6x 2. x 1. Eine Stammfunktion ist damit F( x) x 4sin x

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1 K Pflichtteil (etwa 4 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe 1: [P] Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion 3 f (x) = x 1 f (x) = 3 x 1 also folgt mit der Kettenregel: Lösungsvorschlag 1: ( ) 1 ( )( ) f '(x) = 3 1 x 1 x = 6x ( x 1) 1 Aufgabe : [P] Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = x cos x 4. Bestimmen Sie eine Stammfunktion. Lösungsvorschlag : Bevor man integrieren kann, formt man die Funktion um in 1 1 f ( x) = x cos x Eine Stammfunktion ist damit F( x) x 4sin x = = x 4sin x Aufgabe 3: [4P] Abgebildet ist der Graph einer Stammfunktion F von f. a) Bestimmen Sie näherungsweise f(1). b) Bestimmen Sie f ( x) dx. c) Begründen Sie, dass f im Intervall [-1;] mindestens eine Nullstelle hat. d) Bestimmen Sie annäherungsweise F( x) dx. Lösungsvorschlag 3: zu a) Die Funktion ist die Ableitung ihrer Stammfunktion. Also müssen wir f 1 = F ' 1 = 3 die Ableitung an der Stelle x=1 von F(x) bestimmen. Ergebnis: ( ) ( ) Dies ist die Steigung der Tangente in x=1! zu b) Es gilt [ ] f ( x) dx = F( x) = F() F() = 4 = 4 zu c) Die Nullstelle von f ist die Nullstelle der zweiten Ableitung von F, also von der skizzierten Funktion. In einem Wendpunkt von F(x) liegt notwendigerweise eine Nullstelle von F vor. Da im Intervall [-1;] die Kurve von einer Links-Kurve in eine Rechtskurve wechselt, ist im Intervall eine Nullstelle. 1

2 K zu d) Da F(x) im Intervall [;] stets oberhalb der x-achse verläuft, ist F( x) dx. die Fläche unter der Kurve im Bereich von bis. Diese Fläche ist ein etwa so groß wie 5 Kästchen, also gilt F( x) dx 5 Aufgabe 4: [4P] Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 9% aller Elfmeter. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern i. Nur den letzten? ii. Mindestens einen? 3 7 b) Für ein Ereignis C gilt P( C) =,9 b c a geben Sie geeignete Werte für a, b, und c an. c) Beschreiben Sie das Ereignis C in Worten. Lösungsvorschlag 4: zu a) P(nur letzter) = P(erste beide nicht, aber der letzte) =,1,9 =,9% 3 P(mindestens einen) = 1 P(keiner) = 1,1 =, 999 = 99,9% zu b) Dies ist eine Binomialverteilung von 3 Schüssen,, bei denen b angibt wie oft ein Treffer erfolgt und 7 angibt, wie oft kein Treffer erfolgte.. Es muss gelten c = 1, 9 =,1. Da dieses in 7 Fällen kein Treffer in 7 auftritt, wird in 3 Fällen ein Treffer eintreten. Also ist a=3. Ebenso ist b=3. Also gilt: P(bei 3 Schüssen tritt genau 3 mal ein Treffer auf) = P( C) =,9,1 3 zu c) C ist das Ereignis, dass der der Fußballer in genau 3 von 3 Fällen einen Elfme ter verwandelt. Aufgabe 5: [3P] Im dreidimensionalen Raum sind eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt, gegeben. Die Gerade h geht durch P und schneidet g orthogonal. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung der Geraden h. Lösungsvorschlag 5: Bestimme die Ebene E, die senkrecht zu g ist und durch den Punkt P geht. Bestimme den Schnittpunkt S dieser Ebene mit der Geraden g. Die gesuchte Gerade g ist dann die Gerade durch S und P.

3 K Wahlteil (etwa 4 min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 6: An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten A(1 6 ), B( 6 ), C( 3) und D(1 3) ist im Punkt F(5 6 ) ein m langer Stab befestigt, der in positive x3-richtung zeigt. Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich im Punkt L(8 1 ). (Koordinatenangaben in m) a) [3P] Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt. Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Winkel zwischen Stab und Platte. (Teilergebnis: E : x + x 3 = 6 ) b) [3P] Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes. Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. c) [3P] Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur x1x-ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte. Lösungsvorschlag 6: zu a) Ebene durch die Punkte A, B, C Parameterform: E : x = 6 + r + s 6 3 x Sei n = y ein Normalenvektor, dann müssen die zwei Gleichungen gelten z 1 1 n = 1x = und n 6 = 1x + 6y 3z =. Die erste Gleichung liefert 3 x =, damit wird die zweite zu 6y 3z =. Eine Lösung dieser Gleichung ist z.b. y = 1 und z =. Damit ist eine möglicher Normale Die Normalengleichung ist damit n = 1. 1 E : x 6 1 =. 3

4 K Die Koordinatengleichung ist 1 E : y + z = 6 1 = 6 Bemerkung: Bitte schaut, dass ihr dieses Verfahren (mit TEXT) im Abi wirklich zuverlässig anwenden könnt!!!!!!!!!! Wer will berechnet die Normale mit dem Kreuzprodukt, aber es lohnt sich meiner Meinung nach wirklich selten wenn überhaupt, abgesehen davon, dass Verständnis gefragt ist, nicht sinnloses Anwenden von Formeln. Darstellung von Platte, Stab und Lichtquelle Die Spitze des Stabes ist P(5 6 ), denn die Spitze ist in z-richtung Einheiten vom Fußpunkt des Stabes entfernt. Es ist wichtig, dies festzulegen, es wird im Folgenden ja benötigt. Winkel zwischen Stab und Platte Dies ist der Winkel zwischen der Ebene E und der Geraden g durch den Stab. Die Normale der Ebene ist n = 1, der Richtungsvektor des Stabes ist u S =, denn 1 4

5 K er steht senkrecht auf der xy-ebene. n us Damit gilt für den Winkel sin( α) = = = = 5 (der erste Wert n u genügt). Der GTR liefert α = 63, 4 s zu b) Ein Schatten kommt dadurch zustande, dass ein Lichtstrahl eine Idee oberhalb der Spitze die Platte erreicht und darunter nicht mehr. Der oberste Schattenpunkt ist die Stelle, an der die Gerade durch Lichtpunkt und Stabspitze die Platte trifft. Wir müssen also die Gerade durch Lichtpunkt und Stabspitze mit der Ebene der Platte schneiden. MERKE: Ein Schattenpunkt ist immer der Schnitt einer Geraden mit einer Ebene. Der Schatten des oberen Punktes P(5 6 ) des Stabes ist der Schnittpunkt der Geraden durch L(8 1 ) und P(5 6 ) mit der Ebene E. 8 3 Gerade durch P und L: g : x = 1 + r 4 Für den Schnittpunkt S der Geraden g mit E gilt ( einsetzen der drei Geradengleichungen in die Koordinatenform von E): 1 4r + = 6, zusammenfassen: 8 = 4r und ausrechnen: r =. Damit sind die Koordinaten des Schattenpunktes der Stabspitze S( ) einfach r = in die Geradengleichung einsetzen. Der Schattenpunkt liegt auf der Ebene, ebenso der Fußpunkt des Stabes (der auf der Verbindungslinie der Punkte A und B liegt). Der Schatten verbindet diese Punkte. Damit liegt der Schatten ganz auf der Ebene. (Sind zwei Punkte in einem Rechteck, so sind alle Verbindungspunkte im Rechteck.) zu c) Die Lichtquelle bewegt sich auf der Ebene F : z = (Ebene parallel zur xy- Ebene durch den Punkt L(8 1 ). Die gesuchten Punkte sind außerdem auf der P t,, - Schnittgeraden dieser Ebene F und der Ebene E. Dies sind die Punkte ( ) denn z muss sein und damit ist wegen y+z = 6 auch y = (Die Menge der Punkte bilden die Schnittgerade der beiden Ebenen F und E. Merken!) P t,,, die vom oberen Damit ergibt sich: Die gesuchten Punkte sind die Punkte ( ) Stabpunkt T(5 6 ) den Abstand 5 haben. Damit muss gelten 5 t 6 ( 5 t ) = + 16 = 5 oder ( 5 t) = 5 16 = 9 oder 5 t = ± 3. Also gibt es zwei Lösungen 1/ 8 / P (,,). t =. Die Kollisionspunkte sind also ( ) t P 8,, und 8 t 5

6 K Aufgabe 7: Ein Händler erhält Handys in Packungen zu je Stück. Erfahrungsgemäß sind 3% der Handys defekt. a) [3P] Der Handler untersucht eine gelieferte Packung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens zwei defekte Handys? Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darin mehr als 17 Handys einwandfrei? b) [4P] Der Händler enthält eine größere Sendung Handypackungen. Er überprüft zunächst eine Packung. Sind darin mindestens zwei Handys defekt, schickt er die ganze Sendung zurück. Andernfalls überprüft er eine zweite Packung. Wenn er dann bei beiden Überprüfungen mindestens drei defekte Handys findet, schickt er die Sendung zurück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schickt er die Sendung zurück? Lösungsvorschlag 7: Die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse, die im Folgenden untersucht werden, lassen sich durch Binomialverteilungen beschreiben. Also müssen wir die Ereignisse durch eine Zufallsvariable beschreiben, die man traditionell X nennt. Formal ist es eine Abbildung von der Menge der Ergebnisse in die reellen Zahlen. Von der Vorstellung her wird einfach etwas gezählt. Hier zählen wir die Anzahl der defekten Handys in einer Packung. Also notieren wir im Heft: Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der defekten Handys in einer Packung zählt, ist binomialverteilt mit den Parametern n = und p =,3 (Alle Ereignisse werden nun mit Hilfe dieser Zufallsvariable X beschrieben. Dabei sind die Ereignisse des Teils b komplexer zusammengesetzt.) Bevor wir die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse mit dem GTR berechnen können, müssen wir sie umschreiben, umformen in P( X k) MERKE Dir dieses Vorgehen wenn ein Signifikanztest gewünscht ist, so steht dies entweder explizit drin oder es wird nach dem Ablehnungs- oder Annahmebereich gefragt. zu a) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekte Handys in einer Packung i i sind, ist P( X ) =, 3,97 = 1 P( X 1) = 1,88 =,1198 i= i (laut GTR). Tipp zum GTR: OPTN / STAT / DIST / BINM / bcd(1,,.3) ergibt,8816 Mehr als 17 Handys sind genau dann einwandfrei, wenn höchstens defekt sind. Da P( X ) =,979 (laut GTR), ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 17 Handys einwandfrei sind 97,9%. Eine Variante hierzu wäre: Führe eine weitere Zufallsvariable Y ein, die die Anzahl der funktionierenden Handys beschreibt. Sie ist binomialverteilt mit den Parametern n= und p =,97 6

7 K Jetzt gilt: P(Ereignis) = P(Y>17)= 1-P(Y 17)=1-,1 = 97,9% Tipp zum GTR: OPTN / STAT / DIST / BINM / bcd(17,,.97) ergibt,18 zu b) Diese Aufgabe können wir uns als Baum veranschaulichen: Erste Stufe: Packung 1 wird untersucht, zweite Stufe: Packung wird untersucht. Der Händler schickt die Handys zurück, wenn eines der folgenden Ereignisse A, B, C eintritt (jedes Ereignis ist ein Pfad im zweistufigen Baum): A: In der ersten Packung sind mindestens zwei Handys defekt. Das bedeutet, dass nur eine Stufe untersucht wird. Für dieses Ereignis gilt, die Zufallsvariable X hat den Wert X Damit gilt P( A) = P( X ) = 1 P( X 1) =,1198 (siehe oben). Der Händler schickt die Handys außerdem zurück, wenn er insgesamt drei defekte Handys findet. Da in der ersten Stufe bereits bei zwei defekten Handys die Packung zurück geschickt wird, kann man jetzt nicht sagen, ich untersuche zwei Packungen auf drei defekte Handys. Nur dann, wenn in der ersten Stufe keines oder ein einzigers defektes Handy enthalten ist, wird überhaupt weiter untersucht sonst wird sofort zurückgeschickt. Die beiden weiteren Ereignisse B und C, die dazu führen, dass die Handys zurück geschickt werden, setzen sich jeweils stufenweise aus zwei verschiedenen Ereignissen zusammen: B: In der ersten Packung ist kein Handy defekt und in der zweiten sind mindestens 3 defekt. Da das Ereignis damit aus zwei Stufen besteht, also ein Pfad in einem Baum mit zwei Ästen ist, muss man zwei Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren (Pfadregel). Deshalb gilt P( B) = P( X = ) i P( X 3) =, 97 (1 P( X ) =, 114 (laut GTR) Selbstverständlich kann man das erste Ereignis auch mit dem GTR bestimmen. C: In der ersten Packung ist genau ein Handy defekt und in der zweiten sind mindestens Handys defekt. Damit ist 19 P( C) = P( X = 1) i P( X ) =,97, 3 (1 P( X 1) =, 431 Anmerkung: Hier ist es für die meisten Schüler wohl besser, das erste Ereignis mit dem GTR zu bestimmen der Faktor in der oberen Formel kommt daher, dass verschiedene Handys defekt sein können. Damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Eintreten eines der Ereignisse: p = P( A) + P( B) + P( C) =,1198 +,11+,4 =,1715 Der Händler schickt die Handys also mit der Wahrscheinlichkeit 17,% zurück. 7

8 K Quelle: Nachtermin 13 Pflichtteil Nr. 1,, 5, 8, 9 Abi 14 B..1 Nachtermin 13 B1. 8