L-Funktionen

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1 Sabrina Vorwerk (287774) Ausarbeitung zum Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie beim Herrn Prof. Dr. A. Krieg Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie 4. Eigenschaften holomorpher Funktionen, Meromorphie, Laurent-Entwicklung und Residuen 4.2 Fourier-Transformation und Phragmen-Lindelöf-Prinzip Modulformen Die Gamma-Funktion L-Funktionen 2 A Anhang 22 2

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung In der folgende Ausarbeitung werden die L-Funktion und einige ihrer Eigenschaften vorgestellt. Als Grundlage dient das zweiten Kapitel des Buches Automorphe Formen von A. Deitmar. Die L-Funktionen dienen als Anwendungsbeispiel für die im Seminar eingeführten Modulformen. Man erhält sie, indem man die Fourier-Koeffizienten der Modulformen zu Koeffizienten von Dirichlet-Reihen macht. Diese L-Funktionen sind vermutungsweise universell in dem Sinne, dass L-Funktionen, die in ganz anderen Kontexten definiert sind, sich als identisch mit modularen L-Funktionen erweisen. Im Beispiel der L- Funktionen bestimmter elliptischer Kurven ist dies von Andrew Wiles bewiesen worden und war die Grundlage für seinen von Fermats letztem Satz (vergleiche [YH, A.2]). Das erste Kapitel dieser Ausarbeitung dient der Wiederholung grundlegender Konzepte, die für das Verständnis der Arbeit notwendig sind. Sie sind aus den vorangegangen Seminarvorträgen bzw. teilweise sogar aus der Vorlesung Funktionentheorie I bekannt. Der Hauptteil der Seminararbeit beginnt mit der Definition von L-Funktionen. Es wird erklärt wie und unter welchen Umständen es möglich ist, die zu einer Spitzenform f bestimmte L-Funktion holomorph auf ganz C fortzusetzen. Die Umkehrung davon, nämlich zu einer holomorph fortgesetzten L-Funktion eine Spitzenform f zu finden, wird im Heck schen Umkehrsatz erläutert und bewiesen. Zum des Heck schen Umkehrsatzes wird die Mellin-Inversionsformel vorgestellt und genutzt und das Phagmen-Lindelöf-Prinzip verwendet. 3

4 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie Dieser Abschnitt fasst im Wesentlichen die zuvor im Seminar vorgestellten Resultate und Begriffe zusammen ergänzt durch für das Verständnis der Arbeit notwendige Erkenntnisse aus der Funktionentheorie, sodass hier weitgehend auf nähere Erklärungen sowie e verzichtet wird. Zunächst zur Notation Es bezeichne für die gesamte Ausarbeitung H := {z C Im(z) > } die obere Halbebene K R (a) := {z C; z a < R} die Kreisscheibe mit dem Radius R um a und D := {z C z < } die offene Einheitskreisscheibe. Definiere: G als G, falls G beschränkt und sonst G { } c+i Ψ(s)ds := Ψ(s)ds mit γ = [c i, c + i ] γ c i. Eigenschaften holomorpher Funktionen, Meromorphie, Laurent-Entwicklung und Residuen (.) Satz Sei γ ein Weg in C und sei f : Spγ C stetig, dann gilt: γ f (z)dz L(γ) max{ f (z) ; z Spγ} Vergleiche [FT, Kapitel II, Satz (.)]. (.2) Satz (Satz von Weierstrass) Sei U C offen und f n : U C, n N, holomorphe Funktionen. Die Funktionenfolge ( f n ) n konvergiere lokal gleichmäßig gegen eine Funktion f : U C. Dann ist f ebenfalls holomorph und für jedes k N konvergiert die Funktionenfolge ( f (k) n ) n der k-ten Ableitung ebenfalls lokal gleichmäßig gegen f (k). Vergleiche [FT, Kapitel V, Satz (5.)]. (.3) Satz Sei U C offen und a, b R {, }. Wenn die Funktion f : U (a, b) C stetig ist und eine Funktion M : (a, b) R existiert, sodass f (z, t) M(t)für alle(z, t) U (a, b) 4

5 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie und das uneigentliche Riemann-Integral b a M(t)dt existiert, dann ist die Funktion F : U C, z b a f (z, t)dt stetig. Ist die Funktion U C, z f (z, t), für jedes t (a, b) darüber hinaus holomorph und δ f δz ist auch F holomorph mit F (z) = b a δ f (z, t)dt. δz stetig, so Vergleiche [FT, Kapitel III, Satz (5.3)]. (.4) Satz (Identitätssatz) Sei G C ein Gebiet und f, g : G C holomorphe Funktionen. Dann sind äquivalent: (a) f=g (b) Es gibt ein z G mit f (n) (z ) = g (n) (z ) für alle n N. (c) Die Menge {z G; f (z) = g(z)} hat einen Häufungspunkt in G. (d) Es gibt eine nicht-diskrete Teilmenge S G mit f (z) = g(z) für alle z S. Vergleiche [FT, Kapitel III, Korollar (3.)]. (.5) Definition (meromorph) Sei G C ein Gebiet, also eine offene, wegweise zusammenhängende Menge. Eine Funktion f : G Ĉ heißt meromorph auf G, falls es eine diskrete Menge P f G gibt, so dass f auf G \ P f holomorph ist und in z P f keine wesentliche Singularität besitzt. (.6) Satz (Laurent-Entwicklung und Polstellen) Sei G C ein Gebiet und f : G Ĉ meromorph. Dann gilt: (a) Sei U C und A U diskret, mit f : U\A C holomorph, so hat f in jedem a A eine isolierte Singularität. (b) Zu f aus (a) existiert eine konvergente Laurent-Entwicklung um a f (z) = + n= a n (z a) n := a n (z a) n + a n (z a) n } {{ } Hauptteil n= } {{ } Nebenteil 5

6 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie für alle z K R (a) \ {a}, a n C. Der Hauptteil konvergiert lokal gleichmäßig auf C\{a} und ist dort holomorph. Der Nebenteil konvergiert lokal gleichmäßig und ist holomorph auf K R (a) mit R = sup{r > ; K r (a)\{a} U\A}. (c) Die Funktion f besitzt in a G einen Pol genau dann, wenn f (z) = a n (z a) n, n= N für alle z U \ {a} für eine Umgebung U G von a und ein N N. Diese Zahl heißt dann die Ordnung der Polstelle a. Vergleiche [FT, Kapitel V, Bemerkung (2.2) und Lemma (2.6)]. (.7) Satz (Residuen) (a) Die Funktion f habe in a C eine isolierte Singularität mit der Laurent-Entwicklung f (z) = a n (z a) n, z K R (a) \ {a}, n= dann nennt man Res a ( f ) := a C das Residuum von f an der Stelle a. (b) Es habe die Funktion g in a C einen einfachen Pol, so gilt Res a (g) = lim z a (z a)g(z) (c) Sei die Funktion h in a C holomorph und habe dort eine einfache Nullstelle, so gilt: Res a ( h ) = h (a) Vergleiche [FT, Kapitel VI, Lemma (.4)]. (.8) Satz (Weierstrasssscher Produktsatz) Sei (a k ) k eine komplexe Zahlenfolge in C\{} mit der Eigenschaft lim a k =. Sei (q k ) k eine Folge in k N derart, dass ( ) R < für alle R>. a k k= 6

7 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie Dann ist ( ) z f (z) := E qk a k eine ganze Funktion, die genau in den Stellen a k, k, verschwindet und sonst nirgends. Vergleiche [FT, Kapitel VIII, Lemma (2.5)]. k=.2 Fourier-Transformation und Phragmen-Lindelöf-Prinzip (.9) Definition (Fourier-Transformierte) Für f (x) L (R) sei f (y) = f (x)e 2πixy dx die Fouriertransformierte zu f. R (.) Satz Es gilt f (y) = f ( y) und f (y) = O(( + y ) 2 ), wobei O(g(x)) das Landau-Symbol ist, d.h. wenn f (x) = O(g(x)), dann existiert ein c > und ein ε für alle x aus dem Definitionsbereich von f, sodass f (x) c g(x). Vergleiche [DW2, Kapitel V, Lemma (2.7)]. (.) Satz (Phragmen-Lindelöf Prinzip) Sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f eine auf G holomorphe Funktion. Nehme an, es gäbe eine holomorphe Funkttion ϕ : G C, die nie verschwindet und holomorph und beschränkt auf G ist. Wenn M eine Konstante und δ G = A B, sodass: (a) für jedes a A gilt lim sup sup f (z) M z a (b) für jedes b B und η > gilt lim sup f (z) ϕ(z) η M. z a dann f (z) M für alle z in G. Vergleiche [CW78, Kapitel VI, Theorem (4.)]..3 Modulformen (.2) Definition (Modulform) Sei f : H Ĉ eine meromorphe Funktion und k Z. 7

8 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie (a) Eine meromorphe Funktion f auf H heißt genau dann schwach modular vom Gewicht k, wenn für jedes z H gilt: f (z + ) = f (z) und f ( z ) = zk f (z) (b) Eine schwach modulare Funktion f vom Gewicht k heißt modulare Funktion vom Gewicht k, falls die von f induzierte Funktion f : D Ĉ mit f (z) = f (e 2πiz ) meromorph auf D ist, sich also die Pole von f nicht in häufen und dort höchstens ein Pol vorliegt. (c) Sei f : H Ĉ eine modulare Funktion vom Gewicht k mit f (z) = n= N a n e 2πinz. Dann heißt f eine Modulform, falls f holomoph in H und holomorph in, d.h. a n = für jedes n < gilt. Ist zusätzlich a =, so heißt f eine Spitzenform. Man sagt auch, dass f in verschwindet. (d) Sei D R eine unbeschränkte Menge. Eine Funktion f : D C heißt schnell fallend, falls für jedes N N die Funktion x N f (x) auf dem Definitionsbereich D beschänkt ist. Für D = N erhält man als Spezialfall den Begriff einer schnell fallenden Folge. (.3) Satz Sei f (s) = a n n s eine Dirichletreihe, die für Re(s) N, N N konvergiert, dann ist a n = O(n N ). Vergleiche Vortrag 5 Satz (2.9). (.4) Satz (Satz von Hecke) Ist f eine Spitzenform vom Gewicht k, dann gilt a n = O(n k 2 ). Vergleiche [Deit, Satz 2.3.2]. Da in dieser Ausarbeitung die Gamma-Funktion eine Rolle spielt, soll diese kurz wiederholt werden: 8

9 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie.4 Die Gamma-Funktion (.5) Definition (Gamma-Funktion) Die Gamma-Funktion ist für Re(z) > definiert durch (.6) Satz Γ(z) := e t t z dt (i) Das Gamma-Integral konvergiert lokal-gleichmäßig absolut im Bereich Re(z) > (ii) Es definiert dort eine holomorphe Funktion. (iii) Die Gamma-Funktion erfüllt die Funktionalgleichung Γ(z + ) = zγ(z) (iv) Sie kann zu einer meromorphen Funktion auf C mit einfachen Polen in z = n,n N fortgesetzt werden. (v) Das Residuum in z = n ist ( )n n!. Ansonsten ist Γ(z) holomorph. (vi) ist eine ganze Funktion. Γ(z) (i) Es gilt für alle z C. Es ist e t t z t Re(z). Da Γ(z) = e t t z dt = e t t z dt + e t t z dt t Re(z) dt < für Re(z) > konvergiert das Integral e t t z dt lokalgleichmäßig absolut nach dem Majorantenkriterium für Re(z) >. Da e t schneller fällt als jede Potenz von t, konvergiert das Integral e t t z dt für jedes z C lokalgleichmäßig absolut. (ii) Es gilt Γ(z) = e t t z dt = e t+(z ) log(t) dt. Sei für ε > U = {z C; ε < Re(z) < ε }. Dann gilt: und Nach (.3) ist dann e t t z dt = Γ(z) = e t t z dt = e t t z dt + e t+ε dt <. e t+ ε dt < e t t z dt 9

10 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie holomorph auf U und damit auch auf {z C; Re(z) > }. (iii) Mit zt z ist die Ableitung von t z, rechnet man mit Hilfe von partieller Integration: zγ(z) := e t (zt z )dt = e t t z + e t t z dt Da e t t z = Γ(z + ) gilt zγ(z) = Γ(z + ). (iv) Also gilt Γ(z) = Γ(z+) z. Damit wird Γ(z) nach Re(z) > mit einem einfachen Pol bei z = vom Residuum Γ(z) := e t = fortgesetzt. Die meromorphe Fortsetzung auf der ganzen komplexen Ebene erhält man durch Iteration dieses Argumentes. Es gilt Γ(z) = Γ(z + ) z = Γ(z + 2) z(z + ) =... = Γ(z + n) z(z + )...(z + n ). Es existieren Pole für negative ganze Zahlen und. (v) Das Residuum an diesen Stellen ist mit n N Res n Γ(z) = lim (z + n)γ(z) = lim z n z n Γ(z + n + ) z(z + )...(z + n ) = (vi) Zeige dazu g(z) erfüllt die gewünschte Eigenschaft und g(z) := e γz z k= ( + z k )e z k = Γ(z) Γ() n( n + )...( ) = ( )n n! für alle z C\(N ). Wegen < ist g(z) nach dem Weierstrassschen Produktsatz eine ganze Funktion. Sei nun k= k 2 für n N und z C. Dann ist g n (z) := e γz z n ( + z k )e k z k= g() = lim g n () = lim e γ nk= k (n + ) = lim e γ+ln(n) nk= k ( + n n n n ) = da lim (ln(n) n n k= k ) existiert und gleich < c < ist.

11 Grundlegende Definitionen und verwendete Resultate aus der Funktionentheorie Außerdem zg(z + ) g(z) zg n (z + ) = lim = lim e γ nk= k (z + n + ) = lim e γ+ln(n) nk= z k + ( + n g n (z) n n n ) = Also ist g(z) holomorph auf H mit g() = und g(z+) = z g(z) Vertikalstreifen zwischen a und b hat man g(z) e γre(z) Re(z) k= ( + Re(z) )e Re(z) k k e γa a für alle z H Für < a < b und z im ( + b k )e b k >, da die reele Funktion x ( + x)e x auf [, ) streng monoton fallend ist. Also ist in jedem Vertikalstreifen zwischen a und b beschränkt und g(z) = Γ(z), z H. Die Gleichheit auf C \( N ) ergibt sich mit g(z) dem Identitätssatz. k=

12 2 L-Funktionen 2 L-Funktionen (2.) Definition Sei f eine Spitzenform vom Gewicht k. Dann hat f eine Fourierentwicklung f (z) = a n e 2πinz. Die L-Funktion zu f ist L( f, s) = a n n s s C. (2.2) Lemma Die Reihe L( f, s) konvergiert lokal gleichmäßig absolut im Bereich Re(s) > k 2 + Nach dem Satz von Hecke gilt, wenn f (z) = a n e 2πinz eine Spitzenform vom Gewicht k ist, dann ist a n = O(n k 2 ), also an Cn k 2, C R+. Hier ist dann also a n n s a n n s Cn k 2 n Re(s), a n n s = O(n k 2 Re(s) ), also konvergiert die obige Reihe für Re(s) > k 2 +, da dann a n = O(n ε ), ε > (2.3) Satz Sei f eine Spitzenform vom Gewicht k. (i) Dann ist die L-Funktion L( f, s) holomorph fortsetzbar zu einer ganzen Funktion. (ii) Die Funktion Λ( f, s) := (2π) s Γ(s)L( f, s) ist ebenfalls ganz und erfüllt die Funktionalgleichung Λ( f, s) = ( ) k 2 Λ( f, k s) (iii) Die Funktion Λ( f, s) ist auf jedem Vertikalstreifen beschränkt, d. h. für jedes T > existiert ein C T >, sodass Λ( f, s) C T für jedes s C mit Re(s) T gilt. 2

13 2 L-Funktionen Sei f (z) = a n e 2πiz. Nach dem Satz von Hecke gibt es eine Konstante C >, sodass a n Cn k 2 y ε, wobei ε > : f (iy) = a n e 2πy a n e 2πy für jedes n N. Daher ist für Cn 2 k e 2πy C n 2 k e εnπ e πy De πy, D R * (e εnπ πy = e π(εn+y) e 2πny εn + y 2ny εn 2n+ y gilt mit n n 2n+ und mit ε 2n+ ε y erfüllt nach Vorraussetzung.) Damit ist f (iy) schnell fallend für y ε. Dann auch y s C ε a n e 2πny y s dy < a n e 2πyn schnell fallend. Also gilt für jedes Damit haben wir absolut gleichmäßige Konvergenz, die es erlaubt Integration und Summation zu vertauschen: ε f (iy)y s dy = ε a n e 2πny y s dy = a n ε e 2πny y s dy 2πny=t = Nun gilt für ε und für Re(s) > k 2 + dem Konvergenzbereich der L-Funktion: a n (2πn) s 2πnε e t t s dt (2π) s a n (2πn) s a n (n) s Γ(s) = Λ( f, s) 2πnε e t t s dt mit Außerdem gilt a n (n) s = L( f, s). () f (i y ) = f ( iy ) = (yi) k f (iy), also gilt mit f (iy) schnell fallend auch f ( i y ) schnell fallend (* gilt, da f (schwach) modular vom Gewicht k). Damit konvergiert die linke Seite, denn a ε f (iy)y s dy = ε a f (i y )y s dy 3

14 2 L-Funktionen und f (i y ) schnell fallend. Also: für Re(s) > k 2 +. Zusammen gilt nach der Limesbildung also: ε f (iy)y s dy f (iy)y s dy f (iy)y s dy = Λ( f, s) für Re(s) > k 2 +. Nun schreiben wir: f (iy)y s dy = f (iy)y s dy + f (iy)y s dy Da Λ 2 ( f, s) f (iy) y Re(s) dy f (iy) y T dy C T mit Re(s) T, T R, ist Λ 2 ( f, s) auf allen Vertikalstreifen beschränkt. Da f (iy) schnell fallend ist, konvergiert Λ 2 ( f, s) := f (iy)y s dy für jedes s C mit Re(s) T, T R. Es ist durch C T beschränkt und f ist holomorph. Daher definiert Λ 2 nach Satz (.3) eine ganze Funktion. Für das zweite Integral gilt: (2)Λ ( f, s) := f (iy)y s dy y y= y = f (i dy () )y s = ( ) 2 k k s dy f (iy)y y y y, wobei immer noch Re(s) T. Also auch Λ ganz und Λ als Summe zweier ganzer Funktionen ganz. Es gilt Λ ( f, s) f (iy)y k T dy y C T. Zusammen Λ( f, s) Λ ( f, s) + Λ 2 ( f, s) C T + C T = C T, also Λ( f, s) auf allen Vertikalstreifen beschränkt. Nach (2) gilt: Damit gilt weiter: Λ ( f, s) = ( ) k 2 Λ2 ( f, k s). Λ( f, s) = Λ ( f, s) + Λ 2 ( f, s) = ( ) k 2 Λ2 ( f, k s) + ( ) k 2 Λ ( f, k s) = ( ) k 2 (Λ ( f, k s) + Λ 2 ( f, k s)) = ( ) k 2 Λ( f, k s) Also: Λ( f, s) = ( ) k 2 Λ( f, k s) 4

15 2 L-Funktionen L( f, s) ist also holomorph fortsetzbar zu einer ganzen Funktion, da Γ und Λ ganz und L( f, s) = (2π)s Λ( f, s) Γ(s) Nun wollen wir die Umkehrung dieses Satzes in Form des Heck schen Umkehrsatzes beweisen. Dazu benötigen wir aber noch eine wichtige Hilfsaussage: (2.4) Satz (Mellin-Inversionsformel) Sei g zweimal stetig differenzierbar auf die Intervall (, ) und für ein c R gelte Dann existiert die Mellin Transformation für Re(s) = c. Es gilt Mg(c + i t) = O(( + t ) 2 ), sowie x c g(x), x c+ g (x), x c+2 g (x) L (R +, dx x ), Mg(s) := g(x) = 2πi c+i c i x s g(x) dx x x s Mg(s)ds. Sei Re(s) = c. Wir schreiben dann s = c 2πiy für ein y R. Substituieren wir x = e t, so erhalten wir Mg(s) = e st g(e t )dt = e ct 2πiyt g(e t ) = e ct g(e t )e 2πiyt dt := F(y). R R R mit F(t) = e ct g(e t ). Aus den Voraussetzungen folgt, dass F zweimal stetig differenzierbar ist. Weiter gilt F, F, F L (R), da mit e t = x und der Abgeschlossenheit von L (R) bezüglich Addition F(t) = e ct g(e t ) = x c g(x) L (R) F (t) = ce ct g(e t ) + e t(c+) g (e t ) = cx c g(x) + x c+ g (x) L (R) F (t) = c 2 e ct g(e t ) + e t(c+) g (e t ) + (c + )e t(c+) g (e t ) + e t(c+2) g (e t ) = c 2 x c g(x) + x c+ g (x) + (c + )x c+ g (x) + x c+2 g (x) L (R) 5

16 2 L-Funktionen Ferner ist F(y) = Mg(s) = Mg(c 2πiy). Daher folgt nach der Fourier-Inversionsformel: e ct g(e t ) = F(t) = F( t) = = R = lim R F(y)e 2πiyt dy Mg(c 2πiy)e 2πiyt dy = lim R R R = ect 2πi c+i c i R 2π R 2π R Mg(c + iy))e (c+iy)t e idy = ct lim R 2πi Mg(s)e st ds Mg(c 2πiy))e 2πiyt dy [c ir,c+ir] nach teilen durch e ct und zurückeinsetzen von x = e t folgt die Behauptung. Nun nur noch zur Abschätzung von Mg. Es ist F(y) C(( + y ) 2 ). Damit gilt Mg(s)e st ds t Mg(c + it) C( + 2π ) 2 = C( 2π (2π + t )) 2 = (2π) 2 C(2π + t ) (2π) 2 C(( + t ) 2. Also Mg(c + it) = O(( + t ) 2 ). Nun zu Heckes Umkehrsatz: (2.5) Satz (Heckes Umkehrsatz) Sei a n eine Folge in C, sodass die Dirichletreihe L(s) = a n n s für Re(s) > C, C R konvergiert. Falls sich die Funktion Λ(s) = (2π) s Γ(s)L(s) zu einer ganzen Funktion fortsetzt, die die Funktionalgleichung Λ(s) = ( ) 2 k Λ(k s) erfüllt und in jedem Vertikalstreifen beschränkt ist, dann gibt es eine Spitzenform f S k mit L(s) = L( f, s). Sei also a n eine Folge in C, sodass die Dirichlet-Reihe a n n s für Re(s) > C konvergiert für ein C R. Wir definieren f (z) = a n e 2πinz. 6

17 2 L-Funktionen Es gibt ein N N, sodass für Re(s) N nach Satz (.3) die Dirichlet-Reihe L(s) absolut konvergiert. Wähle hier zum Beispiel N = max{, C}. Daher ist () a n = O(n N ), also konvergiert die Reihe f (z) lokal gleichmäßig in H und definiert eine holomorphe Funktion auf H, nach dem Satz von Weierstrass mit a n e 2πinz Cn N e 2πny Cn N e 2πnε mit y ε >. Wir müssen nun zeigen, dass f eine Spitzenform vom Gewicht k ist. Die Periodizität folgt dabei mit den Eigenschaften von e. Es gilt: f (z + ) = a n e 2πin(z+) = a n e 2πin e 2πinz = a n e 2πinz = f (z) Also ist nur noch zu zeigen f ( z ) = zk f (z). Da f holomorph ist, reicht es nach dem Identitätssatz, zu zeigen dass f ( iy ) = f ( i y ) = (iy)k f (iy) für y > gilt. Zunächst wollen wir zeigen, dass die Mellin-Transformation der Funktion f (iy) existiert und dass die Mellin- Inversionsformel gilt. Es gilt k R fest. f (iy) = a n e 2πny = y k n N e 2πny ist eine reelle Funktion. a n e 2πny k n N e 2πny Definiere die komplexe Funktion g N (z) := n N e 2πnz für Re(z) >. Für g (z) gilt: g (z) = e 2πzn = unter Verwendung der geometrischen Reihe, da e 2πz <. e 2πz Man sieht nun, dass g (z) in iz Pole der Ordnung hat. Bestimme das Residuum in z = : a = lim z ( e 2πz ) = lim z 2πe = 2πz 2π Nach der Laurentreihenentwicklung und der Aufspaltung in Hauptteil und Nebenteil erhält man: e = 2πz 2πz + h(z) für alle z K ()\{} und h(z) in z = holomorphe Funktion. Wegen g N (z) = diese z g N (z) = ( ) N ( 2π) N 2πz N+ + h(n) (z) = c z N+ + h(n) (z). ( 2π) N g (N) (z), gilt für 7

18 2 L-Funktionen Betrachte nun wieder g N (y) = g N (y) für z = y R. Da auch h (N) (y) in y = holomorph, gilt für y c g N (y) = y + N+ h(n) (y) c y N+. Nach der Wahl von g N (y) gilt diese Abschätzung genauso für f (iy). Für y > und k C konstant ist f (iy) kg N (y) mit g N (y) = n N e 2πny e 2π(y ) n N e 2πn = e 2πy e 2π g N (). (* e 2πny e y2π e 2πn e 2π 2πny 2π(y + n ) ny y + (n ) (n )y (n ) y wahr nach Vorraussetzung.) Wegen f (iy) e 2πy e 2π g N ()ist f (iy) schnell fallend für y. Dieselbe Abschätzung gilt auch für jede Ableitung von f, wobei eventuell N vergrößert werden muss. Für f gilt beispielsweise f (iy) = a n ( 2πn) e 2πny. Definiere b n = a n ( 2πn). Dann b n O(n N+ ). Also geht der genauso mit n N+ e 2πny := g N+ (y) e 2πy e 2π g N+ () und gleiche Eigenschaften von g N+ (y). Es gilt dann f (iy) ke 2πy e 2π g N+ (), also f (iy) schnell fallend. Damit existiert a c R f (iy)y c dy für alle Es ist f (iy)y c k c y N+ y c = k cy c 2 N. Damit ist a f (iy)y c dy a f (iy)y c dy a k cy c 2 N dy genau dann beschränkt, wenn c 2 N >, also c > N +. Genauso sind x c+ f (iy) und x c+2 f (iy) für c > N + in L (R + ). Beispielsweise gilt mit f (iy)y c+ k c = k cy c 2 N genauso, dass y N+2 y f (iy)y c+ dy c < für Re(s) = c > N +. Also existiert die Mellin-Transformation M f (s) = y s f (iy) dy y für Re(s) > N + und da f (iy) schnell fallend ist für y, sind die Voraussetzungen der Mellin- Inversionsformel erfüllt. Nach der Mellin-Inversionsformel und aus dem von Satz (2.3) gilt dann für jedes Re(s) = c > N +, 8

19 2 L-Funktionen f (iy) = 2πi c+i c i y s M f (s)ds = 2πi c+i y s c i y s f (y) dy y ds = 2πi c+i c i Λ(s)y s ds. Zeige nun c+i k c+i Λ(s)y s ds = Λ(s)y s ds, c i k c i also trotz Verschiebung des Integralwegs bleibt das Integral gleich. O.B.d.A. sei c > N +. Definiere Ψ(s) := Λ(s)y s. Wähle γ = [c i, c + i ], γ = [c ih, c + ih], γ3 = [k c + i, k c i ], γ 3 = [k c + ih, k c ih], γ 2 = [c + ih, k c + ih], γ 4 = [k c ih, c ih], mit h, k R +. Dann gilt nach dem Cauchy-Integralsatz mit γ γ 2 γ 3 γ 4 ist ein geschlossener Weg und Ψ ganz: Ψ(s)ds = γ γ 2 γ 3 γ 4 Betrachte auf beiden Seiten den Limes h = Ψ(s)ds + Ψ(s)ds + Ψ(s)ds + Ψ(s)ds γ γ 2 γ 3 γ 4 = lim Ψ(s)ds + lim Ψ(s)ds + lim Ψ(s) + lim h γ h γ 2 h γ 3 h γ 4 Ψ(s)ds Wenn nun, wie zu zeigen ist, lim h γ muss lim bzw. beide gleich Integrale sind =. h γ 2 Ψ(s)ds = lim Ψ(s)ds h γ 3 Ψ(s)ds = lim Ψ(s)ds h γ 4 Nach Satz (.) gilt: γ 2 Ψ(s) L(γ 2 ) max{ Ψ(s) s Sp(γ 2 )} Versuche nun zu zeigen, dass Λ(s)y s = Ψ(s) M s 2 mit M R + und s C, k c Re(s) c und 9

20 2 L-Funktionen T < Im(s) und T R +. Dabei kann man k c c ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen. Also zeige ϑ(s) := s 2 Λ(s)y s M. Wähle und definiere G = {z C k c Re(z) c, T < Im(z)} A = G und B = {i }. Nach Satz (2.3)(iii) ist bekannt, dass Λ(s) auf jedem Vertikalstreifen beschränkt ist, also Λ(s) M für alle s G und M R +. Nach dem Satz von Mellin (2.4) gilt: Wegen Λ(s) = ( ) k 2 Λ(k s) gilt auch für M 2 R +, und t R. Λ(c + it) M 2 ( + t ) 2 für M 2 R +, und t R. Λ(k c + it) M 2 ( + t ) 2 Auf dem unteren Rand findet man ein M 3 R +, sodass ϑ(s) M 3 für alle s aus diesem Rand, da dieser kompakt ist. Wir wissen nun, dass auf dem Vertikalstreifen G für s = σ + it mit σ [c, k c] gilt ϑ(s) = ϑ(σ + it) = (σ + it) 2 Λ(σ + it)y σ+it σ + it 2 M 2 ( + t ) 2 y σ M 4 Wähle nun M = max{m 3, M 4 } und erhalte wie gewünscht ϑ(s) M für s A. Nun zu s B. Sei τ(s) = e is, t > T, T R + ϑ(s) τ(s) η (σ 2 + t 2 ) Λ(σ + it) y (σ+it) e iησ ηt (σ 2 + t 2 )M y σ e ηt für t wegen Eigenschaften von e, also lim sup ϑ(s) τ(s) η M s B. t Da ϑ(s) τ(s) η Nullfolge, kann man das M von oben als Schranke wählen. Damit sind alle Vorraussetzungen vom Phragmen-Lindelöf-Prinzip erfüllt und es folgt ϑ(s) M für alle 2

21 2 L-Funktionen s G. Es gilt γ 2 Ψ(s) L(γ 2 ) max{ ϑ(s) s Sp(γ 2 )} L(γ 2 ) max{m s 2 s Sp(γ 2 )}. Da max{m s 2 s Sp(γ 2 )} für h, also s gilt γ 2 Ψ(s)ds =. Zeige nun dasselbe für γ 4, also γ 4 Ψ(s)ds = Der dazu verläuft analog zu dem für γ 2. Ersetze nur statt s = σ + it, s = σ it und wähle τ(s) = e is. Da nun also lim Ψ(s)ds = lim Ψ(s)ds = folgt h γ h 2 γ 4 c+i lim Ψ(s)ds = lim Ψ(s)ds Ψ(s)ds = h γ h γ 3 c i Mit Λ(s) = ( ) 2 k Λ(k s) aus Satz (2.5) folgt: f (iy) = (iy) k 2πi k c i c +i 2πi c i k c+i Λ(s)y s ds = ( ) k 2 2πi Λ(s )y s ds = (iy) k f (iy) k c+i k c i k c+i k c i Ψ(s)ds Λ(k s)y s ds = ( ) k 2 2πi Also ist f Spitzenform vom Gewicht k und damit folgt die Behauptung. c+i c i c +i c i Λ(s)y s = k c+i k c i Λ(s )y s k ds = Λ(s)y s. 2

22 A Anhang A Anhang newpage Literatur [Deit] Anton Deitmar, Automorphe Formen, Springer-Verlag Heidelberg Dordrecht London New York,. Auflage, 2 [YH] Yves Hellegouarch, Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, Academic Press, 2 [FT] Aloys Krieg Funktionentheorie I, Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen 2 [KK7] Max Koecher und Aloys Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2. Auflage, 27 [DW2] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 4. Auflage, 22 [CW78] John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 2. Auflage, 978 Conway, Functions of one complex variable 22