Funktionen (Teschl/Teschl 5.2) Beispiele. Eine Funktion (oder Abbildung) f : M N,

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1 Funktionen (Teschl/Teschl 5.2) Eine Funktion (oder Abbildung) f : M N, x f (x) ordnet jedem Element x einer Menge M (Denitionsbereich) eindeutig ein Element y = f (x) einer Menge N (Werte- oder Bildbereich) zu. Beispiele Student Matrikelnummer, Digitalfoto Dateigröÿe, f : Z N, n (n + 1) 2, g : R R, x x sin x x / 48

2 Gegenbeispiele Keine Funktionen sind Person Handynummer, da 1. nicht jeder ein Handy hat und 2. es Personen mit mehr als einem Handy gibt. f : R R, x x, da die Wurzel nur für nichtnegative x deniert ist. f wird zur Funktion, wenn man als Denitionsbereich statt R die Menge R + = {x R : x 0} betrachtet. Person Ehepartner, da nicht jeder verheirated ist. Wird zur Funktion, wenn man nur verheiratete Personen betrachtet. Student Studienfach, da es möglich ist, mehrere Fächer zu studieren. 2 / 48

3 Darstellung von Funktionen durch Abbildungsvorschrift (Funktionsgleichung), z. B. f (x) = x 2, durch Wertetabelle, z. B. Adressdatenbank, bei reellen Funktionen durch Funktionsgraphen: Menge aller Wertepaare (x, f (x)) als Punkte in der Ebene. Graph von f (x) = 1 1+x 2 3 / 48

4 Injektiv und surjektiv Eine Funktion f : M N heiÿt injektiv, wenn für x 1 x 2 gilt f (x 1 ) f (x 2 ). Äquivalente Formulierungen sind: Aus f (x 1 ) = f (x 2 ) folgt x 1 = x 2 oder Zu jedem y N gibt es höchstes ein x M mit f (x) = y. surjektiv, wenn es zu jedem y N (mindestens) ein x M gibt mit f (x) = y, d. h. jedes Element y aus dem Wertebereich auch tatsächlich als Funktionswert angenommen wird. bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall gibt es zu jedem y M genau ein x N mit f (x) = y. 4 / 48

5 Beispiele Die Abbildung Student Matrikelnummer ist injektiv, da Matrikelnummern nicht mehrfach vergeben werden. Sie ist typischerweise nicht surjektiv, da nicht alle in Frage kommenden Matrikelnummern tatsächlich vergeben sind. Die Abbildung Student Geburtsdatum ist nicht injektiv. Die Funktion f : R R, x x 3 ist bijektiv, denn zu jedem y R gibt es genau ein x R (x = 3 y) mit f (x) = y. Die Funktion f : N N, n n + 2 ist injektiv (aus f (m) = f (n) m + 2 = n + 2 folgt m = n). f ist nicht surjektiv, da es z. B. kein n N gibt mit f (n) = 1. Bemerkung Durch Einschränkung des Wertebereichs kann jede Funktion surjektiv gemacht werden. 5 / 48

6 injektiv, aber nicht surjektiv 6 / 48

7 surjektiv, aber nicht injektiv 7 / 48

8 weder surjektiv noch injektiv 8 / 48

9 bijektiv (surjektiv und injektiv) 9 / 48

10 Umkehrfunktion Ist f : M N bijektiv, so gibt es zu jedem y aus dem Wertebereich N genau ein x aus dem Denitionsereich M mit f (x) = y. Damit lässt sich die Umkehrfunktion f 1 : N M durch Umkehrung der Zuordung denieren: x = f 1 (y) y = f (x). Beispiel Sitzplatz Student (im voll besetzten Hörsaal), f (x) = 2x + 1 f 1 (y) = 1 (y 1). 2 f (x) = x 3 f 1 (y) = 3 y. 10 / 48

11 Bestimmung der Umkehrfunktion durch Umkehrung der Zuordnung einer Tabelle, durch Auösung der Funktionsgleichung y = f (x) nach x, bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. 11 / 48

12 Verknüpfung von Funktionen Sind f : M R und g : M R Funktionen, so sind auch f + g : x f (x) + g(x), f g : x f (x) g(x) und f g : x f (x) g(x) f g : x f (x) g(x), (falls g(x) 0) wieder Funktionen mit Denitionsbereich M und Wertebereich R. Komposition (Hintereinanderausführung) Sind f : A B und g : B C Funtionen, so ist g f : A C, a g(f (a)) eine Funktion mit Denitionsbereich A und Wertebereich C. 12 / 48

13 Beispiel (1) Mit f (x) = x + 1 und g(x) = 2x ist (f + g)(x) = 3x + 1, (f g)(x) = 1 x, (f g)(x) = 2x 2 + 2x, f g (x) = x, (f g)(x) = 2x + 1, (g f )(x) = 2x + 2. (2) Mit A Menge der Studenten, B Menge aller Tage zwischen 1900 und 2009, f : A B, Student Geburtstag, C = N natürliche Zahlen und g : B C, Geburtstag Lebensalter ist g f : A C die Abbildung, die jedem Studenten sein Alter zuordnet. 13 / 48

14 Bemerkungen Die Komposition g f ist immer dann deniert, wenn der Wertebereich von f im Denitionsbereich von g liegt. Ist g f deniert, so muss f g nicht deniert sein. Die Komposition ist nicht kommutativ. Sind sowohl g f als auch f g deniert, so gilt im allgemeinen nicht f g = g f. Die Komposition ist assoziativ, d. h. falls g f und h g deniert sind, gilt h (g f ) = (h g) f. g ist Umkehrfunktion von f genau dann, wenn (g f )(x) = x und (f g)(y) = y für alle x, y. 14 / 48

15 Reelle Funktionen sind Funktionen, deren Denitions- und Wertemenge Teilmengen der reellen Zahlen R sind. Der Denitionsbereich ist dabei typischerweise ein Intervall (= zusammenhängende Teilmenge von R) bzw. eine Vereinigung von Intervallen. Zu a, b R mit a < b betrachtet man [a, b] = {x R : a x b} (abgeschlossenes Intervall), (a, b) =]a, b[= {x R : a < x < b} (oenes Intervall), [a, b) = {x R : a x < b} sowie (a, b] = {x R : a < x b} (halboene Intervalle), [a, ) = {x R : x a} sowie (, b] = {x R : x b} (unbeschränkte Intervalle) und analog (a, ), (, b) sowie (, ). 15 / 48

16 Bemerkung Eine durch eine Funktionsgleichung y = f (x) denierte reelle Funktion hat einen natürlichen maximalen Denitionsbereich bestehend aus allen x R, für die f (x) sinnvoll deniert ist und eine reelle Zahl ergibt. Beispiele f (x) = x ist deniert auf R + = [0, ) f (x) = ln x ist deniert auf (0, ) f (x) = x 3 2x 2 + 3x 1 ist deniert auf R f (x) = 1 ist deniert auf x 2 1 R \ { 1, 1} = (, 1) ( 1, 1) (1, ) Der tatsächlich betrachtete Denitionsbereich kann je nach Anwendung eine Teilmenge des maximalen Dentionsbereichs sein. 16 / 48

17 Invertierbarkeit reeller Funktionen Eine auf einem Intervall denierte reelle Funktion ist stetig, wenn ihr Graph zusammenhängend ist. Sie ist streng monoton wachsend, wenn für x < y gilt f (x) < f (y) bzw. streng monoton fallend, wenn für x < y gilt f (x) > f (y). Es gilt: Eine stetige Funktion ist genau dann bijektiv (bei geeigneter Wahl von Denitions- und Wertebereich), wenn sie streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. 17 / 48

18 Spezielle reelle Funktionen Lineare Funtionen f (x) = ax + b, Beispiel f (x) = 4x 1, Polynome oder ganzrationale Funktionen f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, Beispiel f (x) = 2x 3 x 2 + x 2. Hier ist n = 3, a 3 = 2, a 2 = 1, a 1 = 1 und a 0 = 2. (gebrochen)rationale Funktionen, z. B. f (x) = x3 2x 2 +x 2 3x 2 x+2, Weitere Funktionen wie z. B. f (x) = x, sin x, cos x, 2 x, e x, log 2 x, ln x, / 48

19 Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms p ist p(x) = n k=0 a kx k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit Koezienten a 0,..., a n R. Ist a n 0, so ist n = deg p N der Grad (engl. degree) von p. Beispiel: p 1 (x) = x 2 + 2x + 2, p 2 (x) = x 3, p 3 (x) = 2 x x 2 + 3x 4 und p 4 (x) = 2x 7 4x 4 + 3x 2 1 sind Polynome vom Grad 2, 3, 4 bzw. 7. Allgemein ist der Grad die höchste Potenz n, in der die Variable x in der Funktionsgleichung auftritt. 19 / 48

20 Eigenschaften von Polynomen Polynome p(x) sind für alle x R deniert. Sind p und q Polynome, so sind auch p + q, p q, p q und p q Polynome, d. h. Summe, Dierenz, Produkt und Komposition von Polynomen ergibt jeweils wieder ein Polynom. Konstante Funktion p(x) = a 0 sind Polynome vom Grad 0, der Nullfunktion p(x) = 0 wird der Grad zugeordnet. Polynome p(x) = a 1 x + a 0 vom Grad 1 sind lineare Funktionen, ihr Funktionsgraph ist eine Gerade. Quadratische Polynome p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 haben den Grad 2, ihr Funktionsgraph ist eine Parabel. Dabei wird der Graph von f (x) = x 2 als Normalparabel bezeichnet. 20 / 48

21 Nullstellen von Polynomen Die Nullstellen (d. h. Lösungen der Gleichung f (x) = 0) eines quadratischen Polynoms f (x) = x 2 + py + q erhält man durch die pqformel: x 1,2 = p 2 ± ( p 2) 2 q. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, so hat p(x) keine reellen Nullstellen. Liegt ein quadratisches Polynom in der allgemeinen Form f (x) = ax 2 + bx + c, so wird erst durch a gekürzt: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 Beispiel: 3x 2 + 3x 6 = 0 x 2 + x 2 = 0 ( x = 1 ± ) + 2 = 1 ± 9 = 1 ± 3, d. h. die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 2 und x 2 = / 48

22 Berechnung von Polynomen mit Hornernerschema Durch geschickte Klammerung kann die Zahl der Rechenoperationen bei der Auswertung eines Polynoms vermindert werden: f (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ((a 3 x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 Dies führt zu folgendem rekursiven Algorithmus: y 1 = a n, Dann ist: y n+1 = f (x). y i+1 = y i x + a n i für i = 1,..., n. Beispiel Zu berechnen ist f ( 1) für f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3 (mit Grad n = 4). Man erhält y 1 = a 4 = 2, y 2 = y 1 ( 1) + a 3 = 2 3 = 5, y 3 = y 2 ( 1) + a 2 = = 6, y 4 = y 3 ( 1) + a 1 = = 3 und y 5 = y 4 ( 1) + a 0 = 3 3 = 0. Also ist f ( 1) = y 5 = / 48

23 Notation als Schema Berechne f ( 1) für f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3: f ( 1) = 0 Erläuterung: Die obere Zeile enthält die Koezienten a 4, a 3,..., a 0 des Polynoms. Die untere Zeile enthält y 1, y 2,..., y 5 und ergibt sich als Summe der beiden ersten Zeilen. In der mittleren Zeile startet man links mit 0, die übrigen Werte sind der Wert jeweils links darunter multipliziert mit x = 1 (durch Pfeile markiert). Das Ergebnis f (x) = 0 erschient rechts unten. 23 / 48

24 Newtoninterpolation Zu n + 1 vorgegebeben Punkten (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) in der Ebene (wobei die x i alle verschieden sein müssen) gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom p(x) = n a j x j = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 j=0 vom Grad n, dessen Graph die gegebenen Punkte interpoliert, d. h. es gilt p(x 0 ) = y 0, p(x 1 ) = x 1,..., p(x n ) = y n bzw. kurz p(x i ) = y i für i = 0,..., n. Eine Methode zur Berechnung von a n,..., a 0 ist die NewtonInterpolation. 24 / 48

25 Beispiel zur Newtoninterpolation Gesucht ist ein Polynom p(x) mit p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = 1 und p(3) = 1. Da n + 1 = 4 Punkte vorgegeben sind, gibt es ein Polynom 3. Grades, dass diese Punkte interpoliert. 25 / 48

26 Beispiel zur Newtoninterpolation Gesucht ist ein Polynom p(x) mit p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = 1 und p(3) = 1. Da n + 1 = 4 Punkte vorgegeben sind, gibt es ein Polynom 3. Grades, dass diese Punkte interpoliert. 26 / 48

27 Berechnung der Newton-Interpolation Man macht den Ansatz p(x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) (x x 1 ) c n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n 1 ) und berechnet sukzessive (Schritt für Schritt) die Koezienten c 0, c 1,..., c n : Im 1. Schritt wird ein Polynom p 0 (x) = c 0 vom Grad 0 bestimmt mit p 0 (x 0 ) = y 0 : c 0 = p(x 0 ) = y 0, Im Beispiel mit (x 0 ; y 0 ) = (0; 1) erhält man c 0 = p(0) = 1, also ist p 0 (x) = 1 die konstante Funktion mit Wert / 48

28 Berechnung der Newton-Interpolation, Fortsetzung Im 2. Schritt wird ein Polynom p 1 (x) vom Grad 1 bestimmt mit p 1 (x 0 ) = p 0 (x 0 ) = y 0 und p 1 (x 1 ) = y 1. Dazu macht man den Ansatz p 1 (x) = p 0 (x) + c 1 (x x 0 ) und setzt x = x 1 ein: y 1 = c 0 + c 1 (x 1 x 0 ) c 1 = y 1 c 0 x 1 x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 = d 0,1. Im Beispiel mit (x 1 ; y 1 ) = (1; 0) erhält man 0 = y 1 = p 1 (1) = p 0 (1) + c 1 (1 x 0 ) = 1 + c 1 (1 0) = 1 + c 1 c 1 = 1, also p 1 (x) = p 0 (x) + c 1 (x 0) = 1 x. 28 / 48

29 Berechnung der Newton-Interpolation, Schritt 3 Nun bestimmt man ein Polynom p 2 (x) vom Grad 2 mit p 2 (x 0 ) = p 1 (x 0 ), p 2 (x 1 ) = p 1 (x 1 ) und p 2 (x 2 ) = y 2 mit dem Ansatz p 2 (x) = p 1 (x) + c 2 (x x 0 ) (x x 1 ). Durch Einsetzen von x = x 2 erhält man eine Gleichung für c 2 : y 2 = c 0 + c 1 (x 2 x 0 ) + c 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) c 2 = d 1,2 d 0,1 x 2 x 0 = d 0,2 mit d 1,2 = y 2 y 1 x 2 x 1. Im Beispiel mit (x 2 ; y 2 ) = (2; 1) erhält man 1 = y 2 = p 1 (x 2 ) + c 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) = c 2 (2 0) (2 1) = 1 + 2c 2 2c 2 = 2 c 2 = 1, also p 2 (x) = 1 x + 1 (x 0) (x 1) = 1 x + x (x 1) 29 / 48

30 Schritt n + 1 der NewtonInterpolation Im nten Schritt wurde p n 1 (x) bestimmt mit p n 1 (x i ) = y i für i = 0,..., n 1. Man macht den Ansatz p n (x) = p n 1 (x) + c n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n 1 ), setzt x = x n ein und löst die Gleichung nach c n auf. 4. Schritt im Beispiel Mit (x 3 ; y 3 ) = (3; 2) und dem Ansatz p 3 (x) = p 2 (x) + (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) erhält man 2 = y 3 = p 3 (3) = p 2 (3) + c 3 (3 0) (3 1) (3 2) = (3 1) + 6c 3 = 4 + 6c 3 6c 3 = 2 c 3 = 1 3, also p 3 (x) = 1 x + x (x 1) 1 x (x 1) (x 2) / 48

31 Abschluss der NewtonInterpolation Sind alle n + 1 Punkte abgearbeitet, ist das Interpolationspolynom p(x) = p n (x). Um eine Darstellung in der Standardform p(x) = a n x n +...a 1 x + a 0 zu erhalten, müssen die Klammern aufgelöst werden. Im Beispiel ist dann p(x) = p 3 (x) = 1 3 x 3 + 2x x + 1 Bemerkungen Die Reihenfolge, in der die Punkte (x i, y i ) abgearbeitet werden, spielt für das Endergebnis keine Rolle. Beim Hinzufügen eines neuen Punktes (x n+1, y n+1 ) muss nicht die gesamte Rechnung neu ausgeführt werden, sondern man kann das vorher berechnete Polynom p n (x) als Grundlage benutzen, um in einem zusätzlichen Schritt ein neues Polynom p n+1 (x) zu bestimmen. 31 / 48

32 Das Schema der dividierten Dierenzen erlaubt eine übersichtliche Berechnung der NewtonInterpolation: x 0 d 0 = y 0 = c 0 x 1 d 1 = y 1 d 0,1 = y 1 y 0 x 1 x 0 = c 1 x 2 d 2 = y 2 d 1,2 = y 2 y 1 x 2 x 1 d 0,2 = d 1,2 d 0,1 x 2 x 0 = c 2 x 3 d 3 = y 3 d 2,3 = y 3 y 2 x 3 x 2 d 1,3 = d 2,3 d 1,2 x 3 x 1 d 0,3 = d 1,3 d 0,2 x 3 x 0 = c Erläuterung: Die dividierten Dierenzen d j,i werden rekursiv wie folgt berechnet: d i = y i, d i 1,i = y i y i 1 x i x i 1 und d j,i = d j+1,i d j,i 1 x i x j. Als Ergebnis erhält man c i = d 0,i für i = 0,..., n. 32 / 48

33 Im Beispiel 0 1 = c ( = 1 0) 0 1 = c ( ) ) = (= 1 ( 1) ( ) ( ) = = = c 2 ( 1 3 = ) = c3 Es folgt p(x) = 1 1 (x 0)+1 (x 0) (x 1) 1 (x 0) (x 1) (x 2) 3 = 1 3 x 3 + 2x x / 48

34 Andere Klassen reeller Funktionen (Gebrochen-)rationale Funktionen haben die Form f (x) = p(x), wobei p(x) ein Polynom vom Grad n und q(x) q(x) ein Polynom vom Grad m ist. f (x) ist dann deniert für alle x mit q(x) 0. Der Defnitionsbereich besteht somit aus R mit Ausnahme endlich vieler Punkte und ist eine Vereinigung von oenen Intervallen. Beispiel: f (x) = 2x2 x+1 ist deniert auf x 2 1 R \ { 1, 1} = ( ; 1) ( 1; 1) (1; ) Algebraische Funktionen unterscheiden sich von rationalen Funktionen dadurch, dass sie Wurzelausdrücke enthalten. Sie treten typischerweise als Umkehrfunktionen von Polynomen oder rationalen Funktionen auf. Beispiele: f (x) = 3 x, x 2 1+x x + 4 x+1 2, 2x 3 x+1+ 5 x 2 +2 x 34 / 48

35 Beispiel Die Funktion p(x) = x 2 4x + 5 bildet das Intervall [2, ) bijektiv auf [1, ) ab. Die Umkehrfunktion f 1 : [1, ) [2, ) ist eine algebraische Funktion, deren Abbildungsvorschrift man durch Auösung Funktionsgleichung nach y erhält: y = x 2 4x + 5 x 2 4x + 5 y = 0 x = 2 ± 4 (5 y) = 2 ± y 1. Für x [2, ) muss der positive Zweig der Wurzel gewählt werden, also ist f 1 (y) = 2 + y 1 Transzendente Funktionen sind weder rational noch algebraisch. Beispiele: f (x) = 2 x, ln x, cos x 35 / 48

36 Relationen (Teschl/Teschl 5.1) Eine (binäre) Relation zwischen den Mengen M und N ist eine Teilmenge R der Produktmenge M N. Beispiele M Menge aller Studierenden, N Menge aller Vorlesungen, R : {(x, y) M N : x besucht Vorlesung y}. R = {(x, y) R R x < y}, R = {(m, n) N N m und n haben die gleiche Quersumme}, 36 / 48

37 Zusammenhang mit Funktionen Ist f : M N eine Abbildung, so deniert R f = {(x, y) : y = f (x)} M N eine Relation. Damit kann der Begri Relation als Verallgemeinerung des Abbildungsbegris betrachtet werden. Zu einer gegebenen Relation R M N gibt es genau dann eine Abbildung f : M N mit R = R f, wenn R rechtseindeutig und linkstotal ist, d. h. wenn es zu jedem x M ein eindeutiges y N gibt mit (x, y) R. Bei einer allgemeinen Relation kann es im Gegensatz dazu x M geben, die mit keinem y N in Relation stehen, sowie solche x, die mit mehreren y in Relation stehen. 37 / 48

38 Die Verknüpfung von Relationen verallgemeinert die Hintereinanderausführung von Funktionen: Zu R A B und S B C deniert man RS = S R = {(a, c) : b B : (a, b) R and (b, c) S} A C R n = R R... R }{{} n mal Beispiel R = {(x, y) R R : x y < 1}, S = {(x, y) R R : x y < 3}, S R = {(x, y) R R : x y < 4}, R n = {(x, y) R R : x y < n}. 38 / 48

39 Die Verknüpfung von Relationen ist assoziativ, aber nicht kommutativ. Inverse Relation zu R A B R 1 = {(y, x) B A (x, y) A B}. Bemerkung: Die inverse Relation ist (im Gegensatz zur inversen Abbildung) immer deniert. nstellige Relationen stellen eine Verallgemeinerung des Relationsbegris dar: Eine nstellige Relation ist eine Teilmenge Anwendung R A 1 A 2... A n. Datenbankstrukturen Relationale Algebra 39 / 48

40 Relationen auf einer Menge Eine besondere Rolle spielt der Fall M = N. Bei einer Relation R M M spricht man auch von einer Relation auf M. Beispiele M Menge von Personen, R = {(x, y) M M : x ist mit y befreundet} R = {(x, y) R R : x < y}. 40 / 48

41 Bemerkung Relationen auf einer endlichen Menge können durch (gerichtete) Graphen dargestellt werden. Beispiel Der Graph stellt die Relation R = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3)} auf der Menge M = {1, 2, 3, 4} dar. 41 / 48

42 Eigenschaften Eine Relation R auf M heiÿt reexiv, wenn (x, x) R für alle x M, symmetrisch, wenn (x, y) R (y, x) R, antisymmetrisch, wenn aus (x, y) R und (y, x) R folgt x = y, transitiv, wenn (x, y) R (y, z) R (x, z) R. Bemerkung R ist genau dann symmetrisch, wenn R 1 = R und genau dann transitiv, wenn R 2 R. Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation auf M, die reexiv, symmetrisch und transitiv ist. 42 / 48

43 Äquivalenzklassen Eine Äquivalenzrelation R zerlegt M in Äquivalenzklassen. Dabei handelt es sich um Teilmengen von M mit der Eigenschaft, dass x und y genau dann zur selben Äquivalenzklasse gehören, wenn (x, y) R. Beispiele für Äquivalenzrelationen M Menge von Personen, R sie die Relation auf M mit (x, y) R, wenn die Personen den selben Wohnort haben. Dann ist R eine Äquivalenzrelation. Eine Äquivalenzklasse besteht dann aus allen Bewohnern eines Ortes. R = {(x, y) Z Z : x y ist gerade} ist eine Äquivalenzrelation auf Z. Es gibt zwei Äquivalenzklassen: die Menge aller geraden Zahlen sowie die Menge aller ungeraden Zahlen. 43 / 48

44 Eine Ordnungsrelation ist eine Relation auf M, die reexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiele R = {(x, y) R R : x y} ist eine Ordnungsrelation auf R. R = {(n, m) N N : n ist Teiler von m} ist eine Ordnungsrelation auf N. Bemerkung Die kleinerrelation R = {(x, y) : x < y} ist keine Ordnungsrelation auf R, da sie nicht reexiv ist. Sie wird erst zur Ordnungsrelation, wenn statt dessen betrachtet wird. Allgemein gilt: Jede antisymmetrische und transitive Relation auf M kann zu einer Ordnungsrelation erweitert werden, indem man alle Paare (x, x) mit x M zu R hinzufügt. 44 / 48

45 Vollständige und partielle Ordung Eine vollständige Ordnung auf M ist eine Ordnungsrelation R, bei der je zwei Elemente vergleichbar sind, d. h. für alle x, y M gilt entweder (x, y) R oder (y, x) R. Beispiel: Die Relation ist eine vollständige Ordnung auf R. Eine partielle Ordnung ist eine Ordnungsrelation R, die keine vollständige Ordnung ist, d. h. es gibt x und y mit (x, y) R und (y, x) R. Beispiel: Die Relation n ist Teiler von M ist eine partielle Ordnung auf N, da z. B. 2 und 3 nicht vergleichbar sind (2 ist kein Teiler von 3 und 3 ist kein Teiler von 2). 45 / 48

46 Beispiele mit M = {1, 2, 3, 4} R 0 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ist reexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv. Insbesondere schlieÿen sich die Eigenschaften symmetrisch und antisymmetrisch nicht gegenseitig aus, wenn R keine Paare (x, y) mit x y enthält. R ist sowohl Äquivalenzrelation (die Äquivalenzklassen sind die einelementigen Teilmengen von M) als auch (partielle) Ordnung. R 1 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} ist antisymmetrisch und transitiv. Damit ist R 1 R 0 eine Ordnungsrelation. Da weder (1, 2) noch (2, 1) enthalten ist, handelt es sich um eine partielle Ordnung. 46 / 48

47 Weitere Beispiele mit M = {1, 2, 3, 4} R 3 = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2)} ist nicht reexiv, da (4, 4) R 3, nicht symmetrisch, da (2, 1) R 3, aber (1, 2) R 3, nicht antisymmetrisch, da z. B. (1, 3) und (3, 1) R 3 und nicht transitiv, da (2, 1), (1, 3) R 3, aber (2, 3) R 3 R 4 = {(1, 1), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} ist reexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen sind {1, 4}, {2} und {3}. R 5 = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} ist eine totale Ordnung. Sie beschreibt die Reihenfolge 2, 3, 1, / 48

48 Hüllen Die reexive Hülle [R] re einer Relation R auf M erhält man, idem man zu R alle Paare (x, x) mit x M hinzufügt. Die symmetrische Hülle [R] symm von R erhält man, indem man zu R alle Paare (y, x) hinzufügt, für die (x, y) R ist. Es ist [R] symm = R R 1. Die transitive Hülle [R] trans von R ist die kleinste transitive Relation, in der R als Teilmenge enthalten ist. Es ist [R] trans = R R 2 R 3... Beispiel M = {1, 2, 3, 4} und R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} [R] re = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} [R] symm = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)} [R] trans = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 48 / 48