Mathematik für ChemikerInnen II

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1 Mthemtik für ChemikerInnen II Prof. Dr. Ansgr Jüngel Institut für Mthemtik Johnnes utenberg-universität Minz August 25 unkorrigiertes Vorlesungsskript Inhltsverzeichnis Fourier-Reihen 2 2 Eigenwerte 4 3 ewöhnliche Differentilgleichungen Differentilgleichungen erster Ordnung Systeme linerer Differentilgleichungen Differentition im R n Funktionen mehrerer Veränderlicher Prtielle Ableitungen Minim und Mxim Vektornlysis Integrtion im R n Kurvenintegrle Mehrfchintegrle Oberflächenintegrle

2 5 Integrtion im R n 5. Kurvenintegrle Ziel dieses Abschnittes ist es, Integrle über Kurven R n der Form f(x) dx zu definieren. Wir beginnen mit einigen Definitionen. Definition 5. () Sei γ :[, b] R eine Funktion. Der Bildbereich von γ {(γ(t) :t [, b]} R n heißt Kurve im R n.diefunktionγ nenen wir die Prmetrisierung von. Mnchml identifizieren wir γ mit und nennen γ eine Kurve. (2) Eine Kurve R n mit Prmetrisierung γ :[, b] R n heißt geschlossen genu dnn, wenn γ() γ(b). (3) Eine Prmetrisierung γ :[, b] R n einer Kurve heißt gltt genu dnn, wenn γ stetig differenzierbr ist und γ (t) für lle (bis uf endlich viele Ausnhmen) t [, b] gilt. Beispiel 5.2 () Die Kurve γ :[,] R 3, definiert durch R cos t γ(t) R sin t, t [,], t stellt eine Spirle mit Rdius R dr (siehe Abbildung 5. links). Der Vektor R sin t γ (t) R cos t gibt die eschwindigkeit mit Betrg γ (t) R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t + R 2 +n. (2) Die Kurve γ :[ 2, 2] R 2, γ(t) (t, cosh t), stellt die sogennnte Kettenlinie dr, d.h. eine n den Seiten ufgehängte durchhängende Kette (siehe Abbildung 5. rechts). Allgemein wird der rph einer Funktion f :[, b] R prmetrisiert durch ( ) γ :[, b] R 2 t, γ(t). f(t) 79

3 5 z y y x 2 2 x Abbildung 5.: Spirle im R 3 (links) und Kettenlinie x cosh x (rechts). In einer Rumdimension können wir die Kurve [, ] R z.b. prmetrisieren durch γ :[, b] R. Dnn ist nch der Substitutionsregel b f(x) dx f(γ) dγ f(γ(t)) dγ b dt dt f(γ(t))γ (t) dt. In mehreren Dimensionen wird ds Kurvenintegrl entsprechend definiert, llerdings ist der Betrg γ (t) der eschwindigkeit zu verwenden. Definition 5.3 Seien f : D f R n R ein Sklrfeld und D F eine Kurve, prmetrisiert durch eine gltte Prmetrisierung γ :[, b] R n.dskurvenintegrl (. Art) von f über ist definiert durch b f(x) dx f(γ(t)) γ (t) dt. Wählen wir speziell f(x), so beschreibt ds Integrl b dx γ (t) dt γ die Länge der Kurve. Sind γ :[,b ] R n und γ 2 :[ 2,b 2 ] R n zwei Prmetrisierungen derselben Kurve, so stimmen die Kurvenintegrle überein: b f(γ (t)) γ (t) dt b2 2 f(γ 2 (t)) γ 2(t) dt. Beispiel 5.4 () Die Länge der Spirle us Beispiel 5.2 () R cos t γ :[,] R 3, γ(t) R sin t, t 8

4 ist gegeben durch dx γ (t) dt (R sin t)2 +(Rcos t) 2 +dt R2 +dt R 2 +. Wir wählen nun eine ndere Prmetrisierung der Spirle: R cos(t 2 ) γ :[, ] R 3, γ(t) R sin(t 2 ), t 2 die mit der ersten Prmetrisierung über γ(t) γ(t 2 ) zusmmenhängt. Dmit erhlten wir 2tR sin(t 2 ) γ (t) 2tR cos(t 2 ) 2t und 2 R 2 + dx γ (t) dt tdt R 2 +, 2t R 2 sin 2 (t 2 )+R 2 cos 2 (t 2 )+dt lso denselben Wert wie oben. Der Wert des Kurvenintegrls ist lso unbhängig von der Prmetrisierung. (2) Betrchte den rphen der Funktion f : [, b] R, prmetrisiert durch γ : [, b] R, γ(t) (t, f(t)), wie in Beispiel 5.2 (2). Die Länge des rphen lutet ( ) b b dx f (t) dt +f (t) 2 dt. Im Flle der Kettenlinie, f(x) coshx, x [ 2, 2], erhlten wir wegen cosh 2 x sinh 2 x für x R dx sinh 2 tdt cosh tdt[sinht] (e2 e 2 ) 2 (e 2 e 2 )e 2 e 2 2sinh Als nächstes wollen wir ds Kurvenintegrl für vektorwertige Funktionen F F (x) dx definieren. Anschulich entspricht dieses Integrl der Arbeit im Krftfeld F entlng des Weges. Bewegen wir uns senkrecht zum Krftfeld, so wird keine Arbeit verrichtet. 8

5 Allgemein hängt die verrichtete Arbeit vom Winkel zwischen Krftfeld F (x) und Tngentenvektor γ (t)/ γ (t) n die Kurve uch von der Stärke des Krftfeldes b, d.h. vom Sklrprodukt n der Stelle x γ(t) F (γ(t)) γ (t) γ (t) (siehe Abbildung 5.2). Integrtion über lle Kurvenpunkte x γ(t) liefert ds gesuchte Integrl: b γ (t) b F (γ(t)) γ (t) γ (t) dt F (γ(t)) γ (t) dt. F γ (t) γ (t) x γ(t) F (x) Abbildung 5.2: Weg uf einer Kurve in einem Krftfeld F. Der Tngentenvektor n die Kurve in x γ(t) ist gegeben durch γ (t)/ γ (t). Definition 5.5 Seien F : D F R n R n ein Vektorfeld und D F eine Kurve, prmetrisiert durch γ : [, b] R n.dskurvenintegrl (2. Art) von F über ist definiert durch F (x) dx b F (γ(t)) γ (t) dt. Beispiel 5.6 Sei die Kreislinie im R 2 um den Ursprung mit Rdius, prmetrisiert durch ( ) γ :[, 2π] R 2 cos t, γ(t). sin t () Sei F : R 2 R 2, F (x,x 2 )(x + x 2,x x 2 ). Dnn ist ( ) ( ) 2π cos t +sint sin t F (x) dx dt cos t sin t cos t 2π ( 2sint cos t sin 2 t +cos 2 t) dt. 82

6 Mit den Additionstheoremen sin(2t) sint cos t, cos(2t) 2 (cos2 t sin 2 t) folgt F (x) dx 2π ( 2sin(2t)+2cos(2t)) dt [cos(2t)] 2π +[sin(2t)]2π. Ds Ergebnis ist plusibel, d in einem Krftfeld entlng einer geschlossenen Kurve keine Arbeit verrichtet oder gewonnen werden knn (sonst gäbe es ein Perpetuum mobile). (2) Sei F : R 2 R 2, F (x,x 2 ) (x x 2,x + x 2 ). Wir berechnen wieder ds Kurvenintegrl über : F (x) dx 2π 2π ( ) ( ) cos t sin t sin t dt cos t +sint cos t (sin 2 t +cos 2 t) dt 2π. Obwohl die Kurve geschlossen ist, erhlten wir einen von Null verschiedenen Wert. Worn liegt ds? Bevor wir die obige Frge bentworten, benötigen wir eine Definition (siehe Abbildung 5.3). Definition 5.7 () Die Menge R n heißt zusmmenhängend genu dnn, wenn je zwei Punkte us durch eine Kurve, die vollständig in liegt, verbunden können. (2) Die Menge R n heißt sternförmig genu dnn, wenn es einen Punkt x gibt, so dß für lle x die Verbindungsgerde von x nch x gnz in liegt. Stz 5.8 Seien D f R n zusmmenhängend und F : D F R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn gilt F (x) dx für lle geschlossenen, gltten Kurven D F genu dnn, wenn es eine Funktion f : D F R gibt mit F f. In Abschnitt 4.4 hben wir f ein Potentil gennnt und f ein Potentilfeld. 83

7 x x weder zusmmenhängend noch sternförmig x x zusmmenhängend, nicht sternförmig x x zusmmenhängend und sternförmig Abbildung 5.3: Zu den Begriffen zusmmenhängend und sternförmig. Beispiel 5.9 Sei die Kreislinie mit Rdius in der (x,x 2 )-Ebene, prmetrisiert durch cos t γ :[, 2π] R 3, γ(t) sin t. Die Kurve ist gltt und geschlossen. () Sei F (x) x 3 x, x R 3 \{}. Es gilt: F (x) dx 2π 2π cos2 t + sin 2 t 3 cos t sin t sin t cos t ( cos t sin t +sint cos t) dt. dt Um Stz 5.8 nwenden zu können, müßten wir zeigen, dß ds Kurvenintegrl von F für lle gltten, geschlossenen Kurven verschwindet. Wir wissen ber bereits us Beispiel 4.25, dß F ein Potentil besitzt, nämlich f(x) x.dspotentilf ist ds Coulomb Potentil zum elektrischen Feld F. (2) Sei x 2 F (x) x, x R 3. Wir berechnen ds Kurvenintegrl über : 2π sin t sin t F (x) dx cos t cos t dt 2π (sin 2 t +cos 2 t) dt 2π. 84

8 Nch Stz 5.8 knn F kein Potentil besitzen. Dies ist nch den Ergebnissen us Abschnitt 4.4 uch einleuchtend, denn gäbe es eine Funktion f mit F f, so folgt nch Stz 4.3 (2) rot( f) rotf, 2 lso ein Widerspruch. Ds letzte Beispiel läßt vermuten, dß es einen Zusmmenhng zwischen dem Verschwinden des Integrls über geschlossenen Kurven und der Rottion im R 3 gibt. Existiert nämlich zu F (F,...,F n ) ein Potentil f und ist F stetig prtiell differenzierbr, so folgt nch dem Stz 4.4 von Schwrz wegen F i f/ x i : F i x j x j f x i x i f x j F j x i für lle i, j,...,n. Für n 3 bedeutet dies gerde rot F. Es gilt llgemein: Stz 5. Seien D F R n sternförmig und F : D F R n ein stetig prtiell differenzierbres Vektorfeld. Dnn gilt F (x) dx für lle geschlossenen, gltten Kurven D F genu dnn, wenn F i x j F j x i für lle i, j,...,n. Beispiel 5. Sei R 2 prmetrisiert durch γ(t) (cost, sin t), t 2π, und sei ( ) ( ) F (x) x 2 x für x R 2 \{}. x 2 x x 2 Dnn gilt lso F x 2 F 2 x x 2 x ( x2 ) + x 2 + x 2 2 x 2 + x 2 2 ) x 2 + x2 2 x 2 + x2 2 ( x F x 2 F 2 x. 2x 2 2 (x 2 + x 2 2) 2 x2 2 x2 (x 2 + x 2 2) 2, 2x 2 (x 2 + x2 2 )2 x2 2 x2 (x 2 + x2 2 )2, 85

9 Nch Stz 5. würden wir vermuten, dß ds Kurvenintegrl von F über verschwindet. Wir prüfen dies nch: ( ) ( ) 2π sin t sin t F (x) dx cos 2 t +sin 2 dt 2π. t cos t cos t Dieses Ergebnis scheint in Widerspruch zu Stz 5. zu stehen. Der Widerspruch löst sich ber uf, denn der Definitionsbereich D F R 2 \{} ist nicht sternförmig: Für beliebiges x R 2 liegt die Verbindungsgerde von x nch x x nicht gnz in D F (siehe Abbildung 5.4). R 2 \{} x 2 x x x Abbildung 5.4: Die Verbindungsgerde von x nch x liegt nicht gnz in D F R 2 \{}, denn D F. Als Korollr zu den Sätzen 5.8 und 5. erhlten wir folgendes Ergebnis. Korollr 5.2 Sei F : D F R n R n ein Vektorfeld. Dnn gilt: () f : D F R : F f rot F. (b) D F sternförmig und rot F f : D F R : F f. Beispiel 5.3 In der Elektrosttik gilt rot E für ds elektrische Feld. ilt diese leichung in einem sternförmigen ebiet, so besitzt E ein Potentil, nämlich ds elektrische Potentil U mit E U. 86

10 Frgen zum Selbsttest:. Die folgenden Prmetrisierungen beschreiben eine Kreislinie mit Rdius R um den Nullpunkt ( ) im R 2 (t( [, 2π]): ) ( sin t cos t cos ) t (), (b), (c) cos t sin t sin. t 2. Seien f : D f R n R und γ :[, b] R n eine Prmetrisierung einer Kurve D F. Dnn ist ds Kurvenintegrl von f über definiert durch b b b () f(γ(t))γ (t) dt, (b) f(γ(t)) γ (t) dt, (c) f(t)γ (t) dt. 3. Die Länge der Kurve γ(t) (t 2,t 2 ), t, beträgt () (b) 2, (c) Die Länge der Kurve γ(t) (t, f(t)), t [, b], wobei f :[, b] R eine Funktion ist, beträgt b b b () +f(t)2 dt, (b) +f (t) 2 dt, (c) t2 + f(t) 2 dt. 5. Seien D F R n sternförmig und F (F,...,F n ) : D F R n stetig prtiell differenzierbr. Es gelte für lle geschlossenen gltten Kurven D F,dß F (x) dx. Dnn folgt für lle i, j,...,n: () F i x j + F j x i, (b) F i x j F j x i, (c) F i x i F j x j. 6. Seien D F und F wie in 5. und sei D F eine geschlossene, gltte Kurve. Der Wert von I F (x) dx ist () gleich Null für lle, (b) ungleich Null für lle, (c) ungleich Null für mnche. Richtige Antworten:, b; 2; 3b; 4b; 5b; 6. 87

11 5.2 Mehrfchintegrle Wir definieren zunächst ds Integrl einer Funktion f :[, ] 2 R über dem zweidimensionlen Quder Q (, ) 2. Ähnlich wie im eindimensionlen Fll pproximieren wir ds Integrl durch die Summe der Flächeninhlts kleiner Qudrte um einen Punkt x (i), multipliziert mit f(x (i) ): n f(x (i) ) x (i) x (i) 2 Q i (siehe Abbildung 5.5). Im renzwert immer feiner werdender Zerlegungen von Q durch kleine Qudrte erhlten wir ds Integrl über Q: n f(x,x 2 )dx dx 2 lim f(x (i) ) x (i) x(i) 2. n Allgemein definieren wir: i x 2 x (i) 2 x (i) x (i) x Abbildung 5.5: Zerlegung des Qudrts (, ) 2 x (i) x (i) 2 in kleine Qudrte mit Flächeninhlt Definition 5.4 Seien Q (,b )... ( n,b n ) ein Quder im R n und f : Q R eine stetige Funktion. Wir definieren ds Integrl von f über Q durch bn ( b2 ( b ) ) f(x) dx f(x) dx dx 2 dx n. (5.) Q n 2 Ttsächlich spielt die Reihenfolge, in der wir die einzelnen Integrle uswerten, keine Rolle, und wir können die Klmmern weglssen, denn es gilt ds folgende Resultt. 88

12 Stz 5.5 (Fubini) Sei f : Q R eine stetige Funktion. Dnn spielt die Reihenfolge, in der ds Integrl (5.) usgerechnet wird, keine Rolle. Insbesondere gilt im Fll n 2: b2 b 2 f(x) dx dx 2 b b2 2 f(x) dx 2 dx. Beispiel 5.6 () Sei f(x) x + x 2 2, x (x,x 2 ) Q (, ) (, 2). Dnn ist 2 f(x) dx (x + x 2 2 ) dx dx 2. (5.2) Q Wir werten zuerst ds innere Integrl bezüglich x us, indem wir x 2 ls konstnten Prmeter betrchten: [ ] x (x + x 2 2) dx 2 x2 + x 2 2x x 2 + x2 2. Schließlich integrieren wir ds äußere Integrl bezüglich x 2, indem wir ds obige Resultt in (5.) einsetzen: 2 f(x) dx ( [ Q 2 + x2 2 ) dx 2 2 x 2 + ] x2 2 3 x x (2) Sie f(x) x c 2 2, x (x,x 2 ) Q und Q wie in (). Wir können ds Integrl in zwei Fktoren zerlegen: 2 2 f(x) dx x x 2 2 dx dx 2 x 2 2 dx 2 x dx Q [ 3 x3 2 ] 2 [ ] 2 x Integrle über den gesmten Rum R n können wir ls renzwert immer größer werdender Quder Q R ( RR) n ( R, R) ( R, R) definieren: f(x) dx lim f(x) dx. R n R Q R Diese Definition mcht Sinn, wenn existiert. lim f(x) dx R Q R 89

13 Beispiel 5.7 Sei f(x) e x x 2 x 3, x R 3. Wir berechnen zuerst ds Integrl von f über Q R ( R, R) 3 und führen dnn den renzwert R durch: R R R f(x) dx e x x 2 x 3 dx 3 dx 2 dx Q R R R R R R R R e x dx e x2 dx 2 e x3 dx 3 R ( R 3 e dx) x. Wegen der Symmetrie der Funktion x e x erhlten wir R R R R R e x dx 2 e x dx 2 [ x] R 2( e R ), lso ( f(x) dx lim f(x) dx lim 2( e R ) ) 3 8. R 3 R Q R R Um Funktionen über kompliziertere ebiete integrieren zu können, ist es zweckmäßig, ds ebiet geeignet zu prmetrisieren. Wir illustrieren die Vorgehensweise nhnd einiger Beispiele. Beispiel 5.8 () Integriere f(x) cosx e x 2, x (x,x 2 ) R 2, über ds in Abbildung 5.6 links skizzierte Dreieck. Wir prmetrisieren ds ebiet wie folgt: Dnn ist {(x,x 2 ) R 2 :<x <π, <x 2 <x }. f(x) dx π x cos x e x 2 dx 2 dx. Hier können wir die Integrtionsreihenfolge nicht vertuschen, d ds innere Integrl von der Vriblen x des äußeren Integrls bhängt. Wir berechnen zuerst ds innere Integrl π ( x ) π f(x) dx cos x e x 2 dx 2 dx cos x ( e x ) dx Wegen π cos x dx π cos x e x dx. cos xe x dx 2 e x (sin x cos x) folgt [ ] π f(x) dx [sinx ] π 2 e x (sin x cos x ) 2 (e π +). 9

14 (2) Berechne den Flächeninhlt einer Kreisscheibe mit Rdius R. Wirmüssen lso ds Integrl dx mit K Kreisscheibe mit Rdius R K lösen. Dzu prmetrisieren wir den Viertelkreis durch <x <R, <x 2 < R 2 x 2 (siehe Abbildung 5.6 rechts) und erhlten K R R 2 x 2 dx 4 dx 4 Mit der Substitution x R sin y, lso<y<π/2 und R dx 2 dx 4 R 2 x 2 dx. dx dy R cos y bzw. dx R cos ydy ergibt sich dx 4 K π/2 R2 (R sin y) 2 R cos ydy4r 2 π/2 π/2 [ ] π/2 4R 2 cos 2 y 4R 2 2 (y +sinycos y) πr 2. sin 2 y cos ydy x 2 R x 2 x R2 x 2 <x <x 2 π x x R x x Abbildung 5.6: Zur Prmetrisierung eines Dreiecks (links) und eines Viertelkreises (rechts). Im letzten Beispiel scheint es ngebrchter, Polrkoordinten zu verwenden, um den Flächeninhlt zu berechnen. Dies bedeutet, dß wir eine mehrdimensionle Trnsformtion ( x x x 2 ) g(r, φ) 9 ( ) r cos φ r sin φ (5.3)

15 durchführen möchten. Wir erinnern, dß im eindimensionlen Fll die Substitution x g(y) mitg :[c, d] [, b] oder symbolisch b f(x) dx d c dx g (y) dy f(g(y))g (y) dy lutet. Im Fll der zweidimensionlen Polrkoordinten motivieren wir, wie dx dx dx 2 trnsformiert werden muß. In Abbildung 5.7 sehen wir, dß ds Flächenelement x x 2 durch die Polrkoordinten (5.3) uf r r φ bgebildet wird. Die Abbildung g verzerrt lso ds Element x x 2.EinMßfür die Flächenverzerrung ist die Determinnte. In der Tt gilt ( ) det g cos φ r sin φ (r, φ) det r(cos 2 φ +sin 2 φ)r. sin φ rcos φ Im renzwert ist ds Flächenelement dx dx 2 lso gleich det g (r, φ) dr dφ rdrdφ.der folgende Stz sgt us, dß dies llgemein gilt. x 2 φ + φ φ r φ r r + r x r Abbildung 5.7: Ds Flächenelement in Polrkoordinten lutet r r φ. Stz 5.9 (Trnsformtionsformel) Seien f : R n R stetig und g : Q invertierbr und stetig prtiell differenzierbr. Dnn gilt: f(x) dx f(g(y)) det g (y) dy. Q 92

16 Beispiel 5.2 (Integrtion mit Polrkoordinten) () Wir wollen den Flächeninhlt einer Kreisscheibe K mit Rdius R mit Hilfe der Polrkoordinten (5.3) berechnen. Wir hben bereits die symbolische Formel dx dx 2 rdrdφ berechnet. In Polrkoordinten wird die Kreisscheibe durch r<r, φ<2π beschrieben. Dher ist 2π R 2π R dx dx dx 2 rdrdφ dφ rdr πr 2. K K (2) Sei f(x) e x 2 /2, x R. Wir berechnen ds Integrl von f über R 2, prmetrisiert durch r<, φ<2π. Wegen r x folgt 2π e x 2 /2 dx R 2 [ 2π e r2 /2 rdrdφ2π ] e r2 /2 re r2 /2 dr 2π. (5.4) Andererseits gilt in krtesischen Koordinten: e x 2 /2 dx e x2 /2 x2 2 /2 dx 2 dx R 2 R R ( 2 e x2 /2 dx e x2 2 /2 dx 2 e dx) x2 /2. (5.5) R R R Setzen wir (5.4) und (5.5) gleich, erhlten wir die wichtige Beziehung e x2 /2 dx 2π. (5.6) R Bechte, dß die Funktion x e x2 /2 keine elementre Stmmfunktion besitzt, so dß deren Integrl über ein Intervll i.. nur numerisch berechnet werden knn. Die Zylinderkoordinten sind nch Abschnitt 4. definiert durch r cos φ g(r, φ, z) r sin φ, r<, φ<2π, z R. z Wir berechnen die Ableitung von g und deren Determinnte: cos φ r sin φ ( det g cos φ (r, φ, z) det sin φ rcos φ det sin φ Also gilt symbolisch: dx dx 2 dx 2 rdrdφ. r sin φ rcos φ ) r. 93

17 Beispiel 5.2 (Integrtion mit Zylinderkoordinten) () Ein Zylinder Z mit Rdius R und Höhe H wird beschrieben durch r<r, φ<2π, <z<h. Ds Volumen dieses Zylinders lutet lso H 2π R R dx rdrdφdz2πh rdr πr 2 H. Z Ds Volumen ist wie erwrtet gleich der Zylindergrundfläche πr 2, multipliziert mit der Höhe H. (2) Ein umgedrehter Kegel K mit Rdius R und Höhe sei mit einem s der Dichte f(x) e x 3 gefüllt. Wir wollen die esmtmsse des ses in dem Kegel berechnen. Wir prmetrisieren den Kegel in Zylinderkoorditen durch r<r, φ<2π, <z< H R r (siehe Abbildung 5.8). Dnn ist mit z x 3 : 2π R Hr/R f(x) dx e z rdzdrdφ K R Hr/R R 2π r e z dz dr 2π r [ e z] Hr/R dr Wegen 2π R r ( e Hr/R) dr. re αr dr ( α e αr r + ) α für α folgt K R R f(x) dx 2π rdr 2π [ R πr 2 +2π πr 2 +2π H e Hr/R ( R H re Hr/R dr ( r + R )] R H ) 2 e H (H +) ( R H ) 2. Ist die Höhe des Kegels sehr viel größer ls dessen Rdius, d.h., R/H ist sehr viel kleiner ls Eins, können wir ds Integrl pproximieren durch f(x) dx πr 2. K 94

18 z x 3 H R z H R r r x x 2 Abbildung 5.8: Zur Prmetrisierung eines umgedrehten Kegels mit Rdius R und Höhe H. Die Kugelkoordinten luten gemäß Abschnitt 4.: r sin θ cos φ g(r, θ, φ) r sin θ sin φ, r<, φ<2π. r cos θ Die Determinnte der Ableitung berechnet sich zu sin θ cos φ rcos θ cos φ r sin θ sin φ det g (r, θ, φ) det sin θ sin φ rcos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ r sin θ r 2 sin θ ( cos 2 θ cos 2 φ +sin 2 θ sin 2 φ +cos 2 θ sin 2 φ +sin 2 θ cos 2 φ ) r 2 sin θ ( cos 2 θ +sin 2 θ ) r 2 sin θ. Symbolisch lutet dmit ds Volumenelement in Kugelkoordinten: dx dx 2 dx 3 r 2 sin θdrdθdφ. Beispiel 5.22 (Integrtion mit Kugelkoordinten) () Ds Integrl e x 2 /2 dx R 3 95

19 knn mit Kugelkoordinten berechnet werden: 2π π e x 2 /2 dx R 3 Prtielle Integrtion liefert e r2 /2 dr 2π 4π [ ] r e r2 /2 dφ π e r2 /2 r 2 sin θdrdθdφ sin θdθ r 2 e r2 /2 dr. r ( r)e r2 /2 dr r 2 e r2 /2 dr r 2 e r2 /2 dr. Ds Integrl uf der linken Seite hben wir bereits in Beispiel 5.2 (2) berechnet (siehe (5.6)): e r2 /2 dr e r2 /2 dr 2π. 2 R 2 Wir schließen e x 2 /2 dx 4π e r2 /2 dr 2π 2π 2π 3. R 3 Dieses Ergebnis wr zu erwrten, d mit (5.6) e x 2 /2 dx e x2 /2 dx e x2 2 /2 dx 2 e x2 3 /2 dx 3 R 3 R 3 R 3 R 3 ( ) 3 e x2 /2 dx 2π 3 R folgt. (2) Wir wollen die mittleren Abstände des Elektrons zum Atomkern für ds s-orbitl (rundzustnd) und ds p z -Orbitl des Wsserstofftoms bestimmen. Der mittlere Abstnd ist gleich dem Erwrtungswert des quntenmechnischen Ortsopertors: ψ r ψ ψ(x) rψ(x) dx, R 3 wobei r x.dss- bzw.p z -Orbitl wird durch die folgenden Wellenfunktionen beschrieben: ψ s (r, θ, φ) π 3 e r/, ψ p (r, θ, φ) 4 r 2π 3 e r/ cos θ, wobei der erste Bohrsche Rdius ist. Um die Abstände zu bestimmen, müssen wir lso nur die Integrle über die entsprechenden Wellenfunktionen in Kugelkoordinten 96

20 usrechnen: ψ s r ψ s ψ s (x) 2 rdx 2π R π 3 3 π 2π 2 r 3 e 2r/ dr. 3 π re 2r/ r 2 sin θdrdθdφ Wir verwenden folgende Rechenformel, die mn durch sukzessive prtielle Integrtion nchweisen knn: r k e αr dr k! für k N α k+. Dnn folgt ψ s r ψ s 4 3! 3 (2/) Für die Wellenfunktion des p z -Orbitls rechnen wir: ψ p r ψ p 32π 3 2π 32π π π π cos 2 θ sin θdθ [ 3 cos3 θ ] π ( r ) 2 r e r/ cos 2 θ r 2 sin θdrdθdφ r s 2 e r/ dr 5! 2 (/) Der mittlere Abstnd des Elektrons zum Wsserstoffkern beträgt lso 3 im rundzustnd 2 (s-orbitl) und 5 im p z -Orbitl (siehe Abbildung 5.9). Wsserstoffkern s-orbitl p z -Orbitl Abbildung 5.9: Mittlere Abstände des Elektrons im Wsserstofftom zum Kern. 97

21 Frgen zum Selbsttest:. Ds Integrl besitzt den Wert (), (b), (c), (d). 4 2 x x 2 dx dx 2 dx 3 2. Seiten f : R n R stetig und g : Q invertierbr und stetig prtiell differenzierbr. Dnn lutet die Trnsformtionsformel () f(x) dx f(g(y)) det Q g (y) dy, (b) f(x) dx f(g(t)) det Q g (t) dt, (c) f(x) dx Q f(g(y))g (y) dy. 3. Ds Volumenelement dx dx 2 dx 3 lutet in Zylinderkoordinten: () r 2 sin φdrdφdz, (b) r sin θdrdθdφ, (c) rdrdφdz. 4. Ds Volumenelement dx dx 2 dx 3 lutet in Kugelkoordinten: () rdrdθ, dφ, (b) r 2 sin φdrdθdφ, (c) r 2 sin θdrdθdφ. 5. Ds Integrl von f(x) x 2, x R 3 \{}, über eine Kugel mit Rdius um den Ursprung ht den Wert (), (b) 4π, (c) 2π, (d) π. Richtige Antworten: b; 2b; 3c; 4c; 5b. 98

22 5.3 Oberflächenintegrle Ziel dieses Abschnitts ist die Definition und Berechnung von Integrlen der Form f(x) ds, (5.7) S wobei S R 3 eine Fläche (englisch: surfce) sei. Flächen im R 3 können wir durch Funktionen g : Q S prmetrisieren, wobei Q ein zweidimensionler Prmeterbereich sei. Beispiel 5.23 () Ds Rechteck S (, ) (, ) {2} im R 3 knn durch die Funktion s g(s, t) t, (s, t) Q (, ) (, ) 2 prmetrisiert werden (siehe Abbildung 5. links). (2) Für die Prmetrisierung der Oberfläche der Nordhlbkugel mit Rdius R um den Ursprung (siehe Abbildung 5. rechts) wählen wir Kugelkoordinten, wobei der Rdius R fest ist: R sin θ cos φ g(θ, φ) R sin θ sin φ, θ π, φ<2π. (5.8) 2 R cos θ Dnn ist g : Q S mit Q [, π ] [, 2π) und S Oberfläche der Nordhlbkugel (ohne 2 Boden). t x 3 2 s s g(s, t) t x x 2 x 3 φ θ R R g(θ, φ) x x 2 Abbildung 5.: Prmetrisierung eines Rechtecks (links) und der Oberfläche der Nordhlbkugel (rechts). 99

23 Ds Integrl (5.7) definieren wir ls den renzwert immer feiner werdender Zerlegungen der Summe über die Flächenelemente s (i), gewichtet mit f(x i ), wobei x i s (i) : n f(x) ds lim f(x (i) ) s (i). n S Die Frge ist, wie ds Flächenelement S (i) formuliert werden knn. Nch Abbildung 5. wird die Fläche pproximiert durch die Prllelogrmme S (i), deren Flächeninhlt durch den Betrg des Kreuzprodukts der Tngentilvektoren g/ s und g/ t gegeben ist: Flächeninhlt von s (i) g g (s, t) (s, t) s t. Dher ist ds Flächenelement s (i) gleich s (i) g g (s, t) (s, t) s t s t. Ds Kreuzprodukt steht senkrecht uf den Tngentilvektoren g/ s und g/ t und folglich uch senkrecht uf dem Flächenelement, ds durch die Tngentilvektoren ufgespnnt wird. Ds Kreuzprodukt wird dher uch die Normle uf S n x (i) gennnt und mit n(s, t) g g (s, t) (s, t) (5.9) s t bezeichnet. Die Definition des Oberflächenintegrls (5.7) ist lso wie folgt. x (i) g(s, t) n(s, t) i g (s, t) t S S (i) g (s, t) s Abbildung 5.: Tngentilvektoren g/ s und g/ t und Normlenvektor n(s, t) nder Fläche S. Definition 5.24 Seien S eine Fläche im R 3 mit invertierbrer und stetig prtiell differenzierbrer Funktion. Dnn ist ds Oberflächenintegrl (. Art) von f über S definiert durch f(x) ds f(g(s, t)) n(s, t) ds dt, S Q und die Normle n(s, t) ist gegeben durch (5.9).

24 Beispiel 5.25 () Seien f(x) x x 3, x (x,x 2,x 3 ) R 3 und S (, ) (, ) {2} ds Rechteck im R 3 us Beispiel 5.23 () mit Prmetrisierung s g(s, t) t, (s, t) Q (, ) 2. 2 Wir rechnen und erhlten S g g (s, t) (s, t) s t f(x) ds f(s, t, 2) ds dt 2sdsdt. (2) Wir berechnen die Oberfläche der Hlbkugel S us Beispiel 5.23 (2). Dzu bestimmen wir zunächst den Normlenvektor (siehe (5.8)): n(θ, φ) g R cos θ cos φ R sin θ sin φ g (θ, φ) (θ, φ) R cos θ sin φ R sin θ cos φ θ φ R sin θ sin θ cos φ R 2 sin θ sin θ sin φ R sin θg(θ, φ). (5.) cos θ In diesem speziellen Fll zeigt der Normlenvektor in Richtung des Vektors g(θ, φ). Der Betrg von n(θ, φ) berechnet sich zu n(θ, φ) R sin θ g(θ, φ) R 2 sin θ. Dmit erhlten wir ds 2π π/2 n(θ, φ) dθ dφ 2π π/2 S R 2 sin θdθdφ2πr 2. Beispiel 5.26 Wir betrchten die Oberfläche S eines Zylinders Z mit Rdius R und Höhe H (siehe Abbildung 5.2). Die Oberfläche umschließt den Zylinder und wird uch ls Rnd des Zylinders bezeichnet. Wir schreiben insbesondere S Z, wobeidssymbol für Rnd von steht. Der Zylinderrnd besteht us Deckel, Boden und Mntel, die wir getrennt prmetrisieren:

25 r cos φ Boden: g B (r, φ) r sin φ, r cos φ Deckel: g D (r, φ) r sin φ, H R cos φ Mntel: g M (φ, z) R sin φ, z (r, φ) Q B [,R] [, 2π), (r, φ) Q D [,R] [, 2π), (φ, z) Q M [, 2π) [,H]. x 3 Deckel H R Mntel Boden x x 2 Abbildung 5.2: Bei der Zylinderoberfläche prmetrisieren wir den Deckel, Boden und Mntel seprt. Die entsprechenden Normlen luten: n B (r, φ) g B r (r, φ) g B (r, φ), n B (r, φ) r, φ r n D (r, φ) g D r (r, φ) g D (r, φ), n D (r, φ) r, φ r n M (φ, z) g M φ (φ, z) g R cos φ M (φ, z) R sin φ, n M (φ, z) R. z Wir hben die Prmetrisierung so gewählt, dß die Normlen nch ußen zeigen (lso nicht in ds Zylinderinnere). Mn nennt diese Vektoren dher uch äußere Normlen. 2

26 Ds Oberflächenintegrl ist die Summe der drei Teilintegrle: 2π R 2π R 2π H ds rdrdφ+ rdrdφ+ Rdrdφ Z }{{}}{{}}{{} 2π R2 2 Boden +2π R2 2 Deckel +2πRH +2πR(R + H). Mntel Ds Ergebnis ist einleuchtend: Die Zylinderoberfläche ist gleich den Flächeninhlten von Deckel und Boden (2 πr 2 ) und der Fläche des Mntels (Höhe ml Breite H 2πR). Ist F : S R 3 ein Vektorfeld, so definieren wir ds Oberflächenintegrl von F über S ähnlich wie bei Kurvenintegrlen (2. Art) (siehe Abschnitt 5.). Definition 5.27 Seien S eine Fläche im R 3 mit invertierbrer und stetig prtiell differenzierbrer Prmetrisierung g : Q S und F : S R 3 stetig. Dnn ist ds Oberflächenintegrl (2. Art) von F über S gegeben durch n(s, t) F (x) ds F (g(s, t)) n(s, t) ds dt S Q n(s, t) F (g(s, t)) n(s, t) ds dt. Q Beispiel 5.28 () Sei F (x) x, x R 3. Wir wollen ds Integrl von F über die Kugel mit Oberfläche K und Rdius R um den Ursprung besimmen. Die Kugeloberfläche wird prmetrisiert durch R sin θ cos φ g(θ, φ) R sin θ sin φ, (θ, φ) Q [,π] [, 2π) (5.) R cos θ mit äußerer Normlen (siehe (5.)) n(θ, φ) g g (θ, φ) (θ, φ) R sin θg(θ, φ). (5.2) θ φ Es folgt für ds Oberflächenintegrl 2π π F (x) ds F (g(θ, φ)) n(θ, φ) dθ dφ K 2π π 2π π (g(θ, φ) R sin θg(θ, φ) dθ dφ R 3 sin θdθdφ2π 2R 3 4πR 3 3 Volumen der Kugel. 3

27 (2) Wir integrieren ds Vektorfeld F (x) ( x 2,x, ) über die Kugeloberfläche wie in (): 2π π R sin θ sin φ R sin θ cos φ F (x) ds R sin θ cos φ R 2 sin θ R sin θ sin φ dθ dφ K R cos θ 2π π. R 2 sin θ ( R 2 sin 2 θ sin φ cos φ + R 2 sin 2 θ cos φ sin φ ) dθ dφ Es gilt uch div F (x). Zufll? Nein, zwischen der Divergenz und dem Oberflächenintegrl besteht ein Zusmmenhng, der im Stz von uß präzisiert wird. Stz 5.29 (uß) Seien R 3 ein beschränkter Bereich und der Rnd von, prmetrisiert durch eine invertierbre, stetig prtiell differenzierbre Funktion g : Q R 2. Sei weiter F : R 3 ein stetig prtiell differenzierbres Vektorfeld. Bezeichnet n(s, t) die äußere Normle n(s, t) g g (s, t) (s, t), s t so gilt div Fdx (F n) ds. Der Stz 5.29 von uß ist eine Verllgemeinerung des Huptstzes der Differentilund Integrlrechnung: b f (x) dx f(b) f() für differenzierbre Funktionen f :[, b] R, dennmitdenäußeren Normlen n(), n(b) n den Intervllenden und b (siehe Abbildung 5.3) und (, b); {, b} folgt b f (x) dx f (x) dx f(b)n(b)+f()n() f(x)n(x) dx. Beispiel 5.3 Wir greifen ds Beispiel 5.28 uf und zeigen, dß die entsprechenden Oberflächenintegrle mit Hilfe des Stzes 5.29 von uß bequem berechnet werden können. () Für F (x) x, x R 3, gilt div F 3, lso nch dem Stz 5.29 von uß F (x) ds div Fdx3 3 Volumen der Kugel. K K K 4

28 n() n(b) b x Abbildung 5.3: Äußere Normlenvektoren n() und n(b) m Rnd des Intervlls (, b). (2) Für F (x) ( x 2,x, ), x (x,x 2,x 3 ) R 3, folgt div F,lsonchdem Stz 5.29 von uß F (x) ds div Fdx. K Beispiel 5.3 Wir wollen den Fluß des elektrischen Feldes einer Punktldung F (x) x x, x R3 \{}, durch die Oberfläche einer Kugel K vom Rdius R um den Ursprung berechnen. Mit der Prmetrisierung (5.) und der Normlen (5.2) erhlten wir 2π π R sin θ cos φ sin θ cos φ F (x) ds K R 3 R sin θ sin φ R 2 sin θ sin θ sin φ dθ dφ R cos θ cos θ 2π π 2π π Andererseits ist F (x) ( ) x x x (x 2 + x x 2 3) 3/2 und nlog 2x2 + x2 2 + x2 3 x 5 F 2 x 2 (x) x2 2x2 2 + x2 3 x 5, K sin θ ( sin 2 θ cos 2 φ +sin 2 θ sin 2 φ +cos 2 θ ) dθ dφ sin θdθ dφ 2π. (5.3) (x 2 + x x 2 3) 3/2 3 2 F 3 x 3 (x) x2 + x2 2 2x2 3 x 5. Es folgt div F (x) F (x)+ F 2 (x)+ F 3 (x) x x 2 x 3 und dher nch dem Stz 5.29 von uß F (x) ds div Fdx K 5 K 2x 2 (x 2 + x x 2 3) 5/2

29 im Widerspruch zu (5.3). Ws ist schiefgelufen? Die Divergenz von F ist gleich Null für lle x, ber ungleich Null für x. enuer gesgt hben wir eine Singulrität in x, die so strk ist, dß ds Integrl div Fdx2π gemäß obiger Rechnng ist. K Stz 5.29 von uß eine hteinfche Interprettion: Der Fluß des Vektorfeldes F durch den Rnd eines ebietes ist gleich der Stärke der Quellen bzw. Senken (Divergenz) von F in diesem ebiet. Der Stz knn uch dzu benutzt werden, um Trnsportleichungen herzuleiten. Betrchte etw eine Flüssigkeit mit Dichte ϱ(x, t) und Teilchenfluß J(x, t). Die zeitliche Änderung der Flüssigkeitsmsse in einen ebiet d ϱ(x, t) dx dt ist gleich dem Fluß der us dem ebiet herus- oder hineintretenden Teilchen: J(x, t) n(x) ds, wobei es genügt, nur die Normlkomponente J n zu berücksichtigen (flls J n,istder Fluß tngentil zum Rnd, und es fließen keine Teilchen hinus oder herein). leichsetzen der beiden leichungen und Anwenden des Stzes 5.29 von uß führt uf ϱ t (x, t) dx d ϱ(x, t) dx J(x, t) n(x) ds div J(x, t) dx. dt Für lle ebiete R 3 gilt lso ( ) ϱ t div J dx. Dnn muß uch der Integrnd verschwinden (wenn die Funktionen stetig sind): ϱ t div J, x R3,t R. Mn nennt diese leichung eine Trnsportgleichung für die Teilchendichte. 6

30 Frgen zum Selbsttest:. Ds Oberflächenintegrl von einem stetigen Sklrfeld f über die Kugeloberfläche mit Rdius R um den Ursprung lutet, wobei R sin θ cos φ g(θ, φ) R sin θ sin φ, R cos θ () (b) (c) 2π π 2π π 2π π f(g(θ, φ))r 2 sin θdθdφ, f(g(θ, φ))r sin θdθdφ, f(g(θ, φ)) sin θdθdφ. 2. Ds Oberflächenintegrl von einem stetigen Vektorfeld F : S R 3 über eine durch g : Q S prmetrisierte Oberfläche S lutet, wobei n(s, t) dieäußere Normle n S ist: () F (g(s, t)) n(s, t) ds dt, Q (b) F (g(s, t)) n(s, t) ds dt, Q (c) F (g(s, t)) n(s, t) ds dt. 3. Der Stz von uß für ein ebiet R 3 mit Rnd, äußerer Normle n(x) und stetig prtiell differenzierbrem Vektorfeld F : R 3 lutet: () F (x) dx (F n) ds, (b) div F (x) dx (F n) ds, (c) div F (x) dx (F n) ds 4. Es erfüllen R 3 und F : R 3 den Stz von uß. Außerdem sei div F. Dnn gilt (F n) ds () immer, (b) mnchml (hängt von F b), (c) nie. 7

31 5. Es erfüllen R 3 und F : R 3 den Stz von uß. Der Wert von (rot F ) nds lutet: (), (b) 2π, (c) irgendein Wert von R\{} (hängt von F b). 6. Seien R 3 ein ebiet mit Rnd und f : R zweiml stetig prtiell differenzierbr. Der Wert von ( f n) ds lutet: (), (b) 2π, (c) irgendein Wert von R\{} (hängt von f b). Richtig Antworten: ; 2b; 3b; 4; 5; 6c. 8