In einem Rechenbuch von 1553 findet man folgendes mathematisches Rätsel:

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1 Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen In einem Rechenbuch von 1553 findet man folgendes mathematisches Rätsel: Ich hab ein zahl ist minder denn 10. Wenn ich sye multiplizir mit 3 erwechst ein produkt / ist 7 mal soviel vber 10 als meyne zahl ist vnter 10 Ihnen fällt es wahrscheinlich nicht schwer(falls Sie mit der altertümlichen Sprache zurechtkommen), das Rätsel in eine mathematische Gleichung zu übersetzen. Dann erhält man: 3xx 10 = 7(10 xx) Lösung: 3xx 10 = 70 7xx 10xx = 80 xx = 8 (Rezept siehe unten) 3xx 10 = 7(10 xx) Klammer auflösen 3xx 10 = 70 7xx +10 3xx = xx 3xx = 80 7xx +7x 3xx + 7xx = 80 10xx = 80 :10 xx = 8 Verbindet man zwei Terme TT 1 und TT 2 durch ein Gleichheitszeichen, so nennt man die Beziehung TT 1 = TT 2 eine Gleichung. Bei Lösen von Gleichungen geht man so vor: Gleichungen ohne Brüche Lösungsrezept (führt fast immer zum Erfolg!): - Vorher eventuell erst die Klammern auflösen/ausmultiplizieren. - Terme sortieren: die Terme, die die gesuchte Größe enthalten auf eine Seite, Rest auf die andere Seite. Allgemein gilt beim Auflösen: Erst die Strichrechnung dann die Punktrechnung. IQ Technikum von 14

2 FF 1 erhalten Sie aus FF 1 ll 1 = FF 2 ll 2. indem Sie gemäß Regel 1 die ganze Gleichung durch ll 1 dividieren: FF 1 ll 1 = FF 2 ll 2 : ll 1 FF 1 ll 1 ll 1 = FF 2 ll 2 ll 1 FF 1 = FF 2 ll 2 ll 1 Berechnen Sie x und machen Sie die Probe: 6xx 15 = 2xx + 5 Sortieren: 6xx 15 = 2xx + 5 2xx +15 6xx 2xx = Erst die Strichrechnung dann die Punktrechnung 4xx = 20 : 4 xx = 5 Probe = = 15 Beispiel Lösung: (xx + 15) 2 (xx 13) 2 = (xx + 13) 2 (xx 24)(xx + 24) + 1 (xx + 15) 2 (xx 13) 2 = (xx + 13) 2 (xx 24)(xx + 24) + 1 Beachten Sie, dass die Minus-Klammern zunächst stehen bleiben müssen xx xx (xx 2 26xx + 169) = xx xx (xx 2 576) + 1 xx xx xx xx 169 = xx xx xx xx = xx = xx = 23 IQ Technikum von 14

3 Probe für xx = 23: ( ) 2 (23 13) 2 = ( ) 2 (23 24)( ) = 36 2 ( 1) = = 1344 (ww) Gleichungen mit Bruchtermen: Lösungsrezept führt (fast immer) zum Erfolg: - Hauptnenner HN suchen/erweitern (Kleinste gemeinsame Vielfache: kgv) - Gleichung mit dem HN multiplizieren und Kürzen. - eventuell die Klammern auflösen/ausmultiplizieren. - Terme sortieren: die Terme, die die gesuchte Größe enthalten auf eine Seite, Rest auf die andere Seite. - Gesuchte Größe ausklammern - Vorfaktor auf die andere Seite bringen Allgemein gilt beim Auflösen: Erst die Strichrechnung dann die Punktrechnung Berechnen Sie x und machen Sie die Probe: xx xx = 3xx xx 7 27! Lösung: Der Hauptnenner beträgt 108. Beachten Sie hierbei, dass Sie die Summen oder Differenzen im Zähler vor der Multiplikation mit 108 in einer Klammer setzen, da sonst nach der Regel Punkt vor Strichrechnung aus dem Zähler des ersten Bruchs xx = xx 324 entstehen würde (xx 3) (5 xx) 108 = 4 Wenn Sie nun jeden Bruch kürzen erhalten Sie: (3xx 7) (4xx 7) (xx 3) 6 (5 xx) 27 = (3xx 7) 3 (4xx 7) 4 Es entsteht 6xx xx = 9xx 21 16xx xx + 27xx 9xx + 16xx = xx = 160 xx = 4 IQ Technikum von 14

4 Regel 1 Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit der gleichen Größe multipliziert werden oder durch die gleiche Größe dividiert werden. Regel 2 Bei einer Gleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Größe addiert oder subtrahiert werden. Regel 3 Man darf bei einer Formel (Gleichung) die Vorzeichen sämtlicher Glieder auf beiden Seiten ändern, in dem man beide Seiten mit (-1) multipliziert. Regel 4 Man darf die beiden Seiten einer Formel (Gleichung) vertauschen. Die Parallelschaltung mit Widerständen führt beim Gleichstrom zu folgender Gleichung zum Gesamtwiderstand R G. Berechnen Sie R 1 aus: 1 RR gg = 1 RR RR 2 Hauptnenner: RR 1 RR 2 RR gg RR 1 RR 2 RR gg RR gg = RR 1RR 2 RR gg RR 1 + RR 1RR 2 RR gg RR 2 RR 1 RR 2 = RR 2 RR gg + RR 1 RR gg RR 1 RR 2 RR 1 RR gg = RR 2 RR gg RR 1 (RR 2 RR gg ) = RR 2 RR gg RR 1 = RR 2RR gg (RR 2 RR gg) IQ Technikum von 14

5 Bruchgleichungen, die auf eine lineare Gleichung führen Das Rezept zum Lösen lautet: - Definitionsbereich bestimmen - Hauptnenner suchen - Gleichung mit Hautnenner multiplizieren - Gleichung sortieren - Lineare Gleichung lösen - Lösung mit dem Definitionsbereich vergleichen/probe Welche Zahl muss zu dem Zähler und dem Nenner des Bruches 3/7 addiert und von dem Zähler und dem Nenner des Bruches 11/14 subtrahiert werden, damit zwei gleichgroße Brüche entstehen? Lösung: 3 + xx 11 xx = 7 + xx 14 xx HN: (7+x)(14-x) und Klammern setzen DD = {xx RR xx 7 uuuuuu xx 14} (3 + xx)(7 + x)(14 x) (7 + xx) = (11 xx)(7 + x)(14 x) (14 xx) (3 + xx)(14 x) = (11 xx)(7 + x) 42 3xx + 14xx xx 2 = xx 7xx xx 2 Der x 2 hebt sich auf und zusammengefasst bleibt: xx = xx 4xx 42 11xx 4xx = xx = 35 : 7 xx = 5 IQ Technikum von 14

6 Prozentrechnung (Promillerechnung) Ein Prozent vom Grundwert ist der hundertste Teil des Grundwertes. 1% (1 vv. HHHHHHHHHHHHHH) = 1 dddddd GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 100 pp% (pp vv. HHHHHHHHHHHHHH) = pp dddddd GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 100 Ein Promille vom Grundwert ist der tausendste Teil des Grundwertes 1 (1 vv. TTTTTTTTTTTTTT) = 1 dddddd GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 1000 pp (pp vv. TTTTTTTTTTTTTT) = pp dddddd GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 1000 pp WW = GG 100% pp = WW GG 100% GG = WW pp 100% Grundwert G: Prozentsatz p: Prozentwert W: Der Grundwert entspricht 100 von 100 oder 100%. Der Prozentsatz gibt an, welcher Anteil vom Ganzen zu bilden ist. Der Prozentwert gibt an, wie groß der Anteil ist. AufgabenID: 2387 Um ein Zimmer mit Holz zu verkleiden, sind 62 m 2 Paneele vorhanden. Die zu verkleidende Fläche ist 58.9 m 2 groß, allerdings entsteht ein Verschnitt von 19 %. Wie viel m 2 Paneele muss der Handwerker nachkaufen? pp WW = GG 100% Damit folgt: WW = 58,9 mm 2 19% 100 = 11,191 mm2. 58,9 mm ,191 mm 2 62 mm 2 = 8,091 mm 2 Es müssen 8,091 mm 2 an Paneelen nachgekauft werden. Oder kürzer: Er benötigt 119% WW = 58,9 mm 2 19% 100 = 11,191 mm 2. WW = 58,9 mm 2 119% 100 = 70,091 mm 2. Damit folgt: 70,091 mm 2 62 mm 2 = 8,091 mm 2 IQ Technikum von 14

7 Direkte Proportionalität Aus der Physik ist Ihnen der Versuch zur Dehnung einer Schraubenfeder bekannt. In der folgenden Wertetabelle sind einige Kräfte und die zugehörigen Dehnungen zusammengestellt FF NN ss cccc 3,0 6,0 9, ,0 18,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 Aus der Wertetabelle erkennen Sie 2 wichtige Eigenschaften 1. Wird die Kraft verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, so verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, sich auch die Dehnung 2. Bildet man aus 2 zusammengehörenden Zahlen den Quotienten, so hat dieser stets denselben Wert. 3 = 1,5; 6 = 1,5; 12 = 1,5; Zwei Größen heißen zueinander proportional, wenn Sie die letzten beiden Eigenschaften erfüllen Indirekte Proportionalität Aus der Physik ist Ihnen der Versuch zum Gleichgewicht an einem Hebel bekannt. In der folgenden Tabelle sind einige Kräfte und die zugehörigen Hebelarme zusammengestellt. FF NN aa cccc 3,0 6,0 9, ,0 18,0 24,0 12,0 8,0 6,0 4,8 4,0 Aus der Wertetabelle erkennen Sie wieder 2 wichtige Eigenschaften: 1. Wird die Kraft verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, so sinkt die Länge des Hebelarms auf die Hälfte, den dritten Teil, den vierten Teil, 2. Bildet man aus 2 zusammengehörenden Zahlen das Produkt, so hat dieses stets denselben Wert = 72; 6 12 = 72; 9 8 = 72; 12 6 = 72, 2 Größen heißen zueinander indirekt proportional, wenn der eine Wert sich verdoppelt, sich der andere halbiert. Multipliziert man beide Größen, so erhält man einen konstanten Wert. Oder in einer Tabelle Kraft/N Hebel/cm Konstante IQ Technikum von 14

8 Lineare Gleichungen mit zwei oder drei Variablen Gleichungen 1. Grades mit zwei oder drei Variablen der Form: 2xx 4yy = 20 2xx + 3yy = 17 können sehr schnell mit dem Taschenrechner Mode 5 /1 (2 Variable) oder Mode 5/2 (3 Variable) gelöst werden. Alternativ gibt es zum Lösen solcher Gleichungen noch das Einsetzverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Für Gleichungen mit mehr als 3 Variablen bieten sich Determinanten an (nicht Inhalt der Technikerausbildung) Quadratische Gleichungen Eine immer wieder in Schule und Hausaufgaben beliebte Formel, die auch sonst recht häufig in der Schullaufbahn verwendet findet ist die PQ Formel. (siehe Youtube) Die pq-formel kann man nur für Gleichungen der Form xx 2 + pppp + qq = 0 verwenden werden. Haben quadratische Gleichungen eine andere Form, z.b. 2xx 2 + 4xx + 2 = 8 muss die Gleichung durch Term Umformung auf die pq-form gebracht werden. xx 2 + 2xx 3 = 0 Weitere Beispiele für quadratische Gleichungen: xx = 8 0,5xx 2 + 6xx = 0 Eine quadratische Gleichung der Form: xx 2 + pppp + qq = 0 besitzt 2 Lösungen, sofern für x eine Zahl auf der Menge aller rationalen Zahlen eingesetzt wird (x = {R}): X 1 und X 2. Beide lassen sich über die so genannte "PQ Formel" berechnen. IQ Technikum von 14

9 xx 1 2 = pp 2 ± pp 2 2 qq oder etwas umgeschrieben xx 1 2 = pp 2 ± pp2 4 qq xx 2 3xx 4 = 0 pp = 3; qq = 4 xx 1 2 = pp 2 ± pp 2 2 qq xx 1 2 = 3 2 ± ( 4) xx 1 2 = 1,5 ± 6,25 xx 1 2 = 1,5 ± 2,5 xx 1 = 4 xx 2 = 1 Quadratische Gleichungen mit dem Taschenrechner Eine schnelle Möglichkeit zum Lösen von quadratischen Gleichungen bietet der Taschenrechner. Mit Mode 5: EQN und 3: aaxx 2 + bbbb + cc = 0 kann eine quadratische Gleichung mit Eingabe der Koeffizienten sehr schnell gelöst werden. Allerdings muss die quadratische Gleichung zuerst auf die entsprechende Form gebracht werden. IQ Technikum von 14

10 Weitere Beispiele xx 2 + 2xx 35 = 0 Für die Diskriminante D gilt: D > 0. Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen x 1 = 7 und x 2 = 5 xx 2 4xx + 4 = 0 Die Diskriminante ist D = 0. Die (doppelte) reelle Lösung ist x = 2 xx xx + 37 = 0 Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu x 1 = 6 + i und x 2 = 6 i. 4xx 32 xx 1 = 4xx 58 DD = R {1} LL = 3 2 ; 15 4xx 32 xx 1 = 4xx 58 HHHH = (xx 1) 4xx 32 = (4xx 58) (xx 1) 4xx 32 = 4xx 2 4xx 58xx xx xx 90 = 0 xx = 0 (Normalform) xx 1 2 = 33 4 ± xx 1 2 = 33 4 ± xx 1 2 = 33 4 ± 27 4 IQ Technikum von 14

11 Bruchgleichungen, die auf eine quadratische Gleichung führen Das Rezept zum Lösen lautet: - Definitionsbereich bestimmen Hauptnenner suchen - Gleichung mit Hautnenner multiplizieren - Gleichung sortieren nach Potenzen - p, q Formel anwenden - Lösung mit dem Definitionsbereich vergleichen/probe Beispiel Formen Sie zunächst die Bruchgleichung um in die Normalform einer quadratischen Gleichung und bestimmen Sie dann die Lösungsmenge für x. Führen Sie anschließend schriftlich die Probe durch. Lösung: 10 xx 3 xx 2 = 1 10 xx 3 xx 2 = 1 xx 10 3xx = xx (xx 2) xx 2 10(xx 2) 3xx = xx (xx 2) AAAAAAAAössssss dddddd KKKKKKKKKKKKKK 10xx 20 3xx = xx 2 2xx xx 2 + 2xx xx 2 + 9xx 20 = 0 ( 1) xx 2 9xx + 20 = 0 LLössssss ddddddddh AAAAAAAAAAAAAAAAAA dddddd pp qq FFFFFFFFFFFF xx 1 = xx 2 = und Probe: xx 1 = 5 xx 2 = = 1 uuuuuu = 1 IQ Technikum von 14

12 Wurzelgleichungen Bei Wurzelgleichungen tritt die Unbekannte innerhalb von Wurzelausdrücken auf. Bei Wurzelgleichungen muss immer die Probe durchgeführt werden! Häufig kann man eine Wurzelgleichung lösen, indem zunächst die Wurzel auf eine Seite isoliert und anschließend durch potenzieren beseitigt wird. Tipp: Eventuell Binom beachten!! 3xx = xx + 4 Zunächst wird die Wurzel isoliert 3xx + 10 = xx Anschließend durch Quadrieren beseitigt 3xx + 10 = xx 2 xx 2 3xx 10 = 0 xx 1 2 = 3 2 ± xx 1 = 5, xx 2 = 2 Sind diese beiden Lösungen der quadratischen Gleichung auch wirklich Lösungen der ursprünglichen Wurzelgleichung? Um diese zu überprüfen, führen wir die Probe durch. Wir setzen dazu die beiden Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein. Was geschieht? Einsetzen von 5 führt zu: Also ist 5 eine Lösung. Einsetzen von -2 führt zu: = = 9 3 ( 2) = Ein Widerspruch, daher ist -2 keine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Das Quadrieren ist also keine äquivalente Umformung einer Gleichung. Manchmal müssen Wurzelgleichungen zur Beseitigung der Wurzel mehr als einmal potenziert werden. Quadrieren führt zu: xx xx 1 = 2xx 1 IQ Technikum von 14

13 xx + xx 1 2 xx(xx 1) = 2xx 1 xx(xx 1) = 0 Nochmaliges Quadrieren liefert: xx(xx 1) = 0 Probe: xx 1 = 1; xx 2 = 0 Für xx = 1 erhält man 1 = 1. Für xx = 0 folgt 1 = 1. Ein Widerspruch. Also ist nur xx = 1 eine Lösung. Exponentialgleichungen, die durch Logarithmieren gelöst werden können Lösen Sie folgende Gleichung Lösung: aa xx = bb aa xx = bb lg aa xx = lg bb x lg aa = lg bb xx = lg bb lg aa Die Lösungswege werden schnell kompliziert und nicht mehr analytisch lösbar, weil, wie gesagt, der Logarithmus für die Summe oder Differenz nicht definiert ist. Beispiele für analytische Lösungen Lösen Sie folgende Gleichung: aa xx bb mmmm = cc lg(aa xx bb mmmm ) = lg cc (bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb llllllllllllllhmmmmmmmmmm!) lg aa xx + lg bb mmmm = lg cc xx lg aa + mmmm lg bb = lg cc xx(lg aa + mm lg bb) = lg cc xx = lg cc lg aa + mm lg bb IQ Technikum von 14

14 8 2xx+1 = 0, xx 8 2xx+1 = xx 8 2xx+1 = xx 8 2xx+1 = 8 3xx 4 2xx + 1 = 3xx 4 xx = 5 Lösung lg(xx + 2) + lg xx = lg 3 lg(xx + 2) + lg xx = lg 3 lg xx(xx + 2) = lg 3 xx(xx + 2) = 3 xx 2 + 2xx = 3 xx 2 + 2xx 3 = 0 2 ± xx 1 2 = = 2 ± xx 1 = 1; (xx 2 = 3) Die zweite (-3) Lösung entfällt, da der Logarithmus aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. IQ Technikum von 14