Aufgabe 1 (12 Punkte)

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1 Techn. Mechanik & Fahrzeugdynamik Optimierung Prof. Dr.-Ing. habil. D. Bestle 7. September 8 Familienname, Vorname Matrikel-Nummer Prüfung Optimierung dynamischer Systeme Fachrichtung. Die Prüfung umfasst 6 Aufgaben auf 6 Blättern.. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden.. Zugelassene Hilfsmittel: Fachliteratur, eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner; keine Mobiltelefone! 6. Bearbeitungszeit: 9 min 7. Unterschreiben Sie die Prüfung bitte erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. Aufgabe ( Punkte) Eine Familie sucht für den Sommerurlaub eine Ferienwohnung mit mindestens zwei Schlafzimmern. Eine Recherche für den gewünschten Badeort ergibt nebenstehende Angebote i mit Preisangabe P i, Entfernung E i zum Strand und Schlafzimmeranzahl S i. Die Familie hat höchstens 3. zur Verfügung. a) Formulieren Sie ein sinnvolles Optimierungsproblem für die Familie: Entwurfsvariable: Entwurfsziele: Nebenbedingungen: b) Tragen Sie alle zulässigen Angebote in den Kriterienraum ein und bezeichnen Sie die Punkte jeweils durch den Index i der entsprechenden Ferienwohnung. E i /[m]. i P i in [ ] E i in [m] S i (Unterschrift). Punkte Note Gesamtpunktzahl: 74 zum Bestehen erforderlich: /[ ] P i

2 c) Welche Ferienwohnungen bilden für die Familie optimale Kompromisse? i { } d) Für eine Entscheidungsfindung wendet die Familie das Prinzip der Kniesuche an. Welche Ferienwohnung ist demnach auszuwählen? Machen Sie das Vorgehen im Kriterienraum sichtbar. = i Aufgabe (3 Punkte) Die die zu minimierende Gütefunktion eines unrestringierten Optimierungsproblems lautet f ( ) = p cos p + p ( ) ( ) p. ( p + ) a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hessematrix. f =, = f. b) Welcher Gradient und welche Hesse-Matrix ergeben sich am Entwurfspunkt p = [ ] T? f, = 3 f, = f = f = 3, f = f =, f = f = c) Welche Suchrichtung in p würde das Newton-Verfahren für den nächsten Iterationsschritt vorschlagen? s = = ( Formel ) d) Bestimmen Sie die Funktion der Liniensuche an der Stelle p in Richtung von s. p ( ) α = ( ) α f =

3 p. Zeichnen Sie die Suchrichtung s am Entwurfspunkt p in die Abbildung ein und bestimmen Sie grafisch das Maximum p der Liniensuche. e) Das nachfolgende Bild zeigt die Höhenlinien der Funktion f ( ) Aufgabe 3 (8 Punkte) Für die Liniensuche des Optimierungsproblems aus Aufgabe ergibt sich an T einem anderen Entwurfspunkt p = [. π,.] folgende Funktion f ( α) : f p α p p Die Suche nach dem Minimierer α * soll ausgehend von α = mit dem Goldenen Schnitt Algorithmus durchgeführt werden. a) Suchen Sie zunächst ein Einschließungsintervall für den Minimierer α * ausgehend von der Anfangsschrittweite α =. Welches erste sichere Einschließungsintervall erhält man am Ende der Suche? Machen Sie die ausgeführten Iterationsschritte graphisch sichtbar. α i f i [ ] α*, b) Führen Sie ausgehend vom gefundenen Einschließungsintervall zwei Intervallteilungsschritte nach den Goldenen Schnitt Regeln aus und geben Sie das Ergebnisintervall an, in dem der Minimierer α * sicher liegt. Iteration Einschließungsintervall Zwischenpunkte α LINKS α RECHTS α links α rechts [ ] α*,

4 Aufgabe 4 ( Punkte) Das Optimierungsproblem aus Aufgabe wird um zwei Nebenbedingungen erweitert, d.h. min cos +, 4, 3 ( + ) p p p p p p p ( ) ( ) ( ), und soll mit Hilfe der Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen gelöst werden. a) Wie lautet das Problem in Standardform? ( ) ( ) min cos p p + p = mit P p p P ( + ) p b) Wie lautet die Lagrange-Funktion? L = c) Wie lauten die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen für obiges Problem? p p μ μ = = = = =, μ h =, μ =, μh =, μ d) Wie viele Fälle sind zu untersuchen? e) Reduzieren Sie die KKT-Bedingungen auf den Fall, dass die Nebenbedingung p 4 aktiv und die andere inaktiv ist. p =, = μ = p f) Welche Lösung ergibt sich daraus? p * =, μ * = g) Welche Aussage kann man über den Punkt p * machen? p * ist Minimierer p * könnte Minimierer sein h) Skizzieren Sie im Entwurfsraum die Nebenbedingungen und bestimmen Sie graphisch den tatsächlichen Minimierer p. p 4 3 global p

5 Aufgabe (7 Punkte) Das restringierte Optimierungsproblem aus Aufgabe 4 soll nun mittels SUMT- Verfahren gelöst werden. a) Welche Art von Verfahren kann benutzt werden, um das restringierte Optimierungsproblem in ein unrestringiertes zu überführen? Penalty-Verfahren Barriere-Verfahren b) Formulieren Sie die Ersatzgütefunktion des unrestringierten Optimierungsproblems unter Verwendung des Penalty-Verfahrens. p 4 3 Φ = p, const. für Φ p mit p *, p *. c) Die nebenstehende Abbildung zeigt die Höhenlinien Φ ( r) = r =.8. Markieren Sie die lokalen Minimierer von (,.8) d) Welcher der beiden Minimierer ist zulässig im Sinne des Originalproblems in Aufgabe 4? p p * p * beide keiner

6 Aufgabe 6 (4 Punkte) Für das Mehrkriterienoptimierungsproblem pp ( ) { } mit P= p p i 3 für i =, p min p P f ( p) sind die optimalen Kompromisse zu finden. a) Kennzeichnen Sie die Menge der zulässigen Entwürfe im Entwurfsraum mit P. p d) Zeichnen Sie die Nebenbedingungen Kriterienraum ein. f f b) Invertieren Sie die Abbildung f ( p ) des Vektorkriteriums in p( f ). f = pp p = f = ( p ) p = c) Transformieren Sie die Nebenbedingungen in den Kriterienraum. p p 3 p p 3 p. e) Kennzeichnen Sie die Pareto-optimalen Lösungen sowohl im Kriterienraum als auch im Entwurfsraum. f) Beschreiben Sie die Pareto-optimale Front im Kriterienraum mathematisch. P F = f { } E N D E