Folie 1. Taylor-Reihen

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1 Folie 4 e!!! 4! Taylor-Reihen

2 Im Zusammenhang mit der Berechnung von Tangenten hatten wir den Begriff der Linearisierung eingeführt. Dies bedeutet, dass eine Funktion in einem Teilbereich durch eine Tangente ersetz wird. In Formeln: f f ( ) f ( ) f ( ) 5 4 Frage: Ist die Linearisierung eine gute Näherung für eine Funktion? Antwort: hängt ganz davon ab Bei = wird z.b. die gezeigte Funktion recht gut durch die entsprechende Tangente beschrieben. Bei =.7 klappt es schlecht, eine Parabel wäre besser Folie

3 Taylor-Reihe einer Funktion: Man kann Funktionen besser annähern, indem man zur Linearisierung noch weitere Terme hinzufügt und zwar folgendermaßen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 f f ( ) 4 f f f f 6 4 Zur Systematik der höheren Terme: Um Terme bis zur n-ten Ordnung auf der rechten Seite hinzuzufügen, müssen die ersten n Ableitung berechnet und am Entwicklungspunkt ausgewertet werden. Die Vorfaktoren sind so bestimmt, dass die Ableitungen der Taylor-Reihe (rechte Seite) im Entwicklungspunkt mit der Ableitung der Originalfunktion übereinstimmen. (siehe auch nächste Folie.) Wie bei der Tangentenberechnung, ist die Unterscheidung von und wichtig. Die Stelle ist fest vorgegeben und bezeichnet den Entwicklungspunkt (bei der Linearisierung auch Arbeitspunkt genannt). Die unabhängige Variable in der heißt. Folie

4 Die Taylor-Reihe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 f f ( ) 4 f f f f 6 4 lässt sich mit Hilfe von Summenzeichen und Fakultät sehr kompakt schreiben: ( k ) f ( ) f( ) k! k Beachte, für die Fakultät gilt:!,!,!,!,... k ( n) f n ( ) ( ) bezeichnet die -te Ableitung an der Stelle f,entsprechend bezeichnet ( ) die Originalfunktion bei. Die Aussage der vorigen Folie bzgl. der Ableitungen heißt damit übersetzt: k f ( ) k! ( k ) ( n) k ( n) f ( ) Folie 4

5 Unter geeigneten Voraussetzungen kann eine Funktion eakt durch Taylor-Reihe (Summe mit vielen Termen) dargestellt werden. In der Prais begnügt man sich oft mit den ersten Termen der Taylor-Reihe, mit einem so genannten Taylor-Polynom, dies benutzt man dann als Näherung für die Ausgangsfunktion: ( n) n f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Pn, ( ) n! Anders ausgedrückt: f( ) f( ) f( ) f( ) Pn, ( ) Rest Bzgl. weiteren Details, wie etwa möglichen Einschränkungen bei Tylor-Näherungen, Güte der Näherung (Wie groß ist der Rest?) und Konvergenzradien sei auf weiterführende Literatur verwiesen. Folie 5

6 Die nebenstehende Grafik zeigt wie sich Taylor- Plynome mit zunehmender Anzahl von Termen immer besser an die zu beschreibende Funktion anschmiegen f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 f ( 4) ( ) Folie 6

7 Ein einfaches Berechnungsbeispiel: 4 f( ), 5 f gesucht ist zunächst das Taylor-Ploynom. Ordnung (Linearisierung): P f( ) f( ) f( ) f( ) 4, f( ) 4 P n 4 und weiterhin ist der nächst höhere Term gesucht: P f( ) f( ) f ( ) f ( ), f ( ) P 46 n Folie 7

8 Anmerkungen:. Die Taylor-Reihe strebt i.a. nur gegen die Originalfunktion, wenn die -Werte nahe genug am Entwicklungspunkt liegen (Stichwort Konvergenzradius).. Generell ist die Qualität der Näherung um so besser, je dichter das betrachtete am Entwicklungspunkt liegt und je mehr Terme im Taylor-Polynom berücksichtigt werden.. Zum Aufstellen des Taylor-Polynoms muss die Funktion hinreichend oft differenzierbar sein. 4. Als Entwicklungspunkt bietet sich oftmals = an. Die Taylor-Reihe wird dann zu einer einfachen Potenzreihe (Mac-Laurin-Reihe). Folie 8

9 Zusammenfassung Linearisierung f ( ) f ( ) f ( ) Taylor-Reihe einer Funktion f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 6 ( k ) f ( ) k! Mac-Laurin-Reihe ( =) ( k f ) ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 6 k! k k k k Taylor-Polynom ( n) n f ( ) f( ) f( ) f( )... f ( ) Pn, ( ) n! n ( k ) f ( ) k Pn, ( ) k! k Folie 9

10 Rechenbeispiel: gesucht ist die Mac-Laurin-Reihe von f ( ) cos. ( n) f ( ) n Gesucht ist also die Taylor-Reihe f( ) mit. n! Wir bilden die ersten Ableitungen n f f f f f f ( 4) ( 5) ( ) cos, ( ) sin, ( ) cos, ( ) sin, ( ) cos, ( ) sin, Einsetzen des Entwicklungspunkts in Funktion und Ableitungen: ( 4) ( 5) f( ), f( ), f( ), f( ), f ( ), f ( ), Einsetzen in die Summenformel: cos!! 4! 5! 6! 4 6! 4! 6! In der Mac-Laurin-Reihe kommen nur Terme mit geraden Eponenten vor und zwar mit alternierenden Vorzeichen. Folie

11 Substitution Gesucht sei jetzt die Mac-Laurin-Reihe vonf ( ) cos. Anhand diese Beispiels wird gezeigt, wie sich in bestimmten Fällen die gesuchte Taylor-Reihe aus einer bekannten Reihe mittels Substitution bestimmen lässt. Im vorhergehenden Rechenbeispiel wurde gezeigt: 4 6 cos! 4! 6! Um eine Verwechselung mit der jetzt gesuchten Funktion zu vermeiden, nennen wir die Variable um und schreiben das bekannte Ergebnis als: 4 6 cosu u u u! 4! 6! Substituiert man jetzt u, steht links die hier betrachtete Funktion und auf der rechten Seite ergibt sich die dazu gehörige Mac-Laurin-Reihe: 6 cos 8! 4! 6! Folie

12 Substitution Warum ist die Darstellung einer Funktion als Potenzreihe nützlich? Das Rechnen mit einfachen Potenzfunktionen ist einfacherer, als das mit komplizierten Funktionen z.b. cos( ) ( ). Manchmal kommt man überhaupt nur so weiter Potenzfunktionen lassen sich leicht differenzieren und integrieren das wollen wir im Folgenden ausnutzen. Folie

13 Integration Rechenbeispiel: Gesucht ist der Wert des Integrals vierte Nachkommastelle genau. Wir haben schon berechnet: cos 6 8! 4! 6! Anstelle der eigentlichen Funktion integrieren wir die ersten Terme der Taylor- bzw. Mac-Laurin-Reihe: 6 8 cos d... d! 4! 6! ! 4! 96! Man sieht, dass der vierte und folgende Terme die ersten vier Nachkommastellen nicht mehr beeinflussen. cos d bis mindestens auf die Zum Vergleich, das 'eakte' Ergebnis ist: Folie

14 Tabelle Zum Schluss, Mac-Laurin-Reihen einiger wichtiger Funktionen: Funktion Reihenentwicklung Konvergenzbereich 4 e!!! 4! ln( ) sin 5 7!! 5! 7! cos 4 6 8! 4! 6! 8! Folie 4

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