3. Kinetik eines Massenpunktes

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1 3. Kinetik eines Massenpunktes 3.1. Grundgesetze 3.2. Freie Bewegung, schiefer Wurf 3.3. Geführte Bewegung 3.4. Widerstandskräfte 3.5. Impulssatz, Stoß 3.6. Momentensatz 3.7. Arbeitssatz, Potentielle Energie, Energiesatz 3.8. Prinzip von d'alambert 3.9.Lagrangesche Gleichungen 2. Art TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 1

2 3.1. Grundgesetze Bis jetzt: Nur kinematische Größen: Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg Kinetik: Verbindung Kräfte kinematische Größen Modell ist zunächst (in Kap. 3) der Massenenpunkt. Drei Newtonsche Grundgesetze (1687) Zusammenfassung aller experiementeller Erfahrungen haben axiomatischen Charakter, können nicht bewiesen werden TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 2

3 1. Newtonsches Gesetz Wenn auf einen Massenpunkt keine Kraft wirkt, so ist der Impuls konstant. p = m v = const Der Impuls (Bewegungsgröße) ist ein Vektor. Ein Massenpunkt führt eine geradlinige, gleichförmige Bewegung aus, solange auf ihn keine resultierende Kraft wirkt. Mit v = 0 (Körper bleibt in Ruhe) ist der Sonderfall der Statik enthalten. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 3

4 2. Newtonsches Gesetz Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der auf den Massenpunkt wirkenden Kraft. d p dt = d m v dt = F dm dt = 0 Wenn die Masse konstant ist bleibt: d p dt = m d v dt = m a = F Masse * Beschleunigung = Kraft Dimension der Kraft? [N]=[ kg m ] s 2 Für F = 0 folgt das 1. Newtonsche Gesetz. Auch dynamisches Grundgesetz oder Kräftesatz genannt. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 4

5 Einschränkungen: 2. Newtonsches Gesetz 1. Gilt für ruhendes Bezugssystem (Inertialsystem reine Translation mit v = const) Wenn kein Inertialsystem, siehe Relativbewegung 2. Gilt für Geschwindigkeiten, die viel kleiner sind, als die Lichtgeschwindigkeit (c km/s) Gesetze der Relativitätstheorie anwenden Körper in der Nähe der Erdoberfläche: G = m g, g=9,81 m s 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 5

6 3. Newtonsches Gesetz Zu jeder Kraft gibt es eine entgegengesetzt gerichtete gleich große Gegenkraft actio = reactio Schnittprinzip Freikörperbild alle Aussagen über Kräfte aus TM1 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 6

7 3.2. Freie Bewegung 3 Bewegungsmöglichkeiten im Raum 3 Freiheitsgrade Zahl der Freiheitsgrade in der Ebene? Wenn die Bewegung in keiner Richtung behindert wird freie Bewegung Beschreibung durch die 3 Komponenten der Vektorgleichung: F = m a Zwei Fragestellungen: Wie groß sind die zur Bewegung notwendigen Kräfte, wenn der Ablauf der Bewegung bekannt ist? Direkt aus F = m a Wie verläuft die Bewegung, wenn die Kräfte gegeben sind? Aus F =m a die Beschleunigung bestimmen, dann zweimal integrieren, um Geschwindigkeit und Weg zu ermitteln. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 7

8 Anwendung für freie Bewegung schiefer Wurf Gegeben: m abgeworfen bei t=0 unter Winkel mit Geschwindigkeit v 0. Ohne Luftwiderstand Gesucht: Bewegungsgleichungen, Bahngleichung, Wurfweite x w, Wurfzeit t w, Wurfhöhe y h Lösung: Einzige Kraft: G Ebenes Problem in z-richtung alles = 0 m ẍ = 0 m ÿ = G = m g ẋ = C 1 ẏ = g t C 3 x = C 1 t C 2 y= 1 2 g t 2 C 3 t C 4 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 8

9 Anwendung für freie Bewegung schiefer Wurf Anfangsbedingungen: ẋ 0 = v 0 cos C 1 = v 0 cos x 0 = 0 C 2 =0 ẏ 0 = v 0 sin C 3 = v 0 sin y 0 = 0 C 4 =0 Bewegungsgleichungen: ẋ t = v 0 cos x t = v 0 cos t ẏ t = g t v 0 sin y t = 1 2 g t 2 v 0 sin t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 9

10 Anwendung für freie Bewegung schiefer Wurf Bahngleichung quadratische Parabel Elimination von t aus x(t) und y(t): y x = g 2 v 0 2 cos 2 x2 tan x Wurfweite aus y x w = 0 x w = tan 2v 2 0 cos 2 g = v 2 0 2sin cos g = v 0 2 g sin 2 sin 2 = sin 2 = sin 2 2 gleiche Wurfweite x w für zwei Winkel und '= 2 max. Wurfweite für = 4 =45 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 10

11 Anwendung für freie Bewegung schiefer Wurf Wurfzeit Einsetzen x w =x t w : t w = x w v 0 cos =2 v 0 g sin Wurfzeit größer für Flach- oder Steilwurf? Wurfhöhe y h aus dy dx = 0 dy dx = g v 2 0 cos 2 x h tan = 0 x h = 1 2 v 0 g sin 2 = 1 2 x w y h = y x h = 1 2g v 0 sin 2 = 1 2 g [ ẏ 0 ]2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 11

12 Beispiel schiefer Wurf Von der Spitze eines Turmes wird eine Masse mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 und Winkel geworfen. Die Masse trifft bei L auf. Gegeben: v 0, L, Gesucht: Höhe des Turmes Flugzeit Aufschlaggeschwindigkeit TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 12

13 2.3 Geführte Bewegung Massenpunkt ist gezwungen, sich auf einer vorgegebenen Fläche oder Kurve zu bewegen 2 Freiheitsgrade Zwang auf einer Fläche 1 Freiheitsgrad Zwang auf einer Kurve Eingeprägte Kräfte (z.b. Gewicht) Führungskräfte / Zwangskäfte - Reaktionskräfte, F e zur Bahn Die Kräfte werden im Freikörperbild sichtbar und können berechnet werden. Dynamisches Grundgesetz: F z m a = F e F z TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 13

14 Beispiel Zwangskräfte Gegeben: Masse m bewegt sicht auf einer Halbkreisbahn mit Radius R Anfangsgeschwindigkeit v 0 =0 Gesucht: Freiheitsgrad Freikörperbild Gleichgewichtsbedingungen Winkelbeschleunigung Wingelgeschwindigkeit Zwangskraft TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 14

15 Aufgabe geführte Bewegung Kreisscheibe dreht sich in horizontaler Ebene mit 0 = const Eine Masse m bewegt sich in einer glatten Schiene relativ zur Scheibe mit v r = const Gegeben: 0, v r, m Gesucht: Welche Kräfte wirken auf die Masse? TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 15

16 3.4. Widerstandskräfte Eingeprägte Kräfte, die durch die Bewegung entstehen und von der Bewegung abhängen. Beispiele: Reibung Strömungs- / Luftwiderstand Coulombsche (Gleit-) Reibung (unabhängig von v) R = N TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 16

17 Beispiel Reibung Eine Masse bewegt sich auf einer rauen schiefen Ebene (Winkel ) Gegeben: Höhe h,, v 0 = 0 Gesucht: Freikörperbild Gleichgewichtsbedingungen Zwangskraft Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg x E, t E, v E TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 17

18 Widerstandskräfte in Fluiden Bekannt aus Experimenten Kleine Geschwindigkeiten (laminare Strömung) k hängt von der Körpergeometrie und der Zähigkeit η des Fluids ab z.b. Kugel ( ) : (Stokes 1854) Große Geschwindigkeiten (turbulente Strömung) k hängt von der Körpergeometrie und der Dichte ρ des Fluids ab für moderne PKW ist r F w = 6 v r c w 0,3 F w = k v F w = c w 2 A s v2 A s - Projektion des Körpers zur Anströmrichtung c w - Widerstandskoeffizient F w = k v 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 18

19 Beispiel freier Fall mit Luftwiderstand Eine Masse wird in großer Höhe ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Widerstandsgesetz (k bekannt) F w = k v 2 Gesucht: Freikörperbild Bewegungsgleichung Gleichgewichtsbedingung v max Geschwindigkeit TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 19

20 Aufgabe Widerstandskräfte Gegeben: Förderband, v F = 3 m s = const Eine Kiste wird bei t = 0 in A auf das Band gesetzt Gewicht G = m g horizontale Geschwindigkeit v 0 = 0,5 m s Reibungskoeffizient = 0,2 Gesucht: Wie lange rutscht die Kiste? Bis zu welchem Abstand von A rutscht die Kiste? TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 20

21 3.5. Impulssatz, Stoß Integration des Newtonschen Grundgesetzes über die Zeit - Impulssatz: d mv dt t = F m v m v = 0 t 0 Die Änderung des Impulses = Zeitintegral der Kraft Wenn F = 0, dann Impulserhaltung: p = m v = mv 0 = const Häufige Anwendung Stoßvorgänge Beim Stoß wirkt eine sehr große Kraft in sehr kurzer Zeit (t S ). Die Masse erfährt eine plötzliche Geschwindigkeitsänderung. Lageänderung ist vernachlässigbar. F d t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 21

22 Impulssatz, Stoß Kraftstoß (Stoßkraft): m v 0 F = m v t F = S 0 F d t (Impuls vor Stoß + Kraftstoß = Impuls nach Stoß) Masse m trifft schräg auf die Wand auf. Impuls in Komponenten: p x : m v x F x = m v x v x = v cos v x = v cos p y : m v y F y = m v y v y =v sin v y = v sin Bei glatter Wand keine Kraft in y-richtung F y = 0, v y = v y TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 22

23 Impulssatz, Stoß Teilen des Stoßes (x-richtung) in: Kompressionsphase Restitutionsphase Impulssatz für beide Phasen: Kompression: m v x F K = m 0 Restitution: m 0 F R = m v x 2 Gleichungen, 3 Unbekannte F K, F R, v x zusätzliche Gleichung aus Hypothese über Verformungsverhalten während der Restitution TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 23

24 a) vollkommen elastischer Stoß Kompressions- und Restitutionsfase verlaufen spiegelbildlich Masse nimmt ihre ursprüngliche Form wieder an. F K = F R m v x = m v x v x = v x v = v = auch ideal-elastisch reversibler Prozess TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 24

25 b) vollkommen plastischer Stoß Die gesamte Verformung aus der Kompressionsphase bleibt erhalten. Masse bleibt plastisch verformt. F R = 0 v x = v cos = 0 = 2 v y = v y, hier v y 0 auch ideal-plastisch kein reversibler Prozess TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 25

26 c) teilelastischer Stoß Ein realer Körper wird nur teilweise zurückverformt. Beschreibung durch Stoßzahl e: F R = e F K ideal-elastisch: e = 1 ideal-plastisch: teilelastisch: e = 0 0 e 1 m v x = e m v x tan = v y v x = v y e v x = 1 e tan Stoßzahl auch als Verhältnis der Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Wand vor und nach dem Stoß e= v x v x TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 26

27 Stoßzahl - experimentell Masse m wird aus Höhe h 1 auf waagerechte Unterlage fallengelassen, v 0 =0 Auftreffgeschwindigkeit (s.o.): v = 2 g h 1 Nach dem Stoß erreicht die Masse die Höhe Stoßzahl h 2 h 2 = v 2 2 g v = 2 g h 2 e= v v = 2 g h 2 = h 2 2 g h 1 h 1 ideal-elastisch h 1 = h 2 e = 1 ideal-plastisch h 2 = 0 e = 0 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 27

28 Aufgabe - Stoß Gegeben: Ein Eishockeypuck trifft mit der Geschwindigkeit unter = 45 auf eine glatte Bande und wird unter = 30 reflektiert. v Gesucht: Geschwindigkeit nach dem Stoß Stoßzahl e Richtung der Stoßnormalen? TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 28

29 3.6 Momentensatz Definition Moment (aus der Statik): M 0 = r F [ Nm]=[ kg m2 s 2 ] Definition Impulsmoment (Drehimpuls, Drall): L 0 = r p = r mv = m r v [ kg m2 s 2 ] L 0 = r m v TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 29

30 Momentensatz 2. Newtonsches Gesetz mit r vektoriell multipliziert: r m d v dt Ableitung des Dralls nach der Zeit: d L 0 dt = d dt = r F = M 0 Momentensatz (Drehimpulssatz, Drallsatz) r p = ṙ mv r m v= = r m v = r F =0 d L 0 dt = M 0 Falls M =0 bleibt der Drehimpuls unverändert Drehimpulserhaltung: L 0 = r mv = const TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 30

31 Momentensatz Anschauliche Deutung des Dralls: In der Zeit dt überstreicht r die Fläche da mit dem zugeordneten Vektor d A= 1 2 r d r = 1 2 r v dt die vektorielle Flächengeschwindigkeit: d A dt = 1 2 r v Damit ist der Drehimpuls: L 0 = 2 m d A dt Wenn der Kraftvektor zum Zentrum O zeigt: M = 0 L = const und da dt = const 2. Keplersches Gesetz TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 31

32 Momentensatz m bewegt sich nur in der x-y-ebene Moment und Drehimpuls haben nur z-komponenten dl z 0 dt 0 dl 0 = M z = M 0 dt L 0 = r m v = m x v y y v x im Sonderfall Kreisbewegung v = r L 0 = m r v=m r 2 = 0 mit Massenträgheitsmoment: Momentensatz: 0 = M 0 0 = m r 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 32

33 Aufgabe Momentensatz Masse m, gehalten von einem Faden, bewegt sich mit auf glatter waagerechter Bahn (in der x-y-ebene). Am Anfang Kreisbahn mit Radius r 0 0 Der Faden wird durch ein Loch in der Mitte der Kreisbahn geführt. Gegeben: m, r 0, 0 Gesucht: Winkelgeschwindigkeit ω, wenn der Faden so angezogen wird, dass sich die Masse im Abstand r bewegt Fadenkraft TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 33

34 Planeten-/ Satellitenbewegungen Anwendung des Drallsatzes Die Planeten/Satelliten können als Punktmassen betrachtet werden. Es wirkt auf die Planeten/Satelliten nur die Massenanziehung. Gravitationsgesetz (Anziehungskraft zwischen zwei Massen): F G r = m E m r 2, mit = 6, m 3 kg s 2 an der Erdoberfläche F G R = m g = m E m g = M E, F R 2 G r = g m R2 r 2 R 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 34

35 Drall: mit Planetenbewegungen L z = r v m v = ṙ r 0 L z = m 0 0 r 2 Zentralbewegung M z = 0, L z =const r 2 = const = K Ȧ = 1 2 r 2 = K 2 2. Keplersches Gesetz: Die Verbindungslinie Sonne Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 35

36 Impulssatz: Planetenbewegungen m r = F G e r = m E m r 2 e r in Polarkoordinaten (r-komponente): ṙ = dr d d dt mit = K r 2 folgt ṙ = K r 2 r r 2 = m E dr d = K r 2 d 1 d r * r = d ṙ dt = K d 2 d 2 1 r Einsetzen in * r r 2 = K 2 d r 2 d r K 2 r 3 mit p = K 2 m E folgt: d 2 d 2 1 r 1 r = 1 p ** TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 36

37 Planetenbewegungen Die DGL (**) hat die allgemeine Lösung: 1 r = 1 p [ 1 cos 0 ] wählt man von einem Bahnpunkt mit ṙ = K d 1 d r = K p sin = 0 0 erhält man die Gleichung der Bahnkurve: => Ellipse in Polarkoordinaten Ellipsenparameter: p = b2 a r = p 1 cos numerische Exzentrizität: = e a TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 37

38 Planetenbewegungen Perizentrum P: Apozentrum A: r P = r A = p 1 = b2 a e =a e p 1 = b2 a e =a e 1. Keplersches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 38

39 Planetenbewegungen Für das 3. Keplersche Gesetz nutzen wir den Flächensatz / Drallerhaltung: Ȧ = 1 2 r 2 = K 2 = const Integration über t für einen vollen Umlauf A = a b= 1 2 K T mit K 2 = p m E = b2 a m E folgt: a3 = m E 4 2 T 2 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen der Bahnen. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 39

40 Satellitenbahnen p Die Bahn r = 1 cos eines Satelliten hängt von der Startgeschwindigkeit ab. Möglich sind für = 0 : Kreisbahnen 0 1: Ellipsen =1 : Parabeln 1 : Hyperbeln Bahngleichung in Drallsatz einsetzen v 2 = m E 2 r 1 a = g R2 r 2 r a Betrachtet man v als Geschwindigkeit im Perizentrum oder Apozentrum, so erhält man Bahnen vom Typ I oder II. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 40

41 Satellitenbahnen Fall I: v im erdfernsten Punkt e=r A a = e a = r A a 1 = 1 r A v 2 g R 2 Ist v sehr klein ε 1 näherungsweise Parabelbahnen ε = 0 Kreisbahn v Kr = R g r A = R g R H 0 v v Kr 0 1 elliptische Bahnen, die die Erde schneiden (ohne praktische Bedeutung) TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 41

42 Satellitenbahnen Fall II: v im erdnähsten Punkt v = v Kr v = 2v Kr e=a r P = e a = 1 r p a = r P v2 g R 1 2 = 0 selbe Kreisbahn wie Typ I v Kr,min = g R = 7900 m/ s v Kr v 2 v Kr 0 1 Ellipsenbahnen =1 Parabelbahn, Fluchtgeschwindigkeit Sattelit verlässt das Schwerefeld der Erde. v Flucht = 2 g R = m/ s TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 42

43 Ein paar astronomische Dimensionen Sonne: Masse: 1, kg Durchmesser: 1, km Erde: Masse: 5, kg Durchmesser: ,32 km Äquartor ,55 km Pol Mond: Masse: 7, kg Durchmesser: 3476 km Bahn : r A = km, r P = km TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 43

44 3.7. Arbeitssatz 2. Newtonsches Gesetz mit dr skalar multipliziert: m d v d r = F d r dt mit d r = v dt und Integration zwischen r 0 v 0 und r 1 v 1 : v 1 mv d v = v 0 r 1 F d r m v m v 2 r = F d r r 0 r 0 rechte Seite der Gl. - Arbeit W der Kraft F r 1 W = r 0 F d r Kinetische Energie: E k = m v 2 2 = m v 2 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 44

45 3.7. Arbeitssatz Arbeitssatz: E k1 E k0 = W Arbeit zwischen zwei Bahnpunkten = Änderung der kinetischen Energie. F e Auf die Masse m wirken i.a. eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte F z F = F e F z Zwangskräfte wirken senkrecht zur Bahn und leisten daher keine Arbeit: W F z = 0 Es ist also nur die Arbeit der Eingeprägten Kräfte zu berücksichtigen: W = F e dr TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 45

46 Beispiel Arbeitssatz Eine Masse m bewegt sich auf einer rauen schiefen Ebene (Winkel α) von Lage 0 in Lage 1. Gegeben: h,,, v 0 = 0 Gesucht: Freikörperbild Arbeit der Kräfte Bedingung für mögliche Bewegung Geschwindigkeit aus Arbeitssatz TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 46

47 Leistung Leistung pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit: P = dw = F d r = F v dt dt Dimension der Leistung: Achtung: Nicht verwechseln W (Watt) mit W (Arbeit) Zusammenhang mit PS: 1 PS = 0,735 kw, 1kW = 1,36 PS 1 Watt =1 W = 1 Nm s Die Leistung der Zwangskräfte verschwindet, da diese senkrecht zur Bahn wirken: F z d r TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 47

48 Wirkungsgrad Bei allen Maschinen treten Energieverluste auf (Reibung in Lagern, Verzahnungen, etc.). Wirkungsgrad: Verhältnis der Nutzarbeit W N zur aufgewandten Arbeit W A = W N W A bezogen auf die Zeit - augenblicklicher Wirkungsgrad aus den Leistungen = P N P A Aufgrund der auftretenden Verluste gilt 1 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 48

49 Beispiel Wirkungsgrad Gegeben: PKW, Motorleistung P A = 30 kw Geschwindigkeit v = 60 km h Wirkungsgrad = 0,8 (ab Getriebeeingang) Gesucht: Antriebskraft F Anmerkung: Motorwirkungsgrad bei PKW i.a. 0,3 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 49

50 Konservative Kräfte konservative Kräfte besitzen ein Potential Die Arbeit konservativer Kräfte zwischen zwei Lagen 0 und 1 ist unabhängig vom Weg. F = F x e x F y e y F z e z d r = dx e x dy e y dz e z 1 W = 0 1 F d r = F x dx F y dy F z dz 0 Wenn der Integrant ein vollständiges Differential ist, dann ist das Integral wegunabhängig: de p = F x dx F y dy F z dz E p x, y, z Potential von F, potentielle Energie (-): Zweckmäßigkeit, in TM 1, 2: E p = TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 50

51 Konservative Kräfte totales Differential: de p = E P x dx E P y dy E P z dz für d.h. für F : F x = E P x, F = E P y y, F = E P z z mit dem Gradienten: partielle Ableitungen von F: analog: F = grad E p grad E p = E P x F x y = F y x F y z = F z y, F z x = F x z e E P x y e E P y z TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 51 e z F x y = 2 E P x y, F y x = 2 E P x y Bedingung für Potentialkräfte

52 Konservative Kräfte Rotation einer Kraft F : rot F = e x e y e z x y z F x F y F z = F z y F y z e x F x z F z x e y F y x F x y e z Bedingung für Potentialkräfte in Vektorform: rot F=0 Ein Vektorfeld A mit rot A=0 heißt wirbelfrei. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 52

53 Energiesatz Für Potentialkräfte: dw = de p Arbeit: 1 W = 0 1 dw = 0 de p = E p1 E p0 Die potentielle Energie hängt vom Bezugssystem ab, die Differenz (E p1 E p0 ) jedoch nicht! Einsetzen in Arbeitssatz Energiesatz: E k1 E p1 = E k0 E p0 = const Der Energiesatz gilt nur, wenn alle eingeprägten Kräfte ein Potential besitzen! TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 53

54 Potentialkräfte Potential einer Gewichtskraft: E p = G z Nullniveau bei z = 0 Potential einer Federkraft (Federkonstante c): E p = c x2 2 Nullniveau Feder entspannt Potential einer Drehfeder (Federkonstante c T ): Nullniveau bei = 0 Nullniveau für Potentialkräfte! E p = c T 2 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 54

55 KEINE Potentialkräfte Reibungskräfte und Widerstandskräfte haben kein Potential! nicht-konservative Kräfte mechanische Energie wird in Wärme umgewandelt dissipative Kräfte Energiesatz gilt nicht! Arbeitssatz anwenden! Anwendung des Arbeits- oder Energiesatzes ist besonders effektiv, wenn v(x) oder x(v) gesucht ist. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 55

56 Aufgabe Energiesatz Eine Masse m wird in der Höhe h über einer ungespannten Feder vertikal mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 abgeworfen. Gegeben: m, h, g, c, v 0 Gesucht: Max. Stauchung der Feder x max =? TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 56

57 Aufgabe Arbeitssatz Eine Masse m rutscht aus der Ruhelage in A eine raue schiefe Ebene (Winkel α, Reibkoeffizient μ) herab und tangential in eine glatte Kreisbahn (Radius r). Gegeben: m,,, r, g Gesucht: h =? Anfangshöhe h über dem Scheitel B, damit die Masse die Bahn in B nicht verlässt. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 57

58 Erweiterter Energiesatz / Arbeitssatz Aus dem Arbeitssatz: E k E k0 = W Arbeit der konservativen und nicht-konservativen Kräfte und Momente: Für konservative Kräfte/Momente gilt: W = W kons W nichtkons W kons = E p E p0 Erweiterter Energiesatz (Arbeitssatz): E k E p = E k0 E p0 W nichtkons Summe aus kinetischer und potentieller Energie danach = Summe der kinetischer und potentieller Energie davor + zugeführte Energie (Antrieb aus nicht-konservativen Kräften) - abgeführte Energie während der Bewegung zwischen den beiden Zuständen (Widerstand, z.b. Reibung) TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 58

59 Vorgehen nach dem 2. Newtonschen Gesetz Grundgesetz: Masse * Beschleunigung in α-richtung = Summe aller Kräfte in α-richtung in Komponenten, z.b. kartesisches Koordinatensystem: m ẍ = i F x,i m a = F m ÿ = i F y,i oder in zylindrischen Koordinaten: m z = i F z,i ={x, y, z } ma r = i F r,i a r = r r 2 m a = i F,i a = r 2 ṙ m z = i F z,i ={r,, z } TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 59

60 Bewegungsgleichungen Vorgehen nach Newton 1. Anzahl der Freiheitsgrade f? 2. n geeignete Koordinaten wählen, positive allgemeine Lage 3. Positive Koordinatenrichtung = pos. Beschleunigungsrichtung 4. Freischnitt in allgemeiner Lage, Kräfte und Momente eintragen 5. Skalare Auswertung der Kräfte-/Momentensummen 6. (n-f) kinematische Beziehungen zwischen den Koordinaten 7. Zwangskräfte eliminieren => Bewegungsgleichungen TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 60

61 3.8 Prinzip von d'alambert Einführung einer fiktiven Kraft, der d'alambertschen Trägheitskraft: Scheinkraft keine Gegenkraft (nach actio = reactio) F T = m a Damit nimmt das Grundgesetz die Form an: F F T = 0 Gleichgewicht in α-richtung: Summe aller Kräfte + Trägheitskraft = 0 In Komponenten, z.b. in x-richtung: F T, x = m ẍ i F x,i F T, x = 0 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 61

62 Beispiel Bewegungsgleichung geradlinige Bewegung Gegeben: v 0, k Schiff mit Geschwindigkeit v 0 schaltet den Motor ab Widerstandskraft bei Gleiten im Wasser: F w =k v Gesucht: Bewegungsgleichung (nur horizontal) Lösung: Newton D'Alambert F T = m a i F x,i = m ẍ = F w m ẍ k ẋ = 0 i F x,i = F w F T = F w m ẍ = 0 m ẍ k ẋ = 0 => nichtlineare DGL 2. Ordnung TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 62

63 Bewegungsgleichungen Vorgehen nach d'alambert 1. Anzahl der Freiheitsgrade f? 2. n geeignete Koordinaten wählen, positive allgemeine Lage 3. Beschleunigung in gewählten Koordinaten 4. Freischnitt in allgemeiner Lage, Kräfte und Momente eintragen 5. Entgegen der positiven Beschleunigungsrichtungen alle d'alambertschen Kräfte (Scheinkräfte) eintragen 6. Skalare Auswertung der Kräfte-/Momentengleichgewichts 7. (n-f) kinematische Beziehungen zwischen den Koordinaten 8. Zwangskräfte eliminieren => Bewegungsgleichungen TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 63

64 3.9 Lagrangesche Gleichungen 2. Art Die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art verwenden für jeden Freiheitsgrad eine verallgemeinerte Koordinate Der Ansatz ähnelt der virtuellen Arbeit. Betrachtet wird die Arbeit der Kräfte Zwangskräfte leisten keine Arbeit, daher treten Zwangskräfte in den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art nicht auf. Es ist zwischen Potentialkräften und Kräften/Momenten ohne Potential zu unterscheiden. Lagrangesche Funktion: L = E k E p TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 64

65 Vorgehen Lagrangesche Gleichungen 2. Art 1. n Koordinaten festlegen 2. Anzahl der Freiheitsgrade f 3. ( n-f ) kinematische Beziehungen zwischen den Koordinaten 4. Ergebnis f verallgemeinerte Koordinaten: q j kann x oder sein. q j, j = 1 f 5. Kinetische Energie in allgemeiner Lage 6. Potentielle Energie in allgemeiner Lage E k E p (Nullniveau der Gewichtskräfte kann beliebig gewählt werden) 7. Lagrangesche Funktion: L = E k E p TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 65

66 Vorgehen Lagrangesche Gleichungen 2. Art 8. Lagrangesche Gleichungen 2. Art Bewegungsgleichungen ohne Zwangskräfte: d L j dt q L = Q q j, j j = 1,, f 9. Q j nur verallgemeinerte Kräfte/Momente ohne Potential: Die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft muss durch q j ausgedrückt werden. Vorzeichen je nach Richtungen von Q j und q j aus der Arbeit Q j über q j (Skalarprodukt) dw = Q j d q j Wirken nur Potentialkräfte, so ist Q j = 0 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 66

67 Zusammenfassung 2. Newtonsches Gesetz: F = m a t Impulssatz: m v = m v F = m v F t d t t 0 Drallsatz: L 0 = r p = r m v L 0 = M 0 Energiesatz: Arbeitssatz: E k E p = const E k1 E k0 = W Alternativen zur Newtonschen Mechanik TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 67