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1 1 von :02 Zusammenfassung: Gleichungen sind ''Behauptungen''. Für manche Werte der Unbekannten stellen sie wahre Aussagen dar. Diese Werte heißen Lösungen. Einfache Gleichungen können durch Anwendung systematischer Methoden gelöst werden. Stichworte: Gleichung Grundmenge Lösung und Lösungsmenge Identitäten Äquivalenzumformungen Lineare Gleichungen Normalform der linearen Gleichung Quadratische Gleichungen Normalform der quadratischen Gleichung p-q-form Kleine Lösungsformel Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat Satz von Vieta (Vietascher Wurzelsatz) Große Lösungsformel kubische, Bruch- und Wurzelgleichungen algebraische Gleichungen diophantische Gleichungen Definitionsmenge Lösungsmethoden kubische Gleichungen Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Der Computer hilft Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen Eine Gleichung in einer Variablen (Unbekannten) x ist eine ''Behauptung'' der Form LinkeSeite = RechteSeite, wobei LinkeSeite und RechteSeite Terme sind, die von x abhängen. Dabei steht x für ein - zunächst beliebiges - Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muß. Wird die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so wird üblicherweise angenommen, daß sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist. Eine Lösung der Gleichung (1) ist ein Element x G, für welches die ''Behauptung'' LinkeSeite = RechteSeite eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein. (1) Falls Sie mit dem Thema Schwierigkeiten haben, hilft Ihnen vielleicht der kleine "Gleichungen - ein erster Überblick" weiter. Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden. Beispiel: x + 2 = 5 über G = R = Menge der reellen Zahlen. Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn x

2 2 von :02 eine reelle Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt. Es gibt nur eine Zahl x, die diese Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung. (Die kurze Schreib- oder Sprechweise dafür ist: ''Die Lösung der Gleichung ist x = 3.'') Die Lösungsmenge ist L = {3}. Beispiel: n + 1 = n über G = N = Menge der natürlichen Zahlen. Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist natürlich für keine Zahl der Fall: die ''Behauptung'' ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. Beispiel: r 2 = 4 über G = R. Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn r eine reelle Zahl ist, deren Quadrat 4 ist. Das ist für die Zahl 2 der Fall, aber auch für die Zahl -2. Die Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. (Das kann abgekürzt als r = ±2 geschrieben werden). Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}. Beispiel: 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 über G = R. Bedeutung: Nach Ausmultiplizieren der Klammer ist ersichtlich, daß diese "Behauptung" immer, d.h. für alle x G, eine wahre Aussage ist. Die Lösungsmenge ist gleich der Grundmenge, L = G. Solche Aussagen haben wir bereits in einem früheren Kapitel kennengelernt: Es sind Identitäten. Von diesem Blickwinkel aus betrachtet, ist eine Identität eine Gleichung, die immer eine wahre Aussage darstellt. Identitäten Zum Seitenanfang Manche Gleichungen lassen sich leicht lösen. Die wichtigste Lösungstechnik besteht darin, Gleichungen so verändern, daß die ''Behauptung'', die sie darstellen, bestehen bleibt. Solche Veränderungen heißen Äquivalenzumformungen. Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke und die rechte Seite einer Gleichung auf gleiche Weise abzuändern. Diese Änderung muß allerdings umkehrbar sein: es muß möglich sein, die ursprüngliche Gleichung durch eine weitere Umformung zurückzugewinnen. Dann enthalten die ursprüngliche und die veränderte Gleichung dieselbe Information (sie sind zueinander ''äquivalent'') und haben dieselbe Lösungsmenge. In der Praxis werden Äquivalenzumformungen benützt, um Gleichungen Schritt für Schritt zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern. Bei linearen Gleichungen gelingt es immer, nach wenigen Schritten zu einer Gleichung zu gelangen, die die Lösung unmittelbar angibt. Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind: Zu beiden Seiten einer Gleichung denselben Term addieren. (Spezialfall: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren). Beide Seiten mit demselben Term (der immer von Null verschieden sein muß) multiplizieren. (Spezialfall: beide Seiten mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch eine solche zu dividieren). All diese Umformungen können wieder rückgängig gemacht werden und verändern den Informationsgehalt einer Gleichung nicht. Im Applet Äquivalenzumformungen können Sie Ihren Blick für äquivalente Gleichungen schärfen. Zur Dokumentation des Lösungswegs ist es üblich, die Veränderungen, die an einer Gleichung im nächsten Schritt vorgenommen werden, rechts

3 3 von :02 davon, nach einem senkrechten Strich, zu notieren. Beispiel: Gegebene Gleichung: 2 x - 3 = x Lösungsweg: 2 x - 3 = x + 3 (zu beiden Seiten wird die Zahl 3 addiert) 2 x = x x (von beiden Seiten wird der Term x subtrahiert) x = 3 (hier haben wir die Lösung!) Dieser Lösungsweg fördert also zusätzlich zur gegebenen Gleichung noch zwei andere Gleichungen zutage, die dieselbe Lösungsmenge besitzen. Alle drei Gleichungen sind gewissermaßen nur ''Versionen'' voneinander. Die letzte Gleichung ist so einfach, daß sie uns die Lösung direkt angibt. Damit haben wir die gegebene Gleichung gelöst. Die Lösungsmenge ist L = {3}. Warnung: Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung! Beispiel: x = 2 ist eine sehr einfache Gleichung mit Lösungsmenge L = {2}. Werden beide Seiten quadriert, ergibt sich die Gleichung x 2 = 4. (Diese haben wir oben in der Form r 2 = 4 bereits als Beispiel angeführt). Sie hat die Lösungsmenge L = {-2, 2}. Also: die Gleichungen x = 2 und x 2 = 4 haben nicht dieselbe Lösungmenge! Warnung: Beide Seiten einer Gleichung mit Null zu multiplizieren ist keine Äquivalenzumformung, denn dies macht aus jeder Gleichung die Aussage 0 = 0, woraus die ursprüngliche Gleichung nicht wieder zurückgewonnen werden kann. Aus ihr kann auch keinerlei Rückschluß auf die Lösung(en) der ursprünglichen Gleichung gezogen werden. Zum Seitenanfang Eine lineare Gleichung (in der Variablen x) ist eine Gleichung der Form A x + B = C x + D, wobei A, B, C und D vorgegebene (bekannte) Zahlen sind. Lineare Gleichungen werden manchmal auch Gleichungen erster Ordnung genannt. In den folgenden Betrachtungen wollen wir als Grundmenge die Menge R der reellen Zahlen annehmen. Drei Beispiele für lineare Gleichungen: 3 x + 2 = x - 1 (hier ist A = 3, B = 2, C = 1 und D = -1) x + 3 = x (hier ist A = 1, B = 3, C = 1 und D = 0) x - 1 = 0 (hier ist A = 1, B = -1, C = 0 und D = 0) (2) Typische Situationen Manchmal vereinfachen sich Gleichungen, die zunächst recht kompliziert aussehen, durch Äquivalenzumformungen zu linearen Gleichungen. Ein Beispiel: Gegebene Gleichung: ( x + 1 ) 2 = x Lösungsweg: Zuerst Auflösen der Klammer auf der linken Seite. x x + 1 = x x 2 2 x + 1 = x = 4 : 2 x = 2 womit sie gelöst ist. Da die x 2 -Terme weggefallen sind, ist die Gleichung (obwohl sie zu Beginn gar nicht danach aussah) linear. rationale Zahlen Wie man anhand der Gleichung x = x + 1 sieht, kann es vorkommen, daß die

4 4 von :02 Lösungsmenge einer linearen Gleichung leer ist. Wie man anhand der Gleichung 2 x + 1 = 2 x + 1 (die ja für jede Zahl eine wahre Aussage darstellt), sieht, kann es vorkommen, daß die Lösungsmenge gleich der ganzen Grundmenge ist. Eine lineare Gleichung kann also auch unendlich viele Lösungen haben! Normalform der linearen Gleichung Jede lineare Gleichung kann - durch Äquivalenzumformungen - auf die Form a x + b = 0 gebracht werden, wobei a und b fixe (bekannte) Zahlen sind. Über der Grundmenge G = R ergibt sich folgendes Schema: Ist a = 0 und b = 0, so ist L = R (jede reelle Zahl ist Lösung). Ist a = 0 und b 0, so ist L = { } (es gibt keine Lösung). Ist a 0, so ist L = {- b/a} (es gibt genau eine Lösung, nämlich x = - b/a). (3) Lineare Gleichungen über G = R haben also entweder keine Lösung oder eine einzige Lösung oder werden von allen reellen Zahlen gelöst. Kein anderer Fall kann auftreten! Aus diesem Resultat können wir übrigens schließen, daß die Lösung einer linearen Gleichung der Form (3), für die a und b ganze Zahlen sind (und a 0), eine Bruchzahl (rationale Zahl) ist. Beispiel: 6 x + 4 = 0 hat die Lösung x = - 4 / = - 2 / (Kürzen!) 6 3 Als Spezialfall kann sich eine ganze Zahl als Lösung ergeben. Beispiel: 2 x - 6 = 0 hat die Lösung x = 6 / = 3 (Kürzen!) 2 Zum Seitenanfang Eine quadratische Gleichung (auch Gleichung zweiter Ordnung genannt) ist eine Gleichung von der Form a x 2 + b x + c = 0, bzw. eine, die auf diese Form gebracht werden kann. Dabei sind a, b und c fixe (bekannte) Zahlen (sie heißen Koeffizienten der Gleichung) und a 0. (Wäre a = 0, wäre die Gleichung ja in Wahrheit eine lineare). Da a 0 ist, kann man beide Seiten der Gleichung durch a dividieren. Mit den Bezeichnungen b/a = p und c/a = q ergibt sich, daß eine quadratische Gleichung auch immer in der Form x 2 + p x + q = 0 geschrieben werden kann. (Dies kann man auch als Normalform der quadratischen Gleichung bezeichnen. Manchmal wird sie auch p-q-form genannt. Die Zahlen p, q heißen Koeffizienten der Gleichung in Normalform oder Parameter. Sie "numerieren" gewissermaßen die Menge aller quadratischen Gleichungen durch: Für jede konkrete Wahl dieser Zahlen ist (5) eine quadratische Gleichung). Als Grundmenge G wollen wir die Menge R der rellen Zahlen annehmen. (4) (5)

5 5 von :02 Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind: x 2 = 1 (sie besitzt zwei reelle Lösungen: ±1) x 2 = 0 (sie besitzt eine reelle Lösung: 0) x 2 = -1 (sie besitzt keine reelle Lösung) Diese drei Beispiele charakterisieren, was auch in allgemeineren Fällen passieren kann. (Aufgabe: Bringen Sie sie in ihre jeweilige Normalform! Antworten: x 2-1 = 0, das entspricht p = 0 und q = -1, x 2 = 0, das entspricht p = 0 und q = 0, x = 0, das entspricht p = 0 und q = 1.) Kleine Lösungsformel Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der Normalform (5) vorliegt, gibt es eine handliche Formel, die sogenannte (kleine) Lösungsformel. Sie lautet x 1,2 = - p/2 ± p 2 /4 - q. (6) Sie ist so wichtig, daß Sie wissen sollten, wo sie herkommt (der Beweis benützt die Methode des Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat, siehe nebenstehenden Button). Außerdem sollten Sie versuchen, sie sich auswendig zu merken. Sie hat folgende Bedeutung: Je nachdem, ob p 2 /4 - q (also die Zahl unter dem Wurzelzeichen) negativ, 0 oder positiv ist, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. Ist p 2 /4 - q < 0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl. Da man (im Rahmen der reellen Zahlen) die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann, gibt es keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. Ist p 2 /4 - q = 0, so steht unter dem Wurzelzeichen 0, und da 0 = 0 ist, gibt es eine einzige Lösung, x = - p/2. Die Lösungsmenge ist L = {-p/2}. Die Lösungsformel gilt insofern, als sie zwei gleiche Zahlen beschreibt: x 1 = x 2 = - p/2. Ist p 2 /4 - q > 0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl. In diesem Fall gibt es zwei reelle Lösungen x und x, die gerade von 1 2 der Lösungsformel angezeigt werden. Die Lösungsmenge ist L = {x, 1 x }, wobei 2 x 1 = - p/2 - x 2 = - p/2 + p 2 /4 - q (7) p 2 /4 - q (8) der Lösungsformel Im Applet Quadratische Gleichungen 1 können Sie den Beweis der Lösungsformel noch einmal als Puzzle durchspielen. Im Applet Quadratische Gleichungen 2 werden drei Lösungsmethoden einander gegenübergestellt. Die Kombination p 2 /4 - q entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie wird Diskriminante genannt.

6 6 von :02 Halten wir fest: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder keine Lösung. Wir werden uns später von einem anderen Blickwinkel mit quadratischen Ausdrücken beschäftigen und einen geometrischen Grund dafür kennenlernen. geometrischer Grund Beachten Sie beim Rechnen, daß die Wurzel aus einer reellen (nichtnegativen) Zahl per Definition immer 0 ist. (So hat etwa 4 nur einen Wert, nämlich 2, während ± 4 für ± 2 steht, d.h. für die zwei Werte - 2 und 2). Wurzel immer 0 Beispiel: Gegebene Gleichung: x 2-5 x + 6 = 0 (das entspricht p = - 5 und q = 6) Die Lösungsformel ergibt x 1,2 = 5/2 ± 25/4-6 = 5/2 ± 1/4. (9) Da unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl auftritt (nämlich 1/4), gibt es zwei reelle Lösungen, und es darf weitergerechnet werden. Die Wurzel aus 1/4 ist gleich 1/2, und daher ergibt sich x = 5/2 ±1/2, also x = 5/2-1/2 = 2 1,2 1 und x = 5/2 + 1/2 = 3. Die Lösungsmenge ist L = {2, 3}. 2 Beispiel: Gegebene Gleichung: x 2-2 = 0 (das entspricht p = 0 und q = - 2) Sie kann als x 2 = 2 geschrieben werden, woraus sich die Lösungen ± 2 ergeben. Die Lösungsformel ist hier also gar nicht notwendig. Wird sie dennoch benützt, so ergibt sich x 1,2 = 0 ± = ± 2 (10) Die Lösungsmenge ist L = {- 2, 2}. Dieses Beispiel illustriert eine Tatsache, die auch aus der Lösungsformel (6) ersichtlich ist: Für ganzzahlige Koeffizienten p, q enthalten die Lösungen Wurzeln aus rationalen Zahlen (d.h. aus Brüchen, die in Spezialfällen ganze Zahlen sein können). Sie sind daher im Allgemeinen irrational. Nur in Einzelfällen (die allerdings häufig als Beispiele ausgewählt werden) sind die auftretenden Wurzeln selbst wieder rational (oder sogar ganzzahlig). rationale und irrationale Zahlen Der Vietasche Satz Unkonventionelle Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 1 und 2 hat! Antwort: Versuchen Sie's mit der Gleichung ( x - 1) ( x - 2 ) = 0. (11) Ohne jede Rechnung ist ersichtlich, daß sie für x = 1 eine wahre Aussage ist (denn dann ist ja der erste der beiden Faktoren Null), und daß sie für x = 2 eine wahre Aussage ist (denn dann ist der zweite der beiden Faktoren Null). Um diesen einfachen Lösungsweg zu verschleiern, multiplizieren wir die Klammer aus und finden ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x 2-3 x + 2. (12)

7 7 von :02 Beachten Sie, daß das keine Gleichung ist, sondern eine Identität. Wir haben hier einfach zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Dies können wir benützen, um die Gleichung (11) in der Form Identitäten x 2-3 x + 2 = 0 (13) anzuschreiben. Die linke Seite ist nach wie vor das Produkt aus x - 1 und x - 2, nur sieht man das jetzt nicht mehr so schnell. Folglich sind die Lösungen die Zahlen 1 und 2. Mit dieser Methode zaubern LehrerInnen quadratische Gleichungen hervor, deren Lösungen sie im Voraus kennen! Hinter diesem Vorgang verbergen sich tiefere Zusammenhänge, die erst nach und nach beim Fortschreiten des Stoffs klarer werden. Um einen kleinen Vorgeschmack davon zu bekommen, wiederholen wir das Argument, legen uns aber jetzt auf die Werte der Lösungen nicht fest, sondern bezeichnen sie lediglich mit x und x. Die quadratische Gleichung, 1 2 die x und x als Lösungen hat, lautet 1 2 quadratische Funktionen ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) = 0. (14) Wieder multiplizieren wir den Term auf der linken Seite aus und erhalten ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) = x 2 - ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2, (15) und wieder ist das eine Identität: zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Daher kann die Gleichung (14) auch in der Form x 2 - ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 (16) angeschrieben werden, und wieder wissen wir ohne weitere Rechnung, daß sie die Lösungen x 1 und x 2 besitzt. Diese Gleichung ist aber nichts anderes als die Normalform (5), d.h. sie ist von der Form x 2 + p x + q = 0, wobei p = - (x 1 + x 2 ) (17) q = x 1 x 2. (18) Man kann die Lösungen, die herauskommen sollen, also vorgeben und sich mit Hilfe dieser Formeln die Gleichung ausrechnen! Diese Aussage heißt Satz von Vieta (auch Vietascher Wurzelsatz genannt). Sie wird üblicherweise in der Form x 1 + x 2 = - p (19) x 1 x 2 = q (20) angeschrieben. In Worten ausgedrückt lautet sie: Falls die quadratische Gleichung x 2 + p x + q = 0 zwei reelle Lösungen x und x hat, so ist die 1 2 Summe der beiden Lösungen - p, und ihr Produkt ist q. Der Satz gilt auch, wenn die Gleichung nur eine Lösung (nämlich -p/2) hat und x = x ( = -p/2) 1 2 gesetzt wird. Man kann den Vietaschen Satz übrigens auch durch direkte Rechnung beweisen, indem die Lösungsformeln für x 1 und x 2 verwendet werden. Direkter des Vietaschen Satzes Beispiel: Die Gleichung x 2-5 x + 6 = 0, die oben bereits betrachtet und gelöst wurde, hat die Lösungen 2 und 3. Deren Summe ist 5 (also gerade das Negative von p = -5) und ihr Produkt ist 6 (also gerade q). Eine der hinter dem Vietaschen Satz liegenden Einsichten ist die Tatsache, Polynome

8 8 von :02 daß jeder Term der Form x 2 + p x + q, sofern er für zumindest eine reelle Zahl x Null ist, als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. (Ein linearer - genauer: linear-inhomogener - Term ist ein Ausdruck der Form a x + b. Er heißt auch Polynom erster Ordnung. Ein Term der Form x 2 + p x + q oder, ein bißchen allgemeiner, a x 2 + b x + c, heißt quadratischer Term oder Polynom zweiter Ordnung). Aufgabe: Schreiben Sie den Term x 2-5 x + 6 als ein Produkt von Linearfaktoren! Antwort: Die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind, wie schon oben berechnet, 2 und 3. Daher gilt die Identität x 2-5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ), was durch Ausmultiplizieren der Klammern überprüft werden kann. Die Beschäftigung mit Gleichungen hat uns also zu einer Methode geführt, wie manche quadratische Ausdrücke in elementarere Bestandteile ''zerlegt'' werden können. Die beiden Linearfaktoren sind so etwas Ähnliches wie die Primfaktoren einer natürlichen Zahl: Die Zahl 35 läßt sich als 5 7 schreiben, wobei 5 und 7 auch als ''Bestandteile'' gedeutet werden können. Primfaktoren Große Lösungsformel Eine quadratische Gleichung kann auch in der Form (4), also a x 2 + b x + c = 0, (21) gegeben sein. Dabei muß, wie bereits festgestellt, a 0 sein, und der Zusammenhang zur Normalform ist durch p = b/a und q = c/a gegeben (was sich nach Division beider Seiten durch a ergibt). Dann lautet die entsprechende (große) Lösungsformel x 1,2 = - b ± b 2-4 a c (22) 2 a Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl b 2-4 a c negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei reelle Lösungen. Die große ergibt sich aus der kleinen Lösungsformel, indem einfach p = b/a und q = c/a eingesetzt wird. Die Kombination b 2-4 a c entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie übernimmt die Rolle, die bei der kleinen Lösungsformel die Kombination p 2 /4 - q gespielt hat und wird, wie diese, Diskriminante genannt. Zum Seitenanfang Neben den linearen und den quadratischen Gleichungen gibt es zahlreiche weitere Typen, etwa: Kubische Gleichungen (Gleichungen dritter Ordnung), wie: 2 x 3-3 x x - 7 = 0 (23) Funktionen dritter Ordnung

9 9 von :02 Bruchgleichungen, wie: x + 3 x - 1 = x + 6 x (24) Wurzelgleichungen, wie: x + 1 = x 2-5 (25) und viele mehr. Einige Namen wollen wir noch erwähnen: Gleichungen, die darin bestehen, ein Polynom gleich Null zu setzen, heißen algebraische Gleichungen. Algebraische Gleichungen erster und zweiter Ordnung sind lineare (s.o.) und quadratische Gleichungen (s.o.). Allgemeinen Betrachtungen über algebraische Gleichungen beliebiger Ordnung ist ein eigenes Kapitel gewidmet. Gleichungen, für die man nur ganzzahlige Lösungen sucht (d.h. für die als Grundmenge G - siehe oben - die Menge Z der ganzen Zahlen angenommen wird), heißen diophantische Gleichungen. algebraische Gleichungen (in Vorbereitung) Exponential- und logarithmische Gleichungen Ein weiterer Typ sind die Exponential- und logarithmische Gleichungen, die ebenfalls später betrachtet werden. All diese Gleichungen können im Prinzip mit ähnlichen Methoden behandelt werden, die wir bereits kennengelernt haben (nicht immer erfolgreich, denn oft läßt sich die Lösung - obwohl sie existiert - nicht mit elementaren Mitteln angeben). Allerdings tritt manchmal eine Problematik auf, die wir noch erwähnen müssen. Definitionsmenge Es kann passieren, daß eine Gleichung nicht für alle Elemente der Grundmenge G einen Sinn ergibt. Falls etwa im Beispiel der Bruchgleichung (24) die Grundmenge als R angenommen wird, so tritt für x = - 6 und x = 0 ein Problem auf: In beiden Fällen wird durch 0 dividiert, was eine Operation darstellt, die gar nicht definiert ist! Für diese beiden Werte von x kann also gar nicht gefragt werden, ob die durch die Gleichung dargestellte ''Behauptung'' wahr oder falsch ist, denn diese Behauptung ist schlicht sinnlos, stellt keine mathematisch wohldefinierte Fragestellung dar. Division durch Null nicht definiert In solchen Fällen hat sich eingebürgert, die problematischen Werte aus der Grundmenge G herauszunehmen und die so entstehende (kleinere) Menge als Definitionsmenge D zu bezeichnen. Nur Elemente dieser Menge kommen als Lösungen in Frage. (Die Idee der Definitionsmenge besteht also darin, jene Werte für x, die eigentlich gar nicht in der Grundmenge enthalten sein sollten, zu verwerfen. Manchmal ist es aber recht schwierig, sie zu ermitteln. Daher wird mit gutem Grund zwischen den beiden Mengen G und D unterschieden). Der Name der Definitionsmenge rührt daher, daß sie jene Elemente der Grundmenge enthält, für die beide Seiten der Gleichung wohldefiniert sind.

10 10 von :02 Im Fall der Bruchgleichung (24) mit G = R ist D = R \ {- 6, 0}, oder, anders angeschrieben, D = {x R x - 6 und x 0}, denn für x = - 6 ist die linke Seite nicht definiert, und für x = 0 ist die rechte Seite nicht definiert. Ganz allgemein gilt für Bruchgleichungen: die auszuschließenden Werte sind gerade jene, für die zumindest ein Nenner Null wird (was natürlich selbst wieder auf eine oder mehrere Gleichungen vom Typ Nenner = 0 führt). das Symbol \ (Komplementärmenge) Ein ähnliches Problem stellt sich bei der Wurzelgleichung (25). Die beiden Terme unter der Wurzel müssen 0 sein, damit die Gleichung überhaupt einen Sinn macht. Mit G = R ist die Definitionsmenge D = {x R x und x 2-5 0}. Lösungsmethoden Wie löst man solche Gleichungen? Gehen wir kurz die drei Beispiele (23) - (25) durch: Kubische Gleichungen wie (23) werden später behandelt. Wir werden im ersten Funktionenkapitel eine einfache graphische Methode entwickeln, die auf Näherungslösungen führt. Im zweiten Funktionenkapitel werden wir in einem Exkurs Möglichkeiten kennen lernen, in gewissen Fällen exakte Lösungen zu finden. Generell werden wir "algebraische Gleichungen" (s.o.) in einem eigenen Kapitel behandeln. Im Fall der Bruchgleichung (24) kommt man mit Äquivalenzumformungen (siehe oben) weiter: Beide Seiten dürfen mit x ( x + 6 ), also dem Produkt aller vorkommenden Nenner, multipliziert werden, denn wir haben vorausgesetzt, daß x in der Definitionsmenge liegt, und wenn dies der Fall ist, ist sowohl x 0 als auch x Das war ja gerade die Definition der Definitionsmenge! Zur Erinnerung: D = {x R x - 6 und x 0}. Es ergibt sich die Gleichung x (x + 3 ) = ( x + 6 ) ( x - 1), welche nach Ausmultiplizieren der Klammern x x = x x - 6 lautet. Diese Gleichung kann durch weitere Äquivalenzumformungen gelöst werden: x x = x x x 2 3 x = 5 x x - 2 x = - 6 : (- 2) x = 3 Da 3 D, ist dies die (einzige) Lösung, L = {3}. graphisch lösen Nullstellen von Polynomen algebraische Gleichungen (in Vorbereitung) Im Fall der Wurzelgleichung (25) weiß man keinen anderen Weg, als die Gleichung in einer Weise zu ändern, die keine Äquivalenzumformung ist. Dies kann zu ''scheinbaren'' Lösungen führen, die in Wahrheit keine sind. Wenn wir beide Seiten von (25) quadrieren (was keine Äquivalenzumformung darstellt, siehe obige Warnung), so vereinfacht sie sich zu x + 1 = x 2-5. Dies ist eine quadratische Gleichung. Sie kann zu x 2 - x - 6 = 0 umgeformt werden, woraus sich, nach Anwenden der Lösungsformel, die Lösungen x 1,2 = 1/2 ± 5/2, also x = - 2 und x = 3 ergeben. 1 2 Aber: Diese zwei Zahlen sind nicht unbedingt Lösungen der gegebenen Gleichung, denn wir haben ja eine ''unerlaubte'' Operation ausgeführt und dabei möglicherweise Information verloren! Ein kurzer Check zeigt, daß die Zahl -2 gar nicht in der Definitionsmenge liegt, denn weder x noch x gelten für x = -2. Setzt man x = -2 in die gegebene Gleichung (25) ein, so ergibt sich eine sinnlose Aussage, in der Wurzeln aus negativen Zahlen

11 11 von :02 vorkommen. Die Zahl 3 hingegen ist in D enthalten (für x = 3 gilt sowohl x als auch x 2-5 0). In die gegebene Gleichung (25) eingesetzt, ergibt sich die Aussage 4 = 4, was einfach 2 = 2 bedeutet. Die Zahl 3 ist also die einzige Lösung des Problems, L = {3}, ungeachtet dessen, daß im Laufe der Rechnung zwei ''Lösungen'' aufgetreten sind. Daraus können wir lernen: Sobald Operationen angewandt werden, die zwar beide Seiten einer Gleichung auf gleiche Weise behandeln, and nicht umkehrbar (und folglich keine Äquivalenzumformungen) sind, sind alle ab diesem Punkt auftretenden ''Lösungen'' nur als Kandidaten zu behandeln. Im Zweifelsfall ist die sicherste Methode immer, alle Kandidaten in die Gleichung einzusetzen und zu überprüfen, ob die entstehenden Aussagen einen Sinn machen und, wenn ja, ob sie wahr oder falsch sind. Der Computer hilft heute in der Praxis beim Lösen von Gleichungen. Dennoch ist ein Verständnis der zugrundeliegenden mathematischen Tatsachen und Probleme unabdingbar, wenn unbeabsichtigte Fehler in den Anweisungen an ein Programm vermieden werden sollen. Insbesondere können Programme nicht immer gut mit Gleichungen umgehen, deren Definitionsmenge von der Grundmenge abweicht. Wir werden auf die Verwendung dieser Hilfen und auf geeignete Methoden (insbesondere das so genannte Newton-Verfahren zur nährungsweisen Lösung von Gleichungen) später näher eingehen. Numerische Verfahren 1 (in Vorbereitung) Newton-Verfahren Wer bereits an dieser Stelle ein Programm, das Gleichungen lösen kann, kennenlernen will, sei auf das im Rahmen des MathServ Project an der Vanderbilt University zur Verfügung gestellte Web-Angebot verwiesen. Der Button öffnet ein Browser-Fenster, in dem eine Web-Seite geladen wird, die Eingabefelder zum Lösen von Gleichungen enthält. Die Berechnung übernimmt das Computer-Algebra-System Mathematica. Ist die Gleichung nicht von zu hoher Ordnung, werden die exakten Lösungen ("symbolic roots" genannt) berechnet. Außerdem werden die Lösungen numerisch näherungsweise berechnet (und eine Graphik, die nicht Thema dieses Kapitels ist, wird ausgegeben). Das an der Universität Bayreuth entwickelte Java-Applet Nullstellen von Polynomen bis 4. Grades ist ein rein numerisch arbeitendes Werkzeug. Es berechnet nicht die exakten Lösungen, sondern lediglich (sehr genaue) Näherungswerte. (Achtung: die eingegebene Gleichung muß zumindest von zweiter Ordnung sein). Aufgabe: Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung x 2-5 x - 2 = 0 zuerst unter Verwendung der kleinen Lösungsformel (siehe oben) und danach mit Hilfe dieser beiden Computerwerkzeuge! Vergleichen Sie die Resultate! In unserer Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge finden Sie unter der Kategorie Online-Werkzeuge > Gleichungen zahlreiche weitere im Web angebotene Tools, die beim Lösen (verschiedener Typen) von Gleichungen behilflich sind bzw. es ganz übernehmen. Verallgemeinerungen In der Mathematik treten oft Probleme auf, in denen mehrere Gleichungen und mehrere Variable (Unbekannte) eine Rolle spielen. Der Fall einer Kurven (in Vorbereitung) Gleichungssysteme

12 12 von :02 Gleichung, in der mehrere Variable auftreten, ist besonders wichtig für die Beschreibung geometrischer Sachverhalte (z.b. Kurven in der Ebene). Im Fall mehrerer Gleichungen spricht man von Gleichungssystemen. Beide Themen werden in späteren Kapiteln behandelt. Die in diesem Kapitel empfohlenen Web-Ressourcen: Weitere Angebote von mathe online zum Thema: mit Mathematica, ein Angebot des MathServ Project. Nullstellen von Polynomen bis 4. Grades ist ein an der Universität Bayreuth entwickeltes Java-Applet. Unsere Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge enthält unter der Kategorie Online-Werkzeuge > Gleichungen zahlreiche weitere im Web angebotene Tools, die beim Lösen (verschiedener Typen) von Gleichungen behilflich sind bzw. es ganz übernehmen. Zum Kapitel Gleichungen der Galerie Einige der Links der Kategorien Mathematische Einzelthemen > Lineare Algebra und Vektoren und Mathematische Einzelthemen > Numerische Verfahren unserer Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge führen auf Seiten, die von Gleichungen handeln. Die meisten benötigen allerdings weitergehende mathematische Begriffe (insbesondere den der Funktion). Siehe auch die interaktiven Tests zum Thema. Das Programm TREEFROG unterstützt beim Üben, indem es Gleichungen aufgibt und Schritt für Schritt Rückmeldungen gibt. Sie finden es auf der Seite Download-Ressourcen. Zum Seitenanfang Zum Lexikon Zur Galerie Zum Kapitel Gleichungen der Galerie Zum Inhaltsverzeichnis der Mathematischen Hintergründe Zu den interaktiven Tests Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen Zur Welcome Page