MATHEMATIK Grundkurs 11m /2011

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1 MATHEMATIK Grundkurs 11m /2011 Städtisches Gymnasium Leichlingen Zusammenfassende Informationen zum Vertretungs-Unterricht durch Klaus-R. Löffler ( vom 29. Oktober bis zum 19. November 2010 und vom 14. Januar 2011 bis 4. Februar 2011 Für jede Doppelstunde ein Kapitel

2 Inhaltsverzeichnis 1 Doppelstunde Die binomischen Formeln Die lineare Funktion Die grundlegenden Formeln zur linearen Funktion Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Hinweise auf häufige Fehler bei den Hausaufgaben zu Mi, Doppelstunde Das Lösen quadratischer Gleichungen Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Zu häufigen Fehlern bei den Hausaufgaben zu Mi, : Einige Hinweise zur Fehlervermeidung Doppelstunde Beispiele für Lösen quadrsatischer Gleichungen durch Faktorzerlegung Verschiebung von Funktionsgraphen im Koordinatensystem Verschiebung in x-achsen-richtung Verschiebung in y-achsen-richtung Allgemeine Verschiebung eines Graphen im Koordinatensystem Zwei bekannte Beispiele zur Verschiebung Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Zu Ansatzschwierigkeiten und einem häufigen Fehler bei den Hausaufgaben zu Mi, Doppelstunde Die Kandidaten a für einen geeigneten Faktor x a Nur Nullstellen von f sind geeignet Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des absoluten (variablenfreien) Summanden des Polynoms Division eines Polynoms durch einen Term der Form x a Die Idee des Divisionsverfahrens Der Divisionsalgorithmus in praktischer Durchführung Die Faktorisierung eines Polynoms (Zusammenfassung) Das allgemeine Verfahren Durchführung an einem Beispiel Übungsaufgaben zu Faktorisierung und Polynomdivision (mit vollständigen Lösungen) Doppelstunde Übung zu ganzrationalen Funktionen Lösungen/ Lösungshinweise zu einigen der Aufgaben Doppelstunde Lösungen Kurztest zu ganzrationalen Funktionen Lösungen zu den Aufgaben im Kurztest und Prozentsatz der Schüler mit dem richtigen Teilergebnis 31 1

3 INHALTSVERZEICHNIS 2 7 Doppelstunde Vorzeichenbereiche bei einer ganzrationalen Funktion Beispiele zur Bestimmung der Vorzeichenbereiche Hausaufgaben zu Freitag, Ergebnisse der Hausaufgaben, besprochen am Doppelstunde Ein weiteres Beispiel zur Vorzeichenbetrachtung Ausblick auf die weitere Kurvenuntersuchung

4 Kapitel 1 Doppelstunde Zunächst wurde auf die Bedeutung der grundlegenden Verfahren aus der Sekundarstufe 2 hingewiesen, insbesondere im Zusammenhang mit folgenden Themen. 1. Bruchrechnung 2. Binomische Formeln 3. Lineare Gleichungen und Lineare Funktionen 4. Wurzeln und Beträge 5. Quadratische Gleichungen 6. Strahlensätze 7. Satz des Pythagoras Aus dieser nicht vollständigen Zusammenstellung (es fehlen z.b. die trigonometrischen Funktionen) wurden die binomischen Formeln und - im Hinblick auf die Klausur vom die linearen Funktionen herausgegriffen. 1.1 Die binomischen Formeln Die binomischen Formeln werden meist in der folgenden Form gelernt: (I) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (II) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (III) (a + b)(a b) = a 2 b 2 Für die praktische Anwendung ist allerdings meistens von der rechten Seite der Gleichungen ausgehend zur linken Seite überzugehen, also z.b. zu erkennen, dass man a a + 25 nach der ersten binomischen Formel zu (a + 5) 2 zusammenfassen kann. Auerdem stehen im konkreten Fall anstelle der Platzhalter meistens auch nicht a und b, sondern andere Variablen oder gar Terme. Aus dem Zweitgenannten Grund ist es zwar lästig, aber zum Lernen günstig, die binomischen Formeln nicht in Buchstaben, sondern mit ihrer Bedeutung zu erlernen, also: 1. Man quadriert eine Summe, indem man das Quadrat des ersten Summanden, das Quadrat des zweiten Summanden und das doppelte Produkt der beiden Summanden addiert. 2. Man quadriert eine Differenz, indem man die Quadrate von Minuend und Subtrahend addiert, und von der Summe das doppelte Produkt von Minuend und Subtrahend subtrahiert. 3. Man multipliziert die Summe von zwei Zahlen mit der Differenz dieser Zahlen, indem man die Differenz der Quadrate der beiden Zahlen bildet. 3

5 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE Dabei kann man sich das Erlernen der zweiten binomischen Formel insofern sparen, als sie sich als Sonderfall der ersten binomischen Formel auffassen lässt. Besonders wichtig ist bei der dritten binomischen Formel die Folgerung, dass sich die Differenz von zwei Quadraten stets in Faktoren zerlegen lässt. Häufig muss man sich bei einigen Ausdrücken erst klar machen, dass sie sich als Quadrat schreiben lassen. Klar ist q 2 p 2 = (q + p)(q p) q = (q + 11)(q 11) q 2 8p + 16 = (q 4p) 2 Aber während schon nicht jeder 121 auf Anhieb als Quadratzahl erkennt, denkt man oft erst recht nicht daran, dass sich jede nicht-negative Zahl als Quadratzahl, nämlich als Quadrat ihrer Wurzel, darstellen lässt. Man muss also auch die folgenden Faktorzerlegungen sehen: 1 z 2 = (1 + p)(1 p) q 2 12 = (q + 12)(q 12) Falls x nicht negativ ist: x 81 = ( x 9)( x + 9) Die wichtigste Anwendung der binomischen Formeln ist in fast allen Fällen das Erkennen einer Zerlegungsmöglichkeit in Faktoren. 1.2 Die lineare Funktion Die Gleichung einer Geraden im Koordinatensystem lässt sich auf die Form y = mx + b bringen. Dabei gibt m die Steigung an, also den Wert, um den sich die y-koordinate eines Geraden-Punktes verändert, wenn man ihn so auf der Geraden verschiebt, dass die x-koordinate um 1 zunimmt: Aus dem Punkt mit den Koordinaten (x y) wird der Punkt mit den Koordinaten (x + 1 y + m). Der y-achsen-abschnitt der Geraden ist b, d.h. die Gerade schneidet die y-achse im Punkt mit den Koordinaten (0 b). Genau dann verlaufen zwei Geraden parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben Die grundlegenden Formeln zur linearen Funktion Die Steigung m der Geraden durch die Punkte P und Q beträgt m = y Q y P x Q x P Die Gleichung der Geraden mit Steigung m durch den Punkt P lautet y = y P + m(x x P ) Mit den beiden genannten Formeln ergibt sich unmittelbar die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q: y = y P + y Q y P x Q x P (x x P ) Wenn die Geraden g und h senkrecht aufeinander stehen, ist das Produkt ihrer Steigungen -1. Wenn die Gerade g nicht die Steigung 0 hat (also nicht parallel zur x-achse verläuft), gilt: m h = 1 m g

6 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Zerlege durch Anwendung einer der binomischen Formeln in Faktoren. (a) 144x 2 24x + 1 = (12x 1) 2 (b) z 2 = ( z)(10 99z) (c) x 2 28x + 7 = (x 7) 2 2. Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B. (a) A(1 5), B(5 1) Lösung: Einsetzen in die Formel y = y A + y B y A x B x A (x x A ) ergibt y = (x 1) = 5 (x 1); y = x (b) A(3 4), B(5 44) Lösung: y = (c) A(3 7), B(8 6) Lösung: (x 3) = (x 3); y = 20x 56. y = (x 3) = (x 3); y = 1 5 x Bestimme die Gleichung der Geraden durch den Punkt A, die senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung m verläuft. (a) A(1 5), m = 1 Lösung: Einsetzen in die Formel y = y A 1 m (x x A) ergibt y = 5 1 (x 1) = 5 (x 1); y = x + 6. (b) A(2 4), m = 2 3 Lösung: y = (x 2); y = 3 2 x + 7. (c) A(3 7), m = 3 5 Lösung: y = (x 3); y = 5 3 x Im Dreieck ABC mit den Ecken A(2 2), B(10 6), C(8 6) wird der Mittelpunkt der Seite AB mit M, und der Mittelpunkt der Seite BC mit N bezeichnet. (a) Bestimme die Koordinaten von M und N; statt einer Rechnung kann die Lösung auch zeichnerisch erfolgen. Lösung: x M = 1 2 (x A + x B ) = 1 2 (2 + 10) = 6; y M = 1 2 (y A + y B ) = 1 ( 2 6) = 4; 2 x N = 1 2 (x B + x C ) = 1 2 (10 + 8) = 9; y N = 1 2 (y B + y C ) = 1 ( 6 + 6) = 0. 2 M = (6 4), N = (9 0).

7 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE (b) Eine Gerade g verläuft senkrecht zu AB durch M, eine Gerade h verläuft senkrecht zu BC durch N. Bestimme die Gleichungen von g und h. Lösung: Die Steigung von AB beträgt y B y A x B x A = 6 ( 2) 10 2 = 1 2, also ist m g = 2. Die Steigung von BC beträgt y C y B x C x B Die gesuchten Gleichungen sind also: = 6 ( 6) 8 10 = 6, also ist m h = 1 6. g : y = y M + m g (x x M ) = (x 6); y = 2x 16, h : y = y N + m h (x x N ) = (x 9); y = 1 6 x 3 2. (c) Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkte S, dem Umkreismittelpunkt von Dreieck ABC. Bestimme die Koordinaten von S. Lösung: Gleichsetzen der Funktionsterme der Gleichungen von g und h ergibt 2x 16 = 1 6 x 3 2. Auflösen der Gleichung nach x ergibt 11 6 x = 29 2, also x S = 87 y S = 2 x S 16 = = = 2 11 ; S = ( ) (7, 91 0, 18). (d) Fertige eine Zeichnung in geeignetem Maßstab an, in der auch der Umkreis des Dreiecks eingezeichnet ist. Lösung:

8 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE Hinweise auf häufige Fehler bei den Hausaufgaben zu Mi, Missachtung der Rangfolge beim Ausführen der Grundrechenarten (a) Punktrechnung vor Strichrechnung: Häufig ist die Reihenfolge der Operationszeichen von links nach rechts nicht identisch mit der Reihenfolge der auszuführenden Rechnungen. Verdeutlicht man die erforderliche Reihenfolge durch Klammersetzung so hat man zum Beispiel (x 2) = 3 + (5 (x 2)) und nicht... = (3 5) (x 2). Entsprechend muss bei der Berechnung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte P und Q die Steigung y Q y P x Q x P bei einer Schreibweise ohne Formelgenerator in der Form (y Q y P )/(x Q x P ) notiert werden, denn die Schreibweise y Q y P /x Q x P bedeutet etwas ganz anderes: Hier wird von y Q zuerst der Ausdruck y P x Q abgezogen und danach noch x P subtrahiert, - also etwas ganz anderes gerechnet als vorgesehen. (b) Potenzieren vor Multiplizieren: Beim Potenzieren gilt der Exponent immer nur für den Faktor, neben den er geschrieben ist. Beim Ausdruck 99z 2 wird also nur der Faktor z quadriert und nicht auch der Faktor 99. Will man den gesamten Ausdruck 99z mit 2 potenzieren, muss man (99z) 2 oder nach Auflösen der Klammer 99 2 z 2 schreiben. 2. Fehlende Kontrolle der Ergebnisse: Bei der Gleichungs-Bestimmung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte ist es - außer bei ganz großer Verfahrenssicherheit - ebenso wichtig wie einfach, das Ergebnis zu kontrollieren. Wird zum Beispiel für die Gerade durch A(1 5), B(5 1) fehlerhafterweise die Gleichung y = 4x 4 ermittelt, so zeigt sofort das Einsetzen der Koordinaten von A durch das Ergebnis = 0 5, dass bei der Ermittlung der Gleichung ein Fehler unterlaufen ist.

9 Kapitel 2 Doppelstunde Das Lösen quadratischer Gleichungen Nachdem im ersten Teil der Doppelstunde ausschließlich die Ergebnisse der Hausaufgaben und die aufgetretenen Fehler besprochen wurden, war das Thema im zweiten Teil das Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Hierzu wurde - als Wiederholung - dieses Lösungsverfahren in folgende Schritte zerlegt: 1. Schritt: Gleichung auf Normalform x 2 + px + q = 0 bringen. Eine Gleichung heißt quadratisch, wenn sie sich durch erlaubte Umformungen auf die Form x 2 +px+q = 0 bringen lässt, also sind alle folgenden Gleichungen quadratisch: (a) (x + 1) (x 8) = 2 4x (b) (x + 5) (x 6) = 12 (c) 2x = x 2 4x (d) (x 8)(x 2)(x 5) = (x 6)(x 9)(x + 10) Denn durch Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen auf der linken Seite erhält man jeweils den Typ x 2 + px + q = Schritt: Die Koeffizienten p und q identifizieren. Dabei ist zu beachten, dass das Bilden einer Differenz nur das Addieren einer Gegenzahl ist: a b lässt sich als Summe a + ( b) auffassen. So sind zum Beispiel in der Gleichung x 2 2x 120 = 0 die Koeffizienten p und q beide negativ, nämlich p = 2, q = 120. Als nächste Übung sollten also in den vier beim ersten Schritt angegebenen Gleichungen die Koeffizienten p und q notiert werden. 3. Schritt: Die Berechnung der Diskriminante D und die Feststellung, wie viele Lösungen es gibt. Die Diskriminante (lat: die Unterscheidende) D wird berechnet als p2 4 q (oder in umgeformter Weise als D = ( p 2 )2 q). Sie lässt zwischen den drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung - nämlich keine Lösung, genau eine Lösung oder genau zwei Lösungen - unterscheiden: D < 0 : Keine Lösung, also L = {}. D = 0 : Genau eine Lösung. D > 0 : Genau zwei Lösungen. 4. Schritt: Die Berechnung und Angabe der Lösungen. Nur wenn die Diskriminante nicht negativ ist, ist die Lösungsmenge L nicht leer. D = 0 : Einzige Lösung ist p 2, also L = { p 2 }. D > 0 : Die beiden Lösungen sind x 1 = p 2 D, x 2 = p 2 + D, also L = { p 2 D; p 2 + D}. 8

10 KAPITEL 2. DOPPELSTUNDE Das nachfolgende Ablaufschema verdeutlicht nicht nur das Lösungsverfahren, sondern zeigt auch, wie in Spezialfällen die Lösungsmenge ohne Berechnung der Diskriminante angegeben werden kann.

11 KAPITEL 2. DOPPELSTUNDE Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Führe mit den folgenden vier Gleichungen, die bereits im Einführungstext dieses Kapitels beim ersten der vier Schritte angegeben sind, die einzelnen Schritte bis zur Angabe der Lösungsmenge durch. (a) (x + 1) (x 8) = 2 4x Lösung: x 2 7x 8 = 2 4x x 2 3x 10 = 0; p = 3; q = 10; D = 12, 25. Da D positiv ist, gibt es genau zwei Lösungen: x 1 = p 2 D = 1, 5 12, 25 = 1, 5 3, 5 = 2; x 2 = 1, 5 + 3, 5 = 5; L = { 2; 5} (b) (x + 5) (x 6) = 12 Lösung: x 2 x 42 = 0; p = 1; q = 42; D = ( 1 2 )2 ( 42) = 42, 25 = 6, 5 2 x 1 = 0, 5 6, 5 = 6; x 2 = 0, 5 + 6, 5 = 7; L = { 6; 7} (c) 2x = x 2 4x Lösung: x 2 + 4x + 3 = 0; p = 4; q = 3; D = 4 3 = 1 x 1 = 2 1 = 3; x 2 = = 1; L = { 3; 1} (d) (x 8)(x 2)(x 5) = (x 6)(x 9)(x + 10) Lösung: (x 8)(x 2 7x+10) = (x 6)(x 2 +x 90) x 3 15x 2 +66x 80 = x 3 5x 2 96x+540 Zusammenfassen auf der linken Seite der Gleichung und Division durch -10 ergibt 10x x 620 = 0 x 2 16, 2x + 62 = 0; p = 16, 2; q = 62; D = 3, 61 = 1, 9 2 x 1 = 8, 1 1, 9 = 6, 2; x 2 = 8, 1 + 1, 9 = 10; L = {6, 2; 10} 2. Notiere bei den folgenden bereits in Normalform angegebenen quadratischen Gleichungen (b), (c), (d), (e) und (f) die Werte p, q, D und und die Lösungsmenge L. (a) x x 11 = 0 Beispiellösung zu (a): p = 10; q = 11; D = p2 4 q = 100 ( 11) = = 36 > 0; 4 L = { p 2 D; p 2 + D} = { ; } = { 5 6; 5 + 6} = { 11; 1}. (b) x 2 6x 40 = 0 Lösung: p = 6; q = 40; D = 49; L = {3 7; 3 + 7} = { 4; 10} (c) x 2 + x 56 = 0 Lösung: p = 1; q = 56; D = 56, 25; L = { 0, 5 7, 5; 0, 5 + 7, 5} = { 8; 7} (d) x 2 8x + 12 = 0 Lösung: p = 8; q = 12; D = 4; L = {4 2; 4 + 2} = {2; 6} (e) x 2 8x + 16 = 0 Lösung: p = 8; q = 16; D = 0; L = {4} (f) x 2 8x + 18 = 0 Lösung: p = 8; q = 18; D = 2; L = {} 3. Führe bei allen bis hierhin gelösten quadratischen Gleichungen die Probe durch, falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Wenn die Probe nicht aufgeht, versuche den Fehler beim Lösen zu finden oder lass dir helfen. Lösung: Hier nur beispielhaft für Aufgabe 1(a) durchgeführt: Zu überprüfen: Lösungsmenge zu (x + 1) (x 8) = 2 4x ist L = { 2; 5}. Die linke Seite der Gleichung ergibt ( 2+1) ( 2 8) = 1 ( 10) = 10 bzw. (5+1) (5 8) = 6 ( 3) = 18. Die rechte Seite der Gleichung ergibt 2 4 ( 2) = 2 ( 8) = 10 bzw = 2 20 = 18. Die Probe bestätigt also die Richtigkeit der angegeben Lösungen. 4. Schätze aufgrund deiner Erfolge bei den ersten drei Aufgaben deinen erforderlichen Übungsbedarf ein und löse noch eine entsprechende Anzahl von passenden Aufgaben auf

12 KAPITEL 2. DOPPELSTUNDE Lösung: Damit jeder seine Bearbeitungen vergleichen kann, werden hier die Lösungen aller 20 Aufgaben angegeben. Als Übung zum Diskriminantenverfahren erfolgt die Lösung aller 20 Aufgaben der Mathemator-Homepage nach Schema F - vergleiche hierzu die Bemerkung am Ende. 1. x 2 + 9x 10 = 0 p = 9, q = 10, D = 30, 25 = 5, 5 2 L = { 10; 1} 2. (x 1)(x 2) = 20 x 2 3x 18 = 0; p = 3; q = 18; D = 20, 25 = 4, 5 2 L = { 3; 6} 3. 2x 2 + 3x + 21 = 0 x 2 + 1, 5x + 10, 5 = 0 p = 1, 5; q = 10, 5; D < 0 L = {} 4. x 2 2x 63 = 0 p = 2; q = 63; D = 64 = 8 2 L = { 7; 9} 5. (x 1)(x 2) + (x 3)(x 4) = 26 x 2 3x x 2 7x + 12 = 26 <=> x 2 5x 6 = 0 p = 5; q = 6; D = 12, 25 = 3, 5 2 L = { 1; 6} 6. x 2 + x + 1 = 0 p = 1; q = 1; D = 0, 75 < 0 L = {} 7. 3x 2 7x = 230 x x = 0 p = 7 3 ; q = ; D = = ( 53 6 )2 L = { 10; 23 3 } 8. x 2 + 5x 50 = 0 p = 5; q = 50; D = 56, 25 = 7, 5 2 L = { 10; 5} 9. (2x + 1) 2 20x = 21 4x 2 + 4x x = 21 4x 2 16x 20 = 0 <=> x 2 4x 5 = 0 p = 4; q = 5; D = 9 = 3 2 L = { 1; 5} 10. 7x 2 23x + 16 = 0 x x = 0 p = 23 7 ; q = 16 7 ; D = = ( 9 14 )2 L = { 1; 16 7 } 11. x 2 + x = 156 x 2 + x 156 = 0 p = 1; q = 156; D = 156, 25 = 12, 5 2 L = { 13; 12} 12. (2x 1) 2 + (2x + 1) 2 = 10 4x 2 4x x 2 + 4x + 1 = 10 <=> 8x 2 8 = 0 <=> x 2 1 = 0 p = 0; q = 1; D = 1 L = { 1; 1}

13 KAPITEL 2. DOPPELSTUNDE x 2 9 = 0 p = 0; q = 9; D = 9 L = { 3; 3} 14. x 2 x 380 = 0 p = 1; q = 380; D = 380, 25 = 19, 5 2 L = { 19; 20} 15. (x 1) 2 + (x + 1) 2 = (x 7) 2 x 2 2x x 2 + 2x + 1 = x 2 14x + 49 <=> x x 47 = 0 p = 14; q = 47; D = 96 L = { 7 96); } 16. 3x 2 + 5x = 0 x x = 0 p = ; q = 0; D = 36 = ( 5 6 )2 L = { 5 3 ; 0} 17. 3x 2 5x 1 = 0 x x 1 3 = 0 p = 5 3 ; q = 1 3 ; D = L = { ; } 18. 3x = 0 x x = 0 p = 0; q = 5 3 ; D = 5 3 < 0 L = {} 19. 3x 2 5 = 0 x x = 0 p = 0; q = 5 3 ; D = ( 5 3 )2 L = { 5 3 ; 5 3 } 20. (x + 1)(x + 2)(x + 3) = (x + 4)(x + 5)(x 1) (x + 1)(x 2 + 5x + 6) = (x + 4)(x2 + 4x 5) <=> x 3 + 6x x + 6 = x 3 + 8x x 20 <=> 2x = 0 <=> x 2 13 = 0 p = 0; q = 13; D = 13 L = { 13; 13} Bemerkung: In den meisten Fällen lässt sich eine Zerlegung in Faktoren bzw. die Nichtlösbarkeit ohne Verwendung der Diskriminantenformel erkennen. Hier allerdings wurde der Vorgabe gefolgt, in jedem Fall die Größen p und q der Normalform anzugeben und die Diskriminante zu berechnen. Diese Formel ist also in vielen Fällen nicht der schnellste, aber immer ein sicherer Lösungsweg. Für genauere Hinweise auf die jeweils günstigen Lösungswege siehe

14 KAPITEL 2. DOPPELSTUNDE Zu häufigen Fehlern bei den Hausaufgaben zu Mi, : Einige Hinweise zur Fehlervermeidung Subtrahieren ist Addieren der Gegenzahl Beachte, dass das Auswerten des Terms a b nicht unbedingt eine Verkleinerung von a bedeutet, sondern lediglich die Addition der Gegenzahl von b zu a. Wenn also b negativ ist, führt die Rechnung zu einer Vergrößerung von a; zum Beispiel erhält man für a = 4, b = 3 für a b nicht als Ergebnis 1, sondern a b = 4 ( 3) = = 7. Das Quadrieren eines Produkts erfolgt faktorweise Wenn - z.b. bei Anwendung einer binomischen Formel - das Produkt a b quadriert wird, ist nicht a b 2 zu berechnen, sondern (a b) 2 mit dem Ergebnis a 2 b 2. So ist das Quadrat von 9x nicht 9x 2, sondern 81x 2. Das neutrale Element der Multiplikation ist 1 Genau wie man bei einer Summenbildung das neutrale Element der Addition, nämlich 0, nicht notiert, lässt man meistens bei einer Produktbildung den Faktor 1 weg. Zum Beispiel haben in der Gleichung x 2 + x = 0 bei Zuordnung zur Normalform x 2 + px + q = 0 die Koeffizienten die Werte p = 1, q = 0. Formeln für die Normalform setzen die Normalform voraus Will man zur Lösung einer quadratischen Gleichung die Formel D = p2 4 q anwenden, muss vorher schriftlich oder in Gedanken die Normalform hergestellt werden. So gilt für die Gleichung 3x 2 2x + 1 = 0 nicht p = 2, q = 1, sondern p = 2 3, q = 1 3, denn die Normalform der Gleichung lautet x2 2 3 x = 0. Und für die quadratische Gleichung x x = 0 ist p = 5, q = 4 und nicht umgekehrt. Vorzeitiges Runden verfälscht das Ergebnis Nur bei einer Anwendungsaufgabe ist zu sehen, auf wie viel Stellen ein Ergebnis sinnvoll zu runden ist. Vorzeitiges Runden, also noch innerhalb der Rechnung, führt zu vermeidbaren Fehlern. Zudem ist das Rechnen mit den ungerundeten Ausdrücken nach den Rechenregeln für Brüche und Wurzeln oft auch noch bequemer. Nur wer weder Verfahrens- noch Rechenfehler macht, kann auf die Probe verzichten Bei linearen und quadratischen Gleichungen lässt sich Richtigkeit der erhaltenen Ergebnisse schnell - bei ganzzahligen Ergebnissen meist sogar im Kopf, sonst mit Taschenrechner - überprüfen. Die Probe gibt, wenn sie aufgeht, Sicherheit für die Weiterführung der Aufgabe mit den gewonnenen Resultaten, und andernfalls die Chance, Fehler zu finden und zu korrigieren, bevor die Fortsetzung der Aufgabe zu verwirrenden Zahlen oder in die völlig falsche Richtung führt.

15 Kapitel 3 Doppelstunde Im ersten Teil der Doppelstunde wurden die bei den Bearbeitungen der Hausaufgabe aufgetretenen Fehler besprochen, danach wurde das Zerlegen in Linearfaktoren beim Lösen von quadratischen Gleichungen besprochen. Während das Lösen nach dem Diskriminantenverfahren (p-q-formel) ein sicheres, in allen Fällen funktionierendes, aber aufwendigeres Verfahren ist, lässt sich die Faktorzerlegung nicht in allen Fällen anwenden, stellt aber dafür einen extrem kurzen Weg zur Lösung dar, bei dem die Richtigkeit unmittelbar zu überprüfen ist. 3.1 Beispiele für Lösen quadrsatischer Gleichungen durch Faktorzerlegung 1. x 2 16 = 0 Lösung: Anwenden der 3. binomischen Formel ergibt (x + 4)(x 4) = 0, also L = { 4; 4}. 2. x 2 10x + 25 = 0 Lösung: Anwenden der 2. binomischen Formel ergibt (x 5) 2 = 0, also L = {5}. 3. x 2 10x = 0 Lösung: Ausklammern von x ergibt x (x 10) = 0, also L = {0; 10}. 4. x 2 10x + 24 = 0 Lösung: Die Suche nach zwei Zahlen mit Summe -10 und Produkt 24 führt schnell zu -4 und -6, also zur Zerlegung (x 4) (x 6) = 0, somit ist L = {4; 6}. 5. x 2 3x 28 = 0 Lösung: Die Suche nach zwei Zahlen mit Summe -3 und Produkt -28 führt zu 4 und -7, also zur Zerlegung (x + 4) (x 7) = 0, somit ist L = { 4; 7}. 6. x 2 + x 110 = 0 Lösung: Die Suche nach zwei Zahlen mit Summe 1 und Produkt -110 führt zu 11 und -10, also zur Zerlegung (x + 11) (x 10) = 0, somit ist L = { 11; 10}. Von den Hausaufgaben zum lassen sich die folgenden einfacher als mit Diskriminantenverfahren durch Faktorzerlegung lösen: 2a) bis 2d). Aber auch bei den Aufgaben 1a) bis 1c) stellt nach der Umformung auf eine quadratische Gleichung in Normalform die Faktorzerlegung das kürzeste Verfahren dar. Bei den zur Übung unter angegebenen 20 quadratischen Gleichungen sind die Nummern 1, 3, 4, 8, 13, 14 und 16 unmittelbar - also ohne weitere Umformung - durch Faktorzerlegung lösen. Allen, die das Verfahren verstanden haben und Zeit und Sicherheit beim Lösen quadratischer Gleichungen gewinnen wollen, wird empfohlen, die Lösungen noch einmal auf die beschriebene Weise zu ermitteln. 14

16 KAPITEL 3. DOPPELSTUNDE Verschiebung von Funktionsgraphen im Koordinatensystem Das Thema im zweiten Teil der Doppelstunde war zu beschreiben mit der Frage Wie erhält man die Funktionsgleichung eines Graphen, der durch Verschiebung aus einem Graphen mit bekannter Funktionsgleichung hervorgeht? Anders formuliert: Der Graph einer Funktion f wird um den Wert a in x-achsen-richtung und um den Wert b in y-achsen-richtung verschoben. Der als Ergbnis der Verschiebung erhaltene Graph gehört zu einer Funktion g. Wie lässt sich die Gleichung von g aus der Gleichung von f erhalten? Verschiebung in x-achsen-richtung Jeder Punkt des Graphen von f wird in x-achsen-richtung um den Wert a verschoben. Da a im obigen Beispiel positiv ist, erfolgt die Verschiebung nach rechts. Wäre z.b. a = 3, würde eine Verschiebung um 3 Einheiten nach links erfolgen. Um nun g(x) zu bestimmen, betrachte man den in der Skizze mit P bezeichneten Punkt mit den Koordinaten (x g(x)). g hat an der Stelle x den gleichen Wert, den f an der Stelle annimmt, die a Einheiten weiter links liegt, also an der Stelle x a. Somit ist g(x) = f(x a) Verschiebung in y-achsen-richtung Jeder Punkt des Graphen von f wird in y-achsen-richtung um den Wert b verschoben. Da b im obigen Beispiel positiv ist, erfolgt die Verschiebung nach oben. Wäre z.b. a = 2, würde eine Verschiebung um 2 Einheiten nach unten erfolgen. Um nun g(x) zu bestimmen, betrachte man den in der Skizze mit P bezeichneten Punkt mit den Koordinaten (x g(x)). g hat an der Stelle x gegenüber f einen um b vergrößerten Wert, also den Wert f(x) + b.

17 KAPITEL 3. DOPPELSTUNDE Allgemeine Verschiebung eines Graphen im Koordinatensystem Jeder solche Verschiebung lässt sich erhalten, indem man zunäechst eine Verschiebung in x-achsen-richtung um einen geeigneten Wert a und dann eine Verschiebung in y-achsen-richtung um einen geeigneten Wert b vornimmt. Bei der ersten Verschiebung geht der Funktionsterm f(x) über in f(x a), für die zweite Verschiebung ist zu jedem Funktionswert b zu addieren, so dass man als Ergebnis erhält: Verschiebt man den Graphen einer Funktion f zunächst in x-achsen-richtung um a und dann in y-achsen-richtung um b, so hat die Funktion g, die zu dem als Endergebnis erhaltenen Graphen gehört, die Gleichung g(x) = f(x a) + b Zwei bekannte Beispiele zur Verschiebung Verschiebung einer Ursprungsgeraden Die Ursprungsgerade mit der Steigung m hat die Gleichung y = mx; aufgefasst als Graph einer Funktion f hat diese Gerade also die Funktionsgleichung f(x) = mx. Verschiebt man diese Gerade nun so. dass der Ursprung auf den Punkt P(a b) bewegt wird, hat die Funktion g, in deren Graph die Ursprungsgerade übergegangen ist, die Gleichung g(x) = f(x a) + b; g(x) = m(x a) + b. Wegen a = x P, b = y P ist das die bekannte Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P geht und die Steigung m hat (Punkt-Steigungs-Formel). Verschiebung der Normalparabel Die nach oben geöffnete Normalparabel mit O als Scheitelpunkt hat bekanntlich die Funktionsgleichung f(x) = x 2. Verschiebt man diese Parabel nun so, dass der Ursprung auf den Punkt S(a b) bewegt wird, hat die Funktion g, in deren Graph die Ursprungsparabel übergegangen ist, die Gleichung g(x) = f(x a) + b; g(x) = (x a) 2 + b. Wegen a = x S, b = y S ist das die bekannte(?) Gleichung der nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitelpunkt S (Scheitelpunktform).

18 KAPITEL 3. DOPPELSTUNDE Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Schnitt von Gerade und Parabel (a) Durch den Scheitelpunkt S der Parabel mit der Gleichung f(x) = (x 2) wird eine Gerade mit der Steigung m = 1 gelegt. Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel. Lösung: Der Scheitelpunkt der Parabel ist - wie an der Parabelgleichung abzulesen ist - S(2 2). Die Gerade durch S mit der Steigung 1 hat die Gleichung y = y S +1 (x x S ), also hier y = 2+x 2, somit y = x. Gleichsetzen der Funktionsterme und Umformen ergibt: (x 2) = x x 2 4x + 6 = x x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 x {2; 3} Parabel und Gerade schneiden sich also an zwei Stellen; bezeichnet man die Schnittpunkte mit U und V, so ist x U = 2, x V = 3, und da beide Punkte auf der Geraden mit der Gleichung y = x liegen, ergibt sich: U = (2 2), V = (3 3). (b) Die Normalparabel (Gleichung y = x 2 ) wird um 2 Einheiten nach links und um eine Einheit nach oben verschoben. Eine Gerade geht durch die Punkte A( 1 4) und B(2 13). i. Bestimme die Gleichungen der Parabel und der Geraden. ii. Berechne die Koordinaten der Punkte P und Q, in denen sich die Gerade mit der Parabel schneidet. Lösung: Durch die Verschiebung erhält man eine Parabel mit der Gleichung y = (x + 2) Die Gerade durch A und B hat die Gleichung y = y A + y B y A x B x A (x x A ), hier also y = (x ( 1)). Die gesuchten Gleichungen sind somit y = x 2 + 4x + 5 und y = 3x + 7. Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man x 2 + 4x + 5 = 3x + 7 x 2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 x { 2; 1}. Die Schnittstellen sind daher x P = 2, x Q = 1, woraus man durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält: y P = 3x P + 7 = 3 ( 2) + 7 = 1, y Q = = 10. Ergebnis: P = ( 2 1), Q = (1 10). 2. Schnitt zweier Parabeln (a) Die Normalparabel (Gleichung y = x 2 ) wird um vier Einheiten nach rechts verschoben. i. Bestimme die Gleichungen der durch die Verschiebung entstandenen Parabel. ii. Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt Z. Bestimme seine Koordinaten. Lösung: Die durch die Verschiebung entstandene Parabel hat die Gleichung y = (x 4) 2. Gleichsetzen der Funktionsterme der beiden Parabeln und Umformen ergibt x 2 = (x 4) 2 x 2 = x 2 8x x = 16 x = 2. Somit ist x Z = 2 und y Z = x Z 2 = 4. Der gesuchte Schnittpunkt ist also Z = (2 4). (b) Die Normalparabel (Gleichung y = x 2 ) wird um eine Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben verschoben. Die Funktion, deren Graph dadurch entsteht, wird mit f bezeichnet. Erneut wird die Normalparabel (Gleichung immer noch y = x 2 ) verschoben, diesmal um eine Einheit nach links und um drei Einheiten nach unten. Die Funktion, deren Graph dadurch entsteht, wird mit g bezeichnet. i. Bestimme die Gleichungen der Funktionen f und g. ii. Die Graphen von f und von g haben genau einen gemeinsamen Punkt S. Bestimme seine Koordinaten. Lösung:Die gesuchten Gleichungen lauten: f(x) = (x 1) 2 + 1, g(x) = (x + 1) 2 3. Gleichsetzen der Funktionsterme der beiden Parabeln und Umformen ergibt (x 1) = (x + 1) 2 3 x 2 2x + 2 = x 2 + 2x 2 4x = 4 x = 1. Somit ist x S = 1 und y S = f(x S ) = (1 1) = 1. Der gesuchte Schnittpunkt der Parabeln ist S(1 1).

19 KAPITEL 3. DOPPELSTUNDE Schnitt einer Parabel mit den Koordinatenachsen (a) Die Normalparabel (Gleichung y = x 2 ) wird um sieben Einheiten nach rechts verschoben. i. Bestimme die Gleichung der durch die Verschiebung entstandenen Parabel. ii. Die durch die Verschiebung entstandene Parabel hat mit jeder der beiden Achsen einen Punkt gemeinsam. Bestimme diese beiden Punkte. Lösung: Nach der Verschiebung lautet die Gleichung der Parabel y = (x 7) 2. Die Punkte auf der x-achse sind die Punkte, deren zweite Koordinate den Wert 0 hat. Für den Schnittpunkt P der Parabel mit der x-achse gilt also y P = 0. Einsetzen in die Parabelgleichung y P = (x P 7) 2 ergibt 0 = (x P 7) 2, also x P = 7. Die Punkte auf der y-achse sind die Punkte, deren erste Koordinate den Wert 0 hat. Für den Schnittpunkt Q der Parabel mit der y-achse gilt also x Q = 0. Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt y Q = (0 7) 2, also y Q = 49. Ergebnis: Die Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen sind P(7 0) und Q(0 49). (b) Die Normalparabel (Gleichung y = x 2 ) wird um drei Einheiten nach rechts und um vier Einheiten nach unten verschoben. Die Funktion, deren Graph dadurch entsteht, wird mit f bezeichnet. i. Bestimme die Gleichung der Funktionen f. ii. Der Graph von f schneidet die x-achse in Punkten R und S; er schneidet die y-achse in einem Punkt T. Berechne die Koordinaten von R, S und T. Lösung: Nach der Verschiebung lautet die Gleichung der Parabel f(x) = (x 3) 2 4. Die Berechnung der Nullstellen von f ergibt: (x 3) 2 4 = 0 (x 3 + 2)(x 3 2) = 0 (x 1)(x 5) = 0 x {1; 5} Die Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse sind also R(1 0) und S(5 0). Und wegen y T = f(0) = = 5 ist der Schnittpunkt mit der y-achse T(0 5). 3.4 Zu Ansatzschwierigkeiten und einem häufigen Fehler bei den Hausaufgaben zu Mi, Um die Schnittpunkte von zwei Graphen (Parabeln, Geraden oder anderen Kurven) zu bestimmen, ist zu überlegen, dass genau dann ein Punkt P auf einer Kurve liegt, wenn seine Koordinaten die Gleichung dieser Kurve erfüllen: Genau dann liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, wenn die Gleichung f(x P ) = y P gilt. Der Punkt P liegt also auf den Graphen der Funktionen f und g, wenn die beiden Gleichungen f(x P ) = y P und g(x P ) = y P erfüllt sind. Durch Gleichsetzen folgt daraus f(x P ) = g(x P ), so dass man nach dem allgemeinen Ansatz f(x) = g(x) als Lösung dieser Gleichung zunchst die x-werte der Schnittpunkte, dann durch Einsetzen der erhaltenen Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen auch die y-werte der Schnittpunkte erhält. Nicht jede Gleichung, in der beim Ansatz x 2 vorkommt, ist eine quadratische Gleichung; entscheidend ist vielmehr, welche Form die Gleichung nach dem Zusammenfassen hat. So wird z.b. aus dem Ansatz (x+1) 2 11 = x 2 nach Auflösen der Klammer und Zusammenfassen die lineare Gleichung 2x 10 = 0 mit der Lösungsmenge L = {5}. Wenn also nach dem Schnittpunkt S von zwei Parabeln mit den Gleichungen f(x) = (x + 1) 2 11 und g(x) = x 2 gefragt war, dann ist das Ergebnis der Punkt S(5 25).

20 Kapitel 4 Doppelstunde Im ersten Teil der Doppelstunde wurden einige der bei den Bearbeitungen der Hausaufgabe aufgetretenen Fehler besprochen, danach wurden einige der Hausaufgaben gemeinsam gelöst. Im zweiten Teil wurde die Bestimmung von Nullstellen einer ganzrationalen Funktion thematisiert. Für ganzrationale Funktionen ersten und zweiten Grades, also Funktionen vom Typ f(x) = ax + b f(x) = ax 2 + bx + c führt die Aufgabe der Nullstellenberechnung auf eine lineare oder quadratische Gleichung, für die es einfache Lösungsverfahren gibt. Aber schon bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, also vom Typ f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d also zum Beispiel f(x) = x 3 + 3x 2 8x 4 muss ein neuer Weg zur Nullstellenbestimmung gefunden werden. Dabei sind die beiden folgenden Aussagen wichtig: 1. In der Regel sind die Faktoren eines Produkts einfacher als das gesamte Produkt 2. Genau dann hat ein Produkt den Wert 0, wenn einer der Faktoren den Wert 0 hat. Aus dieser Überlegung ergibt sich die folgende Schritte zur Vorgehensweise beim Lösen einer Gleichung dritten oder höheren Grades 1. Ordne die Gleichung so um, dass auf der rechten Seite eine Null steht; - bei der Nullstellensuche für eine Funktion f ist man mit dem Ansatz f(x) = 0 bereits so weit. 2. Zerlege die linke Seite der Gleichung in Faktoren. Während der erste Schritt immer durch zulässige Umformungen der jeweils vorliegenden Gleichung leicht auszuführen ist, stellt der zweite Schritt das eigentliche Problem dar. Immerhin kann man in einigen Sonderfällen eine Faktorzerlegung sehen, wie bei den in folgenden Beispielen angegebenen Termen: x 3 5x 2 + 6x x 4 8x x 4 16 x 3 + 5x 2 + x + 5 3x 3 12x 2 + 2x 8 Es wird dringend empfohlen, vor dem Umblättern erst einmal selber zu versuchen, eine solche Faktorzerlegung zu finden. Die Hilfsmittel sind dabei wie bei vielen Standardumformungen binomische Formeln und die Technik des Ausklammerns gemeinsamer Faktoren. 19

21 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE Und hier die Lösungen, die zumindest bei den letzten beiden Beispielen nicht sofort zu sehen sind: x 3 5x 2 + 6x Ausklammern von x ergibt x (x 2 5x + 6). x 4 8x Daraus macht die zweite binomische Formel (x 2 4) (x 2 4). x 4 16 Nach der dritten binomischen Formel ist das (x 2 4) (x 2 + 4). x 3 + 5x 2 + x + 5 Umformung in zwei Schritten:... = x 2 (x + 5) + x + 5 = (x 2 + 1)(x + 5). 3x 3 12x 2 + 2x 8 Wie vorher:... = 3x 2 (x 4) + 2(x 4) = (3x 2 + 2)(x 4). Wenn aber nun nicht ein solcher spezieller Fall wie in den Beispielen vorliegt, sind zur Faktorzerlegung zwei - ganz unterschiedliche - Fragen zu beantworten: 1. Wie finde ich bei einem vorgelegten Polynom eine geeignete Zahl a, so dass der Faktor x a zur Faktorzerlegung des Polynoms gehört? 2. Wie ermittle ich nach erfolgreichem Auffinden eines geeigneten Faktors x a den Komplementärfaktor der Zerlegung? Nur die zweite Frage lässt sich ganz zufriedenstellend beantworten, dagegen gibt es kein in allen Fällen funktionierendes und gleichzeitig einfaches Verfahren zum Auffinden des gesuchten Wertes a, für den x a ein Faktor des Polynoms ist. 4.1 Die Kandidaten a für einen geeigneten Faktor x a Nur Nullstellen von f sind geeignet Wenn sich aus dem Funktionsterm f(x) einer Funktion f ein Faktor x a ausklammern lässt, dann hat man also f(x) = (x a) (...), wobei der durch Punkte angedeutete Inhalt der letzten Klammer Gegenstand der zweiten gestellten Frage war; hier geht es erst einmal um einen geeigneten Wert von a. Setzt man x = a in die Gleichung ein, so erhält man f(a) = (a a) (...), also f(a) = 0 (...) = 0. Wenn also a keine Nullstelle von f ist, braucht man gar nicht den Versuch einer Faktorzerlegung unter Beteiligung von (x a) zu machen. Nur wenn f(a) = 0 gilt, ist also eine Zerlegung in Faktoren, an denen x a beteiligt ist, möglich Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des absoluten (variablenfreien) Summanden des Polynoms Ein Polynom dritten Grades ist zum Beispiel 2x 3 5x 2 + x 12. Wenn nun a eine Nullstelle dieses Polynoms ist, dann gilt 2a 3 5a 2 + a 12 = 0, oder - nach kleiner Umformung (Addition von 12 auf beiden Seiten, Ausklammern von a) - a (2a 2 5a + 1) = 12. Wenn a nun eine ganze Zahl ist, steht auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt aus zwei ganzzahligen Faktoren mit dem Ergebnis 12. Insbesondere muss also der Faktor a ein Teiler von 12 sein. Damit scheiden alle ganzen Zahlen außer den Teilern von 12 als mgliche Nullstellen aus. Kandidaten für eine Nullstelle von 12 sind also nur 1, 2, 3, 4, 6, 12 sowie deren Gegenzahlen -1, -2, -3, -4, -6 und -12. Diese Überlegung lässt sich vom konkreten Beispiel 2x 3 5x 2 + x 12 auf beliebige Polynome übertragen: Nur dann kann die ganze Zahl a eine Nullstelle eines vorgelegten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein, wenn a ein Teiler des absoluten (also x-freien) Summanden des Polynoms ist.

22 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE Achtung: Es wird bei dieser Überlegung immer vorausgesetzt, dass die Koeffizienten des Polynoms ganzzahlig sind. Der variablenfreie Summand lässt sich auch dann leicht ermitteln, wenn das Polynom nicht in ausmultiplizierter Form vorliegt, da er mit dem Wert an der Stelle x = 0 übereinstimmt. Beispiele Polynom Variablenfreies Glied Nullstellen-Kandidaten x 3 + 5x , 3, 11, 33, -1, -3, -11, -33 x 3 + 3x 2 8x , 7, -1, -7 5x x 35x -35 1, 5, 7, 35, -1, -5, -7, -35 (3x 7) , 2, 5, 10, 25, 50, -1, -2, -5, -10, -25, -50 x 4 11x 3 + 5x , 13, -1, -13 Wenn bei keinem der Kandidaten für eine ganzzahlige Nullstelle das Einsetzen zum Wert 0 führt, dann hat das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen. Falls aber die Suche erfolgreich war und tatsächlich eine Nullstelle a - und damit ein geeigneter Faktor x a gefunden wurde, ist im zweiten Schritt der Komplementärfaktor zu suchen. Weiter oben gab es das Beispiel 2x 3 5x 2 + x 12. Ganzzahlige Nullstellen können nur die Teiler von 12, also 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12 sein. Einsetzen (unter Auslassung von 12 und -12) ergibt x x 3 5x 2 + x Somit ist 3 als Nullstelle des Polynoms gefunden, so dass die Faktorzerlegung die Form hat: 2x 3 5x 2 + x 12 = (x 3) (...). Genau wie man den fehlenden Faktor x bei der Multiplikationsaufgabe 1001 = 7 x errechnet, indem man 1001 durch 7 teilt, müsste man im vorliegenden Polynombeispiel eine Division von 2x 3 5x 2 + x 12 durch x 3 durchführen. Nachdem man also unter den Kandidaten a für das Herausziehen eines Faktors x a aus dem vorliegenden Polynom einen geeigneten Wert a gefunden hat, ist nun im zweiten Schritt der Faktorzerlegung das Polynom durch x a zu teilen. Wie das geht, beschreibt der folgende Abschnitt. 4.2 Division eines Polynoms durch einen Term der Form x a Genau wie beim Dividieren innerhalb der ganzen Zahlen braucht eine Division bei Polynomen nicht immer glatt aufzugehen, sondern es kann ein Rest bleiben. Im aktuellen Kontext - nämlich bei der Polynomdivision als Verfahren im Rahmen der Faktorisierung - ist in einem solchen Fall die Polynomdivision ohne Wert für das angestrebte Ziel, genau wie es zum Besispiel für die Faktorzerlegung der Zahl 899 nicht weiterhilft, dass bei Division durch dieser Zahl durch 7 der Rest 3 bleibt (899 = ). In anderem Zusammenhang - etwa bei dem späteren Untersuchen von gebrochen-rationen Funktionen - wird aber auch eine solche Division mit Rest nutzbringend angewendet, so dass nachfolgend nicht nur der Fall von restfrei aufgehenden Divisionen behandelt wird Die Idee des Divisionsverfahrens Dieser Abschnitt kann überschlagen werden, wenn es nur um das Erlernen des Verfahrens ohne Begründung seiner Richtigkeit geht. Beim Divisionsverfahren wendet man ein in der Mathematik verbreitetes, auch in der Schule gelegentlich verwendetes Hilfsmittel an, das von manchen als nahrhafte Null bezeichnet wird: Null, weil man eine Summe durch Addieren von 0 nicht verändert, nahrhaft, weil dennoch dadurch die Problemlösung erzielt wird. Man addiert also einen Ausdruck, den man anschließend wieder abzieht, so dass in der Bilanz nichts verändert wird, der zu bearbeitende Term aber zugänglicher für Umformungen wird. Beispiele sind die quadratische Ergänzung beim Lösen quadratischer Gleichungen oder (später, im Rahmen der Differentialrechnung) die Umformung beim Nachweis der Produktregel. Als Beispiel wird wieder die Division von 2x 3 5x 2 + x 12 durch x 3 betrachtet:

23 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE x 3 5x 2 + x 12 = (x 3) (...). Begänne der Ausdruck mit 2x3 6x 2, so könnte man durch Ausklammern von 2x 2 den Faktor x 3 erhalten: 2x 3 6x 2 = 2x 2 (x 3). Subtrahiert man also x 2 und addiert es anschließend wieder, so hat man nun 2x 3 6x 2 + x 2 + x 12 = (x 3) 2x 2 + x 2 + x 12. Da ein Anfangsstück des Terms nun bereits leicht durch x 3 zu teilen ist, braucht diese Division nur noch für den Rest, also für x 2 + x 12 ausgeführt zu werden. Durch zweimalige Wiederholung des Verfahrens aus dem ersten Schritt gelangt man zu 2x 3 5x 2 +x 12 = 2x 3 6x +x 2 3x +4x 12 = (x 3) 2x 2 +(x 3) x+(x 3) 4 = (x 3) (2x 2 +x+4). Beginnend mit der Potenz mit dem höchsten Exponenten - also bei der oben gewählten Anordnung des Polynoms mit dem ersten Summanden - wird eine Division ausgesführt und dann der noch nicht verarbeitete Teil des Polynoms so verändert, dass bei der Umformung keine Wertveränderung erfolgt ist Der Divisionsalgorithmus in praktischer Durchführung Der Algorithmus ist vergleichbar mit dem schriftlichen Dividieren von ganzen Zahlen. Er besteht aus jeweils drei Schritten, deren Folge so oft wiederholt wird, wie der Grad des Polynoms angibt: Der aktuelle Dividend ist bei Beginn des Verfahrens der erste Summand des Polynoms, also der Summand mit dem höchsten Exponenten von x. Das aktuelle Polynom ist zunächst das gesamte zur Division vorgelegte Polynom. Folgende drei Schritte werden nun bei der Division durch x a ausgeführt: 1. Dividieren: Der aktuelle Dividend wird durch x geteilt. Das Ergebnis der Division wird im Ergebnisfeld angefügt. 2. Multiplizieren: Das Ergebnis der letzten Division wird mit x a multipliziert. Das erhaltene Produkt wird spaltenpositionsrichtig im Rechenebereich eingetragen. 3. Subtrahieren: Das erhaltene Produkt wird vom aktuellen Polynom abgezogen. Die erhaltene Differenz ist das neue aktuelle Polynom, der führende Summand ist der neue aktuelle Dividend. Die Folge dieser drei Schritte wird nun so oft wiederholt, bis das ganze Polynom abgearbeitet ist. Wenn die Division aufgeht, ist das hierbei zu allerletzt erhaltene aktuelle Polynom das Nullpolynom, also die Zahl 0. Das Verfahren wird nachfolgend am Beispiel der Division von 2x 3 5x 2 + x 12 durch x 3 verdeutlicht. 1. Dividieren: 2x 3 /x = 2x 2. Erster Summand im Ergebnis ist 2x 2 2. Multiplizieren: (x 3) 2x 2 = 2x 3 6x Subtrahieren: (2x 3 5x 2 +x 12) (2x 3 6x 2 ) = x 2 +x 12. Das aktuelle noch zu verarbeitende Polynom ist also x 2 + x 12 mit dem aktuellen Dividenden x 2.. Nächstes Durchlaufend der drei Schritte: 1. Dividieren: x 2 /x = x. Nächster Summand im Ergebnis ist x. 2. Multiplizieren: (x 3) x = x 2 3x. 3. Subtrahieren: (x 2 + x 12) (x 3x) = 4x 12. Das aktuelle noch zu verarbeitende Polynom ist also 4x 12 mit dem aktuellen Dividenden 4x. Und der letzte Durchlauf: 1. Dividieren: 4x/x = 4. Nächster Summand im Ergebnis ist Multiplizieren: (x 3) 4 = 4x Subtrahieren: (4x 12) (4x 12) = 0. Das aktuelle noch zu verarbeitende Polynom ist also 0. Die Division ist also aufgegangen: 2x 3 5x 2 + x 12 = (x 3) (2x 2 + x + 4).

24 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE Für diesen Divisionsalgorithmus verwendet man - vergleichbar der schriftlichen Division ganzer Zahlen - die folgende Kurznotation, die an dem besprochenen Beispiel sowie einer weiteren Division dargestellt wird, bei welcher ein Rest bleibt: 1. Eine Division ohne Rest: 2x 3 5x 2 + x 12 = (x 3) (2x 2 + x + 4) (2x 3 6x 2 ) x 2 (x 2 3x) 4x (4x 12) 0 2. Eine Division, bei der ein Rest bleibt: x 3 + 4x 2 x + 3 = (x + 2) (x 2 + 2x 5) + 13 (x 3 + 2x 2 ) 2x 2 (2x 2 + 4x) 5x (5x 10) 13 Tipps für sicheres und schnelles Rechnen 1. Zur Kontrolle des Ergebnisses Genau wie die Richtigkeit der Gleichung 1000 = durch die Berechnung der rechten Gleichungsseite überprüft werden kann, lässt sich eine Polynomdivision kontrollieren. Ein schnellerer, wenn auch nicht ganz so sicherer Test verwendet, dass bei Division des Funktionterms f(x) einer ganzrationalen Funktion f durch x a als Divisionsrest der Wert bleibt, den die Funktion an der Stelle a annimmt, also f(a). Bei den oben ausgeführten Beispielen wird in der ersten Rechnung f(x) = 2x 3 5x 2 + x 12 durch x 3 geteilt. Hier ist a = 2 und wegen f(2) = 0 geht die Division ohne Rest auf. In der zweiten Rechnung ist f(x) = x 3 + 4x 2 x + 3, dividiert wird durch x + 2, also ist a = 2(!). Wegen f( 2) = 13 bleibt bei der Division der Rest Zur Vermeidung von Fehlern Die spaltenorientierte Schreibweise kann bei Unachtsamkeit zu Verwechslungen führen, wenn ein Koeffizient innerhalb des zu teilenden Polynoms den Wert 0 hat, also gar nicht sichtbar ist, wie zum Beispiel bei der Division von x 3 + x 2 durch x 1. Hier vermeidet man Fehler, indem man vor der Durchführung des Rechenverfahrens den unsichtbaren Summanden 0x 2 einfügt. 3. Tipp (nur für sichere und schnelle Rechner) Da bei dem beschriebenen Verfahren immer nur ein Wert (Quotient, dann Produkt, dann Differenz) gemerkt werden muss, lässt sich bei etwas Übung die Polynomdivision wie eine schriftliche Multiplikation mit einem einstelligen Faktor ohne notierte Zwischenergebnisse ausführen.

25 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE Die Faktorisierung eines Polynoms (Zusammenfassung) Das allgemeine Verfahren Die Faktorisierung eines vorgelegten Polynoms f(x) erfordert die folgenden - gegebenenfalls mehrfach durchzuführenden Schritte: 1. Abspalten offensichtlicher Faktoren (a) Ausklammern ganzzahliger Faktoren; Beispiel Aus 14x 3 21x x 35 wird 7 (2x 3 3x x 5) (b) Ausklammern von x; Beispiel: Aus x 3 + 5x 2 9x wird durch Ausklammern x (x 2 + 5x 9). (c) Anwenden einer binomischen Formel; Beispiele: Aus x 4 6x wird (x 2 3) 2, aus 16x 4 81 wird (4x 2 9) (4x 2 + 9) und im zweiten Schritt (2x + 3) (2x 3) (4x 2 + 9), aus 25x 6 9 wird (5x 3 9) (5x + 9), wegen 81 = 9 2 wird aus (4x 2 + 5) 2 81 das Produkt (4x ) (4x ), also (4x ) (4x 2 4), und somit schließlich 8 (2x 2 + 7) (x + 1) (x 1) 2. Erraten einer Nullstelle Als ganzzahlige Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten kommen nur die Teiler des variablenfreien Gliedes in Frage. Durch Einsetzen wird entschieden, ob einer dieser Teiler eine Nullstelle des Polynoms f(x) ist, ob also für diesen Wert a gilt f(a) = Falls eine Nullstelle a gefunden wurde: Division des Polynoms durch x a Durchführung an einem Beispiel Gesucht werden die Nullstellen der ganzrationalen Funktion f mit der Gleichung f(x) = 3x 4 9x x 2 6x. 1. Schritt: Ausklammern erkennbarer Faktoren: 3x 4 9x x 2 6x = 3x (x 3 3x 2 + 4x 2). 2. Schritt: Ermittlung der ganzzahligen Nullstellenkandidaten des Polynoms x 3 3x 2 + 4x 2. Die Teiler des variablenfreie Summanden 2, also die Nullstellenkandidaten, sind 1, 2, 1, Schritt: Überprüfung der Nullstellenkandidaten Einsetzen von x = 1 in den Term x 3 3x 2 + 4x 2 liefert = 0. Damit ist eine Nullstelle gefunden; die anderen Kandidaten brauchen vorerst nicht überprüft zu werden. 4. Schritt: Ausführen der Polynomdivision x 3 3x 2 + 4x 2 = (x 1) (x 2 2x + 2). 5. Schritt: Verarbeitung des Faktors x 2 2x + 2 Da der quadratische Ausdruck x 2 2x + 2 die negative Diskriminante ( 2 2 )2 2 = 1 hat, gibt es keine weiteren Nullstellen. 6. Schritt: Zusammenfassung der Ergebnisse Die Faktorzerlegung ergibt f(x) = 3x(x 1)(x 2 2x + 2). Die Nullstellen von f sind 0 und 1.

26 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE Übungsaufgaben zu Faktorisierung und Polynomdivision (mit vollständigen Lösungen) 1. Bestimme alle Nullstellen des vorgelegten Polynoms (a) x 3 3x 2 10x + 24 Lösung: Kandidaten für ganzzahlige Lösungen sind die Teiler von 24, also 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sowie die Gegenzahlen. Wegen = 0 ist a = 2 eine Nullstelle; bei der Polynomdivision durch x 2 bleibt also kein Rest: x 3 3x 2 10x + 24 = (x 2) (x 2 x 6). Um die Zerlegungsmöglichkeit für den Faktor x 2 x 6 zu prüfen, kann man einen der folgenden drei alternativen Wege wählen: Einsetzen der Teiler von 6 zeigt, dass 3 eine Nullstelle ist. Polynomdivision durch x 3 ergibt die Zerlegung x 2 x 6 = (x 3) (x + 2). Somit ist -2 als dritte Nullstelle an der Faktorzerlegung abzulesen. Die Suche nach zwei Zahlen mit Summe -1 und Produkt -6 führt zu 2 und -3, also wieder zur Faktorzerlegung x 2 x 6 = (x 3) (x+2). Als dritte Nullstelle liest man an der Faktorzerlegung den Wert -2 abzulesen. Im vorgelegten quadratischen Ausdruck ist (mit den Standardbezeichnungen) p = 1, q = 6, also die Diskriminante D = p2 4 q = 1 4 ( 6) = 6, 25. Da die Diskriminante positiv ist, gibt es die Nullstellen p 2 D = 0, 5 2, 5 = 2 und p 2 + D = 0, 5 + 2, 5 = 3. Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind -2, 2 und 3. Zusatz für Fortgeschrittene: Hat man bereits durch Einsetzen einiger Teiler von 24 die drei Nullstellen -2, 2 und 3 gefunden, steht das Resultat ohne weitere Rechnung fest, da ein Polynom dritten Grades höchstens drei Nullstellen haben kann. (b) x 3 3x 2 + 5x 3 Lösung: Einsetzen der Teiler von 3 zeigt, dass 1 eine Nullstelle ist. Polynomdivision ergibt x 3 3x 2 + 5x 3 = (x 1) (x 2 2x + 3). Der quadratische Faktor x 2 2x + 3 hat die negative Diskriminante D = = 2, besitzt also keine Nullstellen. Ergebnis: Die einzige Nullstelle des Polynoms ist 1. (c) x 3 + 3x 2 9x 2 Lösung: Einsetzen der Teiler des absoluten Gliedes -2 zeigt, dass 2 eine Nullstelle ist. Polynomdivision ergibt die Faktorzerlegung x 3 +3x 2 9x 2 = (x 2) (x 2 +5x+1). Die Diskriminante des quadratischen Faktors x 2 +5x+1 ist D = = 5, 25, es gibt also zwei weitere Nullstellen, nämlich 2, 5 5, 25 und 2, 5 + 5, 25. Ergebnis: Die Nullstellen des Polynoms sind 2, 2, 5 5, 25 ( 4, 79) und 2, 5+ 5, 25 ( 0, 21). 2. Dividiere die folgenden Polynome durch x 2 und x + 1 Überprüfe jeweils vor der Ausführung der Polynomdivision, ob ein Rest bleibt, und wenn ja, welcher. (a) x 4 3x 3 + x 2 10x + 24 Lösung: Einsetzen von 2 ergibt: = 0, die Division durch x 2 geht also auf.

27 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE x 4 3x 3 + x 2 10x + 24 = (x 2) (x 3 x 2 x 12) (x 4 2x 3 ) x 3 ( x 3 + 2x 2 ) x 2 ( x 2 + 2x) 12x ( 12x + 24) 0 Einsetzen von -1 ergibt: ( 1) 4 3 ( 1) 3 + ( 1) 2 10 ( 1) + 24 = 39; bei der Division durch x 1 bleibt somit der Rest 39. x 4 3x 3 + x 2 10x + 24 = (x + 1) (x 3 4x 2 + 5x 15) + 39 (x 4 + x 3 ) 4x 3 ( 4x 3 4x 2 ) 5x 2 (5x 2 + 5x) 15x ( 15x 15) 39 (b) x 3 6x 2 10x + 36 Lösung: = 0. Die Division durch x 2 bleibt also ohne Rest. Polynomdivision: x 3 6x 2 10x + 36 = (x 2) (x 2 4x 18). ( 1) 3 6 ( 1) 2 10 ( 1) + 36 = 39; bei der Division durch x + 1 bleibt also der Rest 39. Ausführung der Polynomdivision: x 3 6x 2 10x + 36 = (x + 1) (x 2 7x 3) (c) 2x 3 3x 2 10x 5 Lösung: = 21 Bei der Division durch x 2 bleibt also der Rest -21. Polynomdivision: 2x 3 3x 2 10x 5 = (x 2) (2x 2 + x 8) ( 1) 3 3 ( 1) 2 10 ( 1) + 5 = 0; die Division durch x + 1 geht auf. Ausführung der Polynomdivision: 2x 3 3x 2 10x 5 = (x + 1) (2x 2 5x 5). 3. Zerlege so weit wie möglich in Faktoren

28 KAPITEL 4. DOPPELSTUNDE (a) 3x 3 7x 2 + 7x + 15 Hinweis an Stelle einer Lösung: Leider ist diese Aufgabe aufgrund eines Schreibfehlers mit den verfügbaren Mitteln nicht lösbar. Zwar hat jede ganzrationale Funktion dritten Grades mindestens eine Nullstelle, aber in diesem Falle leider keine rationale. Es wurde selbstverständlich nicht erwartet, dass der Faktor x a mit a = 3 gefunden wurde (b) x 3 5x 2 11x 21 Lösung: Probieren mit den Faktoren von 21 ergibt, dass 7 eine Nullstelle ist. Polynomdivision liefert x 3 5x 2 11x 21 = (x 7) (x 2 + 2x + 3). Der quadratische Faktor x 2 + 2x + 3) hat die Diskriminante -2, also keine Nullstelle. Eine weitere Faktorzerlegung ist also nicht möglich. (c) x 5 4x 4 5x x 2 36x Lösung: Durch Ausklammern von x erhält man x (x 4 4x 3 5x x 36). Nach Erraten der Nullstelle 2 liefert Polynomdivision durch x 2: x 4 4x 3 5x x 36 = (x 2) (x 3 2x 2 9x Als Nullstelle von x 4 4x 3 5x x 36 errät man wieder 2, so dass man wieder durch x 2 teilen kann: x 3 2x 2 9x + 18 = (x 2) (x 2 + 0x 9). Den letzten Faktor zerlegt man nach der dritten binomischen Formel zu (x + 3) (x 3), so dass man folgenden Ergebnis hat: Die Faktorzerlegung von x 5 4x 4 5x x 2 36x ist x (x 2) 2 (x + 3) (x 3).

29 Kapitel 5 Doppelstunde In der ersten Hälfte der Doppelstunde wurden die folgenden Aufgaben in Stillarbeit bearbeitet: 5.1 Übung zu ganzrationalen Funktionen 1. Die Funktion f hat die Gleichung f(x) = (x + 2)(x 3 + 2x 2 x 42). Mit M wird die Menge {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichnet. (a) Welche Zahl aus M ist sofort als Nullstelle von f zu erkennen? (b) Welche Zahlen aus M knnen keine Nullstellen von f sein? 2. Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = x 4 8x Bei der Polynomdivision von x 3 4x 2 2x + 8 durch x 5 bleibt der Rest 23. (a) Führe die Polynomdivision durch. (b) Warum war schon vor der Division klar, dass ein Rest bleibt? (c) Für welche Zahl a geht die Division durch x a ohne Rest auf? (d) Führe mit einem passenden Wert von a die Division durch x a durch. 4. Die Funktion f mit der Gleichung f(x) = (x 1)(x 2)(x + 3) hat drei Nullstellen. Schreibe diese Nullstellen auf. 5. Von den Punkten A, B, C, D, E, F könnten einige zum Graphen der Funktion f oder der Funktion g gehören, wobei die Funktionen die folgenden Gleichungen haben: f(x) = x(x + 3)2(x 2), g(x) = x(x + 2)(x + 4)(x 3). (a) Welche der markierten Punkte gehören mit Sicherheit zum Graphen von f? 28

30 KAPITEL 5. DOPPELSTUNDE (b) Welche nicht markierten Punkte gehören sicher zum Graphen von f? (c) Welche der markierten Punkte gehören mit Sicherheit zum Graphen von g? (d) ) Welche nicht markierten Punkte gehören sicher zum Graphen von g? (e) Welche der markierten Punkte können nicht zu Graph(f) gehören? (f) Welche der markierten Punkte können nicht zu Graph(g) gehören? 5.2 Lösungen/ Lösungshinweise zu einigen der Aufgaben 1. Zum Erkennen von Nullstellen von f aus der Menge M (a) Offensichtlich ist -2 eine Nullstelle von f, da der Funktionsterm den Faktor x + 2 hat. (b) Die ganzzahlligen Nullstellen von f müssen Teiler des variablenfreien Gliedes in der Funktionsgleichung, also Teiler von 42 sein. Daher können 4 und 5 keine Nullstellen von f sein. 2. Eine Möglichkeit der Lösung besteht darin, nacheinander die Nullstellen (hier -2 und 2) zu erraten und durch wiederholte Polynomdivision jeweils (x+2) bzw. (x-2) auszuklammern, bis sich schließlich die Faktorzerlegung f(x) = (x + 2) 2 (x 2) 2 ergibt. Die einzigen Nullstellen sind daher -2 und 2. Einfacher ist die Aufgabe zu lösen, wenn man die zweite binomische Formel anwendet und dann mit der dritten binomischen Formel sofort die gesamte Faktorzerlegung erhält: f(x) = x 4 8x = (x 2 4) 2 = ((x + 2)(x 2)) 2 = (x + 2) 2 (x 2) Diese Aufgabe soll als Hausaufgabe zum durchgeführt werden. 4. An den Faktoren der bereits zerlegten Funktion liest man sofort die Nullstellen 1, 2 und -3 ab. 5. Da beide Funktionen in ihrer Faktorzerlegung gegeben sind, lassen sich sofort sämtliche Nullstellen ablesen. Damit ergibt sich (a) Keiner der markierten Punkte gehört zweifelsfrei zum Graphen von f. (b) Die Punkte mit den Koordinaten ( 3 0), (0 0), (2 0) liegen auf dem Graphen von f. (c) Die Punkte A und E liegen auf dem Graphen von g. (d) Die nicht markierten Punkte mit den Koordinaten ( 2 0) und (0 0) gehören zum Graphen von g. (e) A, E und F kommen als Punkte auf Graph(f) nicht infrage, weil die Funktion dort keine Nullstellen hat, B und C weil f bei 0 eine Nullstelle hat. Ergänzung (für die Lösung nicht verlangt): Der Punkt D könnte auf dem dem Graphen von f liegen. Da x D zwischen 2 und 3 liegt, ist f(x D ) als Produkt der drei positiven Faktoren x D, (x D +3) 2, (x D 2) positiv. Je nach der für die y-achse gewählten Einheit, könnte also D also ein Punkt von Graph(f) sein. (f) C und F liegen aufgrund der Nullstellenüberlegung nicht auf Graph(g). g(x B ) = g( 3) = 3( 3 + 2)( 3 + 4)( 3 3), also g(x B ) > 0, das das Produkt genau zwei negative Faktoren enthält. B kann somit nicht zum Graphen von g gehören. Das gilt auch für D, denn als Produkt der drei positiven Faktoren x D, x D + 2, x D + 4 mit dem negativen Faktor x D 3 ist g(x D ) negativ. Für diese Vorzeichenüberlegung wird verwendet, dass x D zwischen 2 und 3 liegt.

31 Kapitel 6 Doppelstunde Zuerst wurde die folgende (als Hausaufgabe gestellte) Aufgabe besprochen: Bei der Polynomdivision von x 3 4x 2 2x + 8 durch x 5 bleibt der Rest Führe die Polynomdivision durch. 2. Warum war schon vor der Division klar, dass ein Rest bleibt? 3. Für welche Zahl a geht die Division durch x a ohne Rest auf? 4. Führe mit einem passenden Wert von a die Division durch x a durch. 6.1 Lösungen 1. Die Polynomdivision ergibt x 3 4x 2 2x + 8 = (x 5) (x 2 + x + 3) + 23 (x 3 5x 2 ) x 2 (x 2 5x) 3x (3x 15) Der Rest bei der Division von eines Polynoms f(x) durch x 5 ist f(5), also hier 23. Die Division durch x a geht nur auf, wenn a eine Nullstelle ist. 3. Als ganzzahlige Nullstellen des Polynoms kommen nur die Teiler von 8 und ihre Gegenzahlen infrage, also 1, 2, 4, 8, -1, -2, -4 und -8. Da da Polynom an der Stelle 4 den Wert 0 hat, ist a = 4 ein geeigneter Wert, bei dem die Division durch x a ohne Rest bleibt. 4. Die Division durch x 4 ergibt: x 3 4x 2 2x + 8 = (x 4) (x 2 2) Bemerkung: Nach weiteren Nullstellen des Polynoms ist in der Aufgabe nicht gefragt. Sie wären sonst leicht am Faktor x 2 2 als 2 und 2 abzulesen. Anschließend wurden die folgenden Aufgaben als Kurztest bearbeitet und zusätzlich zur häuslichen Bearbeitung für den 29. Januar gestellt: 30

32 KAPITEL 6. DOPPELSTUNDE Kurztest zu ganzrationalen Funktionen 1. Die Funktion f hat die Gleichung f(x) = (x + 3)(x 3 + 2x 2 x 24). Mit M wird die Menge {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichnet. (a) Welche Zahl aus M ist sofort als Nullstelle von f zu erkennen? (b) Welche Zahlen aus M können keine Nullstellen von f sein? 2. Welcher Rest bleibt bei der Polynomdivision von x 3 4x 2 + x + 9 durch x 2? 3. Bestimme die Lösungsmengen der folgenden quadratischen Gleichungen: (a) x 2 x 30 = 0 (b) 2x 2 12x + 10 = 0 4. Die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x(x 1)(x + 2) hat drei Nullstellen. Schreibe die Nullstellen auf. 5. Berechne für die Funktion f(x) = 2x 4 3x 3 + x 2 4x 2 den Wert f(2). 6. Dividiere das Polynom f(x) = x 3 4x 2 2x + 8 durch x 3. Gib Ergebnis und Rest an. 7. Bestimme alle Nullstellen: f(x) = x 3 2x 2 5x Lösungen zu den Aufgaben im Kurztest und Prozentsatz der Schüler mit dem richtigen Teilergebnis 1. (a) Am Faktor x + 3 sieht man sofort, dass -3 eine Nullstelle von f ist. (69%) (b) Ganzzahlige Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten müssen Teiler des variablenfreien Summenden im Funktionsterm sein, hier also von 24. Als einzige Elemente von M sind daher 0 und 5 als Nullstellen auszuschließen. (31%) 2. Ein Polynom lässt bei Division durch x a als Divisionsrest den Wert, den es an der Stelle a annimmt. Einsetzen von x = 2 ergibt als Funktionswert f(2) die Zahl = 3. Der Rest ist also 3. (38%) 3. (a) Die Lösungsmenge zu x 2 x 30 = 0 ist L = { 5; 6}. (23%) (b) Die Gleichung 2x 2 12x + 10 = 0 hat die Lösungsmenge L = {1; 5}. (15%) Die Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen sind an früherer Stelle ausführlich dargestellt worden. 4. Als Nullstellen von x(x 1)(x + 2) liest man sofort die Werte 0, 1 und -2 ab, da ein Produkt genau dann den Wert 0 annimmt, wenn dies einer seiner Faktoren tut. (69%) 5. f(2) = = 2. (54%) 6. Die Polynomdivision ergibt x 3 4x 2 2x + 8 = (x 3) (x 2 x 5) 7 (62%) (x 3 3x 2 ) x 2 ( x 2 + 3x) 5x ( 5x + 15) 7 7. Als ganzzahlige Nullstellen der Funktion kommen nur die Teiler von 6 und ihre Gegenzahlen in Frage, also 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3 und -6. Einsetzen zeigt f(1) = 0; damit ist eine Nullstelle gefunden und der Funktionsterm enthält den Faktor x 1. (69%) (46%) Polynomdivision ergibt f(x) = x 3 2x 2 5x + 6 = (x 1) (x 2 x 6). Die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 x 6 = 0 sind -2 und 3. Die gesuchten Nullstellen von f sind also -2, 1 und 3. (46%)

33 Kapitel 7 Doppelstunde Aufgrund der offensichtlichen Schwierigkeiten, die die Aufgaben des Kurztests vom 21. Januar vielen bereitet hatten, wurden alle Aufgaben, vor allem aber auch die ihnen zugrunde liegenden Verfahren im überwiegenden Teil der Doppelstunde noch einmal ausführlich besprochen. Das einzige über die reine Wiederholung hinausgehende Thema waren die 7.1 Vorzeichenbereiche bei einer ganzrationalen Funktion Die Feststellung der Vorzeichenbereiche einer Funktion f liefert die Antwort auf die Frage: Für welche Werte x ist f(x) positiv, für welche Werte x ist es negativ? Die grundlegende Hilfe zur Beantwortung liefert der folgende Satz: Das bedeutet: Eine ganzrationale Funktion kann ihr Vorzeichen nur an Nullstellen wechseln. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen findet keine Veränderung des Vorzeichens statt. Der erste Schritt zur Ermittlung der Vorzeichenfelder ist also immer die Bestimmung der Nullstellen, und zwar aller Nullstellen Beispiele zur Bestimmung der Vorzeichenbereiche 1. f(x) = x (x 2) (x 2 + 9) Hier ist der Funktionsterm bereits vollständig in Faktoren zerlegt, so dass sich die Nullstellen unmittelbar ablesen lassen. Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren den Wert null hat: Der erste Faktor liefert die Nullstelle 0, der zweite Faktor zeigt die Nullstelle 2, der dritte Faktor kann nicht kleiner als 9 werden. Die Menge der Nullstellen ist also {0; 2}. Links von 0, zwischen 0 und 2, sowie rechts von 2 kann also kein Vorzeichenwechsel auftreten. Setzt man eine beliebige negative Zahl für x ein, so liefert f(x) das Vorzeichen aller Funktionswerte an den Stellen x < 0. Einfach zu berechnen ist f( 1) = 1 ( 3) 10 = 30. Da das Ergebnis positiv ist, verläuft der Graph von f an allen Stellen links von der y-achse im positiven y-bereich, also oberhalb der x-achse. Entsprechend sieht man wegen f(1) = 10 < 0 und f(3) = 3 18 > 0, dass an der Nullstelle 0 ein Wechsel in den negativen y-bereich und an der Nullstelle 2 wieder ein Wechsel in den positiven y-bereich erfolgt. 32

34 KAPITEL 7. DOPPELSTUNDE Innerhalb des rot-schraffierten Raums in der Skizze können keine Punkte des Graphen liegen. 2. f(x) = (x + 1) (x 2) (x 5) Wie im vorhergehdenden Beispies ist der Funktionsterm bereits vollständig in Faktoren zerlegt, so dass sich die Nullstellen unmittelbar ablesen lassen: Der erste Faktor liefert die Nullstelle -1, der zweite Faktor zeigt die Nullstelle 2, der dritte Faktor zeigt die Nullstelle 5. Die Menge der Nullstellen ist also {-1; 2; 5}. Links von -1, zwischen -1 und 2, zwischen 2 und 5, sowie rechts von 5 kann also kein Vorzeichenwechsel auftreten. Da innerhalb der Bereiche kein Vorzeichenwechsel stattfindet, reicht es wieder, einen Test in jedem der Bereiche durchzuführen, z.b.: f( 2) = ( 1) ( 4) ( 7) < 0, also verläuft der Graph links von x = -1 unterhalb der x-achse, f(0) = 1 ( 2) ( 5) > 0, also verläuft der Graph im Bereich zwischen x = -1 und x = 2 oberhalb der x-achse, f(3) = 3 1 ( 2) < 0, also verläuft der Graph im Bereich zwischen x = 2 und x = 5 unterhalb der x-achse, f(6) = > 0, also verläuft der Graph rechts von x = 5 oberhalb der x-achse. Innerhalb des rot-schraffierten Raums in der Skizze können keine Punkte des Graphen liegen.

35 KAPITEL 7. DOPPELSTUNDE f(x) = x 4 2x 3 11x x Da der Funktionsterm noch nicht in Faktoren zerlegt ist, kann man nicht alle Nullstellen sofort erkennen. Immerhin sieht man, dass x ausgeklammert werden kann: f(x) = x (x 3 2x 2 11x + 12). Die ganzzahligen Nullstellen müssen Teiler von 12 sein; Probieren zeigt: f(1) = 0, so dass mit Hilfe von Polynomdivision eine weitere Faktorzerlegung möglich ist: f(x) = x (x ) (x 2 x 12). Der quadratische Term x 2 x 12 kann höchstens noch zwei Nullstellen haben. Durch erneutes Probieren oder durch Lösen der quadratischen Gleichung x 2 x 12 = 0 findet man die weiteren Nullstellen -3 und 4, so dass sich ergibt: Die Menge der Nullstellen ist {-3; 0; 1; 4}. Links von -3, zwischen -3 und 0, zwischen 0 und 1, zwischen 1 und 4, sowie rechts von 4 kann also kein Vorzeichenwechsel erfolgen. Es reicht wieder, einen Test in jedem der Bereiche durchzuführen, z.b.: f( 4) = 160 > 0, also verläuft der Graph links von x = -3 oberhalb der x-achse, f( 1) = 20 < 0, also verläuft der Graph im Bereich zwischen x = -3 und x = 0 unterhalb der x-achse, f(0, 5) = 3, 0625 > 0, also verläuft der Graph im Bereich zwischen x = 0 und x = 1 oberhalb der x-achse, f(2) = 20 < 0, also verläuft der Graph im Bereich zwischen x = 1 und x = 4 unterhalb der x-achse, f(5) = 160 > 0, also verläuft der Graph rechts von x = 4 oberhalb der x-achse. Innerhalb des rot-schraffierten Raums in der Skizze können keine Punkte des Graphen liegen. Mit deutlich weniger Aufwand als bei der Skizze lässt sich das Vorzeichenverhalten in einer Vorzeichentabelle darstellen, bei der in der ersten Zeile alle Stellen mit möglichem Vorzeichenwechsel vermerkt sind, während die zweite Zeile angibt, welches Vorzeichen die Funktion jeweils zwischen zwei solchen kritischen Stellen hat: x f(x) > 0 < 0 > 0 < 0 > 0

36 KAPITEL 7. DOPPELSTUNDE Hausaufgaben zu Freitag, Beantworte die folgenden Fragen; bei den Fragen a..c ist die erwähnte Funktion stets ganzrational mit ganzzahligen Koeffizienten. (a) Man kann an einem der Koeffizienten erkennen, welche ganzen Zahlen auf keinen Fall Nullstellen der Funktion f sein können. Welcher Koeffizient ist das? (b) Welche Zahlen kann man als Nullstellen der Funktion ausschließen, ohne dass man vorher die Funktionswerte berechnen muss? (c) Wie entscheidet man, ob und welche der nicht ausgeschlossenen Zahlen Nullstellen der Funktion sind. (d) Welchen Faktor enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion f, wenn die Zahl a eine Nullstelle von f ist? (e) Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion dritten Grades höchstens haben? (f) Gib eine Funktion an, bei der die in der Antwort zu Frage (e) genannten Anzahl von Nullstellen auftritt. (g) Ein Polynom wird durch x 3 dividiert. Was bedeutet es, wenn diese Division glatt aufgeht, und was kann man schließen, wenn der Divisionsrest 11 bleibt? (h) Entscheide ohne Polynomdivision, welcher Rest r bei der Division von x 4 6x 3 + 5x 2 x + 3 durch x 5 bleibt. (i) Welche Nullstellen haben die folgenden drei quadratischen Funktionen? f(x) = x 2 7x + 12, g(x) = x 2 7x + 13, h(x) = x 2 7x + 12, 25. (j) Welche Nullstellen hat f(x) = (x 2 1)(x + 2)(x 3)(x 2 + 4)? 2. Bestimme für die vier Funktionen, die in den Fragen (i) und (j) vorkommen, jeweils die Vorzeichenbereiche und skizziere einen vorzeichenrichtigen Verlauf; die gezeichnete Kurve muss nicht den genauen Verlauf des Graphen wiedergeben, sondern nur an den richtigen Stellen oberhalb bzw. unterhalb der x-achse verlaufen. 7.3 Ergebnisse der Hausaufgaben, besprochen am Antworten auf die gestellten Fragen (a) Antwort: Der variablenfreie Summand (das absolute Glied) in der Funktionsgleichung (b) Antwort: Die Teiler des absoluten Glieds in der Funktionsgleichung und ihre Gegenzahlen. (c) Antwort: Man berechnet die Funktionswerte an den in Frage kommenden Stellen. (d) Antwort: Der Funktionsterm enthält (in faktorisierter Form) den Faktor x a. (e) Antwort: Höchstens 3. (f) Als Antwort ist eine Funktion vom Typ f(x) = (x a)(x b)(x c) anzugeben, wobei a, b, c verschieden sind, also z.b. f(x) = x(x 1)(x + 6). (g) Antwort: Wenn die Division glatt aufgeht, ist 3 eine Nullstelle des Polynoms; wenn der Divisionsrest 11 bleibt, ist 11der Wert des Polynoms an der Stelle 3. (h) Antwort: Einsetzen von x=5 in den Funktionsterm ergibt den Wert -2; also ist -2 der gesuchte Divisionsrest. (i) Die Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung ergibt: Die Nullstellenmenge von f(x) = x 2 7x + 12 ist {3; 4}, die Nullstellenmenge von g(x) = x 2 7x + 13 ist {}, die Nullstellenmenge von h(x) = x 2 7x + 12, 25 ist {3,5}. (j) Die Nullstellen von f(x) = (x 2 1)(x + 2)(x 3)(x 2 + 4) sind unmittelbar an der Faktorzerlegung abzulesen, wobei sich der erste Faktor noch in (x + 1)(x 1) zerlegen lässt: -2; -1; 1 und 3.

37 KAPITEL 7. DOPPELSTUNDE Bestimmung der Vorzeichenbereiche: f(x) = x 2 7x + 12 mit den Nullstellen 3 und 4 ist zwischen 3 und 4 positiv, für x < 3 ebenso wie für x > 4 positiv, g(x) = x 2 7x + 13 hat keine Nullstellen, also überall das gleiche Vorzeichen. Wegen (zum Beispiel) f(0) = 13 > 0 ist f(x) für alle x positiv. h(x) = x 2 7x + 12, 25 ist wegen f(x) = (x 3, 5) 2 nirgends negativ, außerhalb der Nullstelle 3,5 also positiv. Da bereits aus der Stufe 10 bekannt ist, dass der Graph einer Funktion mit einem Funktionsterm vom Typ x 2 + px + q eine nach oben geöffnete Normalparabel ist, wäre bei den drei genannten Beispielen unmittelbar nach der Bestimmung der Nullstellen die Angabe der Vorzeichenbereiche auch ohne weitere Rechnung möglich. Bei f(x) = (x 2 1)(x + 2)(x 3)(x 2 + 4) mit den Nullstellen -2, -1, 1 und 3 ist es zweckmäßig, das Vorzeichenverhalten in einer Tabelle darzustellen; dabei ist das Vorzeichen jeweils links von -2, zwischen -2 und -1, zwischen 1 und 3, sowie rechts von 3 durchgehend positiv oder negativ, so dass es genügt innerhalb dieser Bereiche an jeweils einer frei gewählten Stelle das Vorzeichen zu bestimmen, hier also zum Beispiel bei -3; -1,5; 0; 2 und 4: f( 3) = (( 3) 2 1)( 3 + 2)( 3 3)(( 3) 2 + 4) > 0 f( 1, 5) = (2, 25 1)( 1, 5 + 2)( 1, 5 3)(2, ) < 0 f(0) = 1 2 ( 3) 4 > 0 f(2) = (4 1)(2 + 2)(2 3)(4 + 4) < 0 f(4) = (16 1)(4 + 2)(4 3)(16 + 4) > 0 Damit ergibt sich das in der nachfolgenden Tabelle dargestellte Vorzeichenverhalten: x f(x) > 0 < 0 > 0 < 0 > 0 Damit lassen sich auch im Koordinatensystem die Vorzeichenbereiche kennzeichnen, indem die nicht in Frage kommenden Felder durch Schraffieren ausgeschlossen werden. Zur Ergänzung ist der Verlauf der zu untersuchenden Kurve ebenfalls eingezeichnet.

38 Kapitel 8 Doppelstunde Im ersten Teil der Doppelstunde wurden die Hausaufgaben besprochen; die Ergebnisse der Besprechnung sind im vorhergehenden Kapitel ausgeführt. 8.1 Ein weiteres Beispiel zur Vorzeichenbetrachtung Nach weiteren Übungen zum Vorzeichenverhalten wurde die Funktion mit der folgenden Gleichung untersucht: f(x) = (x + 1) 2 (x 3) An der Faktorzerlegung des Funktionsterms ist abzulesen, dass die Nullstellen der Funktion -1 und 3 sind. Wegen f( 2) = ( 2 + 1) 2 (2 3) < 0, f(0) = 3 < 0 und f(4) = (4 + 1) 2 (4 3) > 0 ergibt sich der Vorzeichenverlauf der Funktion gemäß der folgenden Tabelle: x -1 2 f(x) < 0 < 0 > 0 Der Graph kommt also aus dem negativen y-bereich, bleibt nach einer Berührung der x-achse bei x = 1 im negativen Bereich und wechselt bei x=2 in den positiven y-bereich; ein möglicher Verlauf ist also der nachfolgende skizzierte: 37