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1 1 von :30 Zusammenfassung: Eine Ungleichung ist die "Behauptung", dass ein Term kleiner, größer, kleiner-gleich oder größer-gleich einem andereren Term ist. Beim Auffinden der Lösungsmenge einer Ungleichung können ähnliche Techniken verwendet werden wie beim Gleichungslösen. Allerdings gibt es auch wichtige Unterschiede. So führen gewisse Typen von Ungleichungen auf Fallunterscheidungen. Die Rückführung auf Gleichungen und der Einsatz eines Funktions-Plotters sind mächtige Lösungsverfahren. Ungleichungen besitzen typischerweise unendlich viele Lösungen. Lösungsmengen von Ungleichungen und Ungleichungssystemen in einer oder zwei Variablen können grafisch als Teilmengen der Zahlengeraden bzw. der Zeichenebene dargestellt werden. Stichworte: Gleichungen und Ungleichungen Lösungsmenge Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen einfache Umformungen von Ungleichungen Äquivalenzumformungen Addition eines Terms Intervalle als Lösungsmengen Multiplikation mit einem Term Fallunterscheidungen Ungleichungen mit Bruchtermen Definitionsmenge Betragsungleichungen Rückführung auf Gleichungen Methode der Zwischenpunkte eine quadratische Ungleichung Methode der Schlupfvariablen Ungleichungen grafisch lösen Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme in zwei Variablen lineare Ungleichungen in zwei Variablen lineare Ungleichungssysteme in zwei Variablen Zahlenpaare als Lösungen Halbebene als Lösungsmenge offene Menge ein anderer Typ von Ungleichungssystemen Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen Die Entwicklung dieses Kapitels wurde gefördert von der Stadt Wien im Rahmen des Projekts Blended Learning für Mathematik in der Studieneingangsphase Wie war das nochmal mit den Gleichungen? Eine Gleichung ist die Behauptung, dass zwei Terme, die eine (oder mehrere) Variable enthalten, gleich sind. Hier ein ganz einfaches Beispiel: 2x + 3 = 7. (1) Wird irgendein Zahlenwert für x eingesetzt, so entsteht in der Regel eine falsche Aussage. Falls sich aber für einen bestimmten Zahlenwert eine wahre Aussage ergibt, so nennen wir diesen Zahlenwert eine Lösung der Gleichung. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge.

2 In den einfachsten Fällen, wie etwa im Fall der Gleichung (1), kann die Lösungsmenge ohne großen Aufwand durch ein bisschen Nachdenken gefunden werden: Wenn 2x um 3 vermehrt die Zahl 7 ergeben soll, so muss offenbar 2x gleich 4 sein. Da aber nun das Doppelte des gesuchten Werts von x gleich 4 ist, ist x gleich der Hälfte von 4, womit die (einzige) Lösung gefunden wurde: x = 2. Die Lösungsmenge können wir in der Form L = {2} anschreiben. Sie besitzt nur ein einziges Element. Anhand derart einfacher Gleichungen können wir uns ein grundsätzliches Bild davon machen, was eine Gleichung ist und was es bedeutet, die Lösungsmenge zu finden. Um kompliziertere Gleichungen wie etwa 2x + 4 = 19 3x (2) zu lösen, steht eine Reihe von Methoden zur Verfügung, von denen einige im Gleichungskapitel besprochen wurden. Die wichtigsten bestehen darin, mit der linken und der rechten Seite einer Gleichung das Gleiche zu machen, um damit eine andere Gleichung zu finden, die die gleiche Lösungsmenge wie die ursprüngliche Gleichung besitzt (d.h. zu ihr äquivalent ist), aber eine einfachere Form hat. Wer mit diesen Methoden ein bisschen Routine hat, kann sie entweder zielgerichtet anwenden oder zumindest einige Möglichkeiten durchprobieren, um ans Ziel zu gelangen. Aufgrund der festen Regeln, wie derartige Äquivalenzumformungen durchgeführt werden können, hat ein Gleichungsproblem dann weniger den Charakter einer Denksportaufgabe, sondern einigermaßen kann systematisch angegangen werden. Ein möglicher Lösungsweg für Gleichung (2) ist dieser: 2x + 4 = 19 3x + 3x zu beiden Seiten 3x addieren 5x + 4 = 19 4 von beiden Seiten 4 subtrahieren 5x = 15 : 5 beide Seiten durch 5 dividieren x = 3 das ist die (einzige) Lösung! (3a) (3b) (3c) (3d) Beachten Sie, dass alle Gleichungen, die hier auftreten, von (3a) bis (3d), zu (2) äquivalent sind. Erfüllt ein Wert für x eine von ihnen, so erfüllt er auch alle anderen! Ausgehend von Gleichung (3d), die uns ja direkt die Lösung sagt, können Sie alle durchgeführten Umformungsschritte umkehren, um wieder zu (2) zu gelangen. Wollen Sie die Probe machen, um sicherzugehen, dass sich kein Fehler eingeschlichen hat, so setzen Sie einfach x = 3 in (2) ein und erhalten = , was sich auf die (wahre) Aussage 10 = 10 reduziert. Die Lösungsmenge von (2) ist L = {3}. Mit Ungleichungen, die wir in diesem Kapitel behandeln wollen, verhält es sich in mancher Hinsicht genauso wie mit Gleichungen. (Wenn Sie nicht sicher sind, sich an das Gleichungslösen und an die Bedeutung des Begriffs Äquivalenzumformung richtig zu erinnern, lesen Sie dies bitte im Gleichungskapitel nach!) Insbesondere die grundsätzliche Logik ist die gleiche: Eine Ungleichung ist eine Behauptung, die von einer (oder mehreren) Variablen abhängt. Allerdings behauptet sie nicht, dass zwei Terme gleich sind, sondern dass ein Term größer oder kleiner (oder größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Term ist. Beispiel: 2x + 3 > 7. (4) Variablenwerte, die eine Ungleichung erfüllen (d.h. die zu einer wahren Aussage führen, wenn sie in die Ungleichung eingesetzt werden), stellen Lösungen dar. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge. Einfache Ungleichungen können ohne großartigen Formalismus durch ein bisschen Nachdenken (nach Art einer Denksportaufgabe) gelöst werden. Beispiel: Schaffen Sie das im Fall der Ungleichung (4)? (Die richtige Antwort lautet: Die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlen x, die größer als 2 sind!) Es gibt Verfahren (Äquivalenzumformungen), die gewissen Regeln genügen und systematisch angewandt uns beim Auffinden der Lösungsmenge helfen. Um sicher zu gehen, kann für einzelne "Lösungskandidaten" immer die Probe durch Einsetzen gemacht werden. Führt sie auf eine wahre Aussage, so handelt es sich tatsächlich um eine Lösung. Beispiele: Überprüfen Sie, dass x = 5 eine Lösung von (4) ist! 2 von :30

3 3 von :30 Überprüfen Sie, dass x = 3 eine Lösung von (4) ist! Zeigen Sie, dass x = 0 keine Lösung von (4) ist! Ist x = 2 eine Lösung von (4)? Ist x = 1 eine Lösung von (4)? Durch diese vier einfachen Übungen sollten Sie schon ein erstes Gefühl für Ungleichungen bekommen. Allerdings gibt es auch wichtige Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen: Eine Ungleichung besitzt wie auch das einfache Beispiel (4) zeigt in der Regel nicht nur eine, sondern viele (unendlich viele!) Lösungen. Um die Menge all dieser Lösungen angeben (also anschreiben, verbal ausdrücken oder in irgendeiner Form grafisch darstellen) zu können, sind etwas mehr mathematische Kenntnisse nötig als beim Hinschreiben einer einzigen Zahl. Die Regeln zum Umformen von Ungleichungen (Äquivalenzumformungen) sind etwas komplizierter als die Regeln zum Umformen von Gleichungen. Manchmal führen sie auf Fallunterscheidungen. Um die Lösungsmenge einer Ungleichung zu finden, sind dann mehrere vereinfachte Ungleichungen zu lösen und deren Lösungsmengen zu kombinieren. Ungleichungsprobleme werden manchmal von vornherein in Form mehrerer Ungleichungen gestellt, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen (oder was auch vorkommt von denen zumindest eine erfüllt sein soll). In solchen Fällen handelt es sich genau genommen um Ungleichungssysteme, aber diese lassen sich von den Ungleichungen weniger scharf trennen als Gleichungssysteme von Gleichungen. Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kann eine Fallunterscheidung dazu führen, dass mehrere Ungleichungen betrachtet werden müssen. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen. F G Auch wenn wir bisher nicht sehr tief in die Materie eingedrungen sind, sollten Sie jetzt eine Idee davon haben, was eine Ungleichung und was eine Lösung einer Ungleichung ist. Schreiben wir eine ganz komplizierte Ungleichung hin: x 2 2x (1 + x 2 ) 4 < 3x + 4. (5) Wir werden hier nicht lernen, solche Ungetüme durch Umformungen zu lösen. Aber immerhin sollten Sie jetzt in der Lage sein, zu überprüfen, dass x = 0 und x = 1 Lösungen sind, aber dass x = 2 keine Lösung ist! Versuchen Sie es! (Und ob Sie es glauben oder nicht: In einem späteren Abschnitt dieses Kapitels werden wir zeigen, dass es ganz einfach ist, diese Ungleichung zumindest näherungsweise zu lösen!) Sehen wir uns also einige Regeln an, mit deren Hilfe Ungleichungen umgeformt werden können. Unter "einfachen" Umformungen wollen wir solche verstehen, die eine Ungleichung in eine andere Ungleichung überführen. Dabei sollen wir nur solche Umformungen zulassen, die zu einer äquivalenten Ungleichung führt, also zu einer, die die gleiche Lösungsmenge besitzt.wie im Fall der Gleichungen nennen wir sie Äquivalenzumformungen. Als Grundmenge, aus die Variablenwerte stammen dürfen, wollen wir die Menge der reellen Zahlen vereinbaren. Addition eines Terms zu beiden Seiten einer Ungleichung Gehen wir aus von einer Ungleichung der Form A < B. (6) Dabei sind A und B Terme, die von einer Variablen x abhängen können. Die Addition eines beliebigen weiteren Terms C zu beiden Seiten dieser Ungleichung führt auf die Ungleichung

4 4 von :30 A + C < B + C. (7) Falls nun für einen bestimmten Wert von x eine dieser beiden Ungleichungen erfüllt ist, ist automatisch auch die andere erfüllt. Dabei ist es wichtig, zu bedenken, dass für einen konkreten Zahlenwert von x auch die Terme A, B und C zu Zahlen werden. Und für Zahlen sind (6) und (7) klarerweise äquivalent: Dass A < B ist, bedeutet auf der Zahlengeraden, dass A links von B liegt. Eine Addition von C entspricht einer Verschiebung auf der Zahlengeraden (nach rechts, wenn C positiv ist und nach links, wenn C negativ ist). Unter einer gleichzeitigen Verschiebung von A und B bleibt, wie die nebenstehende Skizze zeigt, die Beziehung "liegt links von" aufrecht. Da wir durch Addition von C zu beiden Seiten von (7) zu (6) zurückgelangen, ist diese Art der Umformung umkehrbar. Völlig analoge Argumentationen lassen sich für eine Ungleichung der Form A > B (8a) sowie für Ungleichungen der Form A B (8b) (also "A kleiner oder gleich B", kurz: "A kleiner-gleich B") und A B (8c) (also "A größer oder gleich B", kurz: "A größer-gleich B") durchführen. Wir halten fest: Wird ein Term zu beiden Seiten einer Ungleichung der Form (6), (8a), (8b) oder (8c) addiert, so besitzt die daraus entstehende Ungleichung dieselbe Lösungsmenge wie die gegebene. Ein einfacher Spezialfall besteht darin, eine Zahl zu beiden Seiten einer Ungleichung zu addieren oder von beiden Seiten zu subtrahieren. Sehen wir uns zwei Beispiele an, bei denen diese Regel ausreicht, um die Lösungsmenge anzugeben: Beispiel 1: Um die Ungleichung 2x 3 < x + 1 zu vereinfachen, können wir so vorgehen: 2x 3 < x + 1 x zu beiden Seiten x addieren (d.h. x subtrahieren) x 3 < zu beiden Seiten 3 addieren x < 4 (9a) (9b) (9c) Die resultuierende Ungleichung (9c) ist so einfach, dass sie die Lösungsmenge direkt angibt. Sie besteht aus allen reellen Zahlen, die kleiner als 4 sind. Wir können sie in der Form L = { x x < 4 } (10) anschreiben und lesen dies als "L ist die Menge aller (reellen Zahlen) x, für die gilt: x < 4". Daher sind beispielsweise die Zahlen 1/2 und 3 Lösungen, aber die Zahlen 5 und 20/3 nicht. Der Wert 4 liegt genau an der Grenze zwischen den Lösungen und den Nicht-Lösungen: Er stellt selbst keine Lösung dar (denn 4 ist nicht kleiner als 4, oder anders ausgedrückt: 4 < 4 ist eine falsche Aussage), aber jede kleinere Zahl ist Lösung, jede größere nicht. Auf der Zahlengeraden nimmt die Lösungsmenge die Form einer Halbgeraden an, die wir grafisch so darstellen können:

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