Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft"

Transkript

1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Aussagenlogik: Tableaukalku l KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/25

3 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül 2. Resolutionskalkül Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/25

4 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül 2. Resolutionskalkül 3. Tableaukalkül Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/25

5 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül 2. Resolutionskalkül 3. Tableaukalkül 4. Sequenzenkalkül Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/25

6 Der aussagenlogische Tableaukalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit M = A M { A} T0 0. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 3/25

7 Der aussagenlogische Tableaukalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit M = A M { A} T0 0. Beweis durch Fallunterscheidung Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 3/25

8 Der aussagenlogische Tableaukalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit M = A M { A} T0 0. Beweis durch Fallunterscheidung Top-down-Analyse der gegebenen Formeln Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 3/25

9 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 4/25

10 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 4/25

11 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Falls Formelmenge erfüllbar ist (Test schlägt fehl), wird ein Gegenbeispiel (eine erfüllende Interpretation) konstruiert Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 4/25

12 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Falls Formelmenge erfüllbar ist (Test schlägt fehl), wird ein Gegenbeispiel (eine erfüllende Interpretation) konstruiert Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 4/25

13 Der aussagenlogische Tableaukalkül Vorteile Intuitiver als Resolution Formeln müssen nicht in Normalform sein Falls Formelmenge erfüllbar ist (Test schlägt fehl), wird ein Gegenbeispiel (eine erfüllende Interpretation) konstruiert Nachteil Mehr als eine Regel Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 4/25

14 Kleine Deutsch- und Englischsstunde Deutsch das Tableau des Tableaus (Gen.) die Tableaus (pl.) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 5/25

15 Kleine Deutsch- und Englischsstunde Deutsch das Tableau des Tableaus (Gen.) die Tableaus (pl.) der Tableaukalkül (nicht das) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 5/25

16 Kleine Deutsch- und Englischsstunde Deutsch das Tableau des Tableaus (Gen.) die Tableaus (pl.) der Tableaukalkül (nicht das) Englisch the tableau (sing.) the tableaux (pl.) the tableau calculus Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 5/25

17 Vorzeichenformel Definition (Vorzeichenformel) Eine Vorzeichenformel ist eine Zeichenkette der Gestalt 0A oder 1A mit A For0. 0, 1 sind neue Sonderzeichen (die Vorzeichen) im Alphabet der Objektsprache. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 6/25

18 Vorzeichenformel Definition (Vorzeichenformel) Eine Vorzeichenformel ist eine Zeichenkette der Gestalt 0A oder 1A mit A For0. 0, 1 sind neue Sonderzeichen (die Vorzeichen) im Alphabet der Objektsprache. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 6/25

19 Vorzeichenformel Definition (Vorzeichenformel) Eine Vorzeichenformel ist eine Zeichenkette der Gestalt 0A oder 1A mit A For0. 0, 1 sind neue Sonderzeichen (die Vorzeichen) im Alphabet der Objektsprache. Definition Wir setzen val I fort auf die Menge aller Vorzeichenformeln durch val I (0A) = val I ( A), und val I (1A) = val I (A). Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 6/25

20 Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α 1(A B) 0(A B) 0(A B) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 7/25

21 Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α 1(A B) 0(A B) 0(A B) 0 A 1 A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 7/25

22 Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α 1(A B) 0(A B) 0(A B) 0 A 1 A Disjunktive Formeln: Typ β 0(A B) 1(A B) 1(A B) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 7/25

23 Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α 1(A B) 0(A B) 0(A B) 0 A 1 A Disjunktive Formeln: Typ β 0(A B) 1(A B) 1(A B) Raymond Smullyan Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 7/25

24 Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 1(A B) 1A 1B 0(A B) 0A 0B 0(A B) 1A 0B 0 A 1A 1A 1 A 0A 0A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 8/25

25 Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 1(A B) 1A 1B 0(A B) 0A 0B 0(A B) 1A 0B 0 A 1A 1A 1 A 0A 0A β β 1 β 2 0(A B) 0A 0B 1(A B) 1A 1B 1(A B) 0A 1B Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 8/25

26 Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalküls α α 1 α 2 konjunktiv 1(p q) 1p 1q Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 9/25

27 Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalküls α α 1 α 2 konjunktiv 1(p q) 1p 1q β disjunktiv β 1 β 2 1(p q) 1p 1q Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 9/25

28 Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalküls α α 1 α 2 konjunktiv 1(p q) 1p 1q β disjunktiv β 1 β 2 1(p q) 1p 1q 1F 0F Widerspruch 1F 0F Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 9/25

29 Instanzen der α- und β-regel Instanzen der α-regel 1(P Q) 1P 1Q 0(P Q) 0P 0Q 0(P Q) 1P 0Q 0 P 1P 1 P 0P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

30 Instanzen der α- und β-regel Instanzen der α-regel 1(P Q) 1P 1Q 0(P Q) 0P 0Q 0(P Q) 1P 0Q 0 P 1P 1 P 0P Instanzen der β-regel 1(P Q) 1P 1Q 0(P Q) 0P 0Q 1(P Q) 0P 1Q Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

31 Beispiel: = ((( A B) C) (( B A) C)) 0((( A B) C) (( B A) C)) 1( A B) C 0(( B A) C) 1( B A) 0C 0( A B) 1C 1 A 0B 0A 0 B 1A 1B Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

32 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

33 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Wahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

34 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Wahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

35 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Wahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Heuristik Nicht-verzweigende Regeln zuerst: α vor β Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

36 Determinismus von Kalkül und Regeln Determinismus Die Regeln sind alle deterministisch Der Kalkül aber nicht: Wahl der nächsten Formel, auf die Regel angewendet wird Heuristik Nicht-verzweigende Regeln zuerst: α vor β Nota bene Selbe Formel kann mehrfach (auf verschiedenen Ästen) verwendet werden unter Umständen ist das auch notwendig! Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

37 Formale Definition des Kalküls Definition: Tableau Binärer Baum, dessen Knoten mit Vorzeichenformeln markiert sind Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

38 Formale Definition des Kalküls Definition: Tableau Binärer Baum, dessen Knoten mit Vorzeichenformeln markiert sind Definition: Tableauast Maximaler Pfad in einem Tableau (von Wurzel zu Blatt) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

39 Formale Definition des Kalküls Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

40 Formale Definition des Kalküls Erweiterung T ein Tableau für A über M Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

41 Formale Definition des Kalküls Erweiterung T ein Tableau für A über M B ein Ast von T Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

42 Formale Definition des Kalküls Erweiterung T ein Tableau für A über M B ein Ast von T F eine Formel auf B, die kein Atom ist Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

43 Formale Definition des Kalküls Erweiterung T ein Tableau für A über M B ein Ast von T F eine Formel auf B, die kein Atom ist T entstehe durch Erweiterung von B gemäß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

44 Formale Definition des Kalküls Erweiterung T ein Tableau für A über M B ein Ast von T F eine Formel auf B, die kein Atom ist T entstehe durch Erweiterung von B gemäß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) Dann ist T ein Tableau für A über M Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

45 Formale Definition des Kalküls Voraussetzungsregel T ein Tableau für A über M F eine Formel in M Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

46 Formale Definition des Kalküls Voraussetzungsregel T ein Tableau für A über M F eine Formel in M T entstehe durch Erweiterung eines beliebigen Astes durch 1F Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

47 Formale Definition des Kalküls Voraussetzungsregel T ein Tableau für A über M F eine Formel in M T entstehe durch Erweiterung eines beliebigen Astes durch 1F Dann ist T ein Tableau für A über M Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

48 Formale Definition des Kalküls Definition: Geschlossener Ast Ast B eines Tableaus ist geschlossen, wenn 1F, 0F B oder 10 B oder 01 B Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

49 Formale Definition des Kalküls Definition: Geschlossener Ast Ast B eines Tableaus ist geschlossen, wenn 1F, 0F B oder 10 B oder 01 B Definition: Geschlossenes Tableau Ein Tableau ist geschlossen, wenn jeder seiner Äste geschlossen ist Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

50 Formale Definition des Kalküls Definition: Geschlossener Ast Ast B eines Tableaus ist geschlossen, wenn 1F, 0F B oder 10 B oder 01 B Definition: Geschlossenes Tableau Ein Tableau ist geschlossen, wenn jeder seiner Äste geschlossen ist Definition: Tableaubeweis Ein Tableau für A über M, das geschlossen ist, ist ein Tableaubeweis für M { A} T 0 0 und damit für M = A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

51 Korrektheit und Vollständigkeit des Tableaukalküls Theorem Es gilt M = A genau dann, wenn es einen Tableaubeweis für A über M gibt Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

52 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

53 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Lemma Jedes Tableau für A über M ist erfüllbar, falls M { A} erfüllbar ist. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

54 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Lemma Jedes Tableau für A über M ist erfüllbar, falls M { A} erfüllbar ist. Lemma Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfüllbar Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

55 Kern des Korrektheitsbeweises Definition: Erfüllbares Tableau Tableauast ist erfüllbar, wenn die Menge seiner Formeln erfüllbar ist Tableau ist erfüllbar, wenn es (mindestens) einen erfüllbaren Ast hat Lemma Jedes Tableau für A über M ist erfüllbar, falls M { A} erfüllbar ist. Lemma Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfüllbar Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

56 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

57 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

58 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. α-fall (β-fall analog): Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

59 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. α-fall (β-fall analog): Nach Ind.-Ann. erfüllt I einen Ast π in T. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

60 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. α-fall (β-fall analog): Nach Ind.-Ann. erfüllt I einen Ast π in T. Zur Anwendung der α-regel wird ein Ast π 1 in T und eine α-formel α auf π 1 gewählt, π 1 wird verlängert um α 1, α 2. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

61 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. α-fall (β-fall analog): Nach Ind.-Ann. erfüllt I einen Ast π in T. Zur Anwendung der α-regel wird ein Ast π 1 in T und eine α-formel α auf π 1 gewählt, π 1 wird verlängert um α 1, α 2. Wenn π 1 π, ist π ein Ast in T, und damit (trivial) auch T erfüllt. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

62 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. α-fall (β-fall analog): Nach Ind.-Ann. erfüllt I einen Ast π in T. Zur Anwendung der α-regel wird ein Ast π 1 in T und eine α-formel α auf π 1 gewählt, π 1 wird verlängert um α 1, α 2. Wenn π 1 π, ist π ein Ast in T, und damit (trivial) auch T erfüllt. Wenn π 1 = π, haben wir aus val I (π) = W, dass val I (α) = W, also val I (α 1 ) = W und val I (α 2 ) = W. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

63 Korrektheitslemma Initialisierung: I ist Modell von M { A}, also von 0A. Voraussetzung: I ist Modell von M { A}, also von 1F für alle F M. α-fall (β-fall analog): Nach Ind.-Ann. erfüllt I einen Ast π in T. Zur Anwendung der α-regel wird ein Ast π 1 in T und eine α-formel α auf π 1 gewählt, π 1 wird verlängert um α 1, α 2. Wenn π 1 π, ist π ein Ast in T, und damit (trivial) auch T erfüllt. Wenn π 1 = π, haben wir aus val I (π) = W, dass val I (α) = W, also val I (α 1 ) = W und val I (α 2 ) = W. Somit val I (π ) = W für den neu entstehenden Pfad π, d.h. T ist erfüllbar Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

64 Kern des Vollständigkeitsbeweises Definition: Voll expandiertes Tableau Ein Tableau heißt voll expandiert, wenn jede Regel auf jede passende Formel auf jedem offenen Ast angewendet worden ist und für jedes F M (hierfür muss M endlich sein) für jeden Ast B 1F auf B vorkommt Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

65 Kern des Vollständigkeitsbeweises Lemma Ist B ein offener Ast in einem voll expandierten Tableau, dann ist B erfüllbar. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

66 Kern des Vollständigkeitsbeweises Lemma Ist B ein offener Ast in einem voll expandierten Tableau, dann ist B erfüllbar. Also Ist M { A} unerfüllbar, also jeder Ast jedes vollexpandierten Tableaus für A über M unerfüllbar, dann ist jedes voll expandierte Tableau für A über M geschlossen (denn sonst wäre er wegen des Lemmas erfüllbar) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

67 Kern des Vollständigkeitsbeweises Beweis Sei B ein offener Ast eines voll expandierten Tableaus Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

68 Kern des Vollständigkeitsbeweises Beweis Sei B ein offener Ast eines voll expandierten Tableaus Wir definieren W I(P) := F bel. falls 1P B falls 0P B sonst Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

69 Kern des Vollständigkeitsbeweises Beweis Sei B ein offener Ast eines voll expandierten Tableaus Wir definieren W I(P) := F bel. Durch Induktion zeigt man leicht: val I (F) = W für jedes F auf B. falls 1P B falls 0P B sonst Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

70 Kern des Vollständigkeitsbeweises Beweis Sei B ein offener Ast eines voll expandierten Tableaus Wir definieren W I(P) := F bel. Durch Induktion zeigt man leicht: val I (F) = W für jedes F auf B. falls 1P B falls 0P B sonst Es folgt, dass I Modell von M { A} ist. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

71 Allgemeine Tableauregel φ ψ 1,1... ψ n, ψ 1,K1... ψ n,kn Um die Teilformeleigenschaft des Tableaukalküls zu gewährleisten, wird gefordert, dass alle Vorzeichenformeln ψ i,j Teilformeln der Vorzeichenformel φ sind. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

72 Korrektheit und Vollständigkeit einer Regel Eine allgemeine Tableauregel φ ψ 1,1... ψ n, ψ 1,K1... ψ n,kn heißt vollständig und korrekt, wenn für jede Interpretation I gilt val I (φ) = W gdw es gibt ein i, 1 i n, so dass für alle j,1 j k i gilt val I (ψ i,j ) = W Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

73 Tableauregel für den logischen Äquivalenzoperator W F W W F F F W Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

74 Tableauregel für den logischen Äquivalenzoperator W F W W F F F W 1(A B) 1A 0A 1B 0B Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

75 Tableauregel für den logischen Äquivalenzoperator W F W W F F F W 1(A B) 1A 0A 1B 0B 0(A B) 1A 0A 0B 1B Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /25

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,

Mehr

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

Aussagenlogische Kalküle

Aussagenlogische Kalküle Aussagenlogische Kalküle Ziel: mit Hilfe von schematischen Regeln sollen alle aus einer Formel logisch folgerbaren Formeln durch (prinzipiell syntaktische) Umformungen abgeleitet werden können. Derartige

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische

Mehr

Beweisen mit Semantischen Tableaux

Beweisen mit Semantischen Tableaux Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche

Mehr

Tableaukalkül für Aussagenlogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird

Mehr

3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik

3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Deduktionssysteme der Aussagenlogik, Kap. 3: Tableaukalküle 38 3 Tableaukalküle 3.1 Klassische Aussagenlogik 3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Ein zweites Entscheidungsverfahren

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Resolutionsalgorithmus

Resolutionsalgorithmus 112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 8 31.05.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen: CNF/DNF Subsumption SAT-Problem

Mehr

Vorlesung Logiksysteme

Vorlesung Logiksysteme Vorlesung Logiksysteme Teil 1 - Aussagenlogik Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 15. Mai 2014 Formalien zur Vorlesung/Übung Termine: dienstags 16:15 17:45 Uhr freitags 10:15 11:45 Uhr

Mehr

1 Aussagenlogischer Kalkül

1 Aussagenlogischer Kalkül 1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Prof. Dr. Bernhard Beckert 08. April 2011 Vorname: Matrikel-Nr.: Platz: Klausur-ID: **Platz** **Id** Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. A1 (17)

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der

Mehr

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Der Sequenzenkalkül 138 Der Sequenzenkalkül Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik

Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik In diesem Abschnitt betrachten wir Verfahren die bei gegebener endlichen Menge Σ und A-Form A entscheiden ob Σ = A gilt. Die bisher betrachteten Verfahren prüfen

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 1. Einführung Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen

Mehr

Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung

Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans 23.07.2012 Dipl.-Inform. Markus Bender Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung

Mehr

Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums

Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Klauseltableau: Einschränkungen des Suchraums Regularität Kein Literal darf auf einem Ast mehr als einmal vorkommen Schwache Konnektionsbedingung Bei Erweiterung von Ast B muss mindestens eines der neuen

Mehr

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Kapitel 1.5. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik. Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls

Kapitel 1.5. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik. Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Kapitel 1.5 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 1/30 Syntaktischer

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische

Mehr

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf

Mehr

Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen

Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume & Dr. Sander Bruggink Barbara König Logik 1 (Motivation) Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests,

Mehr

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen

Mehr

Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7

Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7 Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7 Es gibt eine Fülle von verschiedenen Resolutionen. Die bis jetzt behandelten möchte ich hier noch ein Mal kurz erläutern. Ferner möchte ich noch auf

Mehr

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 2. Übungsstunde Aussagenlogische Modellierung Die Mensa versucht ständig, ihr Angebot an die Wünsche

Mehr

Schlussregeln aus anderen Kalkülen

Schlussregeln aus anderen Kalkülen Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte

Mehr

Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017

Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Endliche Automaten KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Endliche

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Praktikum Beweiser Praktikum SS 2005

Praktikum Beweiser Praktikum SS 2005 Praktikum Beweiser Praktikum SS 2005 Reinhold Letz Institut für Informatik, TU München Vorlesung: Donnerstags 15:15-16:45 Uhr, Multimediaraum MI 00.13.009A Übung: Donnerstags 12:15-13:00 Uhr ebenfalls

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln

Mehr

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8.1 Der Kompaktheitssatz Kompaktheitssatz Endlichkeitssatz Der Kompaktheitssatz ist auch unter dem Namen Endlichkeitssatz bekannt. Unter Verwendung

Mehr

Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010

Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010 Logik Teil 1: Aussagenlogik Vorlesung im Wintersemester 21 Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Jeder Aussage ist ein

Mehr

Algorithmen für OBDD s. 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen

Algorithmen für OBDD s. 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen Algorithmen für OBDD s 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen 1 1. Reduziere siehe auch M.Huth und M.Ryan: Logic in Computer Science - Modelling and Reasoning about Systems, Cambridge Univ.Press, 2000

Mehr

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale

Mehr

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik 3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,

Mehr

Aussagenlogik. Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle

Aussagenlogik. Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle Aussagenlogik Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle Logik für Informatiker, M. Lange, IFI/LMU: Aussagenlogik Syntax und Semantik 26 Einführendes Beispiel

Mehr

Die Folgerungsbeziehung

Die Folgerungsbeziehung Kapitel 2: Aussagenlogik Abschnitt 2.1: Syntax und Semantik Die Folgerungsbeziehung Definition 2.15 Eine Formel ψ AL folgt aus einer Formelmenge Φ AL (wir schreiben: Φ = ψ), wenn für jede Interpretation

Mehr

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen

Mehr

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Die ist eine Erweiterung

Mehr

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h SS 2011 20. April 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April 2011 10:00h 1. Aufgabe: [strukturelle Induktion, Übung] Zeigen Sie mit struktureller Induktion über

Mehr

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert

Mehr

Reduktionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie. Exkurs: Reduktionen allgemein. Reduktionen: Erläuterungen

Reduktionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie. Exkurs: Reduktionen allgemein. Reduktionen: Erläuterungen en Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie P, und C Definition () Seien L 1, L 2 {0, 1} zwei Sprachen. Wir sagen, dass L 1 auf L 2 in polynomialer Zeit reduziert wird, wenn eine

Mehr

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Bernhard Beckert Christoph Gladisch Claudia Obermaier Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau

Mehr

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012 Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der

Mehr

Logik Teil 1: Aussagenlogik

Logik Teil 1: Aussagenlogik Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Logik Teil : Aussagenlogik Jeder Aussage ist ein Wahrheitswert (wahr/falsch) zugeordnet

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4

Mehr

TU5 Aussagenlogik II

TU5 Aussagenlogik II TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen

Mehr

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen

Mehr

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax

Mehr

Kapitel 1. Aussagenlogik

Kapitel 1. Aussagenlogik Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Automaten, Spiele und Logik

Automaten, Spiele und Logik Automaten, Spiele und Logik Woche 13 11. Juli 2014 Inhalt der heutigen Vorlesung Linearzeit Temporale Logik (LTL) Alternierende Büchi Automaten Nicht-Determinisierung (Miyano-Ayashi) Beschriftete Transitionssysteme

Mehr

Theorem Proving. Software Engineering in der Praxis. Prädikatenlogik. Software Engineering in der Praxis Wintersemester 2006/2007

Theorem Proving. Software Engineering in der Praxis. Prädikatenlogik. Software Engineering in der Praxis Wintersemester 2006/2007 Seite 1 Theorem Proving Prädikatenlogik Seite 2 Gliederung Warum Theorembeweisen? Wie funktioniert Theorembeweisen? Wie kann mir das Werkzeug KIV dabei helfen? Seite 3 Warum Theorembeweisen? Wie kann man

Mehr

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz 5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz Durch Einsetzung von PL1-Formeln für die Metavariablen in AL-Gesetzen erhält man PL1-Instanzen von AL-Gesetzen. Beispiele: φ φ AL PL1-Instanzen: Pa () Pa

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische

Mehr

Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015

Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 1. Aussagenlogik Alphabet und AS gegeben, wie sind die Aussagenlogischen

Mehr

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Modallogik (aussagenlogisch)

Modallogik (aussagenlogisch) Kapitel 5 Modallogik (aussagenlogisch) 5.1 Einführung Die Modallogik erlaubt Formulierung und Repräsentation von Aussagen, die über die Aussagenlogik hinausgehen: Beispielsweise kann man Aussagen über

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Formale Systeme. Organisatorisches. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft

Formale Systeme. Organisatorisches. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Organisatorisches KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Personen

Mehr

Binary Decision Diagrams (Einführung)

Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (BDDs) sind bestimmte Graphen, die als Datenstruktur für die kompakte Darstellung von booleschen Funktionen benutzt werden. BDDs wurden von

Mehr

4. Alternative Temporallogiken

4. Alternative Temporallogiken 4. Alternative Temporallogiken Benutzung unterschiedlicher Temporallogiken entsprechend den verschiedenen Zeitbegriffen LTL: Linear Time Logic Ähnlich der CTL, aber jetzt einem linearen Zeitbegriff entspechend

Mehr

Formale Systeme. Organisatorisches. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft

Formale Systeme. Organisatorisches. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Organisatorisches KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Personen

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Einführung: Logisches Schließen im Allgemeinen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Beispiel:

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr