Teil 1. Die Verwendung des ClassPad als Taschenrechner. Noch ohne Verwendung von Variablen. Auf dem Niveau der Klasse 9 und 10. Datei Nr.

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1 ALGEBRA mit dem CASI ClassPad 00PLUS Teil 1 Die Verwendung des ClassPad als Taschenrechner Noch ohne Verwendung von Variablen. Auf dem Niveau der Klasse 9 und 10. Datei Nr Demo fürs Internet Friedrich W. Buckel Juni 006 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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3 INHALT 1 Grundeinstellungen 1 Einfache Berechnungen Taschenrechneroperationen.1 Eingaberegeln. Grundrechenarten, Brüche, Wurzeln 6. Logarithmen 19.4 Trigonometrische Berechnungen 4 Bemerkungen Dieser Text kann und will nicht das Handbuch des ClassPad 00 ersetzen. Sinn und Zweck ist es, zusätzliche Rechenbeispiele ausführlich zu erklären. In diesem 1. Teil verzichte ich auf das Rechnen mit Variablen. Dies folgt in Teil. Hier nur einige Seiten aus dem riginaltext!

4 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00. Grundrechenarten, Brüche, Wurzeln Wenn man mit dem ClassPad arbeitet, hat man oftmals keinen üblichen Taschenrechner dabei, den man gewohnt ist, und mit dem in der Regel bisher gearbeitet hat. Man braucht ihn auch nicht, denn der ClassPad beherrscht auch diese Funktionen. Beispiel 1 ( 5 + 1, ) 17 = 447,1 Gibt man dies so ein, erhält man nach Betätigung der Taste EXE (execute = ausführen) eine Fehlermeldung, Der Grund liegt darin, dass es für den ClassPad kein Dezimalkomma sondern nur den Dezimalpunkt gibt. Ersetzen wir also das Komma durch einen Punkt, erhält man das gewünschte Ergebnis. ACHTUNG: Dieses Ergebnis setzt die Dezimal-Einstellung voraus. Wird in der Statuszeile Standard angezeigt (siehe Grundeinstellungen), dann liefert ClassPad ein Bruchergebnis: Also sollte man für den normalen Rechengebrauch Dezimalzahlen eingestellt haben! Ist dies einmal nicht geschehen, muss man nicht die ganze Rechnung noch einmal machen. ClassPad enthält eine Sofort- Umrechen-Icon, die allerdings nicht die Grundeinstellung sondern nur das markierte Ergebnis umrechnet Man markiere also den Bruch und klicke dann das Icon 10 an. Sofort wird das Ergebnis als Dezimalzahl dargestellt: 0,5 1

5 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Beispiel Potenzieren kann man mit der Taste ^ : 4 = wird so berechnet: und 1, 5 0,7 so. Jetzt allerdings haben wir (weil bei mir absichtlich noch die Standardeinstellung gewählt war) wieder das Ergebnis in Bruchform. Markieren wir den Bruch und Klicken auf das Dezimal-Icon folgt das Ergebnis in Dezimalform. Die Keyboard Menüs Der ClassPad hat ein virtuelles Keyboard, das wir manuell über eine Taste aktivieren können. Dieses beinhaltet mehrere Menüs, die durch Karteireiter aufrufbar sind. Die Markierung mth zeigt zunächst das rechts dargestellte Funktionenmenü. Mit ihm kann man Logarithmen berechnen, Wurzeln ziehen, Quadrate berechnen, e-potenzen und Kehrwerte berechnen lassen usw. 1 = 169 ; 169 = 1 Die Abbildung zeigt: sowie die Berechnung von e, wobei, die Eulersche Zahl ist. Das Ergebnis wird nur dann als Dezimalzahl angezeigt, wenn man den Dezimalmodus eingestellt hat oder e durch Anklicken markiert und dann auf das Dezimal-Icon klickt 1 1 Weitere Rechnung: = 0,... (auch wieder mit dem Dezimal-Icon umgewandelt) 1 1 sowie 0,5 = 4 denn ( ) 1 = 4! 4 0,5 1 Klickt man auf D erscheint ein Fenster mit zusätzlichen Rechenzeichen für unsere nächsten Aufgaben. Hier erkannt man Masken zur Eingabe von Brüchen, Wurzeln, Potenzen, Logarithmen, Beträge sowie Klammern usw. 0,5 1

6 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Beispiel Bruchrechnen =? soll berechnet werden Man klickt das Bruchsymbol an und schreibt in den Zähler hinein, dann bewegt man den Cursor in den Nenner usw. Mein Ergebnis ist jetzt eine Dezimalzahl, weil meine Einstellung dies so vorsieht. Will ich das Ergebnis als Bruch, markiere ich 0,5 und klicke das Umwandlungs- Icon an: der ich verwende für die nächsten Rechnungen die Grundeinstellung Standard. Beispiele 4 a) b),5 5 =? 7 5 =? Beide Rechnungen sind rechts dargestellt. Man sieht, dass man auch Doppelbrüche erzeugen kann, einfach im Zähler nochmals das Bruchsymbol anklicken! Beispiel 5 Gemischte Brüche kann der Rechner nicht der gewohnten Form darstellen. 5 versteht der Rechner als Also schreibt man = 5+ = = Beispiel = =!!! 5 10 Dieser Nachteil bereitet Mühe bei Aufgaben wie diesen: : 4 + = 6 : = 6 : = = : = = = = =

7 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Man kann diese Aufgabe auch als Doppelbruch schreiben: = Man beachte die Klammer um die Summe 7 +. Statt dessen könne man auch ohne 10 7 Klammer den Nenner so eingeben: 4+! Doch wie erhält man nun das Ergebnis wieder als gemischte Zahl? Beispiel 6 Dazu benötigen wir einen Befehl aus dem Menü Aktion Transformation: Er heißt propfrac. Klickt man ihn an, erscheint er mit geöffneter Klammer im Display. Jetzt klicken wir den umzuwandelnden Bruch 50 an und ziehen 51 ihn bei gerückter Maustaste hinter diese Klammer. Diese sollte man schließen und dann EXE drücken. (EXE funktioniert auch ohne die Schluss-Klammer!). WICHTIG: Rechts sieht man das Ergebnis! Der ClassPad 00 hat eine Systemvariable mit dem Namen ans (answer), in der er die letzte Antwort, also das letzte Ergebnis speichert. Hier wird also in diesem Augenblick der Bruch gespeichert. Also geht die Umwandlung in eine gemischte Zahl schneller, wenn man hinter den Befehl propfrac( die Variable ans eingibt. Dies geschieht durch Antippen des Feldes ans rechts unten im Keyboard Bereich des Displays. Übrigens habe ich für den Doppelbruch im Nenner die oben erwähnte Möglichkeit 7 7 verwendet und 10 also eingegeben 10 und keine Klammern verwendet, wie beim Versuch zuvor. MERKE: Mit propfrac( kann man unechte Brüche in gemischte Zahlen zerlegen

8 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Beispiel 9 Fortgeschrittenes Wurzelrechnen 1 1 wird so umgewandelt, dass man mit ( + 1) erweitert, so dass im Nenner die. Binomische Formel entsteht: 1 ( + 1) = = = + 1 ( 1)( + 1) 1 1 Der Versuch, dies mit dem ClassPad zu erzeugen schlägt zunächst fehl, wenn man denkt, dass er dies alleine mit EXE bewältigt. Man benötigt hier den Befehl Simplify: Aktion Transformation simplify Damit klappt die Umformung (siehe Abbildung)! Beispiel Die Berechnung von mit simplify führt zunächst 5 1 auf ein nicht erwünschtes Zwischenergebnis, das eine wurzelfreie Form dieses Bruches darstellt. Will man die ausführliche Darstellung, benötigt man den Befehl expand: Aktion Transformation expand. Zunächst erscheint auf dem Display nur expand(. Dann markiert man mit einem Klick den umzuwandeln den Term ( ) Klammer, die man dann schließt. Jetzt folgt das gewünschte Ergebnis. und ziehe ihn mit dem Stift hinter die Ein anderer Weg ist hier wieder die Verwendung der Systemvariablen ans: Man klickt ans an, welche das zuvor ermittelte ( 1+ 5 Ergebnis, also den Bruch ) 4 enthält.

9 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Beispiel 11 Berechne ( + ) Gesucht ist ein äquivalenter Term, keine Dezimalzahl! TIPP: Das Quadrat (hoch ) gibt man mit dem Icon x ein. Man bewegt den Cursor hinter die Klammer und klickt x an. Dann tippt man ein. Beispiel 1 ( ) 6 Beispiel 1 Hier die Lösung: hne einen Zusatzbefehl erhält man nur denselben Term wieder, mit vertauschen Summanden. Verwendet man aber den Befehl expand, dann folgt das gewünschte Ergebnis als Term. Übrigens bewirkt simplify hier auch nichts. wird ohne den expand-befehl auch nicht berechnet. Es wird nur der Nenner rational gemacht. Das Ergebnis liefert expand( Geschachtelte Wurzeln 8 wird mittels EXE in eine Potenz umrechnet: ( ) = 8 = 8 = 8 und mit folgt dann ( ) = =. Der Befehl simplify lässt die 8 stehen und schreibt lediglich die beiden Wurzeln in eine Potenz um. Mit expand geschieht dasselbe! Und mehr ist auch nicht zu tun, Es sei denn umwandeln in eine Dezimalzahl! 8= Dazu schreibe ich die Aufgabe in den Bildschirm, tippe auf EXE, markiere das Ergebnis und klicke auf das Dezimal-Umwandlungs-Icon.

10 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Aufgaben zu Brüchen (1) 4 + () () 6 9 : (4) : (5) 1 ( ) ( ) (6) (7) (9) Aufgaben zu Wurzeln (8) (10) Ziehe teilweise die Wurzeln oder mache die Nenner rational Beweise die Ergebnisse durch eigene Rechnung! ( + ) 1 11 ( ) (1) 4 () 1088 () 98 (4) (7) 18 8 (5) (8) 8 Verwende nun auch die Befehle simplify bzw. expand. Beweise die Ergebnisse durch eigene Rechnung! 8 (6) (9) (10) ( + ) (11) ( 8 + 7)( 8 7) (1) ( ) (1) ( 4 ) (14) ( 7 7 5)( ) (15) ( 54 4 ) (16) 9 (17) (18) (19) 4 + (0) (1) () 4 = () 6 Beweis! ( + 1) ( ) 1 (4) 5 5 6

11 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Lösungen zu den Bruchaufgaben (1) () () = = =! : usw. auf CD

12 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 e) Die Anwendung logarithmischer Regeln ist eine beliebte Aufgabe. Wie kann man mit ClassPad diese Aufgabe bewältigen: log ( 40) + log ( 15) = log ( 40 15) = log ( 600)? 1. Versuch: log ( 40) + log ( 15) EXE : Ergebnis: ln( 5) + ln( ) ln( 5) + ln( ) = + ln( ) ln( ). Versuch: simplify( log ( ) ( ) 40 + log 15 EXE ln( 600) Ergebnis: = ln( ). Versuch: expand( log ( ) ( ) 40 + log 15 EXE ln( 600) Ergebnis: = ln( ) 4. Versuch: combine( log ( ) ( ) 40 + log 15 EXE ln( 5) + ln( ) + ln( ) Ergebnis: = ln( ) 5. Versuch: collect( log ( ) ( ) 40 + log 15 EXE ln ( ) Ergebnis: = 1+ + ln( 5) ln( ) ln( ) Das ist die Zerlegung des Ergebnisses (4) in einzelne Brüche, allerdings in seltsamer Darstellung. (Verbesserungswürdig!) Das wiederum sieht schon besser aus, wenn man das Ergebnis aus (4) mit expand( bearbeitet: Es gelingt offenbar nicht, das Ergebnis mittels log darzustellen. Am nächsten kommt dem allerdings das Ergebnis () Wenn der Schüler das erklären soll, muss er diese Rechnung beherrschen: x Man schreibt x= log ( ) 600, kehrt es in eine Potenz um: = 600. Diese Gleichung wird logarithmiert und zwar mit der Funktion ln : ( x ln ) = ln( 600), dann wendet man die. Logarithmenregel an und zieht den Exponenten damit vor: ( x ln ) = x ln( ), also hat man jetzt: ln( 600) xln ( ) = ln600 ( ) x=! ln( ) im Ergebnis (1) werden 40 und 15 in Primfaktoren aufgespaltet und dann kommen die Logarithmusregeln zur Anwendung!

13 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00. Trigonometrische Berechnungen Die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens nehmen ihre Argumente im Gradmaß und im Bogenmaß entgegen. Dies gehört zunächst zur Grundeinstellung: Die vorhandene Einstellung kann man in der Statusleiste am unteren Rand ablesen. Diese trigonometrischen Funktionen erhält man über das Keyboard-Menü mth Trig Der gebogene Pfeil führ dann wieder in das ursprüngliche Funktionen- Menü zurück. (Bild rechts).

14 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00. Umkehrung der trigonometrischen Funktionen a) Die Sinusfunktion umkehren Welche Winkel haben sinα= 0,4? Dies ist eine trigonometrische Gleichung, die wir hier nicht lösen wollen. Vielmehr suchen wir im Bereich 90 ; 90 den Winkel, dessen Sinus 0,4 ist. Die Umkehrfunktion, die dem Wert 0,4 den Winkel aus diesem Intervall zuordnet heißt arcsin (gelesen Arcussinus). Auf Taschenrechnern ist diese 1 Funktion meistens durch das Symbol sin dargestellt. Achtung: Man verwechsle das nicht mit ( sin x) 1 = 1!!! Die Lösung unserer Aufgabe erhalten wir aus dem ClassPad durch diese Eingabe: sin 1.4 EXE Wichtige Punkte zum Beachten: (Bei 0,4 gibt man 0.4 oder nur.4 ein!) (1) Sinuswerte können nur im Intervall [ 1;1] liegen. Die Aufgabe sin -1 (1.) hat daher keine Lösung. () Die Winkel, die man zu den möglichen Werten erhält liegen im Intervall 90 ; 90. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Sinusfunktion. Weil sie für 90 ; 90 (streng monoton) wächst, ist die Funktion dort umkehrbar. Das heißt zu jedem Sinuswert gibt es einen eindeutigen Winkel in diesem Intervall. Würde man als Intervall etwa 0 ;60 wählen, dann gäbe es bei sinα= 0,4 außer α 1 =, noch den Winkel α = 180 α = 156, sin x Man kann natürlich den Winkel auch im Bogenmaß ausrechnen lassen. Nebenstehendes Display zeigt dies in der unteren Berechnung. Die Winkel liegen dann bei Sinus im Intervall π ; π!

15 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00.4 Anwendungsaufgaben aus der Dreiecksberechnung Beispiel 1 b Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck durch a= 8cmundb= cm. Berechne die restlichen Stücke. Lösung (Etwa so:) a 8 8 b tan α= = α= arctan = 69,4 o A α c C a β B o o 90 0,6 β= α = a a sinα= c = = 8,5 ( cm) c sinα Man benötig die mathematische Tastatur für trigonometrische Funktionen, also mth Trig o Anstelle bei β= 90 α für α den Zahlenwert einzutippen verwendet man die Systemvariable ans. Sie speichert das letzte Ergebnis. Leider klappt dies bei der dritten Berechnung nicht mehr. Dort wird α nochmals verwendet, aber ans enthält jetzt den zuvor berechneten Winkel β!. Daher habe ich das α - Ergebnis 0,5 angeklickt und dadurch markiert und hinter sin( hineinkopiert (mit dem Stift ziehen oder mit den Pfeiltasten Kopieren und Einfügen!). Beispiel Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck durch c = 10 cm und α = 5. Berechne die restlichen Stücke. Lösung (z. B. so) a sinα= a = c sinα= 8,0 cm c b cosα= b = c cosα= 6,0 cm c o o β= 90 α= 7,0

16 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Beispiel 5: Inhalt eines Kreisabschnitts Gegeben sei r = 4 cm, o α= 150 A Abschnitt = A Ausschnitt - A Dreieck Herleitung der Berechnungsformel (1): A r x D h α M B Berechnung des Kreisausschnittes: Aaus = π r = π r 60 6 Berechnung des Dreiecksinhaltes: Das Teildreieck AMD ist rechtwinklig, daher gilt: Berechnung des Kreisabschnittes: 15 α α 6 A = πr r sin cos 15 α α A = π sin cos r 6 sin = x = r sin α x α r cos = h = r cos α h α r A = AB h = x h = x h = r sin cos 1 1 α α (1) Wenn wir nun hier die gegebenen Größen o einsetzen, also r = 4 cm und α= 150, folgt A = 16,9 cm.

17 17011 Algebra 1 mit dem CASI ClassPad 00 Beispiel 6: Sinussatz Gegeben sind zwei Seiten a = 6 cm, b = 7 cm und der Gegenwinkel β= 70 zu b. sinα a a = sin α = sin β α 5,7 sinβ b b Ich habe diese Rechnung zweimal gemacht: Einmal nur den Bruch berechnet und dann daraus den Winkel α, das zweie Mal gleich mit sin -1 usw. γ= α β= , c sinγ b sinγ = c= = 6,cm b sinβ sinβ Beispiel 7: Kosinussatz Gegeben sind die Größen a = 7,5cm, c = 8,cm, β= 85 (SWS)! b = a + c ac cosβ b = a + c ac cosβ = 10,6cm Rest mit Sinussatz: sinα sinβ a sinβ a sinβ = sinα = α = sin = 44,8 a b b b und γ= 180 α β= 50, Beispiel 8: Kosinussatz 1 Gegeben sei a = 7, cm, b = 4,1 cm und c = 6,5 cm. Aus a = b + c b c cosα folgt b + c a b + c a cosα= α= arccos 8, bc bc Nun etwa β mittels Sinussatz: sinβ b b sinα b sinα = sinβ= β= arcsin sinα a a a Man beachte in diesen Beispielen die Verwendung der Systemvariablen ans! xcos(85 also β= 4, und daraus 180 6,4 γ= α β=