Lösungsvorschlag Vorbereitung KA2 K

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1 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe : [4P] Leiten Sie ab: a) c) f ( x) x sin(x 4 x) b) g(x) x cos(x) f( x) 4 x x x 6x d) f ( x) x cos x x Lösungsvorschlag : Anmerkungen: Vor dem Ableiten sollte man sich immer Folgendes klarmachen: Fast alle Funktionen im Abi, die abgeleitet werden sollen, lassen sich aus anderen Funktionen zusammensetzen, sie sind Produkte, (Quotienten) Hintereinander Ausführungen von einfacheren Funktionen, deren Ableitungen wir kennen. a) Wir benötigen zuerst die Produktregel und dann beim Ableiten des zweiten Faktors noch die Kettenregel. f '( x) xsin(x 4 x) x cos(x 4 x) 6x 4 Bitte vergesst bei der inneren Ableitung die Klammer nicht. b) Hier formen wir vor dem Ableiten um: Merke: Zahlen schreiben wir beim Ableiten immer mit Wurzeln, nicht als Exponenten. Also Damit ist Somit ist x x x und 6x 6 x x 4x x x 4x x 4 f ( x) x x 6x x 6x 6x f 4 '( x ) 6 x 6 x 6 x 6 x c) Bei dieser Aufgabe müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden, da g x f h x eine Hintereinander Ausführung ist. Die Funktion f () t wird beim Berechnen der Funktionswerte nach h( x) x c os ( x) angewandt. Wir leiten f also zuerst nach t ab und ersetzen nach dem Ableiten, d.h. in f '( t) zuerst t wieder durch x cos( x) und dann multiplizieren wird diesen Ausdruck mit der Ableitung der Funktion h(x) x cos(x) d.h. mit t h'( x) x sin( x) VORSICHT: Die innere Ableitung in Klammern setzen! x sin( x) g '( x) x sin( x) x cos( x) x cos( x) t Seite

2 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 d) Die Produkt- und Kettenregel liefert: f '( x) x cos x x x sin x x 6x 4 cos 6 sin x x x x x x x Aufgabe : [4P] Bestimmen Sie die x-werte, bei denen die Tangente an die Funktion f ( x) x durch R(-/0) geht. Lösungsvorschlag : Sei a ein x-wert, an dem die Tangente durch R(-/0) geht. Dann ist die Gleichung der Tangente wegen f '( x) d.h. f '( a) und x a f ( a) a t( x) f '( a) x a f a x a a a Da der Punkt R(-/0) auf der Tangente liegt, gilt 0 t( ) a a a Da die Unbekannte im Nenner ist, multiplizieren wir mit dem Hauptnenner und 0 a a a erhalten Wir haben dabei ausgenutzt, dass a 0 ist, da der Definitionsbereich = 0 Damit ergibt sich a =. Aufgabe : [4P] Bestimmen Sie die Lösung von x x Lösen Sie die Gleichung cos( ) cos( ) x 6sin(x) 4 0. Lösungsvorschlag :. Gleichung: Wir substituieren z = cos(x ) Damit erhalten wir die Gleichung zz z z 0. Die MNF liefert 4 z/ / Wir machen die Substitution wieder rückgängig, Die erste Lösung z = ergibt cos(x ) =. Da cos(x) nur für x = 0 den Wert hat (und für x = πk) muss x = 0 sein, d.h. die Lösung ist x =,5 Die zweite Lösung z = hat keine Lösung für x, da cos(x) nie ist.. Gleichung: Das vielleicht Wichtigste beim Bestimmen von Nullstellen ist: Wenn ein Produkt Null ist, so ist mindestens einer der beiden Faktoren Null. Deswegen klammert man beim Bestimmen von Nullstellen oft aus. (Merke: Das gilt nur, wenn das Produkt Null ist, nicht wenn es etwa ist!). Möglichkeit: ist. Seite

3 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K Möglichkeit: x 0 x x x / 6sin(x) sin(x) 6 x sin Aufgabe 4: [4P] Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme a) x 7y z 5 4x y z 5x y z b) x y z y 4z y 6z Lösungsvorschlag 4: Zu a) Wir schreiben die Gleichung in Matrixform und bringen sie auf obere Dreiecksgestalt *g+g 5 5*g+g : : *g-*g entweder Seite

4 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K Rückwärts einsetzen ergibt: G ergibt z G ergibt y 7 y 7 y G ergibt x 7 5 x 5 7 x 0 bei der letzten Umformung die. Spalte entfernen, d.h g-g 0 Rückwärts einsetzen ergibt: G ergibt y G ergibt z 7 z G ergibt x 7 5 x 5 7 x 0 Die Lösung ist in jedem Fall: x 0; y ; z x 0 y z Zu b) Wir schreiben die Gleichung wieder in Matrixform und bringen sie auf obere Dreiecksgestalt 4 6 / * g* g Die letzte Gleichung ist immer richtig, also kann z.b. z beliebig gewählt werden, etwa z r Die zweite Zeile ergibt damit y 4r y 4r y r 0,5 Und die erste Zeile: x y z x 4r r 5r Die Lösung ist also x 5r ; y r 0,5; z r x 5r y r0,5 z r Seite 4

5 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 Aufgabe 5: [4P] Aus einem 000 Jahre alten chinesischen Mathebuch: Jemand verkauft zwei Büffel und fünf Hammel. Und der kauft Schweine; dabei bleiben 000 Münzen übrig. Verkauft er drei Büffel und drei Schweine, so kann er genau neun Hammel kaufen. Verkauft er sechs Hammel und acht Schweine, so fehlen im noch 600 Münzen, um fünf Büffel kaufen zu können. Wie viel kostet ein Büffel, ein Hammel, ein Schwein! Heute geht das viel einfacher als früher, da Schüler früher keine Buchstabenrechnung zur Verfügung hatten! Diese ist eine Erfindung der Europäer des 6. Jahrhunderts, vor allem des Franzosen Viëta. Lösungsvorschlag 5: Zuerst notieren wir die Bedeutung der Variablen b = Preis eines Büffels h = Preis eines Hammels s = Preis eines Schweines. Damit erhalten wir auf dem Text die folgenden drei Gleichungen b 5h s 000 b 5h s 000 b s h 6h 8s 5b 600 Matrix I II I III b h s 0 5b 6h 8s Rückwärts einsetzen ergibt: III ergibt s 00 s II ergibt damit h damit erhalten wir folgende ergibt : h 500 I ergibt schließlich b b 00 Damit kostet ein Büffel 00, ein Hammel 500 und ein Schwein 00 Münzen. Seite 5

6 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 Wahlteil (etwa 40 min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 6: [5P] Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den Ur- P / sprung und schneidet die x-achse an der Stelle 4. Die Steigung im Punkt 7 beträgt. Bestimmen Sie die Extrema und Wendepunkte dieser Funktion. Lösungsvorschlag 6: Teil : Bestimmen der Funktion: Sei f(x) = ax + bx + cx + d das Polynom. Grades mit den gewünschten Eigenschaften. Da der Ursprung auf der Funktion liegt, gilt f(0) = 0, d.h. d = 0. Damit benötigen wir noch drei Gleichungen, um die restlichen Variablen zu bestimmen. G: f(4) = 0, d.h. a4 + b4 + c4 = 0 64a+6c+4=0 G: f() =, d.h. a + b + c = G: f () = 7 wegen f (x) = ax + bx + c bedeutet dies a + b + c = 7 a + 6b + c = 7 (damit vermeiden wir Brüche!) Somit ist das LGS G 4G 6 7 G 4G G G Aus G folgt a = 44 = = 6 Aus G folgt 0 Aus G folgt 64 Rückwärts einsetzen ergibt nun + b = 8 b = c = 0 4c = Damit ist Das gesuchte Polynom ist f(x) = x 6 7 x x b = 6 = 6 7 c = 68 = 7 5 Seite 6

7 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 Teil : Die Ableitungen der Funktion f(x) = x 6 7 x x sind f (x) = x 5 x und f (x) = 4 x 5 Anmerkung: Einfacher werden die folgenden Rechnungen, wenn man reine Brüche verwendet: f(x) = x 6 x + 68 x und damit ergibt sich, (wenn man nicht kürzt): f (x) = x x und f (x) = x und f (x) = Wenn in x ein Extremum vorliegt, muss notwendigerweise die Ableitung Null sein. Also muss gelten: Notwendige Bedingung: f (x) = x 68 x + = 0 multiplizieren wir mit, erhalten wir ganze Zahlen: x x + 68 = Die MNF liefert: x/,0/ 0, Wir müssen nun diese beiden Lösungen mit einer hinreichenden Bedingung genauer untersuchen (sie könnten ja auch Sattelpunkte sein). Hinreichende Bedingung: a) x =,0: f (,0) = 66,0 = 8,5 > 0 Damit ist x =,0 ein Tiefpunkt. Der Funktionswert ist f(,0) = 5, b) x = 0,684: f (0,684) = 66 0,684 x = 0,684 ein Hochpunkt mit f(0,684) =, = 8,54 < 0. Damit ist Wenn in x ein Wendepunkt ist, muss notwendigerweise die zweite Ableitung Null sein. Also muss gelten: Notwendige Bedingung: f (x) = 66 x und erhalten: 66x = 0 x = 6 =,85 Hinreichende Bedingung: f (x) = ist stets ungleich Null, also liegt ein Wendepunkt vor mit f(,85) =,48 = 0 Wir multiplizieren wieder mit Bem. : Diese Aufgabe war sicher schwierig zu berechnen, aber man darf den TR benutzten und mit Dezimalzahlen rechnen. Allerdings wird beim Rechnen Konzentration benötigt. Bitte rechnet die Aufgabe wirklich selbständig. Ihr solltet üben, solche Aufgaben rechnen zu können. Konzentration benötigt man auch außerhalb der Mathematik. Bem. : Wir sehen hier auch, wie scheinbar einfache Polynome schwierig zu berechnen sind - auch dann, wenn ihre Gestalt simpel aussieht. Seite 7

8 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 Das Schaubild der Funktion: Aufgabe 7: [5P] Gegeben ist die Ebene E durch die Punkte A(/0/), B(//5) und C(//) (sollte eigentlich C(// sein! Siehe Aufgabe S.86 Nr. 0) a) Geben sie die Ebengleichung von E an. b) Für welches a liegt der Punkt P( a ) auf der Ebene E c) Für welches b liegt der Punkt Q(b - -) auf der Ebene. Lösungsvorschlag 7: a) Die Ebene durch die drei Punkte ist E : x 0 r s E : x 0 r s 5 4 b) Sei a so, dass es ein r und ein s gibt mit a 0 r s 4 rs a r s r s a 0 4 4rs Damit ergibt sich * G G Rückwärts einsetzen: G ergibt r = und G ergibt s = + = und a = 4 + = 7 Seite 8

9 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 Für a = 7 liegt der Punkt auf der Ebene. Bei C(//) ergibt sich a=. b c) Sei b so, dass es ein r und ein s gibt mit 0 r s 4 b r s b Wir gehen wie oben vor: r s r s 4 4r s Damit ergibt sich * G G Rückwärts einsetzen gibt s = 0, r = r = 0,5 und damit wird 0,5 b = b =,5 Zusatz: Diese Aufgabe mit C(//) Es ergibt sich die Ebene E : x 0 r s 4 b Sei b so, dass es ein r und ein s gibt mit 0 r s 4 b r s b Wir gehen wie oben vor: r s r s 4 4r s Damit ergibt sich * G G Rückwärts einsetzen gibt: G liefert s = k (beliebig), r = k r = 0,5 0,5k und damit wird k + 0,5 + 0,5k b = b =,5k +,5. Damit ist b beliebig wählbar. Wenn man b gewählt hat, kann man k wählen, nämlich k = b 5 Aufgabe 8: [4P] Geben Sie Werte für die Variablen a, b, c und d an, so dass die Geraden b c g : x a r und h : x s 4 5 d a) zueinander parallel und verschieden sind Seite

10 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 b) identisch sind c) sich schneiden d) zueinander windschief sind. Lösungsvorschlag 8: (siehe Buch S. 8 Nr. 0) Hier wird ein Verständnis für den Zusammenhang Vorstellung von Geraden und Parametergleichungen der Geraden abgefragt. Zusammenhang : Geraden g : x p r u g und h: x p s uh sind genau g dann parallel, wenn die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, d.h. wenn es ein α 0 gibt mit ug uh Zusammenhang : Zwei parallele Geraden sind identisch, wenn sie einen Schnittpunkt haben (und dann unendlich viele). Das ist genau dann der Fall, wenn der Stützvektor der Gerade g auf der Geraden h liegt, d.h. wenn es ein s gibt mit p p s uh g h Zusammenhang : Wenn g und h nicht parallel sind, schneiden sie sich in einem Punkt, wenn es r und s gibt, mit p r u g p s uh. d.h. die Gleichungen g haben eine gemeinsame Lösung. Zusammenhang 4: Wenn g und h nicht parallel sind, sind sie windschief, d.h. sie schneiden sich nicht, die drei Gleichungen von p r u g p s uh. keine gemeinsame Lösung haben. Diese Aufgabe ist sicher etwas kniffelig. Aber man muss nur ganz konsequent vorgehen. Merke, in der Mathematik darf man oft Dinge geschickt wählen. Möglichst so, dass etwas klappt! a) Parallel sind Geraden, wenn die Richtungsvektoren Vielfache sind. Also muss hier wegen der zweiten Koordinaten der Richtungsvektor von g das Zweifache des Richtungsvektors von h sein, also b = 6, d = sein. Damit gilt 6 c g : x a r und h : x s 4 5 Verschieden sind die Geraden, wenn der Stützvektor von h nicht auf der Geraden g liegt. Betrachten wir die dritte Koordinate, so müsste r= sin. Setzten wir etwa c= und a=, müssten wir für die erste und zweite Koordinate von u h r = 0 wählen. b) Identisch sind zwei Geraden, wenn die Richtungsvektoren parallel und der Stützvektor einer Geraden auf der anderen Geraden liegt (und damit auch umgekehrt). Wir wählen also wieder b = 6 und d = c 6 Ziel: a r Wegen der dritten Koordinate von u h muss r = 5 4 sein, also sollte a = und c = 8 sein. h g h h Seite 0

11 Lösungsvorschlag Vorbereitung KA K 4..7 c) Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie nicht parallel sind, d.h. die Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind und z.b. der Stützvektor von h auf der Geraden g liegt. Wir wählen also nicht b = 6 und d = sondern einfach b = 0 und d = 0 Jetzt muss es ein r und ein s geben, so dass 0 c a r s. Die dritte Gleichung ergibt r =. Wählen wir a=0, muss wegen der zweiten Zeile s = sein. Jetzt ergibt die. Zeile, dass c = sein muss. d) Alle anderen Fälle sind damit windschief. Etwa b=d=0 und a=, c beliebig. Aufgabe : [5P] Die xx-ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet sich im Punkt R(6 0). Das Radar erfasst ein Testflugzeug F um 7.00 Uhr im Punkt P(7 7) und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs 7 f : x t (t in Minuten nach 7:00, Koordinatenangaben in km) 7 In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7.0 Uhr? Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug F im Sinkflug befindet? Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es bei Beibehaltung dieser Flugbahn auf dem Boden aufsetzen? Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h. Lösungsvorschlag : Auch wenn viele Schüler so eine Aufgabe schwer finden, ist sie doch recht simpel. Man muss sich nur klarmachen, dass t die Anzahl der Minuten nach 7 Uhr ist! Dann kann man die Position des Flugzeugs zu jedem Zeitpunkt angegeben. Um 7:0 ist t=, also befindet das Flugzeug bei den Ortskoordinaten 7 0 x 7, also am Punkt P(0/7/6) 7 6 Das Flugzeug sinkt, weil die z-koordinate des Richtungsvektors <0 ist. Es setzt auf dem Boden auf, wenn die z-koordinate 0 ist, also um 7: Das Flugzeug würde in 60 min die Strecke 60 0 zurücklegen. Die 60 Länge dieses Vektors ist s Also hat es die Geschwindigkeit von v = 4,5 km/h Seite