2.1 Ökonomische Funktionen

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1 2 Kosten- und Preistheorie 2.1 Ökonomische Funktionen In fast allen ereichen der Ökonomie werden zur eschreibung von Sachverhalten Funktionen als mathematisches Modell eingesetzt. Es ist dabei zu beachten, dass eine eakt definierte Funktion oft nicht vorgegeben sein kann. Daher ist es notwendig, aus Mess- und eobachtungswerten möglichst einfache Funktionsgleichungen zu konstruieren, etwa durch Approimation, Interpolation oder Regression. Man lässt zumeist die Variablen stetig variieren (auch ruchteile von Produktionsgut sind zugelassen), auch dann, wenn diskrete Zusammenhänge zugrunde liegen. Das hängt damit zusammen, dass stetige Funktionen ein einfaches mathematisches Modell darstellen, das mithilfe der Differentialrechnung leicht zu behandeln ist. ei der Interpretation ist allerdings Vorsicht geboten, wenn z die Produktion aus nicht teilbaren Stücken besteht. Folgende Funktionen werden häufig verwendet: Nachfragefunktion und Preisfunktion der Nachfrage (Preis-Absatz-Funktion) Die Nachfragefunktion gibt den Zusammenhang N = N (p) zwischen dem Preis p eines Produkts (in Geldeinheiten je Mengeneinheit, GE/ME) und der nachgefragten (abgesetzten) Menge N des Produkts (in Mengeneinheiten, ME) an. In den meisten Fällen setzt man voraus, dass die Funktion streng monoton fällt. Da die abgesetzte Menge vom Preis abhängig ist ( N = N (p)), müsste die -Achse die Ordinatenachse sein. Man benützt jedoch oft die Umkehrfunktion der Nachfragefunktion (p N = p N ()), die Preisfunktion der Nachfrage bzw. Preis-Absatz-Funktion. Der Vorteil liegt darin, dass man in diesem Fall zusammen mit anderen Funktionen (Kosten-, Erlös-, Umsatz-, Gewinnfunktionen), die als unabhängige Variable haben, im selben Koordinatensystem bleiben und alles gemeinsam interpretieren kann. eispiele für Preis-Absatz-Funktionen: p H p N () in GE/ME Höchstpreis p H p N () in GE/ME p H p N () in GE/ME p N () p N () p N () Sättigungsmenge S in ME S in ME S in ME eim Höchstpreis p H ist die nachgefragte Menge (theoretisch) null, beim Preis p = ist die Sättigungsmenge S erreicht. Angebotsfunktion und Preisfunktion des Angebots Die Angebotsfunktion gibt den Zusammenhang A = A (p) zwischen dem Preis p eines Produkts und der angebotenen Menge A des Produkts an. In den meisten Fällen setzt man voraus, dass die Funktion streng monoton steigt, da der Produzent seine Angebotsmenge erhöhen wird, wenn der Marktpreis steigt. Auch hier wird die Angebotsmenge als unabhängige Variable betrachtet und auf der Abszissenachse abgetragen. Man betrachtet also in der Regel die Umkehrfunktion der Nachfragefunktion (p A = p A ()), die Preisfunktion des Angebots genannt wird. 28 Analysis

2 Erlösfunktion (Umsatzfunktion) Sie gibt den Zusammenhang zwischen abgesetzter Menge (in ME) sowie dem Preis p (in GE/ME) und dem Umsatz E (in GE) an. Das ist der Erlös aus der Sicht der Anbieter bzw. die Ausgaben aus der Sicht der Nachfrager. Da zwischen dem Preis p, der Produktionsmenge und dem Erlös E der Zusammenhang Erlös = Menge mal Preis (E = p) besteht, kann, je nach Wahl der unabhängigen Variablen, E in Abhängigkeit von p oder von dargestellt werden: E(p) = N (p) p bzw. E() = p N () Kosten- und Preistheorie Kostenfunktionen (Gesamtkostenfunktion, Durchschnitts- bzw. Stückkostenfunktion) Sie gibt den Zusammenhang K = K() zwischen Output (Produktionsmenge in ME) und den Gesamtkosten K (in GE) für die Produktion des Outputs an. Es ist üblich, die Gesamtkosten in die produktionsunabhängigen fien Kosten F = K() = const. und die von Art und Höhe der Produktion abhängigen variablen Kosten K v () zu zerlegen. Daraus ergibt sich die schon bekannte Funktion: K() = K v () + F. Dividiert man die Gesamtkosten K() durch die Outputmenge, erhält man die Durchschnittskosten (Stückkosten) K (). Das sind jene Kosten, die eine Einheit der Produktionsmenge kostet: K () = K(). K heißt Stückkostenfunktion. Liegt der Graph der Gesamtkostenfunktion vor, lassen sich die Durchschnittskosten grafisch ermitteln: K() in GE; K (), K() in GE/ME Zeichnet man die Strecke vom Koordinatenursprung zum Punkt ( K()), so gibt der Anstieg der Strecke, also tan(α), die Stückkosten an: K () = K() = tan(α). Dieser Sachverhalt lässt sich übrigens auf jede K() Durchschnittsfunktion anwenden. Wenn die Stückkostenfunktion differenzierbar ist und innerhalb des Kapazitätsbereichs ein lokales Minimum besitzt, dann erührpunkt bezeichnet man die Stelle des Stückkostenminimums O als etriebsoptimum O ( K () K = min). Wir bilden K () K() K() K () = = (edingung für das Minimum). 2 Daraus folgt K () K() = und weiter K () = K() = O K (). E() in GE, p N () in GE/ME Im etriebsoptimum sind die Ableitung der Kostenfunktion (später Grenzkosten) und die Stückkosten identisch. Haben die durchschnittlichen variablen Kosten im Kapazitätsbereich ein lokales Minimum, dann bezeichnet man die Stelle des Minimums M als etriebsminimum M ( K v = min). Analog zum etriebsoptimum folgt: Im etriebsminimum sind die Ableitung der Kostenfunktion (später Grenzkosten) und die variablen Durchschnittskosten identisch. p N () E() in ME in ME Grundsätzlich gilt M O. Analysis 29

3 2.1 erechne für die Kostenfunktion K() =,1 3 1, das etriebsoptimum. Lösung: Gesamtkosten: K() =,1 3 1, Stückkosten: K () = K() =,12 1, erechnung des Minimums der Stückkosten: K () =,2 1, = Mithilfe von Technologieeinsatz bestimmen wir die einzige reelle Lösung dieser Gleichung: O = 9,78... (Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich zeigen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.) Die zugehörigen (minimalen) Stückkosten betragen K (9,78...) = 7, K(), K() in GE 2.2 erechne für die Kostenfunktion K() =,1 3 2, das etriebsoptimum und das etriebsminimum. 2.3 erechne für die Kostenfunktion K() =,5 3 4, ,5 + 84,5 das etriebsoptimum und das etriebsminimum. K() K() in ME O Gewinnfunktion Sie gibt den Zusammenhang zwischen der Produktionsmenge und dem zugehörigen Gewinn G an. Es gilt die eziehung G() = E() K(), da sich der Gewinn als Differenz von Erlös und Kosten definiert. Da der Erlös durch E() = p() gegeben ist, folgt G() = p() K(). Dividiert man den Gesamtgewinn G() durch die Outputmenge, erhält man den durchschnittlichen Gesamtgewinn (Stückgewinn) G (), das ist jener Gewinn, den eine Einheit der Produktionsmenge liefert: G () = G(). Es folgt E() K() G () = = p() K () (Stückgewinn = Preis Stückkosten). erücksichtigt man nur den variablen Anteil der Kosten, so nennt man G D () = p() K v () den Deckungsbeitrag (je Stück). Der gesamte Deckungsbeitrag ist dann die Differenz zwischen dem Gesamterlös und den gesamten variablen Kosten: G D () = E() K v (). 2.4 Stelle für die Kostenfunktion K() = und den Marktpreis p = 56 GE/ME für folgende Größen Funktionsgleichungen auf: Erlös, Gewinn, Stückgewinn, Deckungsbeitrag je Stück und Gesamtdeckungsbeitrag. Stelle die Kosten-, die Erlös- und die Gewinnfunktion grafisch dar. 2.5 Wie Aufgabe 2.4 für die Kostenfunktion K() =, , und die Preis-Absatz-Funktion p N () = 22,5. 3 Analysis

4 2.2 Ökonomische Grenzfunktionen Kosten- und Preistheorie Wir wollen uns nun die Frage stellen, wie sich eine Änderung der Produktionsmenge um eine Einheit auf die genannten ökonomischen Funktionen auswirkt. Dazu betrachten wir wieder eine kleine Umgebung um. Ändert man von = d = 1 ausgehend die unabhängige Variable um genau eine Einheit, dh. = d = 1, so ergibt sich der Tangentenanstieg f ( ) = df d = df 1 = df. + 1 Für d = 1 stimmen die Zahlenwerte des Funktionsdifferenzials df und der 1. Ableitung also überein. Da nun df ein guter Näherungswert für die wahre Funktionsänderung f ist, erhält man durch die 1. Ableitung f ( ) einen guten Näherungswert für die Änderung f an der Stelle, wenn d = 1 gewählt wird. Die Ableitungsfunktion f liefert also die ungefähre Funktionsänderung, wenn um eine Einheit variiert. Derartige Ableitungsfunktionen sind ökonomisch bedeutsam und tragen die ezeichnung Grenzfunktionen (Marginalfunktionen). Die Grenzfunktion (Marginalfunktion) beschreibt die Änderung einer ökonomischen Funktion f, wenn die unabhängige Variable um eine Einheit variiert. Sie kann durch die 1. Ableitung f beschrieben werden. Der Wert f ( ) der Grenzfunktion gibt näherungsweise den Funktionszuwachs (die Funktionsabnahme) an, der durch die nächste (oder letzte) Einheit der unabhängigen Variablen hervorgerufen wird. Man bezeichnet die ehandlung ökonomischer Fragestellungen mithilfe von Grenzfunktionen auch als Marginalanalyse. Grenzkosten Die 1. Ableitung K () einer Kostenfunktion K() heißt Grenzkostenfunktion. Die Grenzkosten K () geben für jede Menge die Kostenänderung für die letzte bzw. folgende produzierte Einheit an. Werden die Gesamtkosten in variable und fie Kosten getrennt (K() = K v () + F), dann gilt K () = K v (). Das bedeutet, dass die Änderung der Gesamtkosten für die letzte Produktionseinheit gleich der entsprechenden Änderung der variablen Kosten ist. Analog berechnet man auch die Grenz-Stückkostenfunktion K (). Sie gibt die Änderung der gesamten Stückkosten pro zusätzlicher Produktionseinheit an. Grenzerlös Die 1. Ableitung E () der Erlösfunktion E() = p() (die unabhängige Variable ist die Menge ) heißt Grenzerlösfunktion bezüglich der Menge. E () liefert die Erlösänderung, wenn sich die nachgefragte Menge um eine Einheit ändert. Die 1. Ableitung E (p) der Erlösfunktion E(p) = (p) p (die unabhängige Variable ist der Preis p) heißt Grenzerlösfunktion bezüglich des Preises p. E (p) liefert die Erlösänderung, wenn sich der Preis um eine Einheit ändert. f df f Analysis 31

5 Grenzgewinn Die 1. Ableitung G () einer Gewinnfunktion G() heißt Grenzgewinnfunktion. Der Grenzgewinn G () gibt die Gewinnänderung an, wenn die produzierte und abgesetzte Menge um eine Einheit zunimmt. Da der Gewinn als Differenz zwischen Erlös und Kosten (G() = E() K()) definiert ist, ergibt sich für den Grenzgewinn: G () = E () K (). Der Grenzgewinn G () ist die Differenz aus Grenzerlös E () und Grenzkosten K (). D D C C C C 2.6 Zeige für die Kostenfunktion K() =,1 3 1, den Zusammenhang zwischen Grenzkosten und 1) etriebsoptimum 2) etriebsminimum. Lösung: 1) Gesamtkosten: K() =,1 3 1, Grenzkosten: K () =, Stückkosten: K () = K() =,12 1, erechnung des Minimums der Stückkosten mithilfe von Technologieeinsatz: K () =,2 1,5 64 = 2 O = 8 Die zugehörigen (minimalen) Stückkosten betragen K (8) = 29. Für die Grenzkosten gilt an dieser Stelle: K (8) = 29. 2) Variable Kosten: K v () =,1 3 1, Variable Durchschnittskosten: K v () = K v() =,12 1, erechnung des Minimums der variablen Durchschnittskosten mithilfe von Technologieeinsatz: K v () =,2 1,5 = M = 75 Die zugehörigen (minimalen) variablen Durchschnittskosten betragen K v (75) = 2,75. Für die Grenzkosten gilt an dieser Stelle: K (75) = 2, Wie Aufgabe 2.6 für die Kostenfunktion K() =,1 3, Die Kostenfunktion eines etriebs lautet K() =,6 3 2, erechne die Grenzkostenfunktion und die Grenzkosten für die Outputmenge = 2 ME. Was bedeutet das Ergebnis? Lösung: Die Grenzkostenfunktion lautet K () =,18 2 4, Die Grenzkosten für die Outputmenge 2 ME betragen K (2) = 46 GE. Wird die Produktion, ausgehend von = 2 ME, um eine Mengeneinheit erhöht (vermindert), entstehen Mehrkosten (Minderkosten) von 46 GE. 2.9 erechne für die Kostenfunktion K() =,6 3 2, die Grenz-Stückkostenfunktion sowie die Grenz-Stückkosten für = 2 ME und interpretiere das Ergebnis. 2.1 Die Preis-Absatz-Funktion für ein Produkt lautet p N () = 2e,2. erechne den Grenzerlös für = 4 ME und interpretiere das Ergebnis erechne für die Kostenfunktion K() =, und die Preis-Absatz-Funktion p N () = 21,9 den Grenzgewinn für = 4 ME und interpretiere das Ergebnis. 32 Analysis

6 b) Welche Menge wird man b) Da sinnvollerweise keine negativen als Produktionsmengen Definitionsmenge wählen? möglich sind und maimal 8 ME erzeugt werden können, gilt 8 bzw. 8 K() in 1 eispiel: c) Die Kostenfunktion ist in einem geeigneten Maßstab grafisch darzustellen! D = [, 8]. Für die Miete einer Maschine fallen monatliche Kosten emerkung: von 3, Genau GE an. genommen Für jede damit muss produzierte N sein, ME da z.. 6 betragen die Kosten 1, Lösung: GE (Material- und Energieverbrauch, 12,437 Kosten- ME im Fertigungslohn). Allgemeinen und nicht Preistheorie Es erzeugt können werden maimal können. 8 Wir ME im Monat erzeugt werden. a) Die 1) Miete ist von der erzeugten wollen Menge jedoch unabhängig. stets alle reellen Es liegen Zahlen also in einem monatliche bestimmten Fikosten Intervall betragen zulassen 1, und GE je Stück, falls eine für errechnete Stück also Menge 1 nicht ganz- 4 von 3, G vor. Die variablen Kosten 2.3 Ökonomische Probleme zahlig Lösungen. GE. Die Gesamtkosten sin a) Man stelle die Kosten als die Funktion Summe von aus der fien erzeugten und variablen Menge ist Kosten: die dar. nächstgelegene K() = 3 + ganze 1 Zahl als Lösung betrachten. Ob im Einzelfall auf- oder abzurunden ist, hängt von b) Mithilfe Welche der Menge Differenzialrechnung wird man b) Da sinnvollerweise keine negativen lassen als sich Produktionsmengen Definitionsmenge der schnell Fragestellung detaillierte wählen? möglich ab. Aussagen sind und über maimal 8 ME erzeugt werden können, gilt 8 bzw. 2 K() in 1 GE ökonomische 8 c) Sachverhalte Die Kostenfunktion treffen. ist Wichtig in D einem = [, 8]. ist, geeigneten die Abhängigkeit Maßstab c) K() grafisch = der 3, ökonomischen K(8) darzustellen! = 83. Größen Wir wählen in ein z.. folgenden Maßstab mathematisches (vgl. nebenstehende muss N mathematisches Modell emerkung: umzusetzen Genau bzw. ein genommen Modell sein, Figur): ökonomisch da z.. zu deuten. 1 cm =ˆ 2 ME, 1 cm =ˆ 2, GE. 6 K() Lösung: 2 12,437 ME im Allgemeinen nicht erzeugt werden können. Wir a) eschreibung Die Miete ist von des der Wachstumsverhaltens erzeugten wollen jedoch Menge stets unabhängig. alle von reellen Gesamtkostenfunktionen Es Zahlen liegen also in einem monatliche bestimmten Fikosten Intervall betragen zulassen 1, und GE je falls Stück, eine für errechnete Stück also Menge 1 von 3, GE vor. Die variablen Kosten Aus den Vorzeichen von f () und f () lässt sich bereits etwas über das. nicht GE. Die ganzzahlig variablen ist Kosten: die nächstgelegene K() = 3 + ganze 1 Zahl als Lösung Wachstumsverhalten be- Gesamtkosten 4 sind die Summe aus fien und einer Funktion aussagen: trachten. Ob im Einzelfall auf- oder abzurunden ist, hängt von b) Da keine negativen Produktionsmengen möglich sind und maimal f () 8 > ME wächst erzeugt die werden Funktion können, f(); mit gilt f () > 8 wächst bzw. die 8 Funktion f (), dh. die Funktion K() in 1 GE der Fragestellung ab. 2 Mit D = [, 8]. c) K() = 3, K(8) = 83. Wir wählen z.. folgenden Maßstab (vgl. Zuwächsen. f() wächst mit steigenden emerkung: Genau genommen nebenstehende muss N sein, Figur): da z.. Mit f () > wächst die 1 cm Funktion =ˆ 2 ME, f(); 1 cm mit =ˆ f () 2, < fällt GE. 6 K() 12,437 ME im Allgemeinen nicht erzeugt werden können. Wir die Funktion f (), dh. die Funktion f() wollen wächst jedoch mit stets fallenden reellen Zuwächsen. Zahlen in einem bestimmten Intervall zulassen und falls eine errechnete Menge nicht ganzzahlig Gesamtkostenfunktion ist die nächstgelegene K() ganze sollte Zahl mit als zunehmender Lösung be- Produktion steigen, was bedeutet, 4 Eine Kostenanteil rosa unterlegt. dass trachten. die erste Ob im Ableitung Einzelfall f () auf- oder > sein abzurunden muss. ist, hängt von Kostender und Fragestellung Preistheorie ab c) Wir K() unterscheiden = 3, K(8) folgende = 83. Kostenverläufe: Wir wählen z.. folgenden Maßstab (vgl. nebenstehende Figur): Lineare Kosten Linearer Kostenverlauf: Die Kosten wachsen proportional zur K() in GE eispiel: 1 cm =ˆ 2 ME, 1 cm =ˆ 2, GE in ME Stückzahl. Es gilt K () > und K () =. re Kostenfunktion dargestellt. Wir erkennen: Die variablen Kosten wachsen bei zunehmender Degressive Kosten Prod tionsmenge im gleichen Ausmaß wie die erzeugte Menge. Sie sind der zahl der erzeugten Stücke direkt proportional und werden K() in durch GE eine lin Für die Erzeugung eines Produkts gilt der nachstehende Zusammenhang zwischen der Anzahl der erzeugten ME und den Gesamtkosten K in GE: K() =, Es können maimal 5 ME in einer Zeiteinheit erzeugt werden. Es sind aber auch unterproportionale (degressive) oder überproportion Im obigen eispiel wurde der fie Kostenanteil blau und der variable (progressive) Kostenverläufe möglich. Es ist a) grafisch b) mittels Infinitesimalrechnung Kostenanteil rosa zu unterlegt. untersuchen, ob die Gesamtkosten degressiv oder progressiv verlaufen. Wir erkennen: Die variablen Lineare Kosten Kosten wachsen bei zunehmender Degressive Kosten Produktionsmenge im gleichen Ausmaß wie die in ME Progressive Kosten Lösung: in K() erzeugte in 1 GEMenge. Sie sind der Anzahl der erzeugten Stücke direkt proportional und werden K() in GE durch eine linea- K() in a) Wertetabelle: GE Degressiver Kostenverlauf: Die Kosten wachsen verhältnismäßig K() in GE langsamer als die Stückzahl. (latein: re Kostenfunktion degredi = dargestellt. hinabsteigen) Es gilt K () > und K () <. 4 Ertragsgesetzlicher Kostenverlauf: Es erfolgt zuerst eine degressive Zunahme, z durch eine rationellere Arbeitsweise, dann hingegen eine progressive Zunahme, z durch eine höhere Abnutzung der Maschinen bzw. durch teurere Personal kosten wegen zusätzlicher Überstunden. Der Graph der Kostenfunktion zeigt einen s-förmigen Verlauf. Der Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenverlauf wird als Kostenkehre K bezeichnet und entspricht dem Wendepunkt der Kostenfunktion. An dieser Stelle gilt: K () = und K (). Analysis Im obigen eispiel wurde der fie Kostena Kostenanteil rosa unterlegt. Wir erkennen: Die variablen Kosten wachsen tionsmenge im gleichen Ausmaß wie die erzeu zahl der erzeugten Stücke 2 direkt 4 proportional 6 u in ME re Kostenfunktion dargestellt. Im obigen eispiel wurde Es sind der aber fie auch Kostenanteil unterproportionale blau und der (degress varia (progressive) Kostenverläufe möglich. 1 ) Anders formuliert: Die Produktionskapazität be K() Es sind 31 aber auch 42 unterproportionale 55 (degressive) oder überproportionale (progressive) Kostenverläufe möglich. 3 Wir erkennen aus Wertetabelle und Grafik: Die Kosten wachsen bei zunehmender Produktionsmenge progressiv. 2 b) Wir bilden die erste Ableitung der Kostenfunktion: Lineare Kosten K () =,2 Degressive + 4 Kosten in ME Progressive Kosten in ME in M 1 Progressiver Die Funktion K () Kostenverlauf: (die sogenannten Die K() Kosten Grenzkosten) in GEwachsen verhältnismäßig bezeichnet K() in GE K() in GE den Kostenzuwachs für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit. Für > ist K () durchwegs positiv. ) Anders formuliert: Die Produktionskapazität beträgt 8 ME im Monat. schneller als die Stückzahl. (latein: progressus = Fortschritt) in ME Es Die gilt Ableitung K () > von und K () K () also > K (). gibt an, welcher Veränderungstendenz die Grenzkosten K () unterworfen sind: K () =,2 Die Grenzkosten steigen. Aus K () > und K () > folgt, dass K() mit steigenden Zuwächsen überproportional steigt. Die Gesamtkosten verlaufen daher progressiv. Man überlege, was für K () und K () gelten müsste, in ME wenn die Gesamtkosten in ME degressiv steigen. in ME eispiel: Ein etrieb kann monatlich maimal 4 ME einer Ware produzie- In der Prais haben Kostenfunktionen oft bei kleinen Produktionsmengen K() in GE einen degressiven, bei größeren Produktionsmengen 1 ) Anders formuliert: jedoch Die Produktionskapazität einen progressiven Verlauf. Der Grund ist darin zu suchen, dass bei geringer beträgt 8 ME im Monat. Kapazitätsausnutzung eine Erhöhung der Produktionsmenge eine bessere Nutzung der vorhandenen Ressourcen (z.. Verringerung von Stillstandszeiten der Maschinen) oder die Erzielung eines günstigeren eschaffungspreises w (z.. Mengenrabatt beim Einkauf von Rohstoffen) ermöglicht. ei einer weiteren Erhöhung der Produktionsmenge können unter Umständen die Kosten (z.. auf Grund von Überstunden) überproportional zunehmen. degressiv progressiv Der Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenverlauf wird Kostenkehre 1) genannt. Derartige s-förmige Kostenverläufe können Kostenkehre z.. durch Polynome dritten Grads beschrieben werden. K() in 1 GE in ME 33

7 C 2.12 Untersuche den Verlauf der Kostenfunktion K() = ) Stelle diese Kostenfunktion im Intervall [; 2] grafisch dar. 2) Gib die Gleichung der Grenzkostenfunktion an. 3) Wo liegt die Kostenkehre? 4) An welcher Stelle hat die Kostenfunktion ihren minimalen Anstieg? 5) In welchem Produktionsbereich ist der Kostenverlauf degressiv, in welchem progressiv? 6) Was bewirkt eine Erhöhung der Fikosten am Funktionsgraphen? Lösung: 1) Funktionsgraph: 4 K() in GE ,5 5 7,5 1 12, ,5 2 in ME 2) K () = Grenzkostenfunktion 1. Ableitung 3) K () = 6 5 Kostenkehre Wendepunkt von K() K () = 6 5 = K = 8,3 Die Kostenkehre tritt bei rund 8,33 ME ein. 4) K() = Der Funktionsgraph ist monoton steigend. K () = minimaler Anstieg Minimum der Funktion K () K () = 6 5 = K = 8,3 K (8,3 ) >... Minimum Der geringste Anstieg wird bei der Kostenkehre erreicht. 5) degressiver Kostenverlauf: [; 8,3 [ progressiver Kostenverlauf: ]8,3 ; 2] 6) Die Höhe der Fikosten ist am konstanten Glied 1 abzulesen. Eine Erhöhung der Fikosten bewirkt eine Verschiebung des Graphen der Kostenfunktion K() in die positive y-richtung. 34 Analysis

8 2.13 1) Ermittle aus folgenden Daten die Gleichung einer Kostenfunktion K() = a 3 + b 2 + c + d: in ME K() in GE 64 48, 74 8, 146 8, 195 4, 2) Ermittle die Gleichung der Grenzkostenfunktion Eine Kostenfunktion K() = a 3 + b 2 + c + d weist bei 1 ME die Kostenkehre auf. Die Grenzkosten liegen bei der Kostenkehre in einer Höhe von 1, GE. Die Gesamtkosten bei einer Produktionsmenge von 5 ME liegen bei 71 2, GE. Die Fikosten sind 1 2, GE. 1) Ermittle die Gleichung der Kostenfunktion K(). 2) Ermittle die Gleichung der Grenzkostenfunktion K () Von einer Kostenfunktion K() = a 3 + b 2 + c + d kennt man folgende Werte: K() = 36 ; K () = 2 ; K(1) = ; K (1) = 14,8 1) Formuliere diese vier Angaben in eigenen Worten. 2) Ermittle die Gleichung der Kostenfunktion K() Von einer Kostenfunktion K() = a 3 + b 2 + c + d betragen die Fikosten 25, GE. Weiters sind für bestimmte Mengen die entsprechenden Gesamtkosten bekannt: in ME K() in GE 32, 336, 35, 1) Ermittle die Gleichung dieser Kostenfunktion. 2) Ermittle die Gleichung der Grenzkostenfunktion K (). 3) ei welcher Produktionsmenge K liegt die Kostenkehre? 2.17 Die Kostenkehre einer Kostenfunktion K() = a 3 + b 2 + c + d liegt bei K = 18 ME. Die Grenzkosten an dieser Stelle betragen 1 26, GE, die Stückkosten 2 25, GE. Der etrieb hat mit Fikosten von 12 15, GE zu rechnen. Gib die Gleichung der Kostenfunktion K() an Nach der eobachtung der Produktionskosten eines etriebs kennt man folgendes Datenmaterial: in ME K() in GE 12 9, , 17 25, 2 525, 1) Ermittle die Gleichung einer Kostenfunktion K() = a 3 + b 2 + c + d. 2) Wie hoch sind die Fikosten? 2.19 Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K() muss folgende Eigenschaften aufweisen: K() muss für monoton steigend sein. K() darf keine Etremwerte haben. Im ersten Quadranten muss die Kostenfunktion einen konkav-konveen Wendepunkt besitzen. Es eistieren positive (oder verschwindende) Fikosten. K() genüge einem Polynom dritter Ordnung: K() = a 3 + b 2 + c + d. Versuche durch Probieren an deinem Rechenwerkzeug herauszufinden, welche edingungen für die Koeffizienten a, b, c und d erfüllt sein müssen. D C Analysis 35

9 Gewinnmaimierung Das Streben nach maimalem Gewinn ist ein wesentliches ökonomisches Prinzip. Die Idee der mathematischen Gewinnanalyse soll an einem Ein-Produkt-Unternehmen gezeigt werden. Zwei (etreme) Marktformen sind hier interessant: 1. Die vollständige Konkurrenz (Polypol): Es gibt viele Anbieter, viele Nachfrager und der Marktpreis p ist aus der Sicht des einzelnen Anbieters eine gegebene Konstante. Der Preis ergibt sich aus Angebot und Nachfrage. Der Schnittpunkt zwischen Angebotsfunktion A (p) und Nachfragefunktion N (p) bzw. zwischen Preisfunktion des Angebots p A () und Preis-Absatz-Funktion p N () wird als Marktgleichgewicht bezeichnet. Er gibt die Gleichgewichtsmenge und den Gleichgewichtspreis an. 2. Das Angebotsmonopol (Monopol): Es gibt einen Anbieter, viele Nachfrager und für den Anbieter eistiert eine monoton fallende Preis-Absatz-Funktion p N = p N (), die der Unkehrfunktion der Nachfragefunktion des Markts entspricht. Ein Gewinn eines Unternehmens ergibt sich aus der Differenz zwischen Erlösen und Kosten und wird somit als Funktionsterm G() = E() K() beschrieben. Jene Produktionsmenge, bei der der Erlös gerade die Gesamtkosten deckt, wird als Gewinnschwelle ( reak-even-point, engl. to break even = ausgleichen, ungeschoren davon kommen) bezeichnet. Sind nur ganzzahlige Produktionsmengen (z Stück) möglich, ist die Gewinnschwelle immer aufzurunden. Da abhängig vom Kosten verlauf bei größeren Produktionsmengen die gestiegenen Kosten die Erlöse wieder übertreffen können, spricht man bei der oberen Grenze des Gewinnbereichs von der Gewinngrenze. Sind nur ganzzahlige Produktionsmengen (z Stück) möglich, ist die Gewinngrenze immer abzurunden. eide Werte, Gewinnschwelle und Gewinngrenze, sind die Nullstellen der Gewinnfunktion. Für ein Unternehmen von großem Interesse ist K(), E(), G(), p N () in GE natürlich jene Produktionsmenge C, bei welcher 2 maimaler Gewinn erzielt wird, diese entspricht E() dem Maimum der Gewinnfunktion. Ein in der Kosten- und Preistheorie charakteristischer K() Punkt der Preis-Absatz-Funktion p N () ist der 1 Cournot sche Punkt C( C p N ( C )), benannt G() nach Antoine A. Cournot (französischer Wirtschaftstheoretiker, ). 2 p N () in ME Die Koordinaten dieses Punkts entsprechen der gewinnmaimalen Menge und dem zugehörigen Preis. Auf den nächsten drei Seiten zeigen wir die verschiedenen Arten der erechnung des Gewinnmaimums für vollständige Konkurrenz und Angebotsmonopol sowie für den Sonderfall einer linearen Gewinnfunktion, bei der der maimale Gewinn an der Kapazitätsgrenze liegt. 36 Analysis

10 2.2 Ein etrieb folgt der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K() =,5 3 4, ,5 + 84,5. Das erzeugte Produkt kann zum festen Marktpreis von p = 42 GE/ME abgesetzt werden. 1) Wie lautet die Umsatzfunktion E()? 2) Wie lautet die Gewinnfunktion G()? 3) ei welchen Mengen liegen der reak-even-point und die Gewinngrenze? 4) ei welcher Produktionsmenge wird der Gewinn maimal? Wie hoch ist dieser maimale Gewinn? 5) Stelle Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion in einem Koordinatensystem dar. 6) eschreibe die Zusammenhänge zwischen den Schnittpunkten von E() und K() und der Gewinnfunktion G(). C Lösung: 1) E() = 42 2) G() = 42 (,5 3 4, ,5 + 84,5) =, , ,5 84,5 3) Wir berechnen die Nullstellen der Gewinnfunktion mithilfe von Technologieeinsatz. Die Lösungen der Gleichung, , ,5 84,5 = sind 1 = 2,97 ME sowie 2 = 11,14 ME; die dritte Lösung ist negativ und daher nicht relevant. Der reak-even-point liegt daher bei 2,97 ME und die Gewinngrenze bei 11,14 ME. 4) Um das Gewinnmaimum zu ermitteln, setzen wir G () = E () K () =, woraus E () = K () (Grenzerlös = Grenzkosten) folgt. Wegen des zu erwartenden Maimums muss G () = E () K () < oder E () < K () sein. Wir lösen G () = 1, ,5 = mithilfe von Technologieeinsatz und erhalten 1 = 7,69 ME ( 2 = 1,69 ist negativ). Der Gewinn an dieser Stelle beträgt G(7,69) = 14,19 GE. Da G (7,69) < ist, liegt ein Maimum vor. Der maimale Gewinn liegt bei einer Produktionsmenge von 7,69 ME; er beträgt 14,19 GE. 5) 6 K(), E(), G() in GE 5 4 E() 3 G ma K() 2 1 G ma G() in ME -1 6) Die Schnittpunkte von E() und K() entsprechen den Nullstellen von G(), dem reak-even-point und der Gewinngrenze. Analysis 37

11 C 2.21 Der etrieb mit der Kostenfunktion K() =,5 3 4, ,5 + 84,5 (siehe 2.2) hat sich zum Monopolbetrieb gemausert. Für die Nachfrage des Markts wurde die Preis-Absatz-Funktion p N () =143 1,2 ermittelt. 1) Wie lautet jetzt die Umsatzfunktion E()? 2) Wie lautet jetzt die Gewinnfunktion G()? 3) ei welchen Mengen liegen jetzt der reak-even-point und die Gewinngrenze? 4) ei welcher Produktionsmenge wird jetzt der Gewinn maimal? Wie hoch ist der zugehörige Preis? Gib den Cournot schen Punkt und den maimalen Gewinn an. 5) Stelle Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion in einem Koordinatensystem dar. 6) eschreibe die Zusammenhänge zwischen den Schnittpunkten von E() und K() und der Gewinnfunktion G(). Lösung: 1) E() = 143 1,2 2 2) G() = 143 1,2 2 (,5 3 4, ,5 + 84,5) =,5 3 5, ,5 84,5 3) Wir berechnen die Nullstellen der Gewinnfunktion mithilfe von Technologieeinsatz. Die Lösungen der Gleichung,5 3 5, ,5 84 = sind 1 =,73 ME und 2 =1,34 ME; die dritte Lösung ist negativ und daher nicht relevant. Der reak-even-point liegt jetzt bei,73 ME und die Gewinngrenze bei 1,34 ME. 4) Um das Gewinnmaimum zu ermitteln, lösen wir G () = 1,5 2 11,4 + 12,5 = mithilfe von Technologieeinsatz und erhalten 1 = 5,94 ME ( 2 = 13,54 ist negativ). Der Gewinn an dieser Stelle beträgt G(5,94) = 325,36 GE. Da G (5,94) < ist, liegt ein Maimum vor. Der zugehörige Preis beträgt p(5,94) = 82,41 GE/ME. Der Punkt mit den Koordinaten C(gewinnmaimale Menge zugehöriger Preis) wird als Cournot scher Punkt bezeichnet: C(5,94 82,41). Der maimale Gewinn liegt jetzt bei einer Produktionsmenge von 5,94 ME; er wird bei einem Verkaufspreis von 82,41 GE/ME erzielt und beträgt 325,36 GE. 5) 6 K(), E(), G() in GE, p N () in GE/ME 5 4 E() K() 3 2 G ma G() 1 p C C p N () in ME 6) Auch bei einem Monopolbetrieb entsprechen die Schnittpunkte von E() und K() den Nullstellen von G(), dem reak-even-point und der Gewinngrenze. 38 Analysis

12 2.22 Ein anderes Unternehmen produziert mit der linearen Kostenfunktion K() = 2, Die Kapazitätsgrenze beträgt = 6 ME. Die Ware wird zum festen Marktpreis von p = 6 GE/ME abgesetzt. 1) Wie lautet die Umsatzfunktion E()? 2) Wie lautet die Gewinnfunktion G()? 3) ei welcher Produktionsmenge wird der Gewinn maimal? Wie hoch ist dieser maimale Gewinn? 4) Stelle Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion in einem Koordinatensystem dar. Lösung: 1) E() = 6 2) G() = 6 (2,5 + 85) = 3,5 85 3) Da die Gewinnfunktion linear ansteigt, kann sie kein lokales Maimum haben. Der Gewinn wird aber an der Kapazitätsgrenze maimal. Es handelt sich um ein Randmaimum (globales Maimum). Damit der Gewinn positiv ist, muss der reak-even-point (-Wert des Schnittpunkts von Erlös- und Kostenfunktion) innerhalb des Produktionsintervalls liegen. Das ist für E() = K() 6 = 2, = 24,28 ME der Fall. Für das Unternehmen beträgt der maimale Gewinn G(6) = 125 GE. 4) 4 K(), E(), G() in GE 3 E() G ma 2 reak-even-point K() G() G ma in ME erechne für die Kostenfunktion K() =,1 3 1, und den Marktpreis p = 1,5 GE/ME die Gewinnzone und den maimalen Gewinn Wie Aufgabe 2.23 für die Kostenfunktion K() =, , und den Marktpreis p = 17 GE/ME Die Kosten und die Nachfrage eines Monopolbetriebs sind durch folgende Funktionsgleichungen bestimmt: K() =, , p N () = ) erechne den Gewinnbereich. 2) estimme den Cournot schen Punkt und den maimalen Gewinn. Analysis 39

13 D 2.26 Eine Unternehmerin mit Monopolstellung weiß aus langfristiger Marktbeobachtung, dass sie von ihrem Produkt bei einem Preis von 2, 1 85 Stück absetzen kann. Wenn sie den Preis auf 18, reduziert, erhöhen sich die Verkaufszahlen um 5 ME. Die lineare Kostenfunktion dieses etriebs setzt sich aus Fikosten von 8, und variablen Kosten von 1,5 /ME zusammen. ei welchem Preis ist der Gewinn maimal? 2.27 Man weiß von einem etrieb, dass die Gesamtkosten bei einer Produktion von 15 ME 1 65, GE betragen. Steigert man die Produktion um 5 ME, so steigen die Kosten um 3, GE. Der Gleichgewichtspreis, um welchen das Produkt verkauft werden kann, liegt bei 8,9 GE. 1) Ermittle die lineare Gesamtkostenfunktion. 2) Innerhalb welchen ereichs liegt die Gewinnzone? 3) Stelle die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion in einem gemeinsamen Koordinatensystem grafisch dar Ein Produktionsbetrieb arbeitet mit der Kostenfunktion K() =, ) erechne jene Produktionsmenge, bei der der etrieb zum Grenzbetrieb wird, wenn also zum Preis der minimalen Stückkosten produziert wird. 2) erechne die Stückkosten und die Gesamtkosten an dieser Stelle. 3) Zeige grafisch, dass jene Tangente, die man im etriebsoptimum an die Kostenfunktion legt, durch den Ursprung verläuft Ein etrieb arbeitet als monopolistischer Anbieter mit einer Gewinnfunktion von G() = Von der Nachfragesituation weiß man, dass sie durch eine lineare Funktion modelliert werden kann. Sie weist einen Höchstpreis p H von 5, GE sowie eine Sättigungsmenge S von 5 3 ME auf. estimme den Cournot schen Punkt sowie den maimalen Gewinn. 2.3 Ein in seiner Region konkurrenzloser Hotelier kann die Gästezahl durch seine Preisgestaltung derart beeinflussen, dass er bei einem Übernachtungspreis von 28, pro ett mit 5 gebuchten etten rechnen kann, jede Preiserhöhung um 15, würde jedoch zu einem Rückgang der Nachfrage um eine Einheit (ein ett) führen. Der Hotelier geht von einem linearen Kostenfunktionsmodell mit Fikosten von 7, und variablen Kosten von 15, pro ett aus. ei welchem Preis kann er seinen maimalen Gewinn erzielen? 2.31 Die variablen Kosten pro Stück einer Ware werden von einem Unternehmen mit 45, GE kalkuliert. Die Fikosten liegen bei 15, GE. ei der erreichten Kapazität von 1 ME soll ein Gewinn von 4, GE erreicht werden. Um welchen Preis muss das Produkt verkauft werden? 2.32 Ein etrieb erreicht sein etriebsminimum bei 15 ME und sein etriebsoptimum bei 3 ME und muss mit Fikosten von 54, GE rechnen. Es ist bekannt, dass der etrieb bei einem Preis von 74, GE zum Grenzbetrieb wird. 1) Ermittle die kubische Kostenfunktion. 2) Wie hoch ist der Gewinn an der Stelle der minimalen Stückkosten, wenn jede Mengeneinheit zu einem Preis von 1 2, GE verkauft werden kann? 3) Wo liegen die Grenzen, innerhalb welcher der etrieb mit Gewinn arbeitet? 4 Analysis

14 2.33 Einer deiner ekannten möchte eine Firma gründen. Zuvor hat der Jungunternehmer eine Unternehmensberatung beauftragt, die Voraussetzungen, die Risiken, die Chancen und Gefahren, die ihn erwarten, ein wenig zu recherchieren. Die Unternehmensberaterin hat alle Kosten K(), die bei der Produktion anfallen werden, den möglichen Erlösen E() gegenübergestellt. Die folgende Grafik wird dem Jungunternehmer vorgelegt. Er fragt dich nach deiner Interpretation der Grafik. Kosten K() und Erlös E() hängen von der produzierten Stückzahl ab. Untersuche mithilfe der Grafik die Eigenschaften der Erlösfunktion K(), E() in GE K() 1) Welche Eigenschaften hat die Erlösfunktion bezüglich der Werte k und d? 2) Wie könntest du (bei entsprechender Vergrößerung) aus dem Graphen ablesen, welcher Preis pro Mengeneinheit (Stück) erzielt wird? Wie kannst du dies aus dem Funktionsterm ablesen? 3) An welchen Stellen schneiden sich Erlösund Kostenfunktion? Wie lassen sich diese Stellen interpretieren? In der Grafik ist an der Stelle A der Gewinn G() eingezeichnet. Durch Verschieben des Punkts A entlang der -Achse kann der jeweilige Gewinn dargestellt werden. 4) Wie hängen die Schnittpunkte von Erlösund Kostenfunktion mit der Gewinnfunktion zusammen? 5) Innerhalb welcher Produktionsmengen (Stückzahlen) liegt die Gewinnzone? 6) Wie groß sollte die Kapazität des etriebs zumindest sein, dh wie viele Stück muss der etrieb mindestens erzeugen, um überhaupt den Gewinnbereich zu erreichen? A E() Gewinn Gewinn in ME K(), E() in GE K() E() in ME CD 2.34 Die Marktsituation zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen dem Preis eines Produkts und der nachgefragten Menge, so dass bei einem Preis von 6,7 GE insgesamt 1 5 Stück verkauft werden können. Erhöht man den Preis um,4 GE, so reduziert sich die nachgefragte Menge um 3 Stück. 1) estimme die Preis-Absatz-Funktion sowie die Gewinnfunktion, falls der Monopolbetrieb mit einer linearen Kostenfunktion von K() = arbeitet. 2) Ermittle grafisch und rechnerisch die Grenzen der Gewinnzone. 3) Welche Unterschiede kannst du zum Modell mit fiem Verkaufspreis feststellen? 4) egründe, unter welchen Voraussetzungen die Gewinnzone nach oben unbegrenzt ist und unter welchen edingungen sie auch nach oben hin begrenzt ist? CD Analysis 41

15 Elastizität ökonomischer Funktionen Die Elastizität ε ist ein Maß für das Änderungsverhalten (ökonomischer) Größen, die durch einen funktionalen Zusammenhang miteinander verbunden sind. Man spricht dann z von Preiselastizität (der Nachfrage), Erlöselastizität, Gewinnelastizität etc. Die Elastizität ε gibt an, wie sich eine relative Änderung der unabhängigen Variable einer Funktion f auf die relative Änderung des Funktionswerts f() auswirkt. Am eispiel der Preiselastizität der Nachfrage bedeutet das: Um wieviel Prozent ändert sich die Nachfrage(funktion), also die nachgefragte Menge, wenn der Preis um 1 % verändert wird? Allgemein können wir definieren: Es sei die Funktion y = f() gegeben. Ändert man im Punkt ( f( )) die unabhängige Variable um, so ändert sich der Funktionswert f um f ( f = f( + ) f( )). Das Verhältnis ε der relativen Änderungen f 42 Analysis f( ) und f, ε = f( ) (ogen-)elastizität von f bezüglich im Intervall [ ; + ]. = f f( ), heißt Die (ogen-)elastizität erweist sich allerdings als unhandlich, sodass man analog zum Übergang vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten auch bei der Elastizität anstelle der Differenzen f, die Differenziale df, d verwendet. Ist f eine differenzierbare Funktion der unabhängigen Variablen, so lässt sich der Grenzübergang durchführen. Das Verhältnis ε der relativen Änderungen df und d f( ), ε = f( ) ( d, f( ) ), heißt (Punkt-)Elastizität von f bezüglich an der Stelle. Die Punktelastizität nähert sich der ogenelastizität umso mehr an, je kleiner = d gewählt wird. Der Wert der Punktelastizität ε von f bezüglich liefert für lineare Funktionen eakte Aussagen, für alle anderen Funktionen gibt er (näherungsweise) an, wie sehr sich die abhängige Variable f prozentuell ändert, wenn sich die unabhängige Variable um 1 % ändert. Das Vorzeichen der Elastizität spielt dabei eine wesentliche Rolle: Ist ε positiv, dann bewirkt eine relative Zunahme (Abnahme) von eine relative Zunahme (Abnahme) von f. Das ist z bei Angebotsfunktionen der Fall. Ist ε negativ, dann bewirkt eine relative Zunahme (Abnahme) von eine relative Abnahme (Zunahme) von f. Das ist z bei Nachfragefunktionen der Fall. df Die erechnung der (Punkt-)Elastizität wird durch folgende Umformung erleichtert: df f( ε = ) d = df f( ) d = df d f( ) = f ( ) f( ) Die Formel zur einfachen erechnung der (Punkt-)Elastizität lautet ε = f ( ) f( ).

16 Am eispiel der Nachfragefunktion N (p) lässt sich ε folgendermaßen interpretieren: ε = 1: Die Nachfrage ist fließend (proportional elastisch, 1-elastisch), da eine 1%ige Preisänderung eine 1%ige Mengenänderung des Absatzes nach sich zieht. ε > 1: Die Nachfrage ist elastisch, dh. die prozentuelle Änderung der Nachfrage ist stärker als die des Preises. Eine Preisänderung hat also eine starke Wirkung auf die Nachfrage. ε < 1: Die Nachfrage ist unelastisch, dh. die prozentuelle Änderung der Nachfrage ist geringer als die des Preises. Eine Preisänderung hat also eine schwache Wirkung auf die Nachfrage. ε = : Die Nachfrage ist vollkommen unelastisch (starr), da eine Preisänderung keine Reaktion der Nachfrage mit sich bringt. ε = : Die Nachfrage ist vollkommen elastisch. Das bedeutet, dass eine minimale Preisänderung eine unendlich große Änderung der Nachfrage bewirkt. Wichtiger Hinweis: eachte bei der erechnung der Elastizität immer, welche Größe die abhängige Variable darstellt. Es ist z häufig die Preisfunktion der Nachfrage p N gegeben. In diesem Fall ist p die abhängige Variable, die sich ändert, wenn sich die Nachfrage ändert. Ist aber die Preiselastizität der Nachfrage gesucht, dann muss zuerst die Nachfrage funktion N berechnet werden, da diese Funktion die nachgefragte Menge in Abhängigkeit vom Preis angibt! Die Preiselastizität der Nachfrage berechnen wir daher mit : N ε = N (p ) p p = N p p N (p )... ogenelastizität; ε(p p ) = N (p )... Punktelastizität N (p ) N (p) in ME Δ Nachfrage sinkt Δp fließend = -,5:,5 = Preiserhöhung p in GE/ME 2 Nachfrage sinkt Grafik mit: p = 1, Nachfragefunktion N (p) = 1,5p N (p) in ME Δ unelastisch = -,38: 1,33 = -,3 Δp Preiserhöhung p in GE/ME N (p) in ME elastisch Nachfrage sinkt = -,68:,4 2 Δ -1,7 1 Δp p in GE/ME Preiserhöhung 2.35 ei einem Preis von 2 GE/ME beträgt die Nachfrage nach einem Wirtschaftsgut 14 ME. ei einem Preis von 5 GE/ME beträgt die Nachfrage 5 ME. Die Sättigungsmenge S beträgt 15 ME. Die Nachfragefunktion lasst sich durch eine quadratische Funktion N mit N (p) = a p 2 + b p + c beschreiben. 1) Stelle aus den Angaben ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten der quadratischen Nachfragefunktion berechnen kann. erechne die Koeffizienten und gib die Gleichung an. 2) Ermittle den Höchstpreis. 3) Der Preis von 4 GE/ME wird um eine Einheit gesenkt. Argumentiere, welche Auswirkungen dies auf die Nachfrage hat. Erstelle eine allgemeine Formel mit den Parametern a, b und c, mit der die Preiselastizität der Nachfrage in diesem Fall berechnet wird. D Analysis 43

17 CD Kosten- und Preistheorie Lösung: 1) Die Punkte (2 14), (5 5) und ( 15) liegen auf N. Wir stellen folgendes System von drei Gleichungen in drei Variablen auf: I: 14 = 4a + 2b + c II: 5 = 2 5a + 5b + c III: 15 = c Wir lösen das Gleichungssystem mithilfe von Technologieeinsatz. a =,1; b = 2,5; c = 15 Die Nachfragefunktion lautet N (p) =,1p 2 2,5p ) N (p) =,1p 2 2,5p + 15 = Wir lösen die quadratische Gleichung mithilfe von Technologieeinsatz. p 1 = 1; p 2 = 15 p H = 1 GE/ME Lösung p 2 ist nicht gültig, weil die Nachfragemenge bei p > 1 negativ wird. 3) Die Preissenkung hat zur Folge, dass die Nachfrage steigt. Die Preiselastizität der Nachfrage ist an einem Punkt gefragt, daher verwenden wird die Formel für die Punktelastizität: p ε = N (p) N (p) ε = 2a p2 + b p a p 2 + b p + c 3 2a + 4b 1 6a + 4b + c ε(4) = 2.36 Gegeben ist eine lineare Nachfragefunktion N mit N (p) = 44 2p. estimme die Preiselastizität der Nachfrage bei einem Preis von 16 GE. Interpretiere das Ergebnis Gegeben ist eine quadratische Nachfragefunktion N mit N (p) =,1p 2 2,6p estimme die Preiselastizität der Nachfrage bei einem Preis von 37 GE. Interpretiere das Ergebnis Erstelle eine lineare Nachfragefunktion N, wenn sich bei einem Preis von 72 GE/ME ein Absatz von 4 ME erwarten lässt und bei einer Preissenkung die Absatzsteigerung prozentuell gleich groß ist. Hinweis: ei der Abhängigkeit der Absatzmenge vom Preis ist die Elastizität negativ Gegeben ist eine quadratische Nachfragefunktion N mit N (p) =,1p 2 2,6p erechne jenen Preis, bei dem sich die Preiselastizität der Nachfrage von einer elastischen zu einer unelastischen Nachfrage verändert. Hinweis: ei der Abhängigkeit der Absatzmenge vom Preis ist die Elastizität negativ. 2.4 Laut Untersuchungen eines Marktforschungsinstituts ergeben sich zwischen dem Preis des Wirtschaftsguts und der Nachfragemenge folgende Werte: Preis p in GE/ME Menge N (p) in ME ) Zeichne die Nachfragefunktion N. Lies die Gleichung der Nachfragefunktion aus der Grafik ab. Ermittle den Wert der Punktelastizität bei einem Preis von 8 GE/ME. Interpretiere das Ergebnis. 2) erechne die ogenelastizität aus den gegebenen Werten bei einer Preisänderung von 6 GE/ME auf 8 GE/ME. Interpretiere das Ergebnis in ezug auf die Preiselastizität der Nachfrage. 44 Analysis

18 Zusammenfassung Nachfragefunktion: N = N (p) Preisfunktion der Nachfrage (Preis-Absatz-Funktion): p N = p N () Angebotsfunktion: A = A (p) Preisfunktion des Angebots: p A = p A () Erlös- bzw. Umsatzfunktion: E() = p N (), E(p) = N (p) p Kostenfunktion: K() = K v () + F (Gesamtkosten = variable Kosten + fie Kosten) Durchschnittskosten: K () = K(), Durchschnittskosten-Minimum = etriebsoptimum O (langfristige Preisuntergrenze) Durchschnittliche variable Kosten: K v () = K v (), Kosten-Minimum der variablen Kosten = etriebsminimum M (kurzfristige Preisuntergrenze). Gewinnfunktion: G() = E() K() Grenzfunktionen (Grenzkosten, Grenzerlös, Grenzgewinn) beschreiben die Änderung einer ökonomischen Größe bei Änderung der produzierten oder nachgefragten Menge um eine Einheit. Gewinnmaimierung für vollständige Konkurrenz (Polypol): Preis konstant Angebotsmonopol (Monopol): monoton fallende Preis-Absatz-Funktion Cournot scher Punkt: C(gewinnmaimale Menge zugehöriger Preis) Preiselastizität der Nachfrage: N ε = N (p ) p p = N p p N (p )... ogenelastizität; ε(p ) = N (p ) p... Preiselastizität N (p ) Weitere Aufgaben 2.41 eim etriebsoptimum an der Stelle = 12 ME haben die Grenzkosten den Wert 6 GE/ME. Die Fikosten betragen 72 GE. Wie lautet die quadratische Kostenfunktion? 2.42 Die Kostenfunktion eines etriebs ist eine Polynomfunktion dritten Grads. ei einer Produktionsmenge von = 6 ME betragen die variablen Kosten 4,8 GE/ME und die variablen Grenzkosten 3,2 GE/ME. Das etriebsminimum liegt bei einer Produktionsmenge von = 12 ME. 1) Wie lautet die Funktion der variablen Kosten? 2) Wie groß sind die minimalen variablen Durchschnittskosten (= etriebsminimum)? 3) Wie hoch sind die variablen Durchschnittskosten bei der Kostenkehre (Wendepunkt)? 2.43 Ein etrieb folgt der Kostenfunktion K() =, ) Welcher Marktpreis macht den etrieb zu einem Grenzbetrieb? Wie hoch ist in diesem Fall der Deckungsbeitrag? Hinweis: Ein etrieb wird zum Grenzbetrieb, wenn der Verkaufspreis gleich dem Stückkostenminimum der Gesamtkosten ist (langfristige Preisuntergrenze). 2) Der Marktpreis sinkt auf p = 6 GE/ME. Wie hoch sind bei einem Absatz von =18 ME der Gewinn und der Deckungsbeitrag? Analysis C 45

19 D CD Kosten- und Preistheorie 2.44 Der Gewinn einer Firma lässt sich näherungsweise durch folgende Funktion beschreiben: G() = Anzahl der verkauften Stück in 1, G... Gewinn in 1) Ermittle die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze. 2) Gib an, bei welcher Stückzahl die Firma maimalen Gewinn erzielt In einem Herstellungsbetrieb für Sportgeräte lassen sich die Gesamtkosten durch folgende Funktion beschreiben: K() =,2 3, Anzahl an produzierten Stück in 1, K... Kosten in. Ermittle die Kostenkehre Die Fikosten einer Produktion einer Ware betragen 1 2,. Für die Produktion von 1 ME belaufen sich die Gesamtkosten auf 1 24,. 1) Stelle die lineare Kostenfunktion K() auf. 2) erechne die Schnittpunkte der Kostenfunktion K() mit der Erlösfunktion E() = verkaufte Menge in ME, E... Erlös in 3) eschreibe, welche wirtschaftliche edeutung die Schnittpunkte aus 2) haben. 4) erechne den maimalen Gewinn Die Gesamtkosten für die Produktion von 2 Stück einer Ware betragen 4,, für 3 Stück derselben Ware betragen die Gesamtkosten 5 5,. 1) Ermittle die lineare Kostenfunktion. 2) Der Preis der Ware lässt sich durch die folgende Preis-Absatz-Funktion beschreiben: p N () = Stückzahl, p N... Preis in pro Stück Stelle die Erlösfunktion auf. 3) ei welcher Stückzahl ist der erzielte Gewinn maimal? 4) Stelle die Kosten-, die Erlös- und die Gewinnfunktion grafisch dar. Lies aus der Grafik ab, in welchem ereich Gewinn erzielt wird ei der Produktion von speziellen Modellautos sind folgende Werte für die jeweils auftretenden Gesamtkosten bekannt: Menge in ME Gesamtkosten K() in GE ) Ermittle die Kostenfunktion unter der Annahme, dass die Kosten durch eine Polynomfunktion dritten Grads ausreichend genau beschrieben werden können. 2) erechne, an welcher Stelle der Kostenverlauf von degressiv zu progressiv übergeht Auf einem Adventmarkt werden kleine Kunstobjekte verkauft. Der Absatz lässt sich mithilfe einer linearen Preis-Absatz-Funktion beschreiben. Aus Erfahrung weiß man, dass man bei einem Stückpreis von 36, mit einem Absatz von 2 Stück rechnen kann. Setzt man den Preis um 6, niedriger an, rechnet man mit einem Absatz von 35 Stück. 1) Ermittle die Preis-Absatz-Funktion p N (). Gib einen sinnvollen Definitionsbereich an. 2) Gib an, wie viel Kunstobjekte verkauft werden müssen, damit der Erlös maimal wird. 3) Der Gewinn kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden: G() =,2 3 +, Anzahl der verkauften Kunstobjekte, G... Gewinn in Ermittle die zugehörige Kostenfunktion für die Produktion der Kunstobjekte. 4) Stelle die Erlös-, die Kosten- und die Gewinnfunktion grafisch dar und beschreibe den Zusammenhang zwischen diesen drei Funktionen mit eigenen Worten. 46 Analysis

20 2.5 Für den Verkauf einer Ware hat man empirisch folgende Kostenfunktion erhoben: K() = Anzahl an produzierten Stück in 1, K... Kosten in Ermittle 1) die Grenzkostenfunktion 2) die Kostenkehre Ein Unternehmen stellt neuartige medizinische Apparaturen her. Dabei wird von folgender Kostenfunktion ausgegangen: K() =, , Anzahl in ME, K... Kosten in 1) estimme die Grenzkostenfunktion K (). 2) erechne, bei welcher Menge es den geringsten Kostenzuwachs gibt Die Gesamtkosten eines Monopolbetriebs folgen angenähert einer kubischen Parabel, die Preis-Absatz-Funktion verläuft nach einer Parabel zweiter Ordnung. 1) estimme die Kostenfunktion aus folgenden Angaben: Die Gesamtkosten betragen bei Stillstand der Produktion 1 GE, die Grenzkosten 1 GE/ME. Die Kostenkehre befindet sich bei 1 ME, die Grenzkosten sind dort 55 GE/ME. 2) erechne das etriebsoptimum und die minimalen Stückkosten. 3) erechne die Gleichung der Preis-Absatz-Funktion aus folgenden Angaben: Der Höchstpreis beträgt 4 GE/ME. ei einem Verkaufspreis von 298,75 GE/ME steigt die Nachfrage auf 15 ME, bei 2 ME wird ein Erlös von 5 GE erzielt. 4) estimme den Cournot schen Punkt Die quadratische Kostenfunktion eines Monopolbetriebs ist durch die Gleichung K() =, gegeben. 1) Die quadratische Preis-Absatz-Funktion soll aus folgenden Angaben berechnet werden: Werden 42 GE/ME verlangt, beträgt die nachgefragte Menge 12 Stück, bei 33 GE/ME sind es 15 Stück und bei 14 GE/ME bereits 2 Stück. 2) estimme den Cournot schen Punkt, den maimalen Gewinn und die Gewinngrenzen ) estimme für folgende Messdaten mithilfe der Regressionsrechnung (siehe and 2, Abschnitt 7.3.2) die lineare Preis-Absatz-Funktion (Koeffizienten auf 5 werthabende Stellen genau): Menge in ME Preis p N () in GE/ME ) Ermittle den Cournot schen Punkt für die Gewinnfunktion G() = ) erechne das etriebsoptimum und die minimalen Stückkosten ) Die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolbetriebs hat die Form p N () = a b + c. Folgender Zusammenhang ist für Verkaufspreis und Absatzmenge belegt: Absatzmenge in ME Verkaufspreis p N () in GE/ME ,5 D estimme die Preis-Absatz-Funktion. 2) estimme die Kostenfunktion mittels linearer Regression (siehe and 2, Abschnitt 7.3.2): Menge in ME Preis K() in GE/ME ) estimme Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Cournot schen Punkt. Analysis 47