Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 14. Oktober 2009

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1 Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 14. Oktober 2009 Inhaltsverzeichnis 3.8 Einfache Anwendungen der Newton schen Prinzipien Statische Beispiele Einfache Systeme mit Normalkräften und Reibung Kraftstösse Anwendungen der Newton schen Prinzipien Statische Beispiele Einfache Systeme mit Normalkräften und Reibung Klotz auf der schiefen Ebene: Das typische Experiment zur Bestimmung des Haftreibungskoeffizienten benutzt eine schiefe Ebene mit verstellbarem Neigungswinkel. Solange der Körper ruht, folgt aus dem Aktionsprinzip z N R x F = i F i = G + N + R = 0 Wählen wir die x und die z Richtung in geeigneter Weise, so ist α G F x = G sin α + R H = 0 R H = mg sin α F z = N G cos α = 0 N = mg cos α Sowohl R H wie N sind Funktionen des Winkels. Die Normalkraft, die die Unterlage auf den Klotz ausübt, ist auch hier nicht gleich dem Gewicht. Wird der Winkel verändert, so beginnt bei einem bestimmten Winkel α 0 der Klotz an zu gleiten. Kurz bevor dies eintritt, erreicht die die Haftreibung ihren Maximalwert R H = µ H N = µ H mg cos α 0 = mg sin α 0 tan α 0 = µ H Kind mit Schlitten: Für die Analyse der in Abbildung 3.1 gezeigten Situation nehmen wir an, dass der Schlitten gleitet, das Kind jedoch am Boden haftet. Das 2. Newton sche Prinzip separat angewendet auf den Schlitten und das Kind ergibt Kind m K a = G K + N K + R H + F ZSK 3.1

2 N S G S F KS N K F SK GK Abbildung 3.1: Ein Kind zieht einen Schlitten. Die Kräfte vom Boden auf den Schlitten und das Kind sind eingezeichnet, ebenso die Gewichtskräfte und die Zugkäfte. R G R H Schlitten m S a = G S + N S + R G + F ZKS Da die Vertikalkomponente der Beschleunigung gleich Null ist, gilt m K a z = 0 = G K + N K G K = N K G S = N S In Horizontalrichtung erhalten wir m K a x = R H F ZSK m S a x = R G + F ZKS Addieren wir die beiden Gleichungen, so fällt F ZSK = F ZKS heraus, wie das immer für innere Kräfte eines Systems gilt und man bekommt a x = R H R G m K + m S µ Hm K g µ G m S g m K + m S. Je grösser die Masse des Kindes relativ zum Schlitten ist, umso mehr kann es ihn beschleunigen, ohne auszugleiten. Wenn m K /m S µ G /µ H gilt, kann das Kind den Schlitten nicht bewegen. Waagen: Wird eine Waage mit einem Gegenstand belastet, so zeigt sie einen Ausschlag der dem Gewicht des Gegenstands entspricht. Wenn man allerdings die Situation etwas genauer betrachtet und die Bilanz der Kräfte sowohl für die Waage als auch den darauf liegenden Gegenstand zieht, wie das im folgenden getan wird, dann stellt man fest, dass die Waage präziser formuliert die Normalkraft des Gegenstands auf die Waage anzeigt. Dies hat für den meistens auftretenden Fall des ruhenden Gegenstands, den wir am Beispiel zweier kleiner Permanentmagnete untersuchen, keine Konsequenzen (siehe Abbildung 3.2). Hier ist diese Normalkraft gerade gleich gross wie das Gewicht, wenn auch entgegengesetzt gerichtet. Im später untersuchten Fall eines sich bewegenden Gegenstands auf der Waage (siehe Abbildung 3.3) oder für den Fall, wo man eine Waage in einen Fahrstuhl stellt, ist die Normalkraft nicht gleich dem Gewicht. Je nach Beschleunigung des Gegenstands oder der Waage kann die Normalkraft grösser oder kleiner als das Gewicht sein, und entsprechend verschieden eben auch die Anzeige der Waage. Stellt sich ein Mensch auf eine sehr empfindliche Waage, so zeigt diese eine variable Normalkraft und einen sich verändernden Ausschlag, auch wenn er sich nicht bewegt. Dies rührt vom Blutstrom her, der im Takt des Herzschlags beschleunigt ist. 3.2

3 G1 N WK F 21 G1 N WK G 2 F 12 G 2 N KW N KW G 1 + G 2 + N W K = 0 N W K = N KW = 2mg G 1 + F 21 = 0 G1 = F 21 = F 12 G 2 + F 12 + N W K = 0 G 2 + G 1 + N W K = 0 N W K = N KW = 2mg Abbildung 3.2: Magnete auf der Waage mit entgegengesetzten Polen gegeneinander (links) oder mit gleichnamigen Polen gegeneinander (rechts). In beiden Fällen zeigt die Waage einen Ausschlag, der dem doppelten Gewicht eines einzelnen Magneten entspricht. F RF Rahmen F FR GR x F x K = 2 x F 2 a F = a K N W R = N W R,1 + N W R,2 = N RW,1 N RW,2 = N RW x N WR 1 F KF F FK G F Feder Kugel G K x K N WR 2 Die Anwendung des 2. Newton schen Prinzips ergibt Rahmen NW R + G R + F F R = 0 Feder FKF + G F + F RF = m F a F Kugel FF K + G K = m K a K System NW R + G = (m K m F ) a K Für die x Komponente: N RW 1 N RW 2 N W R + (m R + m K + m F )g = (m K m F )a xk N W R = Mg (m K m F )a xk = N RW Waage Abbildung 3.3: Federpendel auf der Waage: Die in den Gleichungen verwendeten Indices bedeuten R = Rahmen, F = Feder, K = Kugel, W = Waage. Wenn sich dei Kugel von unten nach oben bewegt, ändert sich die Beschleunigung von ihrem negativen zu ihrem positiven Extremwert. Der Ausschlag der Waage ist am grössten, wenn sich die Kugel im untersten Punkt, und am kleinsten, wenn sich diese im obersten Punkt befindet. 3.3

4 3.8.2 Kraftstösse Wir betrachten die Geschwindigkeitsänderung beim elastischen Stoss zweier Kugeln für den Fall gleichgrosser Kugeln, die sich einander mit gleichgrosser Geschwindigkeit nähern und noch dazu zentral aufeinanderstossen. Wir zerlegen den zeitlichen Ablauf des Stossprozesses in drei Abschnitte, vor dem Stoss, nach dem Stoss, wo sie sich mit nunmehr entgegengesetzt gleichen Geschwindigkeiten voneinander weg bewegen, und während des Stosses, wo sie sich berühren und gegenseitig deformieren (siehe Abbildung 3.4). v 1 v 2 F 1 F 2 x v 1 v 2 Vor dem Stoss Einzelimpulse: p 1x = mv 0 p 2x = mv 0 Gesamtimpuls: p x = 0 Während des Stosses Impulsänderung: p 1x = 2mv 0 p 2x = 2mv 0 Gesamtimpuls: p x = 0 Kraft auf Kugel 1: F 1x (t) Kraft auf Kugel 2: F 2x (t) Nach dem Stoss Einzelimpulse: p 1x = mv 0 p 2x = mv 0 Gesamtimpuls: p x = 0 Abbildung 3.4: Einfacher Stossprozess zweier Kugeln. Die Änderung des Einzelimpulses dp 1x im Zeitintervall dt ist nach dem Newton schen Aktionsprinzip mit der während des Stosses wirkenden, zeitabhängigen und deformierenden Kraft F 1x (t) verbunden dp 1x = F 1x (t) dt Zwar ist der detaillierte zeitliche Verlauf der Stoss- oder Deformationskraft F 1x (t) nicht bekannt, wir kennen aber das Resultat ihrer Wirkung, nämlich die gesamte Impulsänderung p 1x und eventuell auch noch die Stosszeit t i t f. Diese Kenntnisse können wir nutzen: p 1x = p 1x (t i ) p 2x (t f ) = 2mv 0 = tf t i dp tf 1x dt dt = F 1x (t)dt t i Die beobachtete Impulsänderung erlaubt es uns zum mindesten auf das Zeitintegral der wirkenden Kraft zurückzuschliessen. Man nennt dieses Integral Kraftstoss. Die Einheit des Kraftstoss ist [Ns], d. h. Kraft Zeit. In allgemeiner Form ergibt sich für einen Stoss, bei dem während einer kurzen Zeit τ = t f t i eine Kraft F wirkt p = p f p i = τ 0 F (t)dt Wenn die Impulsänderung bekannt ist, kann zwar nicht auf die Kraft F und ihren zeitlichen Verlauf, aber wenigstens auf die während des Stosses wirkende mittlere Kraft F geschlossen werden, wenn die Stossdauer τ bekannt ist oder geschätzt werden kann 3.4

5 p = F τ. Bei vorgegebenem p kann offenbar die Kraft und ihre zerstörerische Wirkung durch absichtliche Verlängerung der Stossdauer verringert werden. Bekannte Beispiele hierzu sind das Abfedern eines Sprungs durch Kniebeugen, der Einbau von Sicherheitsgurten und leichter deformierbaren Knautschzonen in Automobilen, die Verwendung von Styrophorverpackungen. Auch bei sehr grossen Kräften kann bei extrem kleinen Stosszeiten die resultierende Wirkung relativ klein sein, wie dies der Durchschuss eines leeren Plastikbechers zeigt (im Gegensatz zum mit Wasser gefüllten Becher mit langer Stosszeit) oder das Experiment des Wegziehens eines Tischtuchs unter dem aufgedeckten Geschirr. Als numerisches Beispiel benützen wir das Tennisspiel: Die Stosszeit bei einem Schlag hängt davon ab, wie stark die Saiten des Schlägers bespannt sind. Bei Amateurspielern mit nicht allzu hart bespanntem Schläger kann man etwa Stosszeiten von 4 ms messen (Abbildung 3.5). Abbildung 3.5: Tennisspiel: Die Kürze der Stosszeit lässt keine Änderung der Führung des Ball während des Kontakts zu, d. h. die richtige Schlägerhaltung muss bereits vor der Schlag eingenommen werden, der gewünschte Drall mit dem richtigen Schlagansatz geplant werden. Bei einem Ballgewicht von etwa 60 g, einer Ballgeschwindigkeit von 108 km/h (etwa 200 km/h erreichen extrem gut aufschlagende Professionals) ist die Impulsänderung und die mittlere Kraft p = 2mv = [Ns] F = p [N] = 900 [N] Die mittlere Kraft entspricht also etwa dem Körpergewicht des Spielers, die Beschleunigung des Balls etwa 150 g. Bei einer Platzlänge von 24 m, einem Zeitintervall von 1.6 s zwischen den Schlägen kann man ohne Unterbruch etwa 2000 Schläge pro Stunde ausführen. Dabei ist der Ball insgesamt 8 s mit Schläger in Kontakt. Wenn man von ein Amateur damit rechnet, etwa 60 Stunden mit einer Bespannung spielen zu können, dann entspricht dies etwa 8 Minuten Haltbarkeit bevor eine Saite reisst. 3.5