INHALTSVERZEICHNIS MONTAG

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1 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - I - VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN 0 Motg: Zhleege, Vrile, Teruforuge, Wurzel ud Poteze, Ds Löse vo UGleichuge i eier Vrile. INHALTSVERZEICHNIS MONTAG Zhleege.... Mege der türliche Zhle Mege der türliche Zhle eischliesslich der Null.... Mege der gze Zhle.... Mege der rtiole Zhle.... Mege der reelle Zhle....5 Teilege Verküpfuge +,,, : Beispiele zur Reihefolge der Opertioe Bruchreche Brüche kürze Brüche ddiere / sutrhiere Brüche ultipliziere Brüche dividiere Doppelrüche Periodische Dezilzhle i Brüche uwdel... 7 Vrile Beispiele....8 Teruforuge Die Rechegesetze Rechegesetze der Additio Rechegesetze der Multipliktio Ds Distriutivgesetz Verteilugsgesetz Beispiele vo Teruforuge Klerregel Awedug des Distriutivgesetzes Die ioische Forel Die. ioische Forel Die. ioische Forel..... Die. ioische Forel Motivtio der ioische Forel...

2 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - II -.. Bioische Forel für höhere Poteze.... Fktorisierugsethode..... Auskler geeiser Fktore Auskler eies Klerters..... Auskler i Teilsue..... Zerlege vo Sue i ioische Forel Koitio verschiedeer Fktorisierugsethode Zerlegug qudrtischer Tere durch de -Klerstz Verischte ud spruchsvolle Aufge Bruchtere Kürze Addiere & Sutrhiere Multipliktio Divisio Doppelrüche... 9 Wurzel ud Poteze.... Die Defiitio der Qudrtwurzel..... Recheregel für Qudrtwurzel.... Reche it -te Wurzel..... Die Defiitio der -te Wurzel..... Recheregel für -te Wurzel..... Wurzelteruforuge.... Reche it Poteze..... Poteze it türliche Expoete Recheregel für Poteze it türliche Expoete..... Poteze it elieige gzzhlige Expoete Poteze it rtiole Expoete Zusestellug der Potezregel Aweduge der Potezregel Ds Löse vo Gleichuge ud Ugleichuge Allgeeies Äquivlezuforuge ei Gleichuge Liere Gleichuge Liere Ugleichuge Bruchgleichuge Bruchugleichuge Produkte die Null sid. Ei Spezilfll vo Gleichuge Wurzelgleichuge... 5

3 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - III Qudrtische Gleichuge Soderfälle vo qudrtische Gleichuge Die reiqudrtische Gleichug Leicht fktorisierre qudrtische Gleichuge Qudrtisches Ergäze Lösugsforel ud Lösrkeit Die Lösugsforel ud Lösugsfälle der qudrtische Gleichug Ei Mustereispiel zur Lösugsforel Fktorisiere vo qudrtische Tere Die Viet-Forel Gleichuge höhere Grdes Biqudrtische Gleichuge... 6 ANhg Die «Wurzel us» ls Beispiel eier irrtiole Zhl Beweis der Uedlichkeit der Prizhlfolge Exkurs üer Prizhlzusehäge Prizhlzwillige Die Goldchsche Verutug...6

4 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - ZAHLENMENGEN Der folgede, kurze Üerlick der Zhleege folgt de üliche Aufu i Schuluterricht vo der Prirstufe zur gysile Stufe; vo de sogete türliche Zhle zu de reelle Zhle. Wichtig für Sie ist, dss Sie die Bedeutug ud die korrekte Nottioe dieser Mege eherrsche, d eie Zhleege oft ls gegeee Grudege oder ls zusätzliche Vorussetzug i Aufgestelluge uftritt.. Mege der türliche Zhle {,,,... } Drus lsse sich kopliziertere Zhleege kostruiere. M spricht uch vo eier sog. Zhleereichserweiterug. Diese Notwedigkeit esteht, d ereits die Gleichug x + i keie Lösug ht. Mit diese Grudgedke werde wir jetzt die Mege der türliche Zhle ch ud ch erweiter... 0 Mege der türliche Zhle eischliesslich der Null 0 { 0,,,... }. Durch Hizufüge der 0 lässt sich u uch die Gleichug x + löse.. Mege der gze Zhle {...,,, 0,,,... }. I ht uch die folgede Gleichug eie Lösug: 8 + x 5.. Mege der rtiole Zhle ist die Mege der rtiole Zhle, d.h. der Brüche, woei ud gze Zhle sid ud verschiede vo 0 sei uss. Teile durch ull ist ie erlut! I ht jede Gleichug der For x it 0 eie eideutige Lösug. Aufgepsst: Es git Zhle wie etw «π» oder, die keie Eleete us sid! Es lässt sich eweise, dss sich diese Zhle icht ls Brüche drstelle lsse! Diese Zhle sid icht rechede Dezilzhle, sie werde lso ie periodisch ch de Ko. Siehe Ahg! Diese eue Ktegorie vo Zhle et irrtiole Zhle. Alle Wurzel us Prizhle ud Koitioe dvo sid weitere Beispiele für irrtiole Zhle. Für die irrtiole Zhle ist kei eigeer Buchste vorgesehe.. Mege der reelle Zhle Die Mege der reelle Zhle ist die Mege der rtiole Zhle vereiigt it de irrtiole Zhle. Bei Schritt vo uf erhlte Gleichuge wie etw x eie Lösug Wurzel. Aer es koe och viel ehr Zhle dzu, wie etw π ud e, die icht Lösug eier solche eifche Gleichug sid. Dieser Schritt ist ei weite der schwierigste der hier erwähte Schritte, er u reche zu köe, üsse wir us drüer keie Sorge che. I gewisser Hisicht ist die idele Zhleege, u icht ur zu zähle, soder uch esse zu köe.

5 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg M ht 0, woei ds Syol «ist ethlte i» edeutet. Die Redewedug «ist Teilege vo» ist eeflls geräuchlich. U zugee, dss eie Zhl x i eier dieser Mege liegt, verwede wir ds Syol. So heisst x, dss x eie rtiole Zhl ist..5 Teilege Mchl öchte wir it Teilege der oe gete Mege reite, wie etw ud. Itervlle: wir schreie [0, für lle Zhle x it x 0 ud x < ; Dieses Itervll ee wir es I lässt sich uch so drstelle: I { x 0 x < }. Edliche Mege, wie z.b.: {, π, 0} oder {,,..., 0} die Mege ller Zhle i, die kleier ls sid oder {,, 5, 7, 9,..., } die Mege ller ugerde türliche Zhle kleier ls..6 Verküpfuge +,,, : Auf, 0,,, sid die Verküpfuge + Additio ud Multipliktio defiiert. We es keie Verwirrug rigt, so lsse wir weg. Weiter git es die Verküpfug Sutrktio ud wir schreie für 0. Schliesslich git es die Verküpfug : oder / Divisio, oft uch geschriee ls /. Diese Opertio ist er ur d erlut, we 0 ist. Die Opertioe +,,, ud : heisse Grudopertioe. Die Reihefolge der Opertioe wird i der Mthetik ch strege Regel vorgeoe. Sie ist wie folgt festgelegt:. Ausdrücke i Kler Schchtelkler werde vo ie ch usse ufgelöst.. Pukt-Opertioe, :. Strich-Opertioe +,.6. Beispiele zur Reihefolge der Opertioe 0 8 :

6 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Bruchreche.6.. Brüche kürze Sid i Zähler ud i Neer eies Bruches gleiche Fktore, so k sie kürze, ide Zähler ud Neer durch de gleiche Fktor teilt. We eie Fktor kürzt, leit ier der Fktor stehe. Der Wert des Bruches ädert sich ei Kürze icht! Sue dürfe icht ohe weiteres gekürzt werde! Zwei Beispiele: it 9 kürze Der Wert des Bruches ädert sich dei icht! hier wäre es flsch it 5 zu kürze. I Zähler liegt eie Sue ud kei Produkt vor! 5 Ds richtige Resultt lutet:. 6...ud icht 9. Der Bruchstrich zwigt us ch de 5 Distriutivgesetz dzu, jede Sude us de Zähler it de Neer zu dividiere: : Dies wäre d zwr eie erlute Uforug, etspricht jedoch icht eie Kürze des Bruches..6.. Brüche ddiere / sutrhiere M k ur gleichige Brüche ddiere sutrhiere: M ddiert sutrhiert die Zähler ud ehält de Neer ei. We öglich kürzt schliessed. Ugleichige Brüche uss zuerst gleichig che d. h. uf gleiche Neer erweiter. Dei it icht irgedeie elieige geeise Neer, soder de kleistögliche geeise Neer de sog. Hupteer, uch kleistes geeises Vielfches «kgv» der eide Neer get. Die Rechug wird d eifcher, ud wir ruche icht, it llzu grosse Zhle zu reche! Ei Beispiel: och it kürze.6.. Brüche ultipliziere Zwei Brüche werde ch der Merkregel «Zähler Zähler» üer «Neer Neer» iteider ultipliziert. Vor de Ausultipliziere kürze wir, flls öglich. Die Rechug wird d eifcher, ud wir ruche icht ehr, it llzu grosse Zhle zu reche! Ei Beispiel: 8...vor de Ausultipliziere it kürze! Brüche dividiere Brüche werde dividiert, ide de erste Bruch it de Kehrwert des zweite Bruches ultipliziert. Dies folgt us der Ttsche, dss die Divisio die Ukehropertio der Multipliktio ist. Die Divisio vo Brüche wird lso uf die Multipliktio vo Brüche zurückgeführt! Ei Beispiel: 5 : och it kürze ud usultipliziere 6

7 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Doppelrüche Doppelrüche üsse deutlich geschriee sei. Der Huptruchstrich uss läger ud eher dicker sei ls die dere. Ds Gleichheitszeiche gehört uf die Höhe des Huptruchstrichs. D ei Doppelruch eeso gut ls Divisio zweier Brüche ufgefsst werde k, gilt für die Berechug: Der oere Bruch wird it de Kehrwert des utere ultipliziert. Ei Beispiel: : Periodische Dezilzhle i Brüche uwdel Zhle wie oder sid sogete periodische Dezilzhle. A eier estite Stelle wiederholt sich eie Zhlefolge is i lle Uedlichkeite. Dieser Zhlefolge sgt uch «Periode» ht die Periode 6. M schreit hierfür uch ht die Periode. Aders geschriee: 0.7. Aer wie k solche periodische Dezilzhle i Brüche uwdel? Die Idee: Durch eie geschickte Sutrktio rige wir de periodische Teil der Dezilzhl zu Verschwide. Die folgede Beispiele sollte selsterkläred sei: Beispiele: x 0. 0x 9x... x 0... Soit ist x. 9 x x x 99x Soit ist x. 99

8 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg VARIABLEN We wir üer eie icht äher spezifizierte Zhl us eier Teilege der gete Zhleege zu Beispiel, us eie Itervll i rede öchte, so ezeiche wir sie it eie eistes lteiische Buchste, de wir Vrile ee. Dei ezeiche die Vrile x, y, z eistes reelle Zhle wir schreie: x, y, z, währed i, j,, eher Eleete vo 0 sid i, j,, 0 ud dere Buchste etw,, c eide Bedeutuge he köe er ds ist türlich kei Gesetz! Für eie Vrile sollte ier geu gee, welche Werte sie he k, d.h. sollte ier eie Teilege vo eier der eigeführte Zhleege gee, i der die Vrile liege soll; diese Mege ee wir d de Defiitiosereich der Vrile.. Beispiele. {,,..., 0} heisst, dss für eie türliche Zhl grösser ls 0 ud kleier ls steht. x [0, 0 heisst, dss x eier reelle Zhl grösser gleich 0 ud kleier ls 0 etspricht. y, x + y 0 heisst, dss y eie reelle Zhl ezeichet, für die x + y it de oe eigeführte x icht ull ist. We ur Ugleichheite, oder dere Eigeschfte vo Vrile ohe weitere Age gegee sid, so ist geeit, dss die Vrile reell sid. Also heisst + ohe weiteres, dss ud reelle Zhle sid, dere Sue ugleich ist. Nu köe wir it Vrile geuso reche wie it Zhle, d.h. wir köe sie iteider, oder it kokrete Zhle, ultipliziere, zueider ddiere, usw. Ide ehrere solche Opertioe zusesetzt, erhält sogete lgerische Ausdrücke uch Tere get. M soll dei druf chte, dss diese Ausdrücke Si che für lle Werte der Vrile us ihre Defiitiosereiche. Isesodere sollte der Neer eies Bruchs für keie Werte der Vrile ull werde! Oft dreht ds Vorgehe u, ud schräkt die Defiitiosereiche der Vrile erst d ei, we solche Neer egeget. Ds ist ur deshl erlut, weil weiss, ds uch vo Afg diese Defiitiosereiche hätte so wähle köe.

9 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg TERMUMFORMUNGEN Teruforuge erfolge ch eideutig estite Rechegesetze ud Regel Assozitivgesetz, Kouttivgesetz, Distriutivgesetz, etc. Wird ei Ter korrekt ugefort, so ergit sich ei Eisetze vo Zhlewerte für die Vrile, sowohl ei ursprügliche, wie uch ei ugeforte Ter dersele Wert. M spricht deshl uch vo eier äquivlete Teruforug. [Äquivlez: Zu lteiisch equivleti «Gleichwertigkeit»]. Die Rechegesetze.. Rechegesetze der Additio Kouttivgesetz Vertuschugsgesetz I Worte: Die Reihefolge der Sude ht keie Eifluss uf die Sue, d.h. es gilt: für,, c gilt: Assozitivgesetz Veridugsgesetz Bei drei Sude ht die Reihefolge der Additioe keie Eifluss uf die Sue, d.h. es gilt: + + c + + c Kouttiv- sowie Assozitivgesetz gelte log für Sue it elieig viele Sude... Rechegesetze der Multipliktio Kouttivgesetz Vertuschugsgesetz I Worte: Die Reihefolge der Fktore ht keie Eifluss uf ds Produkt, d.h. es gilt: für,, c gilt: Assozitivgesetz Veridugsgesetz I eie Produkt us drei Fktore ht die Reihefolge der Multipliktioe keie Eifluss uf ds Produkt, d.h. es gilt: c c 6 8 Kouttiv- sowie Assozitivgesetz gelte log für Produkte it elieig viele Fktore... Ds Distriutivgesetz Verteilugsgesetz Es regelt ds Zusewirke vo Additio ud Multipliktio. M drf eie Sue ultipliziere, ide zuerst die Sude ultipliziert ud d die erhltee Produkte ddiert sog. gliedweises Ausultipliziere. für,, c gilt: + c + c oder ugekehrt: I eier Sue zweier Produkte drf eie geeise Fktor uskler. + c + c + +

10 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Beispiele vo Teruforuge.. Klerregel 0p [0q p 7q + p] 0p [0q p 7q p] 0p [q 5p] 0p q + 5p 55p q Iere Kler ufgelöst zusegefsst Eckige Kler ufgelöst Zusegefsst.. Awedug des Distriutivgesetzes c c c c + c 5c + c x y + x + y i Mehrere Kler werde iteider ultipliziert, ide schrittweise zuerst zwei Kler ultipliziert ud schliessed ds etstehede Produkt it der dritte Kler ultipliziert Assozitivgesetz!: x + x + 5 x x + 5x + x + 5 x U Recheufwd zu spre, die like Kler zuerst vereifche! x + 8x + 5 x x x + 8x 6x +5x 0 x + 6x x 0.. Die ioische Forel Die ioische Forel - es git drei Stück dvo - sid ei Hilfsittel zu Ausultipliziere ud zur Fktorisierug. Bei Ausultipliziere spre sie Zeit, ei der Fktorisierug sid sie oft uersetzlich! Deshl loht es sich diese Forel uswedig zu lere... Die. ioische Forel Diese wird gewedet, we eie Sue qudriert wird. Sie lutet: i Vereide Sie de häufig gechte Fehler: +??!! + Setze Sie zu Beispiel ud ei, ud üerzeuge Sie sich selst vo der Ukorrektheit dieser Aussge! Eie Sue drf lso icht sudeweise qudriert werde! Ds Wort Bio steht für eie Sue us zwei Glieder. Bioe sid lso Tere wie +, x + y,, usw.

11 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - Zur korrekte Herleitug : K Beispiele: c + d² 9c² + 6cd + d² D ud Vrile sid, lso elieig wählr, gilt die ioische Forel türlich uch für c + d². Hier steht c für ud d für. I Vergleich dzu ds gliedweise Ausultipliziere: c + dc + d 9c² + cd + cd + d² 9c² + 6cd + d². Für ud k lso lles Mögliche eisetze. Etw strkt gesehe ud : Die. ioische Forel Diese wird gewedet, we eie Differez qudriert wird. Sie lutet: + Beispiele: s 5u² s² 0su + 5u² 6x 5² 6x² 60x Die. ioische Forel We so will, ist sie eie Mischug us der. ud der. ioische Forel ud lutet: + Herleitug : + K Beispiele: s s + s² Hier wurde stillschweiged die Ttsche verwedet. I Vergleich dzu ds gliedweise Ausultipliziere: s s + s + s s s. x 5yx + 5y x² 5y² 9 5 ohe TR ereche, geht folgedersse:

12 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Motivtio der ioische Forel Der Mthetik-Skeptiker sgt sich u: «Die ioische Forel sid j jetzt soweit ekt, ud ei Ausultipliziere spre sie ttsächlich ei pr Sekude ei. Aer llei deswege der gze Aufwd? Ds k j wohl icht lles gewese sei!» Beruhigederweise wr ds uch icht lles, de wirklich uersetzlich sid die ioische Forel erst, we sie rückwärts wedet! Ageoe, der folgede Bruchter soll vereifcht werde: Ws für Möglichkeite zur Vereifchug git es? x x + 9 x. x x + 9 x Ntürlich «ioische Forel»: x. x x Hier wurde die. ioische Forel offer rückwärts gewedet, ud us eier Sue wurde wieder Fktore, die d gekürzt werde kote! Beerkug: We eie Sue zw. eie Differez i ei Produkt verwdelt, spricht i der Mthetik vo eier sogete «Fktorisierug», uch «Fktorzerlegug» get. Hier och Beispiele zu de ioische Forel; ud zwr rückwärts gewedet: 6j² + 6jk + k² j + k²...m üerlege, wie uf die Lösug koe k! x 6y x + y z Tipp: Bevor die.ioische Forel «² ² +» wedet, sollte sich zuächst üerlege ws de ud ws de ei diese Beispiel etspricht! ud... Bioische Forel für höhere Poteze Die ioische Forel gelte uch für höhere Poteze vo Sue ud Differeze. Wir etrchte etw die ioische Forel für die dritte Potez reche Sie ch: Bioilkoeffiziete Dei stellt folgedes fest: Ausseglieder

13 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - Die eide Ausseglieder des rechte Ausdrucks he geu diesele Potez wie der like Ausdruck. Ds ist ei jeder höhere Potez so. Ds Iteresste ist u, dss für höhere Poteze die Bioilkoeffiziete eie estite Gesetzässigkeit ufweise. Für diese Gesetzässigkeit der Bioilkoeffiziete git es eie grfische Drstellug, die ls PASCAL'sches Zhledreieck ekt ist Jeder Koeffiziet eier Zeile ist die Sue der eide drüer stehede Koeffiziete Die Ausseglieder he ier de Koeffiziete. M uss u i Gedke hiter de Koeffiziete die eide Sude ud us de Bio ergäze. Dei wird ch fllede Poteze ud ch steigede Poteze geordet. Zu Beispiel: + 5 fllede Poteze ei steigede Poteze ei I «-» Fll wechsel sich ufeider folgede Zeiche ier, egied it eie Plus. Beispiel: Üerlege Sie wieso!. Fktorisierugsethode I diese Kpitel geht es dru, Suetere zw. Differeze i ei Produkt uzuwdel. M sgt uch: «Eie Ter i Fktore zu zerlege». Ei Beispiel wäre, wie oe gesehe: x² x + 9 x ². Hier wurde eie ioische Forel rückwärts gewedet. Wir werde u weitere Methode für die Fktorzerlegug kee lere, wie etw ds Auskler geeiser Fktore, etc.. Bet ch de frzösische Mthetiker Blise PASCAL 6-66

14 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Auskler geeiser Fktore Kot ei Fktor i lle Glieder eies Sueters vor, so k ih uskler. I der Regel kler wir de grösste geeise Teiler de sog. «ggt» ller Sude vor. Beispiele: p y + py + y yp + p +...der lle Glieder geeise Fktor wr hier y. 6c d c 8d...wir suche jeweils de grösstögliche geeise Fktor ller Glieder. Hier lso deke sich ei de Fktor, lso. x x... Auskler eies Klerters Der lle Glieder geeise Fktor k sehr wohl uch ei Klerter sei! Beispiel: x + + y + + x + y, der lle Glieder geeise Fktor wr hier +.. Auskler i Teilsue x + x + y + y K Ds Vorgehe ei Auskler i Teilsue lässt sich i zwei Schritte erkläre: Schritt : Durch «geschicktes» Fktorisiere der Teilsue erhlte wir jeweils de gleiche Klerter ls Fktor: x + x + y + y x + + y +. Schritt : De Klerter ls geeise Fktor vorkler: x + + y + + x + y. Wir erläuter ds Verfhre zwei weitere Beispiele: cx + dx cy dy Aufgepsst: cx + dx cy dy x c + d + y c d wäre eie Sckgsse! U de gleiche Klerter zu erhlte, kler wir x ud y us! Bei Setze der Miuskler Vorzeiche echte! cx + dx cy dy x c + d y c + d c + d x y. Eie dere Möglichkeit diese Aufge zu löse, wäre durch Uorde der Sude: cx + dx cy dy cx cy + dx dy c x y + d x y x y c + d. x + y 6x xy

15 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Zerlege vo Sue i ioische Forel Wie scho weiter oe erwäht sieht de Nutze der ioische Forel erst d so richtig, we sie rückwärts wedet. Beispiel: u + 6uv + 9v u + v... ioische Forel... i Aer ufgepsst! Nicht lles ws ch eier ioische Forel ussieht, ist uch eie! Dzu üsse scho zwei Qudrte ud ei pssedes geischtes Glied vorkoe oder eie Differez zweier Qudrte. Die folgede Auflistug soll ufzeige ws geeit ist: x + xy + y x + 6x Ist keie ioische Forel, d ds. Glied kei Qudrtusdruck ist. Ist keie ioische Forel, d ds. Glied icht de Doppelprodukt etspricht. 5 0! Ist keie ioische Forel, d die Vorzeiche icht üereistie. Ist eie ioische Forel, die Tere sid ur icht richtig geordet. Aus + 9 ergit sich Ist eeflls eie ioische Forel, die Tere sid ur icht richtig geordet. Aus 9 5 ergit sich Ist keie ioische Forel Die Vorzeiche stie icht üerei... Koitio verschiedeer Fktorisierugsethode Mchl uss ei Fktorisiere vo Sue eie Koitio verschiedeer Methode zw. ehrls die gleiche Methode wede u eie Sue vollstädig i Fktore zu zerlege! Hier eiige Mustereispiele: 5x + 0xy + 5y 5x + xy + y 5x + y...zuerst 5 uskler, d die. ioische Forel wede. x + xy + y z x + y z [x + y + z] [x + y z]... zuerst die., d die. ioische Forel wede. Die Rude Kler Schluss köe weggelsse werde. x 6 x + x x + x + x....hier wede wir zweil die. ioische Forel. M echte: I erste Schritt he wir zwr ereits ei Produkt vo Fktore, er die Fktore sid och icht vollstädig zerlegt Auskler? Nei, d kei geeiser Fktor i lle Glieder vorkot! M erket jedoch die. ioische Forel i de erste Glieder der Sue. Ds soll user erster Schritt sei er wie weiter? Ds ist och kei Produkt

16 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg vo Fktore! We wir jetzt i der rechte Teilsue -5 uskler, sollte us ds weiterrige ttsächlich! Jetzt och die Kler [ ] vorkler... [ ] [ 5]...uötige Kler weglsse Zerlegug qudrtischer Tere durch de -Klerstz Wir etrchte ds Produkt «x + x + 5» ud erhlte ls Lösug de qudrtische Ter «x + 8x + 5». Die Frge ist u, wie ugekehrt vo eie qudrtische Ter uf desse Zerlegug kot, ei oige Beispiel lso, wie vo «x + 8x + 5» uf «x + x + 5» kot. Die Atwort: Mit de etsprechede Astz ud it systetische Proiere! Ei Beispiel: Wir öchte x + 9x + 0 fktorisiere. Astz: x + 9x + 0 x x I de Kler üsse zwei Zhle stehe, dere Produkt 0 ist ud dere Sue 9 ist, dit uf die 9x kot. M uss icht lge suche, is die Lösug sieht... x + 9x + 0 x + x Durch ds Ausultipliziere ht stets eie Kotrollöglichkeit! Allgeeie Begrüdug: x + x + x + x + x + x + + x + Wir erläuter diese Methode weitere Beispiele: x + 5xy + 6y x + yx + y x x + 0 x x Ds Produkt der zwei gesuchte Zhle soll +0 ud die Sue - etrge. Etw -5 ud -8? Nei! Soder... x 6x 7 x + 5x Eie etws spruchsvollere Aufge: x + 9xy + 0y Tipp: Versuche Sie de heliegede! Astz: x +... x Kotrolle icht vergesse!

17 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Verischte ud spruchsvolle Aufge Lsse sich die Tere + ud fktorisiere? Atwort: J! ud + + Ei Beispiel dzu: x 8 x x + x + M fktorisiere +. Achtug: + ist eie Sckgsse! Ugruppiere hilft hier er weiter! + + [ + ] Oft kot uch it de folgede «Trick» weiter: M fktorisiere x + x y + y! Mit de isherige Methode kot hier icht weiter. Addiert jedoch de Ter x y dzu ud sutrhiert ih gleich wieder, ht eie äquivlete Ter erhlte, der eie Fktorisierugsstz zulässt: x + x x y + y + y xy x + x y x + y + y + xy x 0 + y + x y x y xy x + x y + y x y.5 Bruchtere Ds Bruchreche it Tere uterscheidet sich i Wesetliche icht vo Bruchreche it Zhle. Die dort erwähte Recheregel, Hiweise ud Beerkuge gelte uch hier. Ws eu dzukot, ist die häufige Awedug der Fktorzerlegug ud ei pr Rechetricks, wie etw zu richtige Zeitpukt eie - uszukler..5. Kürze z.b.: 5 0 I Fktore zerlege: Geeise Fktore kürze: Hier it kürze: 5 i Kürze ist ur erlut, we Zähler ud Neer vollstädig i Produkte zerlegt sid! z. B.: +...drf icht kürze, selst we s verlocked ussieht...

18 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Addiere & Sutrhiere Wir erier us dr, dss wir ur gleichige Brüche ddiere respektive sutrhiere köe. Aer wie fide wir de Hupteer? Die Atwort: Durch ds Fktorisiere der Neer! z.b.:...fktorisiere der Neer... + Hupteer estie: HN: + Zur Erierug: Der HN ist ds kleiste geeise Vielfche «kgv» der eide Neer. Der Hupteer ist lso der kleiste Ausdruck, der eide Neer ls Fktor ethält! Der HN: + wäre lso flsch! Auf HN erweiter: Der erste Bruch wird it + erweitert, der zweite it. Jetzt he wir eie geeise Neer. Zähler zusefsse: Kürze, flls öglich: Hier icht öglich. + + i Aufgepsst ei der Sutrktio! Ds Miuszeiche ezieht sich uf de geste chfolgede Zähler. Also: Nicht vergesse die Vorzeiche zupsse! Hierzu ei Beispiel: c + c. Beispiel: x + 5 x x x Beispiel: x x

19 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Multipliktio z.b.: Vor de Multipliziere fktorisiere ud kürze: + + «Zähler Zähler & Neer Neer»: +.5. Divisio z.b.: 6 : + «Bruch : Bruch Bruch Kehrruch»: 6 + Wie ei der Multipliktio fortfhre: Beispiel: + :.5.5 Doppelrüche Eie Doppelruch k prolelos ls Divisio zweier Bruchtere schreie: : Wie ei der Divisio fortfhre siehe oe:... 6 : + +

20 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg i M echte: Ei Doppelruch lässt sich oft durch geschicktes Erweiter ufore: Beispiel: + +

21 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - WURZELN UND POTENZEN. Die Defiitio der Qudrtwurzel Defiitio Die Qudrtwurzel eier positive Zhl ist diejeige positive Zhl, die it sich seler ultipliziert ergit. Kokret: 0 ist die positive Zhl, die it sich selst ultipliziert 0 ergit Beerkuge: De Ausdruck uter eier Wurzel et Rdikd. I oige Beispiel 0 wäre lso 0 der Rdikd. Die Qudrtwurzel us eier egtive Zhl ist icht defiiert ud k soit icht gezoge werde.? Es git keie reelle Zhl die it sich selst ultipliziert - ergit. Dies leuchtet hoffetlich ei! De Qudrtzhle sid ier positiv: «-» «-» «+» Alle Qudrtwurzel, dere Rdikd icht usschliesslich Qudrtzhle ethält, sid irrtiole Zhle, d.h. sie sid icht-periodisch ud icht-reched. Wir lege fest: 0 0 Beerkuge i Es ist wichtig, dss Sie verstehe, dss 6 icht -6 ist, soder +6 ist! Auch we eide Zhle it sich selst ultipliziert 6 ergee, fordert die Defiitio diejeige positive Zhl, die it sich seler ultipliziert 6 ergit, lso die eideutige Zhl 6. Wäre ds icht der Fll; köte Sie für 6 whlweise eil -6 ud eil +6 schreie, so würde die gze Mthetik i sich zuseflle. D köte Sie Schwchsiiges eweise wie etw: ud gerde deshl he die Mthetiker Vorsichtssshe getroffe ud die Qudrtwurzel etspreched defiiert!.. Recheregel für Qudrtwurzel + + Die Wurzel k ei eier Sue NICHT sudeweise gezoge werde! Ei Gegeeispiel: jedoch Ds Zeiche eriert de Buchste r für lteiisch rdix Wurzel.

22 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - -. Reche it -te Wurzel Aus eier Zhl k uch die dritte, vierte, oder gz llgeei die -te Wurzel ziehe. Ws verute Sie, eträgt 8?.. Die Defiitio der -te Wurzel Defiitio Es sei Schreiweise: 0. Die ichtegtive Zhl x it x heisst -te Wurzel us. x Beispiele: 6, d 6 - ist ch Defiitio flsch, ud soit ist ds Resultt eideutig! 8, owohl - -8 ist, ist der Ausdruck 8 icht defiiert. D Wurzel ur für positive Rdikde defiiert sid. Der Grud dieser Eischräkug ist, dss später i Zusehg it de sog. Potezregel soste Widersprüche uftrete würde... Recheregel für -te Wurzel Beerkuge: Für ht eie Qudrtwurzel. I diese Fll schreit die üer der Wurzel icht hi. Für spricht uch vo Kuikwurzel. Ntürlich gilt uch hier: Die Wurzel k ei eier Sue NICHT sudeweise gezoge werde! Wir werde gleich sehe, dss gilt. Dies ist für die Berechug -ter Wurzel it Hilfe des TR ützlich. Zu Beispiel wird 6 ls { Z c ey d eigegee... Wurzelteruforuge Es folge verschiedee Beispiele : x + 8 Wir werde später die Beziehug eiführe. Wäre egtive Rdikde erlut, liesse sich ds folgede widersprüchliche Beispiel kostruiere:

23 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - x + c Wir öchte de Neer eies Bruches wurzelfrei che. Also erweiter wir geschickterweise it! + + M echte, dss hier die ioische Forel +. + verwedet wurde! d Wir öchte de Neer eies Bruches wurzelfrei che: e. Die Betrgsstriche sid otwedig! Z. Bsp.: ud icht 7!. Reche it Poteze.. Poteze it türliche Expoete Defiitio: Für jede reelle Zhl ud türliche Zhl heisst: K die -te Potez vo. Produkt us Fktore Beispiele: i M echte de Uterschied der uterste zwei Beispiele. Setzt keie Kler u «-», folgt us der Regel «Pukt vor Strich» ds Resultt - 6; i Gegestz zu Recheregel für Poteze it türliche Expoete Wir gee jeweils zuerst die Recheregel, gefolgt vo eie Beweis zur Begrüdug, ud eie Zhleeispiel zur Illustrtio. A Ede des Kpitels folgt eie Zusestellug ller Regel. Multipliktio zweier Poteze it gleicher Bsis Regel: + Beweis: K K K Fktore Fktore + Fktore + Zhleeispiel:

24 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - Divisio zweier Poteze it gleicher Bsis Regel: Vorläufig soll > gelte! Beweis: Fktore Fktore Fktore kürze l / / / / / / K K K Zhleeispiel: 7 7 / / / / / / / / Potez eier Potez Regel: Beweis: K K Fktore Fktore Zhleeispiel: Multipliktio zweier Poteze it gleiche Expoete Regel: Beweis: K K K Fktore Fktore Fktore Zhleeispiel: Divisio zweier Poteze it gleiche Expoete Regel: Beweis: l K K K Zhleeispiel:

25 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg i Nch de isherige Betrchtuge k der Expoet ur eie türliche Zhl sei. Ziel der ächste zwei Kpitel ist die Atwort uf die Frge: He uch Ausdrücke wie oder eie Si? Prizipiell köte wir diese Ausdrücke elieig defiiere - llerdigs solle diese Defiitioe uch sivoll sei, ds heisst, die ekte Recheregel solle weiterhi gelte!.. Poteze it elieige gzzhlige Expoete Ws edeutet 0? Wir köe eierseits reche: : 0 Adererseits ist :. Also erhlte wir: 0 Ws edeutet? Es ist eierseits Adererseits ist :. :. Also ist. Geuso zeigt :, oder, usw.... FAZIT: Die folgede Defiitio scheit lso sivoll zu sei solge i Neer für icht Null steht. Defiitio: Für 0 wird vereirt: 0 ud Beispiele dzu: Eie schliessede Beerkug: Der Ausdruck 0 0 ist icht defiiert. Begrüdug: Aus 0 ; 0 ; 0 ; 0 0 ;... würde sich für 0 der Wert ergee! Aus 0 0; 0 0; 0 0; 0 0 0;... würde sich für 0 der Wert 0 ergee!

26 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Poteze it rtiole Expoete Ws edeutet? + + Wir köe log zu oe reche:. Die Zhl, die dreil it sich selst ultipliziert ergit, ist er. Es ist dher sivoll zu setze, oder llgeei:. Beispiel : Uter 0 verstehe wir jetzt de Ausdruck 0 lso 0. Die Defiitio des Ausdrucks ufzeigt:. Soit defiiere wir ist dieser Stelle helieged, wie die folgede Üerlegug Zusefssed he wir lso die folgede Defiitioe vereirt: Für 0 ud türliche Zhle ud ist ud. i Poteze lsse sich soit ls Wurzel schreie ud ugekehrt Wurzel ls Poteze... Zusestellug der Potezregel Uter Berücksichtigug der Defiitioe: 0,,, gelte die folgede Potezregel :. + ud. ud.

27 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Wir schliesse diese Zusestellug it vier wichtige Beerkuge : i Für die Additio zw. Sutrktio vo Poteze git es keie Recheregel. + + liks steht ; rechts steht i Für die Multipliktio zw. Divisio vo Poteze it verschiedee Bse ud verschiedee Expoete git es eeflls keie Recheregel. lässt sich icht weiter verreche. i Auch ei Poteze spiele Kler eie wichtige Rolle, welche verchlässigt, flsche Aussge liefer. Der folgede Fll sorgt oft für Verwirrug. U Klrheit zu schffe, erke sich: Eie Potez idet stärker ls eie Multipliktio! 8 56 higege ist 6. x ist vorläufig ur für Expoete x defiiert. Für llgeeie reelle Expoete folgt eie etsprechede Defiitio i Kpitel «Expoetilfuktioe ud Logrithus»...5 Aweduge der Potezregel Ds korrekte Awede der Potezregel ist eierseits Üugssche ud dererseits Kozetrtiossche. Es ist wichtig, dss Sie sich die Regel hlte ud keie eue Regel «erfide». Bei jede Schritt sollte Sie gee köe, welche Regel Sie gerde wede. Ntürliche git es ehrere korrekte Lösugswege die zu Ziel führe! : + Wurzel ls Potez schreie

28 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg DAS LÖSEN VON GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN 5. Allgeeies Bei Löse vo Gleichuge ud Ugleichuge geht es dru, lle Werte us der Grudege zu fide, die durch Eisetzug i die Lösugsvrile i der Regel x eie whre Aussge ergee. Diese Werte ilde die Lösugsege der UGleichug. Meistes wird die Lösuge eier Gleichug icht uf Ahie sehe. Deshl wird es lso ötig sei, eie Gleichug oder eie Ugleichug solge uzufore, is die Lösuge sieht. Auf de «Weg» dhi sollte jedoch druf chte, dss durch ugeschickte Uforuge weder Lösuge verlore gehe sog. Verlustuforuge och eue Scheilösuge dzukoe sog. Gewiuforuge. Wir werde lso eüht sei, Uforuge zuwede, welche die Lösugsege uverädert lsse. Solche Uforuge et uch Äquivlezuforuge. 5. Äquivlezuforuge ei Gleichuge Die Lösugsege eier Gleichug ädert sich icht, we uf eide Seite de gleiche Ter ddiert oder sutrhiert eide Seite it der gleiche vo Null verschiedee Zhl ultipliziert oder dividiert. Eie derrtige Uforug heisst Äquivlezuforug. Beispiele:. x + 5. x : x 5 5 x 7 x x IL {} IL {} Zur Proe setzt ds Lösugseleet ei ud üerzeugt sich, dss eie whre Aussge etsteht! + 5 whre Aussge 5 whre Aussge

29 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Liere Gleichuge Eie Gleichug heisst lier, we die Vrile ur i der erste Potez vorkot ud irgeds i Neer steht. Es folge drei Beispiele. Beispiel : 5-0,5x + 0,75x + 0,5x 5 +,5x -,5x :,5,6 x {,6} flls { } flls Dieses Beispiel soll uter dere ufzeige, dss die Lösugsege vo der Grudege hägig ist. Wie scho weiter oe erwäht, soll jetzt, flls ichts deres vorusgesetzt wird, gelte. Beispiel : x + 6 x + +x Rechte Seite zusefsse x x - x 0 flsche Aussge! D.h.: Keie Zhl ergit eigesetzt für x eie whre Aussge. Diese Gleichug ht soit keie Lösuge! { } Eie Gleichug die durch Äquivlezuforuge uf eie flsche Aussge führt, ht lso eie leere Lösugsege. Beispiel : + x 7 x + 5 x Beide Seite zusefsse x + 5 x x 5 5 whre Aussge! D.h.: Jede Zhl ergit eigesetzt für x eie whre Aussge ud soit uch eie Lösug. Ws ereits i der zweite Zeile sieht. Also: Zusefssed k lso sge: i Eie liere Gleichug ht etweder geu eie Zhl oder keie Zhl oder lle Zhle der Grudege ls Lösug.

30 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Wir löse weitere Beispiele: i Dei sollte stets echte: Jede uf eier Seite durchgeführte Veräderug, uss uch uf der dere Seite der Gleichug geuso durchgeführt werde. M stelle sich etw eie Wge i Gleichgewicht vor. Ädert sich ds Gewicht uf der eie Wgschle, wird uf der dere Wgschle die gleiche Veräderug durchführe, u die Wge i Gleichgewicht zu ehlte. Beispiel : 7x 6 + x Beispiel 5: x 6x + 0 sei hier ls Mustereispiel vorgelöst. 0 x 6 x + x 0 6x + usultipliziere / kürze 0 x 6x + Die Kler sid otwedig! 0 x + x + 6 x + x x x : 5 5 x

31 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Liere Ugleichuge Steht ei eier liere Gleichug der Stelle des Gleichheitszeiche eier der folgede Ugleichheitszeiche «< ; > ; ;» spricht vo eier liere Ugleichug. Auch zu Löse vo Ugleichuge ruche wir Äquivlezuforuge, u die Lösugsvrile zu isoliere. Jedoch köe sich diese, vo de Äquivlezuforuge lierer Gleichuge uterscheide, wie wir gleich sehe werde. 7 > 5 > 5 flsche Aussge Richtig wäre: < 5 8 > : > flsche Aussge Richtig wäre: < Bei Ugleichuge ist lso ds Ugleichheitszeiche uzukehre, we uf eide Seite it eier egtive Zhl ultipliziert oder dividiert wird. i Wir hlte fest: Multipliktio oder Divisio it dersele positive Zhl uf eide Seite der Ugleichug sid Äquivlezuforuge. Multipliktio oder Divisio it dersele egtive Zhl uf eide Seite der Ugleichug sid Äquivlezuforuge, we ds Ugleichheitszeiche ugekehrt wird. Es folge zwei Beispiele dzu: Beispiel : x > 0 : Beispiel : x 0 : x > 5, x 5, x 5, x, 5] 5.5 Bruchgleichuge Eie Bruchgleichug ist eie Gleichug, ei der die Lösugsvrile x i Neer eies Bruches x oder ehrerer Brüche steht. Ei Beispiel wäre: x + Bei eier Bruchgleichug ist es esoders wichtig die Defiitiosege zugee. I oige Beispiel drf die Zhl - icht für x eigesetzt werde, d sost der Neer Null wird. Die Divisio durch Null ist ch wie vor icht defiiert! Alle dere Zhle sid higege erlut. Wir üsse lso - us der Grudege usschliesse. Es gilt: \ {-} U die Neer wegzuschffe, ultipliziert die Bruchgleichug it de Hupteer HN. Hier lso it HN x+. x x + x +

32 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - x x + Die Kler ei x + sid otwedig! x x + x x x Kotrolle durch Eisetze: O.k. 0 { 6} Wie wichtig es ist, die Defiitiosege zugee, soll ds ächste Beispiel illustriere. Beispiel:..., HN... 6 x + + x x x x + 6 x + x zusefsse x + x 6 +6 x 9 x : x Es hdelt sich hierei jedoch icht u die Lösug... i...de ist icht i der Defiitiosege ethlte; ud soit estit keie Lösug der Bruchgleichug! Es hdelt sich hier u eie sogete Scheilösug. D der eizige Lösugskdidt eie Scheilösug ist, ist die Lösugsege leer! { }. Wie kote eie solche Scheilösug etstehe? Nu i der erste Zeile he wir it x ultipliziert. Für de spezielle Wert x würde wir lso dieser Stelle it Null ultipliziere, ud ds ist keie Äquivlezuforug! Es folgt ei weiteres Beispiel Tipp: u de Hupteer zu estie, sollte Sie zuächst sätliche Neer fktorisiere! Also icht eifch die Gleichug it x-5x-57x-7 ultipliziere, sost reche Sie sich is Verdere! Beispiel : x x 5 5x + x 5x 5 7x 7 ; \{} x x 5 5x + HN 5xx 5 x 7 x

33 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Bruchugleichuge Bruchugleichuge sid durch Uforuge koplizierter ud ufwädiger zu löse ls Bruchgleichuge. Wir verzichte dieser Stelle uf eie ufssede Theorie der Bruchugleichuge. Es soll jedoch ufgezeigt werde, wori die Proletik ei solche Aufge liegt. Dies wird hd eies Beispiels illustriert: > x 5 ist eie Bruchugleichug it \ {} ud HN x > x 5 HN x i...ud dieser Stelle tucht ei Prole uf. Ist der HN positiv oder egtiv? Ist er positiv leit ds Ugleichheitszeiche; ist er egtiv üsse wir ds Ugleichheitszeiche ukehre. Diese Üerlegug zwigt us dieser Stelle zu eier sog. «Flluterscheidug»: Fll : Für x > ist der HN positiv Fll : Für x < ist der HN egtiv > x 5 HN x > 5 x HN x > 5x < 5x > 5x 5 < 5x 5 8 > 5x 8 < 5x.6 > x.6 < x

34 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - Wir fsse zuse: I Fll he wir: x > ud.6 > x. Dies ergit ds Itervll: {x < x <.6} Flls Mühe ht, dies eizusehe, köte eie grfische Verschulichug uf de Zhlestrhl weiterhelfe. I Fll he wir: x < ud.6 < x. D keie Zhl x eide Bediguge gleichzeitig erfüllt, gilt: { }. Flls Mühe ht, dies eizusehe, köte eie grfische Verschulichug uf de Zhlestrhl weiterhelfe. Die Gestlösug ergit sich ls Vereiigug der eide Teillösuge: {x < x <.6} Dies wr och eie reltiv «hrlose» Bruchugleichug. Koe ehrere Brüche vor, steigt der Recheufwd etspreched. Es git jedoch uch elegtere Methode solche Aufge zu löse. Dieses The werde wir später wieder ufgreife Diestg: «Reelle Fuktioe». 5.7 Produkte die Null sid. Ei Spezilfll vo Gleichuge. Frge: W ist ei Produkt verschiedeer Fktore Null? «c 0» Atwort: Ei Produkt verschiedeer Fktore ist geu d Null, we idestes ei Fktor Null ist! Also: «c 0 0 oder 0 oder c 0» Mit dieser Üerlegug lsse sich u ei spezielle Gleichuge, die Lösuge zu Teil sofort lese. Wir illustriere ds folgede Beispiel: Beispiel : M estie die vollstädige Lösugsege der folgede Gleichug: x x 5 0 Mit der oige Üerlegug wird die like Seite Null, we der erste Fktor x gleich Null ist, oder we der zweite Fktor x 5 gleich Null wird. Dies ergit zwei Lösuge: x 0 ud x 5. Soit ist {0 ; 5} i Irrweg: Beide Seite der Gleichug durch x dividiere ergit x 5 0 ud soit die Lösug x 5. Die zweite Lösug x 0 wurde dit verchlässigt. Die Divisio durch die Lösugsvrile ist soit eie sog. «Verlustuforug» ud keie Äquivlezuforug! Beispiel : x + 9x Mit de oige Üerleguge k diese «geeigete» qudrtische Gleichug durch Fktorisiere löse! Mit «geeiget» eit hier, dss sich der Ter it der -Klerethode fktorisiere lässt.: x + 9x fktorisiere

35 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Wurzelgleichuge We die Lösugsvrile x uter der Wurzel vorkot, spricht vo eier Wurzelgleichug. Es folge drei Beispiele für Wurzelgleichuge. Beispiele: x x + 0 x + 8 x + 8x + 8 x + 0 Beerkuge: Auch ei Wurzelgleichuge ist user Ziel, lle Zhle zu fide, die die Gleichug erfülle; lso lle Zhle, die eigesetzt i die Gleichug, eie whre Aussge ergee. Streg geoe, üsste wie etw ei Bruchgleichuge zuächst die Defiitiosege estie. Der Ausdruck uter der Wurzel drf ektlich icht egtiv sei! D dies ei Wurzelgleichuge er sehr ustädlich sei k vgl. Bsp., cht ds i der Prxis ders: M löst zuerst die Gleichug ch x uf ud setzt d die gefudee Lösuge i die Gleichug ei, u zu sehe, o diese zur Defiitiosege gehöre. Ds Qudriere eider Seite eier Gleichug ist keie Äquivlezuforug. Es köe durch ds Qudriere eue Lösuge sog. Scheilösuge etstehe. Die Schlusskotrolle durch Eisetze der Lösuge ist ei Wurzelgleichuge lso otwedig! Lösuge der Beispiele: x Wir qudriere liks ud rechts ud erhlte x. Wir setze i die Gleichug ei: O.k.! Soit lutet die Lösugsege: {}. x + 0 x + 8 Hier köe wir die Wurzel icht och esser isoliere. Also qudriere wir ei erstes Ml: + 0 x + 8 x. D wir uf der rechte Seite ds Qudrt eier Sue he, üsse wir die erste ioische Forel wede. Ds Doppelprodukt dei icht vergesse! Ds ergit: x + 0 x + 6 x + 6. Wir isoliere die Wurzel: 0 x. Wir kürze wie gewoht de Bruch: 6 5 x. 5 Jetzt qudriere wir liks ud rechts ud erhlte: x. Dfür köe wir uch x 6.5 schreie. Wir setze zur Kotrolle x 6.5 i die Gleichug ei it TR, oder vo Hd: O.k.! Soit lutet die Lösugsege: {6.5} Bevor wir ds dritte Beispiel löse, gee wir zuächst ei llgeeies Lösugsrezept :

36 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Allgeeies Lösugsrezept:. Wurzel isoliere ud durch Qudriere eseitige evetuell ehrls durchzuführe, wie etw i Bsp..;. die so etstdee Gleichug ohe Wurzel löse;. gefudee Lösuge durch Eisetze üerprüfe. Würde wir die Gleichug x + 8x + 8 x + 0 qudriere, üsste wir für die like Seite die. Bioische Forel wede ud wir hätte ei Doppelprodukt vo Wurzeltere ud soit die Wurzel och icht eseitigt! Also zuerst uorde: x + 8x + 8 x +. Jetzt köe wir qudriere; die Wurzel verschwide: x + 8x + 8 x +. Nch etsprecheder Uforug erhlte wir eie qudrtische Gleichug: x + 6x U die Lösuge zu estie, fktorisiere wir die like Seite: x + x Wir köe die Lösuge x ud x 5 lese. Wir setze i die Gleichug ei: ; - ist Lösug ; -5 gehört icht zur Defiitiosege ud ist soit ur eie Scheilösug. Soit gilt: {-}. Beerkug: Wir sid i oige Beispiel eil ehr uf eie qudrtische Gleichug gestosse: «x + 6x + 5 0». Mit geschickte Fktorisiere kote wir diese Gleichug löse. Wie gehe wir jedoch vor, we eie qudrtische Gleichug der For x 7x , oder gr der For x +.7x 77 0 vorliegt? Die Atwort druf erfolgt i ächste Kpitel. 5.9 Qudrtische Gleichuge Die llgeeie For eier qudrtische Gleichug lutet: x + x + c 0 woei 0, ud c reelle Zhle sid. Mit «x» ist die uekte Grösse geeit. Die Zhle, ud c werde uch Koeffiziete get. I Beispiel x + 8x 7 0 wäre lso die etsprechede Koeffiziete: ; 8 ; c -7. Gleichuge, die sich uf diese llgeeie For ustelle lsse, heisse qudrtisch. Es wird 0 vorusgesetzt, d sost für 0 die liere Gleichug «x + c 0» gegee wäre.

37 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Soderfälle vo qudrtische Gleichuge Wir etrchte zuächst Soderfälle vo qudrtische Gleichuge, die esoders eifch zu löse sid. D werde wir it eie «Trick», der sog. «qudrtische Ergäzug» uch spruchsvollere qudrtische Gleichuge löse, ud schliesslich werde wir eie Lösugsforel herleite, it der sich die Lösuge direkt ereche lsse Die reiqudrtische Gleichug Ist 0, fehlt lso ds sogete liere Glied «x», d spricht vo eier reiqudrtische Gleichug. Sie ht die llgeeie For x + c 0. I diese Fll lässt sich die qudrtische Gleichug i die For «x K» rige. Dzu zwei Beispiele: Beispiel : Beispiel : x x x 8 : x 6 ± icht defiiert! x ± { } x ± { ; } Leicht fktorisierre qudrtische Gleichuge Wir fktorisiere die like Seite ud köe d die Lösuge sofort lese: x + 9x x + x x - ; x -5 {- ; -5} Qudrtisches Ergäze Wir etrchte ds Beispiel x + x +. Mit de isherige Methode kot uf de erste Blick icht weiter. Sutrhiere wir uf eide Seite lässt sich die Gleichug x + x 0 icht wie is hi it der Fktorisierugsethode uflöse. Auf de zweite Blick erket uf der like Seite eie ioische Forel!

38 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg x + x + liks steht glücklicherweise eie ioische Forel x + ± x + ± x ± x ; x.7 {0.7 ;.7} i Ds edeutet: We uf der eie Seite eie ioische Forel lso ei Qudrt steht, k eie qudrtische Gleichug durch Wurzelziehe «±» gelöst werde. Eie Frge drägt sich u uf: Ws che wir, we keie ioische Forel vorkot? Atwort: D stelle wir eie her! Wie ds gehe soll, illustriere wir folgede Beispiel: Beispiel: x + 0x dit wir liks die ioische Forel x + 5 herstelle köe! x + 0x x ± soweit wollte wir j koe! Ds wr s! x + 5 ± 8 x ; x {.6 ;.6} i M et ei solches «Herstelle» vo ioische Forel, eie qudrtische Ergäzug.

39 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Dzu eie kleie Üug: M ergäze die folgede Ausdrücke zu eie Qudrt. Welche Zhl uss jeweils dzuzähle? x + x + x + x x + x c x + x + x + d Die Zhl, die dzuzuzähle ist, erhlte wir lso it der llgeeie Regel: «De Koeffiziet vo x ud schliessed.» Wir köe u lso qudrtische Gleichuge it qudrtische Ergäze uflöse. Dei he wir es stets it kokrete Zhle ls Koeffiziete zu tu. Die gleiche Rechug köe wir er uch durchführe, ohe us uf estite Zhle festzulege. Wir ersetze die Zhle durch Buchste ud führe die Üerleguge des letzte Kpitels gz llgeei durch, ud zwr ei für lle Ml. Ds rigt zwei Resultte: Zu eie he wir d eie Lösugsforel zur Verfügug. Sie erlut us, die Lösuge eier qudrtische Gleichug zu fide, ohe jedes Ml qudrtisch ergäze zu üsse. Ud och etws: Wir köe hd der Koeffiziete eier qudrtische Gleichug i vorus etscheide, wie viele Lösuge sie he wird: zwei, eie oder keie Lösugsforel ud Lösrkeit Wir lege us icht uf kokrete Koeffiziete fest, soder reche it Buchste. Dzu gehe wir vo folgeder Gleichug us: x + x + c 0, it 0 Wir ehe lso, dss die Gleichug i llgeeier For gegee ist. Begie wir die Rechug: Wir ereite durch zwei kleie Uforuge ds qudrtische Ergäze vor: x + x + c 0 c x + x c : x + x c qudrtisch ergäze! U qudrtisch zu ergäze, ddiere wir zuerst uf eide Seite durch teile ud qudriere ud schreie d die like Seite ls Qudrt ud die rechte Seite schreie wir üer eie geeise Bruchstrich:

40 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg c + + x x + c x + ±...hier etstehe Lösuge x, + c ± Rechts Regel: wede x, + c ± x, ± c x, ± c So, ud ds wäre eigetlich scho die Lösugsforel. Wir führe och eie Akürzug ei: Für de Ausdruck uter der Wurzel «c» schreie wir «D». Soit lutet die Forel: x, ± D, it D c Wir greife ds Beispiel «x + 0x 0» vo weiter oe wieder uf, ud wede die soee hergeleitete Forel : Die Gleichug x + 0x 0 vergleiche wir it der llgeeie For: x + x + c 0 I usere Beispiel steht für, für 0 ud c für. Zuerst ereche wir de Ausdruck D c : D Awedug der Forel: x, 0 ± Die Lösugsege {.6 ;.6} stit ttsächlich! Die Forel klppt! i HALT! Die Forel «klppt» icht ier. Ist der Ausdruck D uter der Wurzel egtiv, dürfe wir icht die Wurzel drus ziehe. I eie solche Fll gilt: «Die qudrtische Gleichug ht keie reelle Lösug».

41 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - i Der Ausdruck D c der uter der Wurzel steht, etscheidet üer die Azhl der Lösuge eier qudrtische Gleichug. D heisst Diskriite der qudrtische Gleichug. Ds Wort «Diskriite» kot üriges us de Lteiische «discriire» ud heisst «tree, scheide». Die Diskriite uterscheidet die Lösugsfälle. A dieser Stelle scheit eie suere Zusefssug der isher erreichte Ergeisse gercht zu sei: Die Lösugsforel ud Lösugsfälle der qudrtische Gleichug Zur Utersuchug der qudrtische Gleichug x + x + c 0 wird die Diskriite D c eigeführt. Ist D > 0 d ht die Gleichug zwei Lösuge, älich: x + D ud x D. Dfür schreit kürzed die Forel: x, ± D ud eit dit: Die eie Lösug erhält durch Addiere der Wurzel, die dere, durch Sutrhiere der Wurzel. Ist D 0 d ht die Gleichug ur eie Lösug: x, De: 0 0 Ist D < 0 d ht die Gleichug keie Lösug.

42 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Ei Mustereispiel zur Lösugsforel Die Beützug der Lösugsforel deostriere wir Beispiel der Gleichug 5x 0 x. Zuächst rige wir sie i die llgeeie For: 5x + x 0 0 Diese Gleichug vergleiche wir it der llgeeie For x + x + c 0 I usere Beispiel steht für 5, für ud c für 0. Wir ereche die Diskriite D ud schue, o diese Gleichug üerhupt Lösuge ht: D c : D D > 0 ; soit ht die Gleichug Lösuge Jetzt schreie wir die Lösugsforel hi, ersetze jedoch, ud c durch die etsprechede Zhle. Für de Ausdruck uter der Wurzel D schreie wir 6: ± 6 x,, Soit ist {.070 ;.870} Fktorisiere vo qudrtische Tere Bis jetzt kote wir it der Proierethode «geeigete» qudrtische Tere zerlege: x + 9x + 0 K KlerstzK x + x + 5 Schöer Neeeffekt: M sieht die Lösuge der qudrtische Gleichug: x + 9x x - ; x -5 Neu: Es geht uch ugekehrt: x + 9x KL ösugsforelk x - ; x -5 Schöer Neeeffekt: M k die Fktorisierug des qudrtische Ters gee: x + 9x + 0 x + x + 5 Wir gee u ohe Beweis ei Rezept, wie jede elieige qudrtische Ter fktorisiere k:

43 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg - - Für ds Fktorisiere eies qudrtische Ters x + x + c k wie folgt vorgehe: Lösuge ereche Lösuge: x ; x / Lösug: x / oder keie Lösug Flls Lösuge x + x + c x x x x Flls Lösug x + x + c x x Flls keie Lösug x + x + c ist uzerlegr Beispiel: Wir öchte de Ter x x fktorisiere. Mit der -Klerethode kot verutlich icht weiter......it de Rezept higege: Lösuge ereche: x, ± D, führt uf die Lösuge: x.5 ; x Lösuge, : x x x x x +.5 x Die Viet-Forel Der frzösische Jurist ud Mthetiker Frçois Viet ht folgede iteresste Zusehäge zwische de Koeffiziete, ud c eier qudrtische Gleichug ud ihre Lösuge herusgefude: Ht die Gleichug x + x + c 0 die Lösuge x ud x, so gilt: x + x ud x x c Dies liefert us ei gutes Mittel, die Lösuge vo qudrtische Gleichuge zu kotrolliere. Beispiel: Jed ehuptet, die Lösugsege der qudrtische Gleichug x + 6x 0 sei {-; 8}. Weise Sie it Viet s Forel ch, dss dies flsch ist!

44 Luc Turi / Vorkurs: Mthetik Rechefertigkeite 0 / UNIZH / Motg Gleichuge höhere Grdes Selstverstädlich git es uch Gleichuge die eie höhere Grd ls zwei he: Beispiele: x + x x ist eie Gleichug. Grdes ht is zu Lösuge. x 7 + 6x 5 x ist eie Gleichug 7. Grdes ht is zu 7 Lösuge. Beerkug: «Speziell eifche» Gleichuge höhere Grdes k zwr oft direkt löse zu Beispiel sieht ei der Gleichug x sofort die Lösugsege {; }, i llgeeie geht dies jedoch icht so prolelos! Es gilt: Für Gleichuge. oder. Grdes git es zwr Lösugsforel, doch sid diese sehr kopliziert ud ustädlich. Für Gleichuge 5. oder höhere Grdes ist sogr ewiese, dss es keie llgeeie Lösugsforel git. I der Prxis eutzt dher zur Lösug vo Gleichuge höhere ls. Grdes eistes uerische Näherugsverfhre Coputer oder odere Tscherecher. Wir werde ur kurz eie «speziell eifche» For vo Gleichuge vierte Grdes vorstelle: 5.0. Biqudrtische Gleichuge Gleichuge vierte Grdes sid, wie oe erwäht, i llgeeie schwer zu löse! Wir etrchte hier er eie gz spezielle Gleichug vierte Grdes, eie sog. iqudrtische Gleichug: x 9x Der Ausdruck iqudrtisch ht türlich it der Ählichkeit eier qudrtische Gleichug zu tu: x + x + c 0. Wir sustituiere ersetze u x it z. Es sei lso: x z Soit erhlte wir eie qudrtische Gleichug für z: z 9z Ud diese köe wir wie gewoht ch z uflöse. Wir erhlte für die Diskriite: D ; ud für die Lösuge: z 5; z. M reche ch! Aders foruliert: x 5 ud x erfülle die ursprügliche Gleichug x 9x Wir iteressiere us er für welche x ud icht für welche x die Gleichug erfüllt wird. Dies liegt u uf der Hd:.Fll: Aus x 5 folgt: x 5 ud x 5..Fll: Aus x folgt: x ud x. Soit ergit sich für die Lösugsege: {5; 5; ; }.