Wie schreibe ich einen Satz in ein Buch

Transkript

1 Grundlagen: Aussagen und Mengen 179 Grundlagen Grundlagen: Aussagen und Mengen 1. A = {1; ; ; ; ; 8; 1; } B = {17; 19; ; 9} C: Individuelle Lösungen A B A = {0; 1; ; ; ; ; }; A = 7 B = {; ; ; ; 7}; B = C = {K; i; n; d; e; r; g; a; t}; C = 9. A = {x x ist ein Wochentag}; endliche Menge B = {x x ist eine ungerade ganze Zahl}; unendliche Menge C = {x x ist eine Quadratzahl der natürlichen Zahlen von 1 bis }; endliche Menge D = {x x ist eine Primzahl}; unendliche Menge. A T 1 = {} T = {} T = {} T = {} T = {; } T = {; } T 7 = {; } T 8 = {; } T 9 = {; } T 10 = {; } T 11 = {; ; } T 1 = {; ; } T 1 = {; ; } T 1 = {; ; } T 1 = {; ; ; } T 1 = {} B T 1 = {Lena} T = {Pia} T = {Judith} T = {Lena; Pia} T = {Lena; Judith} T = {Pia; Judith} T 7 = {Lena; Pia; Judith} T 8 = {} C T = {} D T 1 = {x} T = {y} T = {z} T = {x; y} T = {y; z} T = {x; z} T 7 = {x; y; z} T 8 = {} E T 1 = {1} T = {} F T 1 = {} T = {8} T = {; 8} T = {} 1. a) B [ C = {d; e; f ; g; h; i; j; k} 7 b) A \ C = {d; e} c) A \ B = {} d) A [ B [ C = {a; b; c; d; e; f ; g; h; i; j; k} e)c \ (A [ B)={d; e; h} f)(a [ B) \C = {a; b; c; f ; g}

2 180 Grundlagen. a) A \ B = {; ; } A[B = {; ; ; ; ; 8; 9; 10} A \ B = {; } 7 A B A B A 7 B A \ B A [ B A \ B b) A \ B = {l; m} A [ B = {a; b; j; k; l; m; n} A \ B = { j; k} A B A B A B j k l m a b n j k l m a b n j k l m a b n A \ B A [ B A \ B. A = {0; 1; ; ; 7} B = {0; 1; ; ; 7} A [ B = {0; 1; ; ; ; ; 7} A \ B = {0; 1; 7} A B G. Es handelt sich um die Menge der Jugendlichen mit höchstens einem der beiden Symtome. Jugendliche mit höchstens einem der beiden Symtome haben nicht beide Symtome. Alle, die beide Symtome haben, sind in der Schnittmenge zusammengefasst. Gesucht ist also das Komlement der Schnittmenge A \ B. Aber auch hier können wir anders überlegen: Jugendliche mit höchstens einem der beiden Symtome sind solche, die keine Rückenschmerzen oder kein Übergewicht oder beides nicht haben. Gesucht ist also die Vereinigungsmenge der Komlemente von A und B. Folglich stimmen die beiden Mengen überein Bei einer Aussage muss eindeutig entschieden werden können, ob sie wahr oder falsch ist. a) wahre Aussage e) keine Aussage i) falsche Aussage l) wahre Aussage b) wahre Aussage f) falsche Aussage j) falsche Aussage m) wahre Aussage c) keine Aussage g) keine Aussage k) wahre Aussage n) wahre Aussage d) keine Aussage h) falsche Aussage, Gegenbeisiel: + 7 = 10

3 Grundlagen: Aussagen und Mengen 181. a) x = 7 d) z.b. x = Asirin g) x = 1 b) z.b. x = 9 und y = 1 e) x = h) x = 1 c) z.b. a = f) unendlich viele Lösungen i) unendlich viele Lösungen, z.b. x = ; y =. a) Stehan ist nicht 18 Jahre alt. e) Es gibt mindestens eine gerade Primzahl. b) + = f) Es können mehr als Personen den Aufzug benutzen. c) Eine Jeans ist nicht immer blau. g) Es können höchstens Personen den Aufzug benutzen. d) Nicht alle Schüler kennen die Prüfungstermine. h) Es gibt mindestens einen Niederländer, der nicht Fussballfan ist.. Aussage: Die Kindergrue Wühlmäuse aus dem Kindergarten Kunterbunt in Aachen besucht den Freizeitark Fun-Park. Und-Verknüfung von Aussagen: Der Freizeitark ist 00 m von der holländischen Grenze entfernt und liegt an einem See. Folgerung von Aussagen: Wenn die Kinder ankommen, werden sie mit einem Eis begrüßt. Oder-Verknüfung von Aussagen: Sie können dort mit dem Boot fahren oder auf den Kindersiellatz gehen.. A B A ^ B A _ B A ) B a) wahr falsch falsch wahr falsch b) falsch falsch falsch falsch wahr c) falsch wahr falsch wahr wahr. a) nicht äquivalent, da für x = Aussageform A zu einer wahren, aber Aussageform B zu einer falschen Aussage wird b) äquivalent 7. a) Schaltung 1: (Und-Verknüfung) S 1 S S 1 ^ S wahr wahr wahr wahr falsch falsch falsch wahr falsch falsch falsch falsch b) Schaltung : (Oder-Verknüfung) S 1 S S 1 _ S wahr wahr wahr wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch 8. Amelabfrage: Korrekt ist grün ( geht nicht ), d. h., die ODER-Verknüfung kann nicht mehr falsch werden, da sie bereits wahr ist, wenn eine der beiden Aussagen wahr ist (und A ist wahr).

4 18 Grundlagen 1. a) N; Z; Q; R c) R e) Q; R g) R i) N; Z; Q; R b) Z; Q; R d) Q; R f) Z; Q; R h) Q; R 1, 789 0, R. a) falsch b) falsch c) wahr d) wahr e) falsch f) wahr. a) 0,8 = 8 9 c),1 = 1 99 = 7 e),7 = ,7 b) 0,9 = d),78 = f) 8,7 = a) wahr b) falsch c) falsch. a) wahr b) wahr c) falsch d) falsch. a) wahr b) wahr c) falsch 7. a) I a =[ 7; ] b) I b =] ; ] c) I c =[ ; [ d) I d =] 8; 1[ R R R R 8. a) {x 1 ale x und x R} b) {x < x < und x R} c) {x ale x ale 1 und x R} d) I 1 = {x ale x ale und x R} I = {x < x < und x R} I = {x ale x < 8 und x R} I = {x < x ale 1 und x R}

5 Grundlagen: Rechnen mit reellen Zahlen Annahme: dass rational ist, sich also als Bruch zweier ganzer Zahlen,q Z darstellen lässt; dabei nimmt man außerdem an, dass q schon ein teilerfremder, also gekürzter Bruch ist. Aus = q folgt direkt: ( ) = bzw. =. q q ) = q Gleichung (*) Da das Produkt q durch teilbar ist, muss auch die linke Seite, also durch teilbar sein, = r (mit r Z). Weiter mit Gleichung (*): q = =(r) = r, also q = r, nach Division durch : q = r. Ist die rechte Seite durch teilbar, muss es auch die linke sein. Da nun und q einen gemeinsamen Teiler, nämlich die, haben, erkennt man den Widersruch zur (falschen) Annahme, dass q schon ein teilerfremder, also gekürzter Bruch ist. Dieser Widersruch zeigt, dass die Annahme, sei eine rationale Zahl, falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss. Damit ist die Behautung, dass irrational ist, bewiesen. 10. a) 1,11 Die Satzzeichen wurden nicht berücksichtigt. b) 70 (TR wie oben) c) Individuell, z.b. =,119 Hit kann s schon kreisende r wählen... Grundlagen: Rechnen mit reellen Zahlen 1. a) + x 7x = 1 x 8 b) x a + x 0a = a c) 10 1x d) 8x x = x + 19 e) (( x + 10)+1)=( x ) = 1x + 90 f)bx ax + ax bx = 0 g) 1x + 7x + 81 h) 9 y. a) (a + b) b) a(c + b) c) 7ab(ab + 7) d) x y (1 + c) e) ab(b + + 8a). a) (x y)(x + y)=(x y )=x y b) (x + )(x )=(x 1)=x c) (a b) (a + b)=0(9a b )=180a 80b. a) (x y) f) (a b) b) (a + b ) g) (1 + a)(1 a) c) 0,(x + z) h) (x + 10)(x 10) d) (a + b) i) 1(x + y)(x y) e) (z 1) j) (a + b)(a b)

6 18 Grundlagen. (a + b)(a + b)=aa + ab + ba + bb = a 8 + ab + b (a b)(a b)=aa ab ba + bb = a ab + b (a + b)(a b)=aa ab + ba bb = a b 1. a) = 19 b) = 1 8 c) = 1 = 11 d) = 8 = 1 1 e) = = 1 9 f) 9 = 7 98 = 7 1 = 7 = 7 8 = 7 Hautnenner: 7 = 88 Rechnung: = g) Hautnenner: = 1800 Rechnung: h) 1 x(x 1) x x+1 = x+1 x(x 1)(x+1) x (x 1) x(x 1)(x+1) = x+1 x +x x(x 1)(x+1) = x +x +x+1 x(x 1) = a) 8 1 c) 1 1 b) 1 9 = = d) 1 10 = = 1 1 = = 1 = = 18. a) a(+b) a(b ) = +b b b) a(b+c) a = b + c c) 1 d) a(b c) b c = a 1. a) 8 b) c) 8a d) c e) c f) c. a) a b + b b) 9a 9a 18a = 18a c) 81a + 9a 9a = 81a d) 9y 8y oder y (9 8y) e) 1a bc + 1ab c + abc oder abc(a + b + c) f)0ax 0a x oder 0ax(x a). a) 9 d) a b g) 100 j) 10x y z b) 1 17 e) 9 x x = x oder x x = x h) (x) k) 88a 10 b 7 c) 70n f) a x i) 7 10 l) 18a x y 8. Amelabfrage: Korrekt ist Antwort gelb (Potenzen mit gleichem Exonenten werden multiliziert, indem man die Basen multiliziert und den Exonenten beibehält).. a) a d) ab g) (a + b) b) 8x e) h) 1 c) a f)

7 Grundlagen: Rechnen mit reellen Zahlen 18. a) c) x 9 y z = x9 y z b) 7 0 = 1 d) (u+v)(u v) (a b) (a+b)(a b) (u+v) = (a b)(u v) (a+b)(u+v) 7. a) 1 b) a 1 c) a 18 b 1 d) x 10 y 1 e) a bc f) a x b 8. a) b) 0000 c) 0,00000 d) 7 10 e) 1, 10 f), a) Falsche Aussage, = 7 8 = 1 = 1 b) Wahre Aussage c) Wahre Aussage 1. a) b) c). a) kann nicht zusammengefasst werden c) a 9 b b) u d) 0. a) = c) u 10 e) 1 a g) 1 = q q b) x d) = f) xy a y = h) a x = x. a) a b) y c) a d) 7. a) = b) 1 = c) + + = + = + 1 d) + = ( ) 9 = a c e) a c a+ c a c = ( a c) a c f) a b a+b a = b a+b a+b a+b. a) b) 18 8 c) 1 + d) 1. a) b) c) d) 0 e) f). a) loga + logb b) logx logy c) logx + logy logz d) 1 a b7 log z = loga + 7 logb 1 logz (für a > 0) e) log a b f)logx 10

8 18 Grundlagen Übungen zum Rechnen mit reellen Zahlen 1. a) 7 <, < 1 < b) < 0, < 0, <. a) 1 b) c) d) 7 0. a) können nicht weiter addiert werden b) können nicht weiter addiert werden c) können nicht weiter addiert werden d) 1a 7 g) 1 a 7 j) 1 e) a h) ab k) a f) 1 a i) a l) ab. a) 7x + 18x + b) 9 0 x xz + 1z. a) (a + 1) c) (b 1) b) (0,a + 0,b) d) (b 0,). a) e) 8 a1 b b) f) log c a b c) 0 9 g) log d) 0 9 h) 7. a) 8 b) c) d) 9 8. Gesamtverdienst in e: 0 8, , ,0 + 19,0 = 1,0 Grundlagen: Gleichungen und Gleichungssysteme a) L = {} b) L = { 1 } c) L = { } d) 7x 1 = 1 L = {} e) 8y + 8 = 8 L = {0} f)l = {1} g) z = 18 L = { 18} 1 h) 1 z = 9 L = { 0} i) 11 a = a, L = { 1 } j)b = b L = { }

9 Grundlagen: Gleichungen und Gleichungssysteme a) Formel liefert L = {; } 70 b) Formel liefert L = {; 1} c) x(x )=0 L = {0; } d) Formel liefert L = {0,; } e) x = 9 L = {} f)x x 7 = 0 Formel liefert L = {7; 1} g) L = {; } h) L = {0; } i)x x + = 0 Formel liefert L = {; 1} j)x = L = {; } k) x 9x + 18 = 0 Formel liefert L = {; } l)x = L = {; }. a) x x 10 = 0 b) x + 0,x 1 = 0 c) x + 8,7x = 0 d) x 9 = 0 e) x 1x + = 0 f)x x = 0. a) (x )(x )=0 b) 0,(x )(x 1)=0 c) x(x )=0 d) (x + )(x )=0 e) (x + ) = 0 f)(x + )(x )=0. x: Alter von Vivien x +(x 1)+(x + )=97, x 8 = 97, x = Vivien ist jahre alt, ihr Bruder ist Jahre alt und ihre Schwester ist 9 Jahre alt.. x: Seitenlänge in m (x + 1) = x, x x 1 = 0 x 1 = 1+ 1,7; x = 1 Die Seitenlänge beträgt ca. 1,7 m. 0,7 (nicht relevant)

10 188 Grundlagen 70. a) Lösungsformel: x 11x = 0 (mit a = ; b = 11; c = 0) Alternative: Ausklammern und Satz vom Nullrodukt x(x 11)=0 Lösungen: x 1 = 0 und x =, b) Lösungsformel (ausmultilizieren): (x + )(x )=0, (x x + x 10)=0, x + x + 0 = 0 (mit a = ; b = ; c = 0) Alternative (viel kürzer): Satz vom Nullrodukt (x + )(x )=0 Lösungen: x 1 = und x = 1 c) Lösungsformel: x + 8 = 0 (mit a = 1 ; b = 0; c = 8) Alternative: Umformen und Wurzelziehen 1 x + 8 = 0, 1 x = 8 ( ), x = 1 Lösungen: x 1 = und x = d) Lösungsformel: x x = 0 (mit a = 1; b = 1; c = ) Alternative: Satz von Vieta mit = 1 und q = Lösungen: x 1 = und x = e) Lösungsformel (erst zusammenfassen): x + x = x, x x = 0 (mit a = ; b = ; c = 0) Alternative: Ausklammern und Satz vom Nullrodukt x( x )=0 Lösungen: x 1 = 0 und x = f)lösungsformel (erst zusammenfassen): (x )=x(x ), x x + x = 0, x + x = 0 (mit a = 1; b = ; c = ) Alternative: Faktorisieren und Satz vom Nullrodukt (x ) x(x )=0, (x )( x)=0 Lösungen: x 1 = und x = g) Lösungsformel: x 8x + 1 = 0 (mit a = 1; b = 8; c = 1) Alternative: Satz von Vieta mit = 8 und q = 1 Lösungen: x 1 = und x = h) Lösungsformel (erst binom. Formel anwenden): (x ) = 0, x x + 9 = 0 (mit a = 1; b = ; c = 9) Alternative: Satz vom Nullrodukt (direkt) (x ) = 0 Lösungen: x 1/ = Alle obigen Gleichungen stellen Sonderformen quadratischer Gleichungen dar, insbesondere die Aufgaben die sich mithilfe des Satzes vom Nullrodukt lösen lassen (vorher evtl. faktorisieren) sollten so gelöst werden.

11 Grundlagen: Gleichungen und Gleichungssysteme Satz vom Nullrodukt (Gleichungen der Form ax 70 + bx = 0, also c = 0): x + 7x = 0, x(x + 7)=0, x 1 = 0 und x = 7 Jeden Faktor gleich null setzen. - Wurzelziehen (Gleichungen der Form ax + c = 0, also b = 0): x + 9 = 0, x = 9 : ( ), x = 9 ; x 1 = und x = Nach x auflösen, Wurzel ziehen (falls rechte Seite 0), negative Lösung nicht vergessen! - Faktorisierter Term, Satz vom Nullrodukt (Gleichungen der Form a(x x 1 )(x x )=0): (x )(x + 7)=0; x 1 = und x = 7 Jeden Faktor gleich null setzen. - Satz von Vieta (Gleichungen der Form x + x + q = 0, also a = 1): x + x 7 = 0; x 1 = 7 und x = 1 Suche ganzzahlige Teiler von q (im Bs.: 7), deren Summe (im Bs.: ) ergibt. - Lösungsformel (Gleichungen der Form ax + bx + c = 0): x + x 7 = 0; x 1/ = ± ( 7) = ± 81 = ±9 ; x 1 = 7 und x = 1 Keine der oben genannten Sonderformen liegt vor. 8. a) x 10x + = 0 x 1/ = (doelt) b) x x 10 = 0 x 1 = ; x = c) x x + = 0 x 1 = 1; x = d) x + x 1 = 0 x 1 = 7; x = e) x + 7x + 1 = 0 x 1 = ; x = 9. Amelabfrage a) Korrekt ist rot, da D =( ) ( 1)=1 b) Korrekt ist grün, da nach dem Satz von Vieta gilt: = ( + )= 1. a) z.b. Additionsverfahren 7 (I) ergibt: (I) a b = 7,8 (II) a + b =, 0a = 10 a = 0, b = 0, L = {(0,; 0,)} b) z.b. Einsetzungsverfahren x +( x + )=, x = 0, y = L = {(0,; )} c) z.b. Gleichsetzungsverfahren (I) : ergibt: (I) u = v 1 (II) u = 1 v v 1 = 1 v v = u = L = {(; )}

12 190 Grundlagen 7 d) z.b. Einsetzungsverfahren (b 10)= b + b = a = 0 L = {(0; )} e) x = ; y = f)x = 0,; y = 0, g) x = ; y = h) L = {(1; 1)} i)l = {( ; )} j)l = {(0,8; 1,)} k) L = {(8; )} l)l = {( 1; )} m) L = {(; )}. x = 1; y = ; z = a) L = {(0,; ; 1,)} 7 n o b) L = c ; c+10 ; c c R c) L = {(; 7,; )} Nur die die ersten beiden Angebote enthalten Pizza. Es ist sinnvoll, den Preis ro Fläche zu vergleichen. 7 Pizza : Gesamtfläche in cm : A = r = 9 11 Preis in ct ro cm : ,1 Pizza-Party-Blech : Gesamtfläche in cm : A = = 0 Preis in ct ro cm : ,0 Die Preise ro Fläche unterscheiden sich kaum. Das Angebot Pizza ist günstiger, da es zusätzlich noch Salat, Pizzabrötchen und Wein enthält. Jede der Personen erhält dann 11 cm : cm Pizza. Aufgrund der zusätzlichen Beigaben sollte die Menge ausreichen. Soll aber jede Person zum Beisiel mindestens 00 cm Pizza erhalten, kann es sinnvoller sein, das Pizza-Party-Blech zu wählen als zweimal das Angebot Pizza zu bestellen.