Kontexte aus den Naturwissenschaften bei der Zentralmatura AHS

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Adolph Günther
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1 Kontexte aus den Naturwissenschaften bei der Zentralmatura AHS Christian Spreitzer Bundesseminar Amstetten, 24. Februar 2015 Naturwissenschaften im Kontextkatalog des BIFIE

2 Grundkompetenzen Mathematik für die std. Reifeprüfung Inhaltsbereiche AG und FA Algebra und Geometrie (AG) Grundbegriffe der Algebra (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme Vektoren Trigonometrie Funktionale Abhängigkeiten (FA) Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Lineare Funktion (f (x) = k x + d) Potenzfunktion vom Typ f (x) = a x z + b, z Z oder f (x) = a x b n Polynomfunktion (f (x) = a i x i mit n N) i=0 Exponentialfunktion (f (x) = a b x bzw. f (x) = a e λx mit a, b R +, λ R) Sinusfunktion, Cosinusfunktion

3 Grundkompetenzen Mathematik für die std. Reifeprüfung Inhaltsbereiche AN und WS Analysis (AN) Änderungsmaße Regeln für das Differenzieren Ableitungsfunktion/Stammfunktion Summation und Integral Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS) Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilung(en) Schließende/Beurteilende Statistik

4 Zur Rolle der Kontexte... Mathematische Grundbildung soll im Sinne der OECD abgebildet werden als... die Fähigkeit einer Person, die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des gegenwärtigen und künftigen Lebens dieser Person als konstruktivem, engagiertem und reflektierendem Bürger entspricht. [BIFIE nach OECD/PISA (2003). The PISA 2003 Assessment Framework Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills. Paris: OECD. S. 24.] Die in unterschiedlichen Bildungsbereichen entwickelten Kompetenzen können bzw. sollen Eingang in die überfachlichen standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik finden. [BIFIE (2013). Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. S. 19.]

5 Kontextkatalog des BIFIE - Naturwissenschaften Die darin angeführten Kontexte können jedenfalls ohne detaillierte Erklärung bei der standardisierten Reifeprüfung vorkommen. [BIFIE (2013). Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. S. 19.]

6 Kontextkatalog des BIFIE - Naturwissenschaften

7 Kräfte Kräfte sind die Ursache von Bewegungen! Abgesehen von der Gravitationskraft lassen sich alle Kräfte auf die elektromagnetische Wechselwirkungen zurückführen (die schwache und starke WW spielen nur in Atomkernen eine Rolle). Kräfte haben Richtung, Angriffspunkt und Betrag, sie können daher als Vektoren repräsentiert werden. [Bild aus dem BIFIE-Aufgabenpool, Aufgabe Hebelgesetz ]

8 Kräfte und Drehmomente Symbol und Einheit: F in N (1N = 1kg m s ) 2 Definition: 1 N ist die Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1kg mit 1 m s zu beschleunigen. 2 Drehmoment: M = r F Ist ein Körper im Gleichgewicht bzw. in Ruhe, so ist die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte und Drehmomente gleich Null: n n F i = 0 r i F i = 0 i=1 i=1

9 Kräfte Grundlage der klassischen Mechanik sind die Newtonschen Gesetze: Newtons Axiome 1. Trägheitsprinzip: Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt (die resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller Kräfte, die an einem Körper angreifen). 2. Aktionsprinzip: Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt: a = F m bzw. F = m a 3. Reaktionsprinzip: Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A.

10 Arbeit und Energie Wirkt eine Kraft längs eines Weges auf einen Körper ein, wird an diesem Körper Arbeit verrichtet. Beispiel: Ein Masse m wird im Gravitationsfeld von Höhe 0 auf Höhe h gehoben. Dabei wird die (Hub-)Arbeit W = F h = mg h verrichtet. Der Körper hat nun eine potentielle Energie E pot = mgh. Eine Masse m wird durch eine Kraft aus der Ruhe bei gleichmäßiger Beschleunigung auf die Geschwindigkeit v gebracht. Dabei wird die (Beschleunigungs-)Arbeit W = F s = ma 1 2 vt = 1 2 mv 2 verrichtet. Der Körper hat nun eine kinetische Energie E kin = 1 2 mv 2. Allgemeiner: W := γ F ( s) d s Ist die Kraft entlang des Weges nicht konstant, ist also zu integrieren! Hängt die verrichtete Arbeit nur vom Ausgangs- und Endpunkt ab, heißt die Kraft konservativ (z.b. die Gravitationskraft). Andernfalls heißt die Kraft nicht konservativ bzw. dissipativ (z.b. Reibungskräfte).

11 Energieerhaltung In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie erhalten. Energie kann nur in andere Energieformen umgewandelt, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden. Wirken nur konservative Kräfte auf ein mechanisches System, so gilt E pot + E kin = konst. Wird vom System durch die Wirkung dissipativer Kräfte (z.b. Reibung) auch Energie an die Umgebung (z.b. in Form von Wärme) abgeführt, so gilt E pot + E kin + W = konst., wobei W die an die Umgebung abgeführte Energie ist. Einheit der Energie: Joule, 1 J = 1Nm = 1kgm 2 s 2

12 Leistung Einheit der Leistung: Watt, 1W = 1J/s Leistung ist die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit bzw. die pro Zeiteinheit in andere Energieformen umgewandelte Energie. Bsp.: In einer 100-Watt-Glühbirne werden pro Sekunde 100 J elektrische Energie in Wärme und Licht umgewandelt. Die momentane Leistung P(t) ist die Ableitung der Arbeit W (t) nach der Zeit, d.h. P(t) = W (t). Elektrische Leistung: Liegt eine Spannung U an einem Verbraucher und stellt sich ein Strom I ein, so wird eine Leistung P = U I verbraucht. Bsp.: Durch eine 100-Watt-Glühbirne fließt ein Strom I = 100W/230V 0.4A.

13 Typ-2-Aufgaben: Die Präsentation der Aufgabe erfolgt durch einen einleitenden Text, der das Thema der Aufgabe darlegt. Der Text hat informativen (erklärenden) Charakter. Er kann auch Informationen und Aussagen enthalten, die für die Lösung der Fragen nicht unmittelbar von Bedeutung sind. Die Aufgaben sind umfangreicher und komplexer, d. h. es werden zu einem speziellen Thema verschiedene inhaltlich zusammenhängende Fragen gestellt. Die Teilaufgaben einer Aufgabe sind voneinander unabhängig, sodass eine Fehlleistung bei einer Fragestellung die weitere Bearbeitung der Aufgabe nicht unmöglich macht.

14 Typ-2-Aufgaben: Es kann sich um anwendungsorientierte, kontextorientierte oder innermathematische Problemstellungen handeln. Liegen Anwendungsbezüge außerhalb des Kontextkatalogs, werden notwendige Sachzusammenhänge, Begriffe und Größen im Rahmen des einleitenden Textes erläutert. Anwendungs- oder Realitätsbezüge werden so gewählt, dass sie zu einer inhaltlich sinnvollen und verständnisorientierten Anwendung der Mathematik im Sinne der bildungstheoretischen Konzeption der standardisierten schriftlichen Reifeprüfung führen.

15 Emissionen

16 Emissionen

17 Emissionen

18 Emissionen

19 Treibstoffverbrauch

20 Treibstoffverbrauch

21 Treibstoffverbrauch

22 Hebelgesetz

23 Hebelgesetz

24 Hebelgesetz

25 Hebelgesetz

26 Hebelgesetz

27 Hebelgesetz

28 Hebelgesetz

29 Hebelgesetz

30 Hebelgesetz

31 Stahlfeder

32 ... zum Thema Kontextzwang und Scheinanwendungen : Soll eine mathematische Problemstellung in einem naturwissenschaftlichen Kontext formuliert sein, das Lösen der dazugehörigen Aufgaben (egal, ob Typ 1 oder Typ 2) aber keine (über die im Kontextkatalog des BIFIE enthaltenen) naturwissenschaftlichen Kenntnisse oder Kompetenzen erfordern, so wird jeglicher naturwissenschaftliche Bezug bzw. Kontext beinahe zwangsläufig nur noch darin bestehen, den in der Problemstellung vorkommenden mathematischen Objekten neben ihren mathematischen Symbolen noch andere Namen zu geben, die zwar in der Naturwissenschaft eine Bedeutung haben, die für das Lösen der Aufgaben aber letztlich irrelevant sind. Im Einleitungstext der Aufgabe enthaltene Erklärungen des jeweiligen physikalischen Kontexts werden nur als Codebuch benötigt, falls in einer Aufgabenstellung für eine bestimmte Größe nicht das in der Einleitung vewendete mathematische Symbol, sondern der kontextspezifische Name verwendet wird.

33 Literatur BIFIE: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik Inhaltliche und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer Grundkompetenzen (Stand: März 2013) Projektteam: V. Aue, M. Frebort, M. Hohenwarter, M. Liebscher, E. Sattlberger, I. Schirmer, H.-S. Siller (Leitung), G. Vormayr, M. Weiß, E. Willau

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