Nur für die Lehrkraft

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/5 (B) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag 7. April 05 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine und spezielle Arbeitshinweise Erwartungshorizonte 09:00 :00 Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil, kein CAS- Rechner, Handbuch/Gebrauchsanleitung muss vorliegen, Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (siehe Aufgabendeckblatt) Beachten Sie bitte das Schülerdeckblatt. Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die schlüssig dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der im Erwartungshorizont dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Aufgabe Nr.: Soll Summe: 00

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Aufgabenvorschlag B Funktionsuntersuchung /9 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x) = x x x +, x.. Berechnen Sie die Funktionswerte f(x) in der folgenden Wertetabelle: /6 x -,8 -,7,7,8, f(x) Welche begründeten Aussagen können Sie aufgrund der Wertetabelle, also ohne weitere Berechnungen, über die Nullstellen der Funktion f machen?. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Bestimmen Sie, bei welchem y-wert der Funktionsgraph G f die y-achse schneidet. /7. Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie. Begründen Sie Ihre Aussage. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen. /. Bestimmen Sie die Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f. /.5 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ ;] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte aus. und.. Berechnen Sie auch die Funktionswerte am Rand des Intervalls. Nutzen Sie hierfür das Koordinatensystem auf der folgenden Seite. /5.6 Der Funktionsterm der Funktion g hat als Koeffizienten vor x einen Parameter u. = + + g( x) x ux x Bestimmen Sie diesen Koeffizienten so, dass die Funktion in x = eine Wendestelle besitzt. Geben Sie die Koordinaten des Wendepunktes an. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

3 B Koordinatensystem zu Aufgabe.5 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

4 B Rekonstruktion /8 Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades geht durch den Punkt P(0 ). Im Punkt S( ) hat der Graph einen Sattelpunkt. Die Normale im Punkt P hat die Steigung m n =.. Beschreiben Sie, inwiefern ein Sattelpunkt ein besonderer Wendepunkt ist. Fertigen Sie für Ihre Argumentation eine Skizze an.. Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion f. / /0 Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich.. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem: /6 a + 6b + 8c = 6 6a + 6b + c = a + 6b + c = 0 d = e = Notieren Sie als letzten Schritt dieser Aufgabe die gesuchte Funktionsgleichung f ( x) = ax + bx + cx + dx + e der Funktion f. Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

5 B Extremwertaufgabe / Ein quadratisches Beet mit der Seitenlänge von 0 m soll zu einem Teil mit einer sehr wertvollen Rosenart bepflanzt werden. Die Unterteilung des Gesamtbeetes erfolgt durch zwei Strecken, so dass sich immer zwei Quadrate bilden (s. Skizze). Nur die grau gekennzeichneten Quadrate des Beetes werden mit den Rosen bepflanzt. Da die Rosen sehr teuer sind, soll der mit Rosen bepflanzte Teil des Beetes möglichst klein sein. a a. Berechnen Sie in der Wertetabelle die Werte für b und die Gesamtgröße a + b des jeweils mit Rosen bepflanzten Teils des Beetes. / a,5 5 7,5 b a + b. Eine Mitschülerin sieht die ausgefüllte Wertetabelle und behauptet: a muss den Wert 5 annehmen. Leider hat sie keinen Beweis für Ihre Behauptung. Sie notiert aber die folgende Zielfunktion: /6 Aa a a ( ) = Zeigen Sie, dass diese Funktion A die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist. Bestätigen Sie die Behauptung der Mitschülerin mit den Mitteln der Differentialrechnung.. Nachdem die Mitschülerin Ihren Beweis gesehen hat, sagt sie, dass man dieses Ergebnis auch ohne Differentialrechnung ermitteln könnte. Sie notiert die folgenden beiden Zeilen: Aa = a a+ A a a a DieSeite a ist m lang ( ) 0 00 ( ) = ( 5) + 50 S 5 50 = 5 5. ( ) Erläutern Sie den mathematischen Hintergrund des von ihr gewählten Lösungsweges. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

6 B Integralrechnung /0 Die Seitenwand eines Gebäudes mit einer Höhe von m und einer Breite von 8 m soll mit hochwertigen Materialien verkleidet werden. Das Firmenlogo der im Gebäude ansässigen Firma ist ein abgewandeltes M (in der Skizze grau gefärbt). Das Logo wird durch die Graphen G f und G g der folgenden Funktionen f und g begrenzt: 0 f( x) = x + x + 8, x gx ( ) =,5x + 8,5x + 6, x y G f G g LE = m x. Zeigen Sie durch Einsetzen, dass x = und x = die gemeinsamen Nullstellen der Funktionen f und g sind. /. Berechnen Sie die Menge an Material in Quadratmetern, die benötigt wird, um die graue Farbfläche auszufüllen. /5 Falls Sie die weiteren notwendigen Schnittstellen der Funktionsgraphen G f und G g nicht bestimmen können, gehen Sie von x = 0,65 und x = 0,65 aus.. Berechnen Sie die Menge an Material in Quadratmetern, die benötigt wird, um die Fläche unterhalb des Logos auszufüllen. /9. Betrachtet wird das bestimmte Integral I a = a ( f ( x) g( x)) dx, 0,65 < a <. Begründen Sie, dass es Werte für die obere Grenze a gibt, so dass I a positiv ist, I a negativ ist oder I a gleich Null ist. 0 / HINWEIS: Sie sollen keine bestimmten Werte für a berechnen! Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 5 von 5

7 Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teilaufgabe. Erwartete Teilleistung x -,8 -,7,7,8, f(x) -0, 0, 0,0-0,0 0 0,0 Eine Nullstelle liegt bei x =, wegen der wechselnden Vorzeichen der Funktionswerte liegen in den Intervallen [-,8;-,7] bzw. [,7;,8] die weiteren beiden Nullstellen. BE in AB I II III 6. f( x) = 0= x x x + 0= x x x+ 6 x = (nach der Wertetabelle oben) Die Polynomdivision ergibt: ( x x x+ 6):( x ) = x 0 = x x=, 7 und x=, 7 f(0) = y Sy = 7. Der Graph G f der Funktion f ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse, da im Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen. Der höchste Exponent im Funktionsterm von f ist. Der Koeffizient von x ist, also positiv. Daher verläuft der Graph von minus unendlich nach plus unendlich oder f( x) für x + und f( x) für x.. Bestimmung der Extrempunkte f ( x) = 0 = x x notwendige Bedingung x,87und x 0,5 mögliche Extremstelle f ( x) = x f ( x E ) 0 Überprüfen der hinreichenden Bedingung f (,87) > 0 T(,87 0,0) lokales Minimum bei x =, 87 f ( 0,5) < 0 H( 0,5,7) lokales Maximum bei x = 0,5 8 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

8 Erwartungshorizont Teilaufgabe Erwartete Teilleistung BE in AB I II III noch. Bestimmung der Wendepunkte f ( x) = 0= x notwendige Bedingung x = möglicher Wendepunkt f '''( x ) = f '''( xw ) 0 Überprüfen der hinreichenden Bedingung f '''( ) 0 W( 0,85) Wendepunkt 5.5 Randpunkte f ( ) = linker Randpunkt L( ) f ( ) =, 5 rechter Randpunkt R (,5) 5.6 g( x) = x + ux x + ; g ( x) = x + ux ; g ( x) = x+ u ; g ( x) = g () = 0 = + u u= ; g () 0 für u = existiert bei x= eine Wendestelle g() =, alsow ( ) 0 5 Mögliche BE 9 Summe Aufgabe Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

9 Erwartungshorizont Teilaufgabe. Beispielskizze: Erwartete Teilleistung BE in AB I II III Die Steigung der Tangente im Sattelpunkt ist Null, es gilt also: f ( x W ) = 0. Die Skizze muss deutlich einen Wendepunkt mit dieser zusätzlichen Eigenschaft zeigen.. f ( x) = ax + bx + cx + dx + e f '( x) = ax + bx + cx + d und f ''( x) = ax + 6bx + c f(0) = = e Punkt P f '(0) = = d m t =,da mo= f() = = 6a+ 8b+ c+ d+ e Punkt S f () = 0 = a+ b+ c+ d S ist Sattelpunkt f () = 0 = 8a+ b+ c S ist Wendepunkt Das Gleichungssystem lautet: 6a + 8b + c = 8 a + b + c = 8a + b + c = 0 9. Lösungen des Gleichungssystems berechnen a = ; b = ; c = 6 Funktionsgleichung: f( x) = x + x 6x + x+ 6 Mögliche BE 5 0 Summe Aufgabe 8 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

10 Erwartungshorizont Teilaufgabe Erwartete Teilleistung BE in AB I II III. a,5 5 7,5 b 7,5 5,5 a + b 6,5 50 6,5. Hauptbedingung Aab (, ) = a + b Nebenbedingung a+ b= 0 Zielfunktion Aa ( ) = a + (0 a) = a a+ a = a 0a+ 00 Überprüfung der Behauptung: A'( a) = a 0 und A''( a ) = A '(5) = 0 und A ''(5) = > 0 rel. Min. bei a = 5 Damit ist die Behauptung der Schülerin bewiesen. 6. Zunächst erfolgt die Umwandlung in die Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt wird nun abgelesen. Bei der Zielfunktion handelt es sich um eine Parabel, der Scheitelpunkt der Parabel ist das Minimum der Zielfunktion und die x-koordinate dieses Punktes ist der gesuchte Wert für die Seitenlänge a. Mögliche BE 6 Summe Aufgabe Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

11 Erwartungshorizont Teilaufgabe Erwartete Teilleistung BE in AB I II III. Es gilt: f(-)=f()=0 sowie g(-)=g()=0. Bestimmung der Schnittstellen der Funktionsgraphen G f und G g : f(x) = g(x) 7 0= x + x = x x Substitution :u = x 0 = u u+ 7 7 u = und u 0, Resubstitutionergibt :x =± undx ± 0,65 / / 6 AG= A+ A 7 Die Differenzfunktion lautet: dx ( ) = fx ( ) gx ( ) = x x ,65 0,65 0,65 A = d ( x ) dx = ( + ) = + 0,85 6 x 6 x dx 0 8 x x x ( ) ( ) ,65 0,65 A = d x dx = x x + dx = x x + x,6 0,65 A = 0,85 m +,6 m = 8,0 m G Man benötigt 8,0 m Material, um das Logo zu füllen. 9. Au = ( f ( x) dx A ), A muss berechnet werden, falls diese Fläche in 0. nicht berechnet wurde f ( x) dx = ( x + x + 8) dx = x + x + 8x 6, A = (6,6 m 0,85 m ) =,0 m u 0 Man benötigt,0 m Material, um die Fläche unterhalb des Logos zu füllen. 9 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 5 von 6

12 Erwartungshorizont Teilaufgabe Erwartete Teilleistung BE in AB I II III. Das bestimmte Integral I a kann wegen der Lage der Funktionsgraphen G f und G g im Intervall [0 ; 0,65] auf jeden Fall einen positiven Wert annehmen. Wenn die Fläche a A = ( f ( x) g( x)) dx, die wegen der umgekehrten a 0,65 Lage der Funktionsgraphen G f und G g mit negativem Vorzeichen in die Gesamtberechnung eingeht, größer als die 0,65 Fläche A = ( f ( x) g( x)) dx 0 wird, ist auch ein negatives Ergebnis bzw. das Ergebnis Null möglich. Mögliche BE Summe Aufgabe 0 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 6 von 6