Komplexe Zahlen. Facharbeit. vorgelegt am von. Florian Hennig. Berufliches Schulzentrum Mittweida

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1 Komplexe Zahlen Facharbeit vorgelegt am Fach: Mathematik Klasse: LTa09 von Florian Hennig Fachoberschule: Berufliches Schulzentrum Mittweida Betreuer: Herr Laurinat

2 II Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis III 1 Einleitung in die Komplexen Zahlen Die Imaginäre Einheit Die Definition der Komplexen Zahlen Darstellung der Komplexen Zahlen Anwendung von Rechenoperationen mit Komplexen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Potenzen Der Betrag einer Komplexen Zahl Verbindung zur Trigonometrie Idee Die Eulersche Identität Die schönste Formel der Mathematik Darstellung von Winkelfunktionen Expotentialform Anwendungsbeispiele Elektrotechnik Schlusswort Begriffserklärungen Anhang Quellenverzeichnisse

3 III Abbildungsverzeichnis Abbildung 1 Darstellung in der Polarform Abbildung 2 Die konjugiert komplexe Zahl Abbildung 3 Addition Abbildung 4 Subtraktion Abbildung 5 Multiplikation Abbildung 6 Division Abbildung 7 z mit Betrag Abbildung 8 Ausschnitt von z Abbildung 9 Eulersche Identität Abbildung 10 Reihenschaltung Abbildung 11 Parallelschaltung

4 1 Einleitung in die Komplexen Zahlen 1 Betrachtet man die Zahlen und Zahlenbereiche aus historischer Sicht, so stellt man fest das es stets Weiterentwicklungen gab, die teilweise durch sehr einfache Sachverhalte zustande kamen. Die Ganzen Zahlen wurden schon frühzeitig beim Tauschhandel verwendet und sie wurden bald mit negativen und gebrochenen Zahlen erweitert, denn wenn man zum Beispiel 7 durch 2 teilt, erhält man 3,5. Der Rationale Zahlenbereich war entstanden. Nur war es selbst mit deren Erweiterung, den reellen Zahlen, die auch die Zahlen π und e erhalten und mit denen auch das Logarhitmieren, Potenzieren und Radizieren durchführbar ist, nicht möglich folgende Gleichung zu lösen: x = 0 Denn für Quadratwurzeln aus negativen Zahlen gibt es keine reelle Lösung. Die ersten Mathematiker die sich mit diesem Problem auseinandergesetzt haben waren die Italiener Gerolamo Cardano ( ) und Rafael Bombelli ( ). Cardano war vermutlich der erste der Berechnungen mit komplexen Zahlen durchführte, und dies bereits im 16. Jahrhundert. Bombelli erwähnte in seinem 1572 erschienenem Werk L Algebra imaginäre Zahlen als Erweiterung der Lösungstheorien für algebratische Gleichungen. Im Laufe der Geschichte setzten sich weitere Mathematiker mit diesem Sachverhalt auseinander so erkannte zum Beispiel Gottfried Willhelm Leibniz ( ) die Beziehung: = 6 Weiterhin beteiligt waren René Descartes ( ), der vermutete das die Anzahl der Lösungen einer Gleichung, immer gleich des Grades der Gleichung sind, und Abraham de Moivre ( ) der sich mit Winkelfunktionen befasste, und entdeckte, dass man Beziehungen leichter ausdrücken kann wenn man imaginäre Zahlen verwendet. Leonhard Euler ( ) bezeichnete die Imaginäre Einheit mit i. Diese Bezeichnung wurde dann von Friedrich Gauß ( ) verwendet und verbreitet. Diese Erweiterung der reellen Zahlenbereiches bildet einen neuen Zahlenbereich, den der Komplexen Zahlen.

5 2 2 Die Imaginäre Einheit Im 18. Jahrhundert führte Euler die Zahl i als imaginäre Einheit ein. Da x 1;2 = ± 1 keine reelwertige Lösung ergibt, wurde festgelegt: 1 = i und somit: i 2 = 1 Alle Rechenoperationen, einschließlich Gegenoperationen, die mit reellen Zahlen möglich sind, können auch mit der Imaginären Einheit i durchgeführt werden, und sind widerspruchsfrei. (Permanenzprinzip) 1 Komplexe Zahlen werden meist mit einem z bezeichnet. 2.1 Die Definition der Komplexen Zahlen Eine Komplexe Zahl ist eine Zahl der Form: z = a + bi mit a, b ɛ R. Hierbei heißt Re(z) = a der Realteil und Im(z) = b der Imaginärteil von z. Die Menge der Komplexen Zahlen hat das Symbol C es gilt: R ɛ C 1 nach: Mathematik Fachoberschulen, Hoffmann, Krämer, Ponnath (S.392)

6 3 2.2 Darstellung der Komplexen Zahlen Sie lassen sich, wie die reelen Zahlen, in einer Ebene veranschaulichen, die als Gaußsche Zahlenebene 2 bezeichnet wird. Die Einteilung der Achsen in der Gaußschen Zahlenebene erfolgt in: Realteil (x-achse) und Imaginärteil (y-achse). Abb. 1: Darstellung in der Polarform Die Zahl setzt sich zusammen wie ein Vektor, aus dem Betrag (r) und dem Argument (ϕ). Man bezeichnet diese Darstellung auch als Polarform. Das Argument ϕ berechnet sich mit Hilfe der Seiten-Winkel-Beziehung am rechtwinkligen Dreieck: ϕ = arg (z) = arctan b a Als konjugiert 3 komplexe Zahl z von z = a + bi versteht man z = a bi. Dies spielt insbesondere bei der Division von komplexen Zahlen eine Rolle. Abb. 2: Die konjugiert komplexe Zahl 2 siehe: Begriffserklärung (S.15) 3 siehe: Begriffserklärung (S.15)

7 4 2.3 Anwendung von Rechenoperationen mit Komplexen Zahlen Addition und Subtraktion Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen unterscheidet sich nicht von den reellen Zahlen. Es gelten die bekannten Rechenregeln: z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i Addition: z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i Beispiel: z 1 = (4 + i) z 2 = (3 + 2i) (4 + i) + (3 + 2i) = 7 + 3i Abb. 3: Addition In Abbildung 3 ist zu erkennen, dass die Zahlen genau wie Vektoren behandelt werden, und somit ergibt sich der Summen-Vektor aus dem Anfangspunkt des ersten Vektors z 1 und der letzten Verschiebung des zweiten Vektors z 2. Subtraktion: z 1 z 2 = (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 )i Beispiel: (4 + i) (3 + 2i) = 1 i Subtrahiert werden die Vektoren, indem man die Addition mit dem Gegenvektor z 2 durchgeführt.

8 5 Abb. 4: Subtraktion Multiplikation und Division Multiplikation Auch bei der Multiplikation z 1 z 2 müssen lediglich die bekannten Rechenregeln angewandt werden. Wenn man die Klammern auflöst erhält man: (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 ia 2 + b 1 ib 2 i durch vertauschen der Summanden ergibt sich: (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 ia 2 + b 1 b 2 ii es gilt: i i = i 2 = 1 (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 ia 2 b 1 b 2 und anschließend wird das i zur besseren Übersicht ausgeklammert. Es entsteht: (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i Beispiel: z 1 = (1 + 3i) z 2 = (2 2i) (1 + 3i) (2 2i) = 2 2i + 6i 6i 2 = 2 + 4i + 6 = 8 + 4i

9 6 Bei der Multiplikation in der Polarform werden die Beträge der Zahlen miteinander multipliziert, und die Argumente werden addiert. Abb. 5: Multiplikation Division Man kann bei der Division zweier Zahlen das i im Nenner beseitigen, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert, und anschließend die dritte Binomische Formel anwendet: z 1 = a 1 + b 1 i z 2 a 2 + b 2 i = (a 1 + b 1 i)(a 2 b 2 i) (a 2 + b 2 i)(a 2 b 2 i) = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 a 1 b 2 )i a 2 + b 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) a b2 2 + (a 2b 1 a 1 b 2 ) a b2 2 Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man mit der konjugiert Komplexen Zahl des Nenners erweitert. i Beispiel: z 1 = 4 + 6i z 2 = 2 + i z 2 = 2 i

10 7 (4 + 6i) (2 + i) = = = (4 + 6i) (2 i) (2 + i) (2 i) 8 4i + 12i i 2i i i 5 z = 2, 8 + 1, 8i Abb. 6: Division Potenzen Die Potenzen von i haben einen besonders hohen Stellenwert, da man mit i 2 = 1 wieder eine reele Zahl erhält. Auch hier werden die bekannten Potenzgesetze angewendet: i 3 = i i 2 = i i 4 = i 2 i 2 = ( 1) 2 ( 1) 2 = 1 Für ganzzahlige Exponenten (n ɛ Z) gilt: i n = 1 falls n = 4k i falls n = 4k falls n = 4k + 2 i falls n = 4k + 3

11 Der Betrag einer Komplexen Zahl Der Betrag einer Komplexen Zahl berechnet sich wie der Betrag von Vektoren: z = a 2 + b 2 z = 3 + 4i z = z = 5 3 Verbindung zur Trigonometrie 3.1 Idee Im Abschnitt wird beschrieben das bei der Multiplikation von komplexen Zahlen, die Argumente addiert werden. Es findet also eine Umwandlung der Rechenoperation statt. 4 Dies wird auch beim Logarhitmieren angewendet. ln(2 8) = ln(2) + ln(8) Da das Logarhitmieren eine Umkehrfunktion des Potenzierens ist und auch hier ähnliche Sachverhalte vorliegen, wird klar das hier ein Zusammenhang besteht. Gesucht sei die Zahl z mit der Länge 1: Abb. 7: z mit Betrag _Potenzen_und_Wurzeln_komplexer_Zahlen,_Eulersche_Identitaet.pdf (S.3)

12 9 Zur Bestimmung der Zahl z könnte eine andere Zahl z n benutzt werden, die ein Teil von z ist. Abb. 8: Ausschnitt von z Da der Winkel ϕ im Bogenmaß einen Abschnitt des Einheitskreises angibt, kann man bei kleinen Winkeln a c setzten. Doch bei größeren Winkeln wird der Unterschied zwischen a und c immer größer. Jedoch lässt sich der große Winkel ϕ mit der n Potenz von z n darstellen: z = (z n ) n und wenn z n = (1 + iϕ n ) ist,: z = (1 + iϕ n )n z = lim n (1 + iϕ n )n Bei der Bestimmung der Expotentialfunktion e x nutzt man den selben Sachverhalt: e x = lim n (1 + x n )n Daher wird nun die reelle Zahl x durch die komplexe Zahl iϕ ersetzt. e iϕ = lim n (1 + iϕ n )n Wenn nun die Winkel-Seiten-Beziehungen von rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden, um die Strecken der X-Achse und Y-Achse bis zu der Zahl e iϕ darzustellen,

13 10 Abb. 9: Eulersche Identität erhält man eine Formel, die sich die Eulersche Identität nennt. 3.2 Die Eulersche Identität Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Identität (oder auch Eulersche Formel oder Eulersche Gleichung) beschreibt einen Zusammenhang, der eine Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen bildet: e iϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) Dies ist von großer Bedeutung, da nun Folgerungen aufgestellt werden können Die schönste Formel der Mathematik Vor einigen Jahren wurde sie von Mathematikern zur schönsten Formel der Mathematik gewählt 5, da sie einen erstaunlich einfachen Zusammenhang zwischen den Konstanten e, π, i und der Zahl 0 zeigt, durch das Einsetzten von ϕ = π in die Eulersche Identität: e iπ = cos π + i sin π e iπ + 1 = 0 5 nach: Welt Online, Axel Springer AG (2004)

14 Darstellung von Winkelfunktionen Jede Winkelfunktion lässt sich mit Hilfe von Expotentialfunktionen darstellen: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ + e iϕ = cos ϕ i sin ϕ 2 cos ϕ = e iϕ + e iϕ cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 Werden die Gleichungen miteinander subtrahiert, erhält man eine Formel für den sin ϕ : e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = cos ϕ i sin ϕ 2i sin ϕ = e iϕ e iϕ sin ϕ = eiϕ e iϕ 2i Dies wird insbesondere angewendet um Additionstheoreme zu beweisen Expotentialform Ist z = r und das Argument z = ϕ, dann kann man die komplexe Zahl mit Hilfe der Eulerschen Formel in der Form z = re iϕ darstellen. Diese spielt vor allem in der Elektrotechnik eine große Rolle, da sich mit ihr Komplexe Wechselstromberechnungen durchführen lassen.

15 12 4 Anwendungsbeispiele 4.1 Elektrotechnik Komplexe Zahlen ermöglichen Berechnungen elektrischer Wechselgrößen, denn zur Berechnung zum Beispiel der Spannung oder Stromstärke im Wechselstromkreis, muss man stets die jeweilige Phasenlage beachten. Hierbei gilt zu beachten das die imaginäre Einheit in der Elektrotechnik mit einem j bezeichnet wird, da das i bereits für die Stromstärke im Wechselstromkreis verwendet wird. Gegeben seien ein Ohmscher Widerstand R = 200Ω und eine Spule L die ebenfalls einen Widerstand (ωl = 150Ω) besitzt. Die Schaltung wird: a) in Reihe und b) parallel geschaltet. zu ermitteln ist jeweils der Betrag des Scheinwiderstandes Z und der Phaseverschiebewinkel ϕ, unter Anwendung der komplexen Zahlen. a) Abb. 10: Reihenschaltung es gilt: Z = R + ωl j Z = 200Ω + 150Ω j Der Betrag des Scheinwiderstandes errechnet sich (siehe Abschnitt 2.3.4): Z = R 2 + (ωl) 2 Z = (200Ω) 2 + (150Ω) 2 Z = 250Ω Der Phasenverschiebewinkel ϕ berechnet sich (siehe 2.2): ϕ = arctan ωl R ϕ = arctan 150Ω 200Ω ϕ 37

16 13 b) Abb. 11: Parallelschaltung für parallelgeschaltete Elemente gilt 6 : Z = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 Z = Z = Z = Z = 200Ω 150Ωj 200Ω + 150Ωj 30000Ωj 200Ω + 150Ωj 30000Ωj 200Ω 150Ωj 200Ω + 150Ωj 200Ω + 150Ωj 30000Ω 150Ω (200Ω) 2 + (150Ω) Ω 200Ω (200Ω) 2 + (150Ω) 2 j Z = 72Ω + 96Ωj Wobei der Realteil (72Ω) der Wirkwiderstand, und der Imaginärteil (96Ω) der Blindwiderstand ist. Der Betrag des Scheinwiderstandes wird berechnet aus: Z = a 2 + b 2 Z = (72Ω) 2 + (96Ω) 2 Z = 120Ω Der Phasenverschiebewinkel ϕ: ϕ = arctan b a ϕ = arctan ϕ 53 6 nach: Elektro-Aufgaben Bd. 2, Linder, Balack (S.53)

17 14 5 Schlusswort Die Komplexen Zahlen sind aus den Naturwissenschaften nicht mehr wegzudenken. Vorzufinden sind sie nicht nur im Elektrotechnischen Bereich der Physik, sondern auch in vielen Teilgebieten, in denen sich Sachverhalte mit Wellen beschreiben lassen. Hierzu zählen zum Beispiel die Optik (komplexe Brechzahlen, Permittivität), Quantenmechanik (Schrödingergleichung) oder auch im der Hydrodynamik zur Untersuchung von Strömungen. In der Mathematik sind sie der Abschluss des Körpers der reelen Zahlen 7, und spielen ebenfalls eine große Rolle. So kann man zum Beispiel einfach testen das eine Funktion y = f(x) zweiten Grades immer zwei Nullstellen besitzt, wenn man die Rechenregeln für C anwendet, x 1,2 berechnet, und die gefundenen imaginären Nullstellen wieder in die Ursprungsfunktion einsetzt. Diese Facharbeit stellt lediglich eine Einführung in die Grundlagen dieses Themengebietes dar, und erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Um Urheberrechtsverletzungen zu vermeiden, sind die in der Arbeit verwendeten Grafiken von mir selbst mittels den Programmen Geogebra und Dia erstellt worden. Desweiteren wurde für die gesamte Facharbeit ausschließlich freie Software verwendet, und sie steht unter einer Creative Commons Lizenz 8. 7 aus: 8

18 15 Begriffserklärungen konjugiert: Zwei komplexe Zahlen heißen konjugiert, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, wenn sie in der Gaußschen Zahlenebene also spiegelbildlich zur reellen Achse liegen 9 C C, z = a + b i z = a b i Gaußsche Zahlenebene: Die gaußsche Zahlenebene stellt eine geometrische Interpretation der komplexen Zahlen dar, die von Carl Friedrich Gauß 1811 eingeführt wurde. 10 Anhang Anhangverzeichnis Anhang 1 CD mit Videos, Skripten, verwendete Software, Facharbeit in digitaler Form (.pdf,.dvi,.lyx), Abbildungen (.eps,.ggb,.svg) 16 9 aus: Duden Rechnen und Mathematik, Prof. Dr. Harald Schneid (S.333) 10 aus:

19 Anhang 1: CD 16

20 17 Quellenverzeichnisse Literaturverzeichnis Hoffmann, Krämer, Ponnath Cornelsen Verlag, Berlin Prof. Dr. Harald Schneid Prof. Dr. Harald Schneid Helmut Lindner, Edgar Balack Mathematik Foachoberschulen Teschnische Fachrichtung (2007) ISBN: Das Große Tafelwerk, Formelsammlung für käufmännische Schulen (2009) ISBN: Duden Rechnen und Mathematik (1989) ISBN: Schüler Duden Die Mathematik 2 (1991) ISBN: Elektro-Aufagben Band 2 Wechselstrom (1992) ISBN: Verzeichnis der Internet- und Intranetquellen Prof. Dr. Jörn Loviscach Prof. Dr. Jörn Loviscach Prof. Dr. Jörn Loviscach Prof. Dr. Jörn Loviscach Welt Online, Axel Springer AG Wikipedia Wikipedia Wikipedia Wikipedia Wikipedia Wikipedia , , , , , , _Potenzen_und_Wurzeln_komplexer_Zahlen,_Eulersche_Identitaet.pdf _Mathematik_wurde_im_18_Jahrhundert_in_Berlin_entdeckt.html

21 Selbstständigkeitserklärung Hiermit erkläre ich, 1. dass ich meine Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt habe; 2. dass ich die Übernahme wörtlicher Zitate aus der Literatur sowie die Verwendung der Gedanken anderer Autoren an den entsprechenden Stellen innerhalb der Arbeit gekennzeichnet habe; 3. dass ich keine anderen Hilfsmittel als angegeben verwendet habe; Ich bin mir bewusst, dass eine falsche Erklärung rechtliche Folgen haben wird. (Ort, Datum) (Unterschrift)