Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Volkswirtschaftslehre insbesondere Mikroökonomie Prof. Dr. Matthias Blonski. Mathematik I

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1 J.-W. Goethe Universität Frankfurt am Main Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Volkswirtschaftslehre insbesondere Mikroökonomie Prof. Dr. Matthias Blonski Mathematik I Vorlesungsbegleitendes Skriptum Update: 10. November 2003

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre Grundbegriffe Mengenoperationen Rechenregeln fürmengenoperationen Tupel und kartesische Produkte Logik Aussagen und Aussageformen Verknüpfungen von Aussagen Quantifizierung von Aussageformen Definitionen, Lemmata, Sätze, Theoreme und Beweise Zahlen und Arithmetik Zahlen Potenzen und Wurzeln Logarithmen Gleichungen und Ungleichungen Eindimensionale Gleichungen und Ungleichungen Mehrdimensionale Gleichungs- und Ungleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Zweidimensionale Ungleichungssysteme Folgen und Grenzwerte Folgen Konvergenz und Grenzwert Grenzwerte im Unendlichen Reihen Mehrdimensionale Folgen ii

3 1 Mengenlehre Dieses Kapitel behandelt Grundlagen der Mengenlehre, die in gewisser Weise am Anfang der Mathematik steht und eine Sprache bereitstellt, die zur weiteren Formulierung der Mathematik sehr hilfreich ist. 1.1 Grundbegriffe Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte, wobei von jedem Objekt eindeutig feststehen muß, ob es zur Menge gehört oder nicht. Gehört ein Objekt zu einer Menge, so bezeichnet man es auch als Element dieser Menge. Ist ein Objekt e Element einer Menge M, soschreibtmandafür e M (sprich: e Element M); ist e hingegen nicht Element von M, soschreibtman dafür e/ M (sprich: e nicht Element M). Üblicherweise wird eine Menge auf eine von zwei Arten beschrieben: Die erste besteht darin, alle ihre Elemente in geschweifte Klammern eingefaßt und durch Kommata getrennt vollständig aufzuzählen. Beispielsweise beschreibt der Ausdruck {a, e, i, o, u} die Menge aller Vokale des lateinischen Alphabets. In unzweideutigen Fällen, insbesondere Bei unendlichen Mengen und bei unzweideutigen Fällen ist auch die Verwendung von Ellipsen (...) möglich. So wird jeder {a,b,c,d,e,...,z} unzweideutig als die Menge aller kleinen Buchstaben des lateinischen Alphabets und {2, 4, 6, 8, 10,...} als die Menge aller positiven und geraden Zahlen erkennen. Die zweite typische Art der Beschreibung ist die, eine allen Elementen einer Menge und nur diesen anhaftende und somit für Elemente dieser Menge charakteristische Eigenschaft anzugeben, z.b. {x x ist Vokal des lateinischen Alphabets }. Eine spezielle Menge ist die sogenannte leere Menge und wird mit oder {} bezeichnet. Ein weiterer wichtiger Begriff der Mengenlehre ist die Mächtigkeit einer Menge. Sie ist für Mengen mit endlich vielen Elementen die Anzahl deren Elemente. Die Mächtigkeit von Mengen mit unendlich vielen Elementen wird mit dem Symbol (sprich: unendlich) bezeichnet. 1 Üblicherweise wird die Mächtigkeit einer Menge M als M geschrieben. 1 Bei unendlichen Mengen wird außerdem zwischen abzählbar und überabzählbar unendlichen Mengen unterschieden, was an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden soll. 1

4 1 Mengenlehre Beispiel 1.1: (i) Für M := {2, 3, 4} ist M =3. (ii) {{1}, {2}, {1, 3}} =3. (iii) { 1, 2, 3,...} =. Gilt für zwei Mengen A und B, daßjedeselementvona auch Element von B ist, so ist A Teilmenge von B. Man schreibt A B. Existiertdarüberhinaus ein Element von B, welches nicht Element von A ist, so heißt A echte Teilmenge von B, und man schreibt A B. Gilt für zwei Mengen A und B sowohl A B als auch B A, haben also beide Mengen die gleichen Elemente, so heißen diese Mengen gleich, und man schreibt A = B. 2 Falls zwei Mengen A und B ungleich sind bzw. A nicht Teilmenge bzw. nicht echte Teilmenge von B ist, wird durch die Ausdrücke A B, A B bzw. A B beschrieben. Beispiel 1.2: Seien M := {2, 3, 4}, N := {2, 4}, P := {4, 3, 2} und Q := {{2}}. Dann gilt: (i) N M P (ii) N M und M P (iii) M = P (iv) Q M In einigen Beispielen wurde bereits deutlich, daß Mengen wiederum Mengen als Elemente enthalten können. Die Menge aller möglichen Teilmengen einer Menge M ist oft von Interesse. Sie heißt Potenzmenge von M und wird durch das Symbol (M) bezeichnet. Beispiel 1.3: (i) Für M := {1, 2, 3} ist (M) ={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. (ii) Gegeben sei die Menge der Vokale V := {a, e, i, o, u}. Es gilt (V )={W W ist eine Menge, deren Elemente Vokale sind }. (iii) Die Potenzmenge der leeren Menge ist nicht leer ( ) ={ }. 1.2 Mengenoperationen Für Mengen sind verschiedene Operationen definiert, die jeweils zwei Mengen zu einer Ergebnismenge verknüpfen. Der Durchschnitt A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl Element von A als auch Element 2 Man beachte, daß auch die beiden Mengen {a, b} und {a, b, b} aufgrund der Forderung, daß alle Elemente wohlunterschieden sein müssen, gleich sind. 2

5 1 Mengenlehre von B sind und Vereinigung A B zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die entweder Element von A oder Element von B oder Element von A und B sind. Ist der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer, ist also A B =, so heißen diese beiden Mengen disjunkt. DieDifferenz A \ B ist die Menge aller Elemente, die zwar Element von A, aber nicht Element von B sind. Man beachte, daß die Bildung der Differenz zweier Mengen im Unterschied zur Bildung des Durchschnitts oder der Vereinigung nicht kommutativ oder vertauschbar ist, d.h. es gilt im Allgemeinen nicht A \ B = B \ A. Dagegen gilt immer sowohl A B = B A als auch A B = B A. Für zwei Mengen A und Ω mit A Ω ist das Komplement von A bezüglich Ω definiert als Ω \ A; man schreibt dafür üblicherweise C Ω A. Oft ist bei der Bildung eines Komplements aus dem jeweiligen Kontext klar, bezüglich welcher Grundmenge Ω das Komplement gebildet wird. Verkürzendwirdfür das Komplement einer Menge A dann nur CA oder auch Ā geschrieben. Beispiel 1.4: (i) Seien M := {1, 2, 3} und N := {3, 4}. Dann gilt: M N = {3} und M N = {1, 2, 3, 4} (ii) Sei Ω := {Kreuz, Pik, Herz, Karo} und A := {Kreuz, Pik}. DannistCA = C Ω A = {Herz, Karo}. (iii) Seien N := {1, 2, 3,...}, G := {2, 4, 6,...} und U := {1, 3,...}, dannist C N G = U und C N C N G = G. Mengenoperationen und Beziehungen zwischen Mengen werden häufig in sogenannten Venn-Diagrammen veranschaulicht. In derartigen Diagrammen werden Mengen als geeignete Flächen in der Ebene dargestellt. In Abbildung 1.1 sind beispielhaft die Bildung von Durchschnitt (a), Vereinigung (b), Differenz (c) und Komplement für zwei nicht disjunkte Mengen A und B und eine Grundmenge Ω in Venn-Diagrammen wiedergegeben. 1.3 Rechenregeln für Mengenoperationen Für beliebige Mengen A, B, C und Ω mit A, B, C Ω gelten die folgenden Rechenregeln: Zunächst gelten für Vereinigung und Durchschnitt sowohl das Kommutativ- als auch das Assoziativgesetz, d.h. es gilt A B = B A und A B = B A, A (B C) =(A B) C und A (B C) =(A B) C. Es gelten die beiden Distributivgesetze A (B C) =(A B) (A C), A (B C) =(A B) (A C). 3

6 1 Mengenlehre Ω Ω A B A B A B A B (a) (b) Ω Ω A \ B C Ω A A B A (c) (d) Abbildung 1.1: Venn-Diagramme Schließlich gelten noch folgende Regeln für die Bildung von Komplementen: A CA = Ω und A CA =, C(A B) =CA CB und C(A B) =CA CB, C = Ω und CΩ =, CCA = A. 1.4 Tupel und kartesische Produkte Mengen sind nicht geordnete Zusammenfassungen von Objekten. Die Mengen {a, b} und {b, a} sind also gleich. Ist dagegen auch die Reihenfolge zweier Objekte von Bedeutung, kann dieses durch das Konzept des Tupels erfasst werden. Sollen beispielsweise die beiden Objekte a und b in der Weise geordnet zusammengefasst werden, daß b vor a kommt, so werden sie in dem Tupel (b, a) zusammengefasst. Dabei ist b die erste Komponente dieses Tupels und a die zweite. Ein Tupel mit zwei Komponenten heißt auch Zwei-Tupel. Eine offensichtliche Verallgemeinerung des Zwei-Tupels ist eine geordnete Zusammenfasung nicht nur von zwei, sondern von beliebig vielen Objekten. Endliche derartige Zusammenfassungen heißen n- Tupel. Dabei gibt n {1, 2, 3,...} die Anzahl der Komponenten des Tupels an. Mengen von n-tupeln gleicher Art können über die Bildung n-facher kartesischer Produkte definiert werden. Aufgrund der ordnungsgebenden Eigenschaft des Tupels gilt (b, a) (a, b) für a b; zwei Tupel sind also nur dann gleich, wenn 4

7 1 Mengenlehre sie jeweils in allen Komponenten übereinstimmen. Das kartesische Produkt oder Kreuz-Produkt A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Tupel (a, b) von Elementen a A und b B. Beispiel 1.5: (i) Die beiden Tupel (Karo, 7) und (Kreuz, Bube) kann man verwenden, um die beiden entsprechenden Spielkarten zu repräsentieren. Die Menge aller Spielkarten eines Skat-Blattes ist dann B = {(f,w) f {Kreuz, Pik, Herz, Karo } und w {7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass }}. Für jede Hand H zu Beginn eines Skatspiels gilt H B und H = 10. (ii) Sei A := {1, 2} und B := {a, b}.dannista B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}. (iii) Die Menge aller Felder eines Schachbretts ist {A, B,..., H} {1, 2,...,8}. (iv) Seien A := {u, v, w} und B := {x, y, z}. (u, v, z) ist ein 3-Tupel und Element von A A B. (u, w, w, v, v, u) ist ein 6-Tupel und Element von A A A A A A = A 6 (sprich: A hoch 6). 5

8 2 Logik Ein anderer Grundpfeiler der Mathematik neben der Mengenlehre ist die Logik, welche sich mit Aussagen, Verknüpfungen von Aussagen und deren Wahrheitsgehalt befaßt. 2.1 Aussagen und Aussageformen In der Umgangssprache existieren verschiedene Arten von Sätzen, beispielsweise Fragen, Meinungen, Befehls- und Aussagesätze. Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Zu jeder Aussage A existiert eine gegenteilige Aussage, die Negation von A und wird mit den Symbolen A oder Ā bezeichnet und ist genau dann wahr, wenn A falsch ist und umgekehrt. Beispiel 2.1: (i) Aussagen sind die Sätze: Der Mond kreist um die Erde oder Frankfurt liegt an der Wolga. Keine Aussagen sind die Sätze: Schröder ist doof oder Küss mich oder Verstehst Du das. (ii) Von den Aussagen (i) Der Mond kreist um die Erde (ii) Frankfurt liegt an der Wolga (iii) Verdi komponierte mindestens ein Streichquartett (iv) Neun ist eine gerade Zahl sind (i) und (iii) wahr und (ii) und (iv) falsch. (iii) Die Negation der Aussage Frankfurt liegt an der Wolga ist Frankfurt liegt nicht an der Wolga. Sei A := Der Mond kreist um die Erde. Dann ist A = Der Mond kreist nicht um die Erde. Offenbar ist A wahr und A falsch. Sätze, die Variablen enthalten und erst dann zu Aussagen werden, wenn man den Variablen einen bestimmten Wert zuordnet, heißen Aussageformen. Sie werden üblicherweise mit einem großen lateinischen Buchtstaben für die Aussageform selbst, gefolgt von einem oder mehreren in Klammern gesetzten kleinen lateinischen Buchstaben für die Variablen bezeichnet. Die Menge aller Objekte, die in eine Aussageform eingesetzt werden dürfen, heißt Grundmenge der Aussageform; die Menge derjenigen Elemente der Grundmenge, für die die Aussageform wahr ist, heißt Lösungsmenge der Aussageform. Beispiel 2.2: (i) Sei A(x) := x komponierte neun Symphonien und die dazugehörige Grund- 6

9 2 Logik menge {Beethoven, Mahler, Haydn}.Dann steht A(Mahler) für die Aussage Mahler komponierte neun Symphonien. (ii) Sei G(x) := x>2 und die zu G(x) gehörige Grundmenge {1, 2, 3, 4, 5}. Dann ist {3, 4, 5} die Lösungsmenge von G(x). 2.2 Verknüpfungen von Aussagen Aussagen und Aussageformen können mit Hilfe sogenannter Boolscher Operatoren zu neuen, zusammengesetzen Aussagen bzw. Aussageformen verknüpft werden 1. Einer dieser Operatoren ist die sogenannte Konjunktion oder Und-Verknüpfung. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Formal wird die Konjunktion zweier Aussagen A und B durch den Ausdruck A B (sprich: A und B) beschrieben. Dagegen ist die Disjunktion A B (sprich: A oder B) zweier Aussagen A und B dann und nur dann wahr, wenn A, B oder A und B wahr sind. Sie wird daher auch als Oder- Verknüpfung bezeichnet. Es gilt (A B) = A B, (A B) = A B. Beispiel 2.3: Seien die Aussagen A und B wahr und die Aussage C falsch. (i) Dann ist A B wahr und B C falsch. Ferner ist A B wahr, B C wahr und C C falsch. (ii) Die Negation der Aussage Claudia ist schön und klug ist die Aussage Claudia ist nicht schön oder nicht klug. (iii) Die Negation der Aussage Claudia ist schön oder klug ist die Aussage Claudia ist weder schön noch klug. Ein weiterer Boolscher Operator ist die Implikation oder Folgerung. Sie wird für zwei Aussagen A und B durch den Ausdruck A B (sprich: aus A folgt B) beschrieben und ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr. Die Implikation A B ist also identisch zur Aussage A B. A heißt auch hinreichende Bedingung für B, dabeigültiger Implikation A B die Aussage B wahr sein muß, wenn A wahr ist, und B notwendige Bedingung für A, daa nur dann wahr sein kann, wenn B wahr ist. Die Äquivalenz A B zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A und B beide wahr oder beide falsch sind. Sie ist äquivalent (!) zum Ausdruck (A 1 benannt nach George Boole ( ), britischer Mathematiker 7

10 2 Logik A B A B A B A B A B w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Tabelle 2.1: Wahrheitstafeln für Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz B) (B A). Wir benutzen häufig die Sprechweise dann und nur dann oder genau dann für die Äquivalenz. Man kann den Wahrheitsgehalt zusammengesetzer Aussagen in Abhängigkeit vom Wahrheitsgehalt der zugehörigen Einzelaussagen übersichtlich in sogenannten Wahrheitstafeln darstellen. In diesen werden als Tabelle alle Kombinationen von Wahrheitsgehalten der in die zusammengesetzte Aussage einfließenden einzelnen Aussagen dem sich ergebenden Wahrheitsgehalt der zusammengesetzten Aussage gegenübergestellt. In Tabelle 2.1 sind Wahrheitstafeln für die in diesem Abschnitt vorgestellten Verknüpfungen zusammengestellt. Beispiel 2.4: Die Wahrheitstafel zur Aussage A (B C) ist: A B C A (B C) w w w w w w f w w f w w w f f w f w w f f w f w f f w f f f f f 2.3 Quantifizierung von Aussageformen In Abschnitt 2.1 wurde gezeigt, wie Aussageformen zu Aussagen werden, indem man ein Element ihrer jeweiligen Grundmenge in sie einsetzt. Eine andere Art, Aussagen aus Aussageformen zu machen ist, diese zu quantifizieren. Sei im weiteren A(x) eine Aussageform mit der Grundmenge G und der Lösungsmenge L G. Dannsteht x. A(x) (sprich: es existiert ein x mit A(x)) für die Aussage, daß mindestens ein x G existiert, für welches A(x) wahr ist. Das Symbol heißt Existenzquantor. Ferner bedeutet x. A(x) (sprich: für alle x gilt A(x)), daß 8

11 2 Logik A(x) für alle x G wahr ist. Das Symbol heißt entsprechend Allquantor. Man beachte, daß x. A(x) genau dann wahr ist, wenn L gilt, und daß x. A(x) genau dann wahr ist, wenn L = G gilt. Daraus folgt, daß x. A(x) wahr ist, falls x. A(x) wahr ist. In der Schreibweise der Logik ist das x. A(x) x. A(x). Bezüglich der Negation quantifizierter Aussageformen gelten die Regeln: x. A(x) x. A(x) x. A(x) x. A(x) Beispiel 2.5: (i) Sei A(x) := x > 3 eine Aussageform mit der Grundmenge G := {1, 2, 3, 4}. Dann ist x. A(x) eine wahre Aussage, da 4 > 3 wahr ist, und x. A(x)einefalsche Aussage, da beispielsweise 1 > 3 falsch ist. (ii) Die Verneinung der Aussage Alle Menschen sind sterblich ist Es gibt einen Menschen, der nicht sterblich ist. Die Negation der Aussage Es gibt einen Studenten, der alles versteht ist Für jeden Studenten gibt es etwas, das er nicht versteht. 2.4 Definitionen, Lemmata, Sätze, Theoreme und Beweise Die Mathematik ist ein logisch aufgebautes Gedankengbäude. Ihre Sprache verwendet Begriffe und Strukturen, die zunächst definiert werden müssen. Wir haben bis hier schon viele Begriffe definiert, zuletzt z.b. den Allquantor. Kurze, einfache Definitionen werden in mathematischen Texten oft durch einfache Hervorhebungen im Text markiert. Längere und komplexere Definitionen werden meistens als solche hervorgehoben und fallen dadurch noch mehr auf. Mit Begriffen und Strukturen werden Aussagen gemacht. Unsere zuletzt gemachte Aussage mit zuvor definierten Begriffen war z.b. x. A(x) x. A(x). Mathematiker sortieren ihre Aussagen gerne nach ihrer Wichtigkeit. Dabei werden kleine, untergeordnete, oder Hilfsaussagen Lemma genannt, die meisten Aussagen nennt man Satz oder auf englisch proposition was gelegentlich fälschlich als Vorschlag übersetzt wird. Die wichtigsten Resultate in der Mathematik werden Theoreme genannt. Diese zu beweisen kann manchmal sehr schwierig und aufwendig sein. Großes Aufsehen in der mathematischen Fachwelt erregte z.b. der Beweis des letzten Schrittes von Fermat s berühmtem letzten Theorem, aufgestellt vom französischen Mathematiker Pierre de Fermat um das Jahr 1630 als Randnotiz in einem zahlentheoretischen Aufsatz mit dem Vermerk, daß ihm ein einfacher Beweis dafür 9

12 2 Logik bekannt sei. Fermats letztes Theorem sagt aus, daß für n = 3, 4, 5,... keine ganzzahligen Lösungen ungleich 0 der Gleichung x n + y n = z n existieren. Der britische Mathematiker Andrew Wiles versetzte am 23. Juni 1993 die Fachwelt in große Aufregung, als er per verbreitete, diese berühmte Vermutung endgültig bewiesen zu haben 2. In der Tat war dies nur der letzte Schritt in einer über 350-jährigen Suche nach einem Beweis, an dem sich viele der bedeutensten Mathematiker unserer und auch früherer Zeiten beteiligten und die maßgeblich die moderne Geschichte der Mathematik mit geprägt hat. Auf dem Weg zum endgültigen Beweis wurden zahlreiche neue Gebiete der Mathematik entwickelt, von denen viele Mathematiker heute glauben, daß sie für sich genommen viel wichtiger sind, als Fermats ursprüngliche Behauptung selbst. Wirtschaftswissenschaftler im Gegensatz zu Mathematikern interessieren sich weniger für Beweise, also die internen Strukturen logischer Gedankengebäude, sondern mehr für die Anwendungen mathematischer Aussagen auf die reale Welt. Um dieses Ziel schneller erreichen zu können, werden auch in diesem Skriptum die meisten Beweise weggelassen. So sahen wir noch keinen Beweis bis hier. Auch Wirtschaftswissenschaftler sollten sich jedoch bewußt sein, daß das Weglassen und Ignorieren von mathematischen Beweisen verschiedene Gefahren in sich birgt. Zum Beispiel geht es auch dem Wirtschaftswissenschaftler oft um strukturelles Verständnis, wenn ökonomische Phänomene mit Hilfe von Modellen beschrieben und erklärt werden. Daher liegt ein Teil des Verständnisses des ökonomischen Phänomens in der verwendeten Struktur des mathematischen Modells. Der andere (ökonomische) Teil des Verständnisses drückt sich oft in der Wahl geeigneter Modell-Bestandteile und Annahmen aus. Beide Verständnisarten bedingen sich oft gegenseitig. Es ist kein Zufall, daß viele der berühmten Ökonomen unserer Zeit gleichzeitig hervorragende Mathematiker sind oder sogar von der Mathematik zur Ökonomie gekommen sind. Umgekehrt ist es schwierig, als angehender Ökonom an die Front aktueller Forschung in Ökonomie zu gelangen, ohne sich großzügig in der Welt der etablierten mathematischen Resultate zu bedienen. Es ist eine Kunst, sich für die relevanten mathematischen Strukturen zu interessieren und die weniger relevanten ökonomisch als black boxes zu benutzen auf dem Weg zu einem besseren ökonomischen Verständnis. Da wir im Folgenden gelegentlich exemplarisch Beweise vorführen, sei hier kurz auf einige der wichtigsten Beweis-Techniken des Mathematikers eingegangen. Als direkten Beweis bezeichnet man eine Kette von Implikationen, an deren Anfang die hineingesteckten Annahmen und an deren Ende die zu beweisende Behauptung steht. Beispiel 2.6: Seien a, b {0, 1, 2,...}, dann ist das geometrische Mittel a b stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel a+b 2. 2 Der Beweis wurde schließlich publiziert als Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat s Last Theorem, Ann. Math. 141 (1995),

13 2 Logik Beweis: a b a+b 2 4ab (a + b) 2 0 (a b) 2, was stets wahr ist. Da für a, b {0, 1, 2,...} die Implikationen in beiden Richtungen gelten, gelten sie insbesondere alle rückwärts, also ist die am Anfang stehende Aussage wahr. Derindirekte Beweis beruht auf der logischen Äquivalenz (A B) = A B,die in Kap. 2.2 eingeführt wurde. Die Quantifizierung dieser logischen Äquivalenz ist x. A(x) x. A(x). Statt eines Beispiels hier, wird auf das folgende Kapitel verwiesen, wo wir indirekt oder durch Widerspruch beweisen werden, daß 2eine irrationale Zahl ist. Falls die zu beweisende Behauptung für alle natürlichen Zahlen n N zu zeigen ist, so kann sie mit Hilfe vollständiger Induktion bewiesen werden. Diese Beweismethode wird dem französischen Mathematiker Blaise Pascal ( ), einem Zeitgenossen von P. de Fermat, zugeschrieben. Die Aussage wird zunächst für eine Zahl n 0 N gezeigt. Die Zahl n 0 ist oft 0 oder 1. Man nennt sie den Induktionsanfang. Aus der Induktionsvoraussetzung, also der Annahme, die Behauptung gelte für n N, folgert man dann die Induktionsbehauptung, also die selbe Behauptung für n + 1 N. In dieser Folgerung, also diesem Teil des Beweises, liegt meistens die eigentliche Beweisidee, daher nennen wir ihn den Induktionsbeweis. Beispiel 2.7: (Gauss sche Summenformel 3 ) Es gilt n N: n(n +1) n = 2. (i) Induktionsanfang: 1 = (ii) Induktionsvoraussetzung: Es gelte für n = k: k(k +1) k = 2. (iii) Induktionsbehauptung: Dann gilt für n = k + 1:. (iv) Induktionsbeweis: k +(k +1)= k +(k +1) = (k +1)(k +2) 2 k(k +1) 2 +(k +1) 3 benannt nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauss ( ), vom dem die Legende sagt, daß er eine von seinem Lehrer gestellte Aufgabe, die Zahlen 1 bis 100 aufzuaddieren im Handumdrehen lösen konnte zu großen Verblüffung seines Lehrers und seiner Mitschüler. Gauss verwendete angeblich eine andere Idee. Statt die Zahlen sukzessive zu addieren rechnete er = ( ) + (2 + 99) + + ( ) =

14 2 Logik = k2 + k +2k +2 2 (k +1)(k +2) =. 2 12

15 3 Zahlen und Arithmetik In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren wiederholt. 3.1 Zahlen Grundlegend für die Mathematik sind die Zahlen. Die Zahlen 1, 2, 3,...,diesich intuitiv aus dem Zählen (z.b. der Finger) ergeben, heißen natürliche Zahlen oder positive ganze Zahlen und werden mit dem Symbol N bezeichnet. Dazu gehören offenbar die geraden Zahlen 2, 4, 6,... und die ungeraden Zahlen 1, 3, 5,...Natürliche Zahlen sind bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen.das heißt, daß die Summe und das Produkt zweier natürlicher Zahlen wieder natürliche Zahlen sind. Positive und negative ganze Zahlen zusammen mit der 0, also..., 2, 1, 0, 1, 2,... heißen ganze Zahlen und werden mit Z bezeichnet. Die ganzen Zahlen sind zusätzlich bezüglich der Subtraktion abgeschlossen. Brüche sind Zahlen wie 2,diesichalsQuotient a zweier ganzer Zahlen a und 7 b b mit b 0 darstellen lassen. Sie heißen rationale Zahlen und werden als Q bezeichnet. Verschiedene Brüche können die gleiche rationale Zahl darstellen, zum Beispiel ist 2 = 1. Eine besondere Rolle spielen daher die gekürzten Brüche, deren 4 2 Zähler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner stets positiv ist. Wir können daher jede rationale Zahl durch viele Brüche aber nur mit genau einem gekürzten Bruch darstellen. Die rationalen Zahlen sind bezüglich aller vier Grundrechenarten +,,, : abgeschlossen. Die ganzen und auch die rationalen Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen. Angenommen, wir würden alle rationalen Zahlen, also zuerst die 0, dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 1, dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 1, dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 2 1 3, usw. auf der Zahlengeraden markieren. Es ist verführerisch, zu denken, dann gäbe es keine Löcher mehr auf der Zahlengeraden. Schon die Griechen der Antike bemerkten jedoch, daß dies nicht der Fall ist. Spätestens Euklid sah, daß keine ganzen Zahlen p und q existieren, so daß ( p q )2 = 2 ist. Also ist 2 keine rationale 13

16 3 Zahlen und Arithmetik Zahl. Um dies zu zeigen, verwenden wir einen indirekten Beweis. Statt also zu zeigen p ist gekürzter Bruch aus ganzen Zahlen ( p q q )2 2 zeigen wir ( p q )2 =2 p ist nicht gekürzter Bruch aus ganzen Zahlen. Dabei verwenden q wir also die logische Äquivalenz (A B) ( A B) (B A) ( B A). Nehmen wir also umgekehrt an, es gäbe einen gekürzten Bruch p = 2. Also ist q auch p2 ein gekürzter Bruch (warum?). Wegen p2 = 2 ist also p 2 =2q 2.Daq und q 2 q 2 daher q 2 ganze Zahlen sind, ist 2q 2 und daher auch p 2 eine gerade Zahl, denn wäre p ungerade so wäre auch p 2 ungerade. Also ist p 2 sogar durch 4 teilbar. Wegen p 2 = 2q 2 muss dann aber auch q gerade sein. Dies widerspricht aber unserer Annahme, daß p gekürzt ist. Da also ( p q q )2 = 2 zu einem Widerspruch führt, ist 2 keine rationale Zahl. Eine für uns übliche Art, Zahlen zu schreiben, ist die so genannte Dezimalschreibweise. Jedenatürliche Zahl kann mit Hilfe der zehn Symbole 0, 1, 2,...,9geschrieben werden. Die Anordnung der Ziffern als Zahl entspricht der Summe von Vielfachen der Potenzen von 10. Zum Beispiel bedeutet 2003 = Zusammen mit den Symbolen +, können alle ganzen Zahlen im Dezimalsystem geschrieben werden. Mit Hilfe von Kommastellen und negativen Potenzen von 10 können wir auch rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, in Dezimalschreibweise darstellen, zum Beispiel 3.14 = Jeder Zahl, die auf diese Weise mit endlich vielen Ziffern in Dezimalschreibweise geschrieben werden kann, ist eine rationale Zahl zugeordnet. Umgekehrt kann nicht jede rationale Zahl mit endlich vielen Ziffern in Dezimalschreibweise dargestellt werden. Zum Beispiel ist 1 =0. 3 = , wobei der obere Balken die 3 zu wiederholenden Ziffern beschreibt oder die Punkte dafür stehen, daß die Ziffer 3 unendlich oft wiederholt wird. Die Dezimalschreibweise jeder rationalen Zahl ist jedoch periodisch, d.h. ab einer gewissen Stelle der Dezimalschreibweise wiederholen sich die Ziffern unendlich oft in der gleichen Reihenfolge. Zum Beispiel ist 1 = = Eine intuitive Erweiterung der rationalen Zahlen ist offenbar die Menge aller Zahlen in (unendlicher) Dezimalschreibweise, also auch die nichtperiodischen.wir 14

17 3 Zahlen und Arithmetik nennen alle solchen Zahlen, die nicht schon rationale Zahlen sind, irrational.dazu gehören zum Beispiel 1, , 2, 11,π,e. Rationale und irrationale Zahlen zusammen, also alle Zahlen in Dezimalschreibweise, heißen reelle Zahlen und werden mit R bezeichnet. Dies ist die für Ökonomen wichtigste und am häufigsten verwendete Zahlenmenge und wird daher später weiter vertieft. Reelle Zahlen sind wie die rationalen Zahlen abgeschlossen bezüglich der vier Grundrechenarten, aber darüber hinaus auch bezüglich der Bildung von Grenzwerten, die in Kap.??? eingehender behandelt werden. Die reellen Zahlen sind dagegen nicht abgeschlossen bezüglich der Bildung von Wurzelausdrücken. Zum Beispiel ist 1 keine reelle Zahl. Der Abschluss der reellen Zahlen bezüglich Wurzelaudrücken heißt komplexe Zahlen und wird mit C bezeichnet. Die komplexen Zahlen sind für die Mathematik und auch für die Physik grundlegend. Da jedoch komplexe Zahlen selten in den Wirtschaftswissenschaften vorkommen, werden wir uns hier nicht weiter damit befassen. Offensichtlich gilt N Z Q R C. Die komplexen Zahlen sind also der allgemeinste der fünf hier aufgeführten Zahlenbegriffe. 3.2 Potenzen und Wurzeln Das n-fache Produkt a } a {{... a} n mal einer Zahl a R mit sich selbst wird als die n-te Potenz dieser Zahl bezeichnet. Dabei heißt a auch Basis oder Grundzahl und n Exponent oder Hochzahl der Potenz. Man schreibt dafür a n. Der Potenzbegriff wird über die Definition a n := 1 mit n N auf ganzzahlige a n Exponenten kleiner Null erweitert und mit der Festsetzung a 0 := 1 für a 0 schließlich auf alle ganzzahligen Exponenten ausgedehnt. 1 Für das Rechnen mit Potenzen gilt für alle n, m Z: 1 Der Ausdruck 0 0 ist nicht definiert. a n a m = a n+m ; a, b R a n = a n m ; a, b R,a 0 a m a n b n = (ab) n ; a, b R a n = ( ) a n ; a, b R,b 0 b n b (a n ) m = a nm ; a, b R 15

18 3 Zahlen und Arithmetik Beispiel 3.1: (i) =3 5 = = (ii) 2 =5 2 = 1 = 1 = (iii) =(4 6) 2 =24 2 = 576. (iv) (2 2 ) 3 =2 6 = 64. Für die Potenz a n = b mit b 0 und n N heißt a auch n-te Wurzel aus b und man schreibt a = n b für n 2 und einfach nur a = b für n =2.Dabeiwirdb auch als Radikant bezeichnet. Das Wurzelziehen ist also die inverse Operation der Potenzierung. Wurzelausdrücke können auch als Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten geschrieben werden, indem a 1/n := n a. festgesetzt wird. Dies ist offenbar konsistent zu den oben angeführten Potenz- Rechenregeln, denn n an =(a n ) 1/n = a n/n = a. Also gelten entsprechende Rechenregeln für das Wurzelziehen, so daß für das RechnenmitWurzelnmita, b 0 und n, m N folgt: n n a b = n ab n a n b = n a b n am = ( n a) m m n a = nm a Beispiel 3.2: (i) 16 = 16 1/2 =4. 4 (ii) x 12 y 8 =(x 12 y 8 ) 1/4 =(x 12 ) 1/4 (y 8 ) 1/4 = x 12/4 y 8/4 = x 3 y 2. (iii) m x n y = ( xy 1/n) 1/m = x 1/m y 1/mn. 3.3 Logarithmen Mit dem Wurzelziehen wurde im vorhergehenden Abschnitt die zur Potenzierung inverse Operation bezüglich der Basis oder Grundzahl gebildet. Die inverse Operation zur Potenzierung bezüglich des Exponenten oder der Hochzahl ist das so genannte Logarithmieren. Für die Potenz a y = x mit a>0 und a 1heißty auch Logarithmus von x zur Basis a. Man schreibt dafür y =log a x. Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis 16

19 3 Zahlen und Arithmetik a ist also diejenige Zahl y, mitdera potenziert werden muß, um x zu erhalten. BesondereBasensindindiesemZusammenhang 10 und die Eulersche Zahl e 2, , die in vielen verschiedenen Zusammenhängen, insbesondere z.b. für Wachstumsprozesse bedeutsam ist. Der Logarithmus zur Basis 10 wird häufig nur mit log x, der Logarithmus zur Basis e mit ln x (für logarithmus naturalis ) bezeichnet. Beispiel 3.3: (i) log 100 = 2. (ii) log 2 64 = 6. (iii) ln 1 = 0. Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Regeln. Für a, b > 0, a, b 1 und x, y > 0 gilt: log b x = log a x log a b log a (xy) = log a x +log a y log a (x/y) = log a x log a y log a (x y ) = y log a x Beispiel 3.4: (i) log( ) = log log( ) = log log 1000 = 2 + ( 2 3=8. 2 (ii) log x + 3 log y 5 log z = (log(x2 )+log(y 3 ) log(z 5 )) = 1 log x 2 y ). 3 7 z 5 Man beachte, daß der Logarithmus nur für Zahlen größer als Null gebildet werden kann; für alle Zahlen kleiner oder gleich Null ist er nicht definiert. 17

20 4 Gleichungen und Ungleichungen In diesem Kapitel werden Techniken zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen rekapituliert. 4.1 Eindimensionale Gleichungen und Ungleichungen Eine Gleichung oder Ungleichung ohne Variablen ist eine Aussage, z.b. ist 1 = 1 wahr und 0 > 1 falsch. Gleichungen oder Ungleichungen, bzw. mehrdimensionale Systeme von Gleichungen und Ungleichungen mit Variablen heißen Bestimmungsgleichungen bzw. ungleichungenund sind Aussageformen. Der einzige Unterschied zwischen Bestimmungsgleichungen und -ungleichungen besteht darin, daß bei letzteren an der Stelle des Gleichheitszeichens eine der Relationen >,,, <, steht. Für Gleichungen und Ungleichungen existieren Umformungen, die es ermöglichen, eine Aussageform in eine andere Aussageform mit derselben Lösungsmenge zu überführen, und die somit sehr nützlich dafür sind, die Lösungsmenge einer Ungleichung zu bestimmen, indem mit ihrer Hilfe die Aussageform nach der Unbekannten aufgelöst wird. Die wichtigsten dieser Umformungen sind nachfolgend für a, b, c R zusammengestellt: a<( ) b b>( ) a a<( ) b a + c<( ) b + c a<( ) b c>0 ca < ( ) cb a<( ) b c<0 ca > ( ) cb Man beachte, daß die Multiplikation einer Ungleichung mit einem Faktor c R, dessen Vorzeichen nicht bekannt ist, eine Fallunterscheidung für c>0 und c<0 erforderlich macht. Sei U eine Ungleichung der Form a b mit a und b als beliebige Ausdrücke, die eine unbekannte Variable enthalten. Eine Möglichkeit, deren Lösungsmenge L U zu bestimmen, ist, zunnächst die Lösungsmenge L G der Gleichung a = b zu berechnen. Es gilt dann L U = C R L G. 18

21 4 Gleichungen und Ungleichungen Beispiel 4.1: (i) Die Lösungsmenge der Ungleichung 2x 8mitx als Unbekannter ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich 4 sind, also das Intervall [4, ). (ii) Die Lösungsmenge der Ungleichung x +1 < 0mitx als Unbekannter ist die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als -1 sind, also das Intervall (, 1). (iii) Die Lösungsmenge der Ungleichung 3x 5 6x (2x +3)mit x als Unbekannter ist, wie die Kette 3x 5 6x (2x +3) Auflösen der Klammer 3x 5 6x 2x 3 Zusammenfassen der x-glieder 3x 5 4x x 2 4x 3x 2 x Ungleichung aufgelöst von Umformungen erbringt, das Intervall (, 2]. (iv) Um die Lösungsmenge der Ungleichung 5 1mitx als Unbekannter, an x welche zusätzlich die Forderung x 0 erhoben wird, zu bestimmen, wird zunächst der Fall x > 0 betrachtet. Die Multiplikation der Ungleichung mit x führt dann auf die Ungleichung 5 x. AlsoistdieLösungsmenge der urpsrünglichen Ungleichung für x>0 das Intervall L 1 =[5, ). Für den Fall x<0führt die Multiplikation der Ungleichung mit x hingegen auf die Ungleichung 5 x. Die Lösungsmenge der urpsrünglichen Ungleichung ist folglich für x<0 das Intervall L 2 =(, 0), und die gesamte Lösungsmenge ist L = L 1 L 2. Es existieren Arten von Ungleichungen, welche mit dem bisher behandelten Instrumentarium allein nicht gelöst werden können. Eine Ungleichung der Form a <b, a b, a >b a b oder a b mit a und b als beliebige Ausdrücke, die eine unbekannte Variable enthalten, heißt Ungleichung mit Absolutbetrag. Ist die Lösungsmenge einer solchen Ungleichung zu bestimmen, sind die nachfolgenden Äquivalenzen sehr hilfreich: 1. a <b a<b a<b 2. a b a b a b 3. a >b a>b a>b 4. a b a b a b 5. a b a b a b Um die Lösungsmenge L einer Ungleichung mit Absolutbetrag zu bestimmen, kann man gemäß dieser Äquivalenzen die Lösungsmengen L 1 und L 2 zweier dazu äquivalenter Ungleichungen ohne Absolutbetrag bestimmen. Im Falle der Verknüpfung, also in den Fällen 1, 2 und 5 bildet man dann L = L 1 L 2 und für die Verknüpfung, also in den Fällen 3 und 4, entsprechend L = L 1 L 2. 19

22 4 Gleichungen und Ungleichungen Beispiel 4.2: (i) Die Ungleichung x 5 x ist (nach 4.) äquivalent zu x 5 x x (5 x). } {{ } } {{ } U 1 := U 2 := Die Lösungsmenge der Ungleichung U 1 ist, wie die Kette x 5 x +x 2x 5 :2 x 5/2 Ungleichung aufgelöst von Äquivalenzumformungen erbringt, L 1 =(, 5/2]. Die Lösungsmenge der Ungleichung U 2 ist, wie die Kette x (5 x) Klammer auflösen x 5+x x 0 5 Falsche Aussage von Äquivalenzumformungen erbringt, L 2 =. DieLösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung ist also L = L 1 L 2 =(, 5/2]. (ii) Die Ungleichung 6 x < 8ist(nach1.)äquivalent zu 6 } {{ x<8 } (6 x) < 8. } {{ } U 1 := U 2 := Die Lösungsmenge der Ungleichung U 1 ist das offene Intervall L 1 =( 2, ), die Lösungsmenge der Ungleichung U 2 das offene Intervall L 2 =(, 14). Die Lösungsmenge der Ungleichung 6 x < 8 ist also L = L 1 L 2 =( 2, 14). Eine Ungleichung der Form x 2 + px + qb0, wobei B für eine der Relationen =,>,,,< oder steht,heißtquadratische Gleichung oder Ungleichung. Eine quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder zwei Lösungen in R, welche sich mit Hilfe der sogenannten pq-formel x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q berechnen lassen. Diese Formel besagt, daß die oben angegebene quadratische Gleichung für ( p 2 2) q>0zweilösungen hat, nämlich x 1 = p (p ) q und x2 = p (p ) q, 2 20

23 4 Gleichungen und Ungleichungen Fall (a): Fall (b): Fall (c): B 2Lösungen 1Lösung keine x u,x o x u,o Lösung > (,x u ) (x o, ) R \{x u,o } R (,x u ] [x o, ) R R [x u,x o ] {x u,o } < (x u,x o ) R \{x u,x o } R \{x u,o } R Tabelle 4.1: Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen für ( p 2) 2 q =0eineLösung, nämlich x 1 = x 2 = p 2 und für ( p 2) 2 q<0keinelösung, da die Wurzel einer negativen Zahl in R nicht definiert ist. 1 Beispiel 4.3: (i) Die Gleichung x 2 +2x 15 = 0 hat nach der pq-formel x 1,2 = 1 ± 1+15= 1 ± 4dieLösungsmenge {3, 5}. (ii) Die Gleichung x 2 +4x+10=0hatnachderpq-Formelx 1,2 = 2± 4 10 keine Lösung, da 6 nicht definiert ist. Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, sind zunächst etwa alle Lösungen der von der quadratischen Ungleichung abgeleiteten Gleichung x 2 + px + q =0 zu bestimmen. Die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung ergibt sich nun in Abhängigkeit von den Lösungen der quadratischen Gleichung und der Relation B gemäß Tabelle 4.1. Die in Tabelle 4.1 zusammengestellten Ergebnisse werden in Abbildung 5.2 veranschaulicht, in welcher für die drei Fälle (a), (b) und (c) jeweils eine durch eine entsprechende quadratische Gleichung beschriebene Parabel dargestellt ist. Beispiel 4.4: (i) Die zur quadratischen Ungleichung x 2 x 2 0gehörende Gleichung x 2 x 2 = 0 hat nach der pq-formel die beiden Lösungen x u = 1 und x o =2 mit x u <x o.dannistdielösungsmenge der betrachteten quadratischen Ungleichung das geschlossene Interval [ 1, 2]. 1 Tatsächlich ist die Wurzel einer negativen reellen Zahl eine komplexe Zahl in C. 21

24 4 Gleichungen und Ungleichungen x u x o x x u,o x x (a) (b) (c) Abbildung 4.1: Die drei Fälle beim Lösen quadratischer Ungleichungen (ii) Die zur quadratischen Ungleichung x 2 11x +24> 0gehörende Gleichung x 2 11x + 24 = 0 hat nach der pq-formel die beiden Lösungen x u = 3 und x o =8.Dannist(, 3) (8, ) dielösungsmenge der betrachteten quadratischen Ungleichung. (iii) Die quadratische Ungleichung x hat, wie man leicht erkennt, keine Lösung. Ihre Lösungsmenge ist daher. 4.2 Mehrdimensionale Gleichungs- und Ungleichungssysteme Auch Bestimmungsgleichungen- oder ungleichungen mit n = 2, 3,... Unbekannten sind Aussageformen, deren Lösungsmenge eine Menge von n-tupeln oder n- Vektoren aus Elementen der Grundmenge ist. Ein Gleichungs- bzw. Ungleichungssystem besteht aus mehreren Bestimmungsgleichungen und -ungleichungen, die dieselben Variablen enthalten. Offenbar können auch Systeme auftreten, die sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen enthalten. Die Menge der n-tupel von Zahlen, die gleichzeitig jede dieser Gleichungen und Ungleichungen erfüllen, heißt auch Lösungsmenge L des Gleichungs- bzw. Ungleichungssystems. Diese können wir für ein System von Gleichungen oder Ungleichungen A 1 (x),...,a k (x) mit x R n bestimmen, indem wir zunächst deren jeweilige Lösungsmenge L i mit i =1,...,k ermitteln. Es ist dann L = L 1 L 2... L k. Beispiel 4.5: (i) Die Bestimmungsgleichung 4x 1 +2x 2 =6mitVariablenx 1 und x 2 hat die 22

25 4 Gleichungen und Ungleichungen Lösungsmenge {(x 1,x 2 ) x 1 R x 2 =3 2x 1 }. (ii) Die Lösungsmenge der Bestimmungsungleichung x 1 x 2 > 0 mit Variablen x 1 und x 2 besteht aus den 2-Tupeln (x 1,x 2 ), für die gilt, daß x 1 und x 2 beide ungleich Null sind und das gleiche Vorzeichen haben. (iii) Die beiden Gleichungen x 1 + x 2 = 0 und x 1 x 2 = 0 bilden gemeinsam ein Gleichungssystem. Die Lösungsmenge der ersten Gleichung ist L 1 = {(x 1,x 2 ) x 1 R x 2 = x 1 },dielösungsmenge der zweiten Gleichung ist L 2 = {(x 1,x 2 ) x 1 R x 2 = x 1 }. Folglich ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems L = L 1 L 2 = {(0, 0)}. 4.3 Lineare Gleichungssysteme Gleichungssysteme, deren Einzelgleichungen alle in jeder Unbekannten linear sind, heißen lineare Gleichungssyteme. Sie kommen in den Wirtschaftswissenschaften häufig vor und sind wegen der Linearität leicht lösbar. Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Beispiel 4.6: (i) Um die Lösungsmenge des Gleichungssystems 2x +3y =14 } {{ } G 1 := und 4x y =0 } {{ } G 2 := mit den Variablen x und y zu bestimmen, kann man zunächst G 2 nach y auflösen und erhält dann y =4x. Ersetzt man nun in G 1 die Variable y durch 4x, ergibt sich 2x +3(4x) = 14. Die Lösung dieser Gleichung ist x =1.Mity =4x folgt y = 4.DieLösungsmenge des betrachteten Gleichungssystems ist also {(1, 4)}. (ii) Um die Lösungsmenge des Gleichungssystems x +2y =3 } {{ } G 1 := und 2x +4y 4=0 } {{ } G 2 := zu bestimmen, kann man zunächst G 1 nach x auflösen und erhält dann x =3 2y. Ersetzt man nun in G 2 x durch 3 2y, folgt die Gleichung 2(3 2y)+4y 4=0, die wegen 2 0 keine Lösung hat. Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist also leer. Ein effizienteres Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme, der sogenannte Gauss-Algorithmus, wird in der Vorlesung Mathematik II (Lineare Algebra) behandelt. 23

26 4 Gleichungen und Ungleichungen x 2 4 x x x 1 < x 1 x 2 1 ½ x 1 Abbildung 4.2: Lösungsmenge zu Beispiel 4.7 (i) 4.4 Zweidimensionale Ungleichungssysteme Im Fall mit zwei Variablen ist oft eine graphische Analyse in der euklidischen Ebene hilfreich. Es ist üblich, den Rand von Flächen für die Relationen und mit durchgezogenen und für < und > mit gestrichelten Linien darzustellen. Beispiel 4.7: (i) Um die Lösungsmenge des Ungleichungssystems U 1 : x 2 2+x 1 U 2 : x 2 1 1/2x 1 U 3 : x 1 < 3 mit den Variablen x 1 und x 2 graphisch zu bestimmen, zeichnen wir zunächst die zu jeder Ungleichung gehörende Gerade in die euklidische Ebene ein (Abbildung 4.2). Die Lösungsmenge zu den jeweiligen Ungleichungen U 1, U 2 oder U 3 entspricht jeweils der Halbebene rechts unterhalb, rechts oberhalb bzw. links dieser Geraden. Also ist die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist das grau markierte Dreieck ohne den rechten gestrichelten Rand (Abbildung 4.2). (ii) Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems U 1 : x x2 2 1 U 2 : x 2 x 1 24

27 4 Gleichungen und Ungleichungen x 2 1 x x x 1 1 x 2 x 1 Abbildung 4.3: Lösungsmenge zu Beispiel 4.7 (ii) mit Variablen x 1 und x 2 ist die grau dargestellte Schnittfläche der vom Einheitskreis 2 umschlossenen Fläche, welche die Lösungsmenge von U 1 darstellt, mit der Halbebene rechts oberhalb der Geraden x 2 = x 1,welchedieLösungsmenge von U 2 darstellt (Abbildung 4.3). 2 Ein Kreis mit dem Radius r R um den Ursprung wird durch die Gleichung x x2 2 = r2 beschrieben. 25

28 5 Folgen und Grenzwerte In diesem Kapitel werden Folgen und der für die Analysis grundlegende Begriff des Grenzwerts behandelt. 5.1 Folgen Definition 5.1 (Folge) Eine geordnete (unendliche) Liste von Zahlen (a 1,a 2,...,a n,...) heißt Folge (engl.: sequence) und wird mit (a n ) n N bezeichnet. Dabei heißt n der Index und die a n heißen Glieder der Folge. Falls klar ist, daß n N der Index ist wird meistens die verkürzte Schreibweise (a n ) oder einfach a n verwendet. Der erste Folgenindex ist oft auch 0 oder jede andere beliebige natürliche Zahl statt 1, also bedeutet oft auch (a n )=(a 0,a 1,...,a n,...). Wir legen uns diesbezüglich nicht fest und verwenden verschiedene Notationen je nach Zusammenhang. Folgen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Falls für eine Folge a n ein Folgenglied a n durch eine Funktionsgleichung nur in n angegeben ist, heißt dies geschlossene Darstellung. Bei einer rekursiven Darstellung einer Folge wird der Wert der ersten Folgenglieder a 1,...,a k angegeben und alle weiteren Folgenglieder n = k + 1,k+ 2,... durch frühere Folgenglieder ausgedrückt. Besonders einfach ist der Fall, bei dem für alle n N der Zusammenhang zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern a n und a n+1 über eine Funktionsgleichung beschrieben ist. Wenn klar ist, was mit damit gemeint ist, kann eine Folge auch durch Angabe einiger Folgenglieder und...beschrieben werden. Die rekursive Darstellung einer Folge ist oft unmittelbar aus der zu analysierenden Fragestellung heraus gegeben, während die geschlossene Darstellung einfacher zu analysieren ist. Daher ist es offenbar hilfreich, die rekursive Darstellung der betrachteten Folge in eine geschlossene Darstellung zu überführen. Dieses gelingt oftmals, indem man die ersten Folgenglieder notiert und darin eine strukturelle Gesetzmäßigkeit identifiziert, aus der sich eine geschlossene Darstellung der Folge ergibt. Der Beweis, daß die so gefundene geschlossene Darstellung tatsächlich die selbe Folge beschreibt wie die rekursive Darstellung, ist damit noch nicht erbracht, jedoch häufig mit Hilfe eines Induktionsbeweises leicht zu führen. 26

29 5 Folgen und Grenzwerte Beispiel 5.1: (i) Eine rekursive Darstellung der Folge a n =(0, 0, 0,...)ista 1 =0,a n+1 = a n. Die geschlossene Darstellung dieser Folge ist a n =0. (ii) Die rekursive Darstellung der Folge a n =(1, 3, 5,...)ista 1 =1,a n+1 = a n +2.Diezugehörige geschlossene Darstellung ist a n =2n 1. (iii) Bei der Folge (nt) t N steht n nicht für den Index der Folge sondern als Symbol für die Folgenglieder. Für eine eindeutige Bedeutung wäre in diesem Fall die weniger genaue Notation (nt) nicht ausreichend. Die ersten fünf Glieder dieser Folge sind n, 2n, 3n, 4n und 5n. (iv) Die Folge a n =(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...) besitzt die rekursive Darstellung a 0 = 1,a 1 =2,a n+2 = a n + a n+1. (v) Sei (K t ) eine Kapitalanlage mit Startkapital K 1 = K, die mit einem Zinssatz i pro Periode verzinst wird. Die Folge (K t ) t N beschreibt die Wertentwicklung der Kapitalanlage im Zeitablauf. Falls keine Ein- oder Auszahlungen stattfinden, gilt zwischen K t in Periode t N und K t+1 in der Folgeperiode t + 1 die rekursive Beziehung K t+1 = K t (1 + i). Aus den ersten vier Gliedern dieser Folge, K 1 = K, K 2 = K(1 + i), K 3 = K(1 + i) 2 und K 4 = K(1 + i) 3 ist leicht erkennbar, daß die geschlossene Darstellung dieser Folge gegeben ist durch K t = K(1 + i) t 1. Existiert für eine Folge a n ein reelle Zahl c R, sodaßfür alle n N die Beziehung a n+1 a n = c gilt, so heißt sie arithmetische Folge. Falls dagegen für eine Folge a n ein Konstante c R existiert, so daß für alle n N die Beziehung a n+1 a n = c gilt, so heißt sie geometrische Folge. Die geschlossenen Darstellungen der arithmetischen Folge und der geometrischen Folge (g n )sinda n ist a n = c(n 1) + d und g n = dc n 1 mit c, d R. Im vorhergehenden Beispiel sind (i),(ii) und (iii) arithmetische Folgen, (v) ist geometrische Folge und (iv) keines von beiden. 27

30 5 Folgen und Grenzwerte Eine Folge a n heißt monoton steigend bzw. streng monoton steigend, (engl.: strictly increasing), wenn für alle n N gilt a n+1 a n (bzw.> für streng ). Entsprechend wird fallende Monotonie definiert. Monoton ist eine Folge also genau dann, wenn die Veränderung zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern immer das gleiche Vorzeichen hat bzw. in die gleiche Richtung geht. Die Folge a n heißt nach unten bzw. nach oben beschränkt (engl.: bounded from below, above), wenn eine Konstante c R existiert, so daß für alle n N gilt a n c (bzw. ). Sie heißt beschränkt (engl.: bounded), wenn ein c R existiert, so daß für alle n N die Beziehung a n c gilt. Die Konstante c wird untere, obere bzw. einfach nur Schranke (engl.: lower bound, upper bound, bound) genannt. Eine Folge a n heißt alternierend (engl.: alternating), wenn für alle n N gilt: a n a n+1 < 0, also das Vorzeichen zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern alterniert, d.h. sich jeweils abwechselt. Beispiel 5.2: (i) Die Folge ( n + n) 1 ist streng monoton steigend. (ii) Die Folge (max{4 n, 0}), deren erste fünf Glieder 3, 2, 1, 0 und 0 sind, ist monoton aber nicht streng monoton fallend. 1 (iii) Die Folge (( 1) n ) ist alternierend und daher weder monoton steigend noch monoton fallend. (iv) Für die Folge a n mit a n =3+7n existiert mit c =3wegena n c für alle n N offensichtlich eine untere Schranke. Die Folge ist somit nach unten beschränkt. (v) Die Folge ( ) 1 n ist wegen 0 1 1für alle n N beschränkt. n (vi) Die Folge (( 2) n ) ist alternierend und weder nach unten noch nach oben beschränkt, da ihre Glieder beliebig groß und beliebig klein werden. 5.2 Konvergenz und Grenzwert Von besonderem Interesse im Zusammenhang mit Folgen a n ist ihr Verhalten für sehr große n. Insbesondere gilt unser Interesse dem Fall, daß eine Zahl existiert, der sich die Folgenglieder beliebig gut annähern wie die Folge ( 1 n) der Zahl 0. Die Begriffe Konvergenz und Grenzwert präzisieren dieses Verhalten. 1 Dabei nimmt max{x, y} für x y den Wert x und für x<yden Wert y an. Es ist also beispielsweise max{3, 4} =4. 28

31 5 Folgen und Grenzwerte Definition 5.2 (Konvergenz und Grenzwert) Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent (engl.: convergent) genau dann, wenn es ein a R gibt, so daß für alle ε>0 ein n(ε) > 0 mit a n a ε für alle n n(ε) existiert. Man schreibt dann lim a n = a oder a n a n und sagt, a n konvergiere gegen den Grenzwert (engl.: limit) a. Zeichnet man ein Intervall mit Radius ε um a, so müssen alle Folgenglieder außer den ersten n(ε) 1 in diesem Intervall liegen, gleichgültig wie klein der Radius ε um a gewählt wurde. Mit anderen Worten, eine Folge a n konvergiert genau dann gegen a, wenn der Abstand zwischen den Folgengliedern und a ab einem bestimmten n(ε) jedes noch so kleine vorgegebene ε>0 nicht überschreitet. Beispiel 5.3: (i) Es gilt 1 0, da für jedes vorgegebene ε>0 die gesuchte Grenze durch n n(ε) = 1 gegeben ist, denn für alle n n(ε) gilt ε 1 n 0 = 1 n 1 1 = ε ε. (ii) Die konstante Folge (c) mitc R konvergiert offenbar gegen c. (iii) Die Folgen (( 1) n ) und (2 n ) konvergieren nicht. Satz 5.1 Jede Folge besitzt höchstens einen Grenzwert. Beweis. Indirekt: Angenommen, eine Folge a n habe mehr als einen Grenzwert also Grenzwerte a und a mit a a.sei ε = 1 4 a a (vgl. Abbildung 5.1). Dann existiert wegen a n a ein n(ε) mit a n a ε für alle n n(ε). Außerdem existiert wegen a n a auch ein n (ε) mit a n a ε für alle n n (ε). Sei nun m =max{n(ε),n (ε)}. Dann ist offenbar a m a + a m a < 2ε. Die sogenannte Dreiecksungleichung sagt aus, daß für alle x, y R gilt x+y x + y.daherist a m a + a m a = a m a + a a m a m a + a a m = a a, so daß insgesamt folgt: a a 2ε 29