Statistik II für die BA Studiengänge an der WSF. Für Wen?

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1 tatistik II für die BA tudiegäge a der WF Für We? tudiegag tudetezahl Leistugsahweis VWL+PÄO (VWL? Klausur tat. II ozialwisseshafte? Klausur (tat. I+ tat. II oziologe? Höreshei * * Um de Hörshei zu bekomme, müsse die tudierede der oziologie midestes a Vorlesuge ud Übuge teilehme. Am Ede jeder Lehrverastaltug solle die tudierede eie Utershrift vom Lehrede abhole. Dafür müsse ie eie Zettel mit dem etsprehede Name ud Matrikel-Nr. vorbereite. Diese Zettel solle ie am Ede des emester im ekretariat abgebe. BA_Testverfahre_I tatistik II Thema Ihalt Testsverfahre: Eiführug ud Test über de Mittelwert, Zweistihprobetests über Mittelwerte, Variazaalyse, Apassugs-, Uabhägigkeit- ud Homogeitätstest Regressiosaalyse: Eifahe Regressio ud Mehrfahe Regressio, hätzug ud Test i der Regressio 3 Idexzahle 4 Zeitreiheaalyse BA_Testverfahre_I

2 Arbeitsmaterial ud Grudlegede Literatur PowerPoitPresetatioe(Prof. Kük/ Dr. Riabal, Vorlesugsskript für tatistik II (Dr. Pu Che, Klausure ud Klausurlösuge für tatistik II, Aufgabe ud Lösuge für die Übuge zur tatistik II Grudlegede Literatur: Bleymüller/Gehlert/ Güliher, tatistik für Wirtshaftswisseshaftler, Vahle Verlag Bleymüller/Gehlert, tatistishe Formel, Tabelle ud Programme, Vahle Verlag BA_Testverfahre_I 3 Gegestad der iduktive tatistik Wie ma aus de Ergebisse der statistishe Utersuhug eier tihprobe (Teilmasse auf die übergeordete Grudgesamtheit (Gesamtmasse shließe ka, ist der Gegestad der iduktive oder shließede tatistik. Die wihtigste Teile der iduktive tatistik sid: hätzverfahre Testverfahre BA_Testverfahre_I 4

3 Iduktive hlussweise -Problemstellug- Grudgesamtheit Zufallsstihprobe : utersuhtes Merkmal i d. GG Parameter ud hätzer x, x, x 3,... x, ², θ, F(x Für GG i. Allg. ubekat Iduktio,, P, F (x hätze Teste (Hypothese prüfe BA_Testverfahre_I 5 hätzug vo Lage- ud treuugsparameter -Aufgabestellug- Das Iteresse rihtet sih hier auf die ubekate Parameter γ (wie z. B. Erwartugswert, Variaz oder Ateilswert θ eier Verteilug i der Grudgesamtheit (Parametershätzug. Der Wert dieses Parameters γ ist ubekat ud soll mittels eier Zufallsstihprobe geshätzt werde. Dabei utersheidet ma zwei Arte vo hätzuge: Puktshätzug ud Itervallshätzug. BA_Testverfahre_I 6

4 Testverfahre tatistishe Tests sid Verfahre zur Überprüfug vo Aahme bzw. Hypothese über ubekate Parameterwerte eier Verteilug bzw. über die ubekate Verteilug eies Merkmals i der Grudgesamtheit auf der Basis der Ergebisse eier Zufallsstihprobe. olhe Aahme köe auf theoretishe Überleguge, frühere Beobahtuge, ollwerte, Güteaforderuge, Erfahruge, Behauptuge usw. basiere. BA_Testverfahre_I 7 Eiige wihtige tihprobefuktioe ei eie Grudgesamtheit mit dem Parameter ud ud,,, eie P aus dieser Grudgesamtheit. Arithmetishes Mittel i i tihprobevariaz: i ( i Adere tihprobefuktioe: Z U * ( s BA_Testverfahre_I 8 T

5 Eiige wihtige tihprobeverteiluge Zufallsvariable T U s * ( Verteilug Normalverteilug Bedigug: Grudgesamtheit ormalverteilt oder >3 tudetverteilug Bedigug: Grudgesamtheit ormalverteilt tadardormalverteilug Bedigug: >3 Chi-Quadrat-Verteilug Bedigug: Grudgesamtheit ormalverteilt Parameter E( Var( ν- * ν- BA_Testverfahre_I 9 Testverfahre zur Prüfug vo Hypothese über Parameter oder Verteiluge Eiführug ud Begriffe beim Hypothesetest Hypothesetest für de Mittelwert BA_Testverfahre_I

6 Geriht - Beispiel Freispruh Verurteilug Realität Ushuld huld Gerihtsverfahre zum Beweis des Gegeteils, wobei i der Demokratie die Ushuldshypothese Ausgagshypothese ist. Verfahre edet mit pruh. Etsheidug BA_Testverfahre_I Dügemittelwerk Vermutug: Das Automat wurde falsh eigestellt bzw. arbeitet fehlerhaft k die Abweihug ist ur zufällig Der Automat ist rihtig eigestellt oder arbeitet fehlerfrei. > k die Abweihug ist iht ur zufällig Der Automat wurde falsh eigestellt oder arbeitet fehlerhaft. Dügemittelwerk - Beispiel Verpakugsautomat Zufallsgröße : Gewiht der äke ollgewiht der äke: E( 5 kg tihprobemittelwert: Abweihug zwishe tihprobemittelwert ud ollwert : Mit Hilfe statistisher Testverfahre ka i eiem solhe Fall bestimmt werde, wie groß die Abweihug midestes sei muss, damit mit ausreiheder Wahrsheilihkeit auf eie falsh eigestellte bzw. defekte Verpakugsautomate geshlosse werde ka. Diese Verfahre fide i der modere Idustrie uter dem Begriff der statistishe Produktioskotrolle massehaft Awedug. BA_Testverfahre_I

7 tatistishe Hypothese eies Tests I eiem statistishe Test werde zwei gegesätzlihe Hypothese gegeüber gestellt. Die eie Hypothese egiert die adere. Eie Hypothese wird Nullhypothese geat ud mit H bezeihet. ie beihaltet immer das Gleihheitszeihe. Die adere Hypothese wird Alterativhypothese geat ud mit H bzw. H A bezeihet. Weil Alterativhypothese ud Forshugsvermutug oft übereistimme, wird H auh Forshugshypothese geat. Null- ud Alterativhypothese sid stets disjuktiv. Die Ablehug der eie bedeutet die Aahme der adere ud umgekehrt. Um Missverstädisse zu vermeide, wird hier meistes ur über die Ablehug oder die Aahme vo H geredet. H vs. H H : Nullhypothese H : Alterativhypothese oder Forshugshypothese BA_Testverfahre_I 3 Treffe vo Etsheiduge i eiem statistishe Hypothesetest Aus der iht der tatistik gibt es zwei Möglihkeite, eie Etsheidug über die Aahme oder Ablehug eier Hypothese zu treffe. Determiistish, we der Wert des Parameters oder die Verteilug i der Grudgesamtheit auf Grud eier Totalerhebug berehet werde ka. Es reiht ei simpler Vergleih, um die Etsheidug ohe Irrtum zu treffe. tohastish oder statistish, we der wahre Wert des Parameters oder die Verteilug i der Grudgesamtheit aus praktishe Grüde iht bestimmt, soder ur mittels eier zufällig ausgewählte tihprobe vom Umfag geshätzt werde ka. I diesem Fall ist iht gesihert, dass die Etsheidug fehlerfrei ist. Hier sid zwei Zustäde möglih: Treffe oder Irrtum. Treffe oder berehtigte Etsheidug, we eie i der Realität zutreffede Hypothese ageomme oder eie iht zutreffede Hypothese abgeleht wird. Irrtum oder Fehler, we eie zutreffede Hypothese abgeleht oder eie iht zutreffede Hypothese ageomme wird. BA_Testverfahre_I 4

8 Fehlertyp bei eiem statistishe Hypothesetest Etsheidug Aahme vo H Ablehug vo H Realität H trifft zu H trifft iht zu Treffe Irrtum (Fehler zweiter Art Irrtum (Fehler erster Art Treffe Leht ma H i eiem Test ab, we i der Wirklihkeit H zutrifft, da maht ma eie Fehler. Wird H ageomme (iht abgeleht, we H iht zutrifft, da maht ma auh eie Fehler. Beide Fehler utersheide sih ihaltlih. ie werde Fehler erster Art bzw. Fehler zweiter Art geat. Zwei rihtige Etsheiduge (Treffe sid auh möglih. I der Tabelle werde die vier möglihe Zustäde bei eiem statistishe Test zusammegefasst dargestellt. BA_Testverfahre_I 5 Fehlermessug - Zusammefassug Etsheidug Aahme vo H Ablehug vo H H trifft zu Treffe Irrtum W(Fehler. Art : igifikaziveau Realität H triff iht zu Irrtum W(Fehler. Art β Treffe W(H wird abgeleht H trifft zu - β: Maht W(I W(Fehler. Art W(H wird abgeleht H trifft zu W(II W(Fehler. Art W(H wird iht abgeleht H trifft iht zu β W(fehlerfreie Aahme eier zutreffede Forshugshypothese H W(H wird abgeleht H trifft iht zu - W(H wird iht abgeleht H trifft iht zu - W(II - β (Maht BA_Testverfahre_I 6

9 Fehlermessug bei eier stohastishe Etsheidug Die Größe der Fehler eies Tests werde mit Hilfe ihrer Wahrsheilihkeit gemesse ud mit W(I bzw. W(II bezeihet. Ma ka da utersheide: W(I W(Fehler. Art W(H wird abgeleht H trifft zu W(IIW(Fehler. Art W(H wird iht abgeleht H trifft iht zu I der empirishe Forshug legt ma große Wert darauf, dass der Fehler bei der Aahme eier iht zutreffede Forshugshypothese H (Ablehug vo H, we H zutrifft so klei wie möglih bleibt. Dazu setzt ma eie obere Greze für die Wahrsheilihkeit dieses Fehlers. Der Wert, der iht übershritte werde soll, wird igifikaziveau des Tests geat. Es gilt da W(Fehler. Art. Die obere Greze für die Größe des Fehlers. Art wird mit β bezeihet. Es gilt W(Fehler. Art β. Die Differez -β wird Maht oder Power des Tests geat. -β ist die Wahrsheilihkeit dafür, dass ma eie zutreffede Forshugshypothese (Alterativhypothese H fehlerfrei aimmt. Es ist atürlih auh erwüsht, eie Test durhzuführe, bei dem diese Wahrsheilihkeit so groß wie möglih zu erhalte ist. BA_Testverfahre_I 7 Prüfgröße, kritisher Bereih Um eie statistishe Etsheidug über die Rihtigkeit eier Hypothese auf Grud eier zufällig gezogee tihprobe (,,..., zu treffe, defiiert ma eie geeigete tihprobefuktio γˆ ud teilt de Wertebereih dieser Fuktio i zwei ausshließede Teile: eie Teilbereih K ud seier Komplemet K, so dass, we der Wert der Fuktio i de Teilbereih K hifällt, H abgeleht wird. Fällt der Wert der tihprobefuktio i de adere Teilbereih, da wird H iht abgeleht (H wird ageomme. Die tihprobefuktio ud die Teilbereihe werde i diesem Zusammehag Prüfgröße, Ablehugsbereih (Ablehug vo H ud Aahmebereih (Aahme vo H geat. Der Ablehugsbereih vo H wird auh kritisher Bereih geat. γˆ K H wird abgeleht (H wird ageomme γˆ K γˆ K H wird ageomme (H wird iht abgeleht Es gilt für die Wahrsheilihkeit des Fehlers erster Art: W(γˆ K H trifft i der Realität zu W(H wird abgeleht H W(Fehler. Art trifft i der Realität zu BA_Testverfahre_I 8

10 Klassifizierug vo statistishe Tests Nah dem Ihalt der Hypothese: -Parametrishe Tests (Tests über die Parameter eier bekate Verteilug -Verteilugstests (Tests über eie ubekate Verteilug Nah der Abhägigkeit der Verteilug der tihprobefuktio vo der Verteilug der Grudgesamtheit: - Verteilugsgebudee Tests -Verteilugsfreie Tests Nah der Azahl der tihprobe, die für de Hypothesetest otwedig sid: -Eistihprobetest -Zweistihprobetest -Mehrstihprobetest Nah der Form des kritishe Bereihes -Zweiseitige Tests -Eiseitige Tests (rehtsseitige Tests bzw. liksseitige Tests BA_Testverfahre_I 9 Bestadteile eies Hypothesetests Ei Hypothesetest besteht aus siebe Elemete:. zwei etgegegesetzt formulierte Hypothese (H ud H. eiem vo vorherei festgelegte igifikaziveau 3. eier bzw. mehrere tihprobe 4. eier tihprobefuktio oder Prüfgröße bzw. Testgröße 5. eiem Ablehugsbereih bzw. eiem Aahmebereih für H 6. eier Etsheidugsregel 7. eier Etsheidug BA_Testverfahre_I

11 Parametrishe Eistihprobetests Ma ka folgede Parametertests durhführe: Parametertest über de Mittelwert ( H : vs. H : (Zweiseitiger Test ( H : vs. H : < (Liksseitiger Test (3 H : vs. H : > (Rehtsseitiger Test Parametertest über die Variaz eier Normalverteilug ( H : ² ² vs. H : ² ² ( H : ² ² vs. H : ²< ² (3 H : ² ² vs. H : ²> ² Parametertest über de Ateilwert ( H : θ θ vs. H : θ θ ( H : θ θ vs. H : θ < θ (3 H : θ θ vs. H : θ > θ BA_Testverfahre_I Zweiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz ( ei eie ormalverteilte Zufallsvariable i eier Grudgesamtheit mit dem ubekate Mittelwert ud der bekate Variaz ², ~ N(, ². Es wird auf eiem igifikaziveau getestet, ob der Parameter gleih ist oder iht, d. h. es wird zwishe de folgede Hypothese etshiede: H : vs. H : (Zweiseitiger Test Null- ud Alterativhypothese W(H wird abgeleht W(Fehler. Art : igifikaziveau ei (,,..., eie tihprobe vom Umfag. Es gilt für jede i ~ N(, ². Um eie Etsheidug über de Mittelwert der Grudgesamtheit zu treffe ist es zwekmäßig, de tihprobemittelwert azuwede. Für diese tihprobefuktio (Prüfgröße bzw. Testgröße gilt: ² ~ N( ; Z ~ N( ; BA_Testverfahre_I

12 BA_Testverfahre_I 3 Zweiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz ( Der kritishe Bereih K ist die Mege aller möglihe Werte des tihprobemittelwertes, für welhe gilt:. der Abstad vo ist so groß, dass ma die Nullhypothese ablehe soll,. die Wahrsheilihkeit, dass der Fehler bei dieser Etsheidug iht größer als ist. { } W( ud : K > > Z W( W( W( W( W( > BA_Testverfahre_I 4 Zweiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz (3 Z W( Z Z { } } Z { : } Z { : K( ud W( : K( > > > >

13 Zweiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz (4 Etsheidugsregel ud Treffe der Etsheidug: K( H wird abgeleht (H wird ageomme Die Fehlerwahrsheilihkeit liegt uter. W[ K( ] Diese Aussage ist rihtig vor der Ziehug der kokrete tihprobe. Zieht ma eie kokrete tihprobe, da ist der berehete tihprobemittelwert keie Zufallsvariable mehr ud deswege hat es keie i, ah der Ziehug der P eie Wahrsheilihkeitsaussage zu mahe. Da der Wert vo ahe Eis gewählt wird, ka ma ur hoffe, dass die Etsheidug rihtig ist. K( H wird iht abgeleht (H wird ageomme Die Fehlerwahrsheilihkeit bei dieser Etsheidug ist ubekat. W[ K( ] W[H wird iht abgeleht H trifft iht zu] BA_Testverfahre_I 5 β Zweiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz - Zusammefassug -. H : vs. H : (Zweiseitiger Test. igifikaziveau: 3. tihprobe vom Umfag : (,,..., 4. Prüfgröße bzw. Testgröße: 5. Kritisher Bereih: ² ~ N( ; Z ~ N( ; K( { : > Z } { : > Z } 6. Etsheidugsregel: 7. Treffe der Etsheidug K( H wird abgeleht (H wird ageomme K( H wird iht abgeleht (H wird ageomme auf Basis eier kokrete tihprobe (x, x,..., x BA_Testverfahre_I 6

14 Zusammehag zwishe de Größe beider Fehler H : vs. H : ( ( : (igifikaziveau: Größe des Fehlers erster Art (Vorgegebe β: Größe des Fehlers zweiter Art (Im Allgemeie ubekat ( (3 Beide Fehler wahse umgekehrt. > > 3 β < β < β 3 BA_Testverfahre_I 7 Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz - Beispiel Beispiel: Das Durhshittsgewiht vo Masthähhe lag i der Vergageheit bei 49,5 g mit eier tadardabweihug vo 8,9 g. Nah Übergag zu eiem eue Futtermittel liefert eie tihprobe im Umfag vo 8 ei Durhshittsgewiht vo 496,3 g. Ka ma aufgrud dieses tihprobeergebisses uter der Aahme eier gleihgebliebee tadardabweihug mit eiem igifikaziveau vo % shließe, dass sih das Durhshittsgewiht i der Grudgesamtheit verädert hat? H : vs. H : ( 49,5, H : 49,5 vs. H : 49,5 x 496,3 Z Z,995,58 Z K( { : > Z 49,5 } { : >,58} 8, ,3 49,5 z,8 8,9 8 Etsheidug: Da,8 <,58 gilt, wird H iht abgeleht. BA_Testverfahre_I 8

15 Eiseitige Tests für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz Ei eiseitiger Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit bekater Variaz utersheidet sih vo dem zweiseitige Test ur i seiem etsprehede kritishe Bereih. 5. Kritishe Bereihe: Liksseitiger Test Rehtsseitiger Test ( H : vs. H : < (3 H : vs. H : > K( { : < Z } { : < - Z } K( { : > + Z } { : > Z } Z -Z - Z - BA_Testverfahre_I 9 Tests für de Mittelwert eier Normalverteilug mit ubekater Variaz Die Tests für de Mittelwert eier Normalverteilug mit ubekater Variaz utersheide sih vo de vorige Tests ur i der Prüfgröße ud de etsprehede kritishe Bereihe. Tests: ² Prüfgröße: ~ N( ; T ~ t Kritisher Bereih: ( H : vs. H : K( { : - > t } { : T > t } ; ; Faustregel: (Kleie tihprobe <3 ( H : vs. H : < (3 H : vs. H : > K( { : < t ; } { :T < - t ; } K( { : > + t ; } { :T > t ; } BA_Testverfahre_I 3

16 Test für de Mittelwert eier Normalverteilug mit ubekater Variaz - Beispiel Beispiel: Eie Mashie stellt Plätthe her, dere Dike ormalverteilt ist, mit dem ollwert (Mittelwert,5 m. Eie tihprobe vo Plätthe liefert ei arithmetishes Mittel vo,53 m bei eier tadardabweihug vo,3 m. Die Hypothese, dass die Mashie oh exakt arbeitet, ist auf eiem igifikaziveau vo,5 zu überprüfe. H : vs. H : (,5,5 t t 9 ;,975 ;,6 H :,5 vs. H :,5 x,53 s,3 T K( { : - > t } { : T,6} > ;,53,5 t 3,6,3 Etsheidug: Da 3,6 >,6 ist, wird H abgeleht, d. h. die Mashie arbeitet iht mehr exakt. BA_Testverfahre_I 3 Tests für de Mittelwert eier ubekate Verteilug für große tihprobe Für die ubekate Verteilug i der GG ud große tihprobeumfag (>3 gilt: Prüfgröße: ² ~ N( ; T ~ t Z ~ N( ; Ma ka i diesem Fall de tihprobemittelwert oder eie Fuktio vo ihm als Prüfgröße für de Test über de Mittelwert utze. Die etsprehede kritishe Bereihe werde durh Verwedug der Normalverteilug bestimmt. Tests: ( H : vs. H : < (3 H : vs. H : > Kritisher Bereih: ( H : vs. H : K( { : - > Z } { : T > Z } K( { : < Z } { :T < - Z } K( { : > + Z } { :T > Z } BA_Testverfahre_I 3

17 Test für de Mittelwert eier ubekate Verteilug Beispiel ( Beispiel: Bei der Überprüfug des Verpakugsautomate im Dügemittelwerk werde 3 äke ahgewoge, für die ei Durhshittsgewiht 5, kg ud eie tadardabweihug 5 g berehet werde. Aufgrud dieses tihprobebefudes ist eie Etsheidug über die Arbeit des Automate (fehlerhaft/ iht fehlerhaft zu treffe. Die Etsheidug soll bei 5 prozetiger Irrtumswahrsheilihkeit getroffe werde. Über die Verteilug des Gewihtes der äke liegt keie Iformatio vor.,5 t t 3 ;,975 ;,4 H : 5 vs. H : 5 T x 5, K( { : - > t } { : T,4} > ; s,5 5, 5 t,7,5 3 Etsheidug: Da,7 >,4 ist, wird H abgeleht, d. h. ma ka aehme, dass der Automat fehlerhaft arbeitet. BA_Testverfahre_I 33 Test für de Mittelwert eier ubekate Verteilug Beispiel ( Beispiel: 3 beträgt das Durhshittsalter der Zuzüge aus adere Kreise MV ah Rostok 3 Jahre. Im Jahr 4 liegt, bei eier tihprobe vo Persoe, das Durhshittsalter der Zuzüge bei 9, Jahre mit eier tadardabweihug vo 4,65 Jahre. Hat sih der Wert im Jahr 4 sigifikat verrigert, bei eiem igifikaziveau vo,5? Quelle: tatistishe Berihte 3. Über die Verteilug des Alters liegt keie Iformatio vor. H : 3 vs. H : < 3 x 9, T,5 K( { : ( - < - t ; } { :T < -,66} t ; t 99 ;,95,66 s 4,65 9, 3 t,55 4,65 Etsheidug: Da -,55>-,66 ist, wird H iht abgeleht, d. h. die Verrigerug des durhshittlihe Waderugsalters (Zuzüge ist iht sigifikat. BA_Testverfahre_I 34

18 Test für de Mittelwert eier ubekate Verteilug Beispiel (3 Beispiel: Das durhshittlihe Nettoeikomme liegt im März 4 bei.63. Bei eier tihprobe vo Persoe im Jui 4 lag das durhshittlihe Nettoeikomme bei.75 mit eier tadardabweihug vo.7. Hat sih das durhshittlihe moatlihe Nettoeikomme bei eiem igifikaziveau vo,5 statistish sigifikat erhöht? Quelle: Mikrozesus 4, Tabelle 36. Über die Verteilug des Nettoeikomme liegt keie Iformatio vor.,5 x.75 t ; t99 ;,95 s.7 Etsheidug: Da,9<,645 ist, wird H iht abgeleht, d. h. das durhshittlihe Nettoeikomme im Jui 4 ist iht sigifikat höher als im März 4. BA_Testverfahre_I 35,645 H :.63 vs. H : > ,9 T K( { : ( - t } { :T,645} t > ; >.7