Der Primzahlsatz, Teil 2

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1 Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, Maike Gerhard Ziel dieses Vortrags ist es den Primzahlsatz zu beweisen. Dieser besagt π() π(), d.h. lim ln /ln =, wobei π() die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich bezeichnet. Er beschreibt demnach die asymptotische Anzahl der Primzahlen kleiner gleich für. Vermutet wurde er bereits von GAUSS (792) und LEGENDRE (798), bewiesen wurde er allerdings erst rund hundert Jahre später unabhängig von HADAMARD und DE LA VALLÉE POUSSIN. Wir werden zuerst einige Hilfsaussagen beweisen, aus denen wir dann die Gültigkeit des Primzahlsatz folgern. In der gesamten Ausarbeitung werden die Bezeichnungen des Skripts zur Analytischen Zahlentheorie verwendet.

2 Wiederholung Wiederholung In diesem Abschnitt werden noch einmal Definitionen, Lemmata und Sätze aufgezählt, die bereits aus dem Vortrag Der Primzahlsatz, Teil bekannt sind, in den nachfolgenden Beweisen jedoch verwendet werden und daher der Vollständigkeit halber nicht fehlen sollten. Auf Beweise der Sätze und Lemmata wird hier verzichtet und auf den oben genannten Vortrag verwiesen. Bereits bekannte Sätze und Definitionen (.) Definition (CHEBYSHEVsche psi- und theta-funktion) Sei π die Primzahlzählfunktion. Man definiert die CHEBYSHEVsche psi-funktion Ψ : [,) R und die CHEBYSHEVsche theta-funktion θ : [,) R durch Ψ() := Λ(n) und θ() := ln(p). n p P,p (.2) Lemma Die folgenden Aussagen sind äquivalent: i) π() ln. ii) θ(). iii) Ψ(). (.3) Lemma Es gibt ein c >, so dass für alle gilt Ψ() c. (.4) Satz Die RIEMANNsche Zetafunktion ζ(s) besitzt eine meromorphe Fortsetzung in die Halbebene Re(s) >. Die Fortsetzung ζ(s) ist holomorph bis auf einen einfachen Pol mit Residuum bei s =. Es gilt ζ(s) = s R, Re(s) > und ζ() < (, ). (.5) Lemma Für σ > und t R gilt ζ 3 (σ) ζ(σ + it) 4 ζ(σ + 2it). 2

3 Am Ende dieses Abschnittes wird endlich der Primzahlsatz bewiesen und eine aus ihm resultierende Folgerung verifiziert. Vorerst müssen jedoch mit Hilfe der Sätze und Lemmata aus Paragraph einige Hilfsaussagen bewiesen werden. (2.) Satz Für alle t R\{} gilt ζ( + it) =. Beweis Für alle σ > gilt nach (.5) ζ 3 (σ) ζ(σ + it) 4 ζ(σ + 2it). Wegen σ - > erhalten wir nach Division beider Seiten durch (σ - ) ((σ ) ζ(σ)) 3 ζ(σ + it) σ 4 ζ(σ + 2it) σ. () Nach (.4) hat ζ(s) einen einfachen Pol mit Residuum an der Stelle s =. Aus der Funktionentheorie I wissen wir demnach, dass Res (ζ) = lim σ (σ ) ζ(σ) = (2) ist. Angenommen es gibt ein t R\{} mit ζ( + it) =. Dann gilt für die Ableitung an dieser Stelle: Aus (2) und (3) folgt nun ζ ( + it) = lim σ ζ(σ + it) ζ( + it) (σ + it) ( + it) lim((σ ) ζ(σ)) 3 σ ζ(σ + it) σ 4 = lim σ ζ(σ + it) σ. (3) ζ(σ + 2it) = ζ ( + it) 4 ζ( + 2it). Die rechte Seite dieser Gleichung ist wegen der Holomophiebereiche von ζ und ζ eine feste reelle Zahl. Dies ergibt einen Widerspruch, denn die rechte Seite von () strebt für σ gegen. Damit gilt ζ( + it) = t R\{}. 3

4 Das nachfolgende Lemma stellt einen Zusammenhang zwischen der RIEMANNschen Zetafunktion und der CHEBYSHEVschen psi-funktion her. (2.2) Lemma Für s C, Re(s) > gilt ζ (s) ζ(s) = Λ(n) n s = s Ψ(t) t s dt. n=2 Beweis Sei s = σ + it mit σ >. Wir wissen bereits, dass ζ(s) = e G(s) mit G(s) = Λ(n) n s n=2 ln n ist. Daraus und aus der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe G folgt sofort ζ (s) ζ(s) = eg(s) G (s) e G(s) = = n=2 Λ(n) ln n d Λ(n) n s. n=2 = G (s) = d ds ds n s = n=2 Λ(n) n s n=2 ln n Λ(n) ( ln(n)) n s ln n Nach dem ABELschen Lemma 2 gilt für eine zahlentheoretische Funktion f : N C mit F : [, ) C, F() := n= f (n) und jede stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktion g : [a, b] C, < a < b: b f (n) g(n) = F(b) g(b) F(a) g(a) F(t) g (t)dt. a<n b a [2] Kapitel I, Korollar (4.8). 2 [2] Kapitel I, Satz (4.)a. 4

5 Mit f (n) = Λ(n), das heißt F() = Ψ(), und g : [, N] C, g() = s hat man N Λ(n) n s = Ψ(N) N s Ψ() Ψ(t) t s dt <n N N = Ψ(N) N Ψ(t) t s dt s Ψ(t) t s dt, N, denn es ist Ψ() = und g ist holomorph auf der Schlitzebene C mit g () = s s. Außerdem folgt aus (.3) lim Ψ(N) N s N c N lim N N s = lim c =, N Nσ weil σ > ist. Insgesamt erhalten wir ζ (s) ζ(s) = Λ(n) n s = s Ψ(t) t s dt. n=2 (2.3) Lemma Es bezeichne Ψ die CHEBYSHEVsche psi-funktion. Dann ist lim inf Ψ() lim sup Ψ(). Beweis Wir definieren zunächst m := lim inf Ψ() und M := lim sup Ψ(). ζ(s) ist holomorph auf der Menge {s C Re(s) > }\{} und hat einen Pol erster Ordnung mit Residuum im Punkt s =. Als Ableitung von ζ(s) ist ζ (s) ebenfalls meromorph auf {s C Re(s) > } mit zweifachem Pol an der Stelle s =. = ζ (s) hat einen Pol erster Ordnung in s =. ζ(s) 5

6 Nun wollen wir das zugehörige Residuum bestimmen. Sei γ := K ρ (), wobei ρ so gewählt ist, dass weder ζ noch ζ auf dem betrachteten Kreis Nullstellen besitzen. (OBdA ρ < /2). γ ist nullhomolog in Re(s) >. Nach dem Residuensatz 3 gilt 2πi γ ζ (s) 2πi ds = ζ(s) 2πi n γ() }{{} = Res ( ζ (s) ζ(s) Außerdem folgt mit dem Satz vom Argumentprinzip 4 Damit ist 2πi γ ζ (s) ζ(s) ds = }{{} keine Nullstellen ( ζ ) (s) Res =. ζ(s) ) = Res ( ζ (s) ζ(s) }{{} =. ein Pol. Ordnung Aus der Funktionentheorie I ist bekannt 5, dass in diesem Fall gilt: Mit Lemma (2.2) lässt sich folgern lim (s ) ζ (s) s Für beliebiges n gilt n lim (s ) s s lim (s ) ζ (s) s ζ(s) =. ζ(s) = lim s Ψ(t) t s dt } {{ },s (s ) s Ψ(t) t s dt =. ). +(s ) s Ψ(t) t s dt =. n = lim(s ) s Ψ(t) t s dt =. s n Da Ψ(t) für t [n, n + ), n N, konstant den Wert Ψ(n) annimmt gilt 3 [] Kapitel VI, Satz (.5). 4 [] Kapitel VI, Satz (2.). 5 [] Kapitel VI, Lemma (.4)b. n Ψ(t) t s dt = n=n n+ n Ψ(n) t s dt 6

7 und damit weiter n=n Ψ(n) (n + ) s n Ψ(t) t s dt n=n Ψ(n) n s. (4) Sei ɛ > beliebig. Nach Definition von Limes inferior und Limes superior eistiert ein n = n (ɛ) N mit Wegen lim n m ɛ Ψ(n) n M + ɛ n n. n n+ = eistiert außerdem ein n 2 = n 2 (ɛ) mit n n + ɛ n n 2. Wählt man n := ma{n, n 2 }, dann gilt für alle n n Damit folgt i) ( ) ( ) m ɛ Ψ(n) M + ɛ n n n + ɛ. und n Ψ(t) t s dt (4) n=n Ψ(n) n s = = (M + ɛ) ( n s n= = = lim(s ) s Ψ(t) t s dt s n lim s (M + ɛ) s = M + ɛ. Weil ɛ beliebig gewählt war folgt M = lim sup Ψ(n) ( ) s n (M + ɛ) n=n n ) n n s = (M + ɛ) n= ( ζ(s) n s n=n (s )ζ(s) s (M + ɛ) (s ) }{{} Res (ζ)=,s Ψ(). ) n n s n= n n s n= } {{ },s 7

8 ii) n Ψ(t) t s dt (4) ( ) Ψ(n) (n + ) s Ψ(n) = (n + ) s n n=n n=n n (m ɛ) (n + ) s n=n = (m ɛ)( ɛ) = (m ɛ)( ɛ) = (m ɛ)( ɛ) n=n + n n + n s ( n s n= ( ζ(s) ( ) (m ɛ) (n + ) s ( ɛ) n=n ) n n s n= ) n n s n= = = lim(s ) s Ψ(t) t s dt s n lim(m ɛ)( ɛ)s s = (m ɛ)( ɛ). Wegen lim ɛ (m ɛ)( ɛ) = m erhält man m = lim inf (s )ζ(s) }{{} Res (ζ)=,s Ψ(). s(m ɛ)( ɛ)(s ) n n s n= } {{ },s Mit (i) und (ii) hat man insgesamt lim inf Ψ() lim sup Ψ(). Nun kommen wir zu den zentralen Hilfsmitteln des Beweises. (2.4) Satz Die Funktion F : [, ) C sei beschränkt und F [,R] sei für jedes R > RIEMANNintegrierbar. Dann ist die Funktion G(s) := F()e s d, Re(s) >, 8

9 holomorph. Hat G in jedem Punkt it der imaginären Achse eine holomorphe Fortsetzung in eine geeignete Umgebung von it, so eistiert das uneigentlich RIEMANN- Integral G() = F()d. Bemerkung Auf die an G gestellte Zusatzbedingung kann nicht verzichtet werden. Beispielsweise gilt für F() = : G(s) = F()e s d = e s d = [ s e s ] = s. Diese Funktion hat einen einfachen Pol bei s = und ist somit in keine Umgebung von holomorph fortsetzbar. Das uneigentliche RIEMANN-Integral eistiert hier nicht, denn F()d = d =. Beweis Da F beschränkt ist eistiert ein c > mit F() c für alle [, ). Sei K ein beliebiges Kompaktum in der rechten Halbebene und σ := min{re(z) z K} >. Für s K mit s = σ + it hat man F()e s = F() e (σ+it) = F() e σ e it ce σ ce σ. Wegen σ > konvergiert das Integral ce σ d. Damit konvergiert F()e s d gleichmäßig für s aus K. Weil s F()e s für jedes [, ) eine holomorphe Funktion ist, ist auch G(s) nach Funktionentheorie I holomorph für s K. Da K ein beliebiges Kompaktum war, ist G(s) sogar auf der ganze rechten Halbebene Re(s) > holomorph. Schließlich hat jedes s aus der rechten Halbebene einen positiven Abstand δ s zur imaginären Achse, sodass beispielsweise K δs /2(s) ganz in der rechten Halbebene liegt. Wir definieren für λ > G λ (s) := λ F()e s d. 9

10 Nach der Funktionentheorie I 6 ist dann wie s e s auch G λ für alle λ eine ganze Funktion von s. Beh.: G λ () = λ F()d G() für λ. Bew.: Wir stellen G() G λ () mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformel dar und schätzen ab. Sei R >. Da G in jedem Punkz it der imaginären Aches eine holomorphe Fortsetzung in eine geeignete Umgebung besitzt, eistiert für alle z M := {it C t [ R, R]} ein ρ z, sodass G auf K ρz (z) holomorph ist. Die Menge {K ρz (z) z M} stellt eine Überdeckung von M dar. Da M kompakt ist eistiert eine endliche Teilüberdeckung von M: n K ρzi (z i ), n N, z i M. i= Somit eistiert ein < δ = δ R < R, sodass das durch den Kreis um mit Radius R und die Gerade δ + ir begrenzte Kompaktum, welches enthält, ganz im Holomorphiebereich von G enthalten ist. Es soll kurz begründet werden, warum es ein solches δ geben muss. Weil obige 6 [] Kapitel II, Satz (3.4)c.

11 Überdeckung aus nur endlich vielen Kreisen besteht, gibt es nur endlich viele Punkte in denen sich diese Kreise schneiden. Einer dieser Punkte hat demnach minimalen Abstand zur imaginären Achse. Halbiert man diesen Abstand, so erhält man einen möglichen Kandidaten für δ. Im Folgenden bezeichne γ die positiv orientierte Randkurve des Kompaktums. Wir verwenden einen Trick von NEWMAN und folgern aus dem Residuensatz 2πi γ (G(s) G λ (s)) e λs ( R 2 )ds = G() G λ(). (5) Denn mit G und G λ ist auch (G(s) G λ (s))e λs in dem betrachteten Gebiet holomorph, so dass aus der CAUCHYschen Integralformel 7 folgt G() G λ () = (G() G λ ())e λ = 2πi γ = 2πi γ 7 [] Kapitel IV, Satz (2.3). (G(s) G λ (s)) e λs s ds + 2πi γ (G(s) G λ (s)) e λs ds s (G(s) G λ (s)) e λs s R 2 ds.

12 Bei der letzten Umformung wurde verwendet, dass das Integral über eine Funktion entlang eines geschlossenen Weges verschwindet, sofern die Funktion auf dem gesamten umrandeten Gebiet holomorph ist. Wir definieren Spγ + := {s Spγ Re(s) > } und Spγ := {s Spγ Re(s) }. Im Folgenden werden wir zeigen, dass die linke Seite von (5) für λ gegen konvergiert, woraus die Behauptung direkt folgt. Wir gehen bei diesem etwas längeren Beweis in mehreren Schritten vor ) Zeigen: 2πi (G(s) G λ (s)) e λs ( )ds γ + R 2 ist durch eine von R abhängige Konstante nach oben beschränkt. 2) Zeigen: 2πi G λ (s) e λs ( )ds γ R 2 ist durch eine von R abhängige Konstante nach oben beschränkt. 3) Zeigen: 2πi G(s) e λs ( )ds γ R 2 ist für genügend große λ nach oben beschränkt. 4) Folgern aus () (3) die Behauptung. Zu (): Für s Spγ + mit s = σ + it gilt s 2 = ss = R 2 und damit (G(s) G λ(s)) e λs ( R 2 ) = (G(s) G λ (s)) e λ(σ+it) R 2 = (G(s) G λ (s)) e λ σ R 2 λ = F()e s d F()e s d eλσ s s R 2 = F()e s d eλσ R 2 λ F() e σ d e λσ R 2 λ 2

13 = c Also folgt für σ > (G(s) G 2πi λ (s)) e λs ( R 2 )ds γ + λ ce σ d e λσ 2σ [ σ e σ ] λ R 2 e λσ 2σ R 2 = c ( + e λσ ) e λσ 2π γ + 2π γ + 2 R 2 = 2c R 2. (G(s) G λ(s)) e λs ( R 2 ) ds 2c R 2 ds 2π 2c R 2 πr = c R. Zu (2): Für σ = Re(s) < hat man λ G λ (s) = F()e s d [ = c ] λ σ e σ λ λ F() e s d c = c σ e λσ + c σ < c σ e λσ. e σ d Für die letzte Umformung beachte man, dass σ < und damit σ = σ ist. Mit = 2Re(s) = 2σ folgt G λ (s) e λσ R 2 < 2c R 2 σ <. Wegen der Stetigkeit der beteiligten Funktionen gilt sogar ( ) G λ (s) e λσ R 2 2c R 2 σ. Sei γ so definiert, dass γ + + γ den positiv orientierten Kreis mit Radius R um ergibt. Dann ist γ γ nullhomolog in C, wegen n γ γ () =. 3

14 Weil G λ (s) eine ganze Funktion ist und die nicht im Inneren von γ γ liegt, liefert der CAUCHYsche Integralsatz G λ (s) e λs ( R 2 )ds = γ γ G λ (s) e λs ( R 2 )ds = G λ (s) e λs ( R 2 )ds γ γ und daher G 2πi λ (s) e λs ( R 2 )ds γ G 2π λ (s) e λs R 2 ds γ = G 2π λ (s) e λσ R 2 ds γ ( ) 2c 2π R 2 ds = γ c πr 2 L(γ ) = c πr 2 πr = c R. 4

15 Die Aussage aus ( ) kann hier verwendet werden, da für alle s Sp(γ ) gilt Re(s) = σ. Zu (3): Nun sei C := ma G(s) s Spγ R 2. Dieses Maimum eistiert, da Spγ kompakt ist und s G(s) ( s + s der Wahl von δ R holomorph, also insbesondere stetig, auf Spγ ist. Sei ɛ >. R 2 ) auf Grund Wir wählen η mit < η < δ, so dass G(s) e λs ( 2πi R 2 )ds γ, η σ 2π 2π C γ, η σ γ, η σ G(s) }{{} e λσ ds ds < ɛ. R 2 5

16 Ein solches η eistiert, wegen Mit ebendiesem η erhalten wir G(s) e λs ( 2πi R 2 )ds γ,σ η L(γ, η σ ), für η. 2π γ,σ η e λη 2π C G(s) e λσ }{{} ds γ,σ η }{{} L(γ ) πr e λη Wählt man zu festem ɛ den Radius R = /ɛ, so eistiert ein λ mit G(s) e λs ( 2πi R 2 )ds ɛ + 2 C Re λη γ ds e λη 2 R 2 C R. = ɛ + C 2ɛ e λη }{{} < 2ɛ λ λ.,λ Zu (4): Wegen den obigen Abschätzungen erhält man für λ λ G() G λ () = (G(s) G 2πi λ (s)) e λs ( R 2 )ds γ=γ + +γ (G(s) G 2πi λ (s)) e λs ( R 2 )ds + (G(s) G 2πi λ (s)) e λs ( R γ + 2 )ds γ c R + G 2πi λ (s) e λs ( R 2 )ds + G(s) e λs ( 2πi R γ 2 )ds γ c R + c 2c + 2ɛ = + 2ɛ = 2ɛ(c + ). R R Bei der letzten Umformung beachte man, dass ɛ = /R gilt. Demnach haben wir G() G λ () für λ und die Hilfsaussage wäre bewiesen. Es folgt λ G() = lim G λ () = lim F()e d = F()d. λ λ 6

17 (2.5) Satz Sei f : [, ) [, ) monoton steigend und f () c für ein c > und alle. Dann ist die Funktion g(s) := s f () s d holomorph für Re(s) >. Es gebe ein γ >, so dass g(s) γ s für jedes t R eine holomorphe Fortsetzung in eine Umgebung des Punktes + it besitzt. Dann gilt lim f () = γ. Beweis Wir setzen F() := e f (e ) γ für, bzw. e. Dann folgt F() e f (e ) + γ e ce + γ = c + γ für alle und F [,R] ist für jedes R > integrierbar. Nun gilt mit y := e, dy = e d und für Re(s) > G(s) := = = = F()e s d = (e f (e ) γ)e (e f (e ) γ)e s d s e f (y)y s 2 dy γ g(s + ) s + e d = γ( + /s) = s + y s dy = s + s + ( y f (y) γ)y s y dy (g(s + ) γ s γ ). [ ] f (y)y (s+) dy γ s y s 7

18 Nach Voraussetzung besitzt die Funktion ( z g(z) γ ) }{{} z z γ }{{} holomorph auf C\{} holomorph nach Vor. für jedes t R eine holomorphe Fortsetzung in eine Umgebung des Punktes + it. Ersetzt man z durch + s so sieht man, dass s (g(s + ) γ ) + s s γ für jedes t R eine holomorphe Fortsetzung in eine Umgebung von it besitzt. Nach Satz (2.4) eistiert daher F()d = lim λ ln(λ) (e f (e ) γ)d = lim λ λ ( f (y) y ) γ y dy. Beh.: lim y f (y) y = γ. Bew.: Wir führen den Beweis indirekt und zeigen, dass ) lim sup y f (y) y 2) lim inf y f (y) y γ ist und γ ist. Daraus folgt dann direkt die Behauptung. Zu (): Angenommen, es eistiert ein δ > mit lim sup y f (y) y > γ + 2δ. Dann eistiert nach Definition des Limes superior eine Folge (y n ) n N mit y n, n und f (y n ) y n > γ + 2δ f (y n ) > (γ + 2δ)y n. Wir definieren ρ := γ + 2δ γ + δ >. 8

19 Da f monoton steigend ist, folgt für [y n, ρy n ] f () f (y n ) > (γ + 2δ)y n = (γ + δ)ρy n (γ + δ) und damit ρy n y n ( f () ) γ d ρy n y n ( (γ + δ) ) γ d = ρy n = δ(ln(ρy n ) ln(y n )) = δ ln(ρ) >. y n δ d = δ[ln()]ρy n y n Dies gilt für alle n N. Das ist ein Widerspruch zum CAUCHY-Kriterium für die ( f (y) Konvergenz des uneigentlichen Integrals y γ) y dy, nach dem der Wert des Integrals ρy n y n ( f () γ) d der für große n beliebig nahe kommt. Zu (2): Analog zu () nehmen wir an, es eistiert ein δ > mit γ 2δ > und lim inf y f (y) y < γ 2δ. Dann eistiert nach Definition des Limes inferior eine Folge (y n ) n N mit y n, n und f (y n ) y n < γ 2δ f (y n ) < (γ 2δ)y n. Sei σ := γ 2δ γ δ = δ (, ). γ δ }{{} (,),daγ>2δ Wegen der Monotonie von f folgt für [σy n, y n ] und somit f () f (y n ) < (γ 2δ)y n = (γ δ)σy n (γ δ) y n σy n ( f () ) γ d y n σy n ( (γ δ) ) γ d = y n σy n δ = δ(ln(y n ) ln(σy n )) = δ ln(σ) }{{} <. <,daσ< d = δ[ln()]yn σy n 9

20 Dies gilt wiederum für beliebig große n und stellt damit ebenfalls einen Widerspruch zum CAUCHY-Kriterium dar. Aus () und (2) erhalten wir lim sup y f (y) y γ lim inf y f (y) y. Nun ist der Limes inferior stets kleiner gleich dem Limes superior, woraus in obiger Ungleichung die Gleichheit folgt und damit auch lim y f (y) y = γ. Wir kommen nun endlich zum angekündigten Primzahlsatz. (2.6) Satz π() ln. Beweis Wir wenden Satz (2.5) an auf f = Ψ [,). Wegen Ψ() = n Λ(n) ist Ψ monoton steigend und nach (.3) gilt Ψ() c. Aus (2.2) ergibt sich g(s) := s Ψ() s d = ζ (s) ζ(s) s C, Re(s) >. Nach (.4) sind ζ und ζ holomorph auf {s C Re(s) > }\{} und es gilt ζ(s) = für s C, Re(s) >. Nach (2.) ist ζ( + it) = für alle t R\{}. Damit ist g(s) holomorph auf Re(s) > und für jedes t R\{} in einer geeigneten Umgebung von + it. Da ζ(s) nach (.4) einen einfachen Pol mit Residuum bei s = hat, ist nach Funktionentheorie I ζ(s) = (s ) h(s) mit einer für Re(s) > holomorphen Funktion h und damit gilt = Res s= ζ(s) = lim s (s )ζ(s) = lim s h(s) = h(). 2

21 Also hat man g(s) = ζ (s) ζ(s) = [(s ) h(s)] s h(s) = h (s)(s ) h(s) (s ) 2 s h(s) = s h (s) h(s) und damit g(s) s = h (s) h(s). Damit sind die Voraussetzungen von (2.5) mit γ = erfüllt, da h(s) und damit auch h (s) holomorph sind für Re(s) > und h(s) = für alle s C mit Re(s) = ist. Man beachte hierzu, dass h() = und h( + it) = it ζ( + it) = für t R\{} ist. Folglich hat man Ψ() lim = Ψ() π() ln. Bei der letzten Folgerung wurde die Aussage von Satz (.2) verwendet. Eine Folgerung aus dem Primzahlsatz ist das nachfolgende (2.7) Lemma Für jedes Q > eistiert ein R, so dass für alle > im Intervall [, Q] mindestens eine Primzahl liegt. Beweis Sei Q >. Wir definieren Wegen lim Da Q > ist folgt außerdem δ := Q > und ɛ := δ 4 + δ π() / ln = eistiert ein R mit (, ). ɛ < π() / ln < + ɛ >. ɛ < π(q) Q/ ln Q < + ɛ >. 2

22 Desweiteren gilt Q/ ln(q) / ln = Q ln ln(q) = Demnach eistiert ein 2 R mit Q/ ln(q) / ln Q ln ln + ln Q = > Q δ 2 = + δ 2 Q + ln Q/ ln > 2. Wir definieren nun := ma{, 2 }. Dann gilt für alle > ) ɛ < π() / ln 2) + δ 2 Aus () folgt direkt π() < < + ɛ bzw. ɛ < π(q) Q/ ln Q < + ɛ < Q/ ln(q) / ln. Q für. und ln ( + ɛ) und Q ln(q) ( ɛ) < π(q) >. Daraus lässt sich mit der Definition von ɛ und mit (2) folgern + ɛ ɛ = + δ/(4 + δ) δ/(4 + δ) = 4 + 2δ = 2 + δ = + δ (2) Q/ ln(q) < / ln ( + ɛ) ln < Q ( ɛ) ln(q) π() < π(q) < π(q) π(). Somit erhalten wir für alle > : {p P p [, Q]} = {p P p Q} = {p P p Q} {p P p < } π(q) π() >. Im Intervall [, Q] muss also mindestens eine Primzahl liegen. Literatur [] Krieg, A.: Funktionentheorie I, Skript zur Vorlesung, RWTH Aachen 2. [2] Krieg, A.: Analytische Zahlentheorie, Skript zur Vorlesung, RWTH Aachen