Folgen, Reihen und Rekursionen

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1 Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe I de Naturwisseschafte stehe Messergebisse im Mittelpukt, die immer als reelle oder i Spezialfälle auch als ratioale oder atürliche) Zahle darstellbar sid, ud atürlich auch die mathematische Modelle zur Beschreibug solcher Messergebisse. Diese Messergebisse häge i der Regel vo Parameter ab, häufig zum Beispiel vo der physikalische Größe Zeit : I diesem Fall erhält ma eie Zeitreihe. Misst ma also eie Messgröße für verschiedee Werte eies solche Parameters, wie z.b. der Zeit, so erhält ma eie Satz Zahlewerte, der ach de Werte des ausgewählte Parameters geordet ist. Dieser geordete Satz Zahlewerte wird als Zahlefolge oder auch eifach als Folge bezeichet. Solche Folge werde i Abschitt [2.1] behadelt. Naheliegede Beispiele vo Messgröße, die ma als Fuktio des Parameters Zeit messe köte, sid die Temperatur i Physik oder Chemie), Wirtschaftsdate i der Ökoomie), Modpositioe i der Astroomie) oder Populatiosgröße i der Biologie). Oft ist ma a eier Größe iteressiert, die ma ur idirekt über ihre Zuwächse zwische zwei Messuge) bestimme ka. Als eifaches Beispiel aus der Fiazwelt köte ma a ei Vermöge deke, das als Summe der jährliche Vermögeszuwächse Gewie ) berechet werde ka. Eie Zahlefolge, dere Glieder als Summe eizeler Beiträge defiiert sid, wird als Reihe bezeichet. Solche Reihe werde ahad eiiger Beispiele i Abschitt [2.2] diskutiert. Als wichtige Spezialfälle werde uedliche Reihe Summe uedlich vieler Terme) besproche sowie Summe, die wir später im Rahme der Wahrscheilichkeitsrechug i Kapitel [8]) als Erwartugswerte iterpretiere werde. Ei weiterer Spezialfall eier Folge tritt auf, we das ächste Glied eier Folge durch die frühere vollstädig festgelegt ist ud somit aus diese berechet werde ka. I diesem Fall erfolgt die Berechug der Glieder rekursiv, die Berechugsmethode wird demetspreched Rekursio geat, ud die Formel, die das ächste Glied mit de frühere verküpft, heißt Rekursiosbeziehug. Auch solche rekursiv defiierte Folge trete i der Ökoomie Ziseszise ) ud der Populatiosdyamik Fiboacci-Folge, expoetielles Wachstum ), aber auch i der Physik ud der Chemie häufig auf. Sie werde i Abschitt [2.3] besproche. Spriger Fachmedie Wiesbade 2015 P. va Doge, Eiführugskurs Mathematik ud Rechemethode, DOI / _2

2 46 Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe 2.1 Folge I de achfolgede Abschitte bespreche wir zuerst s. Abschitt [2.1.1]) die Defiitio ud somit die mathematische Form eier Folge ud führe die wichtigste Begriffe ei, die zur Charakterisierug solcher Folge verwedet werde. Da befasse wir us mit dem qualitative Verhalte vo Glieder der Folge mit hohe Idizes Lagzeitverhalte ). Hierbei werde wir us isbesodere mit dem Grezwert- bzw. Kovergezverhalte vo Folge befasse s. Abschitt [2.1.2]). Als spezielles Beispiel für de Grezwert eier Folge werde abschließed i Abschitt [2.1.3]) die für die gesamte modere Mathematik so wichtige Euler sche Zahl ud ihre wirtschaftliche Relevaz behadelt Defiitio eier Folge ud Nomeklatur Eie Folge oder auch Zahlefolge ) ist defiiert als ei Satz Zahle a ).Die Zahle a selbst werde als Glieder oder Folgeglieder bezeichet ud sid vo eiem Idex N abhägig. Dieser Idex köte eie physikalische Parameter darstelle, der eie Messug charakterisiert, wie z.b. de -te betrachtete Wert eier Zeit, eies Druckes, eier Temperatur oder eier Läge. Der physikalische Parameter Zeit köte z.b. die Werte t = t 0 +t 1 mit festem t 0,t 1 ) ud N 0 aehme, ud die Messwerte zu diese Zeite wäre da Mt ) a. We der Satz a ) ur edlich viele Zahle ethält 1 N mit N N), spricht ma vo eier edliche Folge: a )=a 1,a 2,a 3,,a N ) 1 N), bei uedlich viele Zahle vo eier uedliche Folge: a )=a 1,a 2,a 3, ) N) uedliche Folge). Währed ma sich im Experimet aturgemäß mit edliche Reihe befasst, erhält ma aus theoretische Modelle typischerweise uedlich viele Vorhersage für beliebige Zeite, Drucke, Temperature, Läge,...). Da wir i diesem mathematische Eiführugskurs die verschiedee Methode oft am beste ahad eifacher theoretischer Modelle illustriere köe, sid für us uedliche Folge a 1,a 2,a 3, ) am iteressateste. Zur Beschreibug vo Zahlefolge wurde eie Nomeklatur etwickelt, die i der Praxis sehr ützlich ist ud die wir daher kurz vorstelle möchte: Eie Folge a ) heißt mooto steiged, we der Nachfolger eies Gliedes der Folge iemals kleier als dieses Glied selbst ist, ud mooto falled, we der Nachfolger iemals größer ist: a +1 a steiged) bzw. a +1 a falled). Falls die Folge etweder mooto steiged oder mooto falled ist, wird sie allgemei als mooto bezeichet.

3 2.1 Folge 47 Aalog spricht ma vo eier streg mooto steigede Folge, we der Nachfolger immer strikt größer, ud vo eier streg mooto fallede Folge, falls der Nachfolger immer strikt kleier ist: a +1 >a steiged) bzw. a +1 <a falled). Folge, die etweder streg mooto steiged oder streg mooto falled sid, werde allgemei als streg mooto bezeichet. Damit eie Folge beschräkt ist, müsse edliche reelle Zahle a sup < ud a if > existiere mit de Eigeschafte: a a sup < bzw. a a if > N). 2.1) Die Idizes sup ud if sid Kürzel für die lateiische Komparative superior höher ) ud iferior iedriger ). Die Zahle a sup ud a if stelle eie obere bzw. utere Schrake der Folge dar. Sie werde speziell als Supremum bzw. Ifimum vo a ) bezeichet, we a sup die kleiste ud a if die größte reelle Zahl mit der Eigeschaft 2.1) ist. Somit ist das Supremum die kleiste obere ud das Ifimum die größte utere Schrake der Folge. Bei eier alterierede Folge habe die aufeiader folgede Glieder, die alle ugleich ull sei müsse, ei uterschiedliches Vorzeiche: a 0 mit a +1 /a < 0 N. Für eie Nullfolge werde die Folgeglieder betragsmäßig immer kleier, ud sie strebe für große Werte des Idex gege ull: a 0 ). Schließlich gibt es och die kostate Folge, für die alle Glieder gleich sid: a +1 = a N a 1 R). Nach de obige Defiitioe hat eie kostate Folge die Eigeschafte mooto steiged, mooto falled ud beschräkt, aber sie ist icht streg mooto steiged oder falled. Nur für a 1 =0wäre die kostate Folge eie Nullfolge, ud sie ist iemals alteriered. Hierbei mag die kostate Folge als Zeitetwicklug auf de erste Blick vielleicht icht besoders dyamisch erscheie, aber wir werde ute och sehe, dass dieser Begriff bei der Diskussio des Grezwertverhaltes vo Folge zur Beschreibug eier Asymptote durchaus Si ergibt. Beispiele Zur Illustratio dieser Defiitioe betrachte wir u eiige ausahmslos uedliche) Folge, die durch eifache Formel festgelegt werde:

4 48 Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe 1. Als erste Folge wähle wir diejeige der atürliche Zahle: a =, sodass jedes Glied dieser Folge gleich seiem Idex ist: ) =1, 2, 3, 4, ). Die derart defiierte Folge ist streg mooto steiged ud ubeschräkt. 2. Alterativ ka ma Folge a ) betrachte, dere Glieder algebraisch als Potez) mit positivem Expoete vom Idex abhägig sid, wie z.b. gemäß der Vorschrift a = 3 : 3 ) =1, 8, 27, 64, ). Diese Folge ist ebefalls streg mooto steiged ud ubeschräkt. 3. Eie Folge mit algebraischer -Abhägigkeit ud wechseldem Vorzeiche der Glieder wäre: 1) 1 2) =1, 4, 9, 16, ). Diese Folge ist alteriered ud ubeschräkt. 4. Ebefalls eie algebraische -Abhägigkeit, u aber mit egativem Expoete, hat die Folge: 1 ) = 1,,,, ), die wege des egative Expoete) streg mooto falled ist, außerdem beschräkt ud sogar eie Nullfolge s. Abbildug 2.1). a 1,0 0,5 0, Abb. 2.1 Die Zahlefolge 1 )= 1, 1 2, 1 3, 1 4, ) 5. Eie algebraische -Abhägigkeit mit egativem Expoete, kombiiert mit eiem wechselde Vorzeiche, ergibt Folge wie: 1) 1 2) = 1,,,, ). 116 Diese Folge ist alteriered, beschräkt ud außerdem eie wie aus Abbildug 2.2 ersichtlich: schell kovergierede) Nullfolge.

5 2.1 Folge 49 a 1,0 0,0 1, Abb. 2.2 Die Zahlefolge 1) 1 2 )= 1, 1 4, 1 9, 1 16, ) 6. Durch Kombiatio eier eifache ratioale Fuktio vo mit eiem wechselde Vorzeiche etsteht eie Folge der Form: ) 1) 1 1 = +1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 ) 7,. Diese Folge ist alteriered ud beschräkt. Iteressat a dieser Folge ist, dass sie icht gege eie wohldefiierte Wert strebt, soder wie ma i Abbildug 2.3 sieht zwische de asymptotische Werte +1 ud 1 hiud herschwakt. a 1,0 0,0 1,0 1 2 Abb. 2.3 Die Zahlefolge ) 1) 1 = 1, 2, 3, 4, 5, ) Fudametal aderes Verhalte beobachtet ma a der Folge: ) 1 = +1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 ) 7,, die zwar durch die gleiche ratioale Fuktio defiiert ist, der aber das wechselde Vorzeiche fehlt. Die agegebee Folge ist streg mooto steiged ud beschräkt. Ihre Glieder strebe vo ute gege de asymptotische Wert +1 für s. Abbildug 2.4). a 1,0 0,5 0, ) Abb. 2.4 Die Zahlefolge = 1, 2, 3, 4, 5, 6, )

6 50 Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe 8. Eie weitere elemetare Folge erhält ma durch Aeiaderreihug der Primzahle: P )=2, 3, 5, 7, 11, 13, ). Die hieraus resultierede Folge ist streg mooto steiged ud ubeschräkt. 9. Alterativ köte ma z.b. die Fiboacci-Zahle zu eier Folge aeiaderreihe. Das Ergebis wäre: F )=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ), ud diese Folge ist mooto steiged ud ubeschräkt. Aus de Fiboacci- Zahle ka ma weitere Folge herleite, wie z.b. die Folge r ) mit r F +1 /F, die i Abb gezeigt wurde: r )=1, 2, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8, 21 13, 34 21, ). Diese Folge ist beschräkt, ud wir wisse bereits aus Kapitel [1], dass sie gege de Goldee Schitt x + = ) kovergiert. Iteressater wird die Folge r ), we ma vo jedem Folgeglied de Goldee Schitt abzieht: r x + )= 0,618, 0,382, 0,118, 0,049, 0,018, 0,007, ). Diese Reihe ist beschräkt, alteriered ud eie Nullfolge, wobei der Betrag der Folgeglieder als Fuktio vo expoetiell abfällt. Der alterierede Charakter ud der expoetielle Abfall dieser Reihe wurde bereits i Übugsaufgabe 1.10 i Kapitel [1] achgewiese. Auf eiige dieser Beispiele werde wir im ächste Abschitt über Grezwertregel ) och eimal zurückkomme Grezwertregel ud Beispiele Auch we ma am Grezwertverhalte vo Folge iteressiert ist, d.h., we ma wisse möchte, wie sich die Folge für große Werte des Idex verhalte, sid die Beispiele aus Abschitt [2.1.1] sehr illustrativ. Wir betrachte isbesodere die folgede vier der isgesamt eu diskutierte Beispiele: 5. 1) 1 2) = 1, 1 4, 1 9, 1 16, ) ) alteriered, beschräkt, Nullfolge ) 1) 1 +1 = 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, ) +1 ) = 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, ) 8. P )=2, 3, 5, 7, 11, 13, ) ) alteriered, beschräkt ) streg mooto steiged, beschräkt ) streg mooto, steiged, ubeschräkt

7 2.1 Folge 51 ud frage us, wo diese vier Folge für geüged große -Werte de higehe. Die Beispiele 5 ud 7 sid verhältismäßig eifach: Die etsprechede Folge äher sich de Werte 0 bzw. 1 a, wie ma i de Abbilduge 2.2 bzw. 2.4 sieht. Ma sagt alterativ, dass sie gege die Werte 0 bzw. 1 kovergiere 1. Im Gegesatz dazu werde die Werte der Glieder i Beispiel 8 immer größer ud äher sich keiem edliche Wert a. I diesem Fall sagt ma, dass die Folge divergiert 2 ud zwar gege de Wert +. Wiederum aders ist das Verhalte i Beispiel 6: Wir habe bereits obe festgestellt s. Abbildug 2.3), dass die Folgeglieder hier zwische etwa +1 ud 1 hi- ud herschwake ud die Folge sich somit keiem eideutige Wert aähert. Auch i diesem Fall sagt ma, dass die Folge divergiert 3 oder dass sie icht kovergiert. Für die spezielle Folge 6 ka ma diese Nichtkovergez och präzisiere: Wie ma auch i Abbildug 2.3 sieht, kovergiert die durch die ugerade Glieder gebildete Teilfolge a 2 1 ) gege de Grezwert +1 ud die durch die gerade Glieder gebildete Teilfolge a 2 ) gege de Grezwert 1. Solche Grezwerte vo Teilfolge werde als Häufugspukte der Folge a ) bezeichet. Der Satz vo Bolzao-Weierstraß i der Mathematik besagt hierzu, dass jede beschräkte reelle Folge eie kovergete Teilfolge ethält. Nomeklatur Für das Grezwertverhalte vo allgemeie Folge a ) gibt es somit die folgede Nomeklatur: Die Folge a ) kovergiert gege a R a a) ist Nullfolge. Die Zahl a heißt da Grezwert der Folge a ). Falls a ) gege a R kovergiert, verwedet ma hierfür die Notatioe: lim a = a oder a a ). Falls { 1, 2, 3, } eie uedliche) Teilmege der atürliche Zahle N darstellt mit der Eigeschaft 1 < 2 < 3 < ud die Teilfolge a i ) vo a ) für i gege de Grezwert α R kovergiert: lim a i = α oder a i α i ), i heißt α Häufugspukt der Folge a ). Eie Folge ka auch mehrere oder sogar uedlich viele Häufugspukte besitze. Kovergezkriterie Wie formuliert ma u mathematisch präzise, dass a der Grezwert der Folge a ) ud somit a a eie Nullfolge ist? Hierzu muss ma geaue Kriterie dafür agebe, dass die Folgeglieder a a betragsmäßig immer kleier werde ud für 1 Das Wort kovergiere stammt vo lateiisch co- zusamme ) ud vergere, wasetwa sich) eige oder tediere bedeutet. 2 Folge, die mit asteigedem jede edliche Wert über- oder uterschreite, heiße auch bestimmt diverget gege + bzw. ). 3 Falls die Folge wie hier weder kovergiert och bestimmt divergiert, spricht ma auch vo eier ubestimmte Divergez.

8 52 Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe große Werte des Idex gege ull strebe. Ma muss achweise, dass a a beliebig klei werde ka, also kleier als jede Zahl ɛ>0, falls ma de Idex ur hireiched groß wählt z.b. midestes gleich N N). Hierbei wird der Wert vo N N i der Regel vo der Wahl vo ɛ abhäge ud immer größer werde, we ɛ kleier gewählt wird. Mit Hilfe der Quatore für alle ) ud es gibt ) schreibt ma das kompakte mathematische Kriterium für eie Nullfolge u: ɛ >0 N N : N : a a <ɛ. 2.2) Als Bemerkug sei och hizugefügt, dass bei der Formulierug des Kriteriums 2.2) der Eifachheit halber ageomme wird, dass ma de Grezwert a der Folge a ) explizit ket oder zumidest errate ka. Dies ist i der Praxis icht immer der Fall. Beispielsweise ist bei der Folge a ) mit de Folgeglieder a k=1 4k 2 4k 2 1 icht sofort offesichtlich, dass sie im Limes gege de Wert π 2 kovergiert.4 Aus diesem Grud gibt es ei verallgemeiertes Kriterium für die Kovergez eier Folge, das die Ketis des Grezwerts a icht voraussetzt. Nach diesem Cauchy- Kriterium heißt eie Folge a k ) koverget oder auch i sich koverget, we die Differez a m a für hireiched große m- ud -Werte beliebig klei wird. Etwas präziser formuliert, erfordert das Cauchy-Kriterium, dass für alle ɛ > 0 eie Zahl Nɛ) N existiert mit der Eigeschaft, dass für alle m, Nɛ) gilt: a m a <ɛ. Wichtig ist, dass das Cauchy-Kriterium ud das Kriterium 2.2) für die Kovergez reellwertiger Folge a ) mit eiem Grezwert a R äquivalet sid. Wir illustriere die Wirkug des Kriteriums 2.2) ahad dreier Beispiele. Beispiele für Kovergezbeweise Wir ehme a, dass wir de Grezwert a der Folge a ) kee. Da jede Folge a ) da laut 2.2) auf eie Nullfolge a a) zurückgeführt werde ka, reicht es, zur Illustratio der Kovergezbeweise drei Nullfolge zu betrachte: 1. Als erstes Beispiel betrachte wir die Folge 1 ),dieeienullfolge darstellt. Folglich gilt a =0i Gleichug 2.2), ud es ist daher zu zeige, dass ma für alle ɛ>0 eie atürliche Zahl Nɛ) bestimme ka, sodass für alle Nɛ) gilt: 1 < ɛ.daaus Nɛ) folgt: 0 < 1 Nɛ) 1, ist die Bedigug 1 <ɛsicherlich erfüllt, we ma Nɛ) 1 <ɛbzw. Nɛ) >ɛ 1 wählt. Kokret köte ma die atürliche Zahl Nɛ) z.b. durch die Bedigug ɛ 1 <Nɛ) 1+ɛ 1 festlege. Hiermit ist gezeigt, dass ma i der Tat für alle ɛ>0 eie Zahl Nɛ) mit der erwüschte Eigeschaft bestimme ka. Folglich ist die Kovergez vo 1 ) gege ull bewiese. 2. Um achzuweise, dass die Folge 2 ) eie Nullfolge ist, geht ma völlig aalog vor: Für alle ɛ>0 muss ma eie atürliche Zahl Nɛ) bestimme 4 Wir werde diese Folge später, i Gleichug 7.78), als Produkt vo Wallis keelere.

9 2.1 Folge 53 mit der Eigeschaft, dass für alle Nɛ) gilt: 2 <ɛ.daaus Nɛ) folgt: 0 < 2 Nɛ) 2, ist die Bedigug 2 <ɛsicherlich erfüllt, we ma Nɛ) 2 <ɛbzw. Nɛ) >ɛ 1/2 wählt. Da für alle ɛ>0 offesichtlich ei Nɛ) N mit der erwüschte Eigeschaft existiert, ist die Kovergez der Folge 2 ) gege ull bewiese. 3. Auch für die Nullfolge e ) verläuft der Beweis aalog: Nu soll gelte: e <ɛ.daaus Nɛ) folgt: 0 <e e Nɛ), ist die Bedigug e <ɛsicherlich erfüllt, we ma e Nɛ) <ɛbzw. Nɛ) > lɛ 1 ) wählt. I der Tat gilt Nɛ) für ɛ 0. 5 Grezwertregel Kombiiert ma zwei Folge miteiader, zum Beispiel i der Form eier Summe, eies Produktes oder eies Quotiete, so ka ma das Grezwertverhalte dieser Kombiatio uter gewisse Aahme aus de Grezwerte der eizele Folge bestimme. Zur Formulierug solcher Grezwertregel ehme wir zuächst a, dass die eizele Folge a ) ud b ) gege edliche Grezwerte a bzw. b kovergiere: lim a = a ud lim b = b <a,b< ). I diesem Fall gelte die folgede, ituitiv plausible Grezwertregel: [1.] lim + b )=a + b bzw. lim b )=a b [2.] lim b )=ab [3.] lim /b )=a/b [ falls b 0 N ud b 0]. Allerdigs ist erhebliche Vorsicht gebote für de Fall, dass a = ud/oder b = oder i eiem Quotiete a = b =0) gilt, sodass die Voraussetzuge für die Gültigkeit der Grezwertregel verletzt sid. Die Summe a ± b, das Produkt ab ud der Quotiet a/b hätte da formal die folgede Strukture: a ± b =, ab = 0, a b = ±, a b = 0 0. Da die rechte Seite dieser vier Gleichuge alle udefiiert sid, 6 stelle wir fest, dass die Grezwertregel ihre Bedeutug verliere. I solche Fälle muss ma sich die Details der Summe bzw. des Produkts oder Quotiete geauer asehe ud im Eizelfall etscheide. Wir zeige ahad vo vier Beispiele, die alle Quotiete darstelle, wie ma da vorgeht. 5 Wir verwede im Folgede die Notatioe y a ud y a für die Limites, wobei y vo obe bzw. ute gege a geht. Die Notatioe ud werde icht ur im Rahme vo Folge, soder auch für Grezwerte vo Fuktioe verwedet s. Kapitel [4]). 6 Deshalb wird auch das Pseudogleichugssymbol = verwedet.

10 54 Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe We Grezwertregel icht zum Ziel führe... Wir utersuche drei Beispiele mit a b = 0 0 ud ei Beispiel mit a b = wie ma i solche Fälle korrekt vorgeht: ud zeige, 1. Wir betrachte zuerst als Beispiel die Bestimmug des Quotiete a lim mit a = 1 b ud b = , i dem sowohl der Zähler als auch der Neer Nullfolge sid, die beide i ählicher Weise proportioal zu 1 ) gege ull strebe: 1 a = + 2 ) 2 1 3, b = + 4 ) 2 3 ). Der Grezwert des etsprechede Quotiete a /b, dargestellt im mittlere Glied der Gleichugskette 2.3), lässt sich leicht als 1 3 bestimme, idem ma Zähler ud Neer wie im vierte Glied vorgeführt) beide mit multipliziert ud das Ergebis s. rechte Seite) für große auswertet: 0 lim 1 0 = + ) lim 3 + ) 4 lim = lim = ) Allerdigs ist das korrekte Ergebis 1 3 auf der rechte Seite sicher icht im Eiklag mit der udefiierte Vorhersage 0/0 der Grezwertregel, die im zweite Glied dargestellt ist. Die Voraussetzug b 0für die Gültigkeit der Grezwertregel war jedoch auch icht erfüllt. 2. Auch im zweite Beispiel ist ei Quotiet aus Nullfolge im Zähler ud Neer zu bestimme: a lim mit a = 1 b ud b = , wobei allerdigs der Zähler deutlich lagsamer als der Neer gege ull strebt: 1 a = + 2 ) 2 1 3, b = ) ). I diesem Fall fidet ma bei der Berechug des Quotiete im mittlere Glied de Wert +, z.b. idem ma wie im vierte Glied vorgeführt) Zähler ud Neer mit 2 multipliziert: 0 lim 1 0 = + ) 2 2 lim ) lim = lim ) 1+ 2 = 3 = Das wohldefiierte ud korrekte Ergebis + der kokrete Berechug auf der rechte Seite ist wiederum ugleich der udefiierte) Vorhersage 0/0 der Grezwertregel, die im zweite Glied dargestellt ist.

11 2.1 Folge Im dritte Beispiel geschieht das Umgekehrte: Auch hier betrachte wir de Grezfall eies Quotiete aus Nullfolge im Zähler ud Neer, aber i diesem Fall strebt der Neer deutlich lagsamer als der Zähler gege ull, da u a 2 ud b 3/ gilt: 0 lim 1 ) 0 = lim ) lim = lim )= =0. Das korrekte Ergebis 0 der kokrete Berechug auf der rechte Seite präzisiert die udefiierte) Vorhersage 0/0 der Grezwertregel. 4. Schließlich betrachte wir eie Quotiete mit a = ud b =, der deoch wie die folgede Gleichugskette zeigt leicht kokret ausgerechet werde ka ud de Grezwert 1 3 hat: = lim 2 +2 lim 3 +4) lim = lim 1+2/ 2 3+4/) = 1 3. Das korrekte Ergebis 1 3 auf der rechte Seite zeigt, dass der Quotiet sicherlich ugleich dem ohehi udefiierte) Wert / ist, der vo der Grezwertregel vorhergesagt wird. Diese vier Beispiele zeige, dass ma i komplexere Kombiatioe vo Folge durch die asymptotische Auswertug für große) der jeweilige Zähler ud Neer wertvolle Iformatio ethält, die die ur für eifache Fälle gedachte Grezwertregel ergäzt. Bei kokrete Berechuge köe wie wir gesehe habe Vereifachuge durch Kürzug geeigeter Poteze des Idex hilfreich sei Die Euler sche Zahl als Grezwert eier Folge Als Beispiel für eie Folge mit eiem icht ur i Physik ud Mathematik) sehr wichtige Grezwert bespreche wir de Zusammehag zwische der ach Leohard Euler beate Euler sche Zahl e ud Jakob Beroullis Ziseszisrechug. Aus Gleichug 1.24) i Abschitt [1.2.4] wisse wir bereits, dass die reellwertige Expoetialfuktio e x für alle x R als uedliches Produkt geschriebe werde ka: e x = lim 1+ x. ) Hieraus folgte als Spezialfall Gleichug 1.25), die besagt, dass die Euler sche Zahl e als Grezwert eier Folge, ämlich der Folge e ) mit e 1+ ) 1 im Limes agesehe werde ka: e )=e 1,e 2,e 3,...), e 1+ 1 ), lim e e =2, Im Folgede möchte wir zeige, dass diese Folge 1+ 1 ) ) auch praktische Aweduge z.b. bei der Ziseszisrechug hat. Die Iterpretatio der Folge e ) im Sie der Ziseszisrechug stammt vom Schweizer Mathematiker ud Physiker Jakob Beroulli ). Um diese Iterpretatio deutlich zu mache, ehme wir a, dass am Afag eies Jahres am 1. Jauar) ei Startkapital K 0 bei der Bak eigezahlt wird ud eie mometae Verzisug zu eiem Zissatz Z = 100% pro Jahr gilt. Der Eigetümer

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