4.4 Funktionen. Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit spezielle Mengen.

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1 4.4 Funktionen Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit spezielle Mengen. Funktionen werden gewöhnlich mit f, g,... oder F, G,... notiert. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 1

2 D4.30 Eine binäre Relation (oder eine Abbildung) f ist eine Funktion von A nach B gdw es für jedes x A genau ein y B gibt derart, dass xy, f, d.h. wenn f linkstotal und rechtseindeutig ist. Falls 2 f A, wird von einer Funktion in A gesprochen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 2

3 Beispiel: Sei A= { Lisa,Bart,Maggie} und sei außerdem B= { Karlo,Pluto}, wobei jetzt gelte, dass Lisa Karlo füttert und sowohl Bart als auch Maggie Pluto füttern. Die Relation des Fütterns F ist dann eine Funktion von A nach B und lässt sich wie folgt darstellen: Lisa Bart Maggie Karlo Pluto A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 3

4 ? Warum ist die früher definierte Relation des Fütterns F keine Funktion? Lisa Bart Maggie Karlo Pluto A B? Ist ist die Relation des Gefüttertwerdens 1 F eine Funktion? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 4

5 ? Ist die früher definierte Relation des Mögens M eine Funktion? M= { Lisa,Bart, Bart,Lisa, Bart,Bart, Maggie,Lisa, Maggie,Bart} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 5

6 Der Vorbereich einer Funktion f von A nach B wird als Definitionsbereich (engl. domain ) DOM( f ), der Nachbereich als Wertebereich (engl. range ) RNGf ( ) bezeichnet. Es gilt: DOM( f) = Aund RNGf ( ) B. Die Elemente des Definitionsbereichs DOM( f ) nennt man Argumente von f, die Elemente des Wertebereichs RNGf ( ) Funktionswerte von f. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 6

7 Der spezifische Charakter von Funktionen gegenüber gewöhnlichen binären Relationen bzw. gewöhnlichen Abbildungen wird durch eine eigene Notationsweise ausgedrückt. Notation: y= fx ( ) (statt: xy, f) y ist f von x Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 7

8 Beispiel: Sei A= { Lisa,Bart,Maggie} und B= { Homer,Marge}, wobei Homer der Vater von Lisa, Bart und Maggie ist. Die Vater-von-Funktion v von A nach B lässt sich wie folgt darstellen: Lisa Bart Maggie Homer Marge A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 8

9 Spezifikation von Funktionen (A) Aufzählung: a b 1 1 a b 2 2 f= a b f ist eine Funktion derart, dass a auf b, 1 1 a auf b 2 2 etc. abgebildet wird. Alternative Notation: {,,,,,,...} f= ab a b a b Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 9

10 Beispiel: die Vater-von-Funktion v Bart Homer Lisa Homer v= Maggie Homer... alternativ: v= { Bart,Homer, Lisa,Homer, Maggie,Homer,... } Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 10

11 (B) Beschreibung: f : A B, (statt: f A B) x fx ( ) f ist eine Funktion von A nach B derart, dass x auf f von x abgebildet wird. Alternative Notation: {, ( )} f= xy x A y B y= fx Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 11

12 Beispiel: die Vater-von-Funktion v { } { } v : x MENSCHx ( ) x MENSCHx ( ), x v( x ) alternativ: xy, { ( )} x xmenschx v= y { xmenschx ( )} y = vx ( ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 12

13 Differenzierung von Funktionen D4.31 Eine Funktion f ist eine Funktion von A in B gdw RNGf ( ) B, d.h. wenn der Wertebereich von f eine echte Teilmenge von B ist. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 13

14 Beispiel: Sei A= { Lisa,Bart,Maggie} und sei außerdem B= { Homer,Marge}, wobei Marge die Mutter von Lisa, Bart und Maggie ist. Die Mutter-von-Funktion ist eine Funktion von A in B und lässt sich wie folgt darstellen: Lisa Bart Maggie Homer Marge A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 14

15 D4.32 Eine Funktion f ist eine Funktion von A auf B gdw RNGf ( ) = B, d.h. wenn f rechtstotal (oder surjektiv) ist. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 15

16 Beispiel: Die Sohn-von-Funktion s ist eine Funktion von A= {Homer,Ned,Marge,Kirk} auf B= {Todd,Bart,Milhouse} und lässt sich wie folgt darstellen: Homer Ned Kirk Marge Todd Bart Milhouse A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 16

17 D4.33 Eine Funktion f ist ein-eindeutig (bijektiv oder eine Bijektion) gdw RNGf ( ) = B und es für jedes y B höchstens ein x Agibt derart, dass y= fx ( ), d.h. wenn f rechtstotal (surjektiv) und linkseindeutig (injektiv). Wenn f : A B eine ein-eindeutige Funktion ist, dann gibt es eine dazu inverse Funktion (d.h. eine Umkehrfunktion) f 1 : B A. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 17

18 Beispiel: Sei A= {Homer,Ned} und B= {Marge,Maude}, wobei Homer mit Marge und Ned mit Maude verheiratet ist. Dann ist die Ehefrau-von-Funktion e eine ein-eindeutige Funktion von A auf B und lässt sich wie folgt darstellen: Homer Ned Marge Maude A B? Ist die oben angegebene Funktion des Fütterns F rechtstotal, links- Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 18

19 eindeutig und damit ein-eindeutig?. Lisa Bart Maggie Karlo Pluto A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 19

20 Komposition von Funktionen Zwei Funktionen (und allgemeiner zwei Relationen) lassen sich miteinander verknüpfen. Gegeben seien die Funktionen f : A B und g : B C. Das Ergebnis einer Komposition von f mit g ist dann die Funktion g f : A C, wobei gilt: D4.34 [ g f]( x) = gfx ( ( )) (einfacher: g fx ( )) def g nach f von x Dabei wird zunächst f auf jedes x in DOM( f ), danach g auf jedes fx ( ) in DOMg ( ) angewandt. Im Allgemeinen gilt: gf f g Beispiel: Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 20

21 Sei A= {a,b,c}, B= {1,2,3} und C= {A,B,C}. Seien außerdem folgende Funktionen f: A B und gb : C gegeben: f a 3 = b 1, c 2 1 B g= 2 C 3 A Dann ist die Komposition beider: g f a A = b B c C Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 21

22 a b c A B C A B C a b c A B C A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 22

23 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 23

24 Beispiel: Seien die Vater-von-Funktion v und die Mutter-von-Funktion m wie folgt gegeben: Homer Abe Bart Homer v= Lisa Homer Maggie Homer Abe Jackie Homer Mona m= Bart Marge Lisa Marge Maggie Marge Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 24

25 Die Großmutter-väterlicherseits-von-Funktion (d.h. die Vater- Mutter-von-Funktion) vm ergibt sich dann durch Komposition von v mit m wie folgt: Homer Jackie Bart Mona vm= mv= Lisa Mona Maggie Mona Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 25

26 Charakteristische Funktionen Mengen können mit Hilfe von Funktionen charakterisiert werden. Eine Menge zu kennen, bedeutet, in der Lage zu sein, ihre Elemente zu identifizieren, d.h für beliebige Objekte angeben zu können, ob sie zur Menge gehören oder nicht. Die Voraussetzung dafür kann durch eine Funktion geliefert werden, die den Elementen dieser Menge den Wert 1 (wahr) und allen anderen Objekten den Wert 0 (falsch) zuordnet. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 26

27 Sei G eine Grundmenge und A eine Menge mit A G. Die charakteristische Funktion von A (notiert als χ ) ist dann wie folgt definiert: A D4.35 χ : G { 0,1}, A 1, falls x A x 0, falls x A Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 27

28 Beispiel: Sei G = {Bierwisch,Euler,Gagarin,Montague,Roddenberry, Ross,Torvalds} und A= {Bierwisch,Montague,Ross} die Menge der Linguisten in G. Dann ist die charakteristische Funktion von A: χ A Bierwisch 1 Euler 0 Gagarin 0 = Montague 1 Roddenberry 0 Ross 1 Torvalds 0 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 28