beiden Gleichungen. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

10 7,, : Die dadurch entstandene lineare Gleichung mit einer Variable nämlich dann mittels Äquivalenzumformungen lösen. V. wort: Ant 9, y Das Ergebnis für in die, y, zweite umgeformte Gleichung des Gleichungssystems einsetzen um y zu y, : y,7 berechnen. D er Zinssatz der Bausparkasse beträgt, ˆ, %, % und der Zinssatz der Bank beträgt ca. 7, %.. Übungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen.. a / b ² 7 / : ² 9 / IL {; } ² ² / ² / IL {; } / zusammenfassen c 7, d 7, 7, 7 7 IL { ; } IL { ; } Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

11 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L E ± ±,,,,,, q p also { } ; IL f 7 7,,,,,,,, q p, : ± ± also { }, ; IL g : ± also: { } IL ;

12 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L h ² ² ² : ² ² ² ² ² ± Binom T also: } ; { IL i : ± ± q p also { } ; IL j,,,,,,,,,,,,, : 9, ± ± q p also { } ;, IL

13 .. Lösung: I. Festlegen der Gleichungsvariable: : gesuchte Zahl II. Erstellen der Terme: Term : Multipliziert man eine Zahl mit der um zwei größeren Zahl Term : zwölf mehr, als das Produkt aus dem Doppelten dieser Zahl und der um drei kleineren Zahl ergibt. III. Aufstellen der Gleichung: IV. Lösen der Gleichung mit Hilfe der p-q-formel: : ± p und q ± ± V. Antwort: Es gibt keine Zahlen die diese Bedingung erfüllen. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

14 .. Lösung: I. Festlegen der Gleichungsvariable: : Breite in Metern II. Erstellen der Terme: Term : Term : ist an einer Seite vier Meter länger als an der anderen. Länge Sie wird mit quadratischen Platten ausgelegt. Jede Platte hat eine Kantenlänge von cm. Gesamtfläche A,, III. Aufstellen der Gleichung: IV. Lösen der Gleichung mit Hilfe der p-q-formel: p und q ± ± 7, ± 7,, 7,, V. Antwort: Da es keine negativen Längen geben kann, ist die Terrasse, Meter Breit und,, Meter lang. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

15 7. Übungsaufgaben zu LF 7.. Lösung: Allgemein gilt: f m b I. Die Steigung m ist bekannt: m. Damit haben wir die vorläufige Funktionsgleichung f b. II. Bestimmung des y-achsenabschnittes b: P / liegt auf der Geraden. Somit gilt f. Unter Verwendung der vorläufigen Funktionsgleichung erhalten wir b b b III. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung f. 7.. Lösung: Allgemein gilt: f m b I. Bestimmung der Steigung m: y y Es ist m. 9 Damit haben wir die vorläufige Funktionsgleichung f b. II. Bestimmung des y-achsenabschnittes b: S / liegt auf der Geraden. Somit gilt f. Unter Verwendung der vorläufigen Funktionsgleichung erhalten wir b b 7 b III. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung f 7. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

16 7.. Lösung: f g Schnittpunkt mit der y-achse Bed.: f also S y /. Schnittpunkt mit der -Achse Bed.: f also / S. : Schnittpunkt mit der y-achse Bed.: f also S y /. Schnittpunkt mit der -Achse Bed.: f also / S : 7.. Lösung: Bestimmung der Funktionsgleichung von f: Allgemein gilt: f m b I. Bestimmung der Steigung m: Es ist m vorgegeben. Damit haben wir die vorläufige Funktionsgleichung f b. II. Bestimmung des y-achsenabschnittes b: P / liegt auf der Geraden. Somit gilt f. Unter Verwendung der vorläufigen Funktionsgleichung erhalten wir b b b III. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung f. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

17 Bestimmung der Funktionsgleichung von g: Allgemein gilt: g m b I. Bestimmung der Steigung m: y y 9 Es ist m. Damit haben wir die vorläufige Funktionsgleichung g b. II. Bestimmung des y-achsenabschnittes b: R / liegt auf der Geraden. Somit gilt g. Unter Verwendung der vorläufigen Funktionsgleichung erhalten wir b b b III. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung g. Bestimmung des Schnittpunktes von f und g: Bedingung: f g, : Nun erfolgt die Bestimmung des zugehörigen Funktionswertes durch Einsetzen der Lösung in eine der beiden Funktionsgleichungen: g,,,, Also ist der Schnittpunkt der Graphen von f und g der Punkt S, /,. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

18 7.. Lösung: Es gilt: f a a und P - / - liegt auf der Geraden: a a a a : Die Variable a muss somit den Wert dem Graphen von f a liegt. a damit der Punkt P / auf Schnittpunkt der Funktionsgeraden mit der y-achse: Bed.: f a a a also S y / a. Schnittpunkt der Funktionsgeraden mit der -Achse Nullstellen: Bed.: f a a a also: a / N. a a : 7.. Lösung zu a: I. Die Gerade p verläuft parallel zur Geraden f mit der Steigung m f. Damit ist m g mf. Wir erhalten so die vorläufige Funktionsgleichung: p. b p II. Die Gerade verläuft durch den Punkt P /. Mit Hilfe der Punktprobe lässt sich dann wie gewohnt der y-achsenabschnitt b p bestimmen: Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

19 p b b b III. Die zu f durch den Punkt P parallel Gerade ist p. zu b: I. Bestimmung der Steigung m o : Die Gerade o verläuft orthogonal zur Geraden f. Es ist m II. m o,. Wir erhalten so die vorläufige Funktionsgleichung o,. Bestimmung des y-achsenabschnitts b o Die gesuchte Gerade g verläuft durch den Punkt P /. Somit erfüllt P die Bedingung o., bo, bo, b, o b o f, somit ist III. Die gesuchte Gerade ist o,,. zu c: Bedingung: f o,,,,, :,, Nun erfolgt die Bestimmung des zugehörigen Funktionswertes durch Einsetzen der Lösung in eine der beiden Funktionsgleichungen: f Also ist der Schnittpunkt der Graphen von f und g der Punkt S /. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

20 zu d: Schnittpunkt mit der y-achse Bed.: Schnittpunkt mit der -Achse Bed.: f f also S y /. also / S. : 7..7 Lösung zu a: D C A B In einem Parallelogramm sind die Steigungen der gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich groß. Für die gegebenen Punkte A, B, C, und D gilt m AD y y m BC y y 7 y y m AB 7, y y m DC, Somit sind die Steigungen der jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich. Die vier Punkte bilden also ein Parallelogramm. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

21 zu b: In einem Rechteck bilden die angrenzenden Seiten einen rechten Winkel. Für die Steigungen von Geraden, die orthogonal rechtwinklig zueinander verlaufen, gilt m. Im dem von den vorgegebenen Punkten gebildeten Pa- m rallelogramm gilt m m, BC. AB Die beiden Seiten AB und BC bilden somit einen rechten Winkel, das Parallelogramm ist also auch ein Rechteck. 7.. Lösung: a Allgemein gilt f m b. Liter pro Tag werden verbraucht d.h. m Liter sind vorhanden d.h. f b, also b Somit ist die gesuchte Funktionsgleichung f. b nach 7 Tagen f 7 7 Nach 7 Tagen sind also noch Liter vorhanden. c vollständig verbraucht d.h. f Nach Tagen ist der Vorrat vollständig verbraucht. : d 9 Liter Bestand d.h. f 9 9 Nach Tagen ist der Bestand von 9 Litern erreicht. : Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

22 7..9 Lösung: D C A B Die Seiten AD und CD und damit auch die Geraden durch diese Seiten schneiden sich im Punkt D. Die Seite AD hat die selbe Steigung wie die Seite BC parallele Seiten m AD y y mbc,. Von der Geraden durch AD ist nur der Punkt A / bekannt, so dass dieser Punkt für die Punktprobe zur Bestimmung der Funktionsgleichung dieser Geraden benutzt werden muss: g AD m b, b b 7 b also gilt:, 7 g AD Die Seite CD hat dieselbe Steigung wie die Seite AB parallele Seiten: m y y CD mab. Von der Geraden durch CD ist nur der Punkt C / bekannt, so dass dieser Punkt für die Punktprobe zur Bestimmung der Funktionsgleichung dieser Geraden benutzt werden muss: g CD m b b also gilt: b b g CD Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

23 Der Schnittpunkt der Geraden g AD und g CD ist dann der gesuchte Punkt D: g, AD g 7 CD : 7 und g CD. Somit ist der gesuchte Punkt D der Punkt: D /. 7.. Lösung: zu a Ölheizung Pro Jahr Kosten, d.h. für Jahre: f Fernwärme Pro Jahr Kosten, d.h. für Jahre: Einmalige Kosten: entspricht b g zu b Rentieren würde sich die Umrüstung von dem Zeitpunkt an, an dem Kosten für den Umbau und den anschließenden Energieverbrauch den Kosten für den Ölverbrauch für den gleichen Zeitraum entsprechen. Von diesem Zeitpunkt an, werden jedes Jahr gespart! Also: Bedingung: f g :, Nach, Jahren würde sich eine Umstellung rentieren. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

24 . Übungsaufgaben zu QF.. Lösung: f Schnittpunkt mit der y-achse: Bed.: Schnittpunkt mit der -Achse: Bed.: f f also: S y / : also: N / und N / g ² Schnittpunkt mit der y-achse: Bed.: g ² also: S y / Schnittpunkt mit der -Achse: Bed.: g ² ² ± ± 7, 7 p q Formel, also: N 7, 7 / und N, /.. Lösung: zu f: f ² besitzt die Koeffizienten a, b und c. Somit lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen: S b a, Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

25 y c b s a, Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten: S, /,. zu g: g ² besitzt die Koeffizienten a, b und c. Somit lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen: y b S a S c b a,,, Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten: S, /,... Lösung: zu a: Bedingung: f g : ±, ±, Bestimmung der y-koordinaten:,, g,, g,, 9 9,, Die beiden Graphen von f und g haben also zwei Schnittpunkte: S, / 7, 9 und S, /, 9. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

26 zu b: Bedingung: f g ±,,,, ±,,, Bestimmung der y-koordinaten: g g 7 Die beiden Graphen von f und g haben also zwei Schnittpunkte: S / 7 und S /... Lösung: zu a: Der Abstand der Nullstellen ergibt die Spannweite der Brücke. Bed.: f, ±, :, ± Die Spannweite beträgt somit Meter. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

27 zu b: Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Brücke. Somit gibt die y-koordinate des Scheitelpunktes die Höhe des höchsten Punktes der Brücke an. Scheitelpunkt bestimmen: S b a,,,, y S c b a,,,,, Die Brücke ist somit, Meter hoch. zu c: Der Scheitelpunkt ist S /,. Der Abstand c dieses Punktes von Ursprung kann mit Hilfe des Satzes con Pythagoras bestimmt werden. c,,,, Der Punkt S ist also ca. Längeneinheiten vom Nullpunkt entfernt... Lösung: zu a: Allgemein gilt für die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion f a b c. Das Einsetzen der Koordinaten der vorgegebenen Punkte in diese allgemeine Gleichung führt dann zu folgenden Bestimmungs-Gleichungen: P / f a b c P / f 9 a b c bei, Nullstelle f,, a, b c Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

28 a b c 9 a b c, a, b c a b c 9 b c a Z Z, a, b c a b c Gleichung I beibehalten Z Z 7 a 7b : 7 9, 7a, b :, a b c a b, a b Z Z a b c a b, a :, a b c a b a a einsetzen in Z : b b a und b einsetzen in Z : c c c c Das Einsetzen der berechneten Werte für a, b und c liefert die gesuchte Funktionsgleichung f. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

29 zu b: Schnittpunkt mit der y-achse: Bed.: f also: S y / Schnittpunkt mit der -Achse: Bed.: f :, ±,,,,, also: N, / und N, / zu c: S b a y S c b a 9 Somit ist der Scheitelpunkt S /. Der Graph von f ist nach oben geöffnet, denn es gilt: a >. Daher ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphen. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

30 zu d: zu e: Die Symmetrieachse von quadratischen Funktionen ist jeweils eine Parallel zur y-achse durch den Scheitelpunkt des Graphen. Auf Grund der Koordinaten des Scheitelpunktes hat die Symmetrieachse der Funktion f mit f die Gleichung. zu f: Auf Grund des Satzes des Pythagoras gilt für den Abstand c des Punktes P / vom Koordinatenursprung N /, c. Der Punkt P ist somit ca., LE vom Koordinatenursprung entfernt. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

31 zu g: f g Bedingung: f g 9 : 9 ± 9 ± 9 g Bestimmung der y-koordinaten: f f 9 Die beiden Graphen von f und g haben also zwei Schnittpunkte: S 9 / 7 und S / 9. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

32 9. Übungsaufgaben zu PF 9.. Lösung: Funktionenklasse Streng monoton fallend Streng monoton steigend n gerade und a > I ] ; ] I [; [ n gerade und a < I [; [ I ] ; ] n ungerade und a > Ganz IR n ungerade und a < Ganz IR Lösung: Wertetabelle: f f,, 7, 7, f 7 7 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

33 f f f f Symmetrieverhalten Achsensymmetrie zur y-achse Achsensymmetrie zur y-achse Keine Achsensymmetrie zur y-achse Achsensymmetrie zur y-achse Grenzwertverhalten lim f lim f lim f lim f lim f lim f lim f lim f Monotonieverhalten Streng monoton fallend [ [ I ; Streng monoton steigend ] ] I ; Streng monoton steigend [ [ I ; Streng monoton fallend ] ] I ; Streng monoton steigend [ [ I ; Streng monoton fallend I ] ] ; Streng monoton steigend [ [ I ; Streng monoton fallend ] ] I ; Wertemenge W { y R y } W { y R y } W { y R y } W { y R y } Bei der Funktion f roter Graph erfolgt im Vergleich zu f lila Graph eine Spiegelung an der -Achse und Verschiebung um eine LE nach oben. Daher bleibt lediglich das Symmetrieverhalten gleich, Grenzwertverhalten, Monotonieverhalten und Wertemenge ändern sich. Bei der Funktion f blauer Graph erfolgt im Vergleich zu f lila Graph eine Stauchung und Verschiebung um zwei LE nach unten. Daher bleibt das Symmetrieverhalten und das Grenzwertverhalten gleich, Monotonieverhalten und Wertemenge ändern sich. Bei der Funktion f grüner Graph erfolgt im Vergleich zu f lila Graph eine Verschiebung um zwei LE nach links und um eine LE nach oben. Daher bleibt lediglich das Grenzwertverhalten gleich, Symmetrieverhalten, Monotonieverhalten und Wertemenge ändern sich. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

34 9.. Lösung: Wertetabelle: f 7 9 f,,,,, f f, f Symmetrieverhalten Keine Punktsymmetrie zum Ursprung Keine Punktsymmetrie zum Ursprung Punktsymmetrie zum Ursprung Grenzwertverhalten lim f lim f lim f lim f lim f lim f Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

35 f f, f Monotonieverhalten Streng monoton fallend - nie - Streng monoton steigend I IR Streng monoton steigend Streng monoton steigend I IR Streng monoton fallend - nie - - nie - Streng monoton fallend I IR Wertemenge W IR I IR I IR Bei der Funktion f blauer Graph erfolgt im Vergleich zu f grüner Graph eine Verschiebung um eine LE nach oben. Daher bleiben Grenzwertverhalten, Monotonieverhalten und Wertemenge gleich, lediglich das Symmetrieverhalten ändert sich. Bei der Funktion f, roter Graph erfolgt im Vergleich zu f grüner Graph eine Verschiebung um eine LE nach unten und eine Spiegelung an der -Achse. Daher ändern sich Grenzwertverhalten, Monotonieverhalten und Symmetrieverhalten, lediglich die Wertemenge bleibt gleich. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

36 . Übungsaufgaben zu GF.. Lösung: a f Grad des Polynoms: n. a, a,, a a b f Grad des Polynoms: n. a,, a, a a c f 7 Grad des Polynoms: n. a, a, 7, a a.. Lösung: Funktion Symmetrie f 7 Achsensymmetrie zur y-achse, da alle Eponenten gerade sind f Achsensymmetrie zur y-achse, da alle Eponenten gerade sind f 7 Weder Achsensymmetrie zur y-achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung, da sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten vorhanden sind. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

37 .. Lösung: Für c verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung. Begründung: a f c Nur in diesem Fall sind alle Eponenten von f ungerade. Der zugehörige Funktionsterm lautet dann: f. Gilt c, so ist der zugehörige Eponent Null c c c und damit gerade. Für c verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y-achse. Begründung: b f c Nur in diesem Fall sind alle Eponenten von f gerade. Der zugehörige Funktionsterm lautet dann: f. Für alle anderen c gilt: c f c f c c. Dabei gilt: c c, so dass stets ein Summand mit ungeradem Eponenten im Funktionsterm enthalten ist. Hier ergeben alle ungeraden Einsetzungen für c einen Funktionsterm dessen Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. Geht man davon aus, dass die Summanden des Funktionsterms der Größe nach geordnet sein sollen, so ist c die einzig mögliche Lösung. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

38 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L.. Lösung: Lösung zu a: : Lösung zu b: : Lösung zu c: :

39 .. Lösung: Lösung zu f ² : f ² ² ², ± ±, NR ±, Polynomdivision, Die Schnittpunkte mit der -Achse sind somit: N / ; / N /. N und NR: II. Nullstelle ermitteln durch Einsetzen in den Funktionsterm und Linearfaktor bilden: ² ² ² Linearfaktor: f f f III. Polynomdivision: ² : Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

40 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L Lösung zu ² 9 g : 9 ± ± ² ² Polynomdivision NR ² f Die Schnittpunkte mit der -Achse sind somit: / N ; / N und / N. NR: I. Nullstelle ermitteln und Linearfaktor bilden: 9 ² f 9 ² f Linearfaktor: II. Polynomdivision: 9 : ²

41 .. Lösung: Bed.: f Diese Gleichung hat keine reelle Lösung, somit hat f keine reelle Nullstelle. Eine Zerlegung in Linearfaktoren ist daher nicht möglich. Bed.: g Beide Gleichungen haben keine reelle Lösung, somit hat g keine reelle Nullstelle. Eine Zerlegung in Linearfaktoren ist daher nicht möglich.. Übungsaufgaben zu EF.. Lösung: Allgemein gilt: f t c b. t Aus der Tabelle können wir entnehmen, dass f c b c 7,. Somit ist c 7,., 7, Damit gilt f c b 7, b, b, 9. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also f t 7,, 9. t.. Lösung: Allgemein gilt: t f t c b t in Wochen. Aus dem Aufgabentet können wir entnehmen, dass f c b c. Somit ist c. Damit gilt f c b b b, b,,. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L f t,. t

42 .. Lösung: Allgemein gilt: t f t c b t in Sekunden. Aus dem Aufgabentet können wir entnehmen, dass f c b c. Somit ist c., Damit gilt f c b b b. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also f t,. t.. Lösung: Allgemein gilt: t f t c b t in Tagen. Aus dem Aufgabentet können wir entnehmen, dass f c b c. Somit ist c. 9, Damit gilt f c b b 9, b, 7. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also f t, 7. t.. Lösung: t Allgemein gilt: f t c b t in Jahren. Nach einem Jahr % mehr f, Nach zwei Jahren noch % mehr Nach fünf Jahren Aus den Überlegungen folgt unmittelbar f,. f,,, f, Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

43 .9 Übungsaufgaben zur Differentialrechnung.9. Lösung: Die Steigung des Funktionsgraphen an den vorgegebenen Stellen ist gleich dem Funktionswert der. Ableitung f an diesen Stellen. Gegeben ist die Funktion f mit. f Somit gilt f. a m f a m f a m f 9 Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten t, t und t. I. Dazu benötigen wir die Funktionswerte f, f und f. Es ist: f f f II. Bestimmung der Steigungen s.o. Damit ergeben sich die vorläufigen Funktionsgleichungen t b, t b und t 9 b. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

44 III. Bestimmung der y-achsenabschnitte Mittels der jeweiligen Punktprobe errechnen sich die y-achsenabschnitte: t b b b t 9 b b 7 b 9 t 9 b 9 b b 9 Wir erhalten: t, t 7 und t Lösung: Die Steigung der Funktionsgraphen wird mit Hilfe der ersten Ableitung f berechnet. f e f e f e 7, 9 f e, Für die Funktionsgleichungen der Tangenten t und t benötigen wir I die Funktionswerte f und f, II die Steigung an diesen Stellen und III die y-achsenabschnitte. I f e 7, 9, 9 f e,, 9 II s.o. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

45 III mit der Punktprobe errechnen wir jeweils die y-achsenabschnitte. t, 9 7, 9 b, 7 b b 9,, 9, 9, 7 t,, b b, 9, b, 9, 9, Damit erhalten wir die Funktionsgleichungen t 7, 9 9 und t,.,,.9. Lösung: Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte für f Ableitungsfunktion: f I. notwendige Bedingung für Etrema: f : ausklammern II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : f f,, Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

46 Bei findet also ein / -Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : f f,,, Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f 7 9 f Somit ergeben sich für f die Punkte: HP / 9 und TP /. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

47 Ableitungsfunktion: g,, I. notwendige Bedingung für Etrema: g,, :, ausklammern II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von g Überprüfung von : g, g,,,,,, Bei findet also ein / -Vorzeichenwechsel von g statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : g, g,,,,,,,,, Bei findet also kein Vorzeichenwechsel von g statt, d.h. hier liegt kein Etrempunkt vor. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

48 Überprüfung von : g, g,,,,,, Bei findet also ein -/-Vorzeichenwechsel von g statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen durch Einsetzen der -Werte in g: g,,,7, 7, g,, g,,,7, 7, Somit ergeben sich für g die Punkte: HP / 7, und TP / 7,..9. Lösung: f f I notwendige Bedingung für Etremstellen: f ±, NR p q Formel, Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

49 NR Polynomdivision f : II hinreichende Bedingung für Etremstellen: - Vorzeichenwechsel der Steigung d.h. für f bei : f f Vor ist das Vorzeichen also negativ, nach positiv. Somit liegt ein / -Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei ist ein Tiefpunkt. Vorzeichenwechsel der Steigung d.h. für f bei : f f Vor ist das Vorzeichen also positiv, nach negativ. Somit liegt ein / -Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei ist ein Hochpunkt. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

50 Vorzeichenwechsel der Steigung d.h. für f bei : f f Vor ist das Vorzeichen also negativ, nach positiv. Somit liegt ein / -Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei ist ein Tiefpunkt. f III Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: Die fehlenden y-werte der Etremstellen erhält man, indem man die -Werte in die Funktionsgleichung von f einsetzt f y. 9, 7 also TP ; 9, 7 f also HP ; f also TP ; Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

51 .9. Lösung: Notwendige Bedingung für die Eistenz einer Etremstelle ist eine Nullstelle der. Ableitung f. f f Notwendige Bedingung: f : Die letzte Gleichung ist unlösbar für reelle Zahlen, daher eistiert hier auch keine Etremstelle..9. Lösung: Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte für f Ableitungsfunktion: f I. notwendige Bedingung für Etrema: f : ausklammern II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

52 Überprüfung von : f f Bei findet ein /- - Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : f f Bei findet also kein Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt kein Etrempunkt vor. Überprüfung von : f f Bei findet ein -/ - Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

53 III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f, 9,, 77 f, 9,, 77 Somit ergeben sich für f die Punkte: HP /,77 und TP /,77. Bestimmung der Wendepunkte. Ableitungsfunktion: f I. notwendige Bedingung: f ausklammer n II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von -: f f,,,, 7, Bei - findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Da - keine Nullstelle von f ist, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

54 Überprüfung von : f,,,, 7, f,,,, 7, Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Da eine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt ein Sattelpunkt. Überprüfung von : f,,,, 7, f Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Da keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. III. y-koordinate des Wendepunktes bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f f f Die Wendepunkte haben folgende Koordinaten: WP /, SP / und WP /. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

55 Bestimmung der Wendetangenten:. Tangente WP / m f ' Einsetzen in t m b b b t Tangente SP / m f' Einsetzen in t m b b b t SP Tangente WP / m f ' Einsetzen in t m b b b t Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

56 .9.7 Lösung:. Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten, ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten lim f und lim f, weil der höchste Eponent von, der im Funktionsterm auftritt, ungerade ist n und sein Koeffizient positiv ist a.. Schnittpunkt mit der y-achse f, somit: / Bedingung: S y.. Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f : ausklammern also: N / und N /. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

57 . Ableitungen f f f 7. Etrempunkte I. notwendige Bedingung: f : ausklammern II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : f f Bei findet also ein / -Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : f f Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

58 III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f f Somit ergeben sich die Punkte: HP / und TP /. Wendepunkte I. notwendige Bedingung: f : II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : f f Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Da keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. III. y-koordinate des Wendepunktes bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f Der Wendepunkt hat also die folgenden Koordinaten: WP /. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

59 9. Wertemenge und Wertetabelle Es gilt: lim f und lim f, das heißt es gilt: \W IR. -Wert y-wert -, -, N Eigenschaften S y HP WP TP N. Skizze des Graphen Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

60 Lösung:. Definitionsmenge Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten, ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur y-achse.. Grenzwertverhalten lim f lim f, weil der höchste Eponent von, der im Funktionsterm auftritt, gerade ist n und sein Koeffizient negativ ist a 9.. Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: / S y. f 9, somit:. Schnittpunkt mit der -Achse Bedingung: f , 9 ± : 9 p q Formel, also, N, / N, /. Ableitungen f 9 f f Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

61 7. Etrempunkte I. notwendige Bedingung: f 7, ± : p q Formel, II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von,7: f f Bei,7 findet also ein / -Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Überprüfung von : f f Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Überprüfung von,: f f 7 Bei, findet also ein / -Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

62 III. y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f 7, 9 7, 7, 7,, f, denn ist auch Nullstelle. f, 9,,,, Somit ergeben sich die Punkte: HP 7, /, ; TP / und HP, /,. Wendepunkte I. notwendige Bedingung: f 7 7 ± , : p q Formel II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Überprüfung von : f 9 f Bei findet also ein /-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Da keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

63 Überprüfung von,: f f Bei, findet also ein / -Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. Da, keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt. III. y-koordinaten der Wendepunkte bestimmen durch Einsetzen der -Werte in f : f 9 f, 9,,, 79, -Wert,,7,,, y-wert, 79,, Eigenschaften N HP WP N, S y, TP WP HP N Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP / und WP, / 79,. 9. Wertemenge und Wertetabelle Es gilt: lim f lim f, das heißt es gibt einen höchsten Punkt des Graphen somit ein absolutes Maimum, den y-wert des höchsten Hochpunktes. y R y,. Also gilt: \W { } Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

64 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L. Skizze des Graphen.9.9 Lösung: Lösung zu a: Die Vorzeichen der Funktionswerte können sich nur an den Nullstellen der Funktion ändern. Daher ergeben sich die Grenzen der gesuchten Intervalle aus den Nullstellen von f. Bedingung: f NR Polynomdivision ± ± ± F q p NR

65 NEBENRECHNUNG: Zunächst muss eine Nullstelle ermittelt und der Funktionsterm durch den zugehörigen Linearfaktor dividiert werden. einsetzen: der zughörige Linearfaktor ist. : Aus den Nullstellen der Funktion f ergeben sich die unten aufgeführten Intervalle. Um zu entscheiden, ob in den Intervallen positive oder negative Funktionswerte vorliegen, kann man den Funktionswert eines -Wertes aus dem Intervall überprüfen. Für die Intervalle deren Grenzen durch bzw. gebildet werden, kann man das Vorzeichen der dort auftretenden Funktionswerte auch anhand der Grenzwerte ablesen. Intervalle Überprüfung Funktionswerte ] [ I ; lim f ] [ I ; f, Negative Funktionswerte Positive Funktionswerte I ] [ f Negative Funktionswerte ; I ; ] [ lim f Positive Funktionswerte Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

66 Lösung zu b: Das Steigungsverhalten einer Funktion bzw. eines Funktionsgraphen ändert sich lediglich an den Etremstellen, deren hinreichende Bedingung z.b. ein Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung ist welche die Steigung angibt. Die Teilintervalle dieser Aufgabe ergeben sich somit durch die Etremstellen von f. Die Überprüfung des Steigungsverhaltens kann dann wieder durch Einsetzen von -Werten aus den Intervallen erfolgen. Bedingung: f und f ±, : pq Formel ± 7, 9 9 ± 7 9 Somit ergeben sich die folgenden Intervalle: Intervalle Überprüfung Funktionswerte I I ] ; [ f, 7, ], ; 7[ f, ], [ I 7; f Streng monoton wachsend Streng monoton fallend Streng monoton wachsend Lösung zu c: Das Kurvenverhalten der Funktion bzw. des Funktionsgraphen ändert sich nur an den Wendestellen. Bedingung: f und f, : Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

67 Intervalle Überprüfung Funktionswerte ] [ I f Rechtskurve ; I ] [ ; f Linkskurve. Übungsaufgaben zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen.. Lösung: Lösung zu a: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat die Form f a b c d. Ihre Ableitung lautet f a b c. Angabe im Tet Bedingungsgleichungen Bestimmungsgleichungen... im Ursprung f f also : a d b c d... im Ursprung ein Minimum f f also : a c b c... in A / f f a b also : a b c d c d... in A / ein Maimum hat. f f a also : a b b c c Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

68 b Gesucht ist eine ganzrationale Funktion. Grades, deren Graph in P / die Steigung t 7 als Wendetangente besitzt. Lösung: m besitzt und in W, / die Gerade Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat die Form f a b c d e. Ihre Ableitungen lauten f a b c d und f a b c Angabe Tet im Bedingungsgleichungen Bestimmungsgleichungen... in P / f f also : a a b b c d c e d e... in P / die Steigung m f, f also : a a b b c c d, d,...in W, / f, f, also : a,, a b,, 7b c,, c, d d, e e... in W, / die Gerade t 7 als Wendetangente f, f, f, a, also :, a, 7b f, a, b, c also : 7a 9b c c, d b, c d Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

69 c Welches zum Ursprung symmetrische Polynom. Grades hat in P / ein Maimum?, Lösung: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat die Form f a b c d. Im Funktionsterm einer zum Ursprung symmetrischen Funktion dürfen jedoch nur ungerade Eponenten auftreten. Daher lautet die allgemeine Funktionsgleichung der hier gesuchten Funktion f a c. Ihre Ableitung lautet f a c. Angabe im Tet... in P / ein Maimum Bedingungsgleichungen f f Bestimmungsgleichungen f a also : a c also : a f a c c c d Eine ganzrationale Funktion dritten Grades besitzt im Punkt W / eine Wendetangente mit der Steigung und eine Nullstelle bei. Welche Funktion erfüllt diese Bedingungen? Siehe Aufgabe... Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

70 .. Lösung: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat die Form f a b c d. Ihre Ableitungen lauten f a b c und f'' a b. Angabe im Tet Bedingungsgleichungen Bestimmungsgleichungen... Punkt W f a b c a b c d d... besitzt im Punkt W eine Wendetangente mit der Steigung f' ' f' a b a b a b c a b c Nullstelle bei f a b c d a b c d Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Algorithmus: a b c d Z Z a b a b c a b c d 7a b c a b a b c Z a b c d Z 7a b c a b a b a b c d Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

71 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7 7 Z Z d c b a b a b a c b a 7 a einsetzen a d c b a a b a c b a 7 d c b a a b c b a 7 b d c b a a b c b a einsetzen a,b 7 b d c b a a b c b a 7 d c b a a b c einsetzen a,b,c d c b a a b c

72 c b a d c b a d Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung f... Lösung: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat die Form f a b c d. Ihre Ableitungen lauten f a b c und f'' a b. Angabe im Tet Bedingungsgleichungen Bestimmungsgleichungen... Nullpunkt f a b c d d... Punkt P / f b c a b c a bei eine Nullstelle hat a b c f 7a 9b c bei eine Wendestelle besitzt. f ' ' a b a b Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Algorithmus d : Unter Berücksichtigung des ersten Ergebnisses. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

73 a b c 7a 9b c a b a b c a b c Z a b Z a b c a b a b a b c a b a b Z Z a b c a b a a a b c a b a einsetzen a a b c b 9 a a b c a,b einsetzen b 9 b a Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

74 c b a c : b a c b a Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung f. Übungsaufgaben zur Integralrechnung. Lösung:. a f b, f 7 F F, 7. c f d f F 7, F,. e f e f f e F e F 7 e Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

75 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7. g f F F F F F. Lösung: Für alle Teilaufgaben soll gelten IR c.. a c d b c d 7 7. c c d 7 d c a d a. e c u u u du u u u f c a a da a a

76 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7. g c a a a da a a 9 h c a a d a a 7 7. i c e d e. a [ ] 7 d. b [ ] 7 z z dz z z

77 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 77. c [ ] ,,, e e e d e. d [ ] 9 d d d. e [ ] 7 d d d d d. Lösung zu a: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: f : Bed. Die Nullstelle liegt im Intervall I.

78 Somit gilt für die über [ ; ] A A A I eingeschlossenen Fläche: A A d 7 d 7 A A A. Lösung zu b: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: Bed. : f ± Die Nullstellen und bildet die rechte Intervallgrenze A A A liegen im Intervall [ ; ] I. A d Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

79 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 79 d A A A A. Lösung zu c: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: 77 Logarithmus natürlicher, ln ln e ln e e e f : Bed. Die einzige Nullstelle von f liegt somit nicht im Intervall [ ] I ;. Daher ist nur eine Teilfläche zu berechnen. [ ] 7 7 7,,,, e e e d e A

80 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L. Lösung zu d: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: ± f : Bed. Alle Nullstellen liegen im Intervall [ ] ; I. Somit sind vier Teilflächen zu berechnen. A A A A A [ ] 7 7 9, d A [ ], d A

81 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L [ ] 7 7 d A [ ] 9, d A 7 7, A A A A A. Lösung zu a: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: Formel pq ± ± f : Bed. Somit wird lediglich eine Teilfläche vom Graphen und der -Achse eingeschlossen. [ ] d A

82 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L. Lösung zu b: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: Formel pq ± ± f Bed. : Somit wird lediglich eine Teilfläche vom Graphen und der -Achse eingeschlossen. [ ] 7 7 d A. Lösung zu c: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: ± f : Bed. Somit werden zwei Teilflächen vom Graphen und der -Achse eingeschlossen.

83 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L A A A f [ ] d A [ ] d A, A A A. Lösung zu d: Zunächst müssen die Nullstellen von f bestimmt werden: siehe. d f : Bed. Somit werden zwei Teilflächen vom Graphen und der -Achse eingeschlossen.

84 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L A A A [ ], d A [ ] 7 7 d A 7, A A A. Lösung zu a: I. Schnittstellen bestimmen: Formel q p 9 ± ± : g g f Somit wird lediglich eine Teilfläche von den beiden Graphen eingeschlossen.

85 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L II. Flächenmaßzahl bestimmen: [ ] d d g f A. Lösung zu b: I. Schnittstellen bestimmen: Formel q p ± ± : g g f Somit wird lediglich eine Teilfläche von den beiden Graphen eingeschlossen. II. Flächenmaßzahl bestimmen: [ ] d d g f A

86 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L. Lösung zu c: I. Schnittstellen bestimmen: 9 Formel q p ausklammern ± ± g g f Somit werden zwei Teilflächen von den beiden Graphen eingeschlossen. II. Flächenmaßzahl bestimmen: [ ] d d g f A [ ] d d g f A A A A

87 .7 Lösung zu a: Zunächst müssen die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmt werden. f g g ausklammern p q Formel,,,,,, A Da die Funktionsgraphen sich dreimal schneiden, sind zwei Teilflächen vollständig eingeschlossen. Somit sind auch zwei Flächenmaßzahlen zu bestimmen. f g d d [ ] A f g d d [ ] Für die Maßzahl der gesuchten Gesamtfläche gilt dann A A A Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 7

88 .7 Lösung zu b: Zunächst müssen die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmt werden. f, g ausklammern g p q Formel Da die Funktionsgraphen sich dreimal schneiden, sind zwei Teilflächen vollständig eingeschlossen. Somit sind auch zwei Flächenmaßzahlen zu bestimmen. f g d d [ ], A f g d d [ ], 7 A Für die Maßzahl der gesuchten Gesamtfläche gilt dann A A A,, 7, 9 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L

89 Übungsaufgaben zur deskriptiven Statistik. Bei der Bürgermeisterwahl in Stadthausen ergab sich die folgende Stimmenverteilung der gültigen Stimmen: Partei CDU SPD F.D.P. Grüne Linke Sonst. Anteil der Stimmen % % 9% % 7% % a Stellen Sie den Stimmenanteil der verschiedenen Parteien in einem Säulendiagramm und in einem Kreisdiagramm dar. % % % Anteil der Stimmen [%] % % % % % % % % 9% % 7% % % CDU SPD F.D.P. Grüne Linke Sonst. Partei Abb.: Säulendiagramm. Hinweis: Ausgangspunkt ist hier die obige Tabelle in Ecel. Mit der linken Maustaste öffnen wir den Diagramm-Assistenten aus der Menüleiste. Wir entscheiden uns dann für ein Säulendiagramm und folgen den Anweisungen. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

90 Linke; 7% Sonst.; % Grüne; % CDU; % F.D.P.; 9% SPD; % Abb.: Kreisdiagramm.a b Wie viele gültige Stimmen hat die CDU erhalten? Gefragt wird hier nach der absoluten Häufigkeit: H CDU,. Die CDU erhielt also von den gültigen Stimmen.. Die Verweildauer von Autos in einem Parkhaus wurde in einer Stichprobe festgehalten Angabe in Minuten: a Stellen Sie die Angaben der obigen Tabelle mittels einer geeigneten Klasseneinteilung in mindestens vier Klassen in einem Histogramm dar. unter über 7 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

91 Daraus ergibt sich das Histogramm: 7 unter über 7 Abb.: Kreisdiagramm.a b Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert, den Median und den Modalwert dieser Angaben. Um das arithmetische Mittel M bestimmen zu können, addieren wir alle Einzelwerte auf 9 und dividieren diesen Wert durch die Anzahl der gegebenen Werte. Wir runden das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. Es ist: n M i 9,9. n i Der Median Md ist der Wert der die geordnete Datenreihe halbiert. Daher sortieren wir die gegebenen Daten zunächst um: Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

92 Wir haben hier zwei zentrale Werte zu berücksichtigen, von denen wir den mittelwert bilden. Es ist: Md,. Der Modalwert Mo ist der Wert mit der größten absoluten Häufigkeit. Offensichtlich ist das der Wert, der genau dreimal bestimmt wurde: Mo. c Erläutern Sie, welcher Mittelwert für die Planungen des Parkhausbetreibers am besten geeignet ist. Aufgrund der etremen Ausreißer und ist das arithmetische Mittel wenig geeignet. Der Median wäre da schon der bessere Wert. Um aber die Parkzeiten in den Griff zu bekommen, eignet sich hier wohl der Modalwert. Den über ihn erfahren wir konkret, welche Parkzeit die Regel sein kann.. Im Biologieunterricht wird in zwei Klassen von jedem der 7 Schüler eine Bohne gepflanzt. Nach einiger Zeit wird die Länge der verschiedenen Keime gemessen. Dabei ergeben sich die folgenden Daten Angabe in mm: < < < 7 7 < 9 < i i i Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert M, den Median Md und den Modalwert Mo. Zur Ermittlung des arithmetischen Mittels ermitteln wir zunächst die Klassenmitte: i i Klasse < < < 7 7 < 9 < i i H Klassenmitte,, 9 i i i Damit ergibt sich: M n 79, H i i,, 9 n i 7 7,. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

93 Der Median wird durch die Klassenmitte der Medianklasse charakterisiert: Md,. Für den Modalwert ergibt analog zur Lösung des Arbeitsbuches auf Seite 7: Mo,.. In der folgenden Tabelle sind verschiedene statistische Daten zusammengestellt, die in einem Kindergarten ermittelt wurden. Nr. Ganztagsbetreuung Gechlecht Alter Größe in cm Länge des Weges in km abgeholt von... M Eltern J, Großeltern J 9, Eltern M 9,7 Tagesmutter J, Eltern J Eltern 7 M 99,7 Eltern M 9, Großeltern 9 M, Großeltern J 7, Eltern M 9, Eltern J 7 Eltern M 7 Mutter M 77 Tagesmutter J 99, Eltern J, Eltern 7 J 79 Großeltern M, Eltern 9 M, Tagesmutter M Großeltern M, Eltern J 9 7 Eltern Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9

94 a Stellen Sie das Alter der befragten Kinder in einem geeigneten Diagramm dar und begründen Sie ihre Auswahl absolute Häufigkeit 7 Alter [Jahre] Abb.: Kreisdiagramm.a Für Kindertagesstätten ist die Anzahl der Kinder bzgl. des Alters interessant. Denn die Gelder fließen u. a. in Abhängigkeit des Alters und der Anzahl der Kinder je Altersstufe. b Stellen Sie in einem geeigneten Diagramm dar, von wem die Kinder abgeholt werden und begründen Sie ihre Auswahl. Tagesmütter % Mutter % Großeltern % Eltern % Abb.: Kreisdiagramm.b Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L 9