c- y:..,0, '} /' :--...,

Transkript

1 Lösungen der Aufgaben zur Selbstüberprüfung. a) g ist keine Funktion, denn es gibt das Argument x = 3, dem mehr als ein Bild zugeordnet ist. (3, 2) E g und (3, - 2) E g. 2. b) h ist eine Funktion. Jedem x E IR wird eindeutig ein Y E IR zugeordnet. Die Funktion h ist nicht eineindeutig, denn es gibt die geordneten Zahlenpaare (3, 6) E hund (- 3, 6) E h, so daß zwei verschiedenen Argumenten der gleiche Funktionswert zugeordnet ist. c) i ist eine eineindeutige Funktion, denn zujedem x E IR gibt es genau ein Y E IR und zu jedem Y E IR gibt es genau ein x E IR. y 3: ( g : tr x 4 \ V I A 3 '" \ V... ~ A6 A 4 V ~ "'---I 8 4 \ '--., 2 : V (--< 3 Y - "" ---r x """"--- I"" :ii'- - x 2 l «t 2 ~ r :---.. Li-...-'I ; A A 2 '" 8 s Q6: - ~x 2 Qs: a) g3(x) = 0 genau dann, wenn 3 * x - 4 = O. 3 * x - 4 = 0 genau dann, 4 wenn x = 3. g4(x) = 0 genau dann, wenn --*x+2 = O. --*x+2 = 0 genaudann, 3 3 wenn x = 6. b) g3(x) = 8 genau dann, wenn 3 * x - 4 = 8. 3 * x - 4 = 8 genau dann, wenn x = 4. c) g3(x) = gix) genau dann, wenn 3 * x - 4 = - 3 * x + 2 bzw. x,8. g3 (,8) = g4 (,8) =,4 55

2 4. a xl n x).... a :x f---~x... I'--- c- y:..,0, '} ' :--..., "... I'--- n:x r--.~ + I'----, I'--r ~ 8 2 ;-- n(x) = a(x) genau dann, wenn --* x + 8 = 2 * x + 3 n(x) = a(x) = p = 7. bzw. x = 3. Wenn der Preis pro Mengeneinheit p = 7 (DM) beträgt, dann stimmen Angebot und Nachfrage überein. Es herrscht Marktgleichgewicht. Es werden drei Mengeneinheiten angeboten und nachgefragt. 5. a) K(x) = k(x) * x + F K(x) = 3 * x + 6 b) E(x) = P * Y E(x) = 6 * x G x) " c) G(x) = E(x) - K(x) G(x) = 6 * x - (3 * x + 6) = 3 * x - 6 " d) G(x) = 0 genau dann, wenn 3 * x - 6 = 0 bzw. x = 2. Wenn x = 2, dann E(x) = K(x). Die Koordinaten des Break -Even-Punktes: (20). e) E(x) = p * x = 6 * x E(2) = 2 Der Break-Even-Erlös beträgt 2 DM. Die Break-Even-Kosten betragen ebenfalls 2 DM. J, x 56

3 6. Ermittlung der Scheitelpunktform der Funktionsgleichung: fex) = x 2-4x -5 = [x2-4x]-5 = [(x2-4x+4)-4]-5 = (x-2)2-9 Scheitelpunkt des Graphen von f: S(2-9) Nullstellen von f: f(xo) = gen au dann, wenn (xo - 2)2-9 = 0. (xo - 2)2 = 9 genau dann, wenn (xo - 2) = 3 oder (xo - 2) = - 3 bzw. Xo = 5 oder Xo= -I. \ f x) I \ ~ I \ I -2 n x \ I~ L \ la \ 0 '\ 7. K(x) = 2 * x 2 K(x+O,Ol *x) = 2*(x+O,0 *xi = 2*(,0 *X)2 K(x + 0,0 * x) = 2 *,020 * x2 = 2,0402 * x2 = 2 * x 2 + 0,0402 * x2 K(x + 0,0 * x) = K(x) + 0,0402 * x2 2,0 2 2,0 K(x+O,Ol*x)= K(x)+Wü*2*x = K(x)+ Wü*K(x) Wenn der Produktionsumfang x um % erhöht wird, dann erhöhen sich die Gesamtkosten um 2,0 %. Der Kostenverlauf ist demzufolge überproportional. 8. K(x) = x3-600 x x 200:::; x:::; 500 K(x) a) k: x - k(x) = - = x2-600 * x :::; x :::;500 x b) Die Funktionsgleichung der Durchschnittskostenfunktion ist in die Scheitelpunktform zu überführen. k(x) = [(x2-600 * x ) ] = (x - 300) Bei einem Produktionsumfang von 300 Mengeneinheiten sind die Durchschnittskosten minimal. Die minimalen Durchschnittskosten betragen 2000 DM. Die zugehörigen Gesamtkosten K(x) = k(x) * x betragen dann DM. c) Die maximalen Durchschnittskosten können bei der speziellen Gesamtkostenfunktion nur in den Randpunkten des abgeschlossenen Intervalls 200 :::; x :::; 500 liegen. x in ME k(x) in DMME Die Durchschnittskosten sind bei einem Produktionsumfang von 500 ME maximal. Die zugehörigen Gesamtkosten betragen K(x) = k(x) * x = DM. 57

4 k x) ~, '",v, <V' I 7 ~, "" '" \ '--v ''',,0,n,kn, <L',nn?Inn ~nn 4 nn 'i nn 9. F = 25 (in TDM) K: x ~ K(x) K(x) = F = 25 0 :S x :S 0 (x in ME) k: x - K(x) F 25 k(x) = - = - = - x x x 0 :S x:s 0 K x) K(~L K x f-i (x) = F = 5,n =,n,n \ n \ k:x- -~ ~ =~,~ x -v " \... " x 0.a)Z: (Xj,X2) ~ Z(XI,X2) = Zl * Xl + Z2 * X2 = 5 * Xl + 8 * X2 Z(xj, X2) - Maximum () 24 * Xl + 32 * x2:s 320 bzw. (") 24 * Xl + 32 * X2 + X3 (2) 0 * Xl + 20 * x2:s 80 (2") 0 * Xl + 20 * X2 + X4 (3) XI + x22': 3 (3") -XI - X2 + Xs Nichtnegtivitätsbedingungen: Xl 2': 0, X2 2': 0, X3 2': 0, X4 2': 0, Xs 2': O. = 320 = 80 = -3 58

5 Die zu den Ungleichungen gehörigen Funktionsgleichungen lauten: fo ): X2 = -0,75 * XI + 0 f(2'): x2 = -0,5 * XI + 9 f(3'): X2 = -XI + 3. Die Graphen der drei Funktionen sind in der folgenden Abbildung dargestellt. "'- x2 "'" _. "- "'-, " D~ ~~ I'fi) ~C :" ~ zop ~ I'~ "- r-... I»,. "- r-... I"" L ~ "- r-... f!'): x r- O,p x + E~ I~ "- ~ I~ ''>, I»- "): x I~ <:::..(,75 x + 0 ~ '\ ~ "- "- Ci' A "'- n B "-4 IR '!. ~z Die Menge der zulässigen Lösungen des linearen Ungleichungssystems unter Einschluß der Nichtnegativitätsbedingungen ergibt sich aus der Durchschnittsmenge der Lösungsmengen der drei Ungleichungen (I), (2), (3). L O ) = {(Xi> X2): XI?: 0, X2?: 0 und x2:s - 0,75 * XI + 0} L(2) = {(Xi> X2): XI?: 0, X2?: 0 und x2:s - 0,5 * XI + 9} L(3) = {(Xi> X2): XI?: 0, X2?: 0 und X2?: - XI + 3} L = L(l) n L(2) n L(3) Die Menge der zulässigen Lösungen ist eine nach allen Seiten beschränkte Menge. Die Eckpunkte der Menge der zulässigen Lösungen sind A (30), B (4~ 0 ), C (47), D (09), E (03). In der Abbildung ist die Menge der zulässigen Lösungen schraffiert gekennzeichnet. Die Zielfunktin Z hat den Funktionswert Z(Xi> X2) = 0 genau dann, wenn 5 5 * XI + 8 * X2 = 0 bzw. X2 = - "8 * XI = - 0,625 * XI' 5 Der Graph einer Zielfunktion ist eine Ursprungsgerade mit dem Anstieg - "8. Ein Richtungspfeil für die Verschiebung des Graphen der Zielfunktion kann im Koordinatenursprung gezeichnet werden, indem in xi-richtung 5 Einheiten und in x2-richtung 8 Einheiten gezeichnet werden. Beachten Sie, daß der Richtungspfeil immer senkrecht auf dem Graphen einer Zielfunktion steht. Wird der Graph der Zielfunktion bis an den Rand der Menge der zulässigen Lösungen verschoben, so ergibt sich als optimale Lösung der linearen Optimierungsaufgabe (x *' X2 *) = (4,7). Der optimale Funktionswert der Zielfunktion hat dann den Wert: Z(XI*' X2*) = 5 * XI* + 8 * X2* =

6 Wenn von dem Erzeugnis EI 4 Erzeugniseinheiten und von dem Erzeugnis E2 7 Erzeugniseinheiten hergestellt und abgesetzt werden, dann wird der maximale Erlös in Höhe von 76 DM erzielt. Bei Durchführung des optimalen Produktionsprogrammes wurden die verfügbaren Rohstoffkapazitäten voll ausgeschöpft. b)z: (XI> X2) ~ Z(XI> X2) Z(XI> X2) = 4 * XI + 8 * X2 Z(XI, X2) - Maximum Die Zielfunktion Z hat den Funktionswert Z(XI> X2) = 0 genau dann, wenn 4 * XI + 8 * X2 = 0 bzw. X2 = - - * XI' 2 Der Graph der Zielfunktion mit dem Funktionswert 0 ist eine Ursprungsgerade mit. dem Anstieg Die Graphen aller Zielfunktionen verlaufen parallel zum Graphen der Funktion f(2') für die Ungleichung (2). Wird die Ursprungsgerade mit dem Anstieg - 2" bis an den Rand der Menge der zulässigen Lösungen verschoben, so ergeben sich unendlich viele optimale Lösungen der linearen Optimierungsaufgabe. ~ x2 r:;:: --;::::: ~ ~ "" "" D~ ~ ~ J)i ~C :~ ~ t '0;, "'" ' )0-. ~ "'" i'-. L ~ "'" i'-. f )' : x I- 0, * + 9 E~ I"»> -c-r'«"'" [''0 i'-. iä. lf ' : x -::--0 k,7' * x + 0 ""'I--.. r\ ~ "I--.. In-~ A~ KJ sl"'-- 4 8" x "'" hf I'" Einige optimale Lösungen und die zugehörigen optimalen Funktionswerte der Zielfunktion sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Xj* 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 X2* 9 8,75 8,5 8,25 8 7,75 7,5 7,25 7 Z(XI*, X2*) X X

7 Verzeichnis der Abbildungen Abbildung I: Eineindeutige, eindeutige und mehrdeutige Zuordnungen 5 Abbildung 2: Graph einer nicht eineindeutigen Funktion 6 Abbildung 3: Die Graphen von linearen Funktion f: x ~ alx 8 Abbildung 4: Abbildung 5: Steigungsdreiecke linearer Funktionen f: x ~ alx Steigungsdreiecke des Graphen der Funktion f 4: x ~ - 2" x 0 Abbildung 6: Graphen von linearen Funktionen f: x ~ alx + ao (al # 0 und ao # 0) 2 Abbildung 7: Die Graphen von Funktionen f: x ~ ao 3 Abbildung 8: Umkehrung einer nicht eineindeutigen Funktion 5 Abbildung 9: Die Graphen einer linearen Funktion f, ihrer Umkehrfunktion f- I und der Funktion g: x ~ x 6 Abbildung 0: Gegenseitige Lage der Graphen linearer Funktionen 7 Abbildung : Der Graph einer Fixkostenfunktion 20 Abbildung 2: Die Graphen von Gesamtkostenfunktionen 2 Abbildung 3: Graphische Darstellung einer a) Nachfragefunktion und b) Angebotsfunktion 22 Abbildung 4: Graphische Ermittlung des Break-Even-Punktes 25 Abbildung 5: Die Normalparabel 28 Abbildung 6: Graphische Darstellung von quadratischen Funktionen 30 Abbildung 7: Abbildung 8: Abbildung 9: Abbildung 20: Abbildung 2: Abbildung 22: Abbildung 23: Abbildung 24: Graphische Darstellung von quadratischen Funktionen der Form x ~ a2x2 Die Graphen von Funktionen der Form x ~ a2x2 + ao Der Graph der kubischen Funktion x ~ x3 Die Graphen kubischer Funktionen x ~ a3x3 + ao Die Graphen von Funktionen x ~ a * - x Die Graphen von überproportionalen, proportionalen und unterproportionalen Gesamtkostenfunktionen Der Graph einer Gesamtkostenfunktion 4. Grades Der Graph einer nichtlinearen Durchschnittskostenfunktion

8 Abbildung 25: Abbildung 26: Fixkosten als Gesamtkostenfunktion Kund als Durchschnittskostenfunktion k 42 Die Menge der zulässigen Lösungen eines linearen Ungleichungssystems 46 Abbildung 27-: Graphische Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe SI Abbildung 27-2: Graphische Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe 52 Abbildung 27-3: Graphische Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe 52 Abbildung 27-4: Graphische Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe 53 62

9 Stichwortverzeichnis A Abschreibungsfunktionen 9 Additionsverfahren 4 Angebotsfunktion, lineare 22 f. Angebotsüberhang 23 B Break-Even-Analyse 24 Break-Even-Punkt 24 D Durchschnittskostenfunktion 39,4 f. F Fixkostenfunktionen 9 Funktionen - Begriff f. - Definitionsmenge 5 - Eigenschaften linearer 9 - eineindeutige 5 - ganzrationale 35 - gebrochenrationale 36 - Graphen linearer 7, 7, 44 - kubische 33 - lineare 7 f. - nicht eineindeutige 6 - nichtlineare 27 ff. - Normalform 27, 29 - Nullstellen 3,32 - quadratische 27 ff., 37 - reelle 3 f., 6, 27, 33 - Scheitelpunktform 29 - Spiegelung an dem Graphen der 6 - streng monoton fallend 6, 9 - streng monoton wachsend 6, 9 - Wertemenge 5 Funktionsgleichungen, linearer Funktionen 3 f. allgemeiner Form 30 G Gerade 8 Gesamtkosten - proportionale 20, 37 ff. - unterproportionale 37 f. - überproportionale 37 f. Gesamtkostenfunktion 20,37 f. Gleichgewichtsmenge 23 Gleichgewichtspreis 23 Gleichungen, Lösungsformel für quadratische 33 Gleichungssystem, lineares 8 Gewinnschwellenanalyse 24 f. Glied - absolutes 7 - kubisches 34 lineares 7 quadratisches 27 K Koordinatenursprung 7 Kosten fixe 9 variable 20 L Lösungen - optimale 48 Rand der Menge der zulässigen 50 zulässige 48 M Marktgleichgewicht 23 Marktpreis 23 N Nachfragefunktionen, lineare 2 f. Nachfragekurve 22 Nachfrageüberhang 23 Normalparabel, Scheitelpunkt 27 f. o Optimierung, lineare 44 f. - Grundaufgabe 47 ff. Graphische Lösung 49 ff. - Optimierungsaufgabe 48 p Preisreaktionen 23 Proportionalität, direkte 7 Proportionalitätsfaktor 7 Punkt im Koordinatensystem 8 R Restriktionen 48 Richtungspfeil 50 S Schlupfvariable 45,49 Steigungsdreieck 9 Steigungsfaktor 7, 9 Stückkosten 20 - Funktion 20 U Umkehren 5 Umkehrfunktion 5 - Graph der 6 63

10 Umsatzfunktion 40 Ungleichungssystem, lineares 44 V Variable - abhängige 5 - Umbenennung der 5 - unabhängige 5 W Wertetabellen 6, 8 Z Zahlenfolge, reelle Zahlen, nichtnegative reelle 8 Zahlenpaare - geordnet,8,7 Zielfunktion 48 - Graph der 50 f. - Maximum der 48 Zuordnung eindeutige 2, 5 eineindeutige 2 f., 5 mehrdeutige 2, 5 64