Das Rätsel mit der Balkenwaage

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1 Das Rätsel mit der Balkewaage Mathematische Abhadlug über ei Iformatiosproblem 6. Juli 998:. Fassug 6. Jauar 999: 2. Fassug 24. Jui 2005: Überarbeitug Marti Abbühl, Thu, CH

2 0. Ihalt Teil Seite 0. Ihalt 2. Begriffe, Problemstellug ud Notatioe 3 2. Eiführug [2, 3] 7 3. Obere Greze der Iformatio 9 4. Eizelwäguge 0 Hilfssatz über Wäguge. Art 2 Hilfssatz über Wäguge. Art mit -Kugel 3 Hilfssatz über Wäguge 2. Art 3 Hilfssatz über Wäguge 2. Art mit -Kugel 6 Satz über Eizelwäguge mit -Kugel 6 5. Die maximale Azahl a Kugel bei Wäguge 7 Explizite Formel für a 2 Explizite Formel für a 2 6. Lösbarkeit vo [a, ] ud [a, ] 23 Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] 23 Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] Maximaler Algorithmus 26 Stadardalgorithmus 28 Satz über die Gewichtsiformatio 32 Satz über de Stadardalgorithmus Modifizierte Probleme Zusammestellug der wichtigste Ergebisse Nachwort 42 2

3 . Begriffe, Problemstellug ud Notatioe.. Balkewaage Eie Balkewaage ist eie Waage mit zwei Schale. Eie Wägug vergleicht das Gewicht i der erste Schale mit dem Gewicht i der zweite. Drei Ergebisse sid möglich: kleier, gleich, grösser. I dieser Abhadlug wird für die Zahlemege {0,, 2,...} das Symbol N der atürliche Zahle ud für die Zahlemege {, 2, 3,...} das Symbol N + verwedet..2. Problemstellug Zur Verfügug steht eie Balkewaage. a N + äusserlich icht uterscheidbare Kugel sid gegebe, vo dee bekat ist, dass a N Kugel ei Gewicht G 0 besitze ud eie Kugel ei Gewicht G G 0. Der Gewichtsuterschied G G 0 ist ohe Waage icht feststellbar. Mit N Wäguge auf der Balkewaage ist die Kugel mit Gewicht G zu eruiere..3. Motivatio Das ursprügliche Problem hat 2 Kugel ud 3 Wäguge. Falls Sie sich och ie mit diesem Problem beschäftigt habe, wäre dies aus Grüde der Motivatio jetzt vor dem Weiterlese güstig. Es sollte etwas Zeit für dieses Problem aufgebracht werde. Mit der Ketis der Notatioe vo Abschitt.4. ka aschliessed die Lösug i Teil 2 kosultiert ud mit der eigee Lösug vergliche werde..4. Begriffe ud Notatioe Problem heisst lösbar Algorithmus, der K i jedem Fall eruiert Problem heisst ulösbar Algorithmus, der K i jedem Fall eruiert Gewichtsiformatio GI:=sg(G G 0 ); GI=+ G >G 0 ud GI= G <G 0. K:=gesuchte Kugel mit Gewicht G I der Problemstellug wurde a ud defiiert: a:=azahl Kugel des Problems; a N + :=Azahl zur Verfügug steheder Wäguge. =0 macht Si: Das Problem mit a= ud =0 ist lösbar, de um K aus eier eizige Kugel zu eruiere, sid 0 Wäguge otwedig. [a, ]:=Problem mit a Kugel ud Wäguge i:=positio, a die Kugel für eie Wägug gesetzt werde köe; i {0,, 2}. Dabei bedeutet i=0: Positio ebe der Waage, sprich ausse i= resp. 2: Schale resp. 2 A i :=Azahl Kugel, die a die i-te Positio gesetzt werde 3

4 Eie Wägug, die keie Iformatio liefert, heisst uecht, aderfalls echt. Da der Gewichtsuterschied G G 0 sehr klei ist, ist bei A >A 2 resp. A <A 2 die erste resp. zweite Schale i jedem Fall schwerer. Eie echte Wägug muss deshalb A =A 2 erfülle. Für Wäguge, die A =A 2 erfülle, wird defiiert: A:=A =A 2 ; A=0 impliziert eie uechte Wägug. I der erste Wägug gilt a=a 0 +2A. Alle forta betrachtete Wäguge seie echt. E:=Ergebis eier Wägug, E {0,, 2}. Dabei bedeutet E=0: gleiches Gewicht i de Schale E= resp. E=2:. resp. 2. Schale trägt mehr Gewicht E 0 ugleiches Gewicht i de Schale m:=fortlaufede Nummer der Wägug, m {0,, 2,..., }; m=0 Zustad vor der erste Wägug E m :=Ergebis der m-te Wägug; ur defiiert für m 0 Die Notatio für Wäguge, kurz W, ist für m 0 defiiert: m 2: W m (E, E 2, E 3,..., E m )=(A 0, A) m=: W =(A 0, A) Für eie eizele Wägug losgelöst vo eiem Problem wird W m (E, E 2, E 3,..., E m ) resp. W durch W ersetzt. E=0 K befidet sich ausse E 0 K befidet sich auf der Waage Die icht mehr für K i Frage kommede Kugel heisse eutrale Kugel ud die weiterhi für K i Frage kommede Kugel verbleibede Kugel. v m :=Azahl verbleibeder Kugel ach der m-te Wägug K ist immer verbleibed, selbst we sie bereits eruiert wurde v m {, 2, 3,, a}; v 0 a Wird der Idex m weggelasse, z.b. we ur eie eizele Wägug betrachtet wird, so bezeichet v die Azahl der zum etsprechede Zeitpukt verbleibeder Kugel. E =0 v =A 0 ud 2A Kugel sid eutral E 0 v =2A ud A 0 Kugel sid eutral.4.. Der Idex Das Ergebis E 0 liefert zusätzlich zu eier Reduktio der Azahl verbleibeder Kugel folgede Iformatio: Befidet sich K auf der Schale mit mehr resp. weiger Gewicht, so ist GI=+ resp. GI=. Folglich hat jede Kugel auf der Schale mit mehr resp. weiger Gewicht ei Gewicht G 0 resp. ei Gewicht G 0. Es ka daher alle Kugel auf der Schale mit mehr resp. weiger Gewicht i Gedake ei Kleber mit dem Buchstabe s wie schwerer resp. l wie leichter aufgesetzt werde. Dieser Buchstabe heisst Idex. Er ist eie Teiliformatio über das Gewicht eier verbleibede Kugel: Eie Kugel mit Idex s resp. l hat mit Sicherheit kei Gewicht<G 0 resp. kei Gewicht>G 0. Das Gewicht eutraler Kugel higege ist auf G 0 festgelegt. Ihe wird die Keug zugeordet. 4

5 Jede Kugel gehört geau eier der folgede Kategorie a:. eutrale Kugel, Keug, kurz -Kugel 2. verbleibede Kugel 2. Idex s oder l, kurz s- oder l-kugel 2.2 Idex ubekat Es ist icht otwedig, irged eie Markierug auf de Kugel azubrige, die dere Gewicht störed veräder köte. Es geügt, die Kugel im Verlaufe der Wäguge i 4 Gruppe azuorde: -, s- ud l-kugel sowie verbleibede Kugel ubekater Idizes. Es ist also keie grosse Merkfähigkeit erforderlich, um ei Problem mit beliebig viele Kugel zu löse..5. Arte vo Wäguge Das Problem begit mit a v 0 verbleibede Kugel ubekater Idizes. Solage die Waage E=0 zeigt, bleibe alle Idizes ubekat. Hat die Waage das erste Mal E 0 gezeigt, verbleibe die auf der Waage befidliche Kugel, vo dee forta der Idex bekat ist. Bei jeder Wägug W ist etweder vo keier oder vo alle verbleibede Kugel der Idex bekat. W heisst im erste Fall Wägug. Art, im zweite Fall Wägug 2. Art. W ist stets eie Wägug. Art. Wäguge mit -Kugel, Beispiel: Gegebe 2 verbleibede Kugel verschiedeer Idizes. Gesucht ist eie echte Wägug. A =A 2 =A ud A es muss die s-kugel auf die eie, oeda die i-te, Schale ud die l-kugel auf die adere Schale gesetzt werde die Waage liefert mit Sicherheit E=i ud daher keie weitere Iformatio echte Wägug. Aders ist es, we eie -Kugel zur Verfügug steht. Wird u z.b. die s-kugel auf die erste ud die -Kugel auf die zweite Schale gesetzt, so ist für E=0 K ausse, für E= ist K auf der erste Schale ud E=2 ist umöglich. Eie solche Wägug heisst Vergleichswägug. Die eigeführte Notatio ist ur für Wäguge. Art ohe -Kugel geeiget. Für Wäguge. Art mit -Kugel wird zusätzlich defiiert: N i :=Azahl -Kugel, die a die i-te Positio gesetzt werde; da ausse bleibede -Kugel icht a der Wägug teilehme, ist N 0 0. Damit werde Wäguge. Art allgemei geschriebe i der Form (A 0, A N +N, A N 2 +N 2 ) Sei V die Azahl verbleibeder Kugel, die auf die Waage gesetzt werde. Für V gilt: V=2A N N 2 Werde keie -Kugel auf die Waage gesetzt, d.h. N,2 =0, so ist V=2A. Nach Defiitio sid i de Azahle A,2 die -Kugel N,2 ibegriffe. Higege werde ausse bleibede -Kugel icht gezählt, d.h. alle A 0 Kugel ausse sid verbleibed. 5

6 Für Wäguge 2. Art wird zusätzlich defiiert: S i :=Azahl s-kugel, die a die i-te Positio gesetzt werde L i :=Azahl l-kugel, die a die i-te Positio gesetzt werde A i S i +L i +N i Wege N 0 0 bedeutet das für i=0: A 0 S 0 +L 0 Wäguge 2. Art werde allgemei geschriebe als: (S 0 s+l 0 l, S s+l l+n, S 2 s+l 2 l+n 2 ) Ist eie der Grösse S i, L i, N i eis, wird sie weggelasse. Ist sie ull, so wird sie samt ihrem Idex resp. samt ihrer Keug weggelasse. Sid alle Azahle eier Positio ull, wird eie Null geschriebe. Beispiel A 0 =0: (0, S s+l l+n, S 2 s+l 2 l+n 2 ) Für Wäguge 2. Art gilt: E=0 v=s 0 +L 0 E= v=s +L 2 E=2 v=s 2 +L Dies ist die volle Iformatio, die eie Wägug 2. Art liefert. Tabelle : v bei vollstädiger Iformatiosverwedug ach eier Wägug mit Ergebis E E Wägug. Art Wägug 2. Art 0 A 0 A 0 S 0 +L 0 V 2A N N 2 S +L 2 2 V 2A N N 2 S 2 +L 6

7 2. Eiführug [2, 3] 2.. Lösug des ursprügliche Problems Die Lösug hier ist so kozipiert, dass am Ede zusätzlich die Gewichtsiformatio gewoe ist. Bei der erste Wägug werde auf jede Schale 4 Kugel gesetzt, 4 bleibe ausse: W =(4, 4) Fall : E =0 K befidet sich ausse, es verbleibe v =4 Kugel ubekater Idizes. 8 Kugel sid eutral. W 2 (0)=(, 2, +) E 2 =0 es bleibt die Kugel ausse übrig. K ist eruiert, eie Vergleichswägug wird gemacht, um GI zu erhalte. W 3 (0, 0)=(0,, ) Fall 2: E 0 E 3 =0 ist umöglich. E 3 = GI=+, E 3 =2 GI=. Falls E 2 = resp. E 2 =2, verbleibe zwei s- ud eie l-kugel resp. eie s- ud zwei l-kugel. W 3 (0, )=(l, s, s) W 3 (0, 2)=(s, l, l) Dies eruiert K. Der bekate Idex liefert die Gewichtsiformatio. K befidet sich auf der Waage, es verbleibe v =8 Kugel, je 4 mit Idex s ud Idex l. W 2 ( 0)=(2l, 2s+l, 2s+l) bedeutet, dass zwei Kugel mit Idex l ausse bleibe ud auf jede der Schale zwei Kugel mit Idex s ud eie mit Idex l gelegt werde. Selbstverstädlich köte auch W 2 ( 0)=(2s, s+2l, s+2l) agesetzt werde, de es besteht kei prizipieller Uterschied zwische de Idizes s ud l. E 2 =0 es verbleibe die beide l-kugel ausse ud GI=. W 3 ( 0, 0)=(0, l, l) E 3 =0 ist umöglich. K befidet sich auf der Schale mit weiger Gewicht. E 2 = es komme ur och die beide s-kugel der erste Schale sowie die l-kugel der zweite Schale für K i Frage. Falls E 2 =2 ist, liegt die aaloge Situatio mit vertauschte Schale vor. W 3 ( 0, 0)=(l, s, s) 7

8 E 3 =0 K befidet sich ausse ud GI=. E 3 0 K befidet sich auf der Schale mit mehr Gewicht ud GI=+. Die Lösug vo [2, 3] i Kurzotatio:. W =(4, 4).. W 2 (0)=(, 2, +)... W 3 (0, 0)=(0,, )..2. W 3 (0, )=(l, s, s) W 3 (0, 2)=(s, l, l).2. W 2 ( 0)=(2l, 2s+l, 2s+l).2.. W 3 ( 0, 0)=(0, l, l).2.2. W 3 ( 0, 0)=(l, s, s) Für das Weitere wird das allgemeie [a, ] betrachtet. Ziel dieser Abhadlug ist die Beatwortug folgeder zweier Frage: Frage : Für welche Werte vo a ud ist [a, ] lösbar? Frage 2: We optimal vorgegage wird, wie gross ist da die Wahrscheilichkeit, für ei lösbares [a, ] zusätzlich die Gewichtsiformatio zu gewie? 8

9 3. Obere Greze der Iformatio 3.. Defiitio vo a Da die Aufgabestellug lediglich die Eruierug vo K aus a Kugel verlagt, beträgt der Iformatiosmagel dies ist der Zweierlogarithmus der Azahl möglicher Kombiatioe zu Begi vo [a, ] log 2 (a) Bits Demgegeüber liefert die Waage i Wäguge maximal eie Iformatio vo log 2 (3 ) Bits da, i Wäguge maximal 3 Gesamtergebisse möglich sid. I Wäguge ka daher K icht aus mehr als 3 Kugel eruiert werde. Dies ist das Grezprizip der Lösbarkeit [a, ] ist lösbar a 3 Grezprizip der Lösbarkeit ud [, ] für N lösbar für N obere Schrake für a, so dass [a, ] lösbar ist. Die Schrake heisst a : a :=max{a N + : [a, ] ist lösbar} Die Schrake erfüllt a 3 Defiitio vo a [a, ] ist ulösbar für a>a Mootoie vo a [a, ] ist lösbar [a, ] ist lösbar für [a, ] ist lösbar [a, +] ist lösbar a + a für N 9

10 4. Eizelwäguge 4.. Defiitioe ud Begriffe Betrachtet wird eie eizele Wägug W mit k N + verbleibede Kugel. Solage icht aders vermerkt, stehe keie -Kugel zur Verfügug. Sei v die Azahl verbleibeder Kugel bei vollstädiger Iformatiosverwedug ach W bei eiem bestimmte Ergebis. Für v ka also Tabelle beützt werde, wobei N =N 2 =0 ist. Bei Wäguge. Art ist k=a 0 +2A ud bei Wäguge 2. Art ist k = 2 i= 0 S i + L i v max :=maximale Azahl verbleibeder Kugel ach W: v max = max {v bei Ergebis E} v max <k W reduziert k Kugel auf v max Kugel v max =k W reduziert icht Beispiele: W=(3, 2) reduziert 7 Kugel auf 4 Kugel. W=(0, ) reduziert icht. Da eie uechte Wägug icht reduziere ka, gilt die Implikatio: W reduziert W ist echt W ist uecht W reduziert icht Das zweite Beispiel zeigt, dass eie Wägug, die icht reduziert, Iformatio liefer ka: Es verbleibt eie s- ud eie l-kugel, d.h. diese Wägug liefert die Idizes aller verbleibede Kugel. Für Wäguge 2. Art wird defiiert: b:=azahl vor der Wägug verbleibeder s-kugel. Es ist b k, also b {0,, 2,..., k}. Damit existiere zwei verschiedee Situatioe: ) Wägug. Art: Gegebe k Kugel ubekater Idizes 2) Wägug 2. Art: Gegebe k Kugel bekater Idizes mit geau b s-kugel Eie Wägug. resp. 2. Art heisst maximal reduktiv, we v max für vorgegebees k resp. vorgegebees k ud b miimal ist. Das miimale v max heisst k. Defiitio E für eie Wägug. Art: für eie Wägug 2. Art: k := mi W mit k Kugel {v max ach W} k := mi W mit k Kugel mit geau b s-kugel {v max ach W} Eie maximal reduktive Wägug reduziert also k Kugel auf k Kugel. Für Wäguge. resp. 2. Art ist k eie Fuktio vo k resp. vo k ud b: k =k (k) resp. k =k (k, b). Für beide Arte vo Wäguge ist die Fuktio k gesucht. 0

11 Im Folgede werde die Auf- ud die Abrudugsfuktio beützt, die wie folgt für x Q + 0 defiiert sid: Aufrudugsfuktio Abrudugsfuktio x:=mi{r N: r x} x:=max{r N: r x} 4.2. Obere Greze für k Weil bei jeder Wägug ur 3 verschiedee Ergebisse möglich sid, ka v max ud damit k icht kleier als k/3 sei: k k/3. Wege k N +, muss sogar k k/3 sei. Grezprizip für Eizelwäguge k k 3 Wäguge. Art: Nach Tabelle gibt es vor der Wägug 2 verschiedee Mege Kugel, die ach der Wägug verbleibe köe: Die Mege der icht--kugel auf der Waage ud die Mege der Kugel ausse. Daraus folgt das Grezprizip für Eizelwäguge. Art k k (k) 2 Wäguge 2. Art: Nach Tabelle gibt es vor der Wägug 3 verschiedee Mege Kugel, die ach der Wägug verbleibe köe: Die Mege der s-kugel der. Schale ud der l-kugel der 2. Schale, die Mege der s-kugel der 2. Schale ud der l-kugel der. Schale, ud die Mege der Kugel ausse. Daraus folgt das Grezprizip für Eizelwäguge 2. Art k k (k, b) 3

12 4.3. Wäguge. Art k (k) Betrachtet werde Wäguge. Art mit k=a 0 +2A Kugel. Nach Tabelle ist v max =max{a 0, 2A} Für k (k) ist das miimale v max für verschiedee Wäguge mit k Kugel gesucht. A 0 durch k 2A ersetze v max =max{k 2A, 2A} Da k eie feste Grösse ist, wird v max geau da miimal, we sich k 2A ud 2A miimal uterscheide. Also k 2A 2A = k 4A miimal. Idealerweise wäre k 4A=0, also A=k/4. Wege A N muss aber A=k/4 oder A=k/4 sei. Sei k=4p+q mit p N ud q {0,, 2, 3}. Da ist k/4=p+sg(q) ud k/4=p. A=k/4 A k/4 4A k 2A k 2A v max =2A=2k/4= A=k/4 A k/4 4A k 2A k 2A v max =k 2A=k 2k/4=4p+q 2p= v max =2p+2sg(q) v max =2p+q Damit ist k =mi{2p+2sg(q), 2p+q}= k =2p+mi{2sg(q), q} q=0 k =2p+0=k/2 =k/2 q= k =2p+=2p+/2=(4p+)/2 =k/2 q=2 k =2p+2=2p++=2p++=(4p+2)/2+ =k/2+ q=3 k =2p+2=2p+3/2=(4p+3)/2 =k/2 Hilfssatz über Wäguge. Art Gegebe k N + Kugel ubekater Idizes. Nach maximal reduktiver Wägug gilt für die Azahl k verbleibeder Kugel: k k (k)= 2 k + 2 für k {2, 6,0,...} für k {2, 6,0,...} Tabelle 2: Maximale Reduktio auf k (k) Kugel bei Wäguge. Art mit k Kugel, für k {, 2, 3,..., 8}. K k(k) Beispiel: k=6. Die maximal reduktive Wäguge sid W=(2, 2) ud W=(4, ), also v max =4=k (6). 2

13 Ausser für q=2 ist es möglich, die maximale Reduktio auf k(k)=k/2 zu erreiche. Steht eie zusätzliche -Kugel zur Verfügug, so gilt mit W=(k/2, k/4, k/4+) auch für q=2, dass k(k)=k/2 ist: Verifiziere A =A 2 : A =k/4=p+sg(q)=p+; A 2 =k/4+=p+=a Verifiziere v max =k/2=k (k): v max =max{k/2, k/4+k/4}=max{2p+, p++p}=2p+=k/2=k/2 Beispiel: k=6. W=(3, 2, +). v max =3=k/2=k (6) Hilfssatz über Wäguge. Art mit -Kugel Gegebe k N + Kugel ubekater Idizes sowie eie -Kugel. Nach maximal reduktiver Wägug gilt für die Azahl k verbleibeder Kugel: k k (k)= 2 Tabelle 3: Maximale Reduktio auf k (k) Kugel bei Wäguge. Art mit k Kugel ud eier - Kugel, für k {, 2, 3,..., 8}. k k(k) Wäguge 2. Art k (k, b) Hilfssatz über Wäguge 2. Art Gegebe k N + Kugel bekater Idizes mit geau b s-kugel. Nach maximal reduktiver Wägug gilt für die Azahl k verbleibeder Kugel: k k (k, b)= 3 2 für (k, b) (2,) für (k,b) = (2,) Beweis Die allgemeie Wägug 2. Art ohe -Kugel hat die Form W=(S 0 s+l 0 l, S s+l l, S 2 s+l 2 l) Mit eiem Asatz für W wird versucht, v max =k/3=k (k, b) zu erreiche. Die Fälle, i dee dieser Asatz versagt, sid eierseits Fälle, für die gesodert eie Wägug mit v max =k/3 gefude wird, ud adererseits die Ausahme des Hilfssatzes. 3

14 Asatz: S,2 :=mi{k/3, b/2} L,2 :=k/3 S,2 0 wege S,2 k/3 Verifiziere k =S + 2 i= 0 2 i L i Verifiziere b =S i : S 0 +2S,2 =b i= 0 S 0 :=b 2S,2 L 0 :=k b 2(k/3 S,2 ) = k b 2L,2 : S 0 +2S,2 +L 0 +2L,2 =b+k b=k Verifiziere A =A 2 : A =S +L =S 2 +L 2 =A 2 Verifiziere v max =k/3. Nach Tabelle ist v max =max{s 0 +L 0, S +L 2, S 2 +L } Nach dem Asatz ist Wege S 0 +L 0 =k 2k/3 S +L 2 =k/3 S 2 +L =k/3 v max =max{k 2k/3, k/3, k/3} k 2k/3 k 2k/3=k/3 k/3 erfüllt der Asatz v max =k/3=k (k, b) Bemerke: Der Asatz liefert auch für de Fall (k, b)=(2, ) eie Reduktio auf k/3= Kugel. Da es aber icht möglich ist, aus eier s- ud eier l-kugel K zu eruiere, existiert keie reduzierede Wägug, ud da alle Idizes bereits bekat sid, auch keie echte Wägug. Der Asatz wird deshalb i midestes eiem Fall versage. Verifiziere S i, L i N für i {0,, 2}: Asatz S i, L i Z für i. Es bleibt S i, L i 0 für i zu verifiziere. Asatz S,2 0 Asatz L,2 0 Asatz S,2 b/2 b/2 2S,2 b S 0 =b 2S,2 0 Es fehlt och L 0 0. Fall : k/3 b/2 Asatz S,2 =k/3 L 0 =k b 2(k/3 k/3)=k b 0 Fall 2: k/3>b/2 Asatz S,2 =b/2 L 0 =k b 2k/3+2b/2=k 2k/3 b+2b/2 Sei k=3p+q mit p N, q {0,, 2} k/3=p+sg(q) k 2k/3=3p+q 2(p+sg(q))= 4

15 Fall 2.: b gerade k 2k/3=p+q 2sg(q) b/2=b/2 b+2b/2= b+2b/2=0 L 0 =p+q 2sg(q) L 0 <0 ud q=0 p<0, Widerspruch L 0 <0 ud q= p< p=0 k=. Der Hilfssatz gilt trivial für k=. L 0 <0 ud q=2 p<0, Widerspruch L 0 0 oder der Hilfssatz gilt trivial. Fall 2.2: b ugerade b/2=(b )/2 b+2b/2= b+2(b )/2= L 0 =p+q 2sg(q) L 0 <0 ud q=0 p< p=0 k=0, Widerspruch L 0 <0 ud q= p<2 p {0, } k {, 4} Der Hilfssatz gilt trivial für k=. k=4 b {, 3}. Für b= liefert W=(s+l, l, l) ud für b=3 liefert W=(s+l, s, s) v max =2=k/3=k (k, b). L 0 <0 ud q=2 p< p=0 k=2 b= gegebe ist eie s- ud eie l-kugel echte Wägug k (2, )=2 L 0 0 oder der Hilfssatz gilt. Für alle Fälle gilt: L 0 0 oder der Hilfssatz gilt Für alle Fälle gilt: Asatz liefert v max =k/3 oder der Hilfssatz gilt q.e.d. Beispiel für diese Asatz: (k, b)=(00, 23) S,2 =mi{00/3, 23/2}=, L,2 =34 =23, S 0 =23 2 =, L 0 = =3 W=(s+3l, s+23l, s+23l) E=0 v=32 E 0 v=34 v max =34=k/3=k (k, b) Steht eie zusätzliche -Kugel zur Verfügug, so gilt mit W=(s, l, ), dass auch im Soderfall (k, b)=(2, ) v max ==k/3 ist. Daraus folgt der 5

16 Hilfssatz über Wäguge 2. Art mit -Kugel Gegebe k N + Kugel bekater Idizes mit geau b s-kugel sowie eie -Kugel. Nach maximal reduktiver Wägug gilt für die Azahl k verbleibeder Kugel: k k (k, b)= Soderfälle der Hilfssätze über Wäguge. ud 2. Art Soderfall bei Wäguge. Art: k=2: k (k) k/2, soder k (k)=k reduzierede Wägug Soderfall bei Wäguge 2. Art: (k, b)=(2, ): k (k, b) k/3, echte Wägug Die beide Soderfälle häge isofer zusamme, als ma vom erste zwagsläufig zum zweite gelagt: Soderfall : Gegebe 2 Kugel ubekater Idizes. Für eie echte Wägug gilt A =A 2 =A ud A W=(0, ) E 0 es verbleibe zwei Kugel verschiedeer Idizes, dies ist Soderfall 2. Verallgemeierug: Mit der Defiitio r:=art eier Wägug, r {, 2} köe die beide Hilfssätze über Wäguge. ud 2. Art mit -Kugel vereiigt werde: Satz über Eizelwäguge mit -Kugel Sei W m+ eie maximal reduktive Wägug r-ter Art, r {, 2}, mit v m N + Kugel ud eier -Kugel. Da gilt v v m+ = m r + 6

17 5. Die maximale Azahl a Kugel bei Wäguge Es wird wieder [a, ] betrachtet. Da ach Defiitio vo a [a, ] lösbar ud [a, ] ulösbar für a>a ist, liefert die Bestimmug vo a als Fuktio vo eie Teilatwort auf Frage. 5.. Defiitioe vo [a, ] ud a Werte vo a 0, a, a ud a 0 a a 0 = [a, ]: I eier Wägug. Art wird K eruiert v =; Hilfssatz über Wäguge. Art Fall : a {2, 6, 0,...} v =a /2= a {, 2}; a =2 Widerspruch a = Fall 2: a {2, 6, 0,...} v =a /2+= a =0 Widerspruch a = Steht eie zusätzliche -Kugel zur Verfügug, so gilt ach dem Satz über Eizelwäguge mit - Kugel ach W uabhägig vo a : v =a /2; v = a {, 2} a =2 I der Problemstellug vo [a, ] ist aber eie zusätzliche -Kugel icht vorgesehe. Es wird daher defiiert: [a, ] :=Problem mit a Kugel, Wäguge ud eier zusätzliche -Kugel a :=max{a N + : [a, ] ist lösbar} Mit dieser Defiitio ka obige Überlegug geschriebe werde als a =2 [a, ] ist lösbar [a, ] ist lösbar a a für N Das Grezprizip der Lösbarkeit gilt auch für [a, ] : a 3 Aalog zur Mootoie vo a folgt: a + a für N a a 0 = 5.2. Rekursiosformel für a + ud a [a +, +] W ist eie Wägug. Art setze a + =A 0 +2A 7

18 A=0 W ist uecht es verbleibt [a +, ]; Da [a +, +] lösbar ist, ist u [a +, ] ebefalls lösbar a + a a + =a a + = für N; [4, 2] ist lösbar a 2 4 Widerspruch ab bei [a +, +] führt A=0 für N + zu eiem Widerspruch Da die Werte vo a 0 ud a bekat sid, suche wir die Rekursiosformel für a + ab Idex 2, also für N +. sei N + ud A N + a + ist die maximale Azahl Kugel für + Wäguge, somit muss A 0 +2A maximiert werde. Werde A 0 ud 2A uabhägig voeiader maximiert, so ist icht gewährleistet, dass auch A 0 +2A maximal ist. Es wird sich jedoch zeige, dass beide Summade bis zu dere Iformatiosgreze maximiert werde köe. Fall : E =0 Es verbleibe v =A 0 Kugel ubekater Idizes, 2A -Kugel sowie Wäguge. A midestes 2 -Kugel stehe zur Verfügug. Aus dem Satz über Eizelwäguge mit -Kugel ud de Grezprizipie bei Wäguge r-ter Art geht hervor, dass mit eier -Kugel immer die maximale Reduktio auf v /(r+) verbleibede Kugel erreicht werde ka. Die zusätzliche 2A -Kugel liefer deshalb keie zusätzliche Iformatio. Fall 2: E 0 es verbleibt [A 0, ] A 0 maximiere A 0 =a (Iformatiosgreze) Es verbleibe v =2A Kugel bekater Idizes, A 0 =a a =2 -Kugel sowie Wäguge. Grezprizip der Lösbarkeit 2A 3 ; 2A gerade ud 3 ugerade 2A 3. Es wird gezeigt, dass der maximale Wert, 2A=3 (Iformatiosgreze) zulässig ist: A 0 2 Satz über Eizelwäguge mit -Kugel ist awedbar v 2 =(3 )/3=3 v 3 =3 /3=3 2 v + =3 (+ ) = K wurde eruiert a + =a +3 für N + ; =0: a ==a Rekursiosformel a + =a +3 für N [a +, +] I W ist N 0 oder N 2 0 möglich V 2A ist möglich a + =A 0 +V 8

19 V=0 W ist uecht es verbleibt [a +, ] ; [a +, +] ist lösbar [a +, ] ist lösbar a + a a + =a a + = für N; a =2 Widerspruch für N bei [a +, +] führt V=0 für N zu Widerspruch sei N ud V N + Wie uter köe auch i diesem Fall beide Summade bis zu dere Iformatiosgreze maximiert werde: Fall : E =0 Fall 2: E 0 Es verbleibt [A 0, ]. A 0 maximiere A 0 =a (Iformatiosgreze) Es verbleibe v =V Kugel bekater Idizes sowie Wäguge. Grezprizip der Lösbarkeit V 3. Da eie -Kugel zur Verfügug steht, ist es möglich, eie ugerade Azahl verbleibeder Kugel auf die Waage zu lege. Es wird gezeigt, dass der maximale Wert, zulässig ist: V=3 (Iformatiosgreze) Satz über Eizelwäguge mit -Kugel ist awedbar v 2 =3 /3=3 v 3 =3 /3=3 2 v + =3 (+ ) = K wurde eruiert Rekursiosformel 2 a + =a +3 für N (Rekursiosformel 2) (Rekursiosformel ): a + a + = für N a a = für N + Für =0 gilt dies icht: a 0 a 0 =0 Relatio zwische a ud a a =a + für N + a 0 =a 0 = Für N + ka i Rekursiosformel a durch a + ersetzt werde: a + =a +3 =a ++3 =a +3 Für =0 gilt dies icht: a a

20 Rekursiosformel 3 a + =a +3 für N Werte vo a ud a Mit de Rekursiosformel 2 ud 3 sowie de Afagswerte a 0 =a 0 = ud a = köe prizipiell alle a ud alle a agegebe werde. Beachte: [2, 3] stellte och icht die Iformatiosgreze für die Azahl Kugel bei 3 Wäguge dar: [3, 3] ist lösbar. Tabelle 4: a ud a für {0,, 2,..., 2} a a Explizite Formel für a Gesucht ist a als explizite Fuktio vo. Aus Tabelle 4 lässt sich ei weiterer Zusammehag zwische a + ud a vermute: Rekursiosvermutug 3 : a + =3a + für N + Subtraktio vo Rekursiosformel 3: a + =a +3 für N + ergibt: 0=2a 3 + für N + a = 2 (3 ) für N + Beweis mit vollstädiger Iduktio über, dass diese Formel a für N + korrekt liefert: Iduktiosafag bei =: a = 2 (3 )=, korrekt Iduktiosschritt vo ach +: Voraussetzug: a = 2 (3 ) für N + Zu zeige: a + = 2 (3 + ) für N + I Rekursiosformel 3: a + =a +3 für N + wird die Iduktiosvoraussetzug für a eigesetzt: Für N + : a + = 2 (3 )+3 = = = 2 (3 + ), q.e.d. Damit ist die explizite Formel für a für N + gefude. Für =0 gilt sie icht: a 0 2 (3 0 )=0 20

21 Explizite Formel für a a 0 =, a = 2 (3 ) für N + a 3 für N, wie vom Grezprizip der Lösbarkeit impliziert Rekursiosformel 3 Rekursiosvermutug 3 : a + =3a + für N + ist korrekt: Explizite Formel für a für N + : 3a +=3 2 (3 )+= = 2 (3 + )=a + Für =0 gilt Rekursiosvermutug 3 icht: =a 3a 0 +=4 Rekursiosformel 3 a + =3a + für N Explizite Formel für a Relatio zwische a ud a : a =a + für N + Explizite Formel für a a = 2 (3 )+= 2 (3 +) für N + Für =0 liefert dies a 0 = 2 (3 0 +)=, was korrekt ist. Explizite Formel für a a = 2 (3 +) für N N = (3 +) 3 a 3 für N, wie vom Grezprizip der Lösbarkeit impliziert. I Aalogie zu Rekursiosformel 3 ka aus Tabelle 4 2

22 Rekursiosformel 2 a + =3a für N vermutet werde. Beweis: Für N: 3a =3 2 (3 +) = = 2 (3 + +)=a +, q.e.d. 22

23 6. Lösbarkeit vo [a, ] ud [a, ] 6.. Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] Es folgt die Beatwortug vo Frage : Für welche Werte vo a ud ist [a, ] lösbar? Der Beweis des folgede Satzes erfordert eiige Vorüberleguge ud folgt i Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] [a, ] ist lösbar a 2 ud a a 6... Soderfall der Lösbarkeit vo [a, ] [a, ]: a=2 reduzierede Wägug, eizig die Idizes köe gefude werde; wie i.5. gezeigt, existiert da keie echte Wägug mehr Soderfall der Lösbarkeit [2, ] ist ulösbar für N Mootoie vo Auf- ud Abrudugsfuktio: x x 2 x x 2 x =mi{r N: r x } mi{r N: r x 2 }=x 2 x =max{r N: r x } max{r N: r x 2 }=x 2 Mootoiegesetz der Rudugsfuktioe x x 2 x x 2 ud x x Eruierbarkeit mit -Kugel aus maximal 3 Kugel bekater Idizes Beweis Folgerug Aus k {, 2, 3,..., 3 } Kugel bekater Idizes ka K i Wäguge eruiert werde, falls eie - Kugel zur Verfügug steht. 23

24 v 0 =k 3 Alle Wäguge sid 2. Art mit -Kugel ud maximal reduktiv ach dem Satz über Eizelwäguge mit -Kugel ist v m+ =v m /3 v =v 0 /3; v 0 3 v 0 /3 3 - v 0 /3 3 - =3, also v 3 - v v 3 = K wurde eruiert, q.e.d Beweis des Satzes über die Lösbarkeit vo [a, ] Es bleibt zu zeige übrig, dass [a 2, ] für a<a lösbar ist. =0: a<a 0 = Widerspruch ichts zu zeige übrig =: a<a = Widerspruch ichts zu zeige übrig Iduktiosafag bei =2: a<a 2 =4 a {, 3}; [, 2] ist trivial lösbar; [3, 2] ist lösbar: W =(, ); E=0: K ist ausse, E 0: Es verbleibt [2, ], was wege a =2 lösbar ist. Iduktiosschritt vo ach + für 2: Voraussetzug: [a 2, ] ist lösbar für a<a Zu zeige: [a 2, +] ist lösbar für a<a + [a, ] ist lösbar Voraussetzug : [a 2, ] ist lösbar für a a [a 2, +] ist lösbar für a a Zu zeige übrig: [a 2, +] ist lösbar für a {a +, a +2, a +3,..., a + } Asatz: W =(a 2a/3, a/3) Asatz A 0 +2A=a, korrekt a a + a 2 + wege 2 Asatz A 0 a 2a/3=a/3 5/3 a 5 a/3 5/3=, also a 5 A 0 2 A a a + a/3 (a + )/3, also A (a + )/3=[ 2 (3 + ) ]/3= 2 (3 )=a =a A {, 2, 3,..., a } Sei a=3p+q mit p N ud q {0,, 2} A 0 =3p+q 2p=p+q ud A=p A a ud A=p p a ; q 2 p+q a +2 W =(p+q, p) 24

25 p+q=a +2 p=a ud q=2 a=3a +2; Rekursiosformel 3 a=a + + Widerspruch wege a a + p+q a + p+q=a + ist möglich: a=a + 2=3a p=a ud q=2 p+q=a + mit p+q=a 0 A 0 {2, 3, 4,..., a +} Fall : E =0 2A 2 es verbleibt [A 0, ]. Ausser für A 0 {2, a +} ist dies ach Voraussetzug lösbar. a =2 [2, ] ist lösbar. [a +, ] =[a, ] ist ach Defiitio vo a lösbar. Fall 2: E 0 Es verbleibe 2A Kugel bekater Idizes, A 0 2 -Kugel sowie Wäguge. A a 2A 2a =3 <3 ach Folgerug ist dies lösbar. der Asatz vollzieht de Iduktiosschritt, q.e.d Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] [a, ] ist lösbar a a Beweis Es bleibt zu zeige übrig, dass [a, ] für a<a lösbar ist. =0: a<a 0 = Widerspruch ichts zu zeige übrig Sei also N +. Da gilt a =a +, so dass zu zeige übrig bleibt, dass [a, ] für a<a +, also für a a lösbar ist. Ausser für a=2 wird dies vom Satz über die Lösbarkeit vo [a, ] impliziert. Für a=2 ist folgede Äquivalez zu zeige: [2, ] ist lösbar 2 a Wege a =2 ud der Ulösbarkeit vo [2, 0] ist die like Seite geau für N + wahr, respektive ach Voraussetzug N + immer wahr. Wege a =2, a 0 =<2 sowie der Mootoie vo a ist die rechte Seite geau für N + wahr, respektive ach Voraussetzug N + immer wahr. Die Seite sid äquivalet, q.e.d. 25

26 7. Maximaler Algorithmus Für lösbare [a, ] ud [a, ] ist ei allgemeier Algorithmus gesucht, der K eruiert ud zusätzlich mit maximaler Wahrscheilichkeit die Gewichtsiformatio liefert. Ei solcher Algorithmus heisst maximal. Nach Eruierug vo K ist die Ketis der Gewichtsiformatio gleichbedeuted damit, de Idex vo K zu kee. Dies ist äquivalet dazu, K midestes eimal gewoge zu habe. Es scheit daher ituitiv klar, dass am eheste derjeige aller K eruierede Algorithme maximal ist, bei dem i jeder Wägug. Art möglichst viele Kugel auf die Waage gesetzt werde. Dadurch wird die Wahrscheilichkeit, K zu wäge, maximiert. Wurde K eimal gewoge, sid vo alle verbleibede Kugel die Idizes bekat, was am Ede die Gewichtsiformatio liefert. Der Stadardalgorithmus ist dadurch defiiert, dass V maximiert wird, solage alle Idizes ubekat sid, ud dass ach dem im Beweis des Hilfssatzes über Wäguge 2. Art agegebee Verfahre gewoge wird, falls alle Idizes bekat sid. Die Lösug vo [2, 3] i Teil 2 beruht auf dem Stadardalgorithmus. 7.. Stadardalgorithmus w:=azahl verbleibeder Wäguge, w {0,, 2,, } Start: [v, w]: v=a ud w= Algorithmus stoppt Problem ulösbar oder w=0 oder (v= ud GI bekat) v= ud GI ubekat ud w fortfahre uter Vergleichswägug v=2 oder v>a w [v, w] ist ulösbar Es dürfe maximal V=3 w Kugel auf die Waage gesetzt werde. V=2A V gerade V 3 w A 2 (3 w ) V v 2A v A v/2 A v/2 A:=mi{ 2 (3 w ), v/2} A 0 :=v 2A A A dieser Stelle ist v 3 ud w. w= v a = Widerspruch w 2 v 3 ud Mootoiegesetz der Rudugsfuktioe v/2 ; w 2 2 (3 w ) W=(A 0, A) E=0 v=a 0 ; wege A ist fortzufahre uter [v, w]. E 0 v=2a mit b=a Der Problemfall (k, b)=(2, ) des Hilfssatzes über Wäguge 2. Art ist ausgeschlosse: (k, b)=(2a, A)=(2, ) A= A 0 3 2, da zuvor v 3 war A 0 (k, b)=(2, ) es steht eie -Kugel zur Verfügug Fortfahre uter Wäguge 2. Art [v, w] : v>a w [v, w] ist ulösbar 26

27 Es dürfe maximal V=3 w Kugel auf die Waage gesetzt werde. Dies ist wege der zur Verfügug stehede -Kugel möglich V 3 w V v V:=mi{3 w, v} A:=V/2 A 0 :=v V Wäguge 2. Art W=(A 0, A, V/2+[V/2 V/2]) E=0 v=a 0. Fortfahre uter [v, w] E= v=v mit b=a. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E=2 v=v mit b=v/2. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. Es steht eie -Kugel zur Verfügug. (v, b)=(2, ) S 0 :=; L 0 :=0; S :=0; L :=; S 2 :=0; L 2 :=0; N 2 := (v, b)=(4, ) S 0 :=; L 0 :=; S :=0; L :=; S 2 :=0; L 2 :=; N 2 :=0 (v, b)=(4, 3) S 0 :=; L 0 :=; S :=; L :=0; S 2 :=; L 2 :=0; N 2 :=0 (v, b) {(2, ), (4, ), (4, 3)} S :=mi{v/3, b/2} L :=v/3 S S 2 :=S L 2 :=L S 0 :=b 2S L 0 :=v 2v/3 b+2s W=(S 0 s+l 0 l, S s+l l, S 2 s+l 2 l+n 2 ) E=0 v=s 0 +L 0 mit b=s 0. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E= v=s +L 2 mit b=s. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E=2 v=s 2 +L mit b=s 2. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. Vergleichswägug -Kugel steht zur Verfügug W=(0,, ) -Kugel steht icht zur Verfügug GI icht bestimmbar 27

28 Stadardalgorithmus Start: [v, w]: v=a ud w= Algorithmus stoppt Problem ulösbar oder w=0 oder (v= ud GI bekat) v= ud GI ubekat ud w fortfahre uter Vergleichswägug v=2 oder v>a w [v, w] ist ulösbar A:=mi{ 2 (3 w ), v/2} A 0 :=v 2A W=(A 0, A) E=0 v=a 0. Fortfahre uter [v, w] E 0 v=2a mit b=a. Fortfahre uter Wäguge 2. Art [v, w] : v>a w [v, w] ist ulösbar V:=mi{3 w, v} A:=V/2 A 0 :=v V Wäguge 2. Art W=(A 0, A, V/2+[V/2 V/2]) E=0 v=a 0. Fortfahre uter [v, w] E= v=v mit b=a. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E=2 v=v mit b=v/2. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. (v, b)=(2, ) S 0 :=; L 0 :=0; S :=0; L :=; S 2 :=0; L 2 :=0; N 2 := (v, b)=(4, ) S 0 :=; L 0 :=; S :=0; L :=; S 2 :=0; L 2 :=; N 2 :=0 (v, b)=(4, 3) S 0 :=; L 0 :=; S :=; L :=0; S 2 :=; L 2 :=0; N 2 :=0 (v, b) {(2, ), (4, ), (4, 3)} S :=mi{v/3, b/2} L :=v/3 S S 2 :=S L 2 :=L S 0 :=b 2S L 0 :=v 2v/3 b+2s W=(S 0 s+l 0 l, S s+l l, S 2 s+l 2 l+n 2 ) E=0 v=s 0 +L 0 mit b=s 0. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E= v=s +L 2 mit b=s. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E=2 v=s 2 +L mit b=s 2. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. Vergleichswägug -Kugel steht zur Verfügug W=(0,, ) -Kugel steht icht zur Verfügug GI icht bestimmbar 28

29 7.2. Satz über die Gewichtsiformatio Für lösbare [a, ] ud [a, ] wird defiiert: p(a, ):=P(ach dem Löse vo [a, ] mit eiem maximale Algorithmus ist GI bekat) p (a, ):=P(ach dem Löse vo [a, ] mit eiem maximale Algorithmus ist GI bekat) [, ]: echte Wägug p(, )=0 für N [a +, +] : Jeder dieses Problem lösede Algorithmus begit mit (Positioe ud 2 köe oeda vertauscht werde): W =(a, 2 (3 +), 2 (3 )+) Es wird forta das Symbol P(Ereigis) für die Wahrscheilichkeit des Eitretes eies Ereigisses beützt. p (a +, +)= = P(K befidet sich i W icht auf der Waage ud die Gewichtsiformatio wird im verbleibede [a, ] mit maximalem Algorithmus icht gewoe)= = P(K befidet sich i W icht auf der Waage) P(die Gewichtsiformatio wird im verbleibede [a, ] mit maximalem Algorithmus icht gewoe)= a = [ p (a, )] a + Rekursiosformel 4 a p (a +, +)= a + [ p (a, )] Mit dem Afagswert p (a 0, 0)=0 köe rekursiv alle p (a, ) berechet werde: a 0 p (a, )= [ p (a0 a, 0)]= 2 [ 0]= 2 a 4 p (a 2, 2)= [ p (a a, )]= 52 [ 2 ]= 5 2 a 2 3 p (a 3, 3)= [ p (a2 a, 2)]= 45 [ 54 ]= 4 3 Aus diese erste 4 Werte ka vermutet werde: p (a, )= a für N 29

30 Beweis Iduktiosafag bei =0: p (a 0, 0)= a = =0, korrekt 0 Iduktiosschritt vo ach +: Voraussetzug: p (a, )= a Zu zeige: p (a +, +)= a + I Rekursiosformel 4 die Voraussetzug eisetze: a a p (a +, +)= a [ ( )]= a = a a a + + +, q.e.d. [a +, +]: Jeder dieses Problem lösede Algorithmus begit für N + mit: W =(a, 2 (3 ), 2 (3 )) A 0 =a, da für N + im Falle E =0 V=3 >0 -Kugel zur Verfügug stehe. p(a +, +)= = P(K befidet sich i W icht auf der Waage ud die Gewichtsiformatio wird im verbleibede [a, ] mit maximalem Algorithmus icht gewoe)= = P(K befidet sich i W icht auf der Waage) P(die Gewichtsiformatio wird im verbleibede [a, ] mit maximalem Algorithmus icht gewoe)= a = [ p (a, )] a + a p(a +, +)= a + [ p (a, )] für N + a Gilt diese Rekursiosformel auch für =0? p(a, )= a 0 [ p (a0, 0)]= [ 0]=0, korrekt Rekursiosformel 5 a p(a +, +)= a + [ p (a, )] für N p (a, ) durch a ersetze: a a p(a +, +)= [ ( a )]= + a a + p(a, )= für N + a = a a + für N 30

31 Gilt dies auch für =0? p(a 0, 0)= = =0, korrekt a 0 p(a, )= für N a a ud a divergiere mooto für p(a, ) ud p (a, ) strebe für mooto steiged gege : lim p(a, )= lim p (a, )= [a, ] : Mit welcher Wahrscheilichkeit liefert der Stadardalgorithmus die Gewichtsiformatio für a a? a a a 2 a a = 2 (3 +) = 2 (3 ), also a= v 0 2 (3 ) GI wird icht gewoe E =E 2 =E 3 =...=E =0 Es wird das Ereigis E =E 2 =E 3 =...=E =0 utersucht. W : V:=mi{3, a} A 0 :=a V E =0 v =A 0 =a V V<a V=3 v =a 3 a a = 2 (3 +) = 2 (3 ) v 2 (3 ) 3 = = 2 (3 ) Zusammegefasst: v 0 2 (3 ) ud E =0 v 2 (3 ) v 2 (3 ) ud E 2 =0 v 2 2 (3 2 ) E =E 2 =0 v 2 2 (3 2 ) E =E 2 =E 3 =...=E =0 v 2 (3 ( ) )= E =E 2 =E 3 =...=E =0 K wurde eruiert es bleibt eie Vergleichswägug übrig E 0 das Ereigis E =E 2 =E 3 =...=E =0 ist umöglich Fazit: Der Stadardalgorithmus liefert GI spätestes i W (aber möglicherweise erst i W ), also mit Sicherheit. p (a, )= für a a 3

32 [a, ]: Mit welcher Wahrscheilichkeit liefert der Stadardalgorithmus die Gewichtsiformatio für a {, 2} ud a a? a 3 ud a a a 3 a 4 es ka a = 2 (3 ) geschriebe werde 2 a 2 (3 ) = 2 (3 3), also a 2 (3 3) Es wird wiederum das Ereigis E =E 2 =E 3 =...=E =0 utersucht. W : A:=mi{ 2 (3 ), a/2} A 0 :=a 2A E =0 v =A 0 =a 2 mi{ 2 (3 ), a/2} Fall : 2 (3 ) a/2 v =a (3 ) 2 (3 3) (3 )= = 2 (3 ) Fall 2: 2 (3 0 )>a/2 v =a 2a/2= für a gerade für a ugerade v 2 (3 ) v = v 2 (3 ), da 2 Der Stadardalgorithmus fährt fort uter [v, ], wo ach dem vorher gezeigte das Ereigis E 2 =E 3 =E 4 =...=E =0 umöglich ist. das Ereigis E =E 2 =E 3 =...=E =0 ist umöglich Fazit: Der Stadardalgorithmus liefert GI spätestes i W (aber möglicherweise erst i W, da z.b. für (a, )=(3, 2) v = 2 (3 ) möglich ist), also mit Sicherheit. p(a, )= für a {, 2} ud a a Diese Resultate sid die Beatwortug vo Frage 2: We möglichst optimal vorgegage wird, wie gross ist da die Wahrscheilichkeit, für ei lösbares [a, ] ud die Frage wird erweitert für ei lösbares [a, ] zusätzlich die Gewichtsiformatio zu gewie? Satz über die Gewichtsiformatio 0 p(a, )= a p (a, )= a für a = für a = a für 3 a a für a = a für a a 32

33 Tabelle 5: p(a, ) ud p (a, ) für (a, ) {, 2, 3,..., 4} x {0,, 2, 3};.d.:=icht defiiert a p(a, 0) p (a, 0) p(a, ) p (a, ) p(a, 2) p (a, 2) p(a, 3) p (a, 3) d..d..d. 2.d..d. 3.d..d..d..d. 3 4.d..d..d..d. 4 5.d..d..d..d..d d..d..d..d..d..d. 7.d..d..d..d..d..d. 8.d..d..d..d..d..d. 9.d..d..d..d..d..d. 0.d..d..d..d..d..d..d..d..d..d..d..d. 2.d..d..d..d..d..d. 2 3.d..d..d..d..d..d d..d..d..d..d..d..d. 4 Kosistezbetrachtug: Es sei p(a, )= resp. p (a, )=. I diese Fälle ei Algorithmus, der mit Sicherheit sowohl K eruiert als auch die Gewichtsiformatio gewit. Es a Möglichkeite für K ud 2 Möglichkeite für die Gewichtsiformatio die ermittelte Iformatio beträgt 2a Kombiatioe (=log 2 (2a) Bits). Die Waage liefert i Wäguge 3 Kombiatioe a Iformatio 2a 3 ; 2a gerade ud 3 ugerade 2a 3 a 2 (3 ) für (a, ) mit p(a, )= oder p (a, )= Satz über die Gewichtsiformatio für (a, ) mit p(a, )= oder p (a, )= ist a a = 2 (3 +) = 2 (3 ) der Satz über die Gewichtsiformatio ist mit dem Iformatiosgrezprizip kosistet Satz über de Stadardalgorithmus Die Wahrscheilichkeite, mit dee der Stadardalgorithmus die Gewichtsiformatio liefert, sid eizig für die Fälle [a, ] ud [a, ] och ubekat. Es wird das Ereigis E =E 2 =E 3 =...=E =0 utersucht. =0 a =a = p (a, )=p(a, )=0 Stadardalgorithmus liefert GI i keiem Fall sei N + [a, ] 33

34 W : V:=mi{3, a } A 0 :=a V Rekursiosformel 2: a + =a +3 für N a =a +3 für N + a 3 =a >0 a >3 V=3 A 0 =a 3 =a a E =0 v =A 0 =a [a, ] : P(E =0)= a Der Stadardalgorithmus fährt fort uter [a, ]. a 2 [a, ] : P(E 2 =0E =0)= a Es wird ei Zusammehag aus der Wahrscheilichkeitsrechug verwedet: a P(E =E 2 =0)= a a a 2 a = 2 a a P(E =E 2 =E 3 =...=E =0)= a = 0 a a = P(E =E 2 =E 3 =...=E =0)= P(E =0 ud E 2 =0)=P(E =0) P(E 2 =0E =0) a =P(Stadardalgorithmus liefert GI i [a, ] ) a Die Formel gilt auch für =0: P(Stadardalgorithmus liefert GI i [a 0, 0] )= =0, korrekt P(Stadardalgorithmus liefert GI i [a, ] )=p (a, ) für N [a, ] N + es ka a = 2 (3 ) geschriebe werde W : A:=mi{ 2 (3 ), a /2} A 0 :=a 2A = (3 3) 2 (3 ) a /2 (a )/2=[ 2 (3 ) ]/2=[ 2 (3 3)]/2= 4 (3 3) a /2 2 (3 ) 34

35 A= 2 (3 ) A 0 =a (3 )=a 3 =a E =0 v =A 0 =a P(E =0)= Der Stadardalgorithmus fährt fort uter [a, ]. a a 2 Nach dem vorher gezeigte ist P(E 2 =0E =0)= a a P(E =E 2 =0)= a a a 2 a 2 = a a P(E =E 2 =E 3 =...=E =0)= a = 0 = a a a P(E =E 2 =E 3 =...=E =0)= =P(Stadardalgorithmus liefert GI i [a, ]) a Die Formel gilt auch für =0: P(Stadardalgorithmus liefert GI i [a 0, 0])= =0, korrekt P(Stadardalgorithmus liefert GI i [a, ])=p(a, ) für N a Für a {, 2} ud a a resp. a a liefert der Stadardalgorithmus die Gewichtsiformatio mit Sicherheit, also ebefalls mit der maximal mögliche Wahrscheilichkeit p(a, ) resp. p (a, ). Satz über de Stadardalgorithmus Der Stadardalgorithmus ist maximal. 35

36 8. Modifizierte Probleme 8.. Übersicht Alle Iformatio über die a Kugel ist gewoe, we sowohl K eruiert als auch GI bekat ist. Es köe isgesamt 0 verschiedee Probleme gestellt werde, idem Gegebees je beliebig 0 oder Elemet aus de Mege {K, GI} ud {-Kugel} ud Gesuchtes midestes icht-gegebees Elemet aus {K, GI} variiert werde. Es zeigt sich allerdigs, dass im Fall, wo K icht gegebe ud ur GI gesucht ist, mehr als eie -Kugel zusätzliche Iformatio liefer ka, was eie zusätzliche Modifikatio ergibt. Die folgede Tabelle listet alle Möglichkeite auf ud immt die Resultate kommeder Überleguge vorweg. Tabelle 6: Übersicht über alle modifizierte Probleme Nr. Gegebe Gesucht Name/Bedeutug des Problems Lösbar 0 K [a, ] a 2 ud a a -Kugel K [a, ] a a 2 GI geau 2 Wäguge a 3 ud 2 3 -Kugel GI maximal 2 Wäguge a= ud oder a 2 ud 2 4 a -Kugel GI geau Wägug 5 K, GI p(a, )= a 3 ud a a 6 -Kugel K, GI p (a, )= a a 7 K GI Vergleichswägug a 2 ud 8 K, -Kugel GI Vergleichswägug 9 GI K Greze 3 ausgeschöpft a 3 0 GI, -Kugel K Greze 3 ausgeschöpft a 3 Modifikatio 0 ist das umodifizierte Problem. Für die Modifikatioe 0 ud hält Tabelle 6 ur Bekates fest Modifikatioe 2 bis 4 Gewichtsiformatio gesucht Die Gewichtsiformatio ist geau da gewoe, we alle verbleibede Kugel deselbe Idex habe Modifikatio 2 Ohe -Kugel a= echte Wägug Problem ulösbar a=2 W liefert eie s- ud eie l-kugel; da echte W 2 Problem ulösbar a 3 Fall : a ugerade i W ist A 0 ach W sid icht alle Idizes bekat Lösbarkeit 2 Der folgede Algorithmus ermittelt GI für (a, ) mit a ugerade ud a 3 ud 2: 36

37 W =(a/2 a/2, a/2) E =0 es verbleibt v = Kugel ubekate Idexes ud 2a/2 -Kugel a 3 a/2 Vergleichswägug möglich W 2 (0)=(0,, ) GI bekat E 0 es verbleibe b=a/2 s- ud a/2 l-kugel sowie eie -Kugel W 2 ( 0)=(0, b/2s, b/2s+(b/2 b/2)) S +S 2 =b ud L =L 2 =0 es wurde alle s- ud keie l-kugel auf die Waage gesetzt E 2 =0 GI= Fall 2: a gerade: W =(A 0, A) = a Kugel müsse i W auf die Waage W =(0, a/2) je a/2 s- ud l-kugel GI ubekat Problem ulösbar Lösbarkeit 2 Der folgede Algorithmus löst das Problem für (a, ) mit a gerade ud a 3 ud 2: W =(a 2a/3, a/3) Sei a=3p+q mit p N + ud q {0,, 2} a/3=p a 2a/3=p+q E =0 es verbleibe v =p+q Kugel ubekater Idizes ud 2p -Kugel p+q>2p q>p a {, 2, 5} Widerspruch wege a 3 ud a gerade p+q 2p es stehe midestes so viele -Kugel wie verbleibede zur Verfügug W 2 (0)=(0, v, v ) GI bekat E 0 es verbleibe b=p s- ud p l-kugel sowie p+q -Kugel. a 3 p p+q es steht eie -Kugel zur Verfügug W 2 ( 0)=(0, b/2s, b/2s+(b/2 b/2)) S +S 2 =b ud L =L 2 =0 es wurde alle s- ud keie l-kugel auf die Waage gesetzt E 2 =0 GI= Problem lösbar a 3 ud Modifikatio 3 Mit -Kugel a= Vergleichswägug W =(0,, ) GI bekat a 2 = a Kugel müsse i W auf die Waage W =(0, a/2, a/2+(a/2 a/2)) E = a/2 s- ud a/2 l-kugel; E =2 a/2 s- ud a/2 l-kugel a 2 a/2 icht alle Idizes gleich GI ubekat Problem ulösbar Lösbarkeit 2 Der folgede Algorithmus löst das Problem für (a, ) mit a 2 ud 2: W =(0, a/2, a/2+(a/2 a/2)) Nach dem obe gezeigte verbleibe a/2 Kugel des eie ud a/2 Kugel des adere Idexes b a/2 37

38 W 2 =(0, b/2s, b/2s+(b/2 b/2)) S +S 2 =b ud L =L 2 =0 es wurde alle s- ud keie l-kugel auf die Waage gesetzt E 2 =0 GI= Problem lösbar (a= ud ) oder (a 2 ud 2) Modifikatio 4 Mit a -Kugel W =(0, a, a ) GI bekat Problem lösbar 8.3. Modifikatioe 5 ud 6 K ud GI gesucht Modifikatio 5 Ohe -Kugel Problem lösbar p(a, )= a 3 ud a a Modifikatio 6 Mit -Kugel Problem lösbar p (a, )= a a Eie Modifikatio mit mehr als eier -Kugel erübrigt sich hier, da wie gezeigt i der Kosistezbetrachtug uter 7.2. die Iformatiosgreze bei a liegt: 2a 3 a 2 (3 )=a 8.4. Modifikatioe 7 ud 8 K gegebe ud GI gesucht v= Vergleichswägug Lösbarkeit Vergleichswägug möglich -Kugel steht zur Verfügug i Modifikatio 7 muss a 2 sei i Modifikatio 8 für a möglich Problem der Modifikatio 7 lösbar a 2 ud Problem der Modifikatio 8 lösbar 8.5. Modifikatioe 9 ud 0 GI gegebe GI=+ gegebe Alle a Kugel sid s-kugel GI= gegebe Alle a Kugel sid l-kugel 38

39 Folgerug 2 Sei N ud v 0 {, 2, 3,..., 3 }. Gegebe v 0 verbleibede Kugel bekater gleicher Idizes. K ka i Wäguge eruiert werde. Beweis (fast idetisch mit Beweis vo Folgerug ) v 0 3 Alle Idizes sid gleich der Soderfall (v, b)=(2, ) des Hilfssatzes über Wäguge 2. Art ist ausgeschlosse v m+ =v m /3 v =v 0 /3; v 0 3 v 0 /3 3 - v 0 /3 3 - =3, also v 3 - v v 3 = K wurde eruiert, q.e.d. Bemerke: Im Uterschied zu Folgerug wird keie -Kugel beötigt. Die Iformatiosgreze ist hier weil ur K gesucht ist a 3. Daher impliziert Folgerug 2: Problem lösbar a 3 Die i Modifikatio 0 gegebee -Kugel ka keie zusätzliche Iformatio liefer. Die Greze 3 des Grezprizips der Lösbarkeit aus Teil 3 ka immer ausgeschöpft werde. 39

40 9. Zusammestellug der wichtigste Ergebisse Sätze über die Lösbarkeit vo [a, ] ud [a, ] [a, ] ist lösbar a 2 ud a a [a, ] ist lösbar a a a a Explizite Formel für a ud a a 0 =, a = 2 (3 ) für N + a = 2 (3 +) für N Rekursiosrelatioe a + =a +3 für N + a + =3a + für N + a + =a +3 für N a + =3a für N a =a + für N + Satz über Eizelwäguge mit -Kugel Sei W m+ eie maximal reduktive Wägug r-ter Art, r {, 2}, mit v m N + Kugel ud eier -Kugel. Da gilt v v m+ = m r + Satz über die Gewichtsiformatio 0 p(a, )= a p (a, )= a für a = für a = a für 3 a a für a = a für a a 40

41 Stadardalgorithmus Start: [v, w]: v=a ud w= Algorithmus stoppt Problem ulösbar oder w=0 oder (v= ud GI bekat) v= ud GI ubekat ud w fortfahre uter Vergleichswägug v=2 oder v>a w [v, w] ist ulösbar A:=mi{ 2 (3 w ), v/2} A 0 :=v 2A W=(A 0, A) E=0 v=a 0. Fortfahre uter [v, w] E 0 v=2a mit b=a. Fortfahre uter Wäguge 2. Art [v, w] : v>a w [v, w] ist ulösbar V:=mi{3 w, v} A:=V/2 A 0 :=v V Wäguge 2. Art W=(A 0, A, V/2+[V/2 V/2]) E=0 v=a 0. Fortfahre uter [v, w] E= v=v mit b=a. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E=2 v=v mit b=v/2. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. (v, b)=(2, ) S 0 :=; L 0 :=0; S :=0; L :=; S 2 :=0; L 2 :=0; N 2 := (v, b)=(4, ) S 0 :=; L 0 :=; S :=0; L :=; S 2 :=0; L 2 :=; N 2 :=0 (v, b)=(4, 3) S 0 :=; L 0 :=; S :=; L :=0; S 2 :=; L 2 :=0; N 2 :=0 (v, b) {(2, ), (4, ), (4, 3)} S :=mi{v/3, b/2} L :=v/3 S S 2 :=S L 2 :=L S 0 :=b 2S L 0 :=v 2v/3 b+2s W=(S 0 s+l 0 l, S s+l l, S 2 s+l 2 l+n 2 ) E=0 v=s 0 +L 0 mit b=s 0. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E= v=s +L 2 mit b=s. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. E=2 v=s 2 +L mit b=s 2. Fortfahre uter Wäguge 2. Art. Vergleichswägug -Kugel steht zur Verfügug W=(0,, ) -Kugel steht icht zur Verfügug GI icht bestimmbar 4

42 0. Nachwort 0.. Chroologie Es war vermutlich im Jahr 988 ich war etwa i der 8. Klasse als ich zum erste Mal mit dem Problem i Kotakt kam. Gespat, was ich damit afage würde, kofrotierte mich mei Vater mit dem ursprügliche Problem [2, 3], selbstverstädlich Modifikatio 0, ohe -Kugel ud ohe gegebee Gewichtsiformatio. Er sagte, er hätte es vo eiem Ma erhalte, der mit hochbegabte Kider arbeite. Ich beschäftigte mich kurze Zeit damit, fad ach ei paar Tage keie richtige Zugag zu eier Lösug, verlor die Motivatio ud stellte deshalb das Problem meiem Mathematiklehrer, der zu jeer Zeit auch mei Klasselehrer war. Dieser schie aber bereits ach eiem Tag ebefalls die Motivatio verlore zu habe. Mei Vater zog izwische i Betracht, dass er mir die Aufgabestellug icht gaz korrekt überliefert habe köte; isbesodere war er sich icht mehr sicher, ob wirklich 2 Kugel gegebe ware. Sicher higege war er sich jedoch, dass die Gewichtsiformatio icht gegebe war. Durch Betrachte der erste Wägug die ach dem Hilfssatz über Wäguge. Art höchstes eie Reduktio auf a/2 Kugel liefer ka gelagte ich zu der Vermutug, es müsse a 2 gelte. Da =3 war, hielt ich 2 3 =8 für die maximale Azahl Kugel bei 3 Wäguge. Ich beschräkte mich also auf das bescheidee [8, 3] ud fad eie Lösug. Im Juli 997, währed eier Feriereise i Schottlad ud Irlad, erierte ich mich a [2, 3] ud a das erste Mal, als mich mei Vater mit diesem Problem kofrotiert hatte. Da er damals icht de gerigste Zweifel bezüglich eier der Agabe i der Aufgabestellug geäussert hatte, gelagte ich zuehmed zu der Überzeugug, dass er sich icht i der Zahl der Kugel geirrt hatte. Ich beschäftigte mich also 9 Jahre später wieder mit [2, 3] ud kote es ach eiigem Kobel auch löse. Meie Freude war so gross, dass ich Freude die Problemstellug zu [2, 3] auf eier Postkarte zuschickte. Auf dieser Feriereise setzte ich mich forta mit dem verallgemeierte [a, ] auseiader. Ich wollte wisse, wa geau es lösbar ist. Da ich ituitiv davo ausgig, dass [a, ] für a<a lösbar sei, beschäftigte ich mich vor allem damit, a als Fuktio vo zu fide. I meie Überleguge fehlte aber die Idee, die hiter der Hilfsgrösse a steckt. Ich verwedete och icht die Tatsache, dass ab W 2 eie -Kugel zur Verfügug steht (siehe Herleitug des Stadardalgorithmus, uter [v, w]). So erhielt ich die zu kleie Werte a 0 =, a =, a 2 =4, a 3 =2, a 4 =38, a 5 =8, ach der explizite Formel a = 2 (3 2+3) für 2 Ich schloss, dass für 3 Wäguge 2 die maximale Azahl Kugel sei, i gewisser Übereistimmug mit der Tatsache, dass ich ursprüglich mit [2, 3] kofrotiert wurde. Währed ich 988 och geglaubt hatte, a 3 sei 8, stieg 997 a 3 auf 2. I diese Ferie fad ich och de korrekte Zusammehag zwische p(a, ) ud a. 42

43 Eiige Moate ach meie Ferie diskutierte ich mit mehrere Freude, die [2, 3] gelöst hatte, über desse Lösug sowie das allgemeie Problem. Meie Aahme, dass [a, ] für a<a lösbar sei, wurde richtigerweise als icht gegebe empfude. So versuchte ich, dies zu beweise. Ich etdeckte, dass ich mich zuächst eigehed mit Eizelwäguge auseiadersetze musste. Das war der Grudstei zu dieser Abhadlug. Zuehmed stellte ich fest, dass sauberes Notiere ud Beweise vermuteter mathematischer Zusammehäge sehr aufwädig ist, dafür aber eue ud überraschede Erketisse zu Tage förder ka. I Teil 5 über die explizite Formel war es eie grosse Überraschug zu erkee, dass a 3 =3 ist. Die korrekte explizite Formel für a, a = 2 (3 ) für N + erfüllt das Prizip der Parsimoie: Sie ist eifacher ud schöer als die frühere. I Teil 6 über die Lösbarkeit vo [a, ] schliesslich erwies sich meie Ituitio betreffed Lösbarkeit für a<a mit Ausahme des Soderfalles a=2 als richtig. Dieser Soderfall hat eie gewisse philosophische Bedeutug: Wie soll eie Waage zwische eier ormale ud eier icht-ormale Kugel uterscheide köe? Diese Frage ka icht absolut beatwortet werde; es braucht de Vergleich mit eier -Kugel, welche die Norm defiiert. Der Satz über die Gewichtsiformatio zeigte etwas weiteres Schöes: Das ursprügliche Problem [2, 3] ka so gelöst werde, dass die Gewichtsiformatio mit Sicherheit gewoe wird Versioe Eie erste Fassug dieser Abhadlug wurde am 6. Juli 998 fertig gestellt. Am 6. Jauar 999 etstad eie zweite, die i macher Hisicht kompakter war z.t. kote Beweise abgekürzt werde; formale Teile kote durch eie kosequete mathematische Schreibweise verkürzt werde. Erweiteruge bzw. Vervollstädiguge ware die Teile 7, 8 ud 9 Stadardalgorithmus, Satz über die Gewichtsiformatio, Satz über de Stadardalgorithmus, Übersicht über alle modifizierte Probleme sowie die Zusammestellug der wichtigste Ergebisse. Seit dieser zweite Fassug wurde ur kleiere Äderuge gemacht. Die letzte Überarbeitug wurde am 24. Jui 2005 abgeschlosse. Korrekture ud Areguge sid willkomme Widmug Das Schreibe, Überarbeite ud Verbesser dieser Abhadlug bereitete mir sehr viel Freude. Ohe die Fasziatio meies Vaters für solche Probleme wäre es dazu icht gekomme. Es ist sehr schade, dass ich meie Freude icht mehr mit ihm teile kote. Er verstarb im Februar 996 uerwartet im Alter vo ur 55 Jahre. Diese Abhadlug ist meiem Vater gewidmet. Diese Abhadlug wurde auf Recycligpapier gedruckt. Bitte das Papier rezykliere, falls es icht mehr beötigt wird. 43