Breite des ursprünglichen Blechs [cm]: b. Gleichung für den Rauminhalt der Kiste [cm 3 ]:

Transkript

1 Die Pizza: Übung 4 12cm 12cm b 2b Breite des ursprünglichen Blechs [cm]: b Gleichung für den Rauminhalt der Kiste [cm 3 ]: (2b 24)(b 24)12 = 8736 Der Rechner liefert: b = 38-2 Gesuchte Breite: 38cm

2 Die Pizza: Übung 5 Zinssatz: p% Startkapital [CHF]: Kapital nach 1 J. [CHF]: ( 1 + p Kapital nach 2 J. [CHF]: ( 1 + p Gleichung für das Kapital nach 2 J. [CHF]: ) ) ( 1 + p ( 1 + p ) = : ( ) 1 + p = p 100 = ± p 100 = 1 ± p = 100 ± 101 ) Gesuchter Zinssatz: 1%

3 Die Pizza: Übung 6 Zinssatz: p% Startkapital [CHF]: Kapital nach einem Jahr [CHF]: ( 1 + p ) ( Kapital ( nach zwei ) Jahren ) [CHF]: ( p p 100 ) Gleichung ( ( für das ) Kapital ) ( nach 2 J. ) [CHF]: p p 100 = Der Rechner liefert: p = Gesuchter Zinssatz: 5%

4 Die Pizza: Übung 7 a) Anzahl Personen in der Reisegruppe: n Anzahl Belegungsmöglichkeiten der Frontplätze: Variationen ohne Wiederholungen der Länge 2 aus n Zeichen. n! (n 2)! = n(n 1) Gleichung für die Anzahl Belegungen: n(n 1) = 1892 b) Zahlen für n einsetzen, bis die Gleichung in eine wahre Aussage übergeht! Gesuchte Anzahl Personen: 44 c) L = { 43; 44}

5 Die Pizza: Übung 8 a) Anzahl SchülerInnen in der Klasse: n Anzahl Reinigungspaare: Kombinationen ohne Wiederholungen der Länge 2 aus n Zeichen. ( n 2 ) = n! 2!(n 2)! = n(n 1) 2 Gleichung für die Anzahl Reinigungspaare: n(n 1) 2 = 253 b) Zahlen für n einsetzen, bis die Gleichung in eine wahre Aussage übergeht! Gesuchte Anzahl SchülerInnen: 23 c) L = { 22; 23}

6 Die Pizza: Übung 9 Flugzeit Flugstrecke [s] [m] Stein t 4.90 t 2 Schall 4 t 344(4 t) Gleichung für die Flugstrecke : 4.90 t 2 = 344(4 t) Der Rechner liefert: t = Gesuchte Distanz: = m

7 Die Pizza: Übung 10a) y 12 A( 4 3) B( 1 4) 2 F(0 0) x 4 6 Nach dem Satz von Pythagoras gilt: AF = BF = = 25 = 5km = 17 = 4.123km

8 Die Pizza: Übung 10b) Nach dem Satz von Pythagoras gilt: AB = = 10 = 3.162km In 2 Minuten (= 30 1 h) fliegt der Vogelschwarm von A nach B. Für die konstante Fluggeschwindigkeit ergibt sich: = = km/h

9 Die Pizza: Übung 10c) Ansatz: y = mx + b m = ( 4) = 1 3 A( 4 3) einsetzen: 3 = 1 3 ( 4) + b 3 = b 13 3 = b Koordinatengleichung der Flugbahn: y = 1 3 x

10 Die Pizza: Übung 10d) 12 A( 4 3) 8 4 5km 2 F(0 0) 4 2 y x C y C C(x C y C ) x 4 6 Gesucht: C(x C y C ), wobei y C = 1 3 x C Nach dem Satz von Pythagoras gilt: x 2 + y2 C = 5 2 C x 2 C + ( 1 3 x C + 13 ) 2 3 = 25 Der Rechner liefert: x C = Es folgt: y C = = 4.8 Gesuchter Punkt: C( )

11 Die Pizza: Übung 10e) Vom Punkt A( 4 3) bis zum Punkt C( ) ist der Vogelschwarm im heiklen Gebiet. AC = (1.4 ( 4)) 2 + (4.8 3) 2 = = = = 5.692km Aus der Übung 10b) ist die Fluggeschwindigkeit bekannt. Für die gesuchte Zeit t ergibt sich mit der Formel t = s v : t = = 50 3 = 0.060h = 3.600min

12 Definition und Lösungsformel: Übung 21a) x 2 + 4x + µ = 0 Diskriminante D = µ = 16 4µ Genau zwei Lösungen, falls D > µ > 0 16 > 4µ 4 > µ Genau eine Lösung, falls D = 0. 4 = µ Keine Lösung, falls D < 0. 4 < µ Genau zwei Lösungen, falls µ < 4 Genau eine Lösung, falls µ = 4 Keine Lösung, falls µ > 4

13 Definition und Lösungsformel: Übung 21b) 3µx 2 2x 5 = 0 Diskriminante D = ( 2) 2 4 3µ ( 5) = µ Genau zwei Lösungen, falls D > µ > 0 60µ > 4 µ > 15 1 Genau eine Lösung, falls D = 0. µ = 15 1 Keine Lösung, falls D <. 0 µ < 15 1 Genau zwei Lösungen, falls µ > 1 15 Genau eine Lösung, falls µ = 1 15 Keine Lösung, falls µ < 1 15

14 Definition und Lösungsformel: Übung 21c) x 2 + µ = 2 3x 2 + 3x x 2 + 3x + µ 2 = 0 Diskriminante D = (µ 2) = 9 4µ + 8 = 17 4µ Genau zwei Lösungen, falls D > µ > 0 17 > 4µ 17 4 > µ Genau eine Lösung, falls D = = µ Keine Lösung, falls D < < µ Genau zwei Lösungen, falls µ < 17 4 Genau eine Lösung, falls µ = 17 4 Keine Lösung, falls µ > 17 4

15 Definition und Lösungsformel: Übung 22a1) x 2 4x y = 1 I 2x y = 6 II II: 2x y = 6 2x + 6 = y III in I: x 2 4x (2x + 6) = 1 x 2 4x 2x 6 = 1 x 2 6x 6 = 1 x 2 6x 7 = 0 (x + 1)(x 7) = 0 x 1 = 1 x 2 = 7 in III: y 1 = 4 y 2 = 20 L = {( 1 4); (7 20)}

16 Definition und Lösungsformel: Übung 22b1) (x 1) 2 + y 2 = 25 I x + 7y = 24 II II: x + 7y = 24 7y 24 = x III in I: (7y 24 1) 2 + y 2 = 25 (7y 25) 2 + y 2 = 25 49y 2 350y y 2 = 25 50y 2 350y = 0 y 2 7y + 12 = 0 (y 3)(y 4) = 0 y 1 = 3 y 2 = 4 in III: x 1 = 3 x 2 = 4 L = {( 3 3); (4 4)}

17 Definition und Lösungsformel: Übung 22c1) y = 2x 2 + x + 5 I y = x 2 8x + 11 II II I: 0 = 3x 2 9x = x 2 3x = (x 1)(x 2) x 1 = 1 x 2 = 2 in I: y 1 = 4 y 2 = 1 L = {(1 4); (2 1)}

18 Bruchgleichungen: Übung 23 Zeit pro Anteil Badewanne Badewanne [min] pro Minute Zufluss t 1 t Abfluss t t+2 In 12 Minuten ist 1 Badewanne voll: 12 1t 12 1 t+2 = 1 t(t + 2) 12(t + 2) 12t = t(t + 2) 12t t = t 2 + 2t 24 0 = t 2 + 2t 24 0 = (t 4)(t + 6) t 1/2 = 4-6 Gesuchte Zeit: 4min

19 Bruchgleichungen: Übung 24 Zeit pro Anteil Druckauftrag Druckauftrag [h] pro Stunde Neue Maschine t 1 t Alte Maschine t t+3 Wenn die neue Maschine während 10 Stunden und die alte Maschine während 6 Stunden drucken, wird 1 Druckauftrag erledigt: 10 1t t+3 = 1 t(t + 3) 10(t + 3) + 6t = t(t + 3) 10t t = t 2 + 3t 14t 30 0 = t 2 13t 30 0 = (t 15)(t + 2) t 1/2 = 15 2 Gesuchte Zeit: 15h

20 Bruchgleichungen: Übung 25a) 15 x 15cm x Streckenteilung im Goldenen Schnitt: 15 x x = x

21 Bruchgleichungen: Übung 25a) Streckenteilung im Goldenen Schnitt: 15 x x = x x(15 x) (15 x) 2 = 15x x + x 2 = 15x x 2 45x = 0 x 1/2 = 45± ( 45) = 45± Gesuchte Entfernung: 5.729cm

22 Bruchgleichungen: Übung 25b) x 10cm 10 x Streckenteilung im Goldenen Schnitt: 10 x x = x

23 Bruchgleichungen: Übung 25b) Streckenteilung im Goldenen Schnitt: 10 x x = x x(10 x) (10 x) 2 = 10x x + x 2 = 10x x 2 30x = 0 x 1/2 = 30± ( 30) = 30± Gesuchte Entfernung: 3.820cm

24 Bruchgleichungen: Übung 25c) Stehen die Breite und die Höhe der Photographie im Verhältnis des Goldenen Schnittes? ? = ? = Antwort: nein

25 Bruchgleichungen: Übung 27a1) 5 x = 11 2x 8x 40 + x = x = 4 L = {4}

26 Bruchgleichungen: Übung 27b1) 3 x = 5 x+2 x(x + 2) 3(x + 2) = 5x 3x + 6 = 5x 3x 6 = 2x : 2 3 = x L = {3}

27 Bruchgleichungen: Übung 27c1) 4 x 2 x+2 = 2 3 3x(x + 2) 12(x + 2) 6x = 2x(x + 2) 12x x = 2x 2 + 4x 6x + 24 = 2x 2 + 4x 6x 24 0 = 2x 2 2x 24 : 2 0 = x 2 x 12 0 = (x + 3)(x 4) x 1 = 3 x 2 = 4 L = { 3; 4}

28 Bruchgleichungen: Übung 27d1) x+2 x x 2 8x+12 x+2 x (x 2)(x 6) = 1 x 6 = 1 x 6 (x 2)(x 6) (x + 2)(x 6) + 4 = x 2 x 2 4x = x 2 x 2 4x 8 = x 2 x + 2 x 2 5x 6 = 0 (x + 1)(x 6) = 0 x 1 = 1 x 2 = 6 D L = { 1}

29 Bruchgleichungen: Übung 27e1) x x+4 x 3 2x = 5 2 2x(x + 4) 2x 2 (x 3)(x + 4) = 5x(x + 4) 2x 2 (x 2 + x 12) = 5x x x 2 x + 12 = 5x x 5x 2 20x 4x 2 21x + 12 = 0 x 1/2 = 21± ( 21) 2 4 ( 4) 12 8 = 21± L = { 5.770; 0.520}

30 Bruchgleichungen: Übung 27f1) x 2 x 32 x 2 3x 4 x+7 = x+8 x+1 x 4 x 2 x 32 (x+1)(x 4) x+7 = x+8 (x + 1)(x 4) x+1 x 4 x 2 x 32 (x + 7)(x 4) = (x + 8)(x + 1) x 2 x 32 (x 2 + 3x 28) = x 2 + 9x + 8 4x 4 = x 2 + 9x x = x x = (x + 12)(x + 1) x 1 = 12 x 2 = 1 D L = { 12}

31 Satz von Vieta: Übung 28 Falls x 1 und x 2 die Lösungen der Gleichung ax 2 +bx+c = 0 sind, so gilt nach der Lösungsformel: x 1 = b+ b 2 4ac 2a, x 2 = b b 2 4ac 2a Daraus folgt: x 1 +x 2 = b+ x 1 x 2 = b+ = 4ac 4a 2 = c a b 2 4ac 2a b 2 4ac 2a + b b 2 4ac 2a b b 2 4ac 2a = = b+ b 2 4ac b 2a b 2 4ac ( )( ) b+ b 2 4ac b b 2 4ac 4a 2 = 2b 2a = b a = b 2 (b 2 4ac) 4a 2 = 3. binomische Formel

32 Satz von Vieta: Übung 29a) a(x x 1 )(x x 2 ) = a(x 2 x x 1 x x 2 +x 1 x 2 ) = = a ( x 2 x(x 1 + x 2 ) + x 1 x 2 ) = = a ( x 2 x ( b a) + c a ) = ax 2 + bx + c Satz von Vieta

33 Satz von Vieta: Übung 29b) Der Term ax 2 + bx + c ist genau dann in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegbar, wenn die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 Lösungen hat. Sind x 1 und x 2 die Lösungen von der Gleichung ax 2 +bx+c = 0, dann ist der Term ax 2 +bx+c in das Produkt a(x x 1 )(x x 2 ) zerlegbar.

34 Satz von Vieta: Übung 30a) Zu zerlegender Term: x x 1536 Dazugehörige quadratische Gleichung: x x 1536 = 0 x 1/2 =... = Es ergibt sich die Zerlegung: x x 1536 = (x 24)(x + 64)

35 Satz von Vieta: Übung 30b) Zu zerlegender Term: 2x 2 + 3x 135 Dazugehörige quadratische Gleichung: 2x 2 + 3x 135 = 0 x 1/2 =... = Es ergibt sich die Zerlegung: 2x 2 + 3x 135 = 2(x 15 2 )(x + 9)

36 Satz von Vieta: Übung 30c) Zu zerlegender Term: 6x 2 25x + 24 Dazugehörige quadratische Gleichung: 6x 2 25x + 24 = 0 x 1/2 =... = 8/3 3/2 Es ergibt sich die Zerlegung: 6x 2 25x + 24 = 6(x 8 3 )(x 3 2 )

37 Satz von Vieta: Übung 30d) Zu zerlegender Term: 3x 2 7x + 5 Dazugehörige quadratische Gleichung: 3x 2 7x + 5 = 0 x 1/2 =... keine Lösungen! Der Term 3x 2 7x + 5 ist nicht zerlegbar.

38 Satz von Vieta: Übung 30e) Zu zerlegender Term: 2x 2 9x + 5 Dazugehörige quadratische Gleichung: 2x 2 9x + 5 = 0 x 1/2 = 9± Es ergibt sich die Zerlegung: 2x 2 9x + 5 = 2(x )(x )

39 Satz von Vieta: Übung 30f) Zu zerlegender Term: 25x x Dazugehörige quadratische Gleichung: 25x x = 0 x 1/2 =... = 18 5 Es ergibt sich die Zerlegung: 25x x = 25(x )2

40 Quadratische Ungleichungen: Übung 32a1) (x + 2)(x 9) > 0 Es wird untersucht, für welche x die beiden Faktoren und schliesslich das Produkt welches Vorzeichen haben: (x + 2) (x 9) (x + 2)(x 9) R L =] ; 2[ ]9; [

41 Quadratische Ungleichungen: Übung 32b1) (x 5)(x 6) < 0 Es wird untersucht, für welche x die beiden Faktoren und schliesslich das Produkt welches Vorzeichen haben: (x 5) (x 6) (x 5)(x 6) R L =]5;6[

42 Quadratische Ungleichungen: Übung 34a1) x 2 3x 10 < 0 Linke Seite in ein Produkt zerlegen: (x + 2)(x 5) < 0 Es wird untersucht, für welche x die beiden Faktoren und schliesslich das Produkt welches Vorzeichen haben: (x + 2) (x 5) (x + 2)(x 5) R L =] 2;5[

43 Quadratische Ungleichungen: Übung 34b1) x 2 8x 15 x 2 8x Linke Seite in ein Produkt zerlegen: (x 3)(x 5) 0 Es wird untersucht, für welche x die beiden Faktoren und schliesslich das Produkt welches Vorzeichen haben: (x 3) (x 5) (x 3)(x 5) R L =] ;3] [5; [

44 Quadratische Ungleichungen: Übung 35a) 8x 2 + µx + 2 = 0 Diskriminante D = µ = µ 2 64 = (µ + 8)(µ 8) Es wird untersucht, für welche µ die Diskriminante welches Vorzeichen hat: (µ + 8) (µ 8) (µ + 8)(µ 8) R Genau zwei Lösungen, falls µ ] ; 8[ ]8; [ Genau eine Lösung, falls µ { 8; 8} Keine Lösung, falls µ ] 8; 8[

45 Quadratische Ungleichungen: Übung 35b) µx 2 4x + 2µ = 0 Diskriminante D = ( 4) 2 4 µ 2µ = 16 8µ 2 = = 8(µ + 2)(µ 2) Es wird untersucht, für welche µ die Diskriminante welches Vorzeichen hat: 8 (µ + 2) (µ 2) 8(µ + 2)(µ 2) R Genau zwei Lösungen, falls µ ] 2; 2[ Genau eine Lösung, falls µ { 2; 2} Keine Lösung, falls µ ] ; 2[ ] 2; [

46 Quadratische Ungleichungen: Übung 35c) 5x = µ 4 3µx 5x 2 + 3µx + 1 µ 4 = 0 Diskriminante D = (3µ) (1 µ 4 ) = 9µ2 + 5µ 20 = = 9(µ µ 1 )(µ µ 2 ) = 9(µ+1.794)(µ 1.239) Es wird untersucht, für welche µ die Diskriminante welches Vorzeichen hat: 9 (µ µ 1 ) (µ µ 2 ) 9(µ µ 1 )(µ µ 2 ) µ 1 µ R Zwei Lösungen, falls µ ] ; µ 1 [ ]µ 2 ; [ Eine Lösung, falls µ {µ 1 ; µ 2 } Keine Lösung, falls µ ]µ 1 ; µ 2 [

47 Quadratische Ungleichungen: Übung 36 Querschnittsdurchmesser [cm]: d d 8cm Die Bedingung für das Volumen führt zu zwei Ungleichungen: ( ) d 2 10 π πd π d2 10 π 5 10 π d π d 1.784