Eigenschaften von Relationen. Relationen können rechtseindeutig linkseindeutig rechtstotal linkstotal sein.

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1 Eigenschaften von Relationen w d a c b x z y u Relationen können rechtseindeutig linkseindeutig rechtstotal linkstotal sein.

2 Rechtseindeutige Relationen d M a c b N w x z y u Eine Relationen heißt rechtseindeutig, wenn es zu jedem x M höchstens ein y N gibt, sodass (x, y) R ist. Anders ausgedrückt: Wenn (x, y 1 ) R und (x, y 2 ) R, dann ist y 1 = y 2.

3 Linkstotale Relationen d M a c b? x z N w y u Eine Relationen heißt linkstotal, wenn es zu jedem x M mindestens ein y N gibt, sodass (x, y) R ist.

4 Funktionen (Informatik) Eine Relation, die rechtseindeutig ist, heißt (partielle) Funktion. Eine Funktion, die außerdem noch linkstotal ist, heißt totale Funktion. (Eine totale Funktion ist also eine Relation, die rechtseindeutig und linkstotal ist.)

5 Mathematik: Achtung Begriffsverwirrung! Funktion = rechtseindeutig und linkstotal Informatik: Funktion = rechtseindeutig totale Funktion (linkstotal) partielle Funktion (nicht linkstotal)

6 Funktionen (Mathematik) Eine Relation, die zugleich rechtseindeutig und linkstotal ist, heißt Funktion. Funktionen sind also Relationen, bei denen es zu jedem x M genau ein y N gibt, sodass (x, y) R ist.

7 (Totale) Funktionen erkennt man in der Aufzählung daran, dass jedes x M in genau einem Paar vorkommt in der Tabelle daran, dass zu jedem Wert x M genau ein Eintrag in der Tabelle existiert im Venn-Diagramm daran, dass von jedem x M genau ein Pfeil ausgeht in der grafischen Darstellung im Koordinatensystem daran, dass auf jeder Senkrechten durch x M genau ein Punkt des Graphen liegt

8 Schreibweise Funktionen Funktionen werden häufig mit f, g, h,... bezeichnet. Für eine (totale) Funktion f schreibt man f: M N statt f M x N und y = f(x) statt (x, y) f Bei partiellen Funktionen schreibt man f: M - -> N statt f M x N und y = f(x) statt (x, y) f und f(x) = undef falls x in keinem Paar aus f vorkommt.

9 Ausgangs- und Zielmenge Für eine Funktion f : M N oder f: M - - > N heißt M die Ausgangsmenge (Ausgangsbereich) und N die Zielmenge. Dabei müssen, wie schon bemerkt, nicht alle Elemente aus M bzw aus N tatsächlich in einem Paar der Funktion (Relation) vorkommen.

10 Definitons- und Wertebereich Die Menge aller Elemente aus M, die tatsächlich in einem Paar vorkommen, heißt Definitonsbereich der Funktion. In Zeichen: D f = { x M es exist. ein y N, sodass (x, y) f} Die Menge aller Elemente aus N, die tatsächlich in einem Paar vorkommen, heißt Wertebereich der Funktion. In Zeichen: W f = { y N es exist. ein x M, sodass (x, y) f}

11 Beispiel M = {7, 8, 9, 10, 11, 12} N = {1, 2, 3,... 9} f = {(7, 9), (8, 4), (9, 1), (11, 1), (12, 4)} ist eine Funktion, aber nicht total, sondern nur partiell.

12 Darstellung von Funktionen Funktionen können als Aufzählung von Paaren durch eine beschreibende Eigenschaft mit Tabelle (Wertetabelle) graphisch im Koordinatensystem dargestellt werden.

13 Funktionsvorschrift Die (aus der Schule) bekannte Darstellung mittels Funktionsvorschrift ist eine spezielle Form der beschreibenden Darstellung. Wenn alle Paare der Funktion einem einheitlichen Bildungsgesetz gehorchen, gibt man dieses als Formel (Zuordnungsvorschrift) an. f : IR IR mit f(x) = 2x + 3 ist eine andere Schreibweise für f = {(x, y) IR 2 y = 2x + 3}

14 Abschnittsweise definierte Funktionen Man kann nicht immer eine einheitliche Formel für alle Paare einer Funktion finden: f : IR - -> IR mit -1/x für x < 0 f(x) = undef für x = 0 1/x für x > 0

15 Komposition von Funktionen Auch Funktionen lassen sich verketten (komponieren oder hintereinander ausführen): f : A - -> B g : B - -> C, dann ist h = g f : A - -> C h(x) = g(f(x)) definiert durch Achtung1: Reihenfolge! Achtung2: Nicht mit der Konkatenation von Sprachen verwechseln!

16 Verkettung von Funktionen im Diagramm f : A - -> B g: B - -> C, h = g f : A - -> C A c a b B m q n p C u w v

17 Verkettung von Funktionen mit Funktionsvorschrift f : A - -> B g: B - -> C, f(x ) = x+3 g(x) = 2x h = g f : A - -> C h(x) = g(f(x)) = g(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6

18 Verkettung von Relationen Übrigens: die Verkettung (Komposition) läßt sich bereits für Relationen definieren: f A x B g B x C, h = g f A x C h = { (x, z) es gibt ein y B, sodass (x, y) f und (y, z) g}

19 Rekursive Funktionen Eine Funktion heißt rekursiv, wenn zur Bestimmung eines Funktionswertes auf andere, vorher zu bestimmende Werte derselben Funktion zurückgegriffen werden muss. Dieses Zurücklaufen muss natürlich einen Anfang haben. Dh. es muss Anfangswerte geben, die sich ohne Rückgriff auf andere Werte bestimmen lassen.

20 Beispiel Fakultätsfunktion Die Funktion fak: IN IN fak(n) = n (was auch als n! geschrieben wird) läßt sich rekursiv definieren: fak(n) = 1 für n = 1 n. fak(n-1) für n > 1

21 Mehrstellige Funktionen Ist der Ausgangsbereich einer Funktion selbst bereits das Kreuzprodukt mehrerer Mengen, so spricht man von einer mehrstelligen Funktion. Beispiel: sum : IR x IR IR sum(x, y) = x + y

22 Nicht-arithmetische Funktionen Ist der Ausgangsbereich und Zielbereich von Funktionen müssen nicht immer Zahlmengen sein. Beispiele: 1) spiegel : Σ Σ spiegel(a 1 a 2... a n ) = a n a n-1... a 1 2) equals : M x M IB true falls x = y equals(x, y) = false sonst

23 Boole sche Funktionen Die sogenannten Boole schen Funktionen wie z.b. AND: IB x IB IB, OR : IB x IB IB und NOT : IB IB werden durch ihre Wertetabellen definiert: AND OR NOT