Vektorgeometrie. Roger Burkhardt Fachhochschule Nordwestschweiz, Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften (IMN) Δ z e z

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1 Vektorgeometrie Roger Burkhardt Fachhochschule Nordwestschweiz, Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften (IMN 8 z Δ z e z e z e x e y r P P v=δ x e x +Δ y e y +Δ z e z =( y Δ y e y Δ x Δ y Δ z x Δ x e x Zusammenfassung Eine kurze Einführung in die Vektorgeometrie im zwei- und dreidimensionalen Raum.

2 Inhaltsverzeichnis Einführung. Addition von Pfeilen Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar Ortsvektoren Verbindungsvektoren Betrag eines Vektors Rechenoperationen mit Komponenten. Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Subtraktion von Vektoren Der Nullvektor Kehrvektor Subtraktion Verbindungsvektor Produkte. Skalarprodukt Denition und geometrische Interpretation Normal zueinander stehende Vektoren Gesetze für das Skalarprodukt Anwendungen Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Richtung eines Vektors Betrag und Skalarprodukt Projektionen und Zerlegungen Vektorprodukt Denition und geometrische Interpretation Gesetze für das Vektorprodukt Flächenberechnung Spatprodukt Volumen eines Tetraeders Denition Spatprodukt Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie 9. Geraden und Ebenen Parametergleichungen Koordinatengleichungen Schnittprobleme

3 .. Schnitt zweier Objekte in Parameterform Schnitt zweier Objekte, wobei das eine Objekt in Parameterform und das andere als Koordinatengleichung vorliegt Schnitt von Objekten in Koordinatenform Abstandsprobleme Aufgaben. Lösungen Einführung In einem zweidimensionalen (IR bzw. xy-ebene oder dreidimensionalen (IR Raum können wir Punkte durch ihre Koordinaten beschreiben. Dies geschieht meistens durch die Angabe der Koordinaten in einem geordneten Paar (x p, y p IR bzw. eines Tripels (x p, y p, z p IR. Dabei bezeichnet die x-koordinate die Verschiebung des Punktes in Richtung der x-achse gegenüber dem Ursprung. Analoges gilt für die y-koordinate und die z-koordinate. y y P P (x P, y P x x P Jedem Punkt in der xy-ebene oder im IR werden auf diese Weise eindeutig seine Koordinaten zugeordnet. Anstelle der Koordinaten könnte man den Punkt noch auf verschiedene andere Arten beschreiben. So ist auch die Beschreibung durch einen Pfeil der vom Ursprung zum Punkt führt eine eindeutige Beschreibung:

4 y y P P (x P, y P x x P Bevor wir diese Beschreibung weiter untersuchen wollen wir zwei einfache Rechenoperationen mit sochen Pfeilen untersuchen. Dies sind die Addition zweier Pfeile und die Multiplikation mit einem Skalar (reellen Zahl.. Addition von Pfeilen Einen Pfeil verstehen wir als eine Verschiebung (Translation. Verschieben wir ein Objekt geradlinig in eine Richtung um eine feste Distanz, so werden alle Punkte des Objektes auf diese Art verschoben. D.h. jeder Punkt wird entlang eines Pfeiles verschoben und für die verschiedenen Punkte sind die verschiedenen Pfeile bis auf den Ort gleich (die Pfeile stimmen in der Richtung und der Länge überein: v v Eine geradlinige Verschiebung (Translation kann also durch einen Pfeil beschrieben werden. Wie sieht es nun aus, wenn mehrere solcher Verschiebungen nacheinander ausgeführt werden? Denken wir uns eine erste Verschiebung v und eine zweite Verschiebung v die nacheinander ausgeführt werden. Das Resultat dieser beiden Verschiebungen hätten wir auch durch eine einzige

5 Verschiebung s erzielen können: v v v v s s Unter der Summe zweier Pfeile (Translationen verstehen wir den Pfeil (die Translation, der vom Startpunkt des ersten Pfeils zum Endpunkt des zweiten Pfeils führt. Alternativ gilt auch folgendes: Zwei Pfeile denieren ein Parallelogramm. Unter der Summe der beiden Pfeilen versteht man die Diagonale in diesem Parallelogramm: v v s= v + v v v. Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar Wir haben weiter vorne gesehen das ein Pfeil durch seine Richtung und seine Länge deniert ist. Wir denieren die Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar (reellen Zahl als Operation, welche die Richtung beibehält und nur die Länge des Pfeils verändert. Dabei gibt der Betrag des Skalars den Streckungsfaktor des Pfeils an. Zudem denieren wir, dass wenn der Skalar negativ ist die Richtung des Pfeils gerade umgekehrt wird:

6 v v v v. Ortsvektoren Mit diesen Vorkenntnissen führen wir nun die Ortsvektoren ein. Dazu denken wir uns zwei Pfeile e x und e y (im IR noch den Pfeil e z. Diese beiden Pfeile sollen die Länge Eins haben und der Pfeil e x soll die Richtung der positiven x-achse und der Pfeil e y die Richtung der positiven y-achse haben. Nun lässt sich ein Pfeil, der vom Ursprung zu einem Punkt P (x p, y p führt, als Summe der beiden Pfeile x p e x und y p e y beschreiben. Diese Summe nennen wir Ortsvektor r p. Bemerkung: Wenn wir mit Vektoren arbeiten so kennzeichnen wir diese Grössen dadurch aus, indem wir über den Namen der Vektoren einen Pfeil (von Links nach Rechts zeichnen. Den Ortsvektoren geben wir immer den 6

7 Namen r mit dem Namen des Punktes den wir beschreiben als Index. Die beiden Pfeile e x und e y lassen sich auch als Ortsvektoren schreiben (Ortsvektoren zu den Punkten (, und (,. Da dies jedoch ganz spezielle Vektoren (Basisvektoren sind, geben wir ihnen die folgenden Namen: ex und e y. Es gilt somit: rp = x p e x + y p e y Für diese Summe wählt man meistens die folgende Kurzschreibweise: rp = x p e x + y p ( xp e y = y p Dabei bezeichnet man die Zahlen in der Klammer als Komponenten des Vektors. Merke: Die Komponenten eines Vektors beschreiben die Teilverschiebungen in die entsprechenden Richtungen. Diese entsprechen bei einem Ortsvektor gerade den Koordinaten des Punktes, der durch den Ortsvektor beschrieben wird!. Verbindungsvektoren Möchte man die gegenseitige Lage zweier Punkte beschreiben, so kann dies durch eine Translation geschehen, die den einen Punkt in den anderen überführt. Diesen Pfeil bezeichnen wir als Verbindungsvektor oder einfach nur als Vektor: y B v= AB A x Bemerkung: Vektoren bezeichnet man meist mit Kleinbuchstaben mit einem Pfeil über dem Variablennamen. Möchte man einen Vektor speziell als Verbindungsvektor kennzeichnen, so wählt man als Variablennamen oft auch Start- und Endpunkt des Vektors. 7

8 Wir suchen nun eine Beschreibung für einen Verbindungsvektor. Wenn wir die beiden Punkte kennen so kennen wir auch ihre Ortsvektoren. Möchten wir also die Translation vom Punkt A zum Punkt B beschreiben, so können wir diese Translation auch als Summe der Translation A = ( r A und B = r B beschreiben. Es gilt also: AB = r B r A y B v= AB= r B r A r B r A A x Merke: Ein Verbindungsvektor lässt sich als Dierenz des Ortsvektors zum Endpunkt minus dem Ortsvektor zum Anfangspunkt beschreiben. Beispiele:. Von einem Parallelegramm kennt man die drei Eckpunkte A, B und C (Eckenbezeichnung im Gegenuhrzeigersinn. Gesucht ist der vierte Eckpunkt. y C D r D v A r A r B r C B v= BC x 8

9 Wenn die Eckpunkte gegeben sind, kennt man auch die Ortsvektoren zu diesen Eckpunkten ( r A, r B und r C und umgekehrt wenn ein Punkt (Ecke D gesucht ist, reicht es den Ortsvektor zu diesem Punkt ( r D zu bestimmen. Den gesuchten Ortsvektor r D lässt sich als Summe (Umweg beschreiben: r D = r A + AD = r A + v = r A + BC = r A + ( r C r B = r A r B + r C Es gibt weitere Umwege (Möglichkeiten den Ortsvektor r D zu beschreiben, nach dem Umformen und vereinfachen erhält man (natürlich immer das gleiche Endresultat!. Es soll der Mittelpunkt M zwischen den beiden gegebenen Punkten A und B berechnet werden. y b= r B A v v= AB a= r A r M B r A r B x Auch hier ist ein Punkt (M gesucht, welchen man mittels des Ortsvektors zu diesem Punkt ( r M beschreiben kann. Den gesuchten Ortsvektor 9

10 beschreibt man wie im letzten Beispiel mittels einem Umweg: r M = r A + AM = r A + AB = r A + ( r B r A = r A + r B r A = r A + r B = ( r A + r B Den Mittelpunkt zweier Punkte ist somit gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren zu diesen beiden Punkten. In der Grak ist ersichtlich, das die beiden Ortsvektoren ein Parrallelogramm bilden und der Summenvektor die Diagonale dieses Parallelogramms beschreibt. Der gesuchte Mittelpunkt entspricht nun gerade der Hälfte des Summenvektors (Schnittpunkt der beiden Diagonalen im Parallelogramm.. Von einem beliebigen Dreieck, von welchem man die drei Eckpunkte A, B und C kennt, soll der Schwerpunkt bestimmt werden. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist gleich dem Schnittpunkt der drei Schwerelinien (Seitenhalbierenden. Dabei teilt der Schwerpunkt die Schwerelinien im Verhältnis :. B M a C w u v S w M c r C r B v u r S M b A r A

11 Gemäss Skizze gilt: rs = r A + AS = r A + AM a = r A + = r A + ( ( r B + r C r A r }{{} Ma r A ( r B + r C = r A + ( r B + r C r A = r A + r B + r C = ( r A + r B + r C Der Schwerpunkt des Dreiecks entspricht somit dem aritmethischen Mittelwert der Ortsvektoren zu den drei Eckpunkten!. Betrag eines Vektors Wir haben gesagt, dass Vektoren durch die Grössen Richtung und Länge beschrieben werden. Zur Richtung werden wir später kommen, hier in diesem Abschnitt wollen wir die Länge von Vektoren untersuchen. Denken wir uns zwei Punkte A und B in der xy-ebene. Diese beiden Punkte erzeugen den Vektor v = AB. Wir sagen nun, dass die Länge des Vektors v der Distanz zwischen den beiden Punkten A und B entspricht. Diese Distanz können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen: d = x + y = v

12 y Δ x= x A x B v= AB Δ y= y A y B x Bemerkung: Üblicherweise nennt man die Länge eines Vektors den Betrag (oder die Norm des Vektors. Denition: Unter dem Betrag des Vektors ( vx v = versteht man die reelle Zahl: v = ( vx v y = v x + v y Analog dazu kann der Betrag eines Vektors v IR deniert werden (dreidimensionaler Pythagoras: v y

13 z v=( Δ x Δ y Δ z Δ z y Δ x d xy Δ y x v = (d xy +(Δ z = ( (Δ x +(Δ y +(Δ z = Δ x +Δ y +Δ z Denition: Unter dem Betrag des Vektors v = reelle Zahl: v := v x v y v z = v x v y v z v x + v y + v z versteht man die Beispiele:. Gesucht ist der Betrag der Kraft F = N Für diesen dreidimensionalen Vektor gilt für seinen Betrag: F = F = N = + + N = 69 N = N

14 . Für welchen Wert von u besitzt der Vektor ( u v = u eine Länge von (ein Vektor mit der Länge nennt man einen Einheitsvektor!? Diese Aufgabe führt auf die folgende Gleichung: v = ( u = u u + ( u = u = u = u = u, = ± = ± Rechenoperationen mit Komponenten. Addition von Vektoren Beispiel: An einer Masse m greifen zwei Kräfte F und F an. Gesucht ist die resultierende Kraft. Dabei sei ( F = und ( F =. Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass die Addition von Pfeilen (Translationen gerade den Pfeil ergibt, der die Summe der beiden einzelnen Translationen beschreibt. Die beiden gegebenen Kraftvektoren können wir ebenfalls als Summe von je zwei Translationen betrachten (Verschiebung in x- bzw. y-richtung. Insgesamt haben wir also vier Translationen: F res = F }{{} e x+ e y + F }{{} e x e y Nun können wir die Verschiebungen in x- und y-richtung einzeln betrachten: F res = ( e x + e x + ( e y e y

15 Wir nden somit: F res = e x + ( e y = F = ( N =( e x + e y N y F res = F + F = (+ N = ( N m e y e x F = ( N =( e e N x y Denition: Die Summe zweier Vektoren v = x ( vx v y und w = ( wx w y ist der Vektor s = v + w welcher die Translation beschreibt, die man durch das nacheinander Ausführen der beiden einzelnen Translationen erhält. In Komponentenschreibweise gilt: s = v + w = ( vx v y + ( wx w y ( vx + w = x v y + w y Für die Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz v + w = w + v u + ( v + w = ( u + v + w. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Beispiel: Auch in der Physik werden Vektoren oft eingesetzt. Viele physikalische Grössen haben neben der skalaren Eigenschaft (ihr Betrag, Grösse

16 noch eine Richtung in der sie wirken. Daher eignen sich Vektoren sehr gut für ihre Beschreibung. Die physikalischen Gesetze lassen sich mit den Vektoroperationen ausdrücken. Betrachten wir z.b. das Newtonsche Gesetz (die Beschleunigung, die eine Masse erfährt ist proportional zur einwirkenden Kraft F = ma. In dieser Formel sind die Kraft F und die Beschleunigung a gerichtete Grössen und die Masse m eine skalare Grösse. Die vektorielle Beschreibung lautet nun: F = m a Die vektorielle Beschreibung bringt nun neben dem skalaren Zusammenhang der Beträge auch zum Ausdruck, dass die Beschleunigung die gleiche Richtung wie die wirkende Kraft aufweist. Dabei hat der skalare Faktor vor der Beschleunigung nur eine Streckung/Stauchung zur Folge: y m a= ( a x a y a x a y F = ( F x F y = ( m a x m a y F x =m a x F y =m a y Denition: Das Produkt einer Zahl k IR mit einem Vektor v = x ( vx ist der Vektor p = k v welcher die Translation beschreibt, die man durch Streckung/Stauchung mit dem Faktor k der Translation v erhält. In Komponentenschreibweise gilt: Es gilt: p = k v = k ( vx v y Weiter gelten die Distributivgesetze: ( kvx = kv y p = k v = k v k ( v + w = k v + k w (k + s v = k v + s v 6 v y

17 . Subtraktion von Vektoren Bevor wir die Subtraktion von Vektoren betrachten, wollen wir zwei spezielle Arten von Vektoren kennenlernen:.. Der Nullvektor Beispiel: Wenn wir die Summe der drei Seitenvektoren eines Dreiecks bilden, bedeutet dies, dass wir die drei Translationen entlang der Seiten um das Dreieck ausführen um schlussendlich wieder beim Startpunkt anzugelangen. Die Summe von Vektoren ist nun die Translation welche die Summe der Translationen der einzelnen Vektoren beschreibt. In diesem Fall erhalten wir eine Translation um den Betrag Null (über die Richtung lässt sich nichts aussagen!. a= BC= r C r B B C r B c= AB= r B r A r C b= CA= r A r C r A a+ b+ c= BC+ CA+ AB= BB= A Denition: Einen Vektor mit dem Betrag Null nennen wir einen Nullvektor = o... Kehrvektor Denition: Jeder Vektor v besitzt einen Kehrvektor v. Dabei haben der gegebene Vektor und der dazugehörige Kehrvektor den gleichen Betrag und entgegengesetzte Richtung. Es gilt: v = ( v Wir können auch sagen, dass der Kehrvektor von v die Translation von diesem Vektor wieder umkehrt oder dass die Summe eines Vektors mit seinem 7

18 Kehrvektor den Nullvektor ergibt: v + ( v = o Beispiel: Das dritte Newtonsche Axiom (actio=reactio ist ein sehr wichtiges physikalisches Gesetz. Dieses Gesetz besagt, wenn ein Gegenstand mit der Kraft F auf einen Gegenstand einwirkt, dass der Gegenstand mit der entgegengesetzten Kraft F = F auf den Gegenstand einwirkt. F = F F = F.. Subtraktion Denition: Unter der Subtraktion der Vektoren s und m versteht man den Vektor d = s m, welcher durch die Addition des Vektors s mit dem Kehrvektor m deniert ist. Formal: d = s m = ( sx s y ( mx m y ( sx m = x s y m y Wir wollen die Dierenz zweier Vektoren graphisch darstellen: a a b a b b a a b b a b 8

19 Merke: Die Subtraktion von Vektoren ist nicht kommutativ ( a b b a... Verbindungsvektor Weiter vorne haben wir Verbindungsvektoren mittels der Subtraktion deniert: AB = r B r A In Komponentenschreibweise sehen wir, dass die Komponenten des Verbindungsvektors gerade die Dierenz der Koordinaten der Punkte sind: AB = r B ( ( ( xb xa xb x r A = = A y B y A y B y A Merke: Die Komponenten des Verbindungsvektors erhält man durch die Subtraktion der entsprechenden Koordinaten des Endpunktes minus derjenigen des Anfangspunktes. Beispiele:. Gesucht ist der Umfang des Dreiecks mit den Eckpunkten A (,,, B (,, und C (, 7, 6. Zuerst kann man die Seitenvektoren des Dreiecks bestimmen: a = BC = rc r B = b = CA = ra r C = c = AB = rb r A = = = = 9

20 Nun können die Seitenlängen mittels des Betrags berechnet werden: a = a = 8 = ( = 8 = 9 b = b = 6 6 = + ( 6 + ( 6 = 76 = 8.7 c = c = = ( + + ( = 9 = Der Dreiecksumfang beträgt somit: U = a + b + c = = + 76 =.7. Gegeben sei ein Quader mit den Kantenlängen, und. Der Quader steht auf der Fläche ABCD mit den Kantenlängen (AB, CD und (BC, DA. Die Höhe des Quaders beträgt (AE = BF = CG = DH. Eine Ameise läuft auf dem kürzesten Weg von der Ecke A zur Ecke G. Gesucht ist der kürzeste Weg und der Punkt (die Punkte, an welchem die Ameise von einer Seitenäche auf die andere wechselt. Der kürzeste Weg führt sicher über (nur zwei Seitenächen, wobei der Ameise gemäss untenstehender Skizze zwei Alternativen oen stehen (über den Punkt U oder den Punkt V. Platziert man die Abwicklung (nur ein Teil in der Skizze in einem zweidimensionalen Koordinatensystem (A (,, B (,, F (,, E (,, C (,, G (,, H (, 6 und G (, 6, so sieht man, dass der Weg über den Punkt U der kürzere ist ( AG = = < AG = 7.

21 H G H ' ' y G ' ' E V F F E V F G ' AG '= ( AG' = A U B C A B U C ' x AG ' ' = ( 6 AG' ' = 7 Den Punkt U erhält man nun aus den folgenden beiden Bedingungen: ( AU = y AU = k ( ( k AG = k = k Somit folgt aus = k (x-komponente k = ( und somit AU = AG =. Produkte. Skalarprodukt.. Denition und geometrische Interpretation Denition: Unter dem Skalarprodukt der beiden Vektoren a und b versteht man die reelle Zahl a b = a b cos (ϕ IR, wobei ϕ der Zwischenwinkel zwischen den beiden Vektoren bezeichnet. Wir wollen diese Zahl einmal in untenstehender Skizze suchen. Wenn wir die Endpunkte der beiden Vektoren auf den jeweils anderen Vektor projezieren, enstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Länge der Projektionen können

22 wir mittels der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck einfach bestimmen: a b = a cos (ϕ Projektion von a auf b b a = b cos (ϕ Projektion von b auf a Somit gilt: a b = a b cos (ϕ = a b a = b a b a b=a b b =b a a = a b cos ( φ b a A=a b b b b a φ b a A=b a a a b a b a b φ a b a = b a = b cos (φ a b = a b = b cos ( φ Bemerkung: Das Skalarprodukt entspricht also dem Produkt des Betrages des einen Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten auf den ersten Vektor. Dies kann auch als Rechteckäche aufgefasst werden... Normal zueinander stehende Vektoren Mit dem Skalarprodukt haben wir zum erstenmal auch Zugri auf die Richtungen von Vektoren (eigentlich auf den Winkel zwischen zwei Vektoren. Wir wollen hier zuerst einmal den Einuss des Zwischenwinkels auf das Skalarprodukt untersuchen. Denken wir uns zwei Vektoren mit konstantem Betrag und lassen den Zwischenwinkel von bis 6 laufen. Wir erhalten:

23 ϕ a b a b < ϕ < 9 < a b < a b 9 9 < ϕ < 8 > a b > a b 8 a b 8 < ϕ < 7 > a b > a b 7 7 < ϕ < 6 < a b < a b 6 a b Grosse Bedeutung hat das Skalarprodukt insbesondere daher, weil das Skalarprodukt von zwei Vektoren die senkrecht (normal, orthogonal zueinander stehen Null ist. Merke: Das Skalarprodukt zweier normal zueinanderstehender Vektoren verschwindet!.. Gesetze für das Skalarprodukt Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Gesetze: Kommutativgesetz: a b = b a Distributivgesetz: ( b a + c = a b + a c (k a ( s ( b = ks a b Mit Hilfe dieser Gesetze können wir nun auch das Skalarprodukt für Vektoren

24 in Komponentenschreibweise herleiten: ( ( ax bx a b = a y b y = (a xex + a y ey (b xex + b y ey = (a xex (b xex + (a xex (b y ey + (a y ey (b xex + (a y ey (b y ey = a x b x ex e }{{ x + a } x b y ex ( e }{{ y + a } y b x ey ( e }{{ x = + a } y b y ey e }{{ y = } = = = a x b x + a y b y. Anwendungen Skalarprodukt.. Winkel zwischen zwei Vektoren Wir können nun den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen: cos (ϕ = a b a b Beispiele:. Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A (,, B (, und C (,. Wir wollen die Innenwinkel dieses Dreiecks bestimmen. Dazu benötigen wir die Seitenvektoren (Verbindungsvektoren der Eckpunkte: a = BC = rc ( r B = b = CA = ra r C = c = AB = rb r A = ( ( Nun können wir die Winkel berechnen (Achtung: Da die Richtungen der drei Seitenvektoren das Dreieck umlaufen (von A nach B, von B nach C und von C zurück nach A muss hier jeweils von einem Vektor der Kehrvektor in der Formel eingesetzt werden, damit der Zwischenwinkel

25 mit dem Innenwinkel übereinstimmt!: α = arccos b ( c b = arccos c = 6. ( a ( ( c β = arccos a = arccos = 9 c γ = arccos a ( b a = arccos = 6. 6 b y CA γ γ C BC CA BC CA A α AB β B x α AB AB β BC. Wir wollen den Satz des Thales (jedes Dreieck welches in einem Kreis einbeschrieben ist, wobei zwei Eckpunkte des Dreiecks auf dem Durchmesser des Kreises liegen, besitzt bei der dritten Ecke einen rechten Winkel. Wir betrachten dazu die folgende Anordnung:

26 y C ( x, x CA CB A(, B (, x Wir wählen einen Einheitskreis (Mittelpunkt im Koordinatenursprung und Radius gleich. Die beiden Eckpunkte auf dem Durchmesser setzen wir auf die x-achse (d.h. A (, und B (,. Für den dritten Punkt gilt nun C ( x, x. Damit das Dreieck bei der Ecke C einen rechten Winkel aufweist, muss das Skalarprodukt CA CB Null werden. Es gilt: CA CB = ra r C ( r B r C ( ( x = x x x = ( x ( x + ( x = + x x + x + x =.. Richtung eines Vektors Um die Richtung eines Vektors zu beschreiben bestimmen wir die Winkel zwischen diesem Vektor und den Basisvektoren. Dazu denken wir uns einen 6

27 beliebigen Vektor mit der Länge Eins ( v =. Nun nden wir: v ex cos (α = v e x = = v x cos (β = cos (γ = v ey v e y = v ez v e z = v = v x v y v z v x v y v z v x v y v z cos (α cos (β cos (γ = v y = v z e z x v=(v v z=( cos(α y cos(β v cos(γ γ v = α β e y e x Wenn wir uns unter der Richtung eines Vektors die Zwischenwinkel, welcher der Vektor mit den Basisvektoren einschliesst verstehen, so können wir z.b. einen Vektor des dreidimensionalen Raums durch seine drei Komponenten oder durch die Angabe des Betrags des Vektors und der drei Zwischenwinkel zu den Koordinatenachsen beschreiben. Es zeigt sich nun aber, dass die Angabe eines der drei Zwischenwinkel überüssig ist. Wir sind von einem beliebigen Vektors der Länge Eins ausgegangen und somit gilt: v = v x + v y + v z = cos (α + cos (β + cos (γ = 7

28 Bemerkung: Die Beschreibung mittels Betrag und nur zwei Zwischenwinkel ist jedoch nicht eindeutig (Lösung einer quadratischen Gleichung!... Betrag und Skalarprodukt Wir haben den Betrag weiter vorne schon eingeführt. Doch wir könnten den Betrag auch auf die folgende Art denieren (wird auch häug so gemacht: v = v v v x = v y v z = v x + v y + v z v x v y v z Beispiel: Als Anwendung dieses Sachverhalts beweisen wir den Cosinussatz aus der Trigonometrie: c = a + b ab cos (γ Dazu denieren wir in einem beliebigen Dreieck ABC die Seite a als a = CB und die Seite b als b = CA. Nun lässt sich die Seite c wie folgt beschreiben: c = AB = a b C b= CA a= CB A c= AB= a b B 8

29 Und nun gilt: ( c c = a ( b a b c = a a + b b a b c = a + b a b cos (γ = a + b ab cos (γ.. Projektionen und Zerlegungen In der Denition des Skalarproduktes sagten wir, dass das Skalarprodukt dem Produkt der Länge der Projektion des ersten Vektors auf den zweiten mit der Länge des zweiten Vektors entspricht: a b = b a cos (ϕ }{{}}{{} Länge des Länge der Projektion zweiten Vektors Dies machen wir uns nun zu Nutze, um Vektoren in eine bestimmte Richtung zu Projezieren. Wir wollen die Projektion des Vektors b auf a als Vektor beschreiben. Für die Länge der Projektion erhalten wir: b a = b cos (ϕ = a b a Nun multiplizieren wir den Einheitsvektor e a mit der gefundenen Projektionslänge: a b a a b ba = a a = a a a 9

30 b a φ b a Projektion: Projektionsvektor: Den Vektor b a erhält man durch Projektion des Vektors b auf den Vektor a. Diesen Projektionsvektor berechnet sich wie folgt: ba = a b a a Projektionslänge: Für die Länge der Projektion (Betrag des Projektionsvektors gilt: b a = b a = a b a = b cos (α Projektionen auf Einheitsvektoren: Hat der Vektor, auf welchen projeziert wird, die Länge Eins ( a = so erhalten wir einfachere Formeln: Beispiele: ba = a b a b a = b a = a b. Eine Masse m bendet sich auf einer um den Winkel α geneigten Ebene. Wir wollen die Gewichtskraft G so in zwei Summanden zerlegen, dass der eine Summand senkrecht und der zweite Summand tangential zur Oberäche steht. Dazu projezieren wir den Vektor der Gewichtskraft

31 in tangentiale und in normale Richtung zur Oberäche: ( ( sin (α G ( n G = n mg cos (α sin (α n = n cos (α ( mg cos (α sin (α = mg cos (α ( ( cos (α ( G t mg sin (α cos (α G = t t = t sin (α ( mg cos (α sin (α = mg sin (α n= ( sin (α cos (α t= (cos ( α sin ( α m T = G t N = G n α G= ( mg. Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A (,,, B (, 8, 9 und C (, 6,.

32 C b= AC h= b b a b a B c= AB A Die Höhe des Dreiecks lässt sich mit Hilfe des Pythagoras und Projektionen berechnen: b = AC = rc r A = b = b = c = AB = rb r A = c = a = 8 = 9 b c bc = 7 c = c b c b c = = 7 c 9 = h = b b c = 9 = = Nun gilt für die Dreiecksäche: 6 6 F = c h = 9 = = 67.

33 . Vektorprodukt.. Denition und geometrische Interpretation Denition: Unter dem Vektorprodukt der beiden Vektoren a, b IR versteht man den Vektor v = a b IR, welcher die folgenden drei Eigenschaften aufweist:. v steht senkrecht auf den beiden Faktoren, d.h. es gilt: v a = v b = v= a b b a. der Betrag von v entspricht der Fläche des Parallelogramms, welches von den beiden Faktoren aufgespannt wird (ϕ ist der Zwischenwinkel zwischen a und b : v = a b sin (ϕ b φ F = a b sin(φ a h= b sin( φ. a, b und v bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Dabei bilden drei Vekteron ein Rechtssystem, wenn durch Drehung des ersten Vektors zum zweiten der dritte Vektor eingeschraubt wird (oder rechte

34 Hand Regel: Daumen = erster Vektor, Zeigenger = zweiter Vektor, Mittelnger = dritter Vektor... Gesetze für das Vektorprodukt Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Gesetze: Antikommutativgesetz: a b = b a Assoziativgesetz: (n a ( m b = nm a b Distributivgesetz: ( b a + c = a b + a c Mit Hilfe der Gesetze können wir das Vektorprodukt auch in Komponentschreibweise berechnen (dabei gilt für gleichgerichtete Vektoren e x e x =, ey e y =, e z e z = und bei einem Zwischenwinkel von 9 e x e y = e z,

35 ey e x = e z, e x e z = e y, e z e x = e y, e y e z = e x, e z e y = e x : a x a y a z b x b y b z = (a x ex + a y ey + a z ez (b x ex + b y ey + b z ez = a xex b xex +a }{{} y ey b xex + a z ez b xex + = a xex b y ey + a y ey b y ey +a }{{} z ez b y ey + = a x ex b z ez + a y ey b z ez + a z ez b z ez }{{} = = a y b x ey e }{{ x +a } z b x ez e x +a }{{} x b y ex e }{{ y } = e z = e y ex e z }{{} = e z + a z b y ez e }{{ y } = e x +a x b z = e y +a y b z ey e }{{ z } = e x = (a y b z a z b y e x + (a z b x a x b z e y + (a x b y a y b x e z = a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x Beispiele:. Wir wollen das Vektorprodukt der beiden Vektoren a =, b = bestimmen. Mit der eben hergeleiteten Formel ndet man: a b = = = 8. Gesucht ist ein Einheitsvektor, welcher normal (senkrecht zu den beiden Vektoren a =, b =

36 steht. Wir bestimmen mittels Vektorprodukt einen Vektor, welcher normal zu den gegebenen Vektoren steht: n = a b = = Dieser Vektor hat die Länge: n = + ( + = 6 Nun multiplizieren wir den gefundenen Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge: n n = Der Kehrvektor des obigen Resultates ist eine zweite mögliche Lösung: n n = Flächenberechnung Flächenberechnung ist eine wichtige Anwendung des Vektorprodukts. Der Betrag des Vektorprodukts entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Somit lassen sich z.b. auch gut Dreiecksächen berechnen: Beispiel: Wir suchen den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A (,, B (, und C (,. Da das Vektorprodukt nur im IR deniert ist, 6

37 fügen wir bei den drei Punkten noch die z-koordinate hinzu. Es gilt nun: F = AB AC. Spatprodukt = ( r B r A ( r C r A = = = = =.. Volumen eines Tetraeders Wir wollen das bisher gelernte nutzen, um das Volumen eines Tetraeders (Pyramide mit dreieckiger Grundäche zu bestimmen. n= a b D c= AD C h b= AC A a= AB B Das Volumen kann nach der Formel Grundäche mal Höhe durch drei berechnet werden: V T etraeder = F h 7

38 Für die Grundäche ndet man mittels Vektorprodukt: F = a b }{{} Die Höhe des Tetraeders entspricht der Projektionslänge c n : h = c n c n = n Setzt man die Zwischenresultate in der Formel für das Volumen ein, erhält man die folgende einfache Berechnungsformel: V T etraeder = F h = n c n n n = c ( n = a b c 6 6 ( Dabei steht der Sechstel ( = vor dem Produkt ( a 6 b c einerseits für einen Spitzen Körper (ein Drittel und andererseits für die deieckige Grundäche (ein Zweitel ( der Parallelogrammäche. Ohne den Faktor berechnet das Produkt a 6 b c das Volumen des Parallelepipeds (Spat, welches durch die drei Kantenvektoren a, b und c gebildet wird! D c= AD C b= AC A a= AB B.. Denition Spatprodukt Denition: Das zusammengesetzte Produkt ( a b c der drei dreidimensionalen Vektoren a, b und c nennt man das Spatprodukt dieser drei 8

39 [ Vektoren. Dabei bezeichnet man das Spatprodukt durch a ], b, c und es gilt für die Berechnung: [ a ] (, b, c = a b a x b x c x c = a y b y c y a z b z c z = a x b y c z + a y b z c x + a z b x c y a x b z c y a y b x c z a z b y c x Das Spatprodukt ergibt eine reelle Zahl. Der Betrag des Spatprodukts entspricht dabei dem Volumen des Parallelepipeds (Spat, welches durch die drei Vektoren aufgespannt wird. Das Vorzeichen des Spatprodukts gibt an, ob die drei Vektoren in der Reihenfolge a, b und c ein Rechts- (positiv oder ein Linkssystem (negativ bilden. Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie Im Rahmen dieser Einführung in die Vektorgeometrie betrachten wir exemplarisch die Objekte Gerade und Ebene. Diese Objekte lassen sich mit Vektoren sehr einfach beschreiben. Im weiteren werden einige weiterführende Anwendungen gezeigt (Schnitt- und Abstandsprobleme. Damit ist dieses Gebiet natürlich längst nicht abgehandelt. Neben den Objekten Gerade und Ebene ndet man noch viele weitere Objekte (Kreis, Kugel, Ellipse, usw. welche ebenfalls in der Vektorgeometrie ihren festen Platz haben.. Geraden und Ebenen.. Parametergleichungen Unter einer Geraden versteht man die Menge aller Punkte, die die Gleichung r = r + t a erfüllen. Dabei bezeichnet r einen variablen Ortsvektor auf die Gerade, r einen festen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden, a einen Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. Wenn für den Parameter ein Wert eingesetzt wird, erhält man einen bestimmten Ortsvektor, der zu einem 9

40 Punkt auf der Geraden zeigt. Im dreidimensionalen Raum gibt es (eigentlich nur diese Möglichkeit eine Gerade zu beschreiben. Wir werden sehen, dass im zweidimensionalen Raum auch eine parameterfreie Beschreibung existiert. Die Beschreibung von Raumkurven mit Parametern ndet man häug in der Physik mit der Zeit als Parameter. a r g = r +t a g r Beispiele:. Wir suchen die Gerade durch die beiden Punkte A(,, und B(,,. Der Richtungsvektor entspricht dem Verbindungsvektor der beiden Punkte: a = rb r A = = Als festen Punkt kann man den Punkt A wählen und erhält somit: g : x r = y = + t z. Gesucht sind die Punkte auf der Geraden des letzten Beispiels für die Parameterwerte, und : r = = + = r = r = x y z x y z x y z = = + + = = 7 8

41 Eine Ebene lässt sich ähnlich wie eine Gerade beschreiben. Es braucht jedoch zwei Richtungen und somit zwei Parameter: r = r + t a + s b b ε r ε = r +s a+t b a r Beispiele:. Gesucht ist die Ebene durch die drei Punkte A(,,, B(,, und C(,,. Die Richtungsvektoren entsprechen den Verbindungsvektoren: a = AB =, b = AC = Als festen Punkt kann man den Punkt A wählen und erhält so: ε : x r = y = + t + s z. Gesucht ist der Punkt auf der Ebene des letzten Beispiels für die Parameterwerte t = und s = : r = = + + ( = x y z.. Koordinatengleichungen Sei n ein Vektor der normal zur Geraden (im IR bzw. Ebene (im IR steht. Nun steht dieser Vektor natürlich auch normal zu jedem Vektor der

42 parallel zur Geraden bzw. Ebene verläuft (und somit auch normal zu allen Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten auf der Geraden bzw. der Ebene. Sei weiter ein Ortsvektor r zu einem Punkt auf der Geraden bzw. Ebene und ein (variabler Ortsvektor r auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden bzw. Ebene gegeben, so ist der Verbindungsvektor ( r r dieser beiden Punkte sicher parallel zur Geraden bzw. Ebene. Dies führt nun auf die Normalengleichung: n ( r r = n g bzw. ε P P r r r Sei nun (für eine Ebene: n x n = n y n z Wir nden somit: r, r = x y z, r = x y z n x }{{} A x + n y }{{} B n ( r r = n x x x n y y y = n z z z n x (x x + n y (y y + n z (z z = y + n z }{{} C z + ( n x x n y y n z z }{{} D = Ax + By + Cz + D = In dieser Beschreibung der Ebene werden die Punkte auf der Ebene (P (x, y, z nun direkt durch die Koordinaten beschrieben (und es sind keine Parameter

43 mehr nötig. Diese Beschreibungsform (Normalengleichung nennen wir eine Koordinatengleichung der Ebene (bzw. der Geraden. Beispiel: Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(,,, B(,, und C(,,. Wir bestimmen die beiden Verbindungsvektoren: a = AB =, b = AC = Das Vektorprodukt dieser beiden Verbindungsvektoren liefert den Normalenvektor der Ebene (steht normal auf der Ebene: n = a b = = 7 Die Ebenengleichung lautet somit: n ( r r = x 7 y = z x 7y 7 =. Schnittprobleme In diesem Abschnitt wollen wir die im letzten Abschnitt beschriebenen Objekte miteinander schneiden. Wir suchen also die Menge der Punkte die auf allen zu schneidenden Objekten liegen. Da es verschiedene Möglichkeiten gibt die Objekte zu beschreiben, gibt es auch verschieden Möglichkeiten das Schnittobjekt zu bestimmen. Wir betrachten drei mögliche Fälle:.. Schnitt zweier Objekte in Parameterform Beispiel: Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebenen ε: x g : r = y = + t z ε : r = = + u + v x y z

44 Schnittprobleme löst man dadurch, dass ein gesuchter Schnittpunkt auf allen zu schneidenden Objekten liegen muss, d.h. die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes erfüllen alle gegebenen Gleichungen. Da hier also die Koordinaten gleich sein müssen, können wir sie gleichsetzen: + t + t t + t = = + u u + v + u u + v + v Die beiden Vektoren sind genau dann gleich, wenn die jeweiligen Komponenten übereinstimmen: t + u v = t u = t u v = In diesem linearen Gleichungssystem kann man nun nach den (drei Parametern auösen, welche in den gegebenen Gleichungen eingesetzt den gesuchten Schnittpunkt ergeben: t = 7 ; u = ; v = rs = 7 = =.. Schnitt zweier Objekte, wobei das eine Objekt in Parameterform und das andere als Koordinatengleichung vorliegt Beispiel: Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden r = = + t mit der Ebene x y z ε : x y + z + = Hier haben wir nun für das eine Objekt eine Beschreibung mittels Parameter und für das zweite Objekt eine Beschreibung mittels Koordinatengleichung.

45 Hier bestimmen wir das Schnittobjekt durch einsetzen der Parameterform in der Koordinatengleichung: x y + z + = ( + t ( + t + ( + t + = 7t + 8 = t = 8 7 Mit dem berchneten Parameter erhalten wir nun den Schnittpunkt: r = = x y z 8 7 = Schnitt von Objekten in Koordinatenform Beispiel: Wir suchen die Schnittgerade der beiden Ebenen ε : x + y + z + = ε : x y + z = Hier sind beide Objekte mittels Koordinatengleichung gegeben. Wir erhalten somit ein (lineares Gleichungssystem: x + y + z + = x y + z = Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystem beschreibt nun das Schnittobjekt: { ( z L = (x, y, z R :, z }, z Dies entspricht der Geraden: x y = z z z z = + z. Abstandsprobleme Nun betrachten wir Abstandsprobleme. Bei einem Abstandsproblem sucht man in der Regel die kürzeste Entfernung zwischen zwei Objekten (Punkte,

46 Geraden und Ebenen. Denken wir uns als Beispiel eine Gerade und einen Punkt der nicht auf dieser Geraden liegt. Verbinden wir nun einzelne Punkte der Geraden mit dem festen Punkt so haben diese Verbindungsvektoren eine bestimmte Länge. Wir suchen nun den Punkt auf der Geraden, dass der so entstehende Verbindungsvektor minimale Länge aufweist. Diesen Punkt mit kürzester Entfernung bezeichnet man meist als Fusspunkt. Neben dem Fusspunkt intressiert oft auch nur die kürzeste Entfernung. Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen um solche Abstandsprobleme zu lösen. Anhand von drei Beispielen betrachten wir die drei häugsten Ansätze: Beispiele:. Gegeben sei die Gerade g und der Punkt P (,,. Wir suchen den Fusspunkt und die kürzeste Entfernung der beiden Objekte. g : r = + t P P r P r F F r F a g Da der gesuchte Punkt auf der Geraden liegt machen wir folgenden Ansatz: r F = + t F Nun nden wir den Verbindungsvektor: F P = r P r F = t F + t F t F Damit der Verbindungsvektor minimale Länge aufweist, muss er senk- 6

47 recht zur Geraden stehen. Wenden wir das Skalarprodukt an: F P a t F = + t F = t F t F + = t F = Und somit lautet der gesuchte Fusspunkt: r F = + = Die (kürzeste Distanz entspricht der Länge des Verbindungsvektors: d = ( ( ( 8 F P = + + = =. Gesucht ist die kürzeste Entfernung zwischen der Geraden g und dem Punkt P (,,. g : x r = y = + t z Dieses Problem könnte man analog zum letzten Beispiel lösen. Da hier jedoch nur die (kürzeste Entfernung gesucht ist, kann man auch ein einfacheres Lösungsverfahren verwenden! Dieses neue Verfahren beruht auf zwei verschiedenen Möglichkeiten die Fläche des Dreiecks P QS zu berechnen: P Q g d =h F S 7

48 Die Fläche des Dreiecks lässt sich einerseits mit dem Vektorprodukt berechnen: A = QS QP Andererseits lässt sich die Fläche mit der Formel Grundlinie mal Höhe durch bestimmen: A = QS h Durch das Gleichsetzen der beiden Formeln nden wir eine Gleichung in der wir nach der Distanz d auösen können: QS QP d = = a ( r P r QS a Nun müssen wir nur noch einsetzen: d = a ( r P r = a = = = =. In einem dritten Beispiel zu den Abstandsproblemen werden wir die Hesse'sche Normalform betrachten: Wir suchen die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt Q und der Ebene ε in Normalform ( n ( r r P =. Da die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt Q und der Ebene normal zur Ebene steht, ist der Verbindungsvektor QF parallel zum Normalenvektor n. Sei die Distanz gleich d, so gilt: n QF = ±d n r F = n r Q ± d n 8

49 Der Punkt F beschreibt dabei den Fusspunkt auf der Ebene. Da dieser Punkt auf der Ebene liegt, erfüllt dieser die Ebenengleichung. Eingesetzt erhalten wir somit: n ( rf r P = ( n rq n ± d n r P = n ( rq r P ± d n n n = n ( rq r P = d n n d = n ( rq r P ± n Der Zähler der gefundenen Formel für den gesuchten Abstand ist nun nichts anderes als die Normalform der Ebene mit dem Punkt Q eingesetzt. Es gilt somit: Hessesche Normalform: Dividiert man die Normalengleichung einer Ebene (im IR bzw. einer Geraden (im IR durch den Betrag des Normalenvektors, so erhält man die Hessesche Normalform der Ebenen bzw. der Geraden: n ( r rp n = Diese Gleichung beschreit immer noch die Ebene bzw. die Gerade, hat aber nun zusätzlich noch die Eigenschaft die kürzeste Entfernung eines Punktes zu der Ebene bzw. der Geraden anzugeben. Dazu muss der Punkt in dieser Ebenen- bzw. Geradengleichung eingesetzt werden. Durch das Einsetzen des Punktes erhalten wir: n ( rq r P d = ± n Man erhält Null, wenn der Punkt auf der Ebene bzw. der Geraden liegt. Wenn der Wert ungleich Null ist, bendet sich der Punkt nicht auf dem Objekt, für ein positives Resultat, liegt der Punkt auf der Seite des Objektes, auf welche der Normalenvektor zeigt, andernfalls wird das Resultat negativ. 9

50 P F d =± v n v= r Q r P n ( r r P= d ε bzw. g r F r P r Q Q n Nun suchen wir die kürzeste Entfernung des Ursprungs von der Geraden mit der Koordinatengleichung: x + y 9 = Als erstes bestimmen wir die Hesse'sche Normalform. Dazu benötigen wir den Normalenvektor. Aus der Koordinatengleichung lassen sich die Komponenten des Normalenvektors direkt ablesen (Koezienten vor den Variablen n x = A = und n y = B = : ( n = Wir erhalten somit: x + y 9 + = x + y 9 69 = x + y 9 = Den Abstand des Ursprungs erhalten wir durch einsetzen des Ursprungs: + 9 = ±d d = 9 =

51 Aufgaben. Aufgabe Gegeben sei der Ortsvektor r = Spiegeln Sie diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-ebene, der xz-ebene, der yz-ebene, der x-achse, der y-achse, der z-achse und dem Ursprung.. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =, b = 7, c = 8, d =, e = Berechnen Sie: (a (b (c a + b ( c d e ( b ( a + a + c b Lösen Sie die Gleichungen: (a x + ( d ( a b + + x = a b + ( e x (b ( ( a + x = b x 7 7

52 . Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =, b =, c =, d = (a Berechnen Sie: a, b, c, d, a + b, a b + c (b Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor.. Aufgabe (a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, und B (6,. (b Welche der Punkte P (,, P (, und P (, liegen auf der Geraden g? (c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Geraden g. (d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Geraden g. (e Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g und g und deren Schnittpunkt B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Wasseroberäche gespiegelt - es gilt: Einfallswinkel=Ausfallswinkel. y g B g T(,h β α x In der Form x x A + y y A = sind x A und y A die Achsenabschnitte der Geraden.

53 . Aufgabe (a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (,,, B (,, und C (,,. (b Welche der Punkte P (,, und P (9, 6, liegen auf der Ebene ε? (c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε. (d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Ebene ε. 6. Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,,, P (,,, P (,, und Q (,,, Q (,,, Q (,, denierten beiden Ebenen. 7. Aufgabe Gegeben sei die Gerade g g : r = + t 7t 7t und der Punkt P (,,. Bestimmen Sie: (a den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt. (b die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig wird. 8. Aufgabe Im Dreieck A (,,, B (, 7,, C (,, sind die Längen der Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen. 9. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = 8, b = (a Bestimmen Sie k so, dass a + k b normal auf b steht. In der Form x x A + y y A + z z A = sind x A, y A und z A die Achsenabschnitte der Ebene. 7

54 (b Bestimmen Sie einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen Vektoren steht.. Aufgabe Weisen Sie nach, das die beiden Parametergleichungen: r = dieselbe Gerade darstellen. r = + t 8 + t t s 6s + s. Aufgabe (* Bestimmen Sie den (kürzesten Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden g : g :. Aufgabe Es seien die beiden Geraden gegeben. Bestimmen Sie: r = r = t + 8t + t + s + s + s g : x y + = g : x + y 8 = (a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. (b (* die Gleichung der Winkelhalbierenden.. Aufgabe (* Im Punkt Q (,, sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!.

55 Bestimmen Sie die Richtung, die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel s : x y + z + = den Punkt P (,, anzustrahlen.. Aufgabe (a Gegeben sind die Geraden g : r = h : r = + t + t t + s + s + s Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist. (b Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : x + 6y + 6z =. Die Projektion des Dreiecks in die xy-ebene habe den Flächeninhalt A xy =. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.. Lösungen. Aufgabe Gegeben sei der Ortsvektor r = Spiegeln Sie diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-ebene, der xz-ebene, der yz-ebene, der x-achse, der y-achse, der z-achse und dem Ursprung. Spiegeln Sie den Punkt P an der Ebene.

56 Lösung: r xy = rx = ro =, r xz =, r y =, r yz =, r z =. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =, b = 7, c = 8, d =, e = Berechnen Sie: (a a + b Lösung: a + b = + 7 = 6 (b (c Lösung: ( c d e = ( c d e 8 ( b ( a + a + c b = 6 6

57 Lösung: ( b ( a + a + c b = = 8 + = c Lösen Sie die Gleichungen: (a Lösung: x + ( d ( a b + + x = a b + ( e x x + a b + ( d + x = ( a b + ( e x x = e d ( x = e d = = (b ( ( a + x = b x 7 7 7

58 Lösung: ( a + x. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =, b = = ( b x 7 7 a + x = b 7 x 8 x = b a ( x = b a 8 = 7 8 = 9 8 7, c =, d = (a Berechnen Sie: a, b, c, d, a + b, a b + c Lösung: a = a a = b = + + = c = = d = + + = a + b = ( + + ( + + ( + = = + = a b + c 8 = + + = 9 = 6

59 (b Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor. Lösung:. Aufgabe ea = a = a eb = ec = ed = = (a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, und B (6,. Lösung: r = ra + t ( r B r A ( (( 9 6 = + t ( ( 9 = + t g : r = ( x y = ( 9 t t ( 9 (b Welche der Punkte P (,, P (, und P (, liegen auf der Geraden g? Lösung: Punkte einsetzen: P : ( = ( 9 t t ( t = t = 9

60 P : ( P : ( = = ( 9 t t ( 9 t t ( t = t = ( t = t = Die Punkte P und P liegen auf der Geraden g. (c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Geraden g. Lösung: x = 9 t y = t x = 9 y x + y 9 = (d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Geraden g. Lösung: x + y = 9 x 9 + y = Die Achsenschnittpunkte sind somit S x (9, und S y (,. (e Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g und g und deren Schnittpunkt B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Wasseroberäche gespiegelt - es gilt: Einfallswinkel=Ausfallswinkel. In der Form x x A + y y A = sind x A und y A die Achsenabschnitte der Geraden. 6

61 y g B g T(,h β α x Lösung: Gerade g : Wir kennen einen Punkt T (, h ( b = h und die Steigung m = tan (α: g : y = mx + b = x tan (α + h Gerade g : Die Gerade g hat die Steigung m = tan (β und geht durch den an der x-achse gespiegelten Punkt T (, h. Also: g : y = mx + b = x tan (β h Schnittpunkt (Ballonposition: ( ( ( tan (α x h = tan (β y h D = tan (α tan (β = tan (β tan (α D x = h h = h D y = tan (α h tan (β h = h (tan (α + tan (β x B = D x D = y B = D y D 6 h tan (β tan (α = h (tan (α + tan (β tan (β tan (α

62 . Aufgabe ( h h (tan (α + tan (β B, tan (β tan (α tan (β tan (α (a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (,,, B (,, und C (,,. Lösung: r = ra + t ( r B r A + s ( r C r A = + t + s = + t + s ε : r = x y z = + t + s + s t + s (b Welche der Punkte P (,, und P (9, 6, liegen auf der Ebene ε? Lösung: Punkte einsetzen: P : = + t + s + s t + s ( t = s ( t s ( t s ( = = 6 8 6

63 P : 9 6 = + t + s + s t + s ( t s ( t s keine Lösung! = = 8 Der Punkt P liegt auf der Ebene ε. (c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε. Lösung: x = + t + s y = + s z = t + s y x = + t + z = t + y t = x y + z = x y + z = s = y x y + + y (d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte 6 der Ebene ε. Lösung: Da die Achsenabschnittsform nicht erzeugt werden kann, gilt x A = y A = z A =. D.h. die Ebene beinhaltet den Ursprung! 6. Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,,, P (,,, P (,, und Q (,,, Q (,,, Q (,, denierten beiden Ebenen. Lösung: 6 In der Form x x A + y y A + z z A = sind x A, y A und z A die Achsenabschnitte der Ebene. 6

64 Normalenvektoren bestimmen: np = P P P P = ( r P r P ( r P r P Ebenengleichungen: = = 9 n Q = Q Q Q Q = = p : n p ( r r p = x + 9y + z = 9 q : n Q ( r r Q = x + y z = Schnittgerade: x + 9y + z = 9 x + y z = x z = 8 y 7z = 9 L = {(x, y, z : (z 8, 7z 9, z} bzw. r = t Schnittwinkel (Winkel zwischen den Normalenvektoren: ( np n Q α = a cos n p n Q ( = a cos 6 =

65 7. Aufgabe Gegeben sei die Gerade g g : r = + t 7t 7t und der Punkt P (,,. Bestimmen Sie: (a den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt. Lösung: F g P Der Verbindungsvektor P F steht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden: P F a = ( r F r P a = ( r + t a r P a = r F = t a a = ( r P r a t = a ( r P r a = = =

66 Und noch die Distanz: d = P F = =. 688 (b die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig wird. Lösung: Mit der Lösung der letzten Teilaufgabe nden wir für die Seitenlänge des Dreiecks: s = h = d =. 688 =. 9 Die beiden Punkte A und B sind nun gleich weit von F entfernt: r A = r F + s. 7 9 ea = = r B = r F s ea = = Aufgabe Im Dreieck A (,,, B (, 7,, C (,, sind die Längen der Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen. Lösung: Seitenlängen: a = rb r C = 7 a = a = = 7 b = rc r A = b = b = = = 6 c = ra r B = 7 c = c = = = = 7 9

67 Seitenhalbierende: sa = a + c = 7 + s a = = sb = b + a = + s b = = 8 sc = c + b = 9 s c = = + 89 Winkel: b c α = a cos b = a cos c ( a c β = a cos a = a cos c a b γ = a cos a = a cos b 9. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = 8, b = 9 7 = = = = = = (a Bestimmen Sie k so, dass a + k b normal auf b steht. 7 67

68 Lösung: 8 + k ( a + k b b = 7 7 = + 7k 8 + k + k 7 = 9k + 9 = k = 9 9 (b Bestimmen Sie einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen Vektoren steht. Lösung: Einen Normalenvektor: Länge anpassen: n = a b = 8 7 n = ± 9 9 n = ± n 86 =. Aufgabe Weisen Sie nach, das die beiden Parametergleichungen: r = dieselbe Gerade darstellen. Lösung: r = + t 8 + t t s 6s + s 68

69 Parallele Richtungsvektoren: = k 6 k = Der Punkt (, 8, liegt auch auf der unteren Geraden: s 6s = 8 s = + s. Aufgabe (* Bestimmen Sie den (kürzesten Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden g : g : r = r = t + 8t + t + s + s + s Lösung: Der Verbindungsvektor steht normal auf beiden Geraden: F F = = + s + s + s F F t + 8t + t 8 = 79s 98t = F F = s 79t = 88 s = 79, t = 86 + s + t s 8t 7 + s t 69

70 Fusspunkte: Distanz: r F = r F = F F = d =. 6. Aufgabe Es seien die beiden Geraden gegeben. Bestimmen Sie: 8 = g : x y + = g : x + y 8 = = = (a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. Lösung: Schnittpunkt: ( ( x y = ( 8 x = 6, y = 8 Schnittwinkel (zwischen den Normalenvektoren der beiden Geraden: ( n =, ( n = ( n n α = a cos n = a cos =. 78 n (b (* die Gleichung der Winkelhalbierenden. 7 Lösung: 7 Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!. 7