4 Funktionen und Gleichungen Funktionen und Gleichungen

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1 4 Funktionen und Gleichungen 66 4 Funktionen und Gleichungen Funktionen sind ganz grundlegende Objekte der Mathematik und nehmen daher auch im Schulunterricht einen breiten Raum ein. Normalerweise wird bei Funktionen der Zuordnungsaspekt herausgestellt, dass also gewissen mathematischen Objekten (meistens Zahlen) andere mathematische Objekte zugeordnet werden. In den vorhergehenden Kapiteln haben wir mit den geometrischen Abbildungen ebenfalls Funktionen kennen gelernt. Hier waren die mathematischen Objekte Punkte (Kapitel ) bzw. Vektoren (Kapitel 3). 4.1 Grundbegriffe In diesem Abschnitt soll, sozusagen in einem kleinen Schlenker abseits von unserer Hauptstraße, aufgezeigt werden, was in der Mathematik recht abstrakt unter einer Funktion verstanden wird. Einerseits werden wir diesen abstrakten Weg nicht weiter verfolgen, dennoch öffnet er den Blick auf manche Grundbegriffe und probleme. Um eine Funktion zu definieren brauchen wir zwei Mengen, A und B. Als nehmen wir für A die Menge der ersten 10 Buchstaben des lateinischen Alphabets, also A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} und für B die Menge der Ziffern, also B = {0, 1,,..., 9}. Zu diesen beiden Mengen bilden wir das Kreuzprodukt, was einfach nur bedeutet, dass Paare gebildet werden. Dabei wird die erste Position mit Elementen der ersten Menge A belegt, im also die Buchstaben, und die zweite Position mit den Elementen der zweiten Menge B, im die Ziffern. Definition 4.1 (kartesisches Produkt) Gegeben sind zwei Mengen A und B. Dann versteht man unter dem kartesischen Produkt (nach René Descartes) die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a aus A und b aus B. Formal: A B = (a,b) a A und b B { } Wenn man, wie im obigen endliche, nicht zu große Mengen hat, so kann man das kartesische Produkt sehr anschaulich und übersichtlich aufschreiben A B = { (a,0) (b,0) (c,0) (d,0) (e,0) (f,0) (g,0) (h,0) (i,0) (j,0) (a,1) (b,1) (c,1) (d,1) (e,1) (f,1) (g,1) (h,1) (i,1) (j,1) (a,) (b,) (c,) (d,) (e,) (f,) (g,) (h,) (i,) (j,)... (a,9) (b,9) (c,9) (d,9) (e,9) (f,9) (g,9) (h,9) (i,9) (j,9)}

2 4 Funktionen und Gleichungen 67 Wichtig ist in dieser Anordnung, dass die Paare in einer Spalte dasselbe Element aus A an der ersten Position haben und die Paare in einer Zeile dasselbe Element aus B an der zweiten Position. Trifft man nun irgend eine Auswahl aus dem kartesischen Produkt, so spricht man von einer Relation. Für die Auswahl gibt es keine Bedingung, sie kann beliebig sein (was dann die Relation letztlich auch vollkommen abstrakt und ohne tieferen Sinn macht). Definition 4. (Relation) Gegeben sind zwei Mengen A und B. Dann versteht man unter einer Relation r zwischen den Mengen A und B eine (beliebige) Teilmenge des kartesischen Produktes A B. Formal: r A B So könnte eine Relation r zwischen den Mengen A und B unseres s sein: r = { (a,0) (a,1) (b,9) (c,5) (h,7) (h,0) (w,5) (x,8) (x,) (x,7) (z,0) } Dieser Aufzählung können wir dann z.b. entnehmen, dass h in Relation zu 7 ist, aber e nicht in Relation zu irgend einer Ziffer ist. Eine bekannte, sinnvolle Relation ist z.b. die Kleinerrelation auf der Menge der Zahlen. Für ein endliches nehmen wir die Menge A = {1,, 3, 4, 5} und B = A. Dann ist das kartesische Produkt, übersichtlich geschrieben, A A = { (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,) (,) (3,) (4,) (5,) (1,3) (,3) (3,3) (4,3) (5,3) (1,4) (,4) (3,4) (4,4) (5,4) (1,5) (,5) (3,5) (4,5) (5,5)} Die Kleinerrelation k ist dann die Teilmenge von A A, in der das erste Element kleiner ist als das zweite, also k = {(1,) (1,3) (,3) (1,4) (,4) (3,4) (1,5) (,5) (3,5) (4,5)}. Eine Funktion ist nun eine spezielle Relation speziell in dem Sinn, dass bei der Auswahl der Paare eine Bedingung zu beachten ist. Definition 4.3 (Funktion) Gegeben sind zwei Mengen A und B. Dann versteht man unter einer Funktion f zwischen den Mengen A und B eine Teilmenge des kartesischen Produktes A B, die für die Zuordnung des zweiten Elementes aus B eindeutig ist. Formal: f A B und (a,b 1 ) f und (a,b ) f b 1 = b Diese Eindeutigkeitsforderung nennt man rechtseindeutig. Sie macht die übliche Schreibweise f(a) = b sinnvoll, die aussagt, dass a,b ( ) f

3 4 Funktionen und Gleichungen 68 Diese Eindeutigkeit ist leicht zu überprüfen. Die oben gegebene Relation r ist keine Funktion, da es z.b. zwei verschiedene Elemente aus r gibt, die als erstes Symbol ein h haben, nämlich (h,7) und (h,0). Das Symbol h steht also sowohl zur 7 als auch zur 0 in Relation, was die Bedingung für eine Funktion verletzt. f = { (a,0) (c,1) (e,9) (g,5) (i,1) } ist dagegen eine Funktion zwischen A und B, denn den ausgewählten Buchstaben wird eindeutig eine Ziffer zugeordnet. Eine zweite, noch leichtere Überprüfung der Funktionseigenschaft erhält man, wenn das kartesische Produkt in der oben dargestellten, übersichtlichen Form aufgeschrieben ist. Eine Funktion kann man dann dadurch definieren, dass man die Elemente, die zu f gehören, in dem rechteckig aufgeschriebenen kartesischen Produkt A B markiert. Die Funktionseigenschaft zeigt sich dadurch, dass maximal ein Element in jeder Spalte markiert ist. A B = { (a,0) (b,0) (c,0) (d,0) (e,0) (f,0) (g,0) (h,0) (i,0) (j,0) (a,1) (b,1) (c,1) (d,1) (e,1) (f,1) (g,1) (h,1) (i,1) (j,1) (a,) (b,) (c,) (d,) (e,) (f,) (g,) (h,) (i,) (j,) (a,3) (b,3) (c,3) (d,3) (e,3) (f,3) (g,3) (h,3) (i,3) (j,3) (a,4) (b,4) (c,4) (d,4) (e,4) (f,4) (g,4) (h,4) (i,4) (j,4) (a,5) (b,5) (c,5) (d,5) (e,5) (f,5) (g,5) (h,5) (i,5) (j,5) (a,6) (b,6) (c,6) (d,6) (e,6) (f,6) (g,6) (h,6) (i,6) (j,6) (a,7) (b,7) (c,7) (d,7) (e,7) (f,7) (g,7) (h,7) (i,7) (j,7) (a,8) (b,8) (c,8) (d,8) (e,8) (f,8) (g,8) (h,8) (i,8) (j,8) (a,9) (b,9) (c,9) (d,9) (e,9) (f,9) (g,9) (h,9) (i,9) (j,9)} Die Definition 4.3 einer Funktion lässt zu, dass nicht jedem Element von A ein Element aus B zugeordnet wird. Diese Teilmenge von A, die die Elemente enthält, die bei der Definition von f als erste Elemente der geordneten Paare auftauchen, heißt Definitionsmenge der Funktion. Definition 4.4 (Definitionsmenge) Gegeben sind zwei Mengen A und B und eine Funktion f durch Aufzählung der Elemente aus A B. Dann heißt die Menge aller Elemente aus A, die als erstes Element in den geordneten Paaren von f auftauchen, die Definitionsmenge D der Funktion f. Entsprechend gilt: Definition 4.5 (Wertemenge) Gegeben sind zwei Mengen A und B und eine Funktion f durch Aufzählung der Elemente aus A B. Dann heißt die Menge aller Elemente aus B, die als zweites Element in den geordneten Paaren von f auftauchen, die Wertemenge W der Funktion f.

4 4 Funktionen und Gleichungen 69 f = { (a,0) (c,1) (e,9) (g,5) (i,1) } D = {a, c, e, g, i} W = {0, 1, 5, 9} Abb. 4.1: Die Aufzählung der Elemente von f legt D und W fest Eine Funktion zwischen den Mengen A und B ist also eine Menge von geordneten Paaren, die rechtseindeutig ist. Sie ist dann definiert, wenn für jedes geordnete Paar aus A B genau entschieden werden kann, ob es zu f gehört oder nicht. Wie wir oben gesehen haben, ist eine Möglichkeit, diese Festlegung zu treffen, die explizite Aufzählung der Paare, die zu f gehören. Diese vollständige Aufzählung kann auch in anderer Art geschehen, z.b. in einer Tabelle oder einem Mengendiagramm. Abb. 4.: eines Mengendiagramms einer Funktion Um die geforderte Eindeutigkeit zu erfüllen, darf jeder Person nur ein Haustier zugeordnet werden. Hätte eine Person mehrere Haustiere, wäre die Zuordnung keine Funktion. Ist diese Menge aber sehr groß oder gar unendlich, so kann die Definition einer Funktion nicht über die explizite Aufzählung geschehen. In diesem Fall beschreibt man dann eine Funktion über die Definitionsmenge und eine Beziehung, die angibt, wie man zu dem ersten Element des Paares das zweite findet. : q sei die Funktion, die jeder Zahl von 1 bis 100 die Quadratzahl zuordnet. { 1,,3,...,100} Formal schreibt man das auf durch q : n n Beide Definitionen, die durch Text und die formale, lassen die eindeutige Entscheidung zu, ob ein Paar zur Funktion gehört oder nicht. Dabei ist die Funktion weiterhin eine Menge von Paaren. Das Paar (5, 65) gehört zu q, dagegen ist (60, 600) kein Element von q, da 600 nicht die Quadratzahl von 60 ist. Das Paar (150, 500) gehört auch nicht zu q. Zwar ist 500 = 150, aber 150 liegt nicht in der oben angegebenen Definitionsmenge.

5 4 Funktionen und Gleichungen 70 Betrachtet man nun eine zweite Funktion p, die definiert ist durch { 1,,3,...,00} p :, so unterscheidet sich p von q nur durch die n n Definitionsmenge. Beide Funktionen sind verschieden, denn das Paar (150, 500) gehört nicht zu q, wohl aber zu p. In der Bedeutung als Menge von Paaren sind also die Funktionen p und q verschieden, obwohl die Zuordnungsvorschrift n n in beiden Fällen dieselbe ist. Nach dieser Betrachtung zu Funktionen können wir das (kartesische!) Koordinatensystem, die Punkte im Koordinatensystem und den Graph einer Funktion in einem neuen Licht sehen. Jeder Punkt im Koordinatensystem stellt ein Zahlenpaar dar, ein Element aus. Die gesamte Ebene der Koordinatensystems ist also die grafische Veranschaulichung von oder das, was wir oben als die übersichtliche Notation des kartesischen Produkts bezeichnet haben. Abb. 4.3: Ein Punkt im Koordinatensystem Der Graph einer Funktion ist nun die Menge aller Punkte, zu denen die Koordinatenpaare gerade die Funktion ausmachen. Die Abbildung zeigt den Graph (zumindest einen Ausschnitt) zur Funktion f :. x x Jeder Punkt des Graphen repräsentiert ein Zahlenpaar der Funktion. Der Punkt A stellt kein solches Zahlenpaar dar, denn,56 ist nicht 1,3 Abb. 4.4: Ein Funktionsgraph. Das kann man deutlich daran erkennen, dass A nicht auf dem Funktionsgraphen von f liegt.

6 4 Funktionen und Gleichungen 71 Fassen wir zusammen: Eine Funktion kann angegeben werden, indem die Zuordnungspaare vollständig aufgezählt werden. Definitions- und Wertemenge können dann ermittelt werden. Oder es wird die Definitionsmenge und eine Zuordnungsvorschrift angegeben, die beschreibt, wie man zu jedem Element aus der Definitionsmenge das zugeordnete Element ermittelt. So weit die allgemeine, etwas theoretische Erläuterung zu Funktionen. In den nachfolgenden Betrachtungen wollen wir unsere Betrachtung stark einschränken. Unsere beiden Mengen A und B werden die reellen Zahlen sein. Folglich ist eine vollständige Aufzählung aller Zuordnungspaare nicht möglich, und wir geben die Zuordnungsvorschrift an. Auf die Angabe der Definitionsmenge verzichten wir auch, diese soll sich immer aus der maximalen Teilmenge von ergeben, für die sinnvollerweise Werte eingesetzt werden können. : Ist die Zuordnungsvorschrift f : x 1 gegeben, so ist die Defi- x nitionsmenge D = \ { 0}, da der Term für 0 nicht definiert ist. Die Wertemenge der so gegebenen Funktion ist W = +, denn nur positive Zahlen tauchen als Ergebnis der Rechnung auf. In diesem Zusammenhang werden folgende Begriffe verwendet: Für das erste Element eines Zuordnungspaares Eingangsgröße unabhängige Variable x-wert Stelle Für das zweite Element eines Zuordnungspaares Ausgangsgröße abhängige Variable y-wert Wert In Anlehnung an die grafische Darstellung im Koordinatensystem mit einer x- und einer y-achse, sind folgende Sprech- und Schreibweisen üblich: y ist das Element, das x durch f zugeordnet wird oder auch x wird abgebildet auf y, geschrieben als y = f (x). Definition 4.6 (Umkehrfunktion) Die Umkehrung einer Funktion f ist die Menge aller Zuordnungspaare, bei denen erstes und zweites Element vertauscht sind. Formal: u ist die Umkehrung von f Def u = ( y,x) (x, y) f { }

7 4 Funktionen und Gleichungen 7 Ist diese Umkehrung u wieder eine Funktion, d.h. auch in der Umkehrung ist die Zuordnung eindeutig, so spricht man von der Umkehrfunktion zur Funktion f und bezeichnet sie mit f 1. Die Funktion f sei gegeben durch f : x 3x Sie hat die Umkehrfunktion f 1 : y 1 3 y 3 Um die Zuordnungsvorschrift für die Umkehrfunktion zu bestimmen, lösen wir die Gleichung y = f (x) nach x auf. Nicht jede Funktion ist umkehrbar, denn die Umkehrung ist nur dann eine Funktion, wenn jedem y-wert genau ein x-wert zugeordnet wird. Daher kann eine Funktion nur dann umgekehrt werden, wenn keiner der Funktionswerte mehrmals auftaucht. Nur dann existiert zu jedem y auch nur ein x-wert. Ist die Umkehrbarkeit einer Funktion nicht gegeben, so kann sie in manchen Fällen durch eine Einschränkung der Definitionsmenge hergestellt werden. Schränken wir bei der quadratischen Funktion x x die Definitionsmenge D auf die Menge der positiven, reellen Zahlen ein, kurz D = +, so ist die Funktion umkehrbar, da jedem Element des Wertebereichs W auch nur ein Element des Definitionsbereichs D zugeordnet wird Graph einer Funktion im Koordinatensystem Ist die Definitionsmenge oder eine Teilmenge von, dann bietet sich die schon oben erwähnte grafische Darstellung im Koordinatensystem an. Sie ist sehr anschaulich und beinhaltet Informationen, die aus der algebraischen Zuordnungsvorschrift weniger gut ersichtlich sind. Abbildung 4.5 zeigt den (Ausschnitt eines) Graphen einer Funktion f. Die Punkte des Graphen sind die Veranschaulichung aller Zuordnungsbeispiele. Liegt ein Punkt auf dem Graph, so sind die Koordinaten ein Zuordnungspaar für die Funktion.

8 4 Funktionen und Gleichungen 73 Abb. 4.5: Graph einer Funktion f Am Graph kann man sehr gut ablesen, ob die Funktionseigenschaft erfüllt ist, ob also jedem x-wert genau ein y-wert zugeordnet wird. Jede Parallele zur Ordinate muss den Graphen dabei genau einmal schneiden. Abbildung 4.6 zeigt einen Kreis als für den Graphen einer Relation, die keine Funktion ist. Hier gibt es x-werte, denen zwei y- Werte zugeordnet werden. Abb. 4.6: Kein Graph einer Funktion 4.1. Darstellung mit zwei parallelen Skalen Eine weitere Möglichkeit ist gegeben, wenn zwei Skalen (eine Definitionsmengen-Skala und eine Wertemenge-Skala) parallel zueinander aufzeichnen werden. Mit Pfeilen werden den Elementen (oder ausgewählten elementen) der Definitionsmenge die Elemente der Wertemenge zugeordnet. Ein zeigt Abbildung 4.7. Abb. 4.7: Darstellung einer Zuordnung mit Hilfe zweier Skalen

9 4 Funktionen und Gleichungen 74 Eine besondere Stärke zeigt diese Darstellung in Verbindung mit dynamischer Geometriesoftware. Wir können einen Pfeil dabei bewegen, um somit besondere Eigenschaften von Zuordnungsvorschriften zu beobachten. Dazu bewegen wir einen Punkt auf der Definitionsmengen-Skala so, dass sich der zugehörige Punkt mit dem Pfeil auf der Wertemengen-Skala bewegt. Abb. 4.8: Darstellung der Funktion f (x) = 0,5x x + 1, mit Hilfe von zwei Skalen 4. Grundaufgaben Für das Arbeiten mit den in der Schule üblichen Funktionen (siehe Abschnitte 4.3 und 4.4) sind vier Grundaufgaben herauszuheben, die den Umgang mit Funktionen und ihren Graphen im Koordinatensystem festigen Berechnen eines Funktionswertes Gegeben ist eine Funktion über ihre Zuordnungsvorschrift und eine Stelle x im Definitionsbereich. Gesucht ist die zugeordnete Zahl y. Um einen Funktionswert zu berechnen, setzen wir den gegebenen Wert für x in die Funktionsgleichung ein und erhalten den Wert y. Wichtig ist an dieser Stelle, zu verstehen, was die Schreibweise f(x) bedeutet. Der Funktionswert f(x) ergibt sich, indem man in die Funktionsgleichung den gewünschten x-wert einsetzt. Man erhält so ein Zahlenpaar, das ein Zuordnungspaar für die Funktion ist. Grafisch gedeutet ist es ein Punkt, der auf dem Graph dieser Funktion liegt. Allgemein wird der Punkt auf dem Graph von f geschrieben als P(x/f(x)) oder P(x,y), wobei sich der y-wert durch den Funktionswert f(x) ergibt. 1) Berechne den Funktionswert an der Stelle x = 4 der Funktion f (x) = 0,5x 3. Lösung: Wir berechnen f(4), indem wir 4 für x in den Term einsetzen: f (4) = 0,5 4 3 = 5.

10 4 Funktionen und Gleichungen 75 Der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x = 4 ist f (4) = 5. Zeichnen wir zur Funktion den Graph, wissen wir, dass der Punkt P(4;5) auf dem Graph liegt. Die grafische Lösung besteht darin, dass man von x = 4 senkrecht nach oben bis zum Funktionsgraph geht. Zu diesem Punkt auf dem Funktionsgraph liest man waagerecht auf der y-achse den Funktionswert ab. ) Wir haben folgende Funktionen: g(x) = x + 4 h(x) = x 5 Berechne g(h(x)) an der Stelle x =. Lösung: Wir berechnen g(h( )) = g(( ) 5) = g( 1) = ( 1) + 4 = 4.. Berechnen eines x-wertes Andersherum gibt es Aufgaben, bei denen zu einer gegebenen Funktion der Funktionswert gegeben ist. Der zugehörige x-wert ist gesucht bzw. die zugehörigen x-werte, denn es kann sein, dass bei dieser umgekehrten Fragestellung mehrere Ausgangswerte auf einen Wert abgebildet werden. Berechnen Sie zur Funktion f mit f (x) = x 6 die Stelle x, für die f (x) = gilt. Lösung: Wir stellen eine Gleichung auf, in der der gegebene Funktionsterm mit dem gegebenen Funktionswert gleich gesetzt wird. f (x) = x 6 = +6 x = 8 : x = 4 Die Lösungen der Gleichung sind die gesuchten Stellen. Die grafische Lösung besteht darin, dass man auf der senkrechten Achse beim gegebenen Wert startet und waagerecht Schnittpunkte mit dem Funktionsgraph sucht. Zu diesen liest man die x-koordinate ab, d.h. man läuft von den Punkten senkrecht nach unten/oben zur x-achse.

11 4 Funktionen und Gleichungen 76 Eine besondere Aufgabe dieser Art ist das Suchen von Nullstellen. Dabei werden genau die Stellen auf der x-achse gesucht, an denen der Graph der Funktion f(x) die x-achse berührt oder sie schneidet. Definition 4.7 (Nullstelle) Ein Element x der Definitionsmenge D einer Funktion f heißt Nullstelle von f, wenn f (x) = 0 gilt. Bei der Suche nach Nullstellen berechnen wir also die x-werte der Funktion, für die f (x) = 0 gilt. Nullstellen sind genau die x-koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse. Bestimme die Nullstellen der Funktion f (x) = x 4. Lösung: Wir berechnen die Stellen, für die f (x) = 0 gilt: f (x) = x 4 = 0 x = 4 x = x = Die Funktion f (x) = x 4 hat also die Nullstellen x = und x =. Der Funktionsgraph schneidet die x-achse an den Stellen und. Demnach liegen die Punkte P 1 (/0) und P (-/0) auf dem Graph der Funktion Prüfen eines Zuordnungsbeispiels Die dritte Grundaufgabe begegnet einem oft in der grafischen Formulierung: liegt ein Punkt auf dem Graph einer Funktion oder verläuft ein Graph durch einen Punkt? Analytisch bedeutet die Frage, ob ein Zuordnungspaar Element einer gegebenen Funktion ist. Liegt der Punkt Q(3/) auf dem Graph der Funktion f (x) = x + 8? Um dies zu prüfen, setzen wir den x- Wert in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob der gegebene Zuordnungswert mit dem berechneten Zuordnungswert übereinstimmt: f (3) = 3+ 8 = Wir können also sehen, dass f (3) = gilt und haben damit gezeigt, dass der Punkt Q(3/) auf dem Funktionsgraph liegt.

12 4 Funktionen und Gleichungen 77 Liegt ein zu überprüfender Punkt nicht auf dem Funktionsgraph, können wir schnell entscheiden, ob dieser Punkt über oder unter dem Graph liegt. Liegt der Punkt R(/1) auf dem Graph der Funktion f (x) = 0,5x 4? Zunächst setzen wir wieder den x-wert in die Funktionsgleichung ein und erhalten: f () = 0,5 4 = 4 = Der Punkt R(/1) liegt also nicht auf dem Graph der Funktion. Da der durch die Rechnung erhaltene Funktionswert kleiner ist als die y-koordinate des Punktes R, liegt der Punkt R über dem Graph der Funktion Berechnen der Schnittpunkte für zwei Funktionsgraphen Die vierte Grundaufgabe beschäftigt sich mit der Frage, in welchen Punkten sich die Graphen zweier Funktionen schneiden, d.h. welche Punkte die beiden Funktionsgraphen gemeinsam haben. Diese geometrisch formulierte Aufgabe bedeutet analytisch, die Zuordnungsbeispiele (x,y) zu finden, die gleichzeitig Elemente von beiden Funktionen sind. Dazu lösen wir die beiden Gleichungen wie ein normales Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen x und y auf. Es bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. In welchem Punkt schneiden sich die Funktionsgraphen der Funktionen f und g mit f (x) = x 4 und g(x) = 0,5x + 6? Da beide Funktionswerte f(x) und g(x) gleich sein sollen, führt das direkt zur Gleichung x 4 = 0,5x + 6. Diese lösen wir nach x auf und erhalten die x-koordinate des gemeinsamen Punktes. Die y- Koordinate bestimmen wir, indem wir die berechnete x-koordinate in wenigstens einen Funktionsterm einsetzten. Zur Probe bietet es sich an, x auch noch in den anderen Term einzusetzen.

13 4 Funktionen und Gleichungen 78 x 4 = 0,5x + 6,5x 4 = ,5x,5x = 10 :,5 x = 4 Einsetzen in f ergibt f (4) = 4 4 = 4. Überprüfung: g(4) = 0, = 4. Der Punkt P(4/4) ist also der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. In diesem Lösungsverfahren gehen natürlich die grafische Darstellung und die analytische Rechnung Hand in Hand. So führen quadratische Funktionen auf quadratische Gleichungen, bei denen zwei, eine oder keine Lösung auftreten können. Das korrespondiert mit der Zeichnung, in der dann zwei, ein oder kein Schnittpunkt vorhanden sind. In den nachfolgenden Abschnitten wollen wir uns mit speziellen Funktionen beschäftigen, die insbesondere für die Schule wichtig sind. 4.3 Lineare Funktionen Bei linearen Funktionen kommt in der Funktionsgleichung die Variable x in der ersten Potenz vor. Die Graphen von linearen Funktionen sind Geraden. Definition 4.8 (Lineare Funktion) Unter einer linearen Funktion versteht man eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D =, deren Funktionsgleichung sich auf die Form f (x) = mx + b bringen lässt; dabei heißt der Parameter m die Steigung der Geraden und der Parameter b der y-achsenabschnitt. Man spricht hier auch von der y-achsenabschnittsform. Bemerkung Unter einem Parameter versteht man eine Variable, die bei einer konkreten Anwendung als fest gewählt angesehen wird. Die Variable x stellt ein beliebiges Element aus der Definitionsmenge D dar. Um die zugeordnete Zahl y zu berechnen, sind m und b für diese Betrachtung konstant. Weiterhin kann man aber fragen, wie sich eine Veränderung

14 4 Funktionen und Gleichungen 79 von m oder b auf den Funktionsgraph auswirkt. Hat man diese Abhängigkeiten im Blick, spricht man bei f (x) = mx + b von einer Funktionenschar mit den beiden Scharparametern m und b Verschiedene Formen der linearen Funktion Die y-achsenabschnittsform der Geraden ist in Abb. 4.7 a) skizziert. Die Steigung m erhält man mittels eines Steigungsdreiecks als m = Δy Δx, wobei Δx der Abstand zweier x-werte und Δy der Abstand der zugehörigen Funktionswerte ist. Weitere Formen Neben der häufig anzutreffenden y-achsenabschnittsform kann man die Gleichung einer linearen Funktion auch anders parametrisieren (Abb. 4.7 b)-d)). Wir unterscheiden die folgenden Formen: a) b) y-achsenabschnittsform x-achsenabschnittsform c) d) Achsenabschnittsform Zwei-Punkte-Form

15 4 Funktionen und Gleichungen 80 e) Punkt-Steigungsform Abb. 4.7: Fünf Formen der Geradengleichung und die dabei auftretenden Parameter. x-achsenabschnittsform (Abb. 4.7 b)): Gegeben sind die Steigung m der Geraden und der Schnittpunkt a mit der x-achse. Dann ist die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion y = m(x a). Achsenabschnittsform (Abb. 4.7 c)): Gegeben sind die beiden Achsenabschnitte a und b. Dann ist die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion x a + y b = 1. Die Achsenabschnittsform kann nur zur Beschreibung herangezogen werden, falls die Gerade nicht durch den Ursprung verläuft und nicht parallel zur x-achse. Zwei-Punkteform (Abb. 4.7 d)): Sind P(p 1,p ) und Q(q 1,q ) zwei nicht identische Punkte der Geraden, so lässt sich die lineare Funktion durch y p = q p q 1 p 1 (x p 1 ) beschreiben. Der Bruch q p q 1 p 1 über den Differenzenquotienten. ist die Berechnung der Steigung Punkt-Steigungsform (Abb. 4.7 e)): Liegt der Punkt P(p 1,p ) auf einer Geraden mit der Steigung m, so lässt sich die Funktionsgleichung wie folgt bestimmen: y p = m(x p 1 )

16 4 Funktionen und Gleichungen Lineare Gleichungen Eine Gleichung in einer Variablen, die nur in der ersten Potenz auftaucht, heißt lineare Gleichungen. Probleme im Zusammenhang mit linearen Funktionen führen in der Regel auf eine lineare Gleichung (vgl. die Grundaufgaben im Abschnitt 4.). 4x + x 7 = 3 3x + 1 5x 9 = 15 3x +3x 8x = 4 +9 x = 3 :8 Lineare Gleichungen kann man als Suche nach der Ausgangsgröße x bei gegebenen Funktionswert y auffassen. Ist die Steigung ungleich Null, so besitzt die Gleichung immer eine Lösung. Dies können wir uns überlegen, wenn wir den Funktionsgraph linearer Funktionen betrachten. Bei einer Geraden tritt jedes Element des Wertebereiches genau einmal auf und hat somit auch genau einen zugehörigen x-wert. 4.4 Quadratische Funktionen Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen enthalten die Variable x höchstens in der zweiten Potenz. Die Graphen von quadratischen Funktionen sind Parabeln, die verschoben, gespiegelt und gestreckt sein können. Definition 4.9 (Quadratische Funktion) Unter einer quadratischen Funktion versteht man eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D =, deren Funktionsgleichung sich auf die Normalform f (x) = ax + bx + c bringen lässt; dabei sind a, b und c reelle Parameter, a 0, damit der quadratische Anteil nicht verschwindet. Definition 4.10 (Normalparabel) Der Graph der Funktion f mit f (x) = x heißt Normalparabel.

17 4 Funktionen und Gleichungen 8 Abb. 4.8: Die Normalparabel Scheitelpunktform Neben der Normalform gibt es die sog. Scheitelpunktform der Parabel, an der man insbesondere die Koordinaten des Scheitelpunktes leicht ablesen kann. Definition 4.11 (Scheitelpunktform) Die Scheitelpunktform der Parabel ist die Gleichung einer quadratischen Funktion f, die durch f (x) = a(x x s ) + y s gegeben ist; dabei ist a ein reeller Parameter und x s und y s die x- bzw. y-koordinate des Scheitelpunktes S. Abb. 4.9: Funktionsgraphen quadratischer Funktionen mit dem Scheitelpunkt S(x s /y s ) und einer Veränderung des Parameters a. Für 0 < a < 1 wird die Normalparabel gestaucht, für a > 1 wird sie gestreckt.

18 4 Funktionen und Gleichungen 83 Ist der Parameter a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet. Nullstellenform Außerdem gibt es die Nullstellenform einer quadratischen Funktion. Dabei können wir die Funktionsgleichung mit Hilfe der Nullstellen ermitteln. Definition 4.1 (Nullstellenform) Die Nullstellenform der Parabel ist die Gleichung einer quadratischen Funktion f, die durch f (x) = a(x x 1 )(x x ) gegeben ist; dabei ist a ein reeller Parameter und x 1 und x sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die x-achse schneidet (Nullstellen). Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen x 1 = 1 und x = 3,5 hat die Funktionsgleichung f (x) = a(x + 1)(x 3,5) = a(x,5x 3,5). Quadratische Funktionen können keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen (siehe Abb. 4.10). Abb. 4.10: Graphen quadratischer Funktionen mit keiner (grün), einer (rot) und zwei (blau) Nullstellen

19 4 Funktionen und Gleichungen Lösen quadratischer Gleichungen Für das Lösen von Gleichungen, in der die gesuchte Variable quadratisch vorkommt, sind zwei Verfahren üblich. Quadratische Ergänzung Die Quadratische Ergänzung ist eine Termumformung, so dass ein vollständiges, quadratisches Binom entsteht. Allgemein basiert das Verfahren auf folgender Überlegung: x + ax = x + ax + a a x 6x = 16 ( x+ a) x 6x + 9 = (x 3) = 5 x 3 = 5 x 3 = 5 (quadratische Ergänzung) { } x = 8 x = L = ;8 Quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen haben. Betrachten wir als die Normalparabel als Graph einer quadratischen Funktion, so sehen wir, dass es Parallelen zur x-achse gibt, die den Graphen zwei Mal aber auch kein Mal schneiden. Am Scheitelpunkt wird der Graph genau einmal geschnitten. y = x! 1x + 13 " y = (x! 6x) + 13 " y = (x! 6x + 9! 9) + 13 " y = ((x! 3)! 9) + 13 " y = (x! 3)! " y = (x! 3)! 5 # S(3 /!5) Mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung können wir auch von der Normalform y = ax + bx + c der quadratischen Funktion zur Scheitelpunktsform y = a(x x s ) + y s kommen, so dass wir die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen können.

20 4 Funktionen und Gleichungen 85 Hierzu klammern wir zunächst den Koeffizienten a aus y = a(x + b a x) + c führen in der Klammer eine quadratische Ergänzung durch y = a x + b a x + b b a a + c, um nach Bildung des Quadrats und Ausmultiplizieren auf die gewünschte Gleichung zu kommen. y = a x + b a + c b 4a Wir erhalten somit als Ergebnis, dass die Parabel zur Normalform y = ax + bx + c einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten S b b ;c a 4a hat. p-q-formel Dazu wird eine quadratische Gleichung in die Form x + px + q = 0 umgeformt. Dann können wir sie mit Hilfe der vorgefertigten Lösungsformel p-q-formel lösen. Es gilt x = p ± p q. Ist der Radikand > 0, so ergeben sich für x zwei reelle Lösungen. Ist der Radikand = 0, so gibt es nur eine Lösung für x ( x = p ). Ist der Radikand < 0, ergibt sich keine reelle Lösung für x. 1) x 1x = 3 x 6x 16 = 0 ( p = 6, q = 16) x = 6 ± 6 = 3 ± 5 = 3 ± { } x = 8 x = L = ;8

21 4 Funktionen und Gleichungen 86 ) x + 4x + 4 = 0 ( p = 4, q = 4) x 1, = 4 ± 4 = ± 0 x = 4 L = { } 4.5 Potenzfunktionen und Wurzeln Eine Funktion der Form f (x) = ax n mit n *, a ist eine Potenzfunktion (n-ten Grades), d.h. eine Funktion, deren Termdarstellung eine Potenz der unabhängigen Variablen ist. Der Exponent n bestimmt den Grad der Potenzfunktion und der Faktor a die Form des Graphen. e Abb. 4.11: e für Potenzfunktionen: f (x) = x 3, g(x) = x = 1 und h(x) = 0,x3 x Lösen kubischer Gleichungen Die allgemeine Funktion dritten Grades hat die Form: f (x) = Ax 3 + Bx + Cx + D mit A, B,C, D, A 0. Um eine Gleichung dritten Grades zu lösen (um zum Nullstellen zu bestimmen), können wir uns der Cardanoschen Formel bedienen.

22 4 Funktionen und Gleichungen 87 Genau genommen dient die Cardanosche Formel zur Lösung reduzierter Gleichungen dritten Grades. Darunter versteht man Gleichungen der Form x 3 + px + q = 0. Eine allgemeine kubische Gleichung der Form Ax 3 + Bx + Cx + D = 0 kann durch einige Umformungsschritte in die reduzierte Form gebracht werden. Division durch A liefert die Normalform: x 3 + ax + bx + c = 0 Durch die Substitution x = z a 3 erhält man eine kubische Gleichung mit der Unbekannten z, bei der aber (im Unterschied zur Originalgleichung) das quadratische Glied fehlt: z a a z a 3 z 3 + pz q = 0 + b z a 3 + c = 0 mit p = b a 3 und q = ab 3 7 a3 c. Graphisch bedeutet das, dass der Wendepunkt des Funktionsgraphen auf die Ordinate verschoben wird (siehe Abb. 4.1). Abb. 4.1: Verschiebung des Wendepunktes durch Eliminierung des quadratischen Glieds. Diese reduzierte Form der kubischen Gleichung kann nun mit der cardanoschen Lösungsformel gelöst werden: z = q + q 3 + p3 + q 7 q 3 + p3 7

23 4 Funktionen und Gleichungen 88 Durch Rücksubstitution erhalten wir x mit x = z a 3. Die so ermittelte Lösung für z ist nur richtig, wenn unter der inneren Quadratwurzel eine positive Zahl steht, also q 7 = q + p3 + p 3 3 > 0 Dann hat die Gleichung jedoch nur eine Lösung, nämlich die hier angegebene. Ist q 7 = q + p3 + p 3 3 = 0, so ist die Lösung für z offenbar z = q 3. Dann existiert eine weitere, doppelte Nullstelle mit z = q 3. Den Fall, dass eine kubische Gleichung drei verschiedene, reelle Nullstellen hat, war für Cardano und die Mathematiker des 16. Jahrhunderts nicht lösbar ( casus irreducibilis ), da man in den Zwischenrechnungen mit komplexen Zahlen rechnen muss. Wir wollen die Gleichung x 3 + 9x + 31x + 19 = 0 lösen. Nun Substituieren wir ( x = z 9 = z 3) und erhalten die Gleichung 3 z 3 + pz + q = 0 mit p = 31 9 = 31 7 = 4 3 und q = = = 0. Einsetzen in die Gleichung ergibt: z = , ,1 3 3 = 0,1 + 0,1,3 Rücksubstitution: x = z a 3 x =,3 9 3 = 0,77

24 4 Funktionen und Gleichungen 89 Die Graphen von Funktionen dritten Grades haben mindestens eine und höchstens drei Nullstellen (siehe die nachfolgenden e in Abbildung 4.13). Abb. 4.13: Graphen Funktionen 3. Grades mit einer (blau), zwei (rot) und drei (grün) Nullstellen 4.5. Lösen von Gleichungen vierten Grades Für eine Funktion vierten Grades ergibt sich folgende allgemeine Funktionsgleichung: f (x) = Ax 4 + Bx 3 + Cx + Dx + E. Im obigen Stil gibt es auch für Gleichungen vierten Grades ein Verfahren, das aus den gegebenen Koeffizienten der Gleichung nach vielen Schritten die exakte Lösung bestimmt. Diese sogenannte Formel von Ferrari liefert die genauen Lösungen, ist aber sehr langwierig und soll deshalb hier nicht weiter behandelt werden. Wir sollten uns nur bewusst sein, dass Gleichungen vierten Grades noch exakt lösbar sind, während es eine allgemeine Lösungsformel, die nur mit den Grundrechenarten und dem Wurzelziehen auskommt, für Gleichungen höheren Grades ( n > 4 ) nicht gibt.

25 4 Funktionen und Gleichungen Wurzelfunktionen Kehren wir Potenzfunktionen um, so erhalten wir die allgemeinen Wurzelfunktionen. 1) Eine Funktion f : x x 3 hat die Umkehrfunktion f 1 : 3 y x denn y = x y = x ) Eine Funktion f : x x 3 hat die Umkehrfunktion f 1 : y 1 3 y + 1 y = x 3 + y + = x 3 : 1 y + 1 = x y + 1 = x 3 Abbildung 4.14 zeigt den Graphen der Funktion f (x) = x ungradzahligen Wurzeln ergeben einen ähnlichen Verlauf. 1 = x 3. Alle

26 4 Funktionen und Gleichungen 91 Abb. 4.14: Graph der Funktion f (x) = 3 x. Bei der Darstellung von geradzahligen Wurzeln müssen wir spezielle Eigenarten beachten. Zum einen sind geradzahlige Wurzelfunktionen für negative x-werte nicht definiert und zum anderen muss man die Definitionsmenge einschränken, um die Ausgangsfunktion umkehrbar zu machen. Das erreicht man üblicherweise dadurch, dass der Definitionsbereich auf die positiven, reellen Zahlen eingeschränkt wird. + + f : 0 0 x x Abb. 4.15: Graph der Funktion f (x) = x 4.6 Exponentialfunktionen und Logarithmen Exponentialfunktionen sind Funktionen bei denen die Variable x im Exponenten steht. Ein einfaches ist die Funktion f (x) = x (siehe Abb. 4.16).

27 4 Funktionen und Gleichungen 9 Abb. 4.16: Graph der Funktion f (x) = x Definition 4.13 (Exponentialfunktionen) Funktionen f mit f (x) = c a x, c, a > 0, x nennt man Exponentialfunktionen zur Basis a. Ein Vorgang, der durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden kann, wird exponentielles Wachstum (für a > 1) bzw. exponentieller Zerfall (für a < 1) genannt. Eigenschaften von Exponentialfunktionen - Für c > 0 ist f(x) > 0 für alle x ; die Graphen verlaufen stets oberhalb der Abszisse. - Die Graphen haben keine Minima, keine Maxima und keine Nullstellen. Sie weisen auch keine Symmetrieeigenschaften auf. - Für a < 1 nähert sich der Funktionsgraph der Abszisse an, wenn x strebt; für x wachsen die Funktionswerte ins Unendliche ( f (x) ). Für a > 1 ist es umgekehrt. Da jeder Funktionswert bei der Exponentialfunktion genau einmal vorkommt, können wir auch diese Funktion umkehren. Wir vertauschen die Variablen und wollen wieder nach y auflösen: x = c a y Um den Ausdruck nach y aufzulösen, müssen wir eine neue Funktion definieren, die Logarithmusfunktion. Wir schreiben im einfachsten Fall für c = 1 x = a y log a (x) = y und sprechen Logarithmus von x zur Basis a.

28 4 Funktionen und Gleichungen 93 Dann ergibt sich für unsere ursprüngliche Gleichung x = c a y : c x c = a y log log a x c = y Die nach unten gesetzte Zahl (Basis) gibt an, zu welcher Exponentialfunktion der jeweilige Logarithmus die Umkehrfunktion ist. Abbildung 4.17 zeigt zur Funktion f (x) = e x den Graphen der Umkehrfunktion: f 1 (x) = ln x. Abb. 4.17: Graph der Funktion f (x) = ln x Einen Logarithmus y = log a (x) erklärt man sich am besten durch die Frage: a hoch wie viel ist gleich x, also a y = x. Will man nun den Logarithmus numerisch berechnen, so muss man auf die mit dem Taschenrechner vorgegebenen Logarithmen zurückgreifen. Das sind der Logarithmus zur Basis 10, abgekürzt durch lg oder log ohne Index, und zur Basis e, abgekürzt durch ln Lösen von Exponentialfunktions-Gleichungen Einige Gleichungen, bei denen die gesuchte Unbekannte im Exponenten steht, kann man bei glatten Ergebnissen (und Kenntnis von diversen Potenzen) im Kopf lösen. 3 x = 43 Wenn man weiß, dass 43 = 3 5 ist, so ist die Lösung x = 5 kein Problem. Im Allgemeinen können wir mit Hilfe einiger Logarithmus-Regeln Gleichungen lösen, die die Variable im Exponenten haben. 3 = 0,5 x x = log 0,5 3 Da der Taschenrechner nur den Logarithmus einer Zahl zur Basis 10 (oder zur Basis e) rechnen kann, können wir die Ausgangsgleichung mit dem 10er-Logarithmus logarithmieren und anschließend weiter umformen:

29 4 Funktionen und Gleichungen 94 3 = 0,5 x logarithmieren log3 = log0,5 x log3 = x log0,5 x = log3 log0,5 1,58 Logarithmusgesetz log a b = b log a : log0,5 4.7 Übungen 1. Gegeben sind die Mengen A = {a, b, c} und B = {1,, 3, 4} a. Schreiben Sie A B in der übersichtlichen Form auf. Wie groß ist A B? b. Wie viele Relationen kann man zu den Mengen A und B bilden? Schreiben Sie drei verschiedene e von Relationen auf, indem Sie explizit die Elemente der Relation aufzählen. c. Wie viele nichtleere Mengen kann man als Definitionsmenge für eine Funktion aus A auswählen? d. Wie viele Funktionen kann man aus A B auswählen? Geben Sie zwei verschiedene e für Funktionen an, die A als Definitionsmenge haben.. Gegeben sind die Funktionen q(x) = 0,5x 4x + 7 und g(x) = x 1 a. Berechnen Sie q(3) und g(5,). b. Berechnen Sie q(g(7)). c. Berechnen Sie die Stellen x, für die gilt: g(x) = 4,8. d. Berechnen Sie die Stellen x, für die gilt: q(x) =. e. Ermitteln Sie durch quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt von q. f. Zeichnen Sie auf der Basis der vorangegangenen Berechnungen die Graphen von q und g. g. Liegt der Punkt A(7 ; 3,5) auf dem Graphen von q? h. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von q und g. 3. Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(3;1) und hat die Steigung m = 1 3. Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis der unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den Funktionsterm der Geraden in y-achsenabschnittsform und überprüfen Sie das mit Ihrer Zeichnung.

30 4 Funktionen und Gleichungen Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(1;-) und B(7;1). Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis der unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den Funktionsterm der Geraden in y-achsenabschnittsform und überprüfen Sie das mit Ihrer Zeichnung. 5. Eine Gerade hat den x-achsenabschnitt a = 6 und den y-achsenabschnitt b =. Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis der unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den Funktionsterm der Geraden in y-achsenabschnittsform und überprüfen Sie das mit Ihrer Zeichnung. 6. Finden Sie zur Funktion k(x) = x 3 x + x 8 die Nullstelle mit der Cardanoschen Formel.