Prädikatenlogik. Prädikatenlogik. Prädikatenlogik. Prädikatenlogik. Wirklichkeit bzw. Modell. Relation. Logische Form. Liebt(John, Mary) Sprache

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1 Modell, Formalisierung und natürliche Sprache. Formeltransformation Entscheidungsverfahren Logische Form Relation Wirklichkeit bzw. Modell Sprache Liebt(John, Mary) John liebt Mary. [Roland Potthast, 2001] IX-1 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-2 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Beispiel Graphentheorie. Beispiel Graphentheorie Formalisierung der Frage. Gegeben sei ein ungerichteter Graph G = V,E. Frage: Ist G nicht zusammenhängend? D. h., gibt es zwei Knoten x, y V,x y, die nicht über einen Pfad miteinander verbunden sind? 1. Repräsentation von G: (a) Für alle Knoten x, y mit {x, y} E, schreibe: Kante(x, y) Kante(y, x) (b) Für alle Knoten x, y mit {x, y} E, schreibe: K 1 K 4 (Kante(x, y) Kante(y, x)) Kante(x, y) Kante(y, x) K 2 K 8 K 3 K 6 K 5 K 7 2. Axiomatisierung (= Modellbildung) der Erreichbarkeit: x, y : Pfad(x, y) Kante(x, y) z : Pfad(x, z) Pfad(z, y) V = {K 1,K 2,K 3,K 4,K 5,K 6,K 7,K 8 } E = {{K 1,K 2 }, {K 2,K 3 }, {K 4,K 5 }, {K 5,K 6 }, {K 5,K 7 }} 3. Formulierung der Frage: x, y : Pfad(x, y) IX-3 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-4 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

2 Beispiel Graphentheorie alternative Axiomatisierung. Beispiel Blocks World. 1. Repräsentation von G: (a) Für alle Knoten x, y mit {x, y} E, schreibe: Kante(x, y) A C B E D (b) Für alle Knoten x, y mit {x, y} E, schreibe: Kante(x, y) 2. Axiomatisierung (= Modellbildung) der Erreichbarkeit: x, y : Pfad(x, y) 3. Formulierung der Frage: Kante(x, y) Kante(y, x) z : Pfad(x, z) Pfad(z, y) x, y : Pfad(x, y) Auf einem Tisch stehen Würfel neben- und übereinander; es gibt genügend Platz, um alle Würfel nebeneinander zu stellen. Es gibt eine Greifhand, die genau einen Würfel zur Zeit aufheben kann, falls kein anderer über diesem steht. Ein Würfel steht entweder auf dem Tisch oder auf genau einem anderen Würfel oder wird von der Greifhand gehalten. Mit der Greifhand kann man die folgenden Operationen ausführen: PICKUP(x): Würfelx vom Tisch aufnehmen. PUTDOWN(x): Würfel x auf den Tisch absetzen. STACK(x, y): Würfelx auf einen anderen Würfel y setzen. UNSTACK(x, y): Würfel x von einen anderen Würfel y abnehmen. Anwendung: Generierung eines Plans (Folge von Operationen), um einen Anfangszustand in einen Zielzustand zu überführen. IX-5 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-6 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Charakteristika der erster Stufe: Die Aussagen beziehen sich auf Objekte. x : Gross(x) Schwer(x) Gross(Auto) Klein(Apfel) In der Aussagenlogik gilt eine Aussage pauschal; sie kann nicht auf ein Objekt bezogen werden: Gross Schwer Auto (Auto Gross) Apfel (Apfel Klein) Konsequenz sind objektspezifische Regeln: Gross_Auto Schwer_Auto Klein_Apfel Leicht_Apfel Objekte können in eine Relation gestellt werden. Aussagen können für alle Objekte formuliert werden oder für einzelne Objekte, deren Identität aber nicht bekannt ist. Die Verknüpfung von Aussagen ist wie in der Aussagenlogik möglich. Definition 1 (Sprache der, Signatur, Σ) Zeichen, mit denen Terme (die Objektbezeichner ) konstruiert werden: Variablen: x,y,z,...,x 1,x 2,x 3... Konstanten: a,b,c,...,a 1,b 2,c 3,... Funktionssymbole: f,g,h,...,f 1,f 2,f 3,... Abzählbar unendlich viele Symbole mit beliebiger, aber fester Stelligkeit 1. Hilfszeichen: ( ), Zeichen, mit denen Formeln (die Aussagen über Terme ) konstruiert werden: Prädikatssymbole: P,Q,R,...,P 1,P 2,P 3,... Abzählbar unendlich viele Symbole mit beliebiger, aber fester Stelligkeit 1. Junktoren:,,,, Quantoren:, Hilfszeichen: ( ) Frage: Was sind Prädikate? Bemerkung: Der Begriff erster Stufe charakterisiert die Beschränktheit der : Es können keine Meta-Aussagen über Prädikate und Funktionen gemacht werden: Für alle Prädikate / Funktionen gilt... IX-7 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-8 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

3 Beispiele. Beispiel Stetigkeit in x 0. Klammereinsparung: ( x ( y (P (x) Q(x, f(y))))) ε δ x ( x 0 x <δ f(x 0 ) f(x) <ε ) x y (P (x) Q(x, f(y))) mehrfache Quantifizierung: x (P (x) xq(x)) x ε x δ x (K(d(x 0,x),x δ ) K(d(f(x 0 ),f(x)),x ε )) Verbindung über Variablen: x (P (x) P (f(x))) Quantorenreihenfolge kann wichtig sein: x y(p (x) Q(y)) y x(p (x) Q(y)) freie Variablen: P (x) yq(y) IX-9 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-10 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Bindungsstärke: 1.,, , Gleichstarke Operatoren werden als linksgeklammert aufgefaßt. Sprachgebrauch: P (t 1,...,t n ) Primformel P (t 1,...,t n ) positives Literal P (t 1,...,t n ) negatives Literal Die Verwendung von 0-stelligen Funktionen erlaubt einen Verzicht auf Konstanten: f() entspricht a f Definition 2 (Terme) Die Klasse der Terme über Σ wird induktiv definiert durch die folgenden vier Schritte. 1. Jede Variable ist ein Term. 2. Jede Konstante ist ein Term. 3. Sind t 1,...,t n Terme und f eine n-stellige Funktion, so ist auch f(t 1,...,t n ) ein Term. 4. Nur die mit (1) (3) gebildete Ausdrücke sind Terme. Beispiele. x 1 x 2 f(x 1 ) f(f(f(y))) g(f(x),x 3 ) Die Verwendung von 0-stelliger Prädikate macht die Aussagenlogik zu einer Teilsprache der : P () entspricht A IX-11 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-12 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

4 Definition 3 (prädikatenlogische Formeln) Die Klasse der prädikatenlogischen Formeln wird induktiv definiert durch die folgenden fünf Schritte. 1. Sind t 1,...,t n Terme und P eine n-stelliges Prädikatssymbol, so ist P (t 1,...,t n ) eine Formel bzw. Primformel. 2. Ist α eine Formel, so ist auch ( α) eine Formel. 3. Falls α und β Formeln sind, so sind auch (α β) und (α β) Formeln. 4. Falls α eine Formel ist und x eine Variable, so sind auch ( x α) und ( x α) Formeln. 5. Nur die mit (1) (4) gebildete Ausdrücke sind Formeln. Welche der folgenden Ausdrücke sind Formeln? x P(x, f(x)) x P(x, f(x)) zp(q(z)) g(f(x),x 3 ) xq(x) x y z P(x 1 ) Definition 4 (gebundene und freie Variablen) Für Terme t und Formeln α der definieren wir die Mengen vars(t) bzw. vars(α) der Variablen, f reevars(α) der freien Variablen und boundvars(α) der gebundenen Variablen wie folgt: 1. Ist t eine Variable, t = x, soistvars(t) ={x}. 2. Ist t eine Konstante, t = a, soistvars(t) =. 3. Ist t = f(t 1,...,t n ) mit Termen t 1,...,t n so ist vars(t) = n vars(t i ). 4. Ist α = P (t 1,...,t n ) mit Termen t 1,...,t n,soist vars(α) =f reevars(α) = n vars(t i ) und boundvars(α) =. i=1 5. Ist α = β mit einer Formel β, soist vars(α) =vars(β), f reevars(α) =f reevars(β) und boundvars(α) =boundvars(β). 6. Falls α = β γ oder α = β γ mit Formeln β und γ, soist vars(α) =vars(β) vars(γ), f reevars(α) =f reevars(β) f reevars(γ) und boundvars(α) =boundvars(β) boundvars(γ). 7. Falls α = x βoder α = x βmit einer Formel β und einer Variablen x, soist vars(α) =vars(β) {x}, f reevars(α) =f reevars(β) \{x} und boundvars(α) =boundvars(β) {x}. i=1 Bemerkung: Formeln machen Aussagen über Terme. IX-13 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-14 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Definition 5 (geschlossene Formel) Eine Formel α mit f reevars(α) = wird als geschlossene Formel bezeichnet. Welche der folgenden Ausdrücke sind geschlossene Formeln? x P(x, f(x)) x P(x, f(x)) zq(z) x g(f(x),x 3 ) z x Q(x, z) x y z P(x 1 ) Definition 6 (Interpretation) Eine Interpretation I besteht aus 1. einer beliebigen aber nicht leeren Menge U, dem Universum (Grundmenge, Grundbereich, Individuenbereich) und 2. einer Abbildung aller Variablen, Konstanten, Funktionssymbole und Prädikatssymbole einer (durch eine Formel α induzierten) Signatur Σ: x I(x) U, x ist Variable a I(a) U, a ist Konstante f (n) I(f) :U n U, f (n) ist n-stelliges Funktionssymbol P (n) I(P ) U n, P (n) ist n-stelliges Prädikatssymbol Alternative: P (n) I(P ):U n {0, 1}, P (n) ist n-stelliges Prädikatssymbol Bemerkung: Im folgenden wird auch x U abkürzend für I(x), a U für I(a), f U für I(f (n) ) und P U für I(P (n) ) verwendet. IX-15 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-16 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

5 Beispiel. α = x P(x, f(x)) Q(g(a, z)) P ist ein zweistelliges und Q ist ein einstelliges Prädikatssymbol. f ist ein einstelliges und g ist ein zweistelliges Funktionssymbol. a ist ein nullstelliges Funktionssymbol bzw. eine Konstante. Die Variable z kommt in α frei vor. Eine zu α syntaktisch passende Interpretation I: U = {0, 1, 2,...} = N I(P ) = P U = {(m, n) m, n Uund m<n} I(Q) = Q U = {n U nist Primzahl} I(f) = f U = n +1, die Nachfolgerfunktion auf U I(g) = g U = m + n, die Additionsfunktion auf U I(a) = a U =2 I(z) = z U =3 Definition 7 (Interpretation Fortsetzung) Die Abbildung der Variablen und Konstanten auf Elemente von U läßt sich induktiv erweitern zu einer ebenfalls mit I bezeichneten Interpretation der Terme: I ( f(t 1,...,t n ) ) = I(f)(I(t 1 ),...,I(t n )) Bemerkungen: Beachte, daß bis vor dieser Definition nur I(f), I(x) und I(a) für die Funktionssymbole, Variablen und Konstanten einer Signatur Σ definiert war. Über die Interpretation ( der ) Anwendung einer Funktion auf Argumente, in Zeichen: I f(t 1,...,t n ), war nichts gesagt. ( ) Das holt diese Definition nach, indem sie I f(t 1,...,t n ) als die Anwendung von I(f) auf die Interpretationen I(t i ) ihrer Argumente t i definiert. Bei der folgenden Definition wird im Prinzip das Gleiche auch für die Prädikate gemacht: Ihre Interpretation wird erweitert auf die Interpretation beliebiger Formeln. IX-17 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-18 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Definition 8 (Interpretation Fortsetzung) Den Formeln können Wahrheitswerte zugewiesen werden durch eine auf der Interpretation der Terme basierende Funktion, die wieder mit I bezeichnet wird: Lemma 1 (Koinzidenz) Seien I 1 und I 2 zwei Interpretationen für eine prädikatenlogische Formel α, Σ α die von α induzierte Signatur. Stimmen I 1 und I 2 auf Σ α überein, so gilt I 1 (α) =I 2 (α) 1. I(P (t 1,...,t n )) = 1 I(P )(I(t 1 ),...,I(t n )) I(P ). Alternative: I(P (t 1,...,t n )) = I(P )(I(t 1 ),...,I(t n )) 2. I( α) =1 I(α) =0. 3. I(α β) =1 I(α) =1 und I(β) =1. I(α β) =1 I(α) =1 oder I(β) =1. Beweisidee I 1 = t I 2 I 1 (t) =I 2 (t) (Induktion über Aufbau von t T Σ ) I 1 = xα I 2 und x ω U I 1 [x/x U ]= α I 2 [x/x U ] I 1 = α I 2 I 1 (α) =I 2 (α) (Induktion über Aufbau von α) 4. I( x α)=1 für jedes x U U gilt: I [x/xu ](α) =1 I( x α)=1 es ein x U U gibt mit: I [x/xu ](α) =1. Dabei bezeichnet I [x/xu ] eine Interpretation, die mit I völlig übereinstimmt bis auf die Zuweisung eines Wertes an die Variable x, die unter I den Wert I(x), unter I [x/xu ] jedoch den Wert x U erhält. IX-19 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-20 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

6 Beispiel. α = x yp(x, y) z ( P (z, z) P (z, f(z)) ) P (a, a) Eine zu α syntaktisch passende Interpretation I: U = {1, 2} I(a) = a U =1 I(f) = f U, f U (1) = 2, f U (2) = 1 I(P ) = P U = {(1, 2), (2, 1)} Offensichtlich gilt für diese Interpretation: Für alle x U {1, 2} gibt es ein y U {1, 2} mit (x U,y U ) P U. Für alle x U {1, 2} gibt es ein y U {1, 2} mit I [x/xu ][y/yu](p(x, y)) = 1. Für alle x U {1, 2} gilt: I [x/xu]( yp(x, y)) = 1. I( x yp(x, y)) = 1 Weiter gilt für I: Für alle z U {1, 2} gilt mit (z U,z U ) P U auch (z U,f U (z U )) P U. Für alle z U {1, 2} gilt I [z/zu](p(z, z) P (z, f(z))) = 1. I( z(p (z, z) P (z, f(z)))) = 1 Analog zur Aussagenlogik seien folgende Begriffe definiert: erfüllbar falsifizierbar tautologisch widerspruchsvoll logische Äquivalenz Erfüllbarkeitsäquivalenz semantische Folgerung Die Formellänge als Summe der Anzahlen von Vorkommen von Zeichen der Signatur, d.h. Konstanten, Variablen, Funktionen und Prädikate. Da auch noch (1, 1) P U gilt, folgt insgesamt I(α) =1, diese Interpretation I erfüllt also die prädikatenlogische Formel α. IX-21 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-22 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Lemma 2 Sei α eine prädikatenlogische Formel, dann gilt: 1. α = β (α β) ist widerspruchsvoll. 2. α = β α α β 3. α ist widerspruchsvoll Für alle Formeln β gilt: α = β 4. α ist widerspruchsvoll Es gibt eine Formel β mit : α = (β β) Lemma 3 (Deduktionstheorem) Seien α und β prädikatenlogische Formeln und M eine Menge solcher Formeln, dann gilt: M {α} = β M = (α β) Wichtige Äquivalenzen Vererbung α β α β α β γ α γ β und γ α γ β α β xα xβ und xα xβ Negation Idempotenz α α α α α α α α Kommutativität α β β α α β β α Assoziativität (α β) σ α (β σ) (α β) σ α (β σ) Distributivität (α β) σ (α σ) (β σ) (α β) σ (α σ) (β σ) De Morgan (α β) α β (α β) α β IX-23 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-24 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

7 Wichtige Äquivalenzen (Fortsetzung) Quantorwechsel Quantortausch ( xα) x( α) und ( xα) x( α) x yα y xα und x yα y xα Quantorzusammenfassung xα xβ x(α β) und xα xβ x(α β) Definition 9 (Negationsnormalform) Sei α eine prädikatenlogische Formel. α ist in Negationsnormalform (NNF) genau dann, wenn jedes Negationszeichen in α unmittelbar vor einem Prädikat steht und α weder den Junktor noch den Junktor enthält. Quantorelimination (x f reevars(α)) xα α und xα α Lemma 4 Quantifizierung Umbenennung (x f reevars(β)) xα β x(α β) und xα β x(α β) xα β x(α β) und xα β x(α β) (x vars(α)) xα x α[x/x ] und xα x α[x/x ] α[x/x ] bezeichne die Ersetzung aller Vorkommen von x durch x. Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine äquivalente Formel in Negationsnormalform (NNF). Beweis über induktiven Formelaufbau. Definition 10 (pränexe Normalform) Eine Formel ist in pränexer Normalform (PNF) genau dann, wenn sie in KNF ist und alle Quantoren am Anfang stehen: Qx 1 Qx 2...Qx n (α) mit Q i {, } und α quantorfrei (in KNF) Problem: Überschneidung der Bindungsbereiche von Quantoren in pränexer Normalform. IX-25 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-26 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Folgende Äquivalenzen gelten nicht: 1. x α xβ x (α β) 2. x α xβ x (α β) Erzeugung einer pränexen Normalform. 1. Benenne durch Verwendung von neuen Variablen alle quantifizierten Variablen so um, daß verschiedene Quantoren sich auf verschiedene Variablen beziehen und keine Variable sowohl gebunden als auch frei vorkommt. Welche Seite ist strenger? Zu 1. x (α β) x 1 x 2 α[x/x 1 ] β[x/x 2 ] (x 1 = x 2 ) Zu 2. Beispiel: α = P (x) und β = P (x) U = Z, die Menge der ganzen Zahlen I(P )=P U = x ist gerade 2. Wende folgende Ersetzungsregeln (Äquivalenzen) solange wie möglich an: a) Ersetze ( xα) β durch x(α β) b) Ersetze ( xα) β durch x(α β) c) Ersetze ( xα) β durch x(α β) d) Ersetze ( xα) β durch x(α β) e) Ersetze xα durch x α f) Ersetze xα durch x α 3. Wende folgende Ersetzungsregeln (Äquivalenzen) solange wie möglich an: g) Ersetze (α β) durch α β h) Ersetze (α β) durch α β 4. Wende folgende Ersetzungsregel (Äquivalenz) solange wie möglich an: i) Ersetze (α β) γ durch (α γ) (β γ) IX-27 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-28 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

8 Lemma 5 Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine äquivalente Formel in pränexer Normalform (PNF). Beispiel. α = x(p (x) Q(x)) x( P (x) R(x)) x(q(x) yr(y)) x 1 (P (x 1 ) Q(x 1 )) x 2 ( P (x 2 ) R(x 2 )) x 3 (Q(x 3 ) yr(y)) x 1 (P (x 1 ) Q(x 1 )) x 2 (P (x 2 ) R(x 2 )) x 3 y(q(x 3 ) R(y)) ( x 1 x 2 x 3 y ( P (x 1 ) Q(x 1 )) (P (x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(y) } {{ } in KNF ) Eigenschaften freier Variablen: liegen im Bindungsbereich keines Quantors, Bedeutungszuordnung unmittelbar durch Interpretation, notwendig zur korrekten Berechnung von Wahrheitswerten für Teilformeln, bei Fragen der Erfüllbarkeit gleichbedeutend mit existenzquantifizierten Variablen, bei Fragen nach Tautologie-Eigenschaft gleichbedeutend mit allquantifizierten Variablen. Modellierung basiert auf: Fakten (geltende Aussagen) und Regeln (geltende Beziehungen zwischen Fakten) Keine Notwendigkeit zur Verwendung von freien Variablen. Beispiel. Beim Autofahren: Bremsweg ergibt sich aus Geschwindigkeit zum Quadrat. α = A(x) V (x, y) SB(x, y 2 ) β = A(x) V (x, y) SB(x, y 3 ) Für die spezielle Geschwindigkeit 1km/h machen beide Modelle vernünftige Vorhersagen für die Wirklichkeit. Unser Ziel ist jedoch ein möglichst allgemeines Modell zu bilden: α gilt für alle Autos und Geschwindigkeiten: x y A(x) V (x, y) SB(x, y 2 ) Im folgenden werden nur noch geschlossene Formeln betrachtet. IX-29 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-30 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Existenzquantoren werden in jeder Interpretation so gedeutet, daß in Abhängigkeit von den Werten der im Präfix vorstehenden allquantifizierten Variablen ein Wert für die existenzquantifizierte Variable bestimmt werden muß, der die Formel erfüllt. Idee der Skolem-Normalform: Einführung einer Abbildung, die den Werten der -Variablen einen Wert der -Variablen zuordnet. Definition 11 (Skolemisierung) Sei α eine geschlossene prädikatenlogische Formel. Die Ersetzung der -Variablen in α durch eine neue Funktion mit den -Variablen, in deren Bindungsbereich sie liegt, als Argumenten heißt Skolemisierung. Lemma 7 Zu jeder prädikatenlogischen Formel α gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolem-Normalform (SKNF). Beispiel: x 1 x 2 x 3 y (( P (x 1 ) Q(x 1 )) (P (x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(y)) sat x 2 x 3 (( P (a x1 ) Q(a x1 )) (P (x 2 ) R(x 2 )) Q(x 3 ) R(f y (x 2,x 3 ))) Lemma 6 In einer geschlossenen prädikatenlogischen Formel α mit paarweise verschiedenen quantifizierten Variablen sei y eine existenzquantifizierte Variable, die im Bindungsbereich der allquantifizierten Variablen x 1,...,x n liegt. Sei β die Formel, die sich durch Elimination des Quantors y und Ersetzung aller weiteren Vorkommen von y durch f(x 1,...,x n ) mit einer für α neuen Funktion f ergibt. Dann sind α und β erfüllbarkeitsäquivalent. Bemerkung: Existenzquantifizierte Variable, die im Bindungsbereich keiner allquantifizierten Variablen liegen, werden durch neue Konstanten ersetzt. Definition 12 (Skolem-Normalform) Sei α eine prädikatenlogische Formel in pränexer Normalform (PNF). α ist in Skolem-Normalform (SKNF) genau dann, wenn α keine Existenzquantoren enthält. IX-31 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-32 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04

9 Zusammenfassung: Vorgehensweise zur Umwandlung nach SKNF. 1. Benenne durch Verwendung von neuen Variablen alle quantifizierten Variablen so um, daß verschiedene Quantoren sich auf verschiedene Variablen beziehen und keine Variable sowohl gebunden als auch frei vorkommt. 2. Erstelle eine Negationsnormalform 3. Jede existenzquantifizierte Variable y im Bindungsbereich der allquantifizierten Variablen x 1,...,x n wird durch einen Term f y (x 1,...,x n ) ersetzt, wobei f y jeweils neu für die Formel ist. Für verschiedene Variablen y sind auch die f y verschieden. Die Existenzquantoren werden eliminiert. 4. Forme die Formel weiter in eine pränexe Normalform um. Bemerkungen: Die Skolemisierung kann prinzipiell zur Ersetzung einer existenzquantifizierten Variablen in einer beliebigen Formel angewendet werden. Für Formeln in Negationsnormalform sind die existenz- und allquantifizierten Variablen aber leichter identifizierbar. Für manche Formeln lohnt es sich, zunächst die Quantoren so weit wie möglich nach innen zu ziehen, bevor quantifiziert wird, bei anderen ist es genau umgekehrt. Es gibt kein optimales Verfahren, daß zu jeder prädikatenlogischen Formel eine kürzeste Formel in Skolem-Normalform liefert. a) Ausgangspunkt: x y (P (x) Q(y)) xp(x) yq(y) b) Ausgangspunkt: y 1 P 1 (y 1 )... y n P n (y n ) yp 1 (y)... yp n (y) y (P 1 (y)... P n (y)) Wiederholung: x (α β) xα xβ Definition 13 (Klauselnormalform) Sei α eine prädikatenlogische Formel. α ist in Klauselnormalform genau dann, wenn α eine Konjunktion von allquantifizierten Klauseln ohne freie Variablen darstellt. Lemma 8 Zu jeder prädikatenlogischen Formel α in Skolem-Normalform gibt es eine äquivalente Formel in Klauselnormalform. Eigenschaften der Klauselnormalform: Klauseln, d. h. die allquantifizierten geschlossenen Disjunktionen können beliebig verdoppelt werden. Die quantifizierten Variablen können beliebig umbenannt werden. Beide Transformationen führen zu logisch äquivalenten Formeln. IX-33 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-34 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 Analog zur Aussagenlogik können lassen sich weitere Einschränkungen an die Klauseln einer Formel α in Klauselnormalform angeben: Unit-Klauseln Horn-Klauseln positive Klauseln negative Klauseln Wir können für Formeln in Klauselnormalform die Mengenschreibweise verwenden. Beispiel: x z( P (a, f(x)) P (x, z)) x y(p (a, f(b)) P (x, y) P (g(y),x)) {{ P (a, f(x)), P (x, z)}, {P (a, f(b)),p(x, y),p(g(y),x)}} IX-35 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04 IX-36 Predicate Logic c LETTMANN/STEIN 2003/04