Technische Mechanik III Übungsblatt Nr. 9

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1 Institut für Technische Mechanik Prof. Dr.-Ing. C. Proppe Prof. Dr.-Ing. W. Seemann Name: Testat: Termin: (jew. 19:00 Uhr) Vorname: Di., Matr. Nr.: Technische Mechanik III Übungsblatt Nr. 9 Thema: 1. Kinetik der Massenpunktsysteme (II): Stoßorgänge 2. Vorgänge mit Massenzufuhr und Massenabfuhr Formelsammlung: 1. Stoßorgänge: Auswertung des Impulssatzes: (Bezeichnung siehe Übungsblatt TM III,1/7) F dt m(v ) I. Gerader zentraler Stoß: 1 2 S 1 m 2 S 2 Stoßnormale ε Stoßzahl real, 0 ε 1 ollelastisch, ε 1 ollplastisch, ε 0 V 1 1 m 2(1+ε) ( 1 2 ) V 1 1 2m 2 ( 1 2 ) V 1 1 +m 2 2 V (1+ε) ( 1 2 ) V ( 1 2 ) V 2 V 1 m 2 T 1 2 ( 1 2 ) 2 (1 ε 2 ) T 0 T 1 2 ( 1 2 ) 2 m 2 ε V 2 V Energiesatz + Kinematik m S II. Schiefer zentraler Stoß: 1 S Impulssatz ektoriell auswerten: Für Normalkomponenten: Für Tangentialkomponenten: Stoßnormale wie gerader Stoß wenn glatte Stoßränder, dann diese ungeändert. 2. Massenzufuhr, Massenabfuhr Grundgleichung: y ṁ i, rel,i x m F ges ṁj, rel,j F ges + N ṁ i rel,i m i1 mit F ges Summe aller äußeren Kräfte m ṁ i, i rel,i eränderliche Masse stetige Massenänderung (ṁ i > 0: Zufuhr, ṁ i < 0: Abfuhr) Absolutgeschwindigkeit, Absolutbeschleunigung on m Absolutgeschwindigkeit des Massenstroms ṁ i i Relatigeschwindigkeit des Massenstroms ṁ i

2 Aufgabe II/2 9 Beispiel Zwei Kugeln erschiedener Masse und m 2 und den Geschwindigkeitskomponenten 1 und 2 stoßen - wie in der Skizze angegeben - zentral zusammen. Alle Vorgänge erlaufen reibungsfrei, der Stoß sei zudem ollelastisch. 1. Man gebe die Geschwindigkeiten 1, 2 der beiden Kugeln or dem Stoß im kartesischen Koordinatensystem an. 2. Durch Anwenden des Impulssatzes berechne man die Geschwindigkeiten V 1 (V 1x,V 1y ) und V 2 (V 2x,V 2y ) der Kugeln nach dem Stoß. 3. Wie muss das Massenerhältnis m 2 gewählt werden, damit sich die Kugel m 2 nach dem Stoß unter dem Winkel α 45 weiterbewegt, wenn die Geschwindigkeiten or dem Stoß betragsmäßig gleich sind ( 1 2 )?

3 Lösung zur Aufgabe II/2 9: 1. Geschwindigkeiten or dem Stoß: 1x 1 : 1 0 1y m 2 : 2 2x 2y Geschwindigkeiten nach dem Stoß: : V 1 1 V1x V 1y ; m 2 : V 2 y V2x V 2y Stoßnormale y Ri : s 1 F F s 2 o m x 1 m 2 m 2 : x Ri : Energiesatz: ; Impulsgleichungen: : x Ri : y Ri : ( F)dt (V 1x 1x ) (1) 0 dt 0 (V 1y 1y ) (2) }{{} 0 Fdt m 2 (V 2x 2x ) (3) }{{} 0 0 dt 0 m 2 (V 2y 2y ) (4) 2 (2 1x + 1y 2 ) + m 2 }{{} 2 (2 2x + 2 }{{} 2y) 2 (V 1x 2 + V1y) 2 + m 2 2 (V 2x 2 + V2y) 2 (5) 5 Gleichungen für 5 Unbekannte; Lösung: Aus (2): V 1y 0 (6) ; aus(4) : V 2y 2y (7); (1) + (3) : (V 1x 1x ) + m 2 V 2x 0 (8) Aus (5) mit (6) und (7): (V 2 1x 2 1x) + m 2 V 2 2x 0 (9) Aus (8) und (9) : Ergebnis: V 1 V 2x 1x 2 + m 2 ; V 1x 1x m 2 + m 2 1 m 2 0 ; V Anmerkung: Ergebnis schneller herleitbar unter Benutzung der Formeln für den geraden Stoß in Normalenrichtung sowie der Tatsache, dass die Tangentialkomponenten unerändert bleiben! 3. Massenerhältnis /m 2 : tanα V 2y V 2x! tan 45 1 Mit 1 2 wird: 1 + m m 2 m 2 Ergebnis: m 2 1

4 Aufgabe II/2 21 Beispiel Eine Druckluft-Förderanlage fördert körniges Stückgut der Gesamtmasse m L mit der konstanten Ausströmgeschwindigkeit c om Antriebswagen auf einen starr angekuppelten leeren Anhänger. Zu Beginn des Förderorganges bewegt sich das System antriebslos mit der Geschwindigkeit 0. Von Reibungseinflüssen wird abgesehen. Antriebswagen und Anhänger haben ein Leergewicht on 2 m 0 bzw. m 0. Die Massenabnahme des Antriebwagens sei ṁ 1 µ konst, die Massenzunahme des Anhängers ṁ 2 α konst. Infolge Streuwirkung ist stets α µ. 1. Durch Freischneiden der beiden Wagen und Anwenden der Grundgleichung für Massenzufuhr und Massenabfuhr bestimme man die Bewegungsgleichung während des Förderorganges. 2. Man bestimme die Geschwindigkeit (t) des Systems während des Förderorganges und die dabei herrschende Stangenkraft S(t) in der Kupplungsstange. 3. Für m L m 0 und α µ 2 (t T ). berechne man die Stangenkraft S(t) unmittelbar or Förderende

5 Lösung II/ Bewegungsgleichung: Freischneiden: (t) (t) rel,1 S rel,2 S (t) m 2 (t) Grundgleichung: F 1,2 + ṁ 1,2 rel1,2,2 1,2 F, F, (t) 2m 0 + m L µt m 2 (t) m 0 + αt F 1 Se x F 2 Se x Ce x rel,2 Ce x rel,1 1 e x 2 e x (starr angekuppelt) S + ( µ)( C) (2m 0 + m L µt) (1) S + (α)( C) (m 0 + αt) (2) (1) + (2) : C(µ α) (3m 0 + m L (µ α)t) (Bewegungsgleichung) (3) 2. Geschwindigkeit (t), Stangenkraft S(t) mit den Abkürzungen: µ α ρ, 3m 0 + m L M in (3): (t) Cρ (4) M ρt Cρ M ρt dt + C 1 C ln(m ρt) + C 1 (5) Bestimmung on C 1 : (t 0) 0 C ln M + C 1 C C ln M eingesetzt : (t) 0 + C ln M M ρt (6) S(t) z.b. aus(2): S(t) (m 0 + αt) + Cα mit (4), S(t) (m 0 + αt) Cρ + Cα (7) M ρt 3. S(t) bei Förderende Förderende: m L µt T m L µ, mit m L m 0 : T m 0 µ M 4m 0, mit α µ : ρ µ. 2 2 In (7) eingesetzt: S(T ) (m 0 + µ m 0 ) C µ 2 2 µ 4m 0 µ m 0 + C µ 2 µ 2 S(T ) 5 Cµ (8) 7

6 Aufgabe II/2 12 zu bearbeiten y A r α 1 y Gegner g a B m 2 ϕ r O x r m 3 Loch x b Ein Billardspieler will mit der Spielkugel die Kugel m 3 in das Loch spielen. Da ihm dabei der direkte Weg durch eine gegnerische Kugel ersperrt ist, spielt er die Kugel m 3 über m 2 indirekt an. Er spielt also auf m 2, wobei bei diesem Stoß die Kugel so abgelenkt werden soll, dass sie anschließend m 3 trifft, und diese Kugel sich dann exakt in die x-richtung bewegt und in das Loch fällt. Die einzelnen Abstände der Kugeln sind mit a und b gegeben. Die Kugeln haben alle die gleiche Masse m und gleiche Radien r. Alle Vorgänge erlaufen reibungsfrei, die Stöße sind ollelastisch. 1. Ermitteln Sie den geometrischen Zusammenhang zwischen ϕ und α, wenn sich die Kugel mit der Geschwindigkeit 1 in Richtung der unter dem Winkel α zur y-achse geneigten Geraden bewegt. 2. Durch Anwenden des Impulssatzes finde man die Geschwindigkeit V 1 (V 1x,V 1y ) der Kugel nach dem Stoß mit m Man ermittle den geometrischen Zusammenhang zwischen dem Winkel ϕ und dem Abstand b. (Hinweis: Tangentialkomponenten der Geschwindigkeiten bleiben unerändert!) 4. Man gebe die Geschwindigkeit V 3 (V 3x, 0) der Kugel m 3 nach dem Stoß mit an. Mit den Abständen a 162 mm, b 144 mm und einem Kugelradius on r 24 mm berechne man den Abschusswinkel α sowie die Geschwindigkeit V 3x.

7 Aufgabe II/2 33 zu bearbeiten Es sollen prinzipielle Einflussgrößen auf Schubleistung und Wirkungsgrad on Strahltriebwerken untersucht werden. Betrachtet wird ein Triebwerk, das sich mit der absoluten Fluggeschwindigkeit 0 const durch die Atmosphäre bewegt. Am Lufteintritt strömt die Luft mit der Relatigeschwindigkeit w e in das Triebwerk, wird im Triebwerk beschleunigt und erlässt es mit der Geschwindigkeit w a > 0 w e relati zum Triebwerk. Unter Vernachlässigung der zugeführten Brennstoffmenge gilt aufgrund der Massenerhaltung für die Massenströme ṁ e ṁ a ṁ. 1. Ermitteln Sie mit Hilfe der Grundgleichung für masseneränderliche Vorgänge die Schubkraft F in Abhängigkeit der übrigen Größen. Geben Sie hiermit für stationäre Betriebszustände die Nutzleistung P N F abs an. 2. Bestimmen Sie den Betrag a,abs der absoluten Abgasstrahlgeschwindigkeit und damit die kinetische Energie E kin,a, die der Abgasstrahl trägt. Diese Energie wird nicht genutzt und ist damit erloren. Geben Sie für stationäre Zustände die über den Abgasstrahl abgegebene Verlustleistung P V,a d dt E kin,a an. 3. Unter Vernachlässigung anderer Verluste gilt für die aufgewandte Leistung P A P N + P V,a. Ermitteln Sie den sogenannten Vortriebswirkungsgrad η or P N PA für Windstille und ideale Anströmung. Skizzieren Sie η or in Abhängigkeit om Verhältnis α wa 0 zwischen Turbinenaustrittsgeschwindigkeit und Fluggeschwindigkeit. Hinweis: Ein sinnoller α-bereich ist z.b. α Warum sind Jettriebwerke für langsamfliegende Maschinen weniger sinnoll? Durch welche Maßnahmen lassen sich bei geringen Fluggeschwindigkeiten dennoch hohe Schubkräfte bei gutem Wirkungsgrad realisieren? Zusatz: Ein gängiger Wert für ziile Luftstrahltriebwerke ist α 1.5 (Reiseflug).

8 Aufgabe II/2 1 freiwillig cos ϕ 2 1 m2 1 (1+ε)2 ( (1 cos ϕ ) 2 1 ) l 1 l2 g j 1 j2 1 2 z m 2 Zwei Kugeln mit den Massen und m 2 hängen dicht nebeneinander an parallelen masselosen Stangen mit den Längen l 1 und l 2. Ihre Mittelpunkte befinden sich in gleicher Höhe. Die Kugel wird nun um den Winkel ϕ 1 aus der Lotrechten ausgelenkt und sodann aus dieser Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Für den anschließenden Stoß zwischen und m 2 gelte die Stoßzahl ε. 1. Mit welcher Geschwindigkeit 1 trifft auf m 2? 2. Welche Geschwindigkeiten V 1 bzw. V 2 besitzen die Kugeln unmittelbar nach dem Stoß? (allgemein und speziell für ε 1, m 2 m) 3. Bis zu welchem Winkel ϕ 2 schwingt die Kugel m 2 nach dem Stoß aus? 4. Bei welchem Längenerhältnis l 1 l 2 erreicht das Pendel m 2 gerade die Überkopflage? Es gelte: ϕ 1 90, ε 1 2, m 2 m.