Aussagenlogik und elementare Beweistechniken

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1 Kapitel 2 Aussagenlogik und elementare Beweistechniken In der Mathematik versucht man immer wieder, vorhandene Kenntnisse über einfache Sachverhalte auf schwierigere Problemstellungen zu übertragen. Zur Formulierung der dazu notwendigen logischen Schlussfolgerungen bedient sich die Mathematik der Aussagenlogik, von der in diesem Kapitel eine kurze Einführung gegeben wird. Außerdem stellen wir zwei häufig verwendete Beweismethoden vor. 2.1 Grundlagen der Aussagenlogik Zwischenmenschliche Kommunikation erfolgt häufig durch Aussagen, die als richtig oder falsch bewertet werden können. Im täglichen Leben ist der Wahrheitsgehalt einer Aussage allerdings meist subjektiv gefärbt, wie die Beispiele Mit einem anderen Kanzlerkandidaten hätten wir die Wahl gewonnen, Der Karlsruher SC gehört in die erste Liga, Du hast schöne Augen, Ich kann nichts dafür zeigen. Im Gegensatz dazu wird für mathematische Aussagen ein eindeutiger Wahrheitswert gefordert. Definition 2.1 Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde mit eindeutigem Wahrheitswert (W für wahr, F für falsch ). 29 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2018 M. Neher, Anschauliche Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1 / / _2

2 30 Kapitel 2. Aussagenlogik und elementare Beweistechniken Beispiel Katzen sind Säugetiere ist eine wahre Aussage ist größer als 1 ist eine wahre Aussage ist größer als 3 ist eine falsche Aussage. 4. Haben Sie das verstanden? ist keine Aussage, sondern eine Frage. 5. Gehe nicht über Los! ist keine Aussage, sondern eine Aufforderung. 6. Sätze mit subjektivem Wahrheitsgehalt sind keine Aussagen im mathematischen Sinn. Durch logische Verknüpfungen von Aussagen entstehen neue Aussagen, deren Wahrheitsgehalt ausschließlich vom Wahrheitsgehalt der ursprünglichen Aussagen abhängt. Diese Abhängigkeit wird in Wahrheitstabellen veranschaulicht Die Negation (Verneinung) Zu einer Aussage A bezeichnet Ā oder A (lies nicht A ) die Negation (logische Verneinung). Ist A wahr, so ist Ā falsch. Ist A falsch, so ist Ā wahr. Dies wird in der folgenden Wahrheitstabelle dargestellt: A W F Ā F W Aus der Wahrheitstabelle kann man ablesen, dass Ā = A gilt. Beispiel Es sei A: Die Ampel ist rot. Dann lautet Ā: Die Ampel ist nicht rot. Beachte: Die Ampel ist grün ist nicht das logische Gegenteil der Aussage A. 2. Es sei A: x > 2. Dann lautet Ā: x 2. Beachte: Für jedes x R ist genau eine der beiden Aussagen A und Ā richtig und die jeweils andere Aussage falsch. Betrachtet man außerdem noch die Aussage B: x < 2, dann sind für x = 2 sowohl A als auch B falsch. B kann daher nicht das logische Gegenteil von A sein.

3 2.1. Grundlagen der Aussagenlogik Es sei A: Nachts sind alle Katzen grau. Dann lautet Ā: Nachts sind nicht alle Katzen grau. Eine äquivalente Formulierung von Ā lautet: Es gibt (mindestens) eine Katze, die nachts nicht grau ist. Beachte: Die logische Verneinung von für alle Elemente einer Menge gilt ist nicht für kein Element der Menge gilt, sondern es gibt (mindestens) ein Element der Menge, für das die behauptete Eigenschaft nicht gilt Die Konjunktion Werden zwei Aussagen A 1 und A 2 mit und verknüpft, so bezeichnet man dies als Konjunktion und schreibt kurz A 1 A 2. Dabei gilt folgende Wahrheitstabelle: A 1 A 2 A 1 A 2 W W W W F F F W F F F F Die Und-Verknüpfung (Konjunktion) ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Beispiel Die Hauptstadt von Frankreich liegt an der Seine und heißt Paris ist wahr. 2. Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein und an der Mosel ist falsch. 3. Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein und an der Seine ist falsch. 4. (1 < 2) (2 < 3) ist wahr. 5. (4 < 1) (4 < 2) ist falsch. 6. (1 < 2) (4 < 2) ist falsch Die Disjunktion Mit Disjunktion bezeichnet man die Verknüpfung zweier Aussagen A 1 und A 2 mit oder und schreibt dafür kurz A 1 A 2. Es gilt folgende Wahrheitstabelle:

4 32 Kapitel 2. Aussagenlogik und elementare Beweistechniken A 1 A 2 A 1 A 2 W W W W F W F W W F F F Die Oder-Verknüpfung (Disjunktion) ist wahr, wenn mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr ist. Beachte: Es handelt sich hierbei nicht um entweder-oder! Beispiel Die Hauptstadt von Frankreich liegt an der Seine oder sie heißt Paris ist wahr (kein entweder-oder). 2. Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein oder an der Mosel ist falsch. 3. Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein oder an der Seine ist wahr. 4. (1 < 2) (2 < 3) ist wahr. 5. (4 < 1) (4 < 2) ist falsch. 6. (1 < 2) (4 < 2) ist wahr de Morgan sche Gesetze der Aussagenlogik Die de Morgan schen Gesetze regeln die Verneinung von Konjunktionen und Disjunktionen. Satz 2.6 Für den Wahrheitswert der aus zwei Aussagen A 1 und A 2 wie folgt verknüpften Gesamtaussage gilt: 1. A 1 A 2 = Ā1 Ā2. 2. A 1 A 2 = Ā1 Ā2. Beweis: Von 1.: A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 Ā 1 Ā 2 Ā 1 Ā2 W W W F F F F W F F W F W W F W F W W F W F F F W W W W Von 2.: Analog.

5 2.1. Grundlagen der Aussagenlogik 33 Beispiel Das logische Gegenteil der falschen Behauptung Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein und an der Mosel lautet Die Hauptstadt von Frankreich liegt nicht am Rhein oder nicht an der Mosel. Diese Aussage ist wahr. 2. Das logische Gegenteil der wahren Feststellung Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein oder an der Seine ist die falsche Aussage Die Hauptstadt von Frankreich liegt weder am Rhein noch an der Seine. 3. (1 < 2) (4 < 2) = (1 2) (4 2) ist wahr. 4. (1 < 2) (4 < 2) = (1 2) (4 2) ist falsch Die Implikation Konditionalsätze, wenn dann -Aussagen, stellen nicht nur beim Erlernen der englischen Sprache eine hohe Hürde dar. Sie sind auch die schwierigste Art und Weise, zwei Aussagen zu verknüpfen, wenn es darum geht, den Wahrheitswert der Gesamtaussage zu bestimmen. Wir stellen einen Auszug aus Lewis Caroll s Alice in Wonderland voran, welcher die Problematik ebenso subtil wie humorvoll beleuchtet. Then you should say what you mean, the March Hare went on. I do, Alice hastily replied; at least at least I mean what I say that s the same thing, you know. Not the same thing a bit! said the Hatter. You might just as well say that I see what I eat is the same thing as I eat what I see! You might just as well say, added the March Hare, that I like what I get is the same thing as I get what I like! You might just as well say, added the Dormouse, which seemed to be talking in its sleep, that I breathe when I sleep is the same thing as I sleep when I breathe! It is the same thing with you, said the Hatter, and here the conversation dropped, and the party sat silent for a minute. Lewis Caroll demonstriert hier, dass die Verknüpfungen wenn A 1 dann A 2 und wenn A 2 dann A 1 nicht dasselbe ausdrücken. Wir gehen einen Schritt weiter und erarbeiten die Wahrheitstabelle der Implikation A 1 A 2 ( wenn A 1 dann A 2 bzw. aus A 1 folgt A 2 ) am Beispiel der politischen Willenserklärung Ich unterschreibe keinen Koalitionsvertrag, in dem die PKW-Maut nicht drinsteht. In mathematischer Sprechweise würde man dies durch Siebenschläfer

6 34 Kapitel 2. Aussagenlogik und elementare Beweistechniken Wenn die PKW-Maut nicht im Koalitionsvertrag steht, unterschreibe ich den Koalitionsvertrag nicht. mit den Teilaussagen A 1 : Die PKW-Maut steht nicht im Koalitionsvertrag., A 2 : Ich unterschreibe den Koalitionsvertrag nicht. ausdrücken. Dann ist die Gesamtaussage A 1 A 2 wahr (der Politiker hat seine Wähler nicht getäuscht), wenn die PKW-Maut nicht im Koalitionsvertrag steht (A 1 ist wahr) und er den Vertrag nicht unterschreibt (A 2 ist wahr), die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht (A 1 ist falsch) und er den Vertrag unterschreibt (A 2 ist falsch), oder die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht (A 1 ist falsch) und er den Vertrag trotzdem nicht unterschreibt (A 2 ist wahr). Die Gesamtaussage ist nur falsch (der Politiker hat sein Wahlversprechen gebrochen), wenn die PKW-Maut nicht im Koalitionsvertrag steht (A 1 ist wahr) und er dennoch den Vertrag unterschreibt (A 2 ist falsch). Somit gilt für die Implikation die folgende Wahrheitstabelle: A 1 A 2 A 1 A 2 W W W W F F F W W F F W Man beachte, dass die Implikation A 1 A 2 immer wahr ist, wenn A 1 falsch ist. Auf den Wahrheitsgehalt von A 2 kommt es dabei nicht an. In der Praxis entspricht dies der Erfahrungstatsache, dass Schlussfolgerungen, die aus einer fehlerhaften Annahme gezogen werden, falsch sein können. Das Beispiel aus der Politik kann man noch weiterführen. Wie hätte der Politiker auf die doppelte Verneinung verzichten können, um dasselbe auszudrücken? Der Ansatz Ā 1 Ā2 liefert nicht das Richtige. Die Aussage Ā1 Ā2 lautet in diesem Beispiel Wenn die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht, unterschreibe ich den Koalitionsvertrag.

7 2.1. Grundlagen der Aussagenlogik 35 Die so formulierte Aussage würde man nicht als falsch werten, wenn der Politiker den Koalitionsvertrag auch unterschreibt, ohne dass die PKW-Maut darin erwähnt wird. Daher kann sie nicht äquivalent zur ursprünglichen Aussage sein. Will man die Teilaussagen einer Implikation unter Einhaltung des Wahrheitsgehalts der Gesamtaussage verneinen, muss man die Reihenfolge der Teilaussagen vertauschen. Die Implikationen A 1 A 2 und Ā2 Ā1 besitzen die gleiche Wahrheitstabelle. Im Beispiel lautet Ā 2 Ā1 Wenn ich den Koalitionsvertrag unterschreibe, steht die PKW-Maut darin. Wie die ursprünglichen Aussage ist diese Gesamtaussage nur falsch, wenn die PKW- Maut nicht im Koalitionsvertrag steht (Ā1 ist falsch, also A 1 wahr) und der Politiker dennoch den Vertrag unterschreibt (Ā2 ist wahr, also A 2 falsch) Notwendige und hinreichende Bedingungen Viele mathematische Sätze werden als Implikation A 1 A 2 formuliert. Im Beweis eines solchen Satzes wird die Aussage A 1 durch logisches Schließen so lange umgeformt, bis man die Aussage A 2 erhält. Wenn man dabei keinen Fehler begeht, ist die Gesamtaussage A 1 A 2 wahr. Die Wahrheitstabelle der Implikation erlaubt dann gewisse Schlussfolgerungen vom Wahrheitswert einer Teilaussage auf den Wahrheitswert der anderen: 1. Ist die Aussage A 1 eine bekannte wahre Tatsache, dann ist auch die Aussage A 2 wahr: A 1 ist eine hinreichende Erklärung für A Die Aussage A 2 muss wahr sein, damit A 1 wahr sein kann: A 2 ist notwendig für A 1. Falls A 2 falsch ist, gilt dies auch für A 1. Definition 2.8 Gilt für die Aussagen A 1 und A 2 die Implikation A 1 A 2, so heißt A 1 hinreichend für A 2 und A 2 heißt notwendig für A 1. Man kann dies auch so ausdrücken: A 1 ist hinreichend für A 2 bzw. A 2 notwendig für A 1, wenn aus der wahren Aussage A 1 durch logisches Schließen folgt, dass dann auch A 2 wahr ist. Beispiel Um den deutschen Bundestag wählen zu dürfen (A 1 ), muss man volljährig sein (A 2 ): Volljährigkeit ist eine notwendige Voraussetzung. Steht eine Person im Wählerverzeichnis, ist dies eine hinreichende Erklärung für ihre Volljährigkeit (A 1 A 2 ). Volljährigkeit allein ist jedoch nicht hinreichend für die Wahlberechtigung, die zusätzlich die deutsche Staatsbürgerschaft voraussetzt (A 2 A 1 gilt nicht). Ebenso benötigt man keine Wahlberechtigung, um volljährig zu sein.

8 36 Kapitel 2. Aussagenlogik und elementare Beweistechniken 2. In der obigen Erklärung des Politikers ist die PKW-Maut im Koalitionsvertrag eine notwendige Bedingung für seine Unterschrift. Umgekehrt ist die Unterschrift eine hinreichende Erklärung dafür, dass die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht Die Äquivalenz Gilt für zwei Aussagen A 1 und A 2 sowohl A 1 A 2 als auch A 2 A 1, dann heißen die Aussagen A 1 und A 2 äquivalent. Man schreibt dafür A 1 A 2 ( A 1 genau dann wenn A 2 ). Äquivalenz bedeutet, dass die beiden Aussagen gegenseitig notwendig und hinreichend sind. Beispiel 2.10 Die Aussagen A 1 : Die Zahl n ist gerade und A 2 : Die Zahl n besitzt die Darstellung n = 2 k mit einer natürlichen Zahl k sind äquivalente Formulierungen desselben Sachverhalts. Die Gesamtaussage A 1 A 2 ist wahr, wenn entweder beide Aussagen wahr oder beide Aussagen falsch sind. Dies wird in der folgenden Wahrheitstabelle festgelegt: A 1 A 2 A 1 A 2 W W W W F F F W F F F W 2.2 Der indirekte Beweis Die Methode des indirekten Beweises verwendet man vorzugsweise dann, wenn eine Aussage A auf direktem Weg schwer zu beweisen ist. Die Idee des indirekten Beweises besteht darin, die Aussage A zu Ā zu negieren und zu zeigen, dass Ā falsch ist. Der indirekte Beweis wird häufig angewendet, um zu zeigen, dass alle Elemente einer Menge eine gewisse Eigenschaft besitzen. Beim direkten Beweis müsste man die behauptete Eigenschaft für jedes Element nachweisen. Beim indirekten Beweis nimmt man an, dass es ein Element gibt, das die Eigenschaft nicht besitzt, und konstruiert daraus einen Widerspruch zu einer bekannten Tatsache. Wir illustrieren dies an zwei Beispielen. Lemma 2.11 Es sei a N und a 2 sei gerade. Dann ist a gerade.

9 2.3. Vollständige Induktion 37 Beweis (indirekt): Annahme: Es gibt eine ungerade natürliche Zahl a, für die a 2 gerade ist (dies ist die Negation der Aussage des Lemmas). Dann existiert eine natürliche Zahl n, sodass a = 2n 1 gilt, und es folgt a 2 = (2n 1) 2 = }{{} 4n 2 }{{} 4n +1. gerade gerade Damit ist a 2 ist im Widerspruch zur Annahme ungerade. Die Annahme ist also falsch und somit die Aussage des Lemmas richtig. Satz 2.12 Es gibt keine rationale Zahl, die den Wert 2 besitzt. Beweis (indirekt): Annahme: Die Zahl 2 ist rational. Dann gibt es natürliche Zahlen p und q mit 2 = p. OBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit, d.h. ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit des Beweises) dürfen p und q als teilerfremd angenommen q werden, da man den Bruch sonst kürzen kann. Durch Quadrieren folgt 2 = p2 q 2 p2 = 2q 2. Die Zahl p 2 ist also gerade, und somit auch p selbst gemäß Lemma Setzt man p = 2r für ein r N, folgt weiter 2q 2 = (2r) 2 = 4r 2 q 2 = 2r 2. Also ist auch q 2 gerade, und nach Lemma 2.11 muss dann auch q gerade sein. Sind p und q aber beide gerade, dann sind sie nicht teilerfremd. Daher muss die obige Annahme falsch sein, sodass die Aussage des Satzes richtig und 2 irrational ist. 2.3 Vollständige Induktion Eine zu beweisende Aussage A n, in der eine natürliche Zahl n als Parameter auftritt, kann man formal als unendlich viele Aussagen auffassen, die alle bewiesen werden sollen. Die Idee der vollständigen Induktion besteht darin, die gegebene Aussage im ersten Beweisschritt für n = 1 zu beweisen und in einem zweiten Beweisschritt zu zeigen, dass die Behauptung auch für den Parameterwert n+1 gilt, wenn sie für den (nun beliebig gewählten) Parameterwert n richtig ist. Man schließt ohne dies im Einzelnen auszuführen von A 1 auf A 2, von A 2 auf A 3, von A 3 auf A 4, u.s.w. Gegeben sei eine von n N abhängige Aussage A n. Der Beweis durch vollständige Induktion gliedert sich in die zwei Schritte 1. Induktionsanfang: Man beweist die Aussage A 1 (A n für n = 1). 2. Induktionsschritt:

10 38 Kapitel 2. Aussagenlogik und elementare Beweistechniken a) Induktionsvoraussetzung: Es wird vorausgesetzt, dass A n für einen beliebigen, fest gewählten Wert von n richtig ist. b) Induktionsschluss: Es wird gezeigt, dass dann auch A n+1 richtig ist. Beispiel 2.13 Behauptung: Für alle n N gilt die Summenformel n k = 1 2 n(n + 1). n+1 Beweis durch vollständige Induktion: IA: n = 1: IV: n n Abb. 2.1: Summenformel. 1 k = 1 = 1 1 (1 + 1), d.h. die Aussage ist wahr für n = 1. 2 k = 1 n(n + 1) gelte für ein (beliebiges, aber fest gewähltes) n N. 2 IS (A n A n+1 ): Zu zeigen ist: Beweis: n+1 k = 1 (n + 1)(n + 2). 2 n+1 ( n ) k = k + (n + 1) = IV 1 n(n + 1) + (n + 1) 2 ( 1 ) = (n + 1) 2 n + 1 = 1 (n + 1)(n + 2). 2 Beispiel 2.14 Behauptung: Für h 1 und alle n N gilt die Bernoulli sche Ungleichung (1 + h) n 1 + nh. (2.1) Im Fall h > 0 folgt die Bernoulli sche Ungleichung sofort aus dem binomischen Lehrsatz, denn dann sind alle Summanden in (1.1) positiv. Für h = 0 oder h = 1 ist die Behauptung ebenfalls offensichtlich richtig. Schwierig zu zeigen ist nur der Fall h ( 1, 0). Der folgende Induktionsbeweis ist für alle h 1 gültig. Beweis durch vollständige Induktion: IA: n = 1: Es ist (1+h) 1 = 1+h = 1+1 h. Die Aussage A 1 : (1+h) h ist also wahr (denn trifft zu, wenn > oder = gilt).

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