Logarithmusgleichungen 50 Logarithmusgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg

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1 Logarithmusgleichungen 5 Logarithmusgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg Auflage: Dienstag Copyright by Josef Raddy

2 .Einfachste Logarithmusgleichungen a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) m) n) = L= = L= 6 ( ) = 5 9 L= 5 = L= 8 ( ) = 6 L= = L= 56 ( ) = 5 L= 5 5 = 5 L= 7 ( ) = 7 L= = L= 5 = L= = L=

3 .Logarithmusgleichungen mit zwei Logarithmen ohne Absolutglied a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) m) n) o) p) ( ) = ( + ) L= { 9} ( + ) = ( + ) ( ) = ( ) L= ( ) = ( + ) L= ( + ) = ( ) L= { 5} ( + ) = ( + ) L= { 5} ( ) ( ) L= { 5} ( + ) = ( + 7) L= = + ( ) ( ) L= 5 = + ( + ) = ( ) L= 5 ( ) = ( ) L= { } ( + ) = ( ) L= ( + + ) = ( + + ) L= { ; } 5 ( ) ( ) L= { ; } = + + q) ( ) ( ) L= { ; } r) = L= ( ) ( ) L= { 5; } + + = + + 7

4 .Logarithmusgleichungen mit drei Logarithmen sowie Logarithmusgleichungen mit zwei Logarithmen und Absolutglied a) b) c) d) e) f) ( ) + ( + ) = L= { } 5 6 ( ) + ( + ) = L= ( + ) ( ) = L= ( + ) + ( ) = L= { 7} ( + ) ( + ) = L= { } 7 ( ) + ( + ) = ( + ) L= g) ( + 7) ( + ) = ( ) L= h) ( + ) ( ) = ( 6) L= { } 8

5 .Substitution a) (9 6) + = (9+ 6) + 6 L= 6 b) c) d) e) f) g) h) i) 9 ( ) + = (+ ) + (+ ) + = L= (+ ) 7 8 (9 5) + + = 5 (9+ 5) 6 L= L= 5 9 ( + ) = L= 9 (+ ) + 5 ( ) + + = (+ ) 6 (99 ) + + = (99+ ) [ + ] + = [ + ] + = 9 L= L= 5 ( 9) ( 9) L= ( 95) 6 ( 95) 6 L= 5 j) 9 [ (+ 5) ] 6 (+ 5) + 6= L= { 5} k) L) m) n) [ + ] + + = 6 ( ) 6 ( ) 6 L= 7 [ + ] + + = ( 8) 6 ( 8) 6 L= + = L= ; + = 8 L= ; ;;

6 5.Logarithmusgleichungen mit Logarithmen unterschiedlicher Basis 5a) + 8 = L= 5b) 5c) ( ) ( ) ( ) ( ) = L= { 7} ( ) ( = ) L= {,} 7 8.

7 Lösung zu a = Wir benutzen die Definition des Logarithmus, um die Logarithmusgleichung zu lösen: = = Potenz ausrechnen: = Probe für = = = Lösungsmenge L= Lösung zu b = Wir benutzen die Definition des Logarithmus, um die Logarithmusgleichung zu lösen: = = Potenz ausrechnen: = 6 Probe für =6 6 = = Lösungsmenge: L= 6

8 Lösung zu c ( 5) = 9 5 Beide Seiten durch teilen: ( ) 5 5 = Wir benutzen die Definition des Logarithmus: ( ) 5 5 = 5 = 5 Potenz ausrechnen: 5= 5 Beide Seiten durch 5 teilen: 5= Probe für =5: ( ) = 9 ( ) 5 5 = 9 = 9 9= 9 Lösungsmenge: L= 5

9 Lösung zu d = Wir benutzen die Definition des Logarithmus, um die Logarithmusgleichung zu lösen: = = Potenz ausrechnen: = 8 Probe für =8 8 = = Lösungsmenge: L= 8

10 Lösung zu e ( ) = 6 Beide Seiten durch teilen: ( ) = Wir benutzen die Definition des Logarithmus: ( ) = = Potenz ausrechnen: 8= Beide Seiten durch teilen: = Probe für = ( ) = 6 ( ) 8 = 6 = 6 6= 6 Lösungsmenge: L=

11 Lösung zu f = Wir benutzen die Definition des Logarithmus: ( ) = = Potenz ausrechnen: = Beide Seiten durch teilen: = 56 Probe für =56 ( ) 56 = ( ) = = Löu s ngsmenge: L= 56

12 Lösung zu g ( 5) = 5 Wir benutzen die Definition des Logarithmus: ( ) 5 5 = 5 = 5 Potenz ausrechnen: 5= 5 Beide Seiten durch 5 teilen: = 5 Probe für = 5 ( ) = ( ) 5 5 = = Lösungsmenge: L= 5

13 Lösung zu h 5 = 5 Beide Seiten durch 5 teilen: = Wir benutzen die Definition des Logarithmus: = = Potenz ausrechnen: 7 = Probe für = = 5 5 = 5 5= 5 Lösungsmenge: L = { 7}

14 Lösung zu i ( 7) = 7 Wir benutzen die Definition des Logarithmus: ( ) 7 7 = 7 = 7 Potenz ausrechnen: 9= 7 Beide Seiten durch 7 teilen: = 7 Probe für = 7 ( ) = ( ) 7 9 = = Lösungsmenge: L= 7

15 Lösung zu k = 5 Wir benutzen die Definition des Logarithmus: 5 = 5 = Potenz ausrechnen: 5 = 5 = = 5 Probe für = 5 5 = 5 = Lösungsmenge: L= 5

16 Lösung zu m = 7 Wir teilen beide Seiten durch : 7 = : 7 = Bruch mit kürzen 7 = Wir benutzen die Definition des Logarithmus: 7 = 7 = Potenz ausrechnen: 7 = 7 = = = Probe für = = 7 7 = = = Lösungsmenge: L=

17 Lösung zu n = 6 Wir teilen beide Seiten durch : 6 = : 6 = Bruch vereinfachen 6 = Wir benutzen die Definition des Logarithmus: 6 = 6 = Potenz ausrechnen: 6 = 6 = = = Probe für = = 6 = = Lösungsmenge: L=

18 Lösung zu a ( 5 ) = ( + 5) 5 5 Wir benutzen den Satz: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: 5 = + 5 Alle auf eine Seite bringen, alle Konstanten auf die andere: 5 = = = 5 :5 = 9 Probe für = 9 ( 5 9 ) = ( 9+ 5) 5 5 5= Lösungsmenge: L= 9 wahre Aussage (c) by

19 Lösung zu b ( + ) = ( + ) Wir benutzen den Satz: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: + = + Alle auf eine Seite bringen, alle Konstanten auf die andere: + = + + = = :5 Probe für = [ ( ) ] ( ) + = + [ ] = [ ] [ ] Diese Gleichung ist nicht definiert, und daher ist = keine Lösung. Lösungsmenge: Die Lösungsmenge ist die leere Menge: L =

20 Lösung zu c ( ) = ( ) Wir benutzen den Satz: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: = Alle auf eine Seite bringen, die Konstante auf die andere Seite: = = + = Probe für = ( ) ( ) = ( ) = ( ) wahre Aussage Lösungsmenge: L=

21 Lösung zu d ( ) = ( + ) Wir benutzen den Satz: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri glei ch: = + Alle auf eine Seite bringen, die Konstante auf die andere Seite: = + = + = Probe für = ( ) ( ) i = i+ ( ) = ( ) wahre Aussage Lösungsmenge: L=

22 Lösung zu e ( 5+ 5) = ( 8 ) Wir benutzen den Satz: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: 5+ 5= 8 Alle auf eine Seite bringen, die Konstante auf die 5+ 5= 8 5 5= + 5= : 5= Probe für = 5 ( ) ( ) 5i5+ 5 = 8i5 ( ) = ( ) wahre Aussage Lösungsmenge: L= 5 andere Seite:

23 Lösung zu f ( 5+ ) = ( + ) Wir benutzen den Satz: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri glei ch: 5+ = + Alle auf eine Seite bringen, die Konstante auf die andere Seite: 5+ = + + = = : = 5 Probe für = 5 ( ) ( ) 5i5+ = i5+ ( 7) = ( 7 ) wahre Aussage Lösungsmenge: L= 5

24 Lösung zu g ( ) = ( + ) ( ) = ( + ) Auf der linken Seite steht ein Faktor vor dem Logarithmus. Um ihn zu beseitigen, benutzen wir die.logarithmusformel: ( ) = ( + ) ( ) ( ) = + 5 = ausklammern ( 5) = Probe für = ( ) = lg o Nun können wir den Satz anwenden: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: = + = ( i + ) Der Numerus auf der linken Seite ist negativ, daher ist der Logarithmus nicht definiert, und somit ist = keine Lösung. Probe für = 5 ( ) ( ) 5 = i5+ ( ) = ( 6) = = wahre Aussage Lösungsmenge: L= { 5}

25 Lösung zu h ( + ) = ( + 7) ( + ) = ( + 7) Auf der linken Seite steht ein Faktor vor dem Logarithmus. Um ihn zu beseitigen, benutzen wir die.logarithmusformel: ( + ) = ( + 7) ( ) ( ) + + +, + + = + 7 Nun können wir den Satz anwenden: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich:, = + 7 = 7 7 6= Quadratische Gleichung mit Lösungsformel lösen b± b ac = = a ( ) ± ( ) ( 6) = ± +, = = oder Probe für = ( ) ( + ) = ( ) + 7 Der Numerus auf der linken Seite ist negativ, daher ist der Logarithmus nicht definiert, und somit ist = keine Lösung. Probe für = ( ) ( ) + = + 7 ( ) = ( 6) = = wahre Aussage Lösungsmenge: L=

26 Lösung zu i ( 5 ) = ( + ) ( 5 ) = ( + ) Auf der linken Seite steht ein Faktor vor dem Logarithmus. Um ihn zu beseitigen, benutzen wir die.logarithmusformel: ( 5 ) = ( + ) Linkes Argument mit Binom vereinfachen [ ] ( ) 5 + = + Nun können wir den Satz anwenden: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: 5 + = = 5 5 = 5 ausklammern 5( ) = Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor gleich Null ist = oder Probe für = ( 5i ) = ( i+ ) Der Numerus auf der linken Seite ist negativ, daher ist der Logarithmus nicht definiert, und somit ist = auch keine Lösung. Probe für = ( 5i ) = ( i+ ) 9= 8 = wahre Aussage Lösungsmenge: L=

27 Lösung zu k ( ) ( ) + = 5 Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: + = 5 5 = ( ) = = oder Probe für = ( ) ( ) i + i = 5 i ( ) ( ) i + i = 5i = ausklammern Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor gleich Null ist Die Numeri auf beiden Seiten sind gleich Null, daher ist der Logarithmus nicht definiert, und somit ist = auch keine Lösung. Probe für = Lösungsmenge: L= wahre Aussage

28 Lösung zu m ( ) ( ) = Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: = 8= ausklammern ( ) = Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor gleich Null ist = oder Probe für = ( ) ( ) i i = i = Die Numeri auf beiden Seiten sind gleich Null, daher ist der Logarithmus nicht definiert, und somit ist = auch keine Lösung. Probe für = ( ) ( ) i i = i 6= 6 Lösungsmenge: L = { } wahre Aussage

29 Lösung zu n ( ) ( ) 5 + = 8 8 Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: 5 + = 5 = 5 au ( ) ( ) 5i + i = i 8 8 = 8 8 sklammern 5( ) = Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor gleich Null ist = oder Probe für = Die Numeri auf beiden Seiten sind gleich Null, daher ist der Logarithmus nicht definiert, und somit ist = auch keine Lösung. Probe für = ( ) ( ) 5i + i = i 8 8 6= Lösungsmenge: L= wahre Aussage

30 Lösung zu o ( ) ( ) = + + Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: + + 5= = + + = +, ± = b b 5 ± ( ) ± 9 ± 7, = = = = oder ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 7= 7 wahre Aussage a Probe für = ac = + + 7= 7 Probe für = Lösungsmenge: L= { ; } wahre Aussage

31 Lösung zu p ( ) ( ) = + + Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: + + 5= = + + 5= 6=, ± = b b ac ( ) ± ( ) ( 6) ± 5 ± 5, = = = = oder Probe für = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 7= 7 wahre Aussage a = + + = Probe für = wahre Aussage { } Lösungsmenge: L= ;

32 Lösung zu q ( ) ( ) = Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: = = = + 5 = = = und = Probe für = ( ) ( ) + 5i+ 9 = 5i + 5i = Probe für = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 + 5i + 9 = 5 5i + 5i = 5 wahre Aussage 5 5 Lösungsmenge: L= ; : 5 wahre Aussa ge

33 Lösung zu r ( ) ( ) + + = Wir wenden den Satz an: Sind zwei Logarithmen gleich, dann sind auch ihre Numeri gleich: + + = = = , b b ac ( ) ( ) = Quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel lösen: ± = a ± ( 5) ± 6 ± 8, = = = = und = 5 Probe für = i + i+ = + i + 7 = Probe für = 5 wahre Aussage ( ) ( ) ( ) ( ) i 5 + i 5 + = 5 + i = lg o wahre Aussage { } Lösungsmenge: L= 5;

34 Lösung zu a ( ) + ( + 5) = 6 Wir wenden die.logarithmusformel an: [( ) ( + 5) ] = 6 Klammern ausmultiplizieren [ ] [ ] = = = + 5 =, + 69 b b ac vereinfachen Definition des Logarithmus anwenden Wir lösen die quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel: ± = ± ( 69) ± ±, = = = = und = 6 Probe für = ( i ) + ( + 5) = 6 6 ( ) a 8+ 8= 6 + = 6 Probe für = 6 6 wahre Aussage 6 ( ) 6 ( ) i = Weil die Numeri der Logarithmen negativ sind, ist keine Lösung der Logarithmusgleichung. 6 Lösungsmenge: L= { } (c) by

35 Lösung zu b ( 5 ) + ( 9+ 9) = 5 Wir wenden die.logarithmusformel an: [( 5 ) ( 9 + 9) ] = 5 Klammern ausmultiplizieren [ ] [ ] = vereinfachen = 5 Definition des Logarithmus anwenden = =, Wir lösen die quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel: ± = b b ac a 6± 6 5 ( 5) 6± 6 6± 6, = = = = und =.8 Probe für = ( 5i ) + ( 9i+ 9) = = 5 + = 5 Probe für =. 8 [ ( ) ] [ ( ) ] 5i i = 5 [ 9 ] + [ 6.+ 9] = 5 wahre Aussage Weil die Numeri der Logarithmen negativ sind, ist.8 keine Lösung der Logarithmusgleichung. Lösungsmenge: L=

36 Lösung zu c ( + 5) ( 5) = 5 5 Wir wenden die.logarithmusformel an: = 5 Definition des Logarithmus anwenden = 5 Potenz ausrechnen = 5 ( 5) 5( 5 ) = + 5 Klammer ausmultiplizieren 5 5 = = 5 :5 = Probe für = ( + 5) ( 5) = = 5 5 = wahre Aussag e Lösungsmenge: L=

37 Lösung zu d ( 7 + 5) + ( 5 5) = Wir wenden die.logarithmusformel an: [( 7+ 5) ( 5 5) ] = Klammern ausmultiplizieren [ ] [ ] = = Definition des Logarithmus anwenden = =,, vereinfachen Wir lösen die quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel: b± b ac 7± 7 5 ( 55) = = = a 5 7± ± 9 = = = 9 = 7 und = Probe für =7 ( ) + ( 5 7 5) = + = + = Probe für wahre Aussage = = Weil die Numeri der Logarithmen negativ sind, sind die Logarithmen nicht definiert, und somit 9 ist keine Lösung der Logarithmusgleichung. Lösungsmenge: L= 7

38 Lösung zu e ( + ) ( 7+ ) = Wir wenden die.logarithmusformel an: + = 7 + Definition des Logarithmus anwenden + = 7+ Potenz ausrechnen + 8 = 7 + ( 7+ ) 87+ ( ) = + Klammer ausmultiplizieren 56+8 = = 6 :6 = Probe für = ( + ) ( 7 + ) = 6 8= 6 = wahre Aussage Lösungsmenge: L= (c) by

39 Lösung zu f ( ) + ( + ) = ( + ) Wir wenden auf die linke Seite der Gleichung die.logarithmusformel an: [( ) ( + ) ] = ( + ) Nun benutzen wir wieder den Satz: Sind zwei Logarithmen (mit gleicher Basis) gleich, dann sind auch ihre Argumente (die Numeri) gleich: [( ) ( + )] = + Linke Seite: Klammern ausmultiplizieren + = + = + 6= 6= Linke Seite vereinfachen Quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel lösen: b± b ac ( ) ± ( ) ( 6) ± 6+ 8 ± 6 ± 8, = = = = = a = oder = Probe für = ( ) + ( + ) = ( + ) + = 6 + = wahre Aussage Probe für = ( ( ) ) ( ) ( ) + + = + ( ) + = L= ( ) Alle drei Logarithmen sind nicht definiert. Somit ist = keine Lösung Lösungsmenge :

40 Lösung zu g ( + 7) ( + ) = ( ) Wir wenden auf die linke Seite der Gleichung die.logarithmusformel an: + 7 ( ) = + Nun benutzen wir wieder den Satz: Sind zwei Logarithmen (mit gleicher Basis) gleich, dann sind auch ihre Argumente (die Numeri) gleich: + 7 = + ( + ) + 7= ( ) ( + ) Klammern ausmultiplizieren + = rechte Seite vereinfachen = 7= 8 = 8 8 Quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel lösen:, b± b ac ( ) ± ( ) 8 ( 8) = = = a 8 ± + 56 ± ±, = = = = oder =.5 Probe für = ( + 7) ( + ) = ( ) 7 9= = 7 wahre Aussage Probe für =. 5 [ (.5) + 7] [ (.5) + ] = (.5) [ ] Zwei Logarithmen sind nicht definiert, da ihre Argumente negativ sind. Somit ist =.5 keine Lösung Lösungsmenge: L=

41 Lösung zu h ( + ) ( 8) = ( 6) Wir wenden auf die linke Seite der Gleichung die.logarithmusformel an: + ( ) = 6 8 Nun benutzen wir wieder den Satz: Sind zwei Logarithmen (mit gleicher Basis) gleich, dann sind auch ihre Argumente (die Numeri) gleich: + = 6 8 ( 8 ) + = ( 6) ( 8) Klammern ausmultiplizieren + = rechte Seite vereinfache + = + = + = +, n Quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel lösen: b± b ac ( ) ± ( ) ± 69 = = = a ± 9 ± 7, = = = oder = Probe für = ( + ) ( 8) = ( 6) 6= 6 = 6 Probe für = wahre Aussage ( + ) ( 8) = ( 6) Zwei Logarithmen sind nicht definiert, da ihre Argumente negativ sind. Somit ist = keine Lösung Lösungsmenge: L= { }

42 Lösung zu a (9+ 6) = 6 (9 + 6) + Wir substituieren: (9+ 6) = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: z = 6 z+ ( z + ) z = 6 ( z+ ) Klammer ausmultiplizieren z = z+ z 8z = + 8z= 6 :8 z = Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (9+ 6) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = = = = 9 :9 6= Probe für =6 ( ) = 6 ( ) + + = 6 = = 6 6 Lösungsmenge: wahre Aussage L= 6

43 Lösung zu b 9 ( ) (+ ) + + = Wir substituieren: (+ ) = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: 9 z = z+ ( z + ) 9z = ( z+ ) Klammer ausmultiplizieren 9z = z+ 6 z 5z = 6 + 5z= :5 z= Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ ) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + = = + 8= : = Probe für = 9 ( ) ( + ) + + = 9 + = 9 = + = wahre Aussage 7 Lösungsmenge: L=

44 Lösung zu c (+ ) + = (+ ) 7 Wir substituieren: (+ ) = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: z+ = z 7 ( z 7 ) z+ = ( z 7 ) Klammer ausmultiplizieren z+ = z 7 z = 6z = 6z :6 z= Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ ) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + = = + 8= : = Probe für = ( + ) + = ( + ) 7 + = 7 + = 7 = wahre Aussage Lösungsmenge : L=

45 Lösung zu d 8 (9 5) 5 (9+ 5) = Wir substituieren: (9+ 5) = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: 8 z+ = 5 z 6 ( 5z 6) 8z+ = ( 5z 6 ) Klammer ausmultiplizieren 8z+ = 5z 8 8z = 7z = 7z :7 z= Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (9+ 5) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = 9+ 5 = = = 9 :9 5= Probe für =5 8 ( ) + = 5 ( ) = = = 9 Lösungsmenge : wahre Aussage L= 5

46 Lösung zu e 9 ( ) (+ ) + + = Wir substituieren: (+ ) = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: 9 z = z+ ( z + ) 9z = ( z+ ) Klammer ausmultiplizieren 9z = z+ 6 z 5z = 6 + 5z= :5 z = Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ ) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + = = + 9= : 9= Probe für =9 9 ( ) ( 9 + ) = 9 + = 9 = + = 7 Lösungsmenge: wahre Aussage L= 9

47 Lösung zu f 5 (+ ) + = 9 (+ ) Wir substituieren: (+ ) = z Und erhalten: (+ ) = (Substitutionsgleichung) 5 z+ = 9 z ( z ) 5z+ = 9 ( z ) Klammer ausmultiplizieren 5z+ = 6z 7 5z = z = z : z = Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + 6= : = : Probe für = 5 ( ) ( + ) + + = 5 + = 5 + = 9 9 = 9 9 Lösungsmenge: 9 wahre Aussage L=

48 Lösung zu g 6 (99+ ) + = (99+ ) Wir substituieren: (99+ ) = z Und erhalten: (Substitutionsgleichung) 6 z+ = z ( z ) 6z+ = ( z ) Klammer ausmultiplizieren 6z+ = z 6z = z + = z : z = Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (99+ ) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = 99+ = = 99+ : 99= 99 :99 = Probe für = 6 (99 + ) + = (99 + ) 6 + = 6 + = = Lösungsmenge: wahre Aussage L=

49 Lösung zu h [ ] 5 ( + 9) ( + 9) = Wir substituieren: (+ 9) = z Und erhalten: 5z z= 5z z+ =, (Substitutionsgleichung) + Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z b± b ac ( ) ± ( ) 5 = = a 5 ± ± z, = = = 5 5 Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ 9) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + 9 = = = :99 Probe für = [ ] 5 ( + 9) ( + 9) = [ ] 5 = 5 = = = wahre Aussage Lösungsmenge: L=

50 Lösung zu i [ ] ( + 95) 6 (+ 95) = 6 Wir substituieren: (+ 95) = z Und erhalten: z 6z= 6 +6 z 6z+ 6= (Substitutionsgleichung) Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z, b± b ac ( 6) ± ( 6) 6 = = a 6± ± z, = = = 8 8 Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ 95) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + 95 = = = Probe für =5 [ ] ( 5+ 95) 6 ( 5+ 95) = 6 [ ] 6 = 6 6 = 6 6 = 6 6= 6 Lösungsmenge: wahre Aussa L= { 5} g e

51 Lösung zu j [ ] 9 (+ 5) 6 (+ 5) + 6= Wir substituieren: (+ 5) = z Und erhalten: 9 z 6 z+ 6= (Substitutionsgleichung) Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z, b± b ac ( 6) ± ( 6) 9 6 = = a 9 6± ± z, = = = 8 8 Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ 5) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + 5 = = = Probe für =5 [ ] 9 ( 5+ 5) 6 ( 5 + 5) + 6= [ ] = = = = wahre Aussage Lösungsmenge: L= 5

52 Lösung zu k [ ] 6 (+ ) 6 (+ ) + 6= Wir substituieren: (+ ) = z Und erhalten: 6z 6z+ 6= (Substitutionsgleichung) Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: b± b ac ( 6) ± ( 6) 6 6 z, = = a 6 6± ± z, = = = Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ ) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + = = + 7= Probe für =7 [ ] 6 ( 7+ ) 6 ( 7 + ) + 6= [ ] = = = = wahre Aussage Lösungsmenge: L=7

53 Lösung zu L [ ] ( + 8) 6 (+ 8) + 6= Wir substituieren: (+ 8) = z Und erhalten: z 6z+ 6= (Substitutionsgleichung) Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z, b± b ac ( 6) ± ( 6) 6 = = a 6± ± z, = = = 8 8 Nun nehmen wir die Rücksubstitution vor: (+ 8) = Als nächstes verwenden wir die Definition des Logarithmus: = + 8 = = = Probe für = [ ] ( + 8) 6 ( + 8) + 6= [ ] 6 + 6= 6 + 6= 6 + 6= = wahre Aussage Lösungsmenge: L=

54 Lösung zu m + = Wir schreiben als Bruch: + = Bruchrechnung anwenden + = Wir substituieren:, = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: z+ = z z z z + z= kürzen z z + z = Summanden umstellen z z+ = Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z b± b ac ( ) ± ( ) = = a ± ± ± z, = = = z = Die Rücksubstitution folgt auf der nächsten Seite =>

55 Fortsetzung: z = Rücksubstitution durchführen: = (...) ( ) =.Logarithmusgesetz ( ) ( ) = zusammenfassen ( ) = ( ) = ± ( ) = Definition des ( ) =± Logarithmus anwnd e en = = = = Nun müssen wir für beide Ergebnisse die Probe machen: Probe für = Probe für = + = + = + = + = ( ) + = + = = wahre Aussage + = + = = wahre Aussage Lösungsmenge: L= ;

56 Lösung zu n + = 8 Wir schreiben als Bruch: + = 8 Bruchrechnung anwenden + = 8 Wir substituieren: = z (Substitutionsgleichung) Und erhalten: z+ = 8 z z z z + = 8z z kürzen z + = 8z 8z z 8z += : Wir benutzen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen: z, b± b ac ( 8) ± ( 8) = = a 8± 8 8± 96 8± z, = = = z = 6 z = Die Rücksubstitution folgt auf der nächsten Seite =>

57 Fortsetzung: z = 6 z = Da wir zwei Lösungen für z erhalten, müssen wir zwei Rücksubstitutionen durchführen: = 6 (...) ( ) = 6.Logarithmusgesetz ( ) ( ) = zusammenfassen ( ) =.Logarithmusgesetz ( ) ( ) = zusammenfassen ( ) = ( ) = Definition des Definition des ( ) ( ) = Logarithmus = Logarithmus anwenden anwenden = = = Lösung berechnen = (...) = = = = = = = Nun müssen wir für alle Ergebnisse die Probe machen: + = 8 = = Probe für = Probe für = + = 8 Lösung berechnen + = 8 + = 8 6+ = 8 wahre Aussage + 6= 8 wahre Aussage Probe für = + = 8 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) ( ) + = = 8 wahre Aussage Lösungsmenge: L= ; ;; Probe für = + = 8 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = 8 ( ) ( ) ( ) + = 8 + 6= 8 wahre Aussage

58 Lösung zu 5a ( ) ( ) + 8 = b c Auf der linken Seite der Gleichung benutzen wir den Basiswechselsatz: ab=, ca um die Basis des Logarithmus so zu verändern, dass sie mit der Basis auf der rechten Seite identisch ist: ( ) + 8 () ( ) + 8 ( ) ( ) + 8 = ( ) + 8 = = ( ) Nennervereinfachen: () = = ( ) n b= b Nun können wir das Lösungsverfahren "Gleichsetzen der Numeri" anwenden: + 8= ( ) ( ) + 8 = ( ) + 8 8= + 8 = 8 : = Probe für = ( ) = ( 6) = = ( ) = wahre Auss age Lösungsmenge: L= a a n (c) by

59 Lösung zu 5b ( ) ( ) 8 c Auf der linken Seite der Gleichung benutzen wir den Basiswechselsatz: ab=, ca 7 = damit alle Logarithmen die (gleiche) Basis haben: ( ) 7 = ( ) Vereinfache: (8) = (8) ( ) 7 = ( ) Wende auf der rechten Seite die ( ) ( ) 7 =.Logarithmusformel an: n n b= b ( ) ( ) a 7 = Nun können wir das Lösungsverfahren "Gleichsetzen der Numeri" anwenden: 7 = 7 a b 7 = ausklammern ( 7) = Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist: = = 7 Probe für = ( ) ( ) 8 7 = Logarithmen sind für = nicht definiert, denn Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert. Daher ist = keine Lösung. Probe für =7 ( ) ( ) 8 7 = ( ) = ( ) cb 8 7 7= Basiswechselsatz auf.summand anwenden: ab= a ( ) 7 7= Nenner vereinfachen ( ) 8 ( ) 7 n 7= Zähler:.Logarithmusgesetz anwenden: ab = n ab 7 7 = kürzen 7 7= = wahre Aussage Lösungsmenge: L= 7 c

60 Lösung zu 5c ( ) ( ) c Auf der linken Seite der Gleichung benutzen wir den Basiswechselsatz: ab=, ca.. = damit alle Logarithmen die (gleiche) Basis () haben: ( ) () ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = Vereinfache: () =. = ( ) Wende auf der rechten Seite ( ) ( ). = die.logarithmusformel an: n n b= b..= + a a b n m nm Rechts: Potenzgesetz anwenden: a = a. = Nun können wir das Lösungsverfahren "Gleichsetzen der Numeri" anwenden:.= =.... =± Probe für = ( ) ( = ) ( ) ( ).. = ( ) ( ).. = = wahre Aussage Probe für = ( ) ( ). = ( ) ( ) ( ). = ( ) ( ).. = = wahre Aussage Lösungsmenge: { } L= ;