12 Stoßprobleme. Bezeichnung

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Katrin Schmidt
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8 Stoßprobleme Stöße sind kurzzeitige Körperkontakte mit großen Kontaktkräften, die zu sprungförmiger Änderung des Geschwindigkeitszustands führen.

1 8 Stoßprobleme Stöße sind kurzzeitige Körperkontakte mit großen Kontaktkräften, die zu sprungförmiger Änderung des Geschwindigkeitszustands führen. Theoretisch könnte man ein solches Stoßproblem mit den bereits bekannten Methoden der Mehrkörperdynamik lösen, müßte dazu aber ein Kraftgesetz am Berührpunkt definieren. Da Stöße jedoch in sehr kurzer Zeit ablaufen und die dabei auftretenden Verformungen sehr klein sind, läßt sich das Vorgehen durch Grenzübergang wesentlich vereinfachen. Dabei vernachlässigt man die Verformungen und betrachtet die stoßenden Körper als starr. Weiterhin betrachtet man die Stoßzeit als vernachlässigbar kurz, d.h. t 0. Da die Körper sich nur mit endlicher Geschwindigkeit bewegen, kann die Lageänderung während des Stoßes vernachlässigt werden. Auch endlich große Kräfte wie Gewichtskräfte, Feder- oder Dämpferkräfte erzeugen damit nur einen vernachlässigbar kleinen Kraftstoß. Die Stoßkräfte im Kontaktpunkt und in Bindungen werden dagegen unendlich groß, so dass sie einen endlich großen Kraftstoß erzeugen, der Einfluß auf die Impuls- und Drallbilanzen der beteiligten Körper hat. Das rechnerische Vorgehen entspricht dem bei Mehrkörpersystemen: Zunächst schneidet man die stoßenden Körper frei und ersetzt Kontakte und Bindungen durch äquivalente Kraft- und Momentenstöße. Anschließend formuliert man Impuls- und Drallbilanzen, welche die sonst üblichen Impuls- und Drallsätze ersetzen. Zusätzlich muss man an den Kontaktstellen ein Stoßgesetz für die Differenzgeschwindigkeiten der Kontaktpunkte in ormalenrichtung vor und nach dem Stoß formulieren. Dies führt auf ein System von linearen Gleichungen, das mit den Hilfsmitteln der linearen Algebra zu lösen ist. Bezeichnungen: P T Index Bezeichnung, + Zeitpunkt unmittelbar vor (t ) bzw. nach (t + ) dem Stoß,,... stoßender Körper T, Tangential- und ormalen- Richtung P Kontaktpunkt C

2 8 Stoßprobleme. Stoßarten Stöße lassen sich hinsichtlich ihrer Kinematik und Werkstoffpaarung klassifizieren: zentrischer Stoß C Schwerpunkte liegen auf Stoßnormale exzentrischer Stoß C gerader Stoß v C v Schwerpunktsgeschwindigkeiten in Richtung Stoßnormale schiefer Stoß C v v glatter Stoß F F Kontaktkräfte in ormalenrichtung rauer Stoß F F tangentiales Haften elastischer Stoß: Erhaltung der kinetischen Energie T T plastischer Stoß: Körper bleiben im Berührpunkt haften v P v P

3 Stoßprobleme 83. Grundgleichungen Einführendes Beispiel: Exzentrischer Stoß einer Kugel auf einen Stab M, I C l m v 0 t : unmittelbar vor dem Stoß Stoß t t t : unmittelbar nach dem Stoß F c v F S F S v Impulssatz: mv. F S Mv. F S F c Drallsatz: I C. l F S Integration über Stoßintervall Impulsbilanzen: mv mv p Mv Mv p Drallbilanz: I C I C l p mit p t F S dt t

4 84 Stoßprobleme Werkstoffpaarung am Berührpunkt P: elastischer Stoß Energiebilanz T T mv Mv I C mv Mv I C m v v M v v I C 0 m v v v +v M v v v +v I C + 0 v v v v l 0 v l v v l v v P v P [v P v P ] oder v P v P plastischer Stoß Haften am Kontaktpunkt nach dem Stoß: v P 0 allgemeiner Stoß voneinander Lösen mit partiellem Energieverlust v P v P mit 0 : elastisch 0 plastisch 0 teilelastisch, teilplastisch Allgemeines Vorgehen zur Lösung von Stoßaufgaben ) Zeichnen des Systems in der Stoßkonfiguration und Festlegen aller Geschwindigkeiten v i, i unmittelbar vor dem Stoß ) Freischneiden aller Körper, Ersetzen der Kontaktstellen und Bindungen durch unbekannte Kraftstöße p k F k dt und Momentenstöße L k M k dt (Beachte actio! reactio, icht Stoßkräfte werden vernachlässigt) 3) Formulierung der Grundgleichungen für alle Körper und Stoßpaarungen: Impulsbilanz: p i p i p k mit p mv C Drallbilanz: L i L i rk p k L k mit L I C, C: Schwerpunkt oder L I O, O: Fixpunkt Werkstoff: v P v P mit 0 Stoßzahl Werkstoffe, Kontaktgeometrie, Stoßgeschwindigkeiten 4) Elimination der Kraft- und Momentenstöße, Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß

5 Stoßprobleme 85.3 Stoßbeispiele Gerader, zentrischer Stoß zweier Kugeln v v C m m v m m m v m v m (v v ) v m m m v m v m (v v ) speziell: plastischer Stoß: 0 v v m v m v m m Haften nach dem Stoß gleich große elastische Kugeln:, m m v v, v v Geschwindigkeitsaustausch elastische Kugel gegen stehende Wand:, m, v 0 v lim m m m v m m v Rückprall Elastischer, glatter, schiefer, zentrischer Stoß einer Kugel gegen eine Wand v p m v0 v T Impulsbilanz in ormalenrichtung mv mv p Werkstoffpaarung ( ) Tangentialrichtung mv T mv T v v v T v T v 0 sin v v v 0 cos

6 86 Stoßprobleme Stoß eines gelagerten Stabes m, I C 0 P P s l Rückprall: 0 Lagerstoß: p L I C ms msl ( ) l 0 speziell: stoßfreies Lager, p L! 0 l I C ms ms L red m, I C ^ m s L red

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