Zusammenfassung: Stichworte: Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen. 2x + 3 = 7. (1)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Zusammenfassung: Stichworte: Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen. 2x + 3 = 7. (1)"

Transkript

1 1 von :30 Zusammenfassung: Eine Ungleichung ist die "Behauptung", dass ein Term kleiner, größer, kleiner-gleich oder größer-gleich einem andereren Term ist. Beim Auffinden der Lösungsmenge einer Ungleichung können ähnliche Techniken verwendet werden wie beim Gleichungslösen. Allerdings gibt es auch wichtige Unterschiede. So führen gewisse Typen von Ungleichungen auf Fallunterscheidungen. Die Rückführung auf Gleichungen und der Einsatz eines Funktions-Plotters sind mächtige Lösungsverfahren. Ungleichungen besitzen typischerweise unendlich viele Lösungen. Lösungsmengen von Ungleichungen und Ungleichungssystemen in einer oder zwei Variablen können grafisch als Teilmengen der Zahlengeraden bzw. der Zeichenebene dargestellt werden. Stichworte: Gleichungen und Ungleichungen Lösungsmenge Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen einfache Umformungen von Ungleichungen Äquivalenzumformungen Addition eines Terms Intervalle als Lösungsmengen Multiplikation mit einem Term Fallunterscheidungen Ungleichungen mit Bruchtermen Definitionsmenge Betragsungleichungen Rückführung auf Gleichungen Methode der Zwischenpunkte eine quadratische Ungleichung Methode der Schlupfvariablen Ungleichungen grafisch lösen Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme in zwei Variablen lineare Ungleichungen in zwei Variablen lineare Ungleichungssysteme in zwei Variablen Zahlenpaare als Lösungen Halbebene als Lösungsmenge offene Menge ein anderer Typ von Ungleichungssystemen Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen Die Entwicklung dieses Kapitels wurde gefördert von der Stadt Wien im Rahmen des Projekts Blended Learning für Mathematik in der Studieneingangsphase Wie war das nochmal mit den Gleichungen? Eine Gleichung ist die Behauptung, dass zwei Terme, die eine (oder mehrere) Variable enthalten, gleich sind. Hier ein ganz einfaches Beispiel: 2x + 3 = 7. (1) Wird irgendein Zahlenwert für x eingesetzt, so entsteht in der Regel eine falsche Aussage. Falls sich aber für einen bestimmten Zahlenwert eine wahre Aussage ergibt, so nennen wir diesen Zahlenwert eine Lösung der Gleichung. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge.

2 In den einfachsten Fällen, wie etwa im Fall der Gleichung (1), kann die Lösungsmenge ohne großen Aufwand durch ein bisschen Nachdenken gefunden werden: Wenn 2x um 3 vermehrt die Zahl 7 ergeben soll, so muss offenbar 2x gleich 4 sein. Da aber nun das Doppelte des gesuchten Werts von x gleich 4 ist, ist x gleich der Hälfte von 4, womit die (einzige) Lösung gefunden wurde: x = 2. Die Lösungsmenge können wir in der Form L = {2} anschreiben. Sie besitzt nur ein einziges Element. Anhand derart einfacher Gleichungen können wir uns ein grundsätzliches Bild davon machen, was eine Gleichung ist und was es bedeutet, die Lösungsmenge zu finden. Um kompliziertere Gleichungen wie etwa 2x + 4 = 19 3x (2) zu lösen, steht eine Reihe von Methoden zur Verfügung, von denen einige im Gleichungskapitel besprochen wurden. Die wichtigsten bestehen darin, mit der linken und der rechten Seite einer Gleichung das Gleiche zu machen, um damit eine andere Gleichung zu finden, die die gleiche Lösungsmenge wie die ursprüngliche Gleichung besitzt (d.h. zu ihr äquivalent ist), aber eine einfachere Form hat. Wer mit diesen Methoden ein bisschen Routine hat, kann sie entweder zielgerichtet anwenden oder zumindest einige Möglichkeiten durchprobieren, um ans Ziel zu gelangen. Aufgrund der festen Regeln, wie derartige Äquivalenzumformungen durchgeführt werden können, hat ein Gleichungsproblem dann weniger den Charakter einer Denksportaufgabe, sondern einigermaßen kann systematisch angegangen werden. Ein möglicher Lösungsweg für Gleichung (2) ist dieser: 2x + 4 = 19 3x + 3x zu beiden Seiten 3x addieren 5x + 4 = 19 4 von beiden Seiten 4 subtrahieren 5x = 15 : 5 beide Seiten durch 5 dividieren x = 3 das ist die (einzige) Lösung! (3a) (3b) (3c) (3d) Beachten Sie, dass alle Gleichungen, die hier auftreten, von (3a) bis (3d), zu (2) äquivalent sind. Erfüllt ein Wert für x eine von ihnen, so erfüllt er auch alle anderen! Ausgehend von Gleichung (3d), die uns ja direkt die Lösung sagt, können Sie alle durchgeführten Umformungsschritte umkehren, um wieder zu (2) zu gelangen. Wollen Sie die Probe machen, um sicherzugehen, dass sich kein Fehler eingeschlichen hat, so setzen Sie einfach x = 3 in (2) ein und erhalten = , was sich auf die (wahre) Aussage 10 = 10 reduziert. Die Lösungsmenge von (2) ist L = {3}. Mit Ungleichungen, die wir in diesem Kapitel behandeln wollen, verhält es sich in mancher Hinsicht genauso wie mit Gleichungen. (Wenn Sie nicht sicher sind, sich an das Gleichungslösen und an die Bedeutung des Begriffs Äquivalenzumformung richtig zu erinnern, lesen Sie dies bitte im Gleichungskapitel nach!) Insbesondere die grundsätzliche Logik ist die gleiche: Eine Ungleichung ist eine Behauptung, die von einer (oder mehreren) Variablen abhängt. Allerdings behauptet sie nicht, dass zwei Terme gleich sind, sondern dass ein Term größer oder kleiner (oder größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Term ist. Beispiel: 2x + 3 > 7. (4) Variablenwerte, die eine Ungleichung erfüllen (d.h. die zu einer wahren Aussage führen, wenn sie in die Ungleichung eingesetzt werden), stellen Lösungen dar. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge. Einfache Ungleichungen können ohne großartigen Formalismus durch ein bisschen Nachdenken (nach Art einer Denksportaufgabe) gelöst werden. Beispiel: Schaffen Sie das im Fall der Ungleichung (4)? (Die richtige Antwort lautet: Die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlen x, die größer als 2 sind!) Es gibt Verfahren (Äquivalenzumformungen), die gewissen Regeln genügen und systematisch angewandt uns beim Auffinden der Lösungsmenge helfen. Um sicher zu gehen, kann für einzelne "Lösungskandidaten" immer die Probe durch Einsetzen gemacht werden. Führt sie auf eine wahre Aussage, so handelt es sich tatsächlich um eine Lösung. Beispiele: Überprüfen Sie, dass x = 5 eine Lösung von (4) ist! 2 von :30

3 3 von :30 Überprüfen Sie, dass x = 3 eine Lösung von (4) ist! Zeigen Sie, dass x = 0 keine Lösung von (4) ist! Ist x = 2 eine Lösung von (4)? Ist x = 1 eine Lösung von (4)? Durch diese vier einfachen Übungen sollten Sie schon ein erstes Gefühl für Ungleichungen bekommen. Allerdings gibt es auch wichtige Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen: Eine Ungleichung besitzt wie auch das einfache Beispiel (4) zeigt in der Regel nicht nur eine, sondern viele (unendlich viele!) Lösungen. Um die Menge all dieser Lösungen angeben (also anschreiben, verbal ausdrücken oder in irgendeiner Form grafisch darstellen) zu können, sind etwas mehr mathematische Kenntnisse nötig als beim Hinschreiben einer einzigen Zahl. Die Regeln zum Umformen von Ungleichungen (Äquivalenzumformungen) sind etwas komplizierter als die Regeln zum Umformen von Gleichungen. Manchmal führen sie auf Fallunterscheidungen. Um die Lösungsmenge einer Ungleichung zu finden, sind dann mehrere vereinfachte Ungleichungen zu lösen und deren Lösungsmengen zu kombinieren. Ungleichungsprobleme werden manchmal von vornherein in Form mehrerer Ungleichungen gestellt, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen (oder was auch vorkommt von denen zumindest eine erfüllt sein soll). In solchen Fällen handelt es sich genau genommen um Ungleichungssysteme, aber diese lassen sich von den Ungleichungen weniger scharf trennen als Gleichungssysteme von Gleichungen. Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kann eine Fallunterscheidung dazu führen, dass mehrere Ungleichungen betrachtet werden müssen. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen. F G Auch wenn wir bisher nicht sehr tief in die Materie eingedrungen sind, sollten Sie jetzt eine Idee davon haben, was eine Ungleichung und was eine Lösung einer Ungleichung ist. Schreiben wir eine ganz komplizierte Ungleichung hin: x 2 2x (1 + x 2 ) 4 < 3x + 4. (5) Wir werden hier nicht lernen, solche Ungetüme durch Umformungen zu lösen. Aber immerhin sollten Sie jetzt in der Lage sein, zu überprüfen, dass x = 0 und x = 1 Lösungen sind, aber dass x = 2 keine Lösung ist! Versuchen Sie es! (Und ob Sie es glauben oder nicht: In einem späteren Abschnitt dieses Kapitels werden wir zeigen, dass es ganz einfach ist, diese Ungleichung zumindest näherungsweise zu lösen!) Sehen wir uns also einige Regeln an, mit deren Hilfe Ungleichungen umgeformt werden können. Unter "einfachen" Umformungen wollen wir solche verstehen, die eine Ungleichung in eine andere Ungleichung überführen. Dabei sollen wir nur solche Umformungen zulassen, die zu einer äquivalenten Ungleichung führt, also zu einer, die die gleiche Lösungsmenge besitzt.wie im Fall der Gleichungen nennen wir sie Äquivalenzumformungen. Als Grundmenge, aus die Variablenwerte stammen dürfen, wollen wir die Menge der reellen Zahlen vereinbaren. Addition eines Terms zu beiden Seiten einer Ungleichung Gehen wir aus von einer Ungleichung der Form A < B. (6) Dabei sind A und B Terme, die von einer Variablen x abhängen können. Die Addition eines beliebigen weiteren Terms C zu beiden Seiten dieser Ungleichung führt auf die Ungleichung

4 4 von :30 A + C < B + C. (7) Falls nun für einen bestimmten Wert von x eine dieser beiden Ungleichungen erfüllt ist, ist automatisch auch die andere erfüllt. Dabei ist es wichtig, zu bedenken, dass für einen konkreten Zahlenwert von x auch die Terme A, B und C zu Zahlen werden. Und für Zahlen sind (6) und (7) klarerweise äquivalent: Dass A < B ist, bedeutet auf der Zahlengeraden, dass A links von B liegt. Eine Addition von C entspricht einer Verschiebung auf der Zahlengeraden (nach rechts, wenn C positiv ist und nach links, wenn C negativ ist). Unter einer gleichzeitigen Verschiebung von A und B bleibt, wie die nebenstehende Skizze zeigt, die Beziehung "liegt links von" aufrecht. Da wir durch Addition von C zu beiden Seiten von (7) zu (6) zurückgelangen, ist diese Art der Umformung umkehrbar. Völlig analoge Argumentationen lassen sich für eine Ungleichung der Form A > B (8a) sowie für Ungleichungen der Form A B (8b) (also "A kleiner oder gleich B", kurz: "A kleiner-gleich B") und A B (8c) (also "A größer oder gleich B", kurz: "A größer-gleich B") durchführen. Wir halten fest: Wird ein Term zu beiden Seiten einer Ungleichung der Form (6), (8a), (8b) oder (8c) addiert, so besitzt die daraus entstehende Ungleichung dieselbe Lösungsmenge wie die gegebene. Ein einfacher Spezialfall besteht darin, eine Zahl zu beiden Seiten einer Ungleichung zu addieren oder von beiden Seiten zu subtrahieren. Sehen wir uns zwei Beispiele an, bei denen diese Regel ausreicht, um die Lösungsmenge anzugeben: Beispiel 1: Um die Ungleichung 2x 3 < x + 1 zu vereinfachen, können wir so vorgehen: 2x 3 < x + 1 x zu beiden Seiten x addieren (d.h. x subtrahieren) x 3 < zu beiden Seiten 3 addieren x < 4 (9a) (9b) (9c) Die resultuierende Ungleichung (9c) ist so einfach, dass sie die Lösungsmenge direkt angibt. Sie besteht aus allen reellen Zahlen, die kleiner als 4 sind. Wir können sie in der Form L = { x x < 4 } (10) anschreiben und lesen dies als "L ist die Menge aller (reellen Zahlen) x, für die gilt: x < 4". Daher sind beispielsweise die Zahlen 1/2 und 3 Lösungen, aber die Zahlen 5 und 20/3 nicht. Der Wert 4 liegt genau an der Grenze zwischen den Lösungen und den Nicht-Lösungen: Er stellt selbst keine Lösung dar (denn 4 ist nicht kleiner als 4, oder anders ausgedrückt: 4 < 4 ist eine falsche Aussage), aber jede kleinere Zahl ist Lösung, jede größere nicht. Auf der Zahlengeraden nimmt die Lösungsmenge die Form einer Halbgeraden an, die wir grafisch so darstellen können:

5 5 von :30 Weitere Angebote von mathe online zum Thema: Interaktive Tests zum Thema Ungleichungen Zum Seitenanfang Zum Lexikon Zur Galerie Zum Inhaltsverzeichnis der Mathematischen Hintergründe Zu den interaktiven Tests Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen Zur Welcome Page

Was ist eine Gleichung?

Was ist eine Gleichung? Was ist eine Gleichung? Eine Gleichung ist eine Behauptung. Allerdings nicht irgendeine Behauptung, sondern die Behauptung, dass zwei Dinge gleich sind. Die zwei ''Dinge'' enthalten ein oder mehrere Symbole

Mehr

Ungleichungen. Franz Embacher

Ungleichungen. Franz Embacher mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Ungleichungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at WWW: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen):

Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen): Prof. U. Stephan WiIng 1. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben und prüfen Sie, ob Sie Lücken dabei haben. Bestimmen Sie jeweils die

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.

Mehr

Gleichungen, Ungleichungen, Beträge

Gleichungen, Ungleichungen, Beträge KAPITEL 2 Gleichungen, Ungleichungen, Beträge Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung x + 2 x 2 4 = 1. Nach Multiplikation beider Seiten mit x 2 4 ergibt sich die quadratische Gleichung x + 2

Mehr

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN:

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN: Leseprobe Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN: 978-3-446-42066-3 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42066-3 sowie

Mehr

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. ISBN (Buch):

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. ISBN (Buch): Leseprobe Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN (Buch): 978-3-446-43798-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-43628-2 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43798-2

Mehr

Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN

Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN Schule Thema Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN Unterlagen LehrerInnenteam Sehr oft treten in der Mathematik

Mehr

Wurzelgleichungen. 1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? 1.2 Lösen einer Wurzelgleichung. 1.3 Zuerst die Wurzel isolieren

Wurzelgleichungen. 1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? 1.2 Lösen einer Wurzelgleichung. 1.3 Zuerst die Wurzel isolieren 1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? Wurzelgleichungen Beispiel für eine Wurzelgleichung Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung bei der in mindestens einem Radikanten (Term unter der Wurzel) die Unbekannte

Mehr

6 Gleichungen und Gleichungssysteme

6 Gleichungen und Gleichungssysteme 03.05.0 6 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN Mathematische Gleichungen ergeben sich normalerweise aus einem textlichen Problem heraus. Hier folgt nun ein zugegebenermaßen etwas künstliches Problem:

Mehr

Kapitel 7: Gleichungen

Kapitel 7: Gleichungen 1. Allgemeines Gleichungen Setzt man zwischen zwei Terme T 1 und T 2 ein Gleichheitszeichen (=), so entsteht eine Gleichung! Ungleichung Setzt man zwischen zwei Terme T 1 und T 2 ein Ungleichheitszeichen

Mehr

Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild

Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. Bearbeitet von Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen Bearbeitet von Michael Knorrenschild 1. Auflage 2004. Buch. 176 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22818 4 Format (B x L): 14,6 x 21,2 cm Gewicht: 259 g Weitere

Mehr

Terme und Gleichungen

Terme und Gleichungen Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Ungleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Ungleichungen 3. Ungleichungen mit

Mehr

R. Brinkmann Seite Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

R. Brinkmann  Seite Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 18.0010 Lineare e mit Gleichungen und Variablen Ein solches besteht aus zwei Gleichungen. Gesucht ist die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. Es gibt unterschiedliche

Mehr

Basistext Lineare Gleichungssysteme. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=%

Basistext Lineare Gleichungssysteme. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=% Basistext Lineare Gleichungssysteme Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=% Mit zwei Unbekannten gibt es die allgemeine Form:! #+% '=( Gelten mehrere dieser Gleichungen

Mehr

Zahlen und Funktionen

Zahlen und Funktionen Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen

Mehr

1.9 Ungleichungen (Thema aus dem Gebiet Algebra)

1.9 Ungleichungen (Thema aus dem Gebiet Algebra) 1.9 Ungleichungen (Thema aus dem Gebiet Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Ungleichungen 2 2 Intervalle 2 3 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen 3 4 Doppelungleichungen 5 4.1 Verfahren, um Doppelungleichungen

Mehr

Zusammenfassung: Stichworte: Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen (1)

Zusammenfassung: Stichworte: Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen (1) 1 von 12 21.05.2015 14:02 Zusammenfassung: Gleichungen sind ''Behauptungen''. Für manche Werte der Unbekannten stellen sie wahre Aussagen dar. Diese Werte heißen Lösungen. Einfache Gleichungen können durch

Mehr

1 x. Eine kurze Erinnerung an die Definition der Betragsfunktion:

1 x. Eine kurze Erinnerung an die Definition der Betragsfunktion: Wie rechne ich mit Ungleichungen? Die do s und don t s mit Beispielen aus der Miniklausur Lukas Steenvoort Addition und Subtraktion 1 ) Dies funktioniert ähnlich wie bei Gleichungen addieren wir denselben

Mehr

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten Polynomgleichungen Gesetzmäßigkeiten Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht

Mehr

Grundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Grundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Grundwissensblatt 8. Klasse IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Alle linearen Gleichungen der Form a + by = c (oder auch y = m + t) erfüllen:

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14. Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14. Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen ARBEITSBLATT 14 Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen Zunächst einmal können wir die Lösungen einer Ungleichung auf mehrere Arten angeben. Man kann wählen zwischen einer Ungleichungskette,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Poelchau-Oberschule Berlin A. Mentzendorff September 2007 Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Das Lösungsverfahren von Gauß 4 3 Kurzschreibweise und Zeilensummenkontrolle 6 4

Mehr

Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme

Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme MAC.05043UB/MAC.05041PH, VU im SS 2017 http://imsc.uni-graz.at/pfeiffer/2017s/linalg.html Christoph GRUBER,

Mehr

Gruber I Neumann. Erfolg in VERA-8. Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium

Gruber I Neumann. Erfolg in VERA-8. Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium Gruber I Neumann Erfolg in VERA-8 Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium . Zahlen Zahlen Tipps ab Seite, Lösungen ab Seite 0. Zahlen und Zahlenmengen Es gibt verschiedene Zahlenarten, z.b. ganze

Mehr

Brückenkurs Elementarmathematik

Brückenkurs Elementarmathematik Brückenkurs Elementarmathematik IV. Ungleichungen November 13, 2013 Inhalt 1 Ungleichungen 2 Umformungen von Ungleichungen 2.1 Äquivalenzumformungen 2.2 Addition und Multiplikation von Ungleichungen 3

Mehr

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine

Mehr

Analytische Behandlung von Ungleichungen mit Beträgen

Analytische Behandlung von Ungleichungen mit Beträgen Abbildungsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analytische Behandlung von Ungleichungen mit Beträgen 1 Aufgabe 1: < 1 Link: Schematische Darstellung des Lösungsweges Die folgenden Abhandlungen bieten zusätzliche

Mehr

ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil Klasse 8 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Datei Nr. 40 Friedrich W. Buckel Dezember 005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt DATEI 40 Grundlagen und ein

Mehr

Jürgen Roth. Didaktik der Algebra. Modul 5. Jürgen Roth Didaktik der Algebra

Jürgen Roth. Didaktik der Algebra. Modul 5. Jürgen Roth Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra Modul 5 4.1 Inhalt Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen 4.2 Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.3 Inhalt Kapitel 4: Gleichungen

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Mehr

Quadratische Ungleichungen lösen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen (Übungsvideo)

Quadratische Ungleichungen lösen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen (Übungsvideo) Arbeitsblätter zum Ausdrucken von sofatutor.com Quadratische Ungleichungen lösen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen (Übungsvideo) 2 Gib an, wie du allgemein eine quadratische Ungleichung lösen kannst.

Mehr

8.1 Proportionalität. 8.2 Funktionen Proportionale Zuordnungen Funktion. P = x y ist der Vorrat von 6000g.

8.1 Proportionalität. 8.2 Funktionen Proportionale Zuordnungen Funktion. P = x y ist der Vorrat von 6000g. Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 8. Klasse 8. Proportionalität 8.. Proportionale Zuordnungen Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfachen der einen Größe das gleiche Vielfache

Mehr

Download. Basics Mathe Gleichungen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen. Michael Franck

Download. Basics Mathe Gleichungen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen. Michael Franck Download Michael Franck Basics Mathe Gleichungen Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Basics Mathe Gleichungen Einfach und einprägsam

Mehr

Grundwissen Mathematik 6/1 1

Grundwissen Mathematik 6/1 1 Grundwissen Mathematik 6/ Formveränderung von Brüchen Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der selben Zahl multiplizieren. a ac = b bc Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch

Mehr

Quadratische Gleichungen Grundlagen Was sollte bekannt sein? Anwendungsaufgaben Wo braucht man denn so etwas?

Quadratische Gleichungen Grundlagen Was sollte bekannt sein? Anwendungsaufgaben Wo braucht man denn so etwas? Quadratische Gleichungen Grundlagen Was sollte bekannt sein? Einführung Was sind quadratische Gleichungen? Lösungsverfahren Wie löse ich die verschiedenen Typen? Anwendungsaufgaben Wo braucht man denn

Mehr

Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren

Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren oder: Wie rechnet eigentlich der TI 84, wenn lineare Gleichungssysteme gelöst werden? Hier wird an einem Beispiel das Gaußsche Verfahren zum

Mehr

60 = 8x 4 8x 4 = x = x = x 8 = 56 8 x = 7

60 = 8x 4 8x 4 = x = x = x 8 = 56 8 x = 7 ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger Gleichungen lösen durch Umformen Zum Lösen der Gleichung werden Äquivalenzumformungen angewendet. Das heißt, man muss auf beiden Seiten der Gleichung

Mehr

Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen

Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen Geradengleichungen und lineare Funktionen Lese- und Lerntext für Anfänger Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen Geraden schneiden Auch über lineare Gleichungssystem

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13 4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:

Mehr

Lineare Gleichungen in einer Variablen

Lineare Gleichungen in einer Variablen Unterrichtsfach Lehrplan HAK: Mathematik und angewandte Mathematik 1. HAK (1. Jahrgang) 1. AUL (1. Jahrgang) Lehrplan HLW: Mathematik und angewandte Mathematik 1. HLW (1. Jahrgang) Lehrplan HTL: Mathematik

Mehr

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de

Mehr

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE ) VARIABLE Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 0 cm. Gib Länge und Breite des Rechtecks in einer Formel an. Es ist natürlich leicht

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Lineare Funktionen. Die lineare Funktion

Lineare Funktionen. Die lineare Funktion 1 Die lineare Funktion Für alle m, t, aus der Zahlenmenge Q heißt die Funktion f: x m x + t lineare Funktion. Die Definitionsmenge ist Q (oder je nach Zusammenhang ein Teil davon). Der Graph der linearen

Mehr

= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen.

= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen. Gleichungen Eine Gleichung ist eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch Mathematische Symbol ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitssymbol = symbolisiert G : = T 2 Definitionsmenge

Mehr

VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA

VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Dienstag: (Un)Gleichungen in einer Variable, Reelle Funktionen Reelle Funktionen und Lineare Gleichungen. Funktionen sind von

Mehr

6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen

6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen 6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung in einer Variablen ist eine Gleichung der Form ax + b = cx + d mit festen Zahlen a und c mit a c. Dies kann man

Mehr

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum Institut Stochastik, Fernstudienzentrum Vorkurs Mathematik die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im Herbst 01 Präsenzwoche Übungsaufgaben zum Thema Zahlbereiche Aufgabe 7 Im Yellowstone Nationalpark

Mehr

1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:

1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS017/18 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 3x+4y 1}.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Anna Heynkes 4.11.2005, Aachen Enthält eine Gleichung mehr als eine Variable, dann gibt es unendlich viele mögliche Lösungen und jede Lösung besteht aus so

Mehr

Parabeln und quadratische. Gleichungen. 3.1 Die Gleichung y = ax 2

Parabeln und quadratische. Gleichungen. 3.1 Die Gleichung y = ax 2 Parabeln und quadratische Gleichungen In Klasse 7 hast du schon Geraden und Hperbeln als Funktionsgraphen kennen gelernt. Jetzt lernst du eine weitere Kurve kennen, und zwar die Parabel, zunächst aber

Mehr

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen 1/10 Quadratische Gleichungen Teil 1 Grundlagen Lehrstoff Gleichungen und Gleichungssysteme - Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen in einer Variablen Inhalt Quadratische

Mehr

Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik

Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik Lineare Algebra Analytische Geometrie I* Übungsaufgaben, Blatt Musterlösungen Aufgabe. Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Zeige: i A B C =

Mehr

Terme sind beliebige (sinnvolle) Zusammenstellungen von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern.

Terme sind beliebige (sinnvolle) Zusammenstellungen von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern. Terme sind beliebige (sinnvolle) Zusammenstellungen von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern. Beispiele: 7 110 13 (42 + 15) 2 4 + 1 1. Rechne aus. (Zahlenwert der Terme ermitteln) 420 + 105

Mehr

= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b)

= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b) GLEICHUNGEN Gleichungslehre Bisher haben Sie Aufgaben kennen gelernt, bei denen eine Rechenoperation vorgegeben war und Sie das Ergebnis berechnen sollten. Nach dem Gleichheitszeichen war dann das Ergebnis

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung

Mehr

2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a

2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a 2.3 Logarithmus Bsp. Seite 84 mitte: Wie lange muss man Fr. 10 000.- zu 5,1% anlegen, um Fr. 16 000.- zu erhalten? Lösen Sie die Zinseszinsformel nach q n auf Aus q n erfolgt die Berechnung von n mittels

Mehr

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt: 1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht

Mehr

Monotonie von Folgen

Monotonie von Folgen Monotonie von Folgen W. Kippels 1. April 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Die Grundlagen 2 1.1 Die Definitionen................................ 2 1.2 Bedeutung der Definitionen......................... 2 1.3

Mehr

Mathplan 7.10 Arithmetik/Algebra : Gleichungen und Ungleichungen

Mathplan 7.10 Arithmetik/Algebra : Gleichungen und Ungleichungen Mathplan 7.10 Arithmetik/Algebra : Gleichungen und Ungleichungen Name: Hilfsmittel : Algebra 1 (S. 34-41) Sachrechnen 1 Zeitvorschlag: 3 Wochen von: bis Lernkontrolle am: 4x = 10 1. Grobziele: Ich kenne

Mehr

Download. Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen.

Download. Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen. Download Michael Franck Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Basics Mathe Gleichungen

Mehr

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2010 9. April 2010 Eine Maximumsaufgabe Eine Firma stellt aus

Mehr

Lineare Gleichungssystem

Lineare Gleichungssystem Lineare Gleichungssystem 8. Juli 07 Inhaltsverzeichnis Einleitung Der Gauß-Algorithmus 4 3 Lösbarkeit von Gleichungssystemen 6 Einleitung Wir haben uns bisher hauptsächlich mit dem Finden von Nullstellen

Mehr

Betragsungleichungen

Betragsungleichungen GS -..5 - h_betragsungl.mcd Betragsungleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 2. Semester ARBEITSBLATT 6 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 2. Semester ARBEITSBLATT 6 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6. Semester ARBEITSBLATT 6 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN Zur Wiederholung nehmen Sie bitte die Unterlagen des 1. Semesters zur Hand. Beispiel: Berechne x: x

Mehr

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen

Mehr

Kapitel 3. Kapitel 3 Gleichungen

Kapitel 3. Kapitel 3 Gleichungen Gleichungen Inhalt 3.1 3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen x 2 2 + y 2 2 3.2 3.2 Verfahren zur zur Lösung von von Gleichungen 3x 3x + 5 = 14 14 3.3 3.3 Gleichungssysteme Seite 2 3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen

Mehr

Das Lösen linearer Gleichungssysteme

Das Lösen linearer Gleichungssysteme Das Lösen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungen Die Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b ist eine lineare Gleichung in den n Variablen x 1, x 2,..., x n. Die Zahlen a 1, a 2,..., a n

Mehr

Variable (Verwendete Literatur: Malle, Vollrath, Heidelberger Gruppe, Lehrbücher Neue Wege, Lambacher-Schweizer).

Variable (Verwendete Literatur: Malle, Vollrath, Heidelberger Gruppe, Lehrbücher Neue Wege, Lambacher-Schweizer). Didaktik der Algebra und Analysis SS 2011 Bürker, 24. 5. 2011 3. Algebra 3.1 Historische Bemerkungen Variable (Verwendete Literatur: Malle, Vollrath, Heidelberger Gruppe, Lehrbücher Neue Wege, Lambacher-Schweizer).

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Inhaltsverzeichnis Mathematik

Inhaltsverzeichnis Mathematik 1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)

Mehr

Thema aus dem Bereich Algebra lineare Gleichungen und Ungleichungen

Thema aus dem Bereich Algebra lineare Gleichungen und Ungleichungen Thema aus dem Bereich Algebra - 1.1 lineare Gleichungen und Ungleichungen Inhaltsverzeichnis 1 allgemeine Gleichungen 2 2 lineare Gleichungen mit einer Variabeln 2 3 allgemeingültige und nichterfüllbare

Mehr

Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen (R) Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große

Mehr

6. Gleichungen und Ungleichungen

6. Gleichungen und Ungleichungen 6. Gleichungen und Ungleichungen 6.Z Zusammenfassung Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme unter Verwendung des Gleichheitszeichens " = " gleichgesetzt werden: T 1 = T 2. Eine Gleichung ohne Variablen

Mehr

Demo-Text für Klasse 5 Einfache Gleichungen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

Demo-Text für  Klasse 5 Einfache Gleichungen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Klasse 5 Einfache Gleichungen Intuitiver Zugang ohne große Gleichungslehre Datei Nr. 10013 Stand 10. April 2016 Demo-Text für FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 10013 Einfache Gleichungen

Mehr

INHALTSVERZEICHNIS. Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht. A. Grundbegriffe der Mengenlehre. 1.

INHALTSVERZEICHNIS. Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht. A. Grundbegriffe der Mengenlehre. 1. INHALTSVERZEICHNIS 10 13 14 Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht A. Grundbegriffe der Mengenlehre 15 16 17 17 20 21 22 25 28 33 35 36 36 44 46 49 50 52 53 56 56

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x)

Mehr

Mathematik Lineare Gleichungssysteme Grundwissen und Übungen

Mathematik Lineare Gleichungssysteme Grundwissen und Übungen Mathematik Lineare Gleichungsssteme Grundwissen und Übungen Stefan Gärtner 00-00 Gr Mathematik Lineare Gleichungsssteme Seite Lineare Gleichung: a + b c ( a,b R) ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen

Mehr

Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl.

Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 1 by Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 014 Übungskapitel Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse) Verschiedene Lösungsmethoden von quadratischen

Mehr

Gleichungen (und Ungleichungen)

Gleichungen (und Ungleichungen) Gleichungen (und Ungleichungen) Äquivalente Umformungen Bruchgleichungen Wurzel-, Logarithmen- und Exponentialgleichungen Betragsgleichungen Gleichungen mit Parametern 1 Allgemeines über Gleichungen Gleichungen

Mehr

Lineare Zusammenhänge

Lineare Zusammenhänge Kapitel 2 Lineare Zusammenhänge Ein linearer Term mit einer unbekannten Variablen ist von der Form m x+b, wobei m und b jeweils Zahlen oder Parameter sind und x für eine Variable steht, deren Wert noch

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen

Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Lösen linearer Gleichungssysteme

Lösen linearer Gleichungssysteme Lösen linearer Gleichungssysteme W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Die beschriebenen Verfahren 2 2 Einsetzungsverfahren 3 3 Additions-/Subtraktionsverfahren 5 4 Gleichsetzungsverfahren 8

Mehr

Ziele beim Umformen von Gleichungen

Ziele beim Umformen von Gleichungen Ziele beim Umformen von Gleichungen für GeoGebraCAS Letzte Änderung: 29. März 2011 1 Überblick 1.1 Zusammenfassung Beim Lösen von Gleichungen ist besonders darauf zu achten, dass Schüler/innen den Äquivalenzumformungen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Dr. H. Macholdt 7. September 2005 1 Motivation Viele Probleme aus dem Bereich der Technik und der Naturwissenschaften stellen uns vor die Aufgabe mehrere unbekannte Gröÿen gleichzeitig

Mehr

Lineare Gleichungssysteme Basis

Lineare Gleichungssysteme Basis Lineare Gleichungssysteme Basis Graphische Lösung von Gleichungen Regel Gegeben sind zwei Gleichungen von zwei Funktionen. Die Lösung dieses Systems ist gleich dem Schnittpunkt beider Graphen. Verlaufen

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen 3. Algebraische Grundlagen 3.1. Termumformungen Begriff Term: mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen oder Klammern besteht Termumformungen dienen der Vereinfachung von komplexen

Mehr

x 4, t 3t, y 2y y 4, 5z 3z 1 2z 4, usw. Jede quadratische Gleichung kann durch elementare Umformungen auf die Form

x 4, t 3t, y 2y y 4, 5z 3z 1 2z 4, usw. Jede quadratische Gleichung kann durch elementare Umformungen auf die Form 14 14.1 Einführung und Begriffe Gleichungen, in denen die Unbekannte in der zweiten Potenz vorkommt, heissen quadratische Gleichungen oder Gleichungen zweiten Grades. Beispiele: 4, t 3t, y y y 4, 5z 3z

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Basisaufgabe zum selbstständigen Lernen Löse die folgenden Gleichungen in deinem Heft. Notiere jeweils deine Lösungsschritte und gib

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe

Mehr

12 Lineare Gleichungssysteme

12 Lineare Gleichungssysteme 12 12.1 Einführung Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die verschiedene Variablen enthalten können. Wir werden uns im Wesentlichen auf Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Mehr

Umgekehrter Dreisatz Der umgekehrte Dreisatz ist ein Rechenverfahren, das man bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen anwenden kann.

Umgekehrter Dreisatz Der umgekehrte Dreisatz ist ein Rechenverfahren, das man bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen anwenden kann. Dreisatz Der Dreisatz ist ein Rechenverfahren, das man bei proportionalen Zuordnungen anwenden kann. 3 Tafeln Schokolade wiegen 5 g. Wie viel Gramm wiegen 5 Tafeln? 1. Satz: 3 Tafeln wiegen 5 g.. Satz:

Mehr